第5章 分式与分式方程 单元练习试题 2025--2026学年北师大版八年级数学下册

第5章分式与分式方程单元练习试题 姓名 班级 得分 一．选择题（每题3分，共30分） 1．在中，是分式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．要使分式有意义，x应满足的条件是（　　） A．x＞3 B．x＝3 C．x＜3 D．x≠3 3．若分式的值为0，则x的值是（　　） A．x＝﹣2 B．x＝2 C．x＝0 D．x≠﹣2 4．若分式中，x、y都扩大为原来的3倍，则该分式的值（　　） A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来的 C．扩大到原来的9倍 D．不变 5．下列方程中是分式方程的是（　　） A． B．2x＝5﹣x C．x2+1＝0 D． 6．若关于x的不等式组有解，且关于y的分式方程的解为非负数，那么满足条件的所有整数a的值之和为（　　） A．6 B．10 C．11 D．15 7．若关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A．m＝﹣1 B．m＝1 C．m＝3 D．m＝﹣1或m＝3 8．用换元法解方程，若设y＝x+1，则原方程可化为（　　） A．y2+2y﹣1＝0 B．y2﹣2y+1＝0 C．y2+y﹣2＝0 D．y2﹣y+2＝0 9．为落实“每日一节体育课”的倡议，九年级一班拟购置一批羽毛球拍，预算总额设定为1200元．已知W品牌每副球拍的单价比Y品牌便宜20元，如果全部购买W品牌，可比全部购买Y品牌多买3副．设Y品牌每副单价为x元，则根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 10．下列约分正确的是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题） 11．请任意写出一个分式：　 　 ． 12．若分式有意义，则x的取值范围是　 　 ． 13．对于实数a，b，定义一种新运算：a△b，等式右边是实数运算．例如：1△3，则方程x△（﹣3）1的解是　 　 ． 14．若分式的值为0，则x＝　 　 ． 15．．括号内填　 　 ． 16．随着中国网民规模突破10亿、博物馆美育不断向线上拓展．敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使“伽瑶”，受到广大敦煌文化爱好者的好评．某工厂计划制作3000个“伽瑶”玩偶摆件，为了尽快完成任务，　 　 ，结果提前5天完成任务．问原计划平均每天制作多少个摆件？ 根据下面的解题过程，上面横线处空缺的条件应是 　 　 ． 解设原计划平均每天制作x个，根据题意，得 三．解答题（共8小题） 17．约分：（1）； （2）． 18．解方程：（1）； （2）． 19．一文具店销售甲乙两种笔记本，其中甲笔记本单价是乙笔记本单价的1.25倍，当两种笔记本的销售额均为600元时，甲笔记本的销售量比乙笔记本少10个． （1）求甲、乙两种笔记本的单价； （2）在一次活动中某班准备购买这两种笔记本共20本，且购买乙笔记本的费用不超过120元，总费用不超过280元，求购买这两种笔记本有多少种方案，并判断哪种方案总的花费最少． 20．庐阳中学七（11）班数学兴趣小组在学习完七下实数内容后，研究了“当正整数n（n＞1）满足何种条件时，可以化为有限小数”的问题． 请您帮助七（11）班的同学完成下面研究过程： （1）尝试探索：分别计算符合条件情况下的，n不同取值时，的结果．完成填空． n（n＞1） 2 0.5 4 0.25 10 0.1 20 0.05 ①　 　 250 0.004 2500 0.0004 （2）大胆猜想： 当且仅当n的质因数仅含　 　 和　 　 时，可以化为有限小数． （3）归纳： 如果n的质因数仅含2和5，设n＝2α5β（α，β是非负整数，且不同为0） ①当α≥β≥0时，　 　 是一个有限小数； ②当β＞α≥0时，　 　 也是一个有限小数． 反过来，如果可以化为有限小数0．a1a2a3⋯ak，那么，n的质因数仅含2和5．（如，可以理解成25×4＝102＝22×52） 阅读以上内容，请填写七（11）班数学兴趣小组探究内容中所缺序号内容． 21．【阅读材料】如果三个实数a、b、k使得关于x的分式方程的解和分式方程的解互为倒数，那么我们称实数对{a，b}是该组方程的一对“k级和谐系数”．例如：取a＝3，b＝4，k＝5代入分式方程得方程；的解为，而分式方程的解为x＝3，所以{3，4}是该组方程的一对“5级和谐系数”；又如：取a＝1，b＝2，，分式方程得方程：的解为，而分式方程的解为，所以{1，2}是该组方程的一对“级和谐系数”． 【解决问题】 （1）下列实数对是关于x的分式方程和分式方程的“10级和谐系数”的有　 　 （填序号）； ①{2，8} ②{6，8} ③{6，4} （2）若实数对{m+2，m﹣2}是关于x的分式方程和分式方程的“6级和谐系数”，求m的值； （3）若整数对{n，n+6}是关于x的分式方程和分式方程的“k级和谐系数”，且满足k2+24n﹣10＝2P2﹣126（P为整数）求整数n的值． 22．请阅读如下材料，并解决问题： 材料1：定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如若：，则和都是“和谐分式”． 材料2：对于部分非和谐分式，可以转化为几个和谐分式的和．解：设，将等式右边通分，得，依据题意，得，解得，所以． （1）①分式是　 　 （填“和谐分式”或“非和谐分式”）； ②已知，则M＝　 　 ，N＝　 　 ； （2）如果分式的值为整数，求满足条件的整数x的值； （3）如果，，请用含有a和b的式子表示n2﹣n． 23．2025年春晚舞台上，宇树人形机器人表演扭秧歌，吸引了大量的关注，并带动整个人形机器人行业的畅销，某公司推出了A、B两款人形机器人在网上进行预约销售，每件B款人形机器人的售价比每件A款人形机器人的售价少10%，根据网上预约的情况，该公司售出的这两款人形机器人的销售额都为900万元时，B款人形机器人比A款人形机器人多售出5件． （1）求该公司每件A款、B款人形机器人在网上的售价分别是多少万元？ （2）若该公司在网上进行预约销售了A、B两款人形机器人共25件，且总销售额不低于470万元，则最少预约销售了A款人形机器人多少件？ 24．列方程解应用题： 某校在商场购进A、B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花30元． （1）问购买一个A品牌、一个B品牌的篮球各需多少元？ （2）该校决定再次购进A、B两种品牌篮球共60个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了10%，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3640元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？ 第5章分式与分式方程单元练习试题 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．在中，是分式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：分式有：、、，共3个， 故选：C． 2．要使分式有意义，x应满足的条件是（　　） A．x＞3 B．x＝3 C．x＜3 D．x≠3 【解答】解：要使分式有意义，只须x﹣3≠0，即x≠3， 故选：D． 3．若分式的值为0，则x的值是（　　） A．x＝﹣2 B．x＝2 C．x＝0 D．x≠﹣2 【解答】解：由题意可得x﹣2＝0且x+2≠0， 解得x＝2． 故选：B． 4．若分式中，x、y都扩大为原来的3倍，则该分式的值（　　） A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来的 C．扩大到原来的9倍 D．不变 【解答】解：， ∴分式 中，x、y都扩大为原来的3倍，则该分式的值扩大到原来的3倍， 故选：A． 5．下列方程中是分式方程的是（　　） A． B．2x＝5﹣x C．x2+1＝0 D． 【解答】解：分母中含有未知数的方程叫做分式方程， 由分式方程的定义可知，四个选项中，只有D选项中的方程是分式方程， 故选：D． 6．若关于x的不等式组有解，且关于y的分式方程的解为非负数，那么满足条件的所有整数a的值之和为（　　） A．6 B．10 C．11 D．15 【解答】解：不等式组整理得：， ∵关于x的不等式组有解， ∴a﹣1＜3，即a＜4， 解分式方程得y， ∵关于y的分式方程的解为非负数， ∴，且2， 解得，a≥1，且a≠4 ∴1≤a＜4， ∵a为整数， ∴a＝1或2或3， ∴满足条件的所有整数a的值之和：1+2+3＝6． 故选：A． 7．若关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A．m＝﹣1 B．m＝1 C．m＝3 D．m＝﹣1或m＝3 【解答】解：方程两边同时乘（x﹣3），得2＝2（x﹣3）+x+m， 去括号，得2＝2x﹣6+x+m， 整理，得3x＝8﹣m， ∵分式方程有增根， ∴x﹣3＝0， ∴x＝3， ∴3×3＝8﹣m， ∴9＝8﹣m， 解得：m＝﹣1． 故选：A． 8．用换元法解方程，若设y＝x+1，则原方程可化为（　　） A．y2+2y﹣1＝0 B．y2﹣2y+1＝0 C．y2+y﹣2＝0 D．y2﹣y+2＝0 【解答】解：设y＝x+1，则， 代入原方程得：y2+y﹣2＝0． 故选：C． 9．为落实“每日一节体育课”的倡议，九年级一班拟购置一批羽毛球拍，预算总额设定为1200元．已知W品牌每副球拍的单价比Y品牌便宜20元，如果全部购买W品牌，可比全部购买Y品牌多买3副．设Y品牌每副单价为x元，则根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设Y品牌每副单价为x元，则W品牌每副单价为（x﹣20）元， 由题意得：3， 故选：A． 10．下列约分正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、原式＝1，原变形错误，不符合题意； B、原式，原变形正确，符合题意； C、原式，原变形错误，不符合题意； D、原式不能进行约分，变形错误，不符合题意． 故选：B． 二．填空题（共6小题） 11．请任意写出一个分式：　（答案不唯一）　 ． 【解答】解：任意写出一个分式：， 故答案为：（答案不唯一）． 12．若分式有意义，则x的取值范围是x≠2　 ． 【解答】解：若分式有意义， 则x﹣2≠0， 解得x≠2， 故答案为：x≠2． 13．对于实数a，b，定义一种新运算：a△b，等式右边是实数运算．例如：1△3，则方程x△（﹣3）1的解是x＝6　 ． 【解答】解：x△（﹣3）1， ， ， 方程两边同乘x﹣9，得1＝﹣2﹣（x﹣9）， 解得x＝6， 检验：当x＝6时，x﹣9≠0， 所以分式方程的解是x＝6， 故答案为：x＝6． 14．若分式的值为0，则x＝　﹣3　 ． 【解答】解：根据题意可知，， ∴x＝﹣3． 故答案为：﹣3． 15．．括号内填　2b ． 【解答】解：根据题意可知，． 故答案为：2b． 16．随着中国网民规模突破10亿、博物馆美育不断向线上拓展．敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使“伽瑶”，受到广大敦煌文化爱好者的好评．某工厂计划制作3000个“伽瑶”玩偶摆件，为了尽快完成任务，　实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍　 ，结果提前5天完成任务．问原计划平均每天制作多少个摆件？ 根据下面的解题过程，上面横线处空缺的条件应是 　实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍　 ． 解设原计划平均每天制作x个，根据题意，得 【解答】解：设原计划平均每天制作x个摆件，由知，横线处空缺的条件应是实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍， 故答案为：实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍． 三．解答题（共8小题） 17．约分： （1）； （2）． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 18．解方程： （1）； （2）． 【解答】解：（1）方程两边同时乘x（x﹣2），得3x＝2（x﹣2）， 去括号，得3x＝2x﹣4， 移项、合并同类项，得x＝﹣4， 检验：把x＝﹣4代入x（x﹣2）≠0， ∴分式方程的解为x＝﹣4； （2）方程两边同时乘（x﹣3），得1+3（x﹣3）＝﹣（x﹣4）， 去括号，得1+3x﹣9＝﹣x+4， 移项、合并同类项，得4x＝12， 解得：x＝3， 把x＝3代入x﹣3＝0， ∴x＝3是分式方程的增根， ∴分式方程无解． 19．一文具店销售甲乙两种笔记本，其中甲笔记本单价是乙笔记本单价的1.25倍，当两种笔记本的销售额均为600元时，甲笔记本的销售量比乙笔记本少10个． （1）求甲、乙两种笔记本的单价； （2）在一次活动中某班准备购买这两种笔记本共20本，且购买乙笔记本的费用不超过120元，总费用不超过280元，求购买这两种笔记本有多少种方案，并判断哪种方案总的花费最少． 【解答】解：（1）设乙笔记本的单价为x元，则甲笔记本的单价为1.25x元， ∵当两种笔记本的销售额均为600元时，甲笔记本的销售量比乙笔记本少10个， ∴， 解得x＝12， 经检验，x＝12是原方程的解，且符合题意， ∴1.25x＝1.25×12＝15， ∴甲笔记本单价为15元，乙笔记本单价为12元； （2）设购买乙笔记本m本，则购买甲笔记本（20﹣m）本， 根据题意得：， 解得6m≤10， ∵m为非负整数， ∴m可取7，8，9，10，共4种取值，即共有4种购买方案； 设总费用为W元，则W＝12m+15（20﹣m）＝300﹣3m， ∵﹣3＜0， ∴W随m的增大而减小，当m＝10时，W取得最小值，此时20﹣m＝10， ∴共有4种购买方案，购买甲笔记本10本，乙笔记本10本时总的花费最少． 20．庐阳中学七（11）班数学兴趣小组在学习完七下实数内容后，研究了“当正整数n（n＞1）满足何种条件时，可以化为有限小数”的问题． 请您帮助七（11）班的同学完成下面研究过程： （1）尝试探索：分别计算符合条件情况下的，n不同取值时，的结果．完成填空． n（n＞1） 2 0.5 4 0.25 10 0.1 20 0.05 ①　）　 250 0.004 2500 0.0004 （2）大胆猜想： 当且仅当的n的质因数仅含　2　 和　5　 时，可以化为有限小数． （3）归纳： 如果n的质因数仅含2和5，设n＝2α5β（α，β是非负整数，且不同为0） ①当α≥β≥0时，　　 是一个有限小数； ②当β＞α≥0时，　　 也是一个有限小数． 反过来，如果可以化为有限小数0．a1a2a3⋯ak，那么，n的质因数仅含2和5．（如，可以理解成25×4＝102＝22×52） 阅读以上内容，请填写七（11）班数学兴趣小组探究内容中所缺序号内容． 【解答】解：（1）由题意可得：， 故答案为：， （2）当且仅当n的质因数仅含2和 5时，可以化为有限小数． 故答案为：2，5； （3）归纳： 如果n的质因数仅含2和5，设n＝2α5β（α，β是非负整数，且不同为0） ①当α≥β≥0时，是一个有限小数； ②当β＞α≥0时，也是一个有限小数． 反过来，如果可以化为有限小数0．a1a2a3⋯ak，那么，n的质因数仅含2和5．（如，可以理解成25×4＝102＝22×52） 故答案为：，． 21．【阅读材料】如果三个实数a、b、k使得关于x的分式方程的解和分式方程的解互为倒数，那么我们称实数对{a，b}是该组方程的一对“k级和谐系数”．例如：取a＝3，b＝4，k＝5代入分式方程得方程；的解为，而分式方程的解为x＝3，所以{3，4}是该组方程的一对“5级和谐系数”；又如：取a＝1，b＝2，，分式方程得方程：的解为，而分式方程的解为，所以{1，2}是该组方程的一对“级和谐系数”． 【解决问题】 （1）下列实数对是关于x的分式方程和分式方程的“10级和谐系数”的有　②　 （填序号）； ①{2，8} ②{6，8} ③{6，4} （2）若实数对{m+2，m﹣2}是关于x的分式方程和分式方程的“6级和谐系数”，求m的值； （3）若整数对{n，n+6}是关于x的分式方程和分式方程的“k级和谐系数”，且满足k2+24n﹣10＝2P2﹣126（P为整数）求整数n的值． 【解答】解：（1）解方程得，解方程得， ∴， ∴a2＝k2﹣b2，即a2+b2＝k2， ∵k＝10， ∴a2+b2＝102＝100， ①∵22+82＝4+64＝68≠100， ∴{2，8}不是“10级和谐系数”； ②∵62+82＝36+64＝100， ∴{6，8}是“10级和谐系数”； ③∵62+42＝36+16＝52≠100， ∴{6，4}不是“10级和谐系数”； 故答案为：②； （2）由条件可知（m+2）2+（m﹣2）2＝62， 解得或； （3）整数对{n，n+6}是关于x的分式方程和分式方程的“k级和谐系数”，， ∴n2+（n+6）2＝k2， ∴k2＝2n2+12n+36， 由条件可知2n2+12n+36+24n﹣10＝2P2﹣126， ∴n2+18n+76＝P2， ∴（n+9）2＝P2+5， ∴（n+9）2﹣P2＝5， ∴（n+9+P）（n+9﹣P）＝5， ∵5的整数因数对为（1，5），（﹣1，﹣5），（﹣5，﹣1），（5，1）， ∴分为以下四种情况讨论： ①，解得； ②，解得； ③，解得； ④，解得， 综上，整数n的值为﹣12或﹣6． 22．请阅读如下材料，并解决问题： 材料1：定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如若：，则和都是“和谐分式”． 材料2：对于部分非和谐分式，可以转化为几个和谐分式的和．解：设，将等式右边通分，得，依据题意，得，解得，所以． （1）①分式是　“非和谐分式”　 （填“和谐分式”或“非和谐分式”）； ②已知，则M＝　3　 ，N＝　﹣1　 ； （2）如果分式的值为整数，求满足条件的整数x的值； （3）如果，，请用含有a和b的式子表示n2﹣n． 【解答】解：（1）①，不是一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式， ∴分式是“非和谐分式”， 故答案为：“非和谐分式”； ②∵， ∴M+N＝2，3M+2N＝7， 解得M＝3，N＝﹣1； 故答案为：3，﹣1；（2）x+1， ∵分式的值是整数， ∴x+4＝1或x+4＝﹣1或x+4＝3或x+4＝﹣3， 解得x＝﹣3或﹣5或﹣1或﹣7； （3）∵， ∴a， ∴， ∵， ∴b， ∴b， ∴n2﹣n． 23．2025年春晚舞台上，宇树人形机器人表演扭秧歌，吸引了大量的关注，并带动整个人形机器人行业的畅销，某公司推出了A、B两款人形机器人在网上进行预约销售，每件B款人形机器人的售价比每件A款人形机器人的售价少10%，根据网上预约的情况，该公司售出的这两款人形机器人的销售额都为900万元时，B款人形机器人比A款人形机器人多售出5件． （1）求该公司每件A款、B款人形机器人在网上的售价分别是多少万元？ （2）若该公司在网上进行预约销售了A、B两款人形机器人共25件，且总销售额不低于470万元，则最少预约销售了A款人形机器人多少件？ 【解答】解：（1）设每件A款人形机器人的售价为x万元， ， 解得 x＝20， 检验：当x＝20时，（1﹣10%）x＝0.9×20＝18≠0，所以x＝20是原分式方程的解， 则（1﹣10%）x＝0.9×20＝18， 答：每件A款人形机器人售价为20万元，每件B款人形机器人售价为18万元； （2）设预约销售A款人形机器人m件，则预约销售B款人形机器人（25﹣m）件，根据题意得 20m+18（25﹣m）≥470， 解得m≥10， 答：最少预约销售了A款人形机器人10件． 24．列方程解应用题： 某校在商场购进A、B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花30元． （1）问购买一个A品牌、一个B品牌的篮球各需多少元？ （2）该校决定再次购进A、B两种品牌篮球共60个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了10%，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3640元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？ 【解答】解：（1）设购买一个A品牌的篮球需x元，则购买一个B品牌的篮球需（x+30）元， 则根据题意列分式方程可得，， 整理得，1500x＝75000， 解得x＝50， 经检验，x＝50是原方程的解， x+30＝80（元）， 答：购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元； （2）设该校可购买m个B品牌篮球，则购买A品牌的篮球（60﹣m）个， 则可得，50（60﹣m）×（1+10%）+80m×90%≤3640， 整理得，22m≤440， 解得m≤20， 答：该校此次最多可购买20个B品牌篮球． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/8 9:43:37；用户：张文玉；邮箱：18150859082；学号：47368668 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $