精品解析：内蒙古自治区通辽市奈曼旗奈曼旗第四中学2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2024-2025学年第二学期八年级数学期中质量检测 班级_____姓名_____ 一、选择题（本大题共8小题，共24分） 1. 下列二次根式化简后能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据二次根式的性质把各个二次根式化简，再根据同类二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、，能与合并，符合题意； B、，不能与合并，不符合题意； C、，不能与合并，不符合题意； D、，不能与合并，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查的是同类二次根式的概念，掌握二次根式的性质、同类二次根式的概念是解题的关键． 2. 正方形具有而菱形不具有的性质是（ ） A. 四个角都是直角 B. 两组对边分别相等 C. 内角和为 D. 对角线平分对角 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形及菱形的性质解答即可. 【详解】选项A，因为正方形的四个角都是直角而菱形不是，选项A正确； 选项B，因为正方形和菱形的两组对边都相等，选项B错误； 选项C，因为正方形和菱形的内角和均为360°，选项C错误； 选项D，因为正方形和菱形的对角线均平分对角，选项D错误． 故选：A． 【点睛】本题主要考查正方形和菱形的性质，熟练掌握正方形和菱形的性质是解题的关键． 3. 在中，的对边分别为a，b，c. ①若，则是直角三角形； ②若，则是直角三角形；且； ③若，则是直角三角形； ④若，则是直角三角形. 以上命题中的假命题个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理，三角形内角和，直角三角形两个锐角互余，逐项分析即可． 【详解】解：①∠A＝∠C-∠B，， △ABC为直角三角形，命题为真，不符合题意； ②， ， △ABC为直角三角形，∠B=90°，命题为假，符合题意； ③，即 ， △ABC为直角三角形，命题为真，不符合题意； ④∠A：∠B：∠C＝5：2：3 设， ， 解得 △ABC是直角三角形，命题为真，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，掌握勾股定理的逆定理，三角形内角和是解题的关键． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意依据整式的加法和积的乘方以及二次根式的乘法和减法逐项进行运算判断即可． 【详解】解：．，选项计算错误； ． ，选项计算错误； ． ，选项计算正确； ． ，选项计算错误． 故选： 【点睛】本题考查了整式的加法和积的乘方以及二次根式的乘法和减法，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键． 5. 如图，在中，，平分交于点E，则的长是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】该题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 由四边形是平行四边形，可得，，，得，又由平分，可得，根据等角对等边，可得，所以求得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，F为DE中点，连结BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（　　） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理求得AB=10；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度；结合题意知线段BF是△CDE的中位线，则BF=CD． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB＝＝＝10． 又∵CD为中线， ∴CD＝AB＝5． ∵F为DE中点，BE＝BC，即点B是EC的中点， ∴BF是△CDE的中位线，则BF＝CD＝2.5． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，此题的突破口是推知线段CD的长度和线段BF是△CDE的中位线． 7. 如图，在菱形ABCD中，，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论：①；②与全等的三角形共有5个；③四边形ODEG与四边形OBAG面积相等；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．其中一定成立的是（ ） A. ①③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】由AAS证明，得出，证出OG是的中位线，得出，故①正确； 先证明四边形ABDE是平行四边形，证出、是等边三角形，得出，因此，得出四边形ABDE是菱形，故④正确； 由菱形的性质得出，由SAS证明，得出，故②不正确； 由中线的性质和菱形的性质可得，，可得四边形与四边形面积相等，得出③正确；即可得出结果． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴OG是的中位线， ∴ ∴①正确； ∵，， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∵， ∴、是等边三角形， ∴， ∴，四边形ABDE是菱形，故④正确； ∴， 由菱形的性质得：， 在和中， ∴， ∴，故②不正确； ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴四边形与四边形面积相等，故③正确； 正确的是①③④． 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，难度较大． 8. 如图，已知四边形为正方形，边长为6，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在上，且点D的坐标为，点P是上的一个动点，则的最小值是（ ） A. 6 B. 8 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查利用轴对称解决线段和最小问题．熟练掌握正方形的性质，确定P点位置，是解题的关键． 连接，点A关于的对称点为点C，则，当三点共线时，的最小为的长度，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：连接， ∵四边形为正方形，边长为6， ∴点A关于的对称点为点C，， 连接，则， ∴当三点共线时，的最小为的长度， ∵点D的坐标为， ∴， ∴，即：的最小值为：． 故选D． 二、填空题（本大题共4小题，共12分） 9. 若式子有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】且##且 【解析】 【分析】根据分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，列出不等式计算即可． 【详解】∵式子有意义， ∴且， ∴且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键． 10. 我们规定：对于任意的正数、的运算“”为：当时，；当时，，其他运算符号意义不变．按上述规定，计算的结果为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，涉及二次根式的性质和加减运算，明确新定义运算的法则是解题的关键．根据新定义当时，；当时，，列式求解，即可解题． 【详解】解：当时，；当时，， ， ， ， ． 故答案为：． 11. 如图，把长方形沿直线向上折叠，使点C落在的位置上，交于E，已知，，则的面积为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了图形的折叠以及勾股定理，正确利用勾股定理求得的长是解题的关键．设，则，在中利用勾股定理即可列方程求得x的值，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：长方形中， ∴，，， ∴， 由折叠的性质知，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 则， ∴根据勾股定理得： ∴． 故答案为：6． 12. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD=12cm．点P从点A出发，以3cm/s的速度在射线AD上运动；同时，点Q从点C出发，以1cm/s的速度在射线CB上运动．运动时间为t，当t=______秒（s）时，点P、Q、C、D构成平行四边形． 【答案】3或6 【解析】 【分析】根据点P的位置分类讨论，分别画出对应的图形，根据平行四边形的对边相等列出方程即可求出结论． 【详解】解：当P运动在线段AD上运动时， AP=3t，CQ=t， ∴DP=AD-AP=12-3t， ∵四边形PDCQ是平行四边形， ∴PD=CQ， ∴12-3t=t， ∴t=3秒； 当P运动到AD线段以外时，AP=3t，CQ=t， ∴DP=3t-12， ∵四边形PDCQ是平行四边形， ∴PD=CQ， ∴3t-12=t， ∴t=6秒， 故答案为：3或6 【点睛】此题考查的是平行四边形与动点问题，掌握平行四边形的对应边相等和分类讨论的数学思想是解决此题的关键． 三、解答题（本大题共6小题，共64分） 13. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先分别计算二次根式除法运算、乘法运算，再由二次根式性质化简，最后由二次根式加减运算法则求解即可得到答案； （2）先分别计算算术平方根、去绝对值、零指数幂和负整数指数幂，再由二次根式加减运算求解即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题考查二次根式混合运算，涉及二次根式加减乘除运算、二次根式性质化简、去绝对值、零指数幂、负整数指数幂等知识．熟练掌握二次根式加减乘除混合运算法则是解决问题的关键． 14. 如图，在一条东四走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点A、B，道路因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条道路，已知千米，千米，千米． （1）是否为村庄C到河边最近的道路，请通过计算加以说明； （2）已知新的取水点H与原取水点A相距千米，求新路比原路少多少千米． 【答案】（1） 解：是，说明如下： ∵在中，， 又， 是以为直角的直角三角形， ， ∵点到直线垂线段的长度最短， 是村庄C到河边的最近路． （2）千米 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理验证为直角三角形，进而得到，再根据点到直线的距离垂线段最短即可解答； （2）在中根据勾股定理解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意，得：（千米） 在中，由勾股定理得：（千米）， 比少千米． 【点睛】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解决本题的关键． 15. 如图，已知正方形的对角线相交于点O，E是上一点，连结，过点A作，垂足为M，交于点F． （1）试说明； （2）如图2，若点E在的延长线上，于点M，交的延长线于点F，其它条件不变，则结论“”还成立吗？如果成立，请给出说明理由；如果不成立，请说明理由． 【答案】（1） 解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 解：成立；理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到，再由，可得，从而求证出，即可． （2）根据第一步得到的结果以及正方形的性质得到，再根据已知条件求证出，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 16. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点．连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】 （1）证明： ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，． ∵MN垂直平分BD， ∴ ． 在和中， ， ∴()， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）首先利用矩形的性质和垂直平分线证明，则有，则可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，再根据即可证明结论； （2）根据菱形的性质有，然后设长为，则，在中利用勾股定理即可求解． 【详解】(1)略 (2)解：∵四边形是菱形， ∴． 设长为，则， 在中， 即， 解得： 所以长为． 【点睛】本题主要考查菱形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，掌握菱形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理是解题的关键． 17. 如图，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F是AC上的动点，且不与O点重合． （1）若AE=CF，求证：四边形DEBF是平行四边形； （2）已知BD=12cm，AC=16cm，点E，F均以2cm/s的速度，分别从点A，C出发，向点C，A方向运动．若以D，E，B，F为顶点的四边形是矩形，求点E，F运动时间t的值． 【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD． ∵AE= CF， ∴OE=OF， ∴四边形DEBF是平行四边形； （2）1s或7s 【解析】 【分析】（1）判断四边形DEBF是否为平行四边形，需证明其对角线是否相互平分；已知四边形ABCD是平行四边形，故OB=OD；又因为AE=CF，所以可得OE=OF，即可得出结论； （2）若以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形，则必有BD=EF，可求出时间t的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若以D，E，B，F为顶点的四边形是矩形， 则BD=EF=12， ∴OE=OD=6， 由题意得AO=OC=8， ∴AE=2或AE =14， ∵点E，F的运动速度均为2cm/s， ∴t的值为1s或7s． 【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形、矩形的性质是解答此题的关键． 18. 课本矩形一节，根据矩形的性质得到了定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”． 小聪同学画出了如图①所示的一个特殊的直角三角形，其中为直角，AD为斜边BC上的中线，．它证明上面定理思路如下：延长AD至点E，使，连结BE，再证，从而就可以证明得到； （1）小聪同学还想借助图②，在任意的中，为直角，AD为斜边BC上的中线，证明结论，请你帮助小聪同学完成； （2）如图③，在中，垂足为D，如果，，，求的中线AE的长度． 【答案】（1） 证明：如图②所示：延长AD至点E使DE=AD，连接BE． 在△ACD和△EBD中， ， ∴△ACD≌△EBD． ∴∠C=∠EBD ∴∠C+∠ABC=∠ABC+∠EBD，即∠BAC=∠ABE． 在△ABC和△BAE中， ， ∴△ABC≌△BAE． ∴AE=BC． ∴BC=AE=2AD ∴AD＝BC． （2） 【解析】 【分析】（1）如图②所示：延长AD至点E使DE=AD，连接BE，先证明△ACD≌△EBD，得到∠C=∠EBD，从而可证明∠BAC=∠ABE，然后证明△ABC≌△BAE，从而得到AE=BC，故此BC=AE=2AD，即可得证； （2）根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，根据结论可知ABC的中线AE的长度等于斜边的一半即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵AD⊥BC， ∴∠ADC=∠ADB=90°． ∵CD=1，AD=2，BD=4， ∴根据勾股定理得： ， ， ∴△ABC是直角三角形． ∴AE = 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定的应用、勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，根据△ACD≌△EBD、△ABC≌△BAE是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期八年级数学期中质量检测 班级_____姓名_____ 一、选择题（本大题共8小题，共24分） 1. 下列二次根式化简后能与合并的是（ ） A. B. C. D. 2. 正方形具有而菱形不具有的性质是（ ） A. 四个角都是直角 B. 两组对边分别相等 C. 内角和为 D. 对角线平分对角 3. 在中，的对边分别为a，b，c. ①若，则是直角三角形； ②若，则是直角三角形；且； ③若，则是直角三角形； ④若，则是直角三角形. 以上命题中的假命题个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，平分交于点E，则的长是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，F为DE中点，连结BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（　　） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 4 7. 如图，在菱形ABCD中，，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论：①；②与全等的三角形共有5个；③四边形ODEG与四边形OBAG面积相等；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．其中一定成立的是（ ） A. ①③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④ 8. 如图，已知四边形为正方形，边长为6，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在上，且点D的坐标为，点P是上的一个动点，则的最小值是（ ） A. 6 B. 8 C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共12分） 9. 若式子有意义，则x的取值范围是_______． 10. 我们规定：对于任意的正数、的运算“”为：当时，；当时，，其他运算符号意义不变．按上述规定，计算的结果为________． 11. 如图，把长方形沿直线向上折叠，使点C落在的位置上，交于E，已知，，则的面积为______． 12. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD=12cm．点P从点A出发，以3cm/s的速度在射线AD上运动；同时，点Q从点C出发，以1cm/s的速度在射线CB上运动．运动时间为t，当t=______秒（s）时，点P、Q、C、D构成平行四边形． 三、解答题（本大题共6小题，共64分） 13. 计算 （1）； （2）． 14. 如图，在一条东四走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点A、B，道路因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条道路，已知千米，千米，千米． （1）是否为村庄C到河边最近的道路，请通过计算加以说明； （2）已知新的取水点H与原取水点A相距千米，求新路比原路少多少千米． 15. 如图，已知正方形的对角线相交于点O，E是上一点，连结，过点A作，垂足为M，交于点F． （1）试说明； （2）如图2，若点E在的延长线上，于点M，交的延长线于点F，其它条件不变，则结论“”还成立吗？如果成立，请给出说明理由；如果不成立，请说明理由． 16. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点．连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 17. 如图，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F是AC上的动点，且不与O点重合． （1）若AE=CF，求证：四边形DEBF是平行四边形； （2）已知BD=12cm，AC=16cm，点E，F均以2cm/s的速度，分别从点A，C出发，向点C，A方向运动．若以D，E，B，F为顶点的四边形是矩形，求点E，F运动时间t的值． 18. 课本矩形一节，根据矩形的性质得到了定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”． 小聪同学画出了如图①所示的一个特殊的直角三角形，其中为直角，AD为斜边BC上的中线，．它证明上面定理思路如下：延长AD至点E，使，连结BE，再证，从而就可以证明得到； （1）小聪同学还想借助图②，在任意的中，为直角，AD为斜边BC上的中线，证明结论，请你帮助小聪同学完成； （2）如图③，在中，垂足为D，如果，，，求的中线AE的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $