北京市石景山区2026年高三5月统一练习数学试题

石景山区2026年高三统一练习 数学 2026.5 本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟。请务必将答案答在答题卡上， 在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项。 (1)在复平面内，复数z=1+23对应的点位于 (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 (2)已知集合A={x|-2<x≤1}，B={x|x≤-2}，则CR(AUB)= (A){x|x≥1} (B){x|x>1} (C){x|x>-2} (D){x|x<-2} (3)已知函数f)=,。是偶函数，则实数a= 4x+a (A)-1 (®)为 (C)1 (D)2 (4)已知实数a,b,c,d满足：a>b>c>d,则下列不等式恒成立的是 (A)a+c>b+d (B)a-c<b-d (C)ab>cd (D)ac>bd (5)设a,B是两个不同的平面，则α∥B的充要条件是 (A)存在无数条直线与a,B都平行 (B)存在无数个平面与a,B都垂直 (C)对任意的直线lca,都存在直线mcB,使得l∥m (D)对任意的直线lca,都存在直线mcB,使得1⊥m 高三数学试卷第1页（共6页） 器 扫描全能王创建 S (6)已知函数f(x)= -x3,x<0 ,8(x)=f(x)-x-a.若g(x)存在2个零点，则a的取 ex,x≥0 值范围是 (A)(0,1) (B)(0,] (C)(L,+o) (D)[1,+∞) (7)人们通常以分贝（符号是B)为单位来表示声音强度的等级.一般地，如果强度为 1的声音对应的等级为LdB,则有L=101g 10.已知某品牌笔记本电脑工作时产 生的噪音强度的等级约为52B,如果通过改善相关结构，将其噪音的强度减少为 1 原来的一半，则改善后的噪音强度的等级约为 (参考数据：lg2≈0.301) (A)49dB (B)46dB (C)26dB (D)13dB (8)若C,+3C+32C+…+3-2C%+3-=85,则n的值为 (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 (9)在△ABC中，∠BAC=T,BC=4,D为BC边上的中点，AD=3,则△ABC的面积 3 为 (A)5 (B)5V5 (C)35 5 (D) 4 2 2 (10)在正方体ABCD-A,B,CD,中，E是棱CD,的中点，S是正方形ABCD及其内部 的点构成的集合，设集合T={P∈SIPA,=V2PE},则T表示的轨迹是 (A)线段 (B)圆的一部分 (C)椭圆的一部分 (D)抛物线的一部分 高三数学试卷第2页（共6页） 扫描全能王创建 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 (11)函数=1+V2-x的定义域是 (12)设向量a与b不共线，向量a+b(2∈R)与a+2b共线，则= (13)设双曲线C:2-茶-16>0，若直线y=2x与双面线C无公共点，则6的一个取 值为 (14)等比数列{an}满足a1+a=10，a2+a4=5，则an=:aa24…an的最大 值为 （(15)己知a,B∈(0，π)，且cosacosB=cosa-cosB.给出下列四个结论： ①cosa+cosB有最小值： ②cosa+cosB无最大值： ③cosacosB有最小值： ④cosacosB无最大值， 其中所有正确结论的序号是 高三数学试卷第3页（共6页） 器 扫描全能王创建 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (16)(本小题13分) 已知函数f)=V5 sin cos+cos20x-(o>0). 2 22 从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数f(x)存在. (1)求)的值： (I)求f)在区间[-0上的最大值和最小值， 条件①：函数()的图象的相邻两个对称中心之间的距离为严： 条件②：孕=-2： 条件③： 函数)在区间-骨名1上具有单调性，且八-孕f停=-1. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分：如果选择多个符合要求的条件分别解答， 按第一个解答计分. (17)（本小题14分) 如图，在正三棱柱ABC-A1B,C中，BB=√6AB,M,N分别是AA1,B,C的中点. (I)求证：N∥平面ABC: (Ⅱ)求二面角A-BC-B的余弦值： (Ⅲ)设平面ABC与平面A,B,C,的交线为1，求直线1与直线MN所成的角. C B M 高三数学试卷第4页（共6页) 扫描全能王创建 (18)(本小题13分) 2026年春节期间，模式口历史文化街区推出“骐骥献瑞”主题集章打卡活动.游客可 以收集“龙马献瑞”，“马到成功”，“马效炎德”，“马奔财乡”，“奇骏延年”，“马行无疆” 6个蕴含马年吉祥寓意的专属印章为了解不同年龄段游客的打卡习惯，从参与活动的人 群中随机抽取100名游客，统计他们集章情况如下表（同一题材重复集章只计1个）： 组别 集章1个 集章2个 集章3个 集章4个 集章5个 集章6个 各组总人数 青年 1人 1人 2人 12人 12人 2人 30人 中年 3人 2人 8人 30人 15人 2人 60人 老年 1人 2人 1人 3人 2人 1人 10人 每个游客的打卡行为相互独立， (I)从上表的青年组中随机抽取1名游客，求该游客集章个数不少于4的概率： (Ⅱ)从参与打卡活动的青年和中年游客中各随机抽取2人，用上表统计的频率估计概率， 试估计这4人中“恰有2人集章4个、2人集章5个”的概率； (Ⅲ)将青年、中年、老年组的组别分别编码为-1,0,1，用上表统计的频率估计概率，从 集章个数为k(k=1,2,3,4,5,6)的游客中随机抽取1人，记该游客的组别编码为Xk, 写出满足EXk≥0的k值的个数.（结论不要求证明） (19)（本小题15分) 已知椭圆C:女 +京=1a>b>0的离心率为5，其左项点为，上顶点为B, |AB=√5，直线1平行于AB且与椭圆C交于不同的两点M,N. (I)求椭圆C的方程： (Ⅱ)是否存在直线1使得A,B,N,M为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，求此时1的方 程：若不存在，请说明理由， 高三数学试卷第5页（共6页） 扫描全能王创建 (20)(本小题15分) 已知函数f(x)=ln 2+x 2-x (I1)求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程： (Ⅱ)令g(x)=f(x)-asinx. (i)当a=1时，讨论函数g()在(-受孕上的单调性： (i)若g)在(-受孕内存在唯一的极大值点，求实数a的取值范围. (21)(本小题15分) 设递增数列{a,}中的每一项都是正整数，其前n项和为Sn对于正整数k,若存在正 整数j,使得ak∈(Sj-H,S],则称S,覆盖了ak,记ak的“覆盖阶数”为C(a)=j.定义 ak的“覆盖滞后度”为2(a)=k-C(ak).规定S。=0. (1)若a=3,a2=7,a3=8,a4=12,求(a1)和(a3)的值； (Ⅱ)若数列{a,}是首项为1，公差为2的等差数列，判断是否存在正整数k,使得 2(a)=10？若存在，求出所有满足条件的k的值：若不存在，请说明理由： (Ⅲ)设{an}前k项的“覆盖滞后度”(a),(a2),,(a)的最大值为M,求证：对任 意的me{0,1,2,…,M,存在i∈{1,2，，k},使得m=(a). (考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效) 高三数学试卷第6页（共6页） 扫描全能王创建石景山区2026年高三统一练习 数学试卷答案及评分参考 2026.5 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） (1)D (2)B (3)C (4)A (5)C (6)D (7)A (8)B (9)D (10)B 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分) (11)(-0,0)U(0,2] 2 (13)1(答案不唯一) (14)24-n 64 (15)②③④ 三、解答题（共6小题，共85分） (16)(共13分) 解：（1)Jm=co+--5nor+1+c0s_】 2 2 222 ,1 2 2cos sin(ox 选条件①：根据题意T=π， 2π =元，0=2， 所以f)=m2x+,f孕=m(级= 6 选条件@：因为函数f)在[-号急单调且心孕停=-1， 2r=元，0=2， 所以)=max+月9=m爱- 【7分】 )据题意≤x≤0，-兀≤2x≤0，-。2x+元刀 66 当2x+亚=-，即x=-亚时，f)的最小值为-1， 62 2 当2x+名名即x=0时，f0的最小省为号 【13分】 高三数学参考答案及评分参考第1页（共8页） (17)(共14分) 解：(I)如图，取BC的中点G,连接NG,AG 由N,G分别为BC,BC的中点， 得GIBB,且NG=BB. 2 G 又因为AM∥B,且AM-8A, 6 所以AMI∥GN,且AM=GN. 故四边形AMWG为平行四边形. 所以N∥AG. 又因为MNa平面ABC,AGC平面ABC1, 所以MN∥平面ABC· 【4分】 (I)取AB中点O,A1B中点H,连结CO,OH. 在正三棱柱ABC-ABC,中，BB1⊥平面ABC,△ABC为等边三角形， 则OH∥BB,CO⊥AB,易得OH⊥平面ABC. 所以OH⊥AB,OH⊥OC. 故AB,OC,OH两两互相垂直.不妨设AB=2, 如图建立空间直角坐标系O-xz, 则0(0,0,0)，B(-1,0,0),A0,0,0),C(0,0,V5),C(0,2√6，√)， 因此BA=(2,0,0),BC1=1,2V6,5). 设平面ABC的法向量为n=(x,y,z), 「2x=0, 则 t-BA=0, 即 n:BC1=0, x+26y+V3z=0. 高三数学参考答案及评分参考第2页（共8页） 令y=-√2，则z=4.于是n=(0,-√2,4). 取BC中点Q,则易知AQ为平面BB,C的一个法向量. 平面B8,G的一个法向量0=(30,5 2 2 所以cosm,4O=:A@ 252 1nl‖AQ 3v2x3 3 由题义知二面角A-BG-B为钝角，所以其余弦值为- 【10分】 3 (II)因为AB∥A1B1,ABC平面A1B,C1,AB1C平面A1BC1, 所以AB∥平面A1BC1· 因为平面ABC1∩平面A1B,C1=I,ABC平面ABC1, 所以AB∥1. 因为6. 设直线l与直线MN所成角为a, cosa=cos<AB,MN>1AB.MN]3 1 2×32 |AB‖MNI 直线I与直线N所成角为 【14分】 3 高三数学参考答案及评分参考第3页（共8页） (18)(共13分) 解：(I)表中青年组共有游客30名，其中集章个数不少于4的人数为12+12+2=26， 从中随机抽取1名游客，该游客集章个数不少于4的概率为 2613 3015 【3分】 (川)根据题中数据，“青年游客集章4个”的概率可估计为2-2 305 “青年游客集章5个”的概率可估计为22 305 “中年游客集章4个”的概率可估计为30=1： 602 “中年游客集章5个”的概率可估计为5=1. 604 所以“恰有2人集章4个、2人集章5个”的概率可估计为： ×中++6✉*=岛 【11分】 (Π)2 【13分】 (19)(共15分) a2+b2=5 a=2 解：(I)由已知可得{e=c-5 ,解得b=1 a 2 a2=b2+c2 c=√3 故椭圆C的方程为 4+2=1. 【5分】 ()据题意友。-行假设存在平行于8的直线， 1 设直线1的方程为y=x+t,设M,y),2V2,2), 2 〔1 y= x+t 联立 ,得x2+2+2t2-2=0, x2 +y2=1 △=4t2-4(2t2-2)>0,即-V2<t<√2， 高三数学参考答案及评分参考第4页（共8页） X1+x2=-2t,x1x2=2t2-2, 因为以A,B,N,M为顶点的四边形为等腰梯形， 所以|AMBNI,即|AMI2-|BNIP=0成立， 14AM=(3+2）)2+y2,BN=x22+(y2-1)2, (+2)2+7-x号-(y2-1)2=0, 3+22+(写+0-写-+1-02=0. 5.5 整理得-+，++4-《-1+2江+3=0 代入x=-2-x2, 得3t-1[x2+t-1]=0,即t=1或x2=1-t, 当x2=1-t时，为=-1-t,则xx2=t2-1, 又因为xx2=22-2,解得t=±1. 1 当t=1时，直线1方程为y=二x+1与直线AB重合， 2 不符合题意，舍去： 当t=-1时，直线1方程为y=x-1所得四边形为平行四边形， 不符合题意，舍去： 所以不存在平行于AB的直线I交椭圆于M,N两点，使得以A,B,N,M为 顶点的四边形为等腰梯形， 【15分】 高三数学参考答案及评分参考第5页（共8页） (20)（共15分) 解：(I)根据题意，f(x)=ln(2+x)-ln(2-x),x∈(-2,2)， 1-14 f)=2+x2-x4-’f0=0.f0=1, 所以所求切线方程为y=x. 【4分】 (Ⅱ)(i)a=l时，g(x)=f(x)-sinx, 8'x)=f)-cosx=,4 4-x2-c0sx, 设h)=g),则w三4-r2)2+sinx, 鸟x∈(20时，8y 4ry≤0，six≤0，所以h)≤0： 当xe0孕时4产0：m≥0.所以0 8x 所以)在（←于01单调递减，在0，孕单调道潮 所以当E(57时，g四w≥0-0， 所以g国在（受上单调造增， 【9分】 (ii)由已知，g(x)=f(x)-asinx, 4 g'(x)=f(x)-acosx= -acosx 4-x2 ①当a≤1时，g'(x)=f"(x)-acosx= 4-r2-ac0sx≥ 4 -x2-C0sx≥0 4 所以g)在（孕上单调递增，不合慰意 ②当a>1时，设(x)=g(),则)=，8x (4-x2)2+asinx. 当x∈（时，4 8x ≤0，asinx≤0，所以H(x)≤0； 当*e0孕时，4r朗 (4-x2)2 ≥0，asin x≥0，所以h(x)≥0. 所以)=8田在(0单调递减，在[0，单调道弹 高三数学参考答案及评分参考第6页（共8页） 4>0,g 因为g'0)=1-a<0,g(5= 、4 4元20， 所以存在名∈(5,0)，∈0,5.使g)=g,)=0 当x变化时，g'(x),g(x)情况如下： ( (1,x2) X2 习 g'(x) 0 0 + g(x) 7 7 所以8()在（受孕上存在唯一的极大值点，符合题意 综上所述，a>1. 【15分】 (21)(共15分) 解：（I)因为4=3，a2=7,a3=8,a4=12, 所以S。=0,S1=3,S2=10,3=18,S4=30, 所以a1∈(S。,S],a3∈(S1,S2],所以C(a1)=1,C(a3)=2, 所以(a)=1-C(a)=0,(a3)=3-C(a3)=1. 【4分】 (Ⅱ)由己知得an=21-1,Sn=m2. 设存在正整数k，使得(a)=l0,则S,1<a≤S,C(a)=j, (a)=k-C(a)=k-j, 可得(j-1)2<2k-1≤2，k-j=10, 所以 2-4-18<0,解得1+20≤J<2+2. j-2j-19≥01 因为j∈N,所以j=6,k=16. 检验：a16=31,S5=25,S6=36, 高三数学参考答案及评分参考第7页（共8页） 所以a16∈(S5,S6],C(a6)=6,2(a6)=16-6=10,符合题意. 综上所述，存在唯一的k=16符合题意 【9分】 ()当k=1时，S。<a1≤S,C(a)=1,(4)=1-1=0. 当k≥2时，设C(a)=jk,则S1<ak-1<ak≤S 所以j1-1<jk,je-j1>-1. 因为j-1eN，所以j-j-1≥0 所以(a)-(a1)=k-C(a)-(k-1-C(a-》=1-0g-j-1)≤1. 任取m∈{0,1,2，，M},设(a)是(4)，2(a2),…(a,)中首次达到或超过 的项， 即(a,)≥m且(a-1)<m. 因为(a)-(a-1)≤1，所以a)≤(a1)+1<m+1,即m≤(a)<m+1, 所以(a)=m. 【15分】 (以上解答题，若用其它方法，请酌情给分) 高三数学参考答案及评分参考第8页（共8页）