精品解析：内蒙古自治区通辽市奈曼旗多校2025—2026学年第二学期 八 年级 数学 学科联合期中试卷

2025—2026学年第二学期八年级数学学科联合期中试卷 一、单选题（共8题；共24分） 1. 如图，已知四边形，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. ， C. ， D. 2. 聪聪家在铺设地面时，爸爸先购买了一批正八边形的地砖（如图），还需要再购买另一种形状的地砖与之搭配才能密铺整个地面（即无缝隙且不重叠），则下面多边形可以选择的是（ ） A. 正三角形 B. 正方形 C. 正六边形 D. 正八边形 3. 下列说法正确的是（ ） A. 化简的结果是 B. 要使在实数范围内有意义，则 C. 与是同类二次根式 D. 是最简二次根式 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，小逸同学利用刻度直尺（单位：）测量三角形纸片的尺寸，点，分别对应刻度尺上的刻度2和8，为的中点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有户高多余广六尺八寸（一尺等于十寸），两隅相去适一丈（一丈等于十尺）．问户高、广各几何？”意思为“现有一扇门，高比宽多了六尺八寸，门的对角线长刚好为一丈．求门的高和宽各为多少？”如图，设户广为x尺，可列出方程（ ） A. B. C. D. 7. 如图，数轴上的点O表示的数是0，点A表示的数是2，，垂足为A，且，以O为圆心，长为半径画弧，交数轴于点C，点C表示的数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四边形中，，相交于点O，且，动点E从点B开始，沿折线运动至点D停止，与相交于点N，点F是线段的中点，连接，有下列结论：①四边形是矩形；②当点E在边上，且时，点E是的中点；③当，时，线段长度的最大值为2；④当点E在边上，且时，是等边三角形．其中正确的结论有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共4题；共12分） 9. 如图，点E在边长为13的正方形内，，，求出图中阴影部分的面积是______． 10. 一个多边形的每一个外角都等于60度，则这个多边形的内角和为__________度． 11. 光学直角棱镜的一个重要作用就是转折光路，如图为一块光学直角棱镜，其截面为直角三角形，所在面为不透光的磨砂，，，现将一束单色光从边上的点入射，折射后到达边上的点，此时是的中点，再经过反射后，从点垂直于射出，连接，若，则的长为______． 12. 菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点，，点E坐标为，点P是对角线上一个动点．则的最短距离是 ________________． 三、解答题（共6题；共64分） 13. （1） （2） 14. 小华与小红一起研究一个尺规作图问题：如图1，已知是边上一点（不包含），连结，用尺规作，其中是边上一点． 小红：如图2，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连结，则． 小华：以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连结，则． 小红：小华，你的作法有问题． 小华：哦……我明白了！ （1）根据小红的作法，证明：． （2）指出小华作法中存在的问题． 15. 数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式． （1）如图1，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成．请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积． 方法1：_______； 方法2：______． 根据以上信息，可以得到的等式是_______． （2）如图2，大正方形是由四个边长分别为a，b，c的直角三角形（c为斜边）和一个小正方形拼成．请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到a，b，c之间的数量关系． （3）在（2）的条件下，若，，求图2中小正方形的面积． 16. 如图，平行四边形中，，过点作，交的延长线于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，求的长． 17. 已知：如图，在中，．求作：矩形ABCD． 作法：①作线段AB的垂直平分线交AB于点O． ②作射线CO． ③以点O为圆心，线段CO长为半径画弧，交射线CO于点D． ④连接AD，BD，则四边形ACBD即为所求作的矩形． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：∵，① ∴四边形ACBD是平行四边形．（②）（填推理的依据） ∵， ∴四边形ACBD是矩形．（③）（填推理的依据） 18. 【问题情境】 贵安新区某学校八年级某班学生学习勾股定理后，该班数学兴趣小组开展了实践活动，测得该学校一个四级台阶每一级的长、宽、高分别为，如图1所示．和是这个四级台阶两个相对的端点，若点处有一只蚂蚁，它想到点处的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是多少？ （1）数学兴趣小组经过思考得到如下解题方法：如图2，将这个四级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则______________． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是，高是，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，在（2）的条件下，在杯子内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期八年级数学学科联合期中试卷 一、单选题（共8题；共24分） 1. 如图，已知四边形，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. ， C. ， D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理．根据平行四边形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：由，，可以根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； ，，可以根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； 由，结合，可得，则，，可以根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； 由，则四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项D符合题意； 故选：D． 2. 聪聪家在铺设地面时，爸爸先购买了一批正八边形的地砖（如图），还需要再购买另一种形状的地砖与之搭配才能密铺整个地面（即无缝隙且不重叠），则下面多边形可以选择的是（ ） A. 正三角形 B. 正方形 C. 正六边形 D. 正八边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平面镶嵌（密铺），正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形的内角之和为．正八边形的一个内角为，从所给的选项中取出一些进行判断，看其所有内角和是否为，并以此为依据进行求解． 【详解】解：正八边形的每个内角为：，正六边形的每个内角为：， A、正八边形、正三角形内角分别为、，显然不能构成的周角，故不能铺满，选项不符合题意； B、正方形、正八边形内角分别为、，由于，故能铺满，选项符合题意； C、正六边形和正八边形内角分别为、，显然不能构成的周角，故不能铺满，选项不符合题意． D、正八边形的内角为，不能构成的周角，故不能铺满，选项不符合题意； 故选：B． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 化简的结果是 B. 要使在实数范围内有意义，则 C. 与是同类二次根式 D. 是最简二次根式 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据二次根式的性质与化简，二次根式的定义，同类二次根式的定义和最简二次根式的定义依次判断各选项，即可得到答案． 【详解】解：A、，选项A不正确； B、依题意有，所以，选项B不正确； C、，所以与时同类二次根式，选项C正确； D、当时，没有意义，当时，，选项D不正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的定义，同类二次根式的定义和最简二次根式的定义，理解并掌握相关知识是解题的关键． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A选项：，故A计算正确； B选项：与不是同类二次根式，不能合并，则，故B计算错误； C选项：，故C计算错误； D选项：，故D计算错误． 5. 如图，小逸同学利用刻度直尺（单位：）测量三角形纸片的尺寸，点，分别对应刻度尺上的刻度2和8，为的中点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，据此作答即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵D为的中点，， ∴， 故选：A． 6. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有户高多余广六尺八寸（一尺等于十寸），两隅相去适一丈（一丈等于十尺）．问户高、广各几何？”意思为“现有一扇门，高比宽多了六尺八寸，门的对角线长刚好为一丈．求门的高和宽各为多少？”如图，设户广为x尺，可列出方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，列一元一次方程． 设户广为尺，则户高为尺，对角线长为尺，由勾股定理得，，即可作答． 【详解】解：设户广为尺，则户高为尺， 由题意知，对角线长为尺， 由勾股定理得，， 故选：B． 7. 如图，数轴上的点O表示的数是0，点A表示的数是2，，垂足为A，且，以O为圆心，长为半径画弧，交数轴于点C，点C表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，勾股定理求出的长，进而得到的长，进而得到点表示的数即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴， ∵点在原点的左侧， ∴点C表示的数为； 故选A． 8. 如图，在四边形中，，相交于点O，且，动点E从点B开始，沿折线运动至点D停止，与相交于点N，点F是线段的中点，连接，有下列结论：①四边形是矩形；②当点E在边上，且时，点E是的中点；③当，时，线段长度的最大值为2；④当点E在边上，且时，是等边三角形．其中正确的结论有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，三角形中位线定理，等边三角形的判定等，由对角线互相平分且相等的四边形是矩形证明四边形是矩形，即可判断①；可证明是中位线，，而点在上，据此可判断②；根据，则有最大值时，有最大值，则点与点重合时，的最大值为4 ，则长度的最大值为2．据此可判断③；根据，据此可判断④． 【详解】解：①∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是矩形，故①正确； ②由①可知，四边形是矩形， ∴， ∵O，F分别是，的中点，点在上， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴点E是的中点，故②正确； ③∵是的中位线， ∴， ∴当的值最大时，的值最大， 当点E与点D重合时，的值最大，此时， ∴线段长度的最大值是2，故③正确； ④当点E在边上，且时，， ∴不是等边三角形，故④错误． 综上所述，正确的结论有3个， 故选：C． 二、填空题（共4题；共12分） 9. 如图，点E在边长为13的正方形内，，，求出图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意证明，得到，据此根据进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴ ∴． 10. 一个多边形的每一个外角都等于60度，则这个多边形的内角和为__________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角和和外角综合，熟练掌握相关知识是解题的关键；根据题意，得这个多边形的每一个内角，且这个多边形的边数为，再求出这个多边形的内角和，即可作答． 【详解】解：∵一个多边形的每一个外角都等于60度， ∴这个多边形的每一个内角，且这个多边形的边数为 则， 故答案为：． 11. 光学直角棱镜的一个重要作用就是转折光路，如图为一块光学直角棱镜，其截面为直角三角形，所在面为不透光的磨砂，，，现将一束单色光从边上的点入射，折射后到达边上的点，此时是的中点，再经过反射后，从点垂直于射出，连接，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理．根据直角三角形的性质，可得，可证明是等边三角形，再结合勾股定理解答即可． 【详解】解：∵，是的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 12. 菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点，，点E坐标为，点P是对角线上一个动点．则的最短距离是 ________________． 【答案】 【解析】 【分析】点B的对称点是点D，连接，交于点P，再得出即为最短，解答即可． 【详解】解：过点D做轴于点F， ∵四边形是菱形，顶点，， ∴中，，， ∴，， ∴点D的坐标为， 连接，交于P，如图， ∵点B的对称点是点D， ∴， 即为的最小值， ∵点E的坐标为， ∴， 即的最小值为：． 故答案为：． 【点睛】此题考查菱形的性质和最短路径问题，解答关键是利用菱形的轴对称性，将折线段长度转化从线段的长度． 三、解答题（共6题；共64分） 13. （1） （2） 【答案】（1）0；（2） 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式计算二次根式的乘法进而得出答案； （2）直接利用二次根式的加、减、乘、除运算法则化简，然后合并同类项即可求出答案． 【详解】（1） ； （2） ． 【点睛】本题主要考查了平方差公式，二次根式的加、减、乘、除运算，正确掌握运算法则是解题的关键． 14. 小华与小红一起研究一个尺规作图问题：如图1，已知是边上一点（不包含），连结，用尺规作，其中是边上一点． 小红：如图2，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连结，则． 小华：以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连结，则． 小红：小华，你的作法有问题． 小华：哦……我明白了！ （1）根据小红的作法，证明：． （2）指出小华作法中存在的问题． 【答案】（1） 证明：在中，， ， ， 四边形为平行四边形， ； （2） 原因：以为圆心，长为半径作弧，与可能有两个交点，如图所示： 故小华的作法存在问题． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握是解答本题的关键． （1）根据小红的作图方法证明即可； （2）以点为圆心，长为半径作弧，与可能有两个交点，据此作答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 15. 数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式． （1）如图1，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成．请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积． 方法1：_______； 方法2：______． 根据以上信息，可以得到的等式是_______． （2）如图2，大正方形是由四个边长分别为a，b，c的直角三角形（c为斜边）和一个小正方形拼成．请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到a，b，c之间的数量关系． （3）在（2）的条件下，若，，求图2中小正方形的面积． 【答案】（1）；； （2）；； （3）25 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式和勾股定理的几何背景，学会用两种方法表示同一个图形的面积是解题的关键． （1）用整体法和分割法分别表示即可，进而得到等式； （2）用整体法和分割法分别表示即可，进而得到等式； （3）把，代入到（2）中的关系式中计算即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ∴， 故答案为：；；． 【小问2详解】 解：∵从整体看，小正方形的边长为c， ∴． 从组成看，小正方形面积由大正方形面积减去四个直角三角形面积， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴小正方形的面积为25． 16. 如图，平行四边形中，，过点作，交的延长线于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，，， ， ， ，， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，，由，可得，再证四边形是平行四边形，即可得结论； （2）连接交于点，由菱形的性质可得，，，再由勾股定理可求的长，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接交于点， 四边形是菱形，， ，，， 在中，． ， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定，勾股定理，熟知菱形的性质与判定定理是解题的关键． 17. 已知：如图，在中，．求作：矩形ABCD． 作法：①作线段AB的垂直平分线交AB于点O． ②作射线CO． ③以点O为圆心，线段CO长为半径画弧，交射线CO于点D． ④连接AD，BD，则四边形ACBD即为所求作的矩形． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：∵，① ∴四边形ACBD是平行四边形．（②）（填推理的依据） ∵， ∴四边形ACBD是矩形．（③）（填推理的依据） 【答案】（1） 作图如图所示． （2）①OC ②对角线互相平分的四边形是平行四边形 ③有一个角是直角的平行四边形是矩形 【解析】 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查作图一复杂作图，平行四边形的判定和性质，矩形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本作图． 18. 【问题情境】 贵安新区某学校八年级某班学生学习勾股定理后，该班数学兴趣小组开展了实践活动，测得该学校一个四级台阶每一级的长、宽、高分别为，如图1所示．和是这个四级台阶两个相对的端点，若点处有一只蚂蚁，它想到点处的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是多少？ （1）数学兴趣小组经过思考得到如下解题方法：如图2，将这个四级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则______________． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是，高是，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，在（2）的条件下，在杯子内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）厘米；（3）； 【解析】 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将杯平面展开，作点纵向的对称点，点与对称点的连线，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程，再根据勾股定理计算长度即可． 【详解】解：（1）台阶平面展开图为长方形，长，宽， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为， 由勾股定理得：， 解得：． 故答案为：25； （2）将圆柱体侧面展开，如图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程厘米； （3）如图，将杯平面展开，作点纵向的对称点， 连接，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程， ，，，， 根据勾股定理有： ， 蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $