辽宁省名校联盟2025-2026学年下学期高三5月联考数学试卷

高三.数学试卷 本试卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 r 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上 无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.已知全集U=R,A={x|1og2x<2},则CuA= A.(0,4) B.(-o∞，4) C.[4,+o∞) D.(-o∞，0]U[4,+o∞) 龄 2.已知直线a,b与平面a,B,y,能使a⊥β的充分条件是 A.a⊥y,B⊥Y B.a∩B=a,b⊥a,bCB C.a∥B,aa D.a∥a,a⊥3 3.已知sn(e+)-号，则sn2a= A-是 c.-1 4.某中学数学组来了5名即将毕业的大学生进行教学实习活动，现将他们分配到高一年级的1,2,3 三个班实习，每班至少1名，则不同的分配方案有 A.30种 B.90种 C.150种 D.180种 拟 5.已知随机变量X~N(2,a2),且P(X<-2)=0.1,P(0≤X≤4)=0.5，则P(4<X≤6)= A.0.1 B.0.15 C.0.2 D.0.25 6.设f(n)=3+33+35+3+…+32+1(n∈N*),则f(n)= A.1) Bg(91-1) C.1) n(g-D 数学第1页（共4页）》 7.双曲线号-芳 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以FF2为直径的圆与双曲线的渐近线在 第一象限的交点为M,O为坐标原点，F2N⊥OM,垂足为N,若|MN|=√2，且F2N·F2O=6,则双曲 线的离心率为 A.5 B.√6 C.2 D.2√2 2x1-1|,x∈[0,2)， 8.定义在[0，十∞)上的函数f(x)满足：f(x)= 2fx-2》,xe[2,+eo), 若函数g(x)=f(x)一 a(x十1)有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是 A(位) B(品) [品》 D[2》 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知正实数a,b满足a十b=1,则下列说法正确的是 A.In a<o B.24+2≥2√2 C.√a+√b≤√2 D+号≤3+2E 10.已知复数之1，之2，之在复平面内对应的点分别为A,B,C,且点A,B,C连接后构成三角形，则下列 结论正确的是 A.若复数1，x2,3满足|之1一2|=|之？一2|，则△ABC是一个等腰三角形 B.若复数之满足|之一名|=2|之一2|，则之在复平面内对应的点的轨迹是以AB为直径的圆 C.若复数之满足|之一之|=|之一2|=|之一|，则之在复平面内对应的点为△ABC的内心 D.若复数：满足=十十，则在复平面内对应的点为△ABC的重心 3 1.已知椭圈C号+芳-1(o>6>0),其左右焦点分别为，，离心率为e,过左焦点工的直线与 C交于A,B两点，若点A在x轴上方，且AF,·AF2=0,则下列说法正确的是 A.e) B.S=8(0为坐标原点) C若点A在第-象限，期船>3 D.若E为C的下顶点，则|AE1≥2b 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a,b满足|a=1,|b|=2,a⊥(a十b),则a与b的夹角为 l3.函数f(x)=lnx十a与函数g(x)=x2十b在公共点处切线相同，则b-a= 14.已知在锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a;b,c,cos2A十cos2B=2cos2C,则 tamc(aa+aB) ;若c=1,则△ABC面积的取值范围为 数学第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知数列{an}的前n项和为Sn,满足2an=2十Sn,公差大于零的等差数列{bn}满足b1=a1一1，a2 为b2与bg的等比中项. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)设cn=(一1)"(am十bn),Tn为数列{cn}的前n项和，求To. 16.(15分) 已知函数f(x)=x2+2cosx. (1)证明：f(x)在[0，+∞)上单调递增； (2)设函数g(x)=e(cosx-sinx十2x-2)一af(x)(a∈R),若x=0为g(x)的极小值点，求实 数a的取值范围. 17.(15分) 为了减轻教师阅卷负担，某校在一次考试中尝试采用AI辅助阅卷，从所有试卷中随机抽取60% 由AI批阅，其余40%仍由教师人工批阅.阅卷后，按分层随机抽样的方式，从AI批阅和人工批阅 的试卷中，随机抽取共100份试卷，统计AI批阅试卷的得分情况，得到如下的频率分布直方图. (1)估计AI批阅试卷的平均分元1和方差s(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)； (2)为了保证阅卷的准确性，需要从AI批阅试卷的样本中随机抽取试卷进行人工复批.若抽到试 卷分数低于70分，则复批的概率为80%；若抽到试卷分数在70分到90分之间，则复批的概 率为30%；若抽到试卷分数高于90分，则复批的概率为60%.若某同学试卷被复批，求AI批 阅该同学试卷高于90分的概率； 数学第3页（共4页） (3)已知抽取的100份试卷的平均分为元=78，方差为s2=129,求人工批阅试卷的样本平均分x2 +延，则认 和方差，并判断AI阅卷和人工阅卷的成绩是否有明显差异.（若一≥2√） 为二者有差异，否则不认为有明显差异) 个频率/组距 0.040 0.030 0.010---- 0.005 04 050607080 90100分数/分 18.(17分) 已知抛物线T:x2=2py(p>0)的焦点F到直线l:x一y一4=0的距离为3√2. (1)求抛物线Γ的方程； (2)点A(2√币，2)为抛物线T上的一点，在T上任取一点B(与点A不重合)，直线AB与直线I交 于点C,过点C作x轴的垂线交抛物线T于点D. (i)求证：直线BD恒过定点E,并求出点E的坐标； (i)过点B和D分别作抛物线T的两条切线（和l2,☑和2交于点G,证明：∠BFG=∠DFG 19.(17分) 如图，已知△ABC是边长为4的等边三角形，D,E分别是AB,AC的中点，将△ADE沿着DE翻 折，使点A到点P处，得到四棱锥P-BCED (1)设平面PDE∩平面PBC=l,证明：l∥平面DBCE; (2)当PB⊥PC时，求平面PDE与平面PDB的夹角的余弦值； ()③若点P在平面BCBD的射影在四边形BCED的内部，四棱维PBCED的体积V∈(， 2√2)，求直线AP被四棱锥P-BCED外接球球O截得的弦长L的取值范围. 数学“第4页（共4页）高三 ·数学· 叁春管桌及解折 一、选择题 以wa+6<厄，当且仅当a=b=2时取等，C项正确， 1.D【解析】A=(0,4)→>CuA=(-∞，0]U[4,+∞).故 选D项. 日+名-（日+号）a+0=3+8+28+2,当 b 2.D【解析】α与3位置关系不确定，可有夹角，可平行， 且仅当a=√2-1，b=2-√2时取等，D项错误.故选 A项不合题意；a与B不一定垂直，B项不合题意；a与B ABC项， 可以平行，不一定垂直，C项不合题意；a∥a,则在平面a 10.AD【解析】A项，由x1-|=|-2|,知AB= 内存在直线l∥a,且a⊥B,则l⊥B,又lCa,则a⊥B,D项 BC,故△ABC为等腰三角形，A项正确；B项，设复数之 符合题意.故选D项。 在复平面内对应的点为P,故PA=2PB,A,B两点显 3.A【解折】由sm(e+子）=经，得s如a十cosa=合，则 然不满足，所以点P的轨迹一定不是以AB为直径的 圆，B项错误；C项，设复数之在复平面内对应的点为 (sina十cosa)产=子，且sifa十cosa=1,解得sn2a P,则PA=PB=PC,因此点P为△ABC的外心，C项 -故选A项 错误；D项，设A(x1,少)，B(x2,y2),C(x,y),设复数 4.C【解析】由已知可得5个人分三个班，每班至少1 之在复平面内对应的点为点P,则P(十十飞 3 人，则不同分配方式共有CN+S怎=150种放选 当+业十必），所以点P为△ABC的重心，D项正确. 3 C项. 故选AD项. 5.B【解析】P(4<X≤6)=P(-2≤X<0)=P(X≤2) 11.ACD【解析】A·AF=0→S△A,=tanT= -P(X<-2)-2P(0≤X<4)=0.5-0.1-0.25= ,S,5=合ER,%=G,所以cn=8→n= 0.15.故选B项. 6.B【解折】f0m=3+3+3+…十3a1=91.3 9-1 ≤⊙d-<→e≥名>号≤<1，A项 c 2 =(9t1-1D.故选B项。 正确；SAum>SAug,=S6A,=号，B项错误；若 7.C【解析】由题意M(a,b),|OM=c,F2N⊥OM于 点A在第一象限，则|AF|>|BF1|,设∠AF1F2=0∈ N→|F2N|=b,|ON|=a,所以|MN|=c-a,即c-a (,)则 -1+ecos 0 1+e √2①，F2N.F2δ=6→|F2N2=6→b=6→c2-a2=6 1-ecos 0 AF 1-eFF: ②，由①②知c=22,a=2,则e=。=2.故选C项. 1+AF 8.A【解析】令h(x)=a(x+1),则h(x)恒过定点(-1， 1-AF,由点A在第-象限知a<AR,<a十c→ 2a 0),将f(x)和h(x)的大致图象画在同一直角坐标系， 2a g(x)有3个零点等价于f(x)与h(x)图象有3个交点， 合<4<号+号设=4∈（合号+号） 22a 设A(-1,0),B(2,是)c(4,)由图可知，a∈ 则-告兰-1+名(3，-1+）所以 (a,kc),即a∈（位，）故选A项。 二、选择题 >3,C项正确：由A项知%=生，所以成 9.ABC【解析】由题意可知a∈(0，l),所以lna<0,A 项正确；2+2=2十21-“≥2√22-a=2√2，当且仅 2 当a=时取等，B项正确：号-√≥，所 2 -2+(生+)- ·1 ·数学· 参考答案及解析 (c+b)[a2(c-b)+(c+b)]_(c+b)(a2+B-bc 设等差数列{b.}的公差为d(d>0), 则 b1=a1-1,b1=1, b1=1, (c+b(e+26-bc）,AE12-46= → a2=b2b8 1(1+d)(1+7d)=16d=1, C (c+b0(c2+26-bc2_-4c=b-c)(2b+@≥0，所 (6分) 所以bn=n. (8分) 以|AE≥2b,D项正确.故选ACD项. (2)当n=2k(k=1,2,…)时， 三、填空题 cm-1十cn=(an-am-1)+(bn-bn-1)=2m-1+1,(11分) 12.牙【解析】设a与b的夹角为a,则a…(a+b)=a T0=(G+ca)+(c十c)+…+(c十c0)=21-4) 1-4 +1a1 1cosa=1+2cosa=0,则cosa=-号，则a +10=28+221 3 (13分) 16.(1)证明：f(x)=2x-2sinx(x≥0)，令h(x)=f(x) (x≥0)，则h'(x)=2(1-cosx)≥0， 13.一合1+ln2)【解析】设f()与g()的公共点为 所以h(x)在[0，十o∞)上单调递增， (3分) 所以f(x)≥f(0)=0,所以f(x)在[0，十∞)上单调 （),则在公共点处切线方程为y=子（x一)十 递增。 (5分) lnx十a=2x(x-x)十x号+b,根据两条直线斜率相等 (2)解：g'(x)=e(2x-2sinx)-a(2x-2sinx)=2(x 可解得= 号，6-a=n+6-1=-号1+n2》. -sin x)(e-a), 由(1)知当x≥0时，f(x)≥0，即x-sinx≥0， 14.2 (径，]【獬折】cas2A十os2B=2aos2C,由= 又x∈R,且f(-x)=一f(x),所以f(x)为奇函数， 其图象关于(0,0)对称， 倍角公式得sinA十sinB=2sinC,由正弦定理得a2 所以当x<0时，f(x)<0,即x一sinx<0.(7分) 2.tan C( sin C cos A tan B/ ①若a≤0，则e-a>0,所以当x<0时，g'(x)<0,当 cos C\sin A x≥0时，g'(x)≥0， cos B sin C sin Bcos A+cos Bsin A sin B cos C sin Asin B 所以g(x)在(-∞，0)上单调递减，在[0，+∞)上单调 sin Csin(A+B) sin2C c2 递增，所以x=0为g(x)的极小值点. (9分) cos Csin Asin B cos Csin Asin B abcos C ②若0<a<1,当lna<x<0时，g'(x)<0, 2十安2二2.若c1…则a3+02,由余弦定 当x≥0时，g(x)≥0， 2 2 所以g(x)在(lna,0)上单调递减，在[0，+∞)上单调 理知cosC=a2+B-c2-1 2a6-2ab,又SaMc=号 2 absin C= 递增， 所以x=0为g(x)的极小值点. (11分) 台bv1-owc=咖V=号vi0 ③若a=1,则x-sinx与e一a同号，所以g'(x)≥0， 所以g(x)在（一∞，十∞）上单调递增，无极值点，不合 -冬√厂4@-1)+3，又因为△ABC是锐角三角 题意 (13分) 形，则有/+c> 解得}a2<<3a2,且a2+ ④若a>1,当x<0时，g'(x)>0,当0≤x<lna时， 1c2+>a2 g'(x)≤0， 22,所以号<a<是，放5ae∈(，]， 所以g(x)在（一o,0)上单调递增，在[0，lna)上单调 递减， 四、解答题 所以x=0为函数g(x)的极大值点，不合题意. 15.解：(1)当n≥2时，Sn=2am-2,Sa-1=2aa-1-2, 综上，实数a的取值范围为(-∞，1). (15分) 所以an=Sn-Sa-1=2an-2aa-1→an=2am-1,（2分) 17.解：(1)由频率分布直方图可得，90~100分的频率/组 当n=1时，a1=S→a1=2≠0， 所以am=2”. (4分) 距为六×[1-10×(0.005+0.010+0.030+0.040)] ·2· 高三 ·数学· =0.015, (1分) m证明：对y一g2求导，得y-冬x,所以直线4 所以平均分元1=55×0.005×10十65×0.010×10+75 ×0.030×10+85×0.040×10+95×0.015×10=80, 的斜率为2七1，所以直线1：y-8号=2五(x一8t1), 即y=2t1x-8t,同理l2:y=2t2x一8t号， (3分) 联立得G(4(t十t2),8t1t2). (13分) 方差s=(55-80)2×0.005×10+(65-80)2×0.010 又因为F(0,2), ×10+(75-80)2×0.030×10+(85-80)2×0.040× 则FG.FB=4(h+2)·861十(862-2)·(8片-2) 10+(95-80)2×0.015×10=105. (5分) =16t号+16t1t2+64t号t2+4 (2)设“该同学得分低于70分”为事件A1,“该同学得 =(4tt2十1)(4+16号)， (15分) 分在70分到90分之间”为事件A2,“该同学得分高于 90分”为事件Ag,“该同学试卷被复批”为事件B. 所以花， FBI =2(4tt2+1), 由频率分布直方图得P(A1)=0.15,P(A2)=0.7, FG.FD=2(4a十1)， P(A3)=0.15, 同理 所求概率为P(A|B) 所以cos∠BFG=cos∠DFG, P(BIA3)P(As) 所以∠BFG=∠DFG. (17分) -P(BIA)P(A)+P(BA:)P(A:)+P(BIA)P(A) 19.(1)证明：因为AD=DB,AE-EC,所以DE∥BC, 0.6×0.15 0.8×0.15+0.3×0.7+0.6×0.15-14 (9分) 又DE中平面PBC,所以DE∥平面PBC. 又平面PDE∩平面PBC=l,DEC平面PDE,所以 (3)x=0.6元1十0.4元2=78，解得元2=75， (11分) DE∥L,l￠平面DBCE,所以l∥平面DBCE.(4分) s2=0.6[s7+(元1-)2]+0.4[s+(元2-x)2]=129, (2)解：取BC中点N,连AN∩DE=M,则M为DE的 解得s3=150, (13分) 中点，在平面APN内，过M作M2⊥AN, 所以医-1=5<2于-2Y,放不认为N 等边△ABC中，BN=NC→AN⊥BC,又DE∥BC,所 3 以AN⊥DE,所以AM⊥DE,MP⊥DE, 阅卷和人工阅卷的成绩有明显差异， (15分) 所以DE⊥平面APN,又MxC平面APN,所以 18.(1)解：因为(0，号)到直线1：x一y4=0的距离为 DE⊥Mz,又Me⊥平面ABC,所以Mx,AN,DE两两 垂直，以M为坐标原点，直线MN,ME,Mz分别为x, y,之轴，建立如图所示的空间直角坐标系， -=3√2， (2分) √2 所以p=4,所以抛物线T的方程为x2=8y. (3分) (2)(i)解：易知A(4,2),设B(8t,8t),D(8t2,8), 直线AB:y-2-(+2)(x-0, 即y=(4+2)x-h, (5分) 与y=x-4联立得0=8-1 设∠AMP=(0<0<π)， 2t1-1, A(-√3,0,0)，N(W3,0,0),E(0,1,0),D(0,-1,0), 直线BD:y-8好=(h1十t2)(x-81), B(√3，-2,0)，C(w3,2,0),P(-√3cos0,0,W3sin0), 即直线BD的方程为y=(i十t2)x一8tit2, (5分) 又效-8%二，即=会号即26=+) 则PB=(W3+√5cosa,-2,-√3sin0),PC=(√5+ V3cos0,2,-3sin0),则Pi⊥Pt曰Pi.P元=0→ 1, (7分) 所以直线BD:y=(2tt2+1)x一8t1t2,即2t1t2(x一4) 9=-号m0=29,所以P(停0,2），所以 +(x-y)=0, 令/4=0, x=4, -(停，1,2)，i=5,-1.0),D成=(0,2， 即 ，所以恒过E(4,4). (10分) x-y=0, y=4, 0) (6分) ·3· ·数学· 参考答案及解析 设平面PDB的法向量为n1=(x,y,z), ·啦9++2 （222）→血c(停2）)>mc(-日，-）， 则 2g=0令y=5,得m- 在等腰梯形DECB中，B=号，BC=4,DE=2,ND= m·DB=√3x-y=0, NB=NE=NC=2→N为等腰梯形DECB外接圆圆 (1w3,-√2). (8分) 设平面PDE的法向量为n2=(x1,y,),则 心，设球O的半径为R,球心O(W,0,h), m·Di-+n+25 则R2=Op2=OB→3h=1+3os0, sin 0 (14分) 3=0, 令1=1，得2= m2·DE=2y=0, 又因为PA=W3cos0-√3,0，-V3sin0),Pi=W3cos日 (-22,0,1). (10分) +√3,0，h-√3sin0), 所以cos(n,2》=一3/2-- √6×3 3 所以吃-D或ò-l6An8L-lL+8csg IPAI √6-6cos0 25m号 所以平面PDB与平面PDE夹角的余客值为汽。 (16分) (11分) (3)解：因为点P在平面BCED内的射影在四边形 BCED内部，所以xp>0,9E(受小， 因为-<1-2号<-→9<n9<号， V=号×2×4×4Xsm吾×是×，5sin0=3sin0e 所以L∈(0，号) (17分) ·4 高三数学多维度细目表 学科素养 能力要求 预估难度 数 接受、 分析 逻 数 吸收、 问题 探 题号 题型 分值 考查的内容及知识点 数学抽 直观 运算 辑 和解 学建 整合 决数 究 数 数学 学问 能 次 数 理 象 据 信息的 能力 题的 力 分 能力 析 1 选择题 5 集合运算 低 0.85 3 选择题 5 逻辑，空间线面位置关系 低 0.85 3 选择题 5 三角恒等变换 低 0.85 4 选择题 5 排列组合 低0.85 选择题 5 正态分布 低 0.85 6 选择题 数列性质 中 0.65 > 选择题 双曲线几何性质 中 0.65 8 选择题 5 函数零点问题 中 0.65 9 选择题 6 不等式 低 0.85 10 选择题 6 复数几何意义 名 0.65 11 选择题 椭圆几何性质 √ 高 0.4 12 填空题 5 向量计算 √ √ 低 0.85 13 填空题 5 导数几何意义 √ 中 0.65 14 填空题 5 解三角形 高 0.4 15解答题 数列性质，数列求和 中0.65 16解答题 15 利用导数研究函数性质 中0.65 17解答题 15单一变量统计问题 中 0.65 18解答题 17 抛物线几何性质 高 0.4 19解答题 17 空间向量解立体几何 高0.4 1.注重情境创设：在命题过程中，充分挖掘生活中的数学素材，将实际问题抽象为数学模型，引导学生运用所 学数学知识进行分析、求解，培养学生的数学建模能力和应用意识 2.强化思维能力考查：设置了一些需要学生进行逻辑推理、归纳论证的试题，如通过数列的递推关系推导通 项公式等，考查学生的逻辑思维能力和演绎推理能力， 题 3.体现知识的网络化：部分试题强调不同知识模块之间的联系，如将三角函数与数列相结合，将三角与导数 报 相结合等.通过这些综合性试题，考查学生对知识的整体把握和综合运用能力，引导学生构建完整的知识网 告 络，提高学生的数学素养. 4.重视数学思想方法的渗透：在命题过程中，注重对数学思想方法的考查，如函数与方程思想、数形结合思 想、分类讨论思想，转化与化归思想等.通过具体的试题，让学生在解题过程中体会和运用这些思想方法，提 高学生分析问题和解决问题的能力.