精品解析：山东潍坊市2025-2026学年高一下学期期中数学试题

高一数学试题 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知角的终边经过点，则的值等于 A. B. C. D. 2. 已知四边形是矩形，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列各角中，与终边相同的角为（ ） A. B. C. D. 4. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的一个对称中心为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，都是单位向量，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 7. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则（ ） A. 12 B. 9 C. 6 D. 8. 已知函数（）在区间上单调递增，则ω的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知中，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，半径为1和3的两圆外切于点P，且直线为其公切线，则（ ） A. B. C. 涂色区域周长为 D. 涂色区域面积为 11. 已知函数，则（ ） A. 的最大值为1 B. 在上单调递增 C. 是图象的一条对称轴 D. 若在上恰有两个零点，则m的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则______. 13. 已知，且，则______. 14. 某时钟的秒针端点到中心点的距离为，秒针绕点匀速旋转，当时间时，点与钟面上标有的点重合，.将，两点间的距离（单位：）表示成（单位：s）的函数，则______；记，，定义，当取最小值时，______s. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. ，是平面内两个相互垂直的单位向量，且，，. （1）求，，的坐标； （2）若，求实数m，n的值； （3）若，求实数k的值. 16. 已知，． （1）求的值； （2）求的值． 17. 如图所示，梯形中，，，E为的中点，连接交于点F，设，. （1）用，表示； （2）若，求证：C，F，G三点共线． 18. 已知函数（，），其图象关于直线对称，且相邻两条对称轴之间的距离为. （1）求的解析式； （2）求的单调递增区间和对称中心； （3）将图象上的所有点向右平移个单位得到的图象，设，图象相邻的三个交点为A，B，C，求的面积. （参考数据：，）. 19. 定义：存在一个正常数L，对于任意的x都有且，则称函数为“L伴随函数”. （1）是否存在正常数L，使得是“L伴随函数”?若存在，请求出一个L的值；若不是，请说明理由； （2）已知是“伴随函数”，且当时，. （i）当时，求的解析式； （ii）若（）为方程（）在上的根，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试题 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知角的终边经过点，则的值等于 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数的定义可求出的值. 【详解】由三角函数的定义可得，故选A. 【点睛】本题考查三角函数的定义，解题的关键在于三角函数的定义进行计算，考查计算能力，属于基础题. 2. 已知四边形是矩形，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：由题易知, ． 3. 下列各角中，与终边相同的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：与终边相同的角为， 当时，， 故下列各角中，与终边相同的角为． 4. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的性质依次判断各项对应函数的最小正周期、区间单调性，即可得. 【详解】解：对于A，，最小正周期，不符合题意； 对于B，，最小正周期为，在区间上单调递增，不符合题意； 对于C，，函数的图象如下： 故不是周期函数，不符合题意； 对于D，，函数图象如下： 最小正周期为，在区间上单调递减，符合题意． 5. 函数的一个对称中心为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因的对称中心为， 令，解得， 当时，， 则函数的一个对称中心为． 6. 已知，都是单位向量，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【详解】设，的夹角为， 则， 因，则当且仅当，即时，取得最大值9， 故的最大值为3. 7. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则（ ） A. 12 B. 9 C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题采用坐标法求解：先在网格中建立平面直角坐标系，提取向量的坐标，再根据的线性关系，列出关于的二元一次方程组，解出参数后直接计算的值。 【详解】 如图，建立平面直角坐标系，设每个小方格的边长为， 所以，，， 因为，所以， 所以，解得， 所以． 8. 已知函数（）在区间上单调递增，则ω的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题知，进而得到，结合单调性可得，再解不等式即可． 【详解】解：， ，， ， 又函数（）在区间上单调递增， ，解得． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知中，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据诱导公式，逐项判断即可． 【详解】解：，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D正确． 10. 如图所示，半径为1和3的两圆外切于点P，且直线为其公切线，则（ ） A. B. C. 涂色区域周长为 D. 涂色区域面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】过作，则，再求即可判断A；求出，进而得到即可判断B；利用扇形的弧长及面积公式求解CD即可． 【详解】解：由题可知，过作， 则，，，故A错误； ， ，故B正确； ，则，， 涂色区域周长为，故C正确； ，， 涂色区域面积，故D错误． 11. 已知函数，则（ ） A. 的最大值为1 B. 在上单调递增 C. 是图象的一条对称轴 D. 若在上恰有两个零点，则m的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，化简得，则当时，取得最大值1；对于B，利用复合函数单调性判断即可；对于C，判断是否成立即可；对于D，，即在上恰有两个零点，结合正弦函数图象及性质得到m的取值范围． 【详解】解： ， 当时，取得最大值1，故A正确； 时，单调递增，此时， 又在单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； ， ， 是图象的一条对称轴，故C正确； ，解得或（舍去）， 在上恰有两个零点，即在上恰有两个零点， ，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的坐标表示求出向量的坐标，再根据向量模长计算求解即可 【详解】因为，所以向量， 13. 已知，且，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】借助同角三角函数基本关系与诱导公式计算即可得. 【详解】由，则， 则， 则. 14. 某时钟的秒针端点到中心点的距离为，秒针绕点匀速旋转，当时间时，点与钟面上标有的点重合，.将，两点间的距离（单位：）表示成（单位：s）的函数，则______；记，，定义，当取最小值时，______s. 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】空1：表示出后，利用余弦定理计算后使用二倍角公式化简即可得；空2：借助模长与数量积的关系计算可表示出，结合三角函数性质计算即可得解. 【详解】，则， 即， 由，则，，故； ， ， 则， 由，则，又，故， 则取最小值时，，即或， 即或. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. ，是平面内两个相互垂直的单位向量，且，，. （1）求，，的坐标； （2）若，求实数m，n的值； （3）若，求实数k的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正交分解写坐标即可； （2）利用向量相等的坐标运算求解； （3）根据向量平行的坐标运算求解． 【小问1详解】 解：，是平面内两个相互垂直的单位向量，不妨取标准正交基为， 则； 【小问2详解】 解：，即， ，解得； 【小问3详解】 解：， ， ，， 解得． 16. 已知，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式将已知条件化简为​​，再对等式两边平方，结合同角三角函数的平方关系，直接求出； （2）由（1）的结果，先通过求出的值，再联立方程组解出和，最后将其代入目标式计算出结果． 【小问1详解】 因为， 且，， 所以， 所以，即， 所以，解得； 【小问2详解】 由（1）得 ， 又因为，所以，，所以， 所以， 由，解得， 所以． 17. 如图所示，梯形中，，，E为的中点，连接交于点F，设，. （1）用，表示； （2）若，求证：C，F，G三点共线． 【答案】（1） （2） 三点共线， ， 又三点共线， ， ，解得， 则， ，， ，， ， C，F，G三点共线． 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性表示即可； （2）由共线可设，，进而可用，表示，再用，表示，结合共线的判定即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 略 18. 已知函数（，），其图象关于直线对称，且相邻两条对称轴之间的距离为. （1）求的解析式； （2）求的单调递增区间和对称中心； （3）将图象上的所有点向右平移个单位得到的图象，设，图象相邻的三个交点为A，B，C，求的面积. （参考数据：，）. 【答案】（1） （2）单调递增区间为；对称中心为 （3） 【解析】 【分析】（1）由题可知，再由，求出，结合对称轴求出，进而得到解析式； （2）利用整体法求单调区间及对称中心即可； （3）设的横坐标分别为，根据平移得到，再解出，再取相邻的三个解，然后求面积即可． 【小问1详解】 由题可知，则，解得， 所以，又函数的图象关于直线对称， 所以，解得， 又，所以，则； 【小问2详解】 ， 解得， 所以的单调递增区间为， 令，解得， 所以的对称中心为； 【小问3详解】 设的横坐标分别为， ， ， ，解得， 不妨取， ， ， ． 19. 定义：存在一个正常数L，对于任意的x都有且，则称函数为“L伴随函数”. （1）是否存在正常数L，使得是“L伴随函数”?若存在，请求出一个L的值；若不是，请说明理由； （2）已知是“伴随函数”，且当时，. （i）当时，求的解析式； （ii）若（）为方程（）在上的根，求的值． 【答案】（1）存在一个的值为 （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据以及即可根据“伴随函数”的定义求解， （2）（i）根据“伴随函数”的定义可得是周期为的函数，即可利用周期性以及对称性求解，（ii）作出在上的图象如图所示，根据周期性结合图象，对进行讨论即可求解． 【小问1详解】 解：存在正常数，使得是“伴随函数”， 因为，所以， 因为，所以， 所以存在一个的值为； 【小问2详解】 （i）由，得， 所以是周期为的函数， 由，得，所以为的一条对称轴， 当时， 所以， 所以当； （ii）易知在上的图象如图所示， 根据周期性结合图象， 当时，； 当，或，或时，； 当时，； 当或时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $