专题07 统计与概率（3大考点）（陕西专用）2026年中考数学一模分类汇编

**基本信息** 本试卷为初中数学统计与概率专题汇编，精选122道陕西地区模拟题，以航天科技、非遗文化、环保教育等真实情境为载体，全面考查数据整理分析与概率计算能力，适配一模复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |统计综合题|61题|扇形/条形图分析、平均数/中位数/众数计算、用样本估计总体|结合“航天知识竞赛”“AI工具使用时长”等情境，如第31题以“两会知识问答”考查频数分布表与平均数| |概率计算题|61题|列表法/树状图求概率（含放回与不放回抽样）|融入“生肖卡片”“古诗词朗诵”等文化元素，如第2题“非遗体验项目”随机抽取问题，体现生活应用|

专题07 统计与概率 3大考点概览 考点01统计图表综合计算 考点02统计图表综合决策 考点03列表法、树状图求概率 统计图表综合计算 考点01 1．（2026·陕西榆林·一模）2026年央视马年春晚的舞台上，歌咏创意秀《贺花神》融合了动态舞美与传统非遗的国风盛宴，将“十二月花神”的东方浪漫具象化．某校举办了创意作品大赛，现从参赛的作品中随机抽取部分作品的成绩（百分制，单位：分）进行了整理、描述和分析，得到了下列不完整的统计表和统计图： 所抽取作品的成绩频数分布表 组别 作品成绩（分） 频数 组内总成绩（分） 第1组 114 第2组 6 378 第3组 746 第4组 14 1217 第5组 8 765 所抽取作品的成绩扇形统计图 根据统计图表提供的信息，解答下列问题： (1)本次抽取的作品有___________个，所抽取作品成绩的中位数位于第___________组； (2)求所抽取作品成绩的平均数； (3)若参加此次大赛的作品共有1000个，请你估计成绩不低于90分的作品数． 【答案】(1)40，4 (2)所抽取作品成绩的平均数为分 (3)估计成绩不低于90分的作品数是200个 【分析】（1）利用部分数据和占比求出总数，然后根据中位数定义求解； （2）根据平均数公式进行求解； （3）根据样本频数预估总体频数． 【详解】（1）解：本次抽取的作品数为（个）； ，， ∵该组数据共40个数据， ∴中位数为第20位数和21位数的平均数， ∵第20位数和21位数位于第4组， ∴中位数位于第4组； 故答案为：40，4； （2）解：（分）， 所抽取作品成绩的平均数为分； （3）解：（个）， 估计成绩不低于90分的作品数是200个． 2．（2026·陕西咸阳·一模）《算经十书》是汉唐十部算经的总集，是为中国传统数学奠基时期的总结，对中国和东方数学影响深远．某校开展了《算经十书》知识竞赛，每个学生作答10道题，每题10分，赛后发现所有学生知识竞赛成绩不低于70分．为了更好地了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从所有学生答题成绩中随机抽取部分学生答题成绩作为样本进行整理，绘制条形统计图（不完整）和扇形统计图如下： 所抽取的学生成绩条形统计图                所抽取的学生成绩扇形统计图 请根据以上信息，解答下列问题： (1)补全条形统计图，所抽取的学生总数为______名，所抽取学生竞赛成绩的众数为______分； (2)求所抽取学生竞赛成绩的平均数； (3)已知该校共有800名学生，请估计该校竞赛成绩不低于90分的学生有多少名？ 【答案】(1)见解析；50；80 (2)分 (3)272名 【分析】（1）用成绩为70分的学生人数除以其人数占比可求出参与调查的人数，则可求出成绩为80分的人数，再补全统计图，最后根据众数的定义求出众数即可； （2）根据平均数的定义求解即可； （3）用800乘以样本中该校竞赛成绩不低于90分的学生人数占比即可． 【详解】（1）解：名， ∴所抽取的学生总数为50名， ∴成绩为80分的有名， 补全统计图如下： ∵成绩为80分的人数最多， ∴所抽取学生竞赛成绩的众数为80分； （2）解：分， 答：所抽取学生竞赛成绩的平均数为分； （3）解：名， 答：估计该校竞赛成绩不低于90分的学生有272名． 3．（2026·陕西·一模）三月春风暖人心，雷锋精神伴我行．为传承和弘扬新时代雷锋精神，某校开展了“学习雷锋精神，志愿做义工活动”，活动结束后学校随机调查了部分学生参加义工活动的时间，并用得到的数据绘制了如图所示不完整的统计图． 根据图中信息解答下列问题： (1)补全条形统计图，所抽取学生参加义工活动时间的中位数为___________、众数为___________； (2)求所抽取学生参加义工活动时间的平均数； (3)若该校共有名学生参加此次活动，请根据样本数据，估计该校学生参加义工活动时间是的学生人数． 【答案】(1)图见解析；； (2)所抽取学生参加义工活动时间的平均数为 (3)该校学生参加义工活动时间是的学生人数约为人 【分析】（1）根据两个统计图可得参加义工活动的学生数为人，占比，从而算出样本总数，再算出参加义工活动的学生数，补全条形统计图，再根据中位数和众数的定义进行计算即可； （2）根据加权平均数的计算公式进行计算即可； （3）计算出参加义工活动时间是的学生在样本中的占比，再估算全校参加义工活动时间是的学生人数． 【详解】（1）解：由统计图可知，参加义工活动的学生数为人，占比， ∴抽取的学生总数为（人）， ∴参加义工活动的学生数为（人）， 补全条形统计图如图所示， 由条形统计图可知，这组数的第个数和第个数都是， ∴中位数为， 参加义工活动的学生有人，人数最多， ∴众数为； （2）解：平均数为， ∴所抽取学生参加义工活动时间的平均数为； （3）解：人）， 答：该校学生参加义工活动时间是的学生人数约为人． 4．（2026·陕西渭南·一模）五四青年节是为了继承和发扬“五四”运动以来中国青年光荣的革命传统而设立的节日．在五四青年节来临之际，某校开展了以“新时代五四爱国主义精神”为主题的作文比赛，比赛结束后随机抽取了30名学生的比赛成绩，对比赛成绩（单位：分，满分10分，成绩均大于等于6分，且为整数）进行整理与分析，并绘制了如下不完整的条形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)补全条形统计图，所抽取学生比赛成绩的中位数是______分，众数是______分； (2)求所抽取学生比赛成绩的平均数； (3)已知该校一共有1200名学生参加了本次比赛，请估计比赛成绩在9分及9分以上的学生人数． 【答案】(1)见解析；8；9 (2)分 (3)560名 【分析】（1）先求出得分为8分的人数，再补全统计图，最后根据中位数和众数的定义求解即可； （2）根据平均数的定义求解即可； （3）用1200乘以样本中比赛成绩在9分及9分以上的学生人数占比即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，成绩为8分的人数为名， 补全统计图如下： 把这30名学生的比赛成绩按照从低到高的顺序排列，第15个数据为8分，第16个数据为8分，故中位数为分， ∵得分为9分的人数最多， ∴众数为9分； （2）解：分， 答：所抽取学生比赛成绩的平均数为分； （3）解：名， 答：估计比赛成绩在9分及9分以上的学生人数为560名． 5．（2026·陕西咸阳·一模）2026年政府工作报告明确提出，要培育发展具身智能、脑机接口等未来产业．其中，人形机器人作为典型代表，正从“会表演”加速向“能干活”的实用阶段迈进．某校举行了以人形机器人为主题的知识竞赛，每人5道题，已知参加竞赛的每位学生至少答对1道题，校团委随机抽查了50名学生答对题数的情况，绘制出如下尚不完整的统计图．根据图中提供的信息，解决下列问题： (1)补全条形统计图，填空：所抽取学生答对题数的中位数为______道，所抽取学生答对题数的众数为______道； (2)求所抽取学生答对题数的平均数； (3)学校决定对本次竞赛答对5道题的学生进行奖励，若该校共有800名学生参加此次知识竞赛，请你估计获得奖励的学生人数． 【答案】(1)见解析，3.5，4 (2)所抽取学生答对题数的平均数为道； (3)估计获得奖励的学生人数为160名． 【分析】（1）先求得答对5道题的人数，即可补全条形统计图；根据中位数和众数的定义求解即可； （2）根据平均数的计算方法求解即可； （3）利用样本估计总体即可求解． 【详解】（1）解：， 补全条形统计图如下： 所抽取学生答对题数的中位数为道，所抽取学生答对题数的众数为4道； （2）解：（道）， ∴所抽取学生答对题数的平均数为道； （3）解：（名）， ∴估计获得奖励的学生人数为160名． 6．（2026·陕西西安·一模）为了学生的身心健康，落实五育并举，注重全面发展，某校将课间从10分钟增加到15分钟，让学生身上有汗，眼里有光．经调查发现，篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳等体育活动深受学生们的喜爱．利用课间时间对七年级学生进行1分钟跳绳测试，以下是某次测试成绩的抽样与数据分析过程． 【收集数据】随机抽取若干名学生的测试成绩 【整理数据】将抽取的成绩进行整理，用x表示1分钟的跳绳个数，分成四组：A组，B组，C组，D组． 【描述数据】根据抽取的成绩，绘制出如下不完整的统计表和统计图． 分钟跳绳个数的频数分布表： 组别 个数/个 频数 A 5 B a C ※ D 6 请根据以上信息解答下列问题： (1)本次调查的样本容量为______，频数分布表中a的值为______； (2)本次调查数据的中位数落在______组内，其所在扇形的圆心角的大小为______； (3)若1分钟跳绳次数大于140为良好，该校七年级有800名学生，估计该校七年级学生1分钟跳绳次数为良好的人数． 【答案】(1)，； (2)，； (3)估计该校七年级学生1分钟跳绳次数为良好的人数约为360人. 【分析】本题考查了频数分布表、扇形统计图、中位数的定义以及用样本估计总体的知识，解题的关键是读懂统计图，从不同的统计图中获取所需信息，再结合相关公式进行计算. （1）由扇形统计图中组的占比和频数可求出样本容量，再根据各组频数之和等于样本容量求出的值； （2）根据中位数的定义确定中位数所在组，再根据组的占比求出对应扇形的圆心角度数； （3）利用样本估计总体的方法，用总人数乘以“良好”（ 组）的占比即可得到结果. 【详解】（1）解：∵组的频数为6，占比为， ∴本次调查的样本容量为：； 组的频数为：， ∴； 故答案为：，； （2）将40个数据从小到大排列，中位数是第20、21个数据的平均数. 组频数为5，组频数为17，前两组频数和为， ∴第20、21个数据都落在组内，即中位数落在组； 组的占比为：， 其所在扇形的圆心角为：； 故答案为：，； （3）样本中1分钟跳绳次数大于140的为、组，占比为：， ∴估计该校七年级800名学生中，跳绳次数为良好的人数为：（人）. 答：估计该校七年级学生1分钟跳绳次数为良好的人数约为360人. 7．（2026·陕西榆林·一模）为提升学生逻辑思维和信息素养，感受科技与数学融合魅力，学校组织八、九年级学生开展“AI赋能数学，创意点亮智慧”微视频制作竞赛．老师从八、九两个年级的参赛学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（满分分，且成绩均是整数，用表示）进行整理，分为、、、四个等级，其中分及以上为优秀． 【信息整理】信息： 等级 成绩 信息：八年级名学生的成绩分别是：，，，，，，，，，． 九年级名学生成绩不完整的条形统计图如下：（其中在组中的数据是：，，） 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 / 九年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)补全图中的条形统计图，表中________，________； (2)求八年级这名学生的平均成绩； (3)若参加此次竞赛的八年级学生有人，九年级学生有人，估计竞赛成绩为优秀的学生有多少人？ 【答案】(1)见解析，， (2)平均成绩为分 (3)估计竞赛成绩为优秀的学生有人 【分析】本题考查了条形统计图、平均数、中位数、众数以及用样本估计总体的知识，熟练掌握相关统计量的定义与计算方法，读懂统计图并从中提取有效信息是解答本题的关键． （1）根据众数的定义，找出八年级成绩中出现次数最多的数确定的值；结合九年级的条形统计图和组数据，先补全条形统计图，再根据中位数的定义计算出九年级成绩的中位数，确定的值； （2）根据平均数的计算公式，将八年级名学生的成绩求和后除以人数，计算出平均成绩； （3）先分别计算出八、九年级样本中优秀学生的比例，再结合各年级的总人数，用样本估计总体的方法估算出两个年级的优秀学生总数． 【详解】（1）解：如图，八年级中分数为的学生最多，故，九年级中分数在中间的为，故； （2）解：（分）， 答：八年级这名学生的平均成绩为分； （3）解：（人）， 答：估计竞赛成绩为优秀的学生有人． 8．（2026·陕西渭南·一模）2026年国际乒联单打世界杯于2026年3月30日至4月5日举行．某校也举办了以“展活力·扬国球风采”为主题的乒乓球友谊赛活动，为了了解参加此次活动的学生成绩（单位：分）情况，随机抽取了40名学生的成绩，并绘制了如下不完整的统计表与统计图： 组别 成绩x/分 频数 组内总成绩/分 A 4 224 B m 536 C 12 900 D 10 863 E 6 577 其中C组的成绩为71，71，72，74，74，74，75，75，77，78，79，80． 根据以上信息，解答下列问题： (1)表中________，所抽取学生成绩的中位数是________分，并补全频数分布直方图； (2)求所抽取学生成绩的平均数； (3)若此次参加乒乓球友谊赛的学生共有600名，请你估计成绩高于80分的学生人数． 【答案】(1)8；76；如图； (2) (3) 【分析】本题考查频数分布直方图、统计表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确统计图的特点和中位数的含义，利用数形结合的思想解答． （1）根据，计算可求解，根据40名同学成绩中位数为第20和第21位，在C组，求得中位数的值，再根据计算画出图像即可； （2）根据计算平均的方法计算即可求解； （3）样本估计总体即可求解． 【详解】（1）解：①， 根据40名同学成绩中位数为第20和第21位，在C组， 所以中位数为： ， 补全频数分布直方图，如图： （2）解： 答：所抽取学生成绩的平均数是分； （3）解：（人） 答：成绩高于80分的学生人数是人． 9．（2026·陕西咸阳·一模）3月1日，新版《环境空气质量标准》正式实施，调高“好空气”的“标尺”，我国大气污染防治步入更严要求、更高标准的新阶段．某校为了解学生对《环境空气质量标准》内容的知晓情况，对全校学生进行了问卷调查（共10小题，每题1分），并随机抽取了50名学生的得分（均不低于6分），将调查结果绘制成如下不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)补全条形统计图，所抽取学生问卷调查得分的中位数是___________分，众数是___________分； (2)求所抽取学生问卷调查得分的平均数； (3)若该校共有900名学生，请你估计此次问卷调查得分为满分的学生人数． 【答案】(1)见解析，8，8 (2)8.44分 (3)180名 【分析】（1）求出得分为7分的人数，补全条形图，根据中位数和众数的计算方法进行求解即可； （2）利用加权平均数的计算方法进行计算即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可. 【详解】（1）解：得分为7分的人数为； 补全条形统计图如图所示． 将数据排序后第25和第26个数据均为8，故中位数为8； 出现次数最多的数据为8，故众数为8； （2）解：（分）， 答：所抽取学生问卷调查得分的平均数是8.44分． （3）解：（名）， 答：估计此次问卷调查得分为满分的学生人数为180名． 10．（2026·陕西宝鸡·一模）宝鸡市是华夏始祖炎帝的诞生地，也是周秦王朝的发祥地，历史悠久，文化底蕴丰厚．为了让同学们更好地了解宝鸡市的历史文化，某中学举行了“周秦故里・文脉传承”历史文化知识竞赛，从参赛学生中随机抽取部分学生，将他们的竞赛成绩（单位：分）进行整理，并绘制成如下统计图表，其中C组10名同学的成绩依次为：71，74，75，75，76，76，76，78，79，80． 组别 成绩分 组内总成绩/分 A 450 B 640 C 760 D 1200 750 请你根据以上信息，解答下列问题： (1)所抽取学生竞赛成绩的中位数为___________分； (2)求所抽取学生竞赛成绩的平均数； (3)若本次共有500名学生参加竞赛，请你估计竞赛成绩高于80分的学生有多少名？ 【答案】(1)77 (2)76 (3)220 【分析】（1）利用中位数的定义进行求解； （2）利用平均数的公式进行求解； （3）利用样本频数估计总体频数即可． 【详解】（1）解：本次抽查的人数为（人）， ∴中位数为第25位和第26位数的平均数， ∴中位数为； （2）解：平均数为； （3）解：（人）． 11．（2026·陕西宝鸡·一模）（新情境）某书法协会的创意节目《墨韵》以人工智能演绎传统水墨画为核心亮点，收获广泛关注．演出结束后，李老师用科学的抽样方法随机抽取部分现场观众给节目评分，收集到评分（满分10分，且评分均是不低于6分的整数）后，李老师将这些数据进行整理，绘制如下统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)现场观众评分的中位数为________分；并将条形统计图补充完整； (2)求这批现场观众的评分的平均数； (3)若此次演出现场观众3200人均给节目评分，则估计评分是9分及以上有多少人？ 【答案】(1)8；见解析 (2)分 (3)人 【分析】（1）用评分为7分的人数除以其人数占比可得到参与评分的观众数，根据中位数的定义求出中位数，再求出评分为9分的人数，最后补全统计图即可； （2）根据平均数的定义求解即可； （3）用3200乘以样本中评分是9分及以上的人数占比即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，参与评分的观众人数为人， 把这60人的评分按照从低到高的顺序排列，第30个数据为8分，第31个数据为8分， ∴现场观众评分的中位数为分； 评分为9分的人数为人， 补全统计图如下： （2）解：分， 答：这批现场观众的评分的平均数为分； （3）解：人， 答：估计评分是9分及以上有人． 12．（2026·陕西汉中·一模）（新情境）年月日，竹基倾转旋翼无人机首飞成功，标志着我国在竹基复合材料航空应用领域取得重大突破．某无人机研发团队从性能相近的款无人机中随机抽取款，对其在恶劣环境下的飞行稳定性进行评分，并将评分结果（单位：分）整理成如下统计图： 请你根据统计图中的信息，解答下列问题： (1)所抽取无人机在恶劣环境下的飞行稳定性评分的众数为_____分，中位数为_____分； (2)求所抽取无人机在恶劣环境下的飞行稳定性评分的平均数； (3)请你估计这款无人机在恶劣环境下的飞行稳定性评分达到分的有多少款？ 【答案】(1)； (2)分 (3)款 【分析】（1）根据众数、中位数的定义，结合条形统计图即可得答案； （2）根据平均数的计算公式计算即可； （3）用乘以飞行稳定性评分达到分的款数占抽取总数的百分比即可得答案． 【详解】（1）解：∵飞行稳定性评分为分的款数为款，款数最多， ∴飞行稳定性评分的众数为分， ∵随机抽取款无人机， ∴中位数为从小到大排列的第、两个数据的平均数， ∵第、两个数据为分、分， ∴中位数为（分）． （2）解：（分）， 答所抽取无人机在恶劣环境下的飞行稳定性评分的平均数为分． （3）解：∵在随机抽取的款无人机中，飞行稳定性评分达到分的有款， ∴这款无人机在恶劣环境下的飞行稳定性评分达到分的有（款）． 13．（2026·陕西宝鸡·一模）（新情境）在科技飞速发展的当下，人工智能（）已从昔日的科幻概念转变为现实生活中的得力助手，推动着世界格局的深刻变革．某校组织电脑技能竞赛，竞赛结束后从八、九年级各随机抽取相同人数的成绩（每题1分，共10分，成绩均不低于7分），分A，B，C，D四个等级，这四个等级对应的成绩依次为10分，9分，8分，7分．将抽取的八年级和九年级的成绩绘制成统计图如下： 根据以上信息，解答下列问题： (1)各年级抽取的学生人数是______名，抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数是______分，九年级学生竞赛成绩的众数是______分； (2)求抽取的八年级学生竞赛成绩的平均数； (3)若八年级共有800名学生参加此次竞赛，九年级共有600名学生参加此次竞赛，请你估计两个年级竞赛成绩为10分的学生总人数． 【答案】(1)20，9，10 (2)分 (3)470名 【分析】（1）根据条形统计图可求得八年级抽取的学生数即可；根据中位数和众数的定义分别确定八年级的中位数和九年级的众数； （2）根据平均数的定义列式计算即可； （3）分别求得八、九两个年级超过10分的学生数并求和即可． 【详解】（1）解：八年级抽取的学生数为，由八、九年级各随机抽取相同人数，则各年级抽取的学生人数是20名； 将八年级学生的竞赛成绩从高到低排列，中位数是第十位和第十一位的平均数，由条形统计图可知，第十位和第十一位都是9分，即中位数为9分． 由扇形统计图可知：九年级竞赛成绩等级为A的人数最多，即众数为10分． （2）解：（分）． 答：抽取的八年级学生竞赛成绩的平均数是分． （3）解：（名）． 答：估计两个年级竞赛成绩为10分的学生总人数是470名． 14．（2026·陕西西安·一模）年月日“中国航天日”的主题是“海上生明月，九天揽星河”，这是自年以来的第十个“中国航天日”．为了弘扬航天精神，某校开展了航天知识竞答活动，学校随机抽取了部分学生的成绩进行整理，将成绩（单位：分）分成五组：A．；B．；C．；D．；E．．下面给出部分信息： a：C组的数据为：，，，，，，，，，，， b：绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)请补全频数分布直方图； (2)在扇形统计图中，A组所在扇形的圆心角度数是______；随机抽取的这部分学生的成绩的中位数是______分； (3)该校要对成绩在E组的学生进行奖励，按成绩从高到低设一、二等奖，并且一、二等奖的人数比例为，请估计该校名学生中获得一等奖的学生人数． 【答案】(1)图见解析 (2)；分 (3)该校名学生中获得一等奖的学生人数约为48人 【分析】（1）求出被调查学生的总数，利用总数乘其所占比值即可求出该组人数，补全频数分布直方图即可； （2）利用圆的度数乘其占比即可求出圆心角度数，利用中位数概念即可求解； （3）利用总数乘其占比即可求解． 【详解】（1）解：该次抽样调查抽取总人数为（人）， B组人数为：（人）， 补全频数分布直方图如下： （2）解：A组所在扇形的圆心角度数为； 该组中位数取其排序后的第位和位的平均数，该两数在C组， 所以，中位数为（分）； 故答案为：；分； （3）解：该校名学生中获得一等奖的学生人数为， （人）， 答：该校名学生中获得一等奖的学生人数约为48人． 15．（2026·陕西渭南·一模）十四届全国人大四次会议和全国政协十四届四次会议分别于3月5日和3月4日在北京开幕．某校举办了“两会知多少”知识问答比赛，为了解学生的答题情况，随机抽取了50名学生的比赛成绩（单位：分，满分：100分），根据调查结果绘制成如下不完整的统计图表： 抽取的50名学生的知识问答比赛成绩频数分布表 组别 比赛成绩x/分 频数 组内总成绩/分 A 5 280 B 10 640 C m 1400 D n 920 E 6 560 根据以上信息，解答下列问题： (1)上表中：________，________；本次调查知识问答比赛成绩的中位数落在________组内； (2)求这50名学生知识问答比赛成绩的平均数； (3)若该校共有900名学生参加本次知识问答比赛，请你估计成绩不低于80分的学生人数． 【答案】(1)，，中位数落在组 (2)分 (3)人 【分析】（1）根据总抽取人数为，扇形图中C组占比，即可求出，再用总人数减去其余几组人数即可求出，再根据中位数的定义即可求解． （2）根据平均数的定义求解即可． （3）利用样本估计总体的思想计算即可． 【详解】（1）解：总抽取人数为，由扇形图得C组占比， ∴， ∴， 个数据的中位数是第25、26个数据的平均数，A组频数，组频数累计，组频数累计， 因此第25、26个数据都落在C组，即中位数落在组． （2）解：总成绩：， 平均数分， 答：这50名学生成绩的平均数为分． （3）解：样本中成绩不低于80分的是D、E组，频数和为， 因此估计总体900人中，不低于80分的人数为： 人， 答：估计成绩不低于80分的学生人数为人． 16．（2026·陕西汉中·一模）《典籍里的中国》是一档由中央广播电视总台推出的文化类电视节目，节目通过时空对话的创新形式，讲述典籍在五千年历史长河中的源起、流转．某校开展了“典籍知识闯关赛”，赛后学校随机抽取了部分学生的比赛成绩（设为x，均为整数，且满分100分）进行统计，并按照成绩从低到高分成：A．，B．，C．，D．，E．五个等级，绘制了如图所示不完整的统计图： 其中C等级的分数由低到高分别为：70，70，72，72，74，74，74，75，76，76，77，79． 根据以上信息，解答下列问题： (1)此次活动共抽取了 名学生的成绩，并补全频数分布直方图； (2)本次被抽取的所有成绩的中位数为 分，D组扇形所对应圆心角的度数是 °； (3)若该校共有1500名学生参加此次比赛，成绩不低于80分为优秀，请你估计成绩优秀的学生人数． 【答案】(1)50，见解析 (2)78，108 (3)720人 【分析】（1）用E组人数除以E组所占的百分比即可求得抽取学生数，根据C等级学生成绩可确定C等级人数，再求出B等级人数，最后补全条形统计图即可； （2）根据中位数的定义可求得中位数，用D组所占的比例乘以即可求得D组扇形所对应圆心角的度数； （3）用共有学生数乘以D、E两组所占的比例即可解答． 【详解】（1）解：此次活动共抽取学生数为：名； ∵C等级的分数由低到高分别为：70，70，72，72，74，74，74，75，76，76，77，79， ∴C等级的人数为12， ∴D等级的人数为：， ． （2）解：∵抽取学生数为50人， ∴中位数为数据从小到大排列后的第25和26位数的平均数，即C等级最后两位数的平均数， ∴中位数为， ∴D组扇形所对应圆心角的度数是． （3）解：． 答：估计成绩优秀的学生人数为720人． 17．（2026·陕西西安·一模）（新情境）年是“十五五”开局之年，做好“三农”工作至关重要．为让学生深入了解我国农业相关情况，某校开展了农业知识科普活动，有“农业政策知多少”知识竞赛和“农业科技大讲堂”观后感这两个项目，每个项目都有一个得分，竞赛和观后感的得分按的比例确定个人总分．活动后随机抽取了名学生的个人总分（满分分，成绩用表示，单位：分），将个人总分分成五组（．；．；．；．；．），并绘制成如图所示不完整的频数分布直方图． 根据以上信息，回答下列问题： (1)补全频数分布直方图，所抽取学生个人总分的中位数落在____________组； (2)所抽取学生中，明明和天天各个项目的得分如表（单位：分）： 学生 项目 竞赛 观后感 明明 天天 将个人总分从高到低排列，请通过计算判断明明和天天谁的排名更靠前； (3)若有名学生参加此次活动，请估计个人总分在分及以上的学生人数． 【答案】(1)图见解析，（或） (2)天天的排名更靠前． (3)估计个人总分在分及以上的学生人数有名． 【分析】本题考查了频数分布直方图的补全、中位数的计算、加权平均数的应用以及用样本估计总体的统计知识，熟练掌握相关统计概念与计算方法是解答本题的关键． （1）先根据总人数，结合已知各组频数，计算出缺失组的频数，补全频数分布直方图；再根据中位数的定义，确定第、个数据所在的组，从而得到中位数所在的组； （2）根据竞赛和观后感的权重比，利用加权平均数公式分别计算明明和天天的个人总分，比较大小后判断排名； （3）先计算样本中个人总分在分及以上的学生人数占比，再用总人数乘以该占比，估计总体中对应分数段的学生人数． 【详解】（1）解：补全频数分布直方图如图： （或） （2）解：明明的个人总分为（分）， 天天的个人总分为（分）． ， 天天的排名更靠前． （3）解：（名）． 估计个人总分在分及以上的学生人数有名． 18．（2026·陕西咸阳·一模）（新情境）2026年3月14日是第七个国际数学日，主题是“数学与希望”，旨在强调数学在社会发展中的积极作用．某校在当天开展了趣味数学知识大赛活动，并在比赛结束后从成绩（满分100分，均不低于60分，单位：分）中随机抽取部分成绩，整理后绘制了如下统计图．其中A组有20个成绩，从低到高分别为90，90，91，92，93，93，94，94，95，95，95，96，96，96，96，96，97，97，98，99． 根据以上信息，解答下列问题： (1)A组20个成绩的平均数为______分． (2)本次抽取的所有成绩的个数为______，本次被抽取的A组成绩的中位数为______． (3)学校决定给本次比赛成绩90分及以上的学生发放奖章，该校共有400名学生参加比赛，请估计本次比赛获得奖章的人数． 【答案】(1) (2)50；95 (3)160 【分析】（1）直接利用平均数公式计算即可； （2）由A组人数除以其百分比即可得到总数据的个数，再利用中位数的含义求解中位数即可； （3）由总人数乘以本次竞赛成绩90分及以上的学生的百分比即可得到答案． 【详解】（1）解：A组20个成绩的平均数为： ； （2）解：∵， ∴本次被抽取的所有成绩的个数为， A组20个成绩的中位数为分； （3）解：学校决定给本次比赛成绩90分及以上的学生发放奖章，该校共有400名学生参加比赛，请估计本次比赛获得奖章的人数为（人）． 19．（2026·陕西商洛·一模）（新情境）2026年3月19日，蓝箭航天朱雀二号（）火箭圆满完成复飞任务，标志着我国商业航天迈入常态化发射、规模化运营新阶段．为了解全校学生对我国航天事业的关注情况，宁宁同学随机抽取了该校部分同学，调查了他们每周观看我国航天事业相关视频的时长（单位：分钟），并将调查结果绘制成如下两幅统计图． 请你根据统计图中的信息，解答下列问题： (1)本次调查的学生每周观看我国航天事业相关视频的时长的众数为___________分钟，中位数为___________分钟，扇形统计图中的值为___________； (2)求本次调查的学生每周观看我国航天事业相关视频的时长的平均数； (3)若该校共有名学生，请你估计该校每周观看我国航天事业相关视频的时长为分钟的学生共有多少名？ 【答案】(1)；； (2)分钟 (3)名 【分析】（1）根据众数和中位数的定义直接求解；用观看时长为分钟的人数除以样本的总人数乘以即可得解； （2）根据平均数的定义直接求解； （3）用总人数乘以样本中观看视频时长为分钟的人数所占比例即可． 【详解】（1）解：观看时长为分钟有名，人数最多， 众数为分钟， 总共抽查了名，第名和名的时长均为分钟， 中位数为分钟，； （2）解：本次调查的学生每周观看我国航天事业相关视频的时长的平均数为：（分钟）； （3）解：（名）； 估计该校每周观看我国航天事业相关视频的时长为分钟的学生共有名． 20．（2026·陕西·一模）为响应“健康中国”战略，落实“健康第一”理念．很多学校的课间活动时间已从传统的10分钟普遍延长至15分钟，并鼓励学生每天进行锻炼．为了解九年级学生的锻炼时间，张老师从九年级学生中随机抽取了部分学生，统计其上周的锻炼时间，并对统计的数据进行整理，绘制了如下的统计图表：其中组（）学生上周的锻炼时间为：10，11，11，11，13，14，14． 分组 锻炼时间 频数 组内平均数/ 3 3 7 12 4 17 根据以上信息，解答下列问题： (1)一共调查了_________名学生，表中_________，调查的学生中，上周锻炼时间的中位数是_________； (2)求调查的这些学生上周锻炼时间的平均数； (3)若该校九年级有380名学生，请估计九年级上周锻炼时间超过10小时的有多少人？ 【答案】(1)20；6； (2)小时 (3)209人 【分析】(1)根据频数与频率的关系求总数和a；根据中位数定义，取第10、11个数据的平均数． (2)根据平均数的定义进行计算即可； (3)根据样本估计总体，用样本中超过10小时的比例乘总人数求解即可． 【详解】（1）解：∵C组频数为7，占比， ∴总人数为（人） ∵B组占比， ∴； ∵总共有20个数据，中位数为第10个和第11个数据的平均数，A组有3人，B组有6人，前两组累计人． ∴第10、11个数据都在C组中，且C组数据按从小到大排列为：10，11，11，11，13，14，14． ∴第10个数据是10，第11个数据是11． 则中位数为． （2）解：； 答：这些学生上周锻炼时间的平均数为小时． （3）解：∵锻炼时间超过10小时的为C组和D组，频数和为， ∴样本中超过10小时的比例为， 依题意，得 （人）． 答：估计九年级上周锻炼时间超过10小时的有209人． 21．（2026·陕西咸阳·一模）（新情境）2026年4月23日是第31个世界读书日，习近平总书记也在多个场合强调过读书的重要性．某校在世界读书日来临前在全校学生中开展了“大阅读”活动，并制定了“大阅读”等级评选方案，每周评选一次，为了解活动开展情况，学校组织对全校“大阅读”等级评选工作进行抽样调查，随机抽取了20名学生的“大阅读”积分x（分值为整数）情况并进行分析． 【收集数据】抽取的20名学生的“大阅读”积分（单位：分）： 10，12，17，21，24，25，28，30，32，32，33，35，35，35，38，40，42，42，46，47． 【整理数据】 积分/分 等级 A B C D 频数 3 5 4 总积分 39 128 280 177 (1)填空：______；抽取的20名学生的“大阅读”积分的中位数为______分； (2)求抽取的这20名学生的“大阅读”积分的平均数； (3)已知该校共有1600名学生，请你估计全校“大阅读”积分高于30分的学生有多少名？ 【答案】(1)8；32.5 (2)31.2分 (3)960名 【分析】（1）由样本数据和中位数定义直接得出答案； （2）根据平均数的定义求解即可； （3）先算出样本中积分高于30分的学生占比，再用全校总人数乘以该占比． 【详解】（1）解：由样本数据得：的有8人， ， 20个数据从小到大排列中间两个数是32和33， 故抽取的20名学生的“大阅读”积分的中位数为（分）； （2）解：平均数（分）， 答：抽取的这20名学生的“大阅读”积分的平均数为31.2分； （3）解：（名）， 答：估计全校“大阅读”积分高于30分的学生有960名． 22．（2026·陕西西安·一模）为了解某校九年级学生立定跳远水平，随机抽取该年级50名学生进行测试，并把测试成绩（单位：）绘制成如下不完整的频数分布表和频数分布直方图． 学生立定跳远测试成绩的频数分布表 分组 频数 12 10 请根据图表中所提供的信息，回答下列问题： (1)请把频数分布直方图补充完整，并填空：__________，__________． (2)样本成绩的中位数落在__________范围内． (3)该校九年级共有800名学生，试估计该年级学生立定跳远成绩在范围内的学生人数． 【答案】(1)8；20；图见解析 (2) (3)估计该年级学生立定跳远成绩在范围内的学生有160人 【分析】（1）根据题意和统计图可以求得a、b的值，即可补全频数分布直方图； （2）根据中位数的定义即可解答； （3）用样本中成绩在人数的比例乘以，即可解答． 【详解】（1）解：由统计图可得，，， 补全的频数分布直方图如图所示． （2）解：， 样本成绩的中位数落在：； （3）解：（人）． 答：估计该年级学生立定跳远成绩在范围内的学生有160人． 23．（2026·陕西西安·一模）为了解某市人口年龄结构情况，对该市的人口数据进行随机抽样分析，绘制了如下尚不完整的统计图、表： 人口年龄结构统计表 类别 A B C D 年龄（岁） 人口（万人） 4.7 11.6 2.7 根据以上信息解答下列问题： (1)本次抽样调查，共调查了__________万人； (2)请计算统计表中的值及扇形统计图中“”对应的圆心角度数； (3)该市现有人口约1200万人，请根据此次抽查结果，试估计该市现有60岁及60岁以上的人口数量． 【答案】(1)20 (2)1， (3)222万人 【分析】读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）用B类的人数除以所占百分比即可求出被调查的总人数； （2）用总人数减去A，B，D类的人数即可求出m的值，再用C类人数除以总人数得到的百分比乘以即可得到结论； （3）首先计算出样本中60岁及60岁以上的人口数量所占百分比，再乘以1200万即可得到结论． 【详解】（1）解：根据图表提供的信息可知本次抽样调查，共调查了（万人）； （2） 解：（万人）； ∴m的值为1； ∴， ∴扇形统计图中“C”对应的圆心角度数为； （3）解：该市现有60岁及60岁以上的人口数为（万人）, ∴估计该市现有60岁及60岁以上的人口数量为222万人． 24．（2026·陕西西安·一模）为丰富同学们的校园生活，检验日常学习成果，某校在学期中开展了学科素养达标测试．测试结束后，教务处从全校学生的测试成绩（单位：分，满分100分，均不低于60分）中用分层抽样的方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图． 其中D组共有10个成绩，从高到低分别为：69，68，66，65，65，65，64，63，61，60．根据以上信息，解答下列问题： (1)D组10个成绩的平均数为________；众数为________； (2)本次被抽取的所有成绩的个数为________，扇形统计图中，B组对应扇形的圆心角为________； (3)若测试成绩不低于80分为优秀，估计该校3000名学生中成绩优秀的人数是多少？ 【答案】(1)分，65分； (2) (3)人． 【分析】（1）根据平均数和众数的定义进行解答即可； （2）根据D组数据的个数及其百分比即可求出被抽取的所有成绩的个数，用乘以B组的百分比即可求出B组对应扇形的圆心角； （3）利用样本估计总体的思想列式计算即可． 【详解】（1）解：， ∴D组10个成绩的平均数为分， D组10个成绩中出现次数最多的是65分， 即众数为65分； （2）由题意可得，本次被抽取的所有成绩的个数为：， 扇形统计图中，B组对应扇形的圆心角为：； （3）由题意可得，（人） 答：估计该校3000名学生中成绩优秀的人数是人． 25．（2026·陕西西安·一模）某学校为了更好地开展阳光体育运动，组织八年级学生进行体育测试（百分制），从中随机抽取了部分学生的成绩（成绩用x表示，单位：分），并对数据（成绩）进行整理，数据分为五组，下面给出了部分信息： 抽取的学生体育测试成绩统计表和不完整的扇形统计图如下： 组别 成绩/分 人数（频数） A 1 B 5 C m D 16 E 20 请根据以上信息完成下列问题： (1)随机抽取的学生人数为______人，统计表中的______； (2)求扇形统计图中E组所对应扇形的圆心角度数； (3)若该校八年级共有1200名学生参加了此次体育测试，请你估计该校八年级参加此次体育测试成绩达到60分及以上的学生人数． 【答案】(1)，8 (2) (3) 【分析】本题考查频数分布表，扇形统计图，利用样本估计总体等； （1）用B组人数除以所占百分比即为所求，m等于总人数减去其它各组的人数； （2）E组人数占总人数的比例乘以360度即为对应的圆心角的度数； （3）利用样本估计总体即可求解． 【详解】（1）解：（人）， 即随机抽取的学生人数为50人； ， 故答案为：，8； （2）解：扇形统计图中E组所对应扇形的圆心角为：； （3）解：（人）， 估计该校八年级参加此次体育测试成绩达到60分及以上的学生人数为人． 26．（2026·陕西西安·一模）2025年9月3日，中国举行了举世瞩目的“九三大阅兵”活动，其规模体现了国家强大军事力量．看完阅兵后，某校开展了“读红色经典，传承奋斗精神”为主题的读书活动，学校对本校学生12月份阅读该主题相关书籍的读书量（以下简称：读书量）进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取的学生的读书量（单位：本）进行了统计．根据调查结果，绘制了不完整的统计表和扇形统计图． 读书量 1本 2本 3本 4本 5本 人数 10 25 30 15 (1)本次调查共抽取学生____________名，表中的值为____________，扇形统计图中“3本”所在扇形圆心角的度数为____________； (2)求本次调查所抽取学生这个月的平均读书量； (3)已知该校有1000名学生，请估计该校学生中，该月读书量不少于“4本”的学生人数． 【答案】(1)100；20； (2)该样本中平均每人的读书量为本 (3)读书量不少于“4本”的学生人数为350名． 【分析】本题考查了扇形统计图的综合运用以及用样本估计总体，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）由2本人数及其所占百分比可得总人数；用总人数分别减去其它读书量人数即可得出a的值；用乘“3本”所占百分比即可得出扇形统计图中“3本”部分所对应的圆心角的度数； （2）根据求平均数的公式求解即可； （3）总人数乘以样本中“读书量”不少于“4本”的学生人数所占百分比即可． 【详解】（1）解：由统计表和扇形统计图可得，读2本的有25人，占总人数的， ∴抽样调查的学生总数为（人）， 本次调查共抽取学生100人． ∴（人）， ； 故答案为：100；20；； （2）解：（本） 该样本中平均每人的读书量为本． （3）解：（名）， 估计该校学生中，该月读书量不少于“4本”的学生人数为350名． 27．（2026·陕西西安·一模）为了解曲江二中九年级男生在体能测试中引体向上项目的情况，随机抽查了部分男生引体向上项目的测试成绩，绘制如图统计图，请根据相关信息，解答下列问题： (1)本次随机抽样调查的男生人数为___________，图①中的值为___________，中位数为___________； (2)求本次调查获取的样本数据的平均数； (3)若规定引体向上6次及以上为该项目良好，根据样本数据，估计我校九年级560名男生中该项目良好的人数． 【答案】(1)40，25，6 (2)本次调查获取的样本数据的平均数为次； (3)该校九年级560名男生中该项目良好的人数大约为308人． 【分析】本题考查中位数、平均数以及样本估计总体，理解平均数、中位数的意义，掌握平均数、中位数的计算方法是解决问题的前提． （1）将各组数据求和即可得到调查的男生人数，根据频率进行计算即可求出的值，再根据中位数的定义即可解答； （2）根据平均数的定义进行解答即可； （3）求出样本中“良好”所占的百分比，估计总体的百分比，进而求出“良好”的人数． 【详解】（1）解：（名）， 则本次随机抽样调查的男生人数为； ，即； 将这40名男生引体向上的次数从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数是，因此中位数是6； 故答案为：40，25，6； （2）解：（次） 答：本次调查获取的样本数据的平均数为次； （3）解：（人）， 答：该校九年级560名男生中该项目良好的人数大约为308人． 统计图表综合决策 考点02 1．（2026·陕西宝鸡·一模）某校在八、九年级举行了“人文地理知识”测试比赛（百分制），并从八、九年级各随机抽取了10名学生的测试成绩，将测试成绩（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．）整理、描述和分析，绘制成如下所示的统计图表： 八、九年级抽取的学生测试成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 92 93 b 37 九年级 92 c 100 39.4 其中八年级10名学生的成绩：96，80，96，86，99，96，90，100，89，88． 九年级10名学生在C组中的成绩：94，90，92． 根据以上信息，解答下列问题： (1)由统计表可估计这次比赛中______年级学生的测试成绩更稳定． (2)直接写出图表中a，b，c的值：a=______，b=______，c=______ (3)该校九年级共800人参加了此次测试比赛，估计参加此次测试比赛成绩优秀（）的九年级学生人数． 【答案】(1)八 (2)40；96；93 (3)560人 【分析】（1）直接根据方差的意义解答即可； （2）根据众数、中位数的概念可求，再计算得到九年级D组人数，得到占比，进而可求； （3）利用样本估计总体，把800乘以样本中九年级的优秀率即可． 【详解】（1）解：∵， ∴这次比赛中八年级学生的测试成绩更稳定， （2）解：八年级10名学生的成绩出现次数最多的是96， 故八年级10名学生成绩的众数； 九年级10名学生的成绩在A组的有（人），B组的有（人）， C组的有3人，成绩分别为90，92，94， 故九年级10名学生成绩的中位数， D组的有（人），占，则； 综上，，，； （3）解：九年级10名学生的成绩优秀的占， （人）， 所以九年级参加此次调查活动成绩优秀的学生人数约为560人． 2．（2026·陕西咸阳·一模）某校为了解九年级学生的身体健康情况，从九年级随机抽取了若干名学生，测量他们的体重（均取整数，单位：），并将他们的体重进行整理，绘制了如下统计表与统计图： 组别 体重（kg） 频数（人） A 2 B a C 8 D 5 E 4 已知C组的具体体重为（单位：）：54，54，55，55，56，57，59，60． 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：______，所抽取学生体重的中位数是______； (2)所抽取学生平均体重为，小敏的体重是，小敏推测自己的体重在所抽取的学生中处于中下游水平，请问小敏的推测正确吗？请简单说明理由． 【答案】(1)6；56 (2)不正确，理由见解析 【分析】（1）利用A组的人数除以对应的百分数，求出总人数，然后用总人数减去其余各组人数即可求出a的值，根据中位数的定义求解即可； （2）根据中位数判断即可． 【详解】（1）解：调查的总人数为（人） ∴， ∵一共调查了25人， ∴中位数是第13人的体重， 又A组2人，B组6人，C组8人， ∴中位数在C组， ∵C组的具体体重为（单位：kg）：54，54，55，55，56，57，59，60， ∴中位数为； （2）解：∵小敏的体重是高于中位数， ∴小敏的体重在所抽取的学生中处于中上游水平， 故小敏的推测不正确． 3．（2026·陕西·一模）市武术学校打算选派走走、格格两名选手中的一人参加明年的省级锦标赛，现抽取了两人今年内平时考核的次成绩（记为，单位：分），满分为分，分为四个等级：（优秀）；（良好）；（合格）；（待提高）． 走走的十次成绩（分）：． 格格的十次成绩中在组的是：． 另制作了如下两幅统计图表： 走走、格格被抽取的考核成绩统计表 平均数 中位数 方差 走走 格格 格格被抽取的考核成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)走走、格格被抽取的考核成绩统计表中，______，______；格格被抽取的考核成绩扇形统计图中，扇形B对应的圆心角度数为______； (2)求走走被抽取的十次考核成绩的平均数； (3)根据本次调查，请你结合平均数和方差对走走、格格被抽取的十次考核成绩进行评价，并根据评价结果在走走、格格中推荐一位选手代表该校参加比赛． 【答案】(1) (2)分 (3)推荐走走代表该校参赛 【分析】本题主要考查调查与统计的相关计算，掌握中位数的计算，圆心角的计算，平均数的计算，由方差作决策的方法是解题的关键. ()根据中位数的计算方法，圆心角的计算方法计算即可求解； ()根据平均数的计算方法计算即可； ()根据调查数据作决策即可求解． 【详解】（1）解：走走的十次成绩（分）：． 从小到大的排序为：， ∴， 已知满分为分，分为四个等级：（优秀）；（良好）；（合格）；（待提高）． 格格在(优秀)等级的分数有个，在(合格)等级的分数是：， 在(待提高)等级的分数有个 . ∴格格在(良好)等级的分数有个， ∴， ∴扇形对应的圆心角度数为， 故答案为：； （2）解：； （3）解：走走、格格的平均数虽然一样，但格格的方差较大，，说明格格的成绩波动较大，故我推荐走走代表该校参加比赛． 列表法、树状图求概率 考点03 1．（2026·陕西榆林·一模）（新情境）随着2026年第31个世界读书日的临近，实验中学开展了以“最美人间四月天，不负韶华读书时”为主题的系列读书活动．同学们可以从以下四个主题“A．好书推荐、B．科普读书会、C．阅读马拉松、D．AI数字阅读互动”中任意选择一个参加． (1)若小颖在这4个主题中随机选择一个参加，则选中“B．科普读书会”的概率是________； (2)九年级的小贤和小艺也报名参加了该读书活动，请用画树状图或列表的方法，求他们随机选择选到同一主题读书活动的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率公式进行计算即可； （2）先画出树状图，共有16种等可能的结果，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：画树状图如下： 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中他们随机选择选到同一主题读书活动的情况有4种， 他们随机选择选到同一主题读书活动的概率． 2．（2026·陕西汉中·一模）十二生肖是十二地支的形象化代表，是我国历史悠久的民俗文化符号．小辰收集了如图所示的五张不透明的生肖卡片（分别记作A，B，C，D，E），除正面图案不同外，其余完全相同，将其洗匀，背面朝上放置． (1)小辰从这五张卡片中随机抽取一张，恰好抽到“马”的概率是_____________； (2)小辰从这五张卡片中随机抽取一张，不放回，小强再从剩下的四张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求他们两人抽到的卡片中有一张是“马”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用概率公式直接求解即可； （2）根据题意列出表格，列出所有等可能的情况数，再得到两人抽到的卡片中有一张是“马”的情况数，最后利用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：小辰从这五张卡片中随机抽取一张，恰好抽到“马”的概率是； （2）解：根据题意，列表如下： — — — — — 则共有20种等可能的情况，其中两人抽到的卡片中有一张是“马”的情况有8种， 则两人抽到的卡片中有一张是“马”的概率为． 3．（2026·陕西·一模）（新情境）2026年《丙午年》特种邮票全套共两枚，第一枚邮票图案名为“驰跃宏图”，图中一匹红马奔驰于祥云之上、鬃毛如焰；第二枚邮票图案名为“万骏臻福”，图中三匹骏马并驰、祥纹环绕．小骏收集了两套（4枚，即“驰跃宏图”“万骏臻福”各2枚）《丙午年》特种邮票，现将这4枚邮票（除正面图案外其余完全相同）背面朝上洗匀后放在桌面，小骏先从中随机抽取1枚，记下名称后不放回，小亮再从剩下的3枚邮票中随机抽取1枚． (1)小骏抽到的是“驰跃宏图”的概率为___________； (2)请用画树状图或列表的方法，求小骏和小亮两人所抽取的邮票图案上的马的总数为4匹的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：小骏抽到的是“驰跃宏图”的概率为； （2）解：列表如下： 小骏 \ 小亮 A₁ A₂ B₁ B₂ A₁ — (A₁,A₂) (A₁,B₁) (A₁,B₂) A₂ (A₂,A₁) — (A₂,B₁) (A₂,B₂) B₁ (B₁,A₁) (B₁,A₂) — (B₁,B₂) B₂ (B₂,A₁) (B₂,A₂) (B₂,B₁) — 由表可知，共有12种等可能的结果，其中小骏和小亮两人所抽取的邮票图案上的马的总数为4匹的结果有8种， 小骏和小亮两人所抽取的邮票图案上的马的总数为4匹的概率为． 4．（2026·陕西宝鸡·一模）我国航天事业不断刷新纪录，重大工程成就举世瞩目，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．明明和亮亮对航天知识产生了极大兴趣，他们在中国载人航天网站了解到，航天知识分为“梦圆天路”、“飞天英雄”、“碧空天链”、“太空家园”等模块．他们决定每人都从这四个模块中随机选择一个进行学习，设这四个模块依次为、、、．（两名同学的选择相互不受影响，且选每个模块的可能性均相同） (1)明明恰好选择“飞天英雄”进行学习的概率是___________； (2)用画树状图或列表的方法求出他们恰好选择不同模块的概率． 【答案】(1)； (2)他们恰好选择不同模块的概率为． 【分析】本题考查的知识点是概率公式、列表法或树状图法求概率，解题关键是熟练掌握画树状图或列表求概率的方法． （1）根据概率公式直接求解； （2）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【详解】（1）解：明明在“梦圆天路”“飞天英雄”“碧空天链”“太空家园”四个模块中恰好选择“飞天英雄”进行学习的概率是， 故答案为：； （2）解：树状图如下： 由图可得，一共有种等可能的结果，其中他们恰好选择不同模块的有种结果， 他们恰好选择不同模块的概率为． 5．（2026·陕西·一模）近日，教育部举办了《第七届中华经典诵写讲大赛》，本届大赛分为“诵读中国”经典诵读、“诗教中国”诗词讲解、“笔墨中国”汉字书写和“印记中国”师生篆刻比赛四个类别． (1)我校学生会从有意向参与比赛的学生中抽取若干名学生进行问卷调查，若报名参赛的同学每人只能参加一个类别，那么莹莹同学从中随机选择恰好选到“笔墨中国”汉字书写大赛的概率为______； (2)经过激烈角逐，我校走走老师率领初中部选拔出的两位同学莹莹和格格闯入“诗教中国”诗词讲解比赛决赛，比赛规则是：组委会提供主题为“清明”“端午”“七夕”“重阳”“中秋”的五组题目，由电脑随机给每位参赛选手派发一组题目，选手根据题目要求进行诗词讲解，评委根据讲解情况给选手打分．请用列表或画树状图的方法，求出莹莹和格格两名选手拿到的题目恰好在同一组的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）利用概率公式求解即可； （2）先列表得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：莹莹同学从“诵读中国”、“诗教中国”、“笔墨中国”和“印记中国”中随机选择一个，恰好选到“笔墨中国”汉字书写大赛的概率为， 故答案为：； （2）解：令“清明”、“端午”、“七夕”、“重阳”、“中秋”五个主题依次为A、B、C、D、E．     格格 莹莹 A B C D E A B C D E 共有25种等可能的结果，其中莹莹和格格两名选手拿到的主题相同的结果有5种，所以P（两人拿到的主题相同）． 6．（2026·陕西咸阳·一模）习近平总书记指出：建设社会主义现代化强国，关键在科技自立自强．为了让学生进一步了解中国科技的快速发展，某中学九年级组织了一次黑板报比赛，该年级每个班都从“中国天眼”、“时代”、“夸父一号”、“巅峰使命”四个主题中随机选择一个主题作为该班的黑板报主题． (1)该中学九年级（1）班选择主题“夸父一号”的概率为______； (2)请用画树状图或列表的方法，求该中学九年级（1）班和（2）班均没有选择主题“巅峰使命”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用概率公式即可求解； （2）先根据题意画出树状图，再利用概率公式即可求解； 【详解】（1）解：依题意得：共有4种等可能情况，九年级（1）班选择主题“夸父一号”的结果只有一种， ∴九年级（1）班选择主题“夸父一号”的概率为， （2）解：先把“中国天眼”、“时代”、“夸父一号”、“巅峰使命”四个主题分别记为； 则画出树状图如图所示： 则共有16种等可能情况，其中中学九年级（1）班和（2）班均没有选择主题“巅峰使命”的结果有9种， 中学九年级（1）班和（2）班均没有选择主题“巅峰使命”的概率． 7．（2026·陕西渭南·一模）055型驱逐舰对于中国海军实施“近海防御、远海护卫”战略具有重要意义．某班开展“055驱逐舰”主题班会，班级的每位同学都从南昌舰、拉萨舰、鞍山舰、无锡舰、大连舰、延安舰、遵义舰、咸阳舰、东莞舰、安庆舰这10艘战舰中随机挑选一艘进行介绍，每位同学选择每艘驱逐舰的可能性相同． (1)该班的晓慧选择介绍延安舰的概率为______； (2)该班的军军和乐乐制作了四张正面分别为大连舰、延安舰、咸阳舰、安庆舰的不透明卡片（如图），这些卡片除了正面不同外其余均相同，将四张卡片背面朝上洗匀后放置在桌面上，军军从四张卡片中随机抽取一张，不放回，乐乐再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法求两人均没有抽到咸阳舰的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到两人均没有抽到咸阳舰的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一共有10艘战舰，且每位同学选择每艘驱逐舰的可能性相同， ∴该班的晓慧选择介绍延安舰的概率为； （2）解：用A、B、C、D分别表示正面分别为大连舰、延安舰、咸阳舰、安庆舰的四张卡片，列表如下： 军军乐乐 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中两人均没有抽到咸阳舰的结果数有6种， ∴两人均没有抽到咸阳舰的概率为． 8．（2026·陕西西安·一模）陕西作为中华文化的重要发源地之一，有着悠久的文化底蕴和历史积淀，也拥有着许多珍贵的文化遗产．如：西安鼓乐、陕北秧歌、秦腔和华阴老腔深受人们喜爱，为了促进同学们热爱家乡的意识，班里准备召开“我为家乡代言”的主题班会． (1)若从中随机抽选一种，喜欢“戏曲”的小明同学恰好抽到心仪的项目的概率是 ； (2)班里决定在以上四种项目中任选一种进行宣传和推广家乡，请利用列表或画树状图的方法分析甲、乙两名同学恰好选中同一种的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可； （2）利用列表法以及概率公式求解即可． 【详解】（1）解：在西安鼓乐、陕北秧歌、秦腔和华阴老腔这4个项目中，属于“戏曲”的只有秦腔， ∴喜欢“戏曲”的小明同学恰好抽到心仪的项目的概率是； （2）解：分别用A，B，C，D表示西安鼓乐、陕北秧歌、秦腔和华阴老腔，用列表法把所有等可能结果表示出来如下， A B C D A B C D ∴共有16种等可能结果，其中同一种的有4种， ∴甲、乙两名同学恰好选中同一种的概率为． 9．（2026·陕西渭南·一模）在一次数学游戏活动中，老师设置了A．“实数运算比拼”，B．“根式化简挑战”，C．“方程求解竞赛”和D．“几何证明比赛”四个活动项目，并将分别写有A、B、C、D的四个小球放在一个不透明的箱子中搅匀（这些小球除所写字母不同外其他均相同）．参加活动的每位同学从中随机摸出一个小球，则该同学参与自己所摸小球上字母对应的活动项目，将小球放回箱子中，老师再将箱子中的小球搅匀． (1)参加活动的小丽同学参与的活动项目恰好是C．“方程求解竞赛”的概率为________； (2)小明和小强也参加了这次数学游戏活动，用列表或画树状图的方法求两人参与的活动项目中有A．“实数运算比拼”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据简单的概率公式计算即可． （2）利用画树状图法解答即可． 【详解】（1）解：共有4种等可能的结果，其中活动项目恰好是C．“方程求解竞赛”的有1种， ∴小丽同学参与的活动项目恰好是C．“方程求解竞赛”的概率为． （2）解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中两人参与的活动项目中有A．“实数运算比拼”的结果有7种， 两人参与的活动项目中有A．“实数运算比拼”的概率是． 10．（2026·陕西咸阳·一模）汉字是世界上最古老的文字之一，是中华优秀传统文化的重要载体．现有正面分别印着“生”“肖”“午”“马”古文字的四张不透明卡片如图所示，它们除正面外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上，小明先随机抽取一张卡片不放回，再从剩下的三张卡片中随机抽取一张． (1)小明第一次抽中的卡片正面古文字是“马”的概率是___________； (2)请用列表或画树状图的方法，求小明抽取的两张卡片正面的古文字恰好可以组成“生肖”或“午马”的概率．（不分先后顺序） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用简单概率公式进行求解； （2）画树状图求概率． 【详解】（1）解：小明第一次抽中的卡片正面古文字是“马”的概率是； （2）解：画树状图如下： 由图可知共有12种等可能的结果，其中小明抽取的两张卡片正面的古文字恰好可以组成“生肖”或“午马”的结果有4种， （小明抽取的两张卡片正面的古文字恰好可以组成“生肖”或“午马”）． 11．（2026·陕西宝鸡·一模）中国画讲求“以形写神、形神兼备”的基本造型法则，其按题材可分为人物画、山水画、花鸟画三大类（如图），爱好美术的晓伟同学计划从这三类中选择一类进行学习，他制作了两个不透明的小盒子，在盒中放了3个黄球和1个红球，在盒中放了3个红球和1个黄球（这些球除颜色不同外其他均相同），分别摇匀后，先从盒中随机摸出一个球，再从盒中随机摸出一个球．若摸出的两个球均为黄球，则选择人物画进行学习；若摸出的两个球均为红球，则选择山水画进行学习；若摸出的两个球颜色不同，则选择花鸟画进行学习． (1)晓伟从盒中摸出的是黄球的概率为___________； (2)请用列表或画树状图的方法求晓伟最终选择花鸟画进行学习的概率． 【答案】(1) (2)见解析， 【分析】（1）根据概率公式进行计算即可； （2）先画出树状图，然后根据概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵在盒中放了3个黄球和1个红球， ∴晓伟从盒中摸出的是黄球的概率为； （2）解：根据题意画出树状图，如图所示： ∵共有种等可能的情况数，其中摸出的两个球颜色不同的情况数有10种情况， ∴晓伟最终选择花鸟画进行学习的概率为． 12．（2026·陕西宝鸡·一模）剪纸窗花是我国古老的汉族传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，深受大家的喜爱．手工制作课上，小轩剪了4张窗花，然后将其粘在大小相同的正面是白色的卡片（背面完全相同）上，然后将这些卡片背面朝上洗匀，放置在桌面上． (1)若小轩从中随机抽取一张卡片，抽到的窗花图案是“中心对称图形”的概率是________； (2)若小轩从中随机抽取一张卡片，记录下窗花的图案，放回洗匀，再从中随机抽取一张，记录下窗花的图案．请用列表或画树状图的方法，求两次记录的窗花图案均是“轴对称图形”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用概率公式即可得到答案； （2）画树状图求出共有16种等可能的结果，其中两次所抽取的卡片上的窗花图案恰好都是轴对称图形的结果有4种，即可根据概率公式求出答案． 【详解】（1）解：观察4张卡片，是中心对称图形的有C卡片1张， ∴从中随机抽取1张卡片，抽到的卡片上的窗花图案是中心对称图形的概率为； （2）解：观察4张卡片上的窗花图案，是轴对称图形的有A和D两张卡片， 画树状图如图： 共有16种等可能的结果，其中两次记录的窗花图案恰好都是轴对称图形的结果有4种， ∴两次记录的窗花图案均是“轴对称图形”的概率为． 13．（2026·陕西宝鸡·一模）3月15日是国际消费者权益日，中国消费者协会及地方各级协会都会举办大规模的宣传活动．运用各种方式宣传消费者的权利．某校在3·15消费者权益宣传活动中，准备了4张除正面不同外背面完全相同的不透明知识卡片供学生学习，其中有2张卡片正面为消费维权知识，2张卡片正面为食品安全知识，将4张卡片背面朝上洗匀放在桌子上． (1)若小丽从这4张卡片中随机抽取1张，则抽到的卡片正面是消费维权知识的概率为_____； (2)甲同学先从这4张卡片中随机抽1张，不放回，乙同学再从剩下的3张卡片中随机抽1张，请用列表法或画树状图法求两人抽到的卡片正面知识类型不同的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可； （2）根据题意先画树状图，列出所有等可能的结果数，然后根据概率公式求解可得． 【详解】（1）解：已知共有4张卡片，其中2张正面为消费维权知识， ∴； （2）解：将这4张卡片记为、、、，其中卡片、正面是消费维权知识，卡片、正面是食品安全知识，画树状图如下： 由图可知共有种等可能的结果，其中两人抽到的卡片正面知识类型不同的结果有种，即、、、、、、、， ∴． 14．（2026·陕西渭南·一模）孔子曰：“不学礼，无以立”，礼仪文化是中国传统文化的重要组成部分，也是每一位现代人必备的基本素养．小西和小安准备从社交礼仪、商务礼仪、政务礼仪和涉外礼仪这4个分支中各自随机选择一个进行学习，他们制作了如图所示的四张不透明卡片（卡片除正面内容不同外其他完全相同），背面朝上洗匀后放在桌子上，小西先从中随机抽取一张，记录下卡片上的内容后放回洗匀，小安再从中随机抽取一张，他们分别以自己抽取的卡片上内容为准进行学习． (1)小西抽取的卡片上内容为社交礼仪的概率为________； (2)请用列表法或画树状图法求小西和小安抽取的卡片上都不是涉外礼仪的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率公式直接求解； （2）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【详解】（1）解：小西从社交礼仪、商务礼仪、政务礼仪和涉外礼仪这4个分支中各自随机选择一个进行学习，抽取的卡片上内容为社交礼仪的概率为 （2）解：记社交礼仪、商务礼仪、政务礼仪和涉外礼仪为A、B、C、D， 列表如下： A B C D A B C D ∴共有16种可能结果，其中小西和小安抽取的卡片上都不是涉外礼仪的有9种， ∴小西和小安抽取的卡片上都不是涉外礼仪的概率为． 15．（2026·陕西宝鸡·一模）（新情境）2026年春节联欢晚会吉祥物形象——“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马，与晚会主题“骐骥驰骋·势不可挡”一脉相承、相得益彰．围绕春晚吉祥物主题推出了各种类型的饰品与文创产品，小明的爸爸买了一套春晚吉祥物钥匙扣盲盒共4个，每个盲盒分别装着“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”吉祥物钥匙扣，这4个盲盒除了里面钥匙扣上的小马不同外其他完全相同． (1)小明随机选择一个盲盒，拆开后里面钥匙扣上的小马是“骐骐”的概率为____________； (2)小明随机选择一个盲盒拆开后，弟弟在剩下的三个盲盒中随机选择一个拆开，用画树状图或列表的方法，求两人拆开的盲盒中钥匙扣上的小马是“驰驰”和“骋骋”的概率．（不分先后顺序） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对结果进行列举，利用概率计算公式进行计算即可； （2）画树状图法或列表法，可得所有的结果，利用概率计算公式，进行计算即可； 【详解】（1）解：随机选择一个盲盒共有种结果， 拆开后里面钥匙扣上的小马是“骐骐”的概率为； （2）解：骐骐：，骥骥：,驰驰：,骋骋：， 列表如下 共有种等可能结果，其中恰好选到“驰驰”和“骋骋”的结果有种结果， 两人拆开的盲盒中钥匙扣上的小马是“驰驰”和“骋骋”的概率：； 答：两人拆开的盲盒中钥匙扣上的小马是“驰驰”和“骋骋”的概率． 16．（2026·陕西西安·一模）（新情境）根据2026年3月最新公开资料，教育部部长怀进鹏对学生健康的要求集中体现为“健康第一”的教育理念，并通过“健康教育专项工程”具体落实，确保每天综合体育活动2小时．老师课间调查发现篮球、乒乓球、羽毛球、跳绳四项体育活动深受学生们的喜爱，于是他决定每天将班里的同学随机分成：A．篮球、B．羽毛球、C．乒乓球、D．跳绳四组，以确保学生全员、有序的参加课间体育活动，让学生身上有汗，眼里有光． (1)明天王明同学恰好被分到球类运动项目的概率是______； (2)王明和李虎是好朋友，请利用列表或画树状图的方法，计算出他俩明天被分到同一组的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率公式直接计算可得结果； （2）用列表法得出所有等可能的结果，再看两个同学分在一组的结果共有几种计算即可． 【详解】（1）解：因为篮球、乒乓球、羽毛球、跳绳四项体育活动中，球类运动项目有3项，所以王明同学恰好被分到球类运动项目的概率是 ； （2）解：分别用表示四个运动项目，列表如下： A B C D A B C D 答：有16种等可能的结果，两人分在同一组有4种结果，两人分在同一组的概率为． 17．（2026·陕西西安·一模）劳动实践活动的核心在于做中学，强调在真实情境中动手实践、出力流汗，从而接受锻炼、磨炼意志，某校开展种植蔬菜的劳动实践活动，每位同学通过转转盘来确定种植蔬菜的种类，均匀的转盘被四等分，每个扇形里标有对应的蔬菜（．辣椒，．茄子，．西红柿，．豆角），每人转动转盘一次，当转盘停止时，指针落在哪个区域就种植该种蔬菜．（若指针落在分界线上，重转，直到指针指向某一扇形区域内为止） (1)该校的程程转动转盘一次，则她种植B．茄子的概率是____________； (2)请用画树状图或列表的方法求出该校的花花和康康两名同学至少有一人种植西红柿的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率的定义，用茄子对应的区域数量除以转盘的总区域数量，计算转动一次指针指向茄子的概率． （2）通过画树状图列出两名同学转动转盘的所有等可能结果，再从中找出至少有一人种植西红柿的结果数，最后根据概率公式计算对应概率． 【详解】（1）解：（种植B.茄子） （2）解：画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中花花和康康两名同学至少有一人种植西红柿的结果有7种， P（花花和康康两名同学至少有一人种植西红柿）． 18．（2026·陕西·一模）（新情境）中央广播电视总台《年春节联欢晚会》上，人形机器人亮出行云流水的“功夫模式”震撼全球．从科幻走进现实，机器人的表演受到了人们的喜爱．在一次科技展上，机器人小智和团团需要进行表演，已知表演区有三个入口．它们均可以随机从一个入口进入表演区进行表演． (1)机器人小智从口进入表演区的概率是__________； (2)请用画树状图或列表的方法求出机器人小智和团团从不同入口进入表演区的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（）小智从个等可能入口中选口，符合条件的情况数除以总情况数，得概率为； （）用列表法列出两人所有种等可能的入口选择，其中种为不同入口，符合条件的情况数除以总情况数，得概率为． 【详解】（1）解：一共有共个等可能的入口， 小智从入口进入是其中种情况，因此概率为； （2）解：用列表法分析所有等可能结果： 小智团团 共有种等可能的结果，其中两人从不同入口进入的结果有种， 因此：. 19．（2026·陕西商洛·一模）（跨学科）通过生物学的学习我们知道，微生物泛指广泛存在于自然界中、形体微小、结构简单的微小生物．为了加深对微生物分类的理解，生物兴趣小组的玥玥和茜茜两位同学制作了如图所示的四张不透明卡片（卡片除正面图案不同外其他均相同），将卡片背面朝上洗匀后，玥玥先从中随机抽取一张，记录下卡片上的微生物名称并放回洗匀，茜茜再从中随机抽取一张，他们分别判断自己所抽取卡片上的微生物种类．（已知真菌和原生动物属于真核细胞型微生物，古菌和细菌属于原核细胞型微生物） (1)玥玥抽到的卡片上的微生物属于原核细胞型微生物的概率为___________； (2)请用列表法或画树状图法，求玥玥和茜茜抽到的卡片上的微生物均属于真核细胞型微生物的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了概率公式，列表法求概率，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据真菌和原生动物属于真核细胞型微生物，古菌和细菌属于原核细胞型微生物，进行列式计算，即可作答． （2）先用列表法，得出种等可能的结果．其中两人都抽到真核细胞型的结果有：、、、，共4种，再运用概率公式列式计算， 【详解】（1）解：∵真菌和原生动物属于真核细胞型微生物，古菌和细菌属于原核细胞型微生物 ∴玥玥抽到的卡片上的微生物属于原核细胞型微生物的概率为； （2）解：依题意，真菌和原生动物属于真核细胞型微生物，用表示真菌，用表示原生动物， 列表法： 玥玥/茜茜 总共有种等可能的结果．其中两人都抽到真核细胞型的结果有：、、、，共4种． ∴概率为：（均为真核细胞型）． 20．（2026·陕西榆林·一模）为增强学生的消防安全意识，某校举行了消防宣传科普活动，并准备了四种灭火器，每位同学通过转动如图所示的均匀转盘来选定灭火器种类并进行演练实操．转盘被四等分，每个扇形里标有对应的灭火器的种类（A．干粉灭火器，B．水基型灭火器，C．二氧化碳灭火器，D．泡沫灭火器），每人转动转盘一次，当转盘停止时，指针落在哪个区域就在专业人士指导下使用该种灭火器．（若指针落在分界线上，则重转，直到指针指向某一扇形区域内为止） (1)该校的同学甲没有转到C．二氧化碳灭火器的概率是______； (2)请用画树状图或列表的方法求出该校的乙，丙两名同学使用不同种类灭火器的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到两名同学使用不同种类灭火器的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一共有四种灭火器，且每种灭火器被转到的概率相同， ∴该校的同学甲没有转到C．二氧化碳灭火器的概率是； （2）解：列表如下： 由表格可知，共有16种等可能的结果，其中乙，丙两名同学使用不同种类灭火器的结果有12种， ∴乙，丙两名同学使用不同种类灭火器的概率． 21．（2026·陕西咸阳·一模）在中华文明灿烂的长卷中，唐诗宋词是其中最为绚丽的华章．某班举行诗词朗诵大赛，每位参赛人员需要在：A．《关山月》、B．《夜雨寄北》、C．《武陵春·春晚》、D．《念奴娇·赤壁怀古》这四首古诗词中随机选择一首进行朗诵（A、B为唐诗，C、D为宋词）．该班的小君和小雪参加了此次大赛． (1)小君选择B．《夜雨寄北》的概率是______； (2)请用列表或画树状图的方法，求两人之间只有一人选择宋词的概率． 【答案】(1) (2)列表见解析     【分析】（1）利用概率公式进行求解即可； （2）列出表格进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意知共有4种等可能的事件，其中选择B．《夜雨寄北》的可能事件就1种，故选择B．《夜雨寄北》的概率是； （2）解：根据题意列表如下： A B C D A B C D 根据列表可知，共有16种等可能的结果数，其中两人之间只有一人选择宋词的可能数有8种，故两人之间只有一人选择宋词的概率为． 22．（2026·陕西西安·一模）某校在践行以“安全在我心中，你我一起行动”为主题的手抄报评比活动中，共设置了“A．交通安全”“B．消防安全”“C．饮食安全”“D．校园安全”“E．心理健康安全”五个主题内容，九年级推荐小秦、小博两名学生参加评比，每人从以上五个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同，且相互不受影响． (1)小秦选择“交通安全”主题的概率是__________． (2)请用画树状图法或列表法求小秦、小博两名同学选择不同主题的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）利用列表或画树状图求解即可． 【详解】（1）解：∵共五个主题内容，且每个主题被选择的可能性相同，且相互不受影响， ∴小秦选择“交通安全”主题的概率是； （2）解：根据题意列表如下： 小秦    小博 A B C D E A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） （A，E） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） （B，E） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） （C，E） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） （D，E） E （E，A） （E，B） （E，C） （E，D） （E，E） 由上表可知共有25种等可能的结果，其中小秦、小博两名同学选择不同主题的结果有20种， （小秦、小博两名同学选择不同主题）． 23．（2026·陕西西安·一模）有四张背面完全相同的纸牌、、、，其正面分别画有四个不同的几何图形：正三角形；：正方形；：平行四边形；：矩形，将这四张纸牌背面朝上洗匀． (1)从中随机摸出一张，摸出的牌面图形是四边形的概率是__________； (2)小明先从中随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，请利用画树状图或者列表的方法，求两人摸出的牌面图形都是中心对称图形的概率．（纸牌用、、、） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据题意结合概率公式作答即可； （2）列出表格，找出符合题意的情况，进而根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：∵正三角形、正方形、平行四边形、矩形中，是四边形的是正方形、平行四边形、矩形，共3个， ∴从中随机摸出一张，摸出的牌面图形是四边形的概率； 故答案为：； （2）解：列表得： A B C D A B C D 共产生12种结果，每种结果出现的可能性相同，除了正三角形，其他的都是中心对称图形，故其中两人摸出的牌面图形都是中心对称图形的有6种， 则两人摸出的牌面图形都是中心对称图形的概率是． 24．（2026·陕西铜川·一模）一个不透明的袋子中装有4个小球，这4个小球上各标有一个数字，分别为1，2，3，4，这些小球除所标数字外完全相同，将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下数字后放回，记作随机摸球1次． (1)随机摸球1次，摸到的小球上的数字为奇数的概率为___________； (2)随机摸球2次，请用列表或画树状图的方法，求两次摸到的小球上的数字之和大于5的概率． 【答案】(1) (2)列表或画图见解析，概率为 【分析】（1）根据题意，得到奇数是1，3，共2个，由概率公式代值求解即可得到答案； （2）列表或画树状图，得到所有两个数字之和的结果数，再得到两次摸到的小球上的数字之和大于5的结果数，代入概率公式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：这4个小球上各标有一个数字，分别为1，2，3，4，其中奇数是1，3，共2个， 随机摸球1次，摸到的小球上的数字为奇数的概率为． （2）解：方法一：列表如下： 第2次第1次 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 由表可知，共有16种等可能的结果，其中两次摸到的小球上的数字之和大于5的结果有6种， （两次摸到的小球上的数字之和大于5）． 方法二：画树状图如下： 由图可知，共有16种等可能的结果，其中两次摸到的小球上的数字之和大于5的结果有6种， （两次摸到的小球上的数字之和大于5）． 25．（2026·陕西榆林·一模）随着城市化建设的发展，市民出行公共交通越来越方便及多样化，可供市民出行的公共交通方式一般有以下四种：A．公交车，B．共享电动车，C．共享单车，D．地铁，已知每种出行方式被选择的可能性是相同的，且每人出行只选择其中一种公共交通方式． (1)若小美周末要去某公园游玩，她选择的公共交通方式恰好是C．共享单车的概率为___________； (2)小明和小亮相约一起去图书馆学习，要各自选择一种公共交通方式去图书馆，请你通过列表或画树状图的方法，求两人中只有一人选择的公共交通方式是A．公交车的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率公式计算即可得出结果； （2）画树状图可得共有16种等可能的结果，其中两人中只有一人选择的公共交通方式是A．公交车的结果数为6种，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：若小美周末要去某公园游玩，她选择的公共交通方式恰好是C．共享单车的概率为； （2）解：画树状图如下： 由树状图可得：共有16种等可能的结果，其中两人中只有一人选择的公共交通方式是A．公交车的结果数为6种， ∴两人中只有一人选择的公共交通方式是A．公交车的概率． 26．（2026·陕西咸阳·一模）某校开展主题为“逐梦九天”的航天科普活动，设置了五个科普小组，分别探索“载人航天”“探月工程”“火星探测”“北斗导航”“空间站建设”（分别记作）五大航天领域，现有五张背面完全相同的不透明卡片，在卡片正面绘制如图所示的图案． (1)将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“探月工程”的概率为______． (2)各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的科普方向．将这五张卡片背面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组科普方向不同的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）理解题意，得一共有五张卡片，卡片内容是“探月工程”的有一张，运用概率公式进行计算，即可作答． （2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：依题意，一共有五张卡片，卡片内容是“探月工程”的有一张， ∴将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张， 抽到的卡片内容是“探月工程”的概率为； （2）解：依题意得，列表如下：        小博 小秦 由表格可得，共有25种等可能出现的结果，其中这两个小组科普方向不同的情况有20种， ∴这两个小组科普方向不同的概率为． 27．（2026·陕西西安·一模）如图，有四张背面完全相同的卡片，将它们正面朝下洗匀后放在桌面上 (1)从4张卡片中抽取一张，这张卡片的数字为3的倍数的概率是_______； (2)元旦联欢会需要从小明和小亮中选择一名同学作为男主持人，老师让他俩通过抽卡片的方式选拔，获胜的同学担任主持，游戏规则如下：小明先从中抽出一张卡片，小亮再从剩余的3张卡片中也抽出一张卡片，把两人抽取的卡片上的数字相加，若和大于11小明胜，否则小亮胜，这个游戏公平吗？请用画树状图或列表法的方法说明理由． 【答案】(1) (2)不公平，理由见详解 【分析】（1）直接计算出抽到数字为3的倍数的概率即可； （2）用树状图列举出所有情况，看和大于11的情况占所有情况的比值，即可求得小明赢的概率，进而求得小亮赢的概率比较即可． 【详解】（1）解：∵四个数字中和为3的倍数， ∴； （2）解：画树状图如下 一共有12种可能，和大于11的个数有8种，和小于等于11的数有4种， ， ∴游戏不公平 28．（2026·陕西西安·一模）国家邮政局发布：2025年纪特邮票发行计划（第一批）共21套、其中2025年3月14日（国际圆周率日）发行的邮票名称为《数学之美》，枚数是4枚．数学兴趣小组的同学对邮票的发布充满期待，同时也尝试进行了邮票的设计．如图，小组分别以“刘徽割圆术”、“莫比乌斯环带”、“埃舍尔的平面镶嵌”、“黄金分割螺旋线”为素材设计了卡片A，卡片B，卡片C；卡片D四张卡片作为邮票的图案部分．卡片背面朝上洗匀放在桌面上（卡片背面完全相同）． (1)小文从中随机抽取一张，抽到“埃舍尔的平面镶嵌”的概率是 ； (2)小文从中随机抽取两张卡片，请用画树状图或列表的方法求小文抽到的两张卡片的图案恰好是“刘徽割圆术”和“黄金分割螺旋线”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）列表或画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到“埃舍尔的平面镶嵌”的结果有1种， ∴抽到“埃舍尔的平面镶嵌”的概率为． （2）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到卡片A和D的有2种， ∴所求的概率为即． 29．（2026·陕西西安·一模）小明和小亮玩游戏：将正面分别写有数字1，7，8，8的四张卡片（这些卡片除数字外其余均相同）洗匀后，背面向上放在桌面上，小明从中任意抽取一张卡片（不放回），小亮从剩余的卡片中任意抽取一张，若两张卡片上的数字之和是8的倍数，则小亮获胜，否则小明获胜． (1)小明抽到写有偶数的卡片的概率是______； (2)请利用画树状图或列表的方法，判断这个游戏是否公平． 【答案】(1) (2)见解析，这个游戏不公平 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率公式是解题的关键． （1）根据概率公式求解即可； （2）画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两张卡片上的数字之和是8的倍数的结果数和两张卡片上的数字之和不是8的倍数的结果数，最后根据概率公式求出两人获胜的概率即可得到结论． 【详解】（1）解：∵一共有四张卡片，其中写有偶数的卡片有两张， ∴小明抽到写有偶数的卡片的概率是； （2）解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中两张卡片上的数字之和是8的倍数的结果数有4种，两张卡片上的数字之和不是8的倍数的结果数有8种， ∴小亮获胜的概率为，小明获胜的概率为， ∵， ∴这个游戏不公平． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 统计与概率 3大考点概览 考点01统计图表综合计算 考点02统计图表综合决策 考点03列表法、树状图求概率 统计图表综合计算 考点01 1．（2026·陕西榆林·一模）2026年央视马年春晚的舞台上，歌咏创意秀《贺花神》融合了动态舞美与传统非遗的国风盛宴，将“十二月花神”的东方浪漫具象化．某校举办了创意作品大赛，现从参赛的作品中随机抽取部分作品的成绩（百分制，单位：分）进行了整理、描述和分析，得到了下列不完整的统计表和统计图： 所抽取作品的成绩频数分布表 组别 作品成绩（分） 频数 组内总成绩（分） 第1组 114 第2组 6 378 第3组 746 第4组 14 1217 第5组 8 765 所抽取作品的成绩扇形统计图 根据统计图表提供的信息，解答下列问题： (1)本次抽取的作品有___________个，所抽取作品成绩的中位数位于第___________组； (2)求所抽取作品成绩的平均数； (3)若参加此次大赛的作品共有1000个，请你估计成绩不低于90分的作品数． 2．（2026·陕西咸阳·一模）《算经十书》是汉唐十部算经的总集，是为中国传统数学奠基时期的总结，对中国和东方数学影响深远．某校开展了《算经十书》知识竞赛，每个学生作答10道题，每题10分，赛后发现所有学生知识竞赛成绩不低于70分．为了更好地了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从所有学生答题成绩中随机抽取部分学生答题成绩作为样本进行整理，绘制条形统计图（不完整）和扇形统计图如下： 所抽取的学生成绩条形统计图                所抽取的学生成绩扇形统计图 请根据以上信息，解答下列问题： (1)补全条形统计图，所抽取的学生总数为______名，所抽取学生竞赛成绩的众数为______分； (2)求所抽取学生竞赛成绩的平均数； (3)已知该校共有800名学生，请估计该校竞赛成绩不低于90分的学生有多少名？ 3．（2026·陕西榆林·二模）“草木植成，国之富也”，中华民族自古就有爱树、植树、护树的好传统.2026年3月12日是第48个植树节．某校组织学生参加植树活动，要求每人植树4～8棵，活动结束后随机调查了部分学生植树的棵数，并将结果绘制成如下不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)补全条形统计图，所抽取学生植树棵数的中位数是______棵，众数是______棵； (2)求所抽取的学生平均每人植树的棵数； (3)若该校共有1000名学生参加此次植树活动，请你估计该校此次活动植树的总数． 4．（2026·陕西·一模）三月春风暖人心，雷锋精神伴我行．为传承和弘扬新时代雷锋精神，某校开展了“学习雷锋精神，志愿做义工活动”，活动结束后学校随机调查了部分学生参加义工活动的时间，并用得到的数据绘制了如图所示不完整的统计图． 根据图中信息解答下列问题： (1)补全条形统计图，所抽取学生参加义工活动时间的中位数为___________、众数为___________； (2)求所抽取学生参加义工活动时间的平均数； (3)若该校共有名学生参加此次活动，请根据样本数据，估计该校学生参加义工活动时间是的学生人数． 5．（2026·陕西渭南·一模）五四青年节是为了继承和发扬“五四”运动以来中国青年光荣的革命传统而设立的节日．在五四青年节来临之际，某校开展了以“新时代五四爱国主义精神”为主题的作文比赛，比赛结束后随机抽取了30名学生的比赛成绩，对比赛成绩（单位：分，满分10分，成绩均大于等于6分，且为整数）进行整理与分析，并绘制了如下不完整的条形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)补全条形统计图，所抽取学生比赛成绩的中位数是______分，众数是______分； (2)求所抽取学生比赛成绩的平均数； (3)已知该校一共有1200名学生参加了本次比赛，请估计比赛成绩在9分及9分以上的学生人数． 6．（2026·陕西咸阳·一模）2026年政府工作报告明确提出，要培育发展具身智能、脑机接口等未来产业．其中，人形机器人作为典型代表，正从“会表演”加速向“能干活”的实用阶段迈进．某校举行了以人形机器人为主题的知识竞赛，每人5道题，已知参加竞赛的每位学生至少答对1道题，校团委随机抽查了50名学生答对题数的情况，绘制出如下尚不完整的统计图．根据图中提供的信息，解决下列问题： (1)补全条形统计图，填空：所抽取学生答对题数的中位数为______道，所抽取学生答对题数的众数为______道； (2)求所抽取学生答对题数的平均数； (3)学校决定对本次竞赛答对5道题的学生进行奖励，若该校共有800名学生参加此次知识竞赛，请你估计获得奖励的学生人数． 7．（2026·陕西西安·一模）为了学生的身心健康，落实五育并举，注重全面发展，某校将课间从10分钟增加到15分钟，让学生身上有汗，眼里有光．经调查发现，篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳等体育活动深受学生们的喜爱．利用课间时间对七年级学生进行1分钟跳绳测试，以下是某次测试成绩的抽样与数据分析过程． 【收集数据】随机抽取若干名学生的测试成绩 【整理数据】将抽取的成绩进行整理，用x表示1分钟的跳绳个数，分成四组：A组，B组，C组，D组． 【描述数据】根据抽取的成绩，绘制出如下不完整的统计表和统计图． 分钟跳绳个数的频数分布表： 组别 个数/个 频数 A 5 B a C ※ D 6 请根据以上信息解答下列问题： (1)本次调查的样本容量为______，频数分布表中a的值为______； (2)本次调查数据的中位数落在______组内，其所在扇形的圆心角的大小为______； (3)若1分钟跳绳次数大于140为良好，该校七年级有800名学生，估计该校七年级学生1分钟跳绳次数为良好的人数． 8．（2026·陕西榆林·一模）（新情境）为提升学生逻辑思维和信息素养，感受科技与数学融合魅力，学校组织八、九年级学生开展“AI赋能数学，创意点亮智慧”微视频制作竞赛．老师从八、九两个年级的参赛学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（满分分，且成绩均是整数，用表示）进行整理，分为、、、四个等级，其中分及以上为优秀． 【信息整理】信息： 等级 成绩 信息：八年级名学生的成绩分别是：，，，，，，，，，． 九年级名学生成绩不完整的条形统计图如下：（其中在组中的数据是：，，） 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 / 九年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)补全图中的条形统计图，表中________，________； (2)求八年级这名学生的平均成绩； (3)若参加此次竞赛的八年级学生有人，九年级学生有人，估计竞赛成绩为优秀的学生有多少人？ 9．（2026·陕西咸阳·一模）3月1日，新版《环境空气质量标准》正式实施，调高“好空气”的“标尺”，我国大气污染防治步入更严要求、更高标准的新阶段．某校为了解学生对《环境空气质量标准》内容的知晓情况，对全校学生进行了问卷调查（共10小题，每题1分），并随机抽取了50名学生的得分（均不低于6分），将调查结果绘制成如下不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)补全条形统计图，所抽取学生问卷调查得分的中位数是___________分，众数是___________分； (2)求所抽取学生问卷调查得分的平均数； (3)若该校共有900名学生，请你估计此次问卷调查得分为满分的学生人数． 10．（2026·陕西宝鸡·一模）宝鸡市是华夏始祖炎帝的诞生地，也是周秦王朝的发祥地，历史悠久，文化底蕴丰厚．为了让同学们更好地了解宝鸡市的历史文化，某中学举行了“周秦故里・文脉传承”历史文化知识竞赛，从参赛学生中随机抽取部分学生，将他们的竞赛成绩（单位：分）进行整理，并绘制成如下统计图表，其中C组10名同学的成绩依次为：71，74，75，75，76，76，76，78，79，80． 组别 成绩分 组内总成绩/分 A 450 B 640 C 760 D 1200 750 请你根据以上信息，解答下列问题： (1)所抽取学生竞赛成绩的中位数为___________分； (2)求所抽取学生竞赛成绩的平均数； (3)若本次共有500名学生参加竞赛，请你估计竞赛成绩高于80分的学生有多少名？ 11．（2026·陕西宝鸡·一模）（新情境）某书法协会的创意节目《墨韵》以人工智能演绎传统水墨画为核心亮点，收获广泛关注．演出结束后，李老师用科学的抽样方法随机抽取部分现场观众给节目评分，收集到评分（满分10分，且评分均是不低于6分的整数）后，李老师将这些数据进行整理，绘制如下统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)现场观众评分的中位数为________分；并将条形统计图补充完整； (2)求这批现场观众的评分的平均数； (3)若此次演出现场观众3200人均给节目评分，则估计评分是9分及以上有多少人？ 12．（2026·陕西汉中·一模）（新情境）年月日，竹基倾转旋翼无人机首飞成功，标志着我国在竹基复合材料航空应用领域取得重大突破．某无人机研发团队从性能相近的款无人机中随机抽取款，对其在恶劣环境下的飞行稳定性进行评分，并将评分结果（单位：分）整理成如下统计图： 请你根据统计图中的信息，解答下列问题： (1)所抽取无人机在恶劣环境下的飞行稳定性评分的众数为_____分，中位数为_____分； (2)求所抽取无人机在恶劣环境下的飞行稳定性评分的平均数； (3)请你估计这款无人机在恶劣环境下的飞行稳定性评分达到分的有多少款？ 13．（2026·陕西宝鸡·一模）（新情境）在科技飞速发展的当下，人工智能（）已从昔日的科幻概念转变为现实生活中的得力助手，推动着世界格局的深刻变革．某校组织电脑技能竞赛，竞赛结束后从八、九年级各随机抽取相同人数的成绩（每题1分，共10分，成绩均不低于7分），分A，B，C，D四个等级，这四个等级对应的成绩依次为10分，9分，8分，7分．将抽取的八年级和九年级的成绩绘制成统计图如下： 根据以上信息，解答下列问题： (1)各年级抽取的学生人数是______名，抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数是______分，九年级学生竞赛成绩的众数是______分； (2)求抽取的八年级学生竞赛成绩的平均数； (3)若八年级共有800名学生参加此次竞赛，九年级共有600名学生参加此次竞赛，请你估计两个年级竞赛成绩为10分的学生总人数． 14．（2026·陕西西安·一模）年月日“中国航天日”的主题是“海上生明月，九天揽星河”，这是自年以来的第十个“中国航天日”．为了弘扬航天精神，某校开展了航天知识竞答活动，学校随机抽取了部分学生的成绩进行整理，将成绩（单位：分）分成五组：A．；B．；C．；D．；E．．下面给出部分信息： a：C组的数据为：，，，，，，，，，，， b：绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)请补全频数分布直方图； (2)在扇形统计图中，A组所在扇形的圆心角度数是______；随机抽取的这部分学生的成绩的中位数是______分； (3)该校要对成绩在E组的学生进行奖励，按成绩从高到低设一、二等奖，并且一、二等奖的人数比例为，请估计该校名学生中获得一等奖的学生人数． 15．（2026·陕西渭南·一模）十四届全国人大四次会议和全国政协十四届四次会议分别于3月5日和3月4日在北京开幕．某校举办了“两会知多少”知识问答比赛，为了解学生的答题情况，随机抽取了50名学生的比赛成绩（单位：分，满分：100分），根据调查结果绘制成如下不完整的统计图表： 抽取的50名学生的知识问答比赛成绩频数分布表 组别 比赛成绩x/分 频数 组内总成绩/分 A 5 280 B 10 640 C m 1400 D n 920 E 6 560 根据以上信息，解答下列问题： (1)上表中：________，________；本次调查知识问答比赛成绩的中位数落在________组内； (2)求这50名学生知识问答比赛成绩的平均数； (3)若该校共有900名学生参加本次知识问答比赛，请你估计成绩不低于80分的学生人数． 16．（2026·陕西汉中·一模）《典籍里的中国》是一档由中央广播电视总台推出的文化类电视节目，节目通过时空对话的创新形式，讲述典籍在五千年历史长河中的源起、流转．某校开展了“典籍知识闯关赛”，赛后学校随机抽取了部分学生的比赛成绩（设为x，均为整数，且满分100分）进行统计，并按照成绩从低到高分成：A．，B．，C．，D．，E．五个等级，绘制了如图所示不完整的统计图： 其中C等级的分数由低到高分别为：70，70，72，72，74，74，74，75，76，76，77，79． 根据以上信息，解答下列问题： (1)此次活动共抽取了 名学生的成绩，并补全频数分布直方图； (2)本次被抽取的所有成绩的中位数为 分，D组扇形所对应圆心角的度数是 °； (3)若该校共有1500名学生参加此次比赛，成绩不低于80分为优秀，请你估计成绩优秀的学生人数． 17．（2026·陕西西安·一模）（新情境）年是“十五五”开局之年，做好“三农”工作至关重要．为让学生深入了解我国农业相关情况，某校开展了农业知识科普活动，有“农业政策知多少”知识竞赛和“农业科技大讲堂”观后感这两个项目，每个项目都有一个得分，竞赛和观后感的得分按的比例确定个人总分．活动后随机抽取了名学生的个人总分（满分分，成绩用表示，单位：分），将个人总分分成五组（．；．；．；．；．），并绘制成如图所示不完整的频数分布直方图． 根据以上信息，回答下列问题： (1)补全频数分布直方图，所抽取学生个人总分的中位数落在____________组； (2)所抽取学生中，明明和天天各个项目的得分如表（单位：分）： 学生 项目 竞赛 观后感 明明 天天 将个人总分从高到低排列，请通过计算判断明明和天天谁的排名更靠前； (3)若有名学生参加此次活动，请估计个人总分在分及以上的学生人数． 18．（2026·陕西咸阳·一模）（新情境）2026年3月14日是第七个国际数学日，主题是“数学与希望”，旨在强调数学在社会发展中的积极作用．某校在当天开展了趣味数学知识大赛活动，并在比赛结束后从成绩（满分100分，均不低于60分，单位：分）中随机抽取部分成绩，整理后绘制了如下统计图．其中A组有20个成绩，从低到高分别为90，90，91，92，93，93，94，94，95，95，95，96，96，96，96，96，97，97，98，99． 根据以上信息，解答下列问题： (1)A组20个成绩的平均数为______分． (2)本次抽取的所有成绩的个数为______，本次被抽取的A组成绩的中位数为______． (3)学校决定给本次比赛成绩90分及以上的学生发放奖章，该校共有400名学生参加比赛，请估计本次比赛获得奖章的人数． 19．（2026·陕西商洛·一模）（新情境）2026年3月19日，蓝箭航天朱雀二号（）火箭圆满完成复飞任务，标志着我国商业航天迈入常态化发射、规模化运营新阶段．为了解全校学生对我国航天事业的关注情况，宁宁同学随机抽取了该校部分同学，调查了他们每周观看我国航天事业相关视频的时长（单位：分钟），并将调查结果绘制成如下两幅统计图． 请你根据统计图中的信息，解答下列问题： (1)本次调查的学生每周观看我国航天事业相关视频的时长的众数为___________分钟，中位数为___________分钟，扇形统计图中的值为___________； (2)求本次调查的学生每周观看我国航天事业相关视频的时长的平均数； (3)若该校共有名学生，请你估计该校每周观看我国航天事业相关视频的时长为分钟的学生共有多少名？ 20．（2026·陕西·一模）为响应“健康中国”战略，落实“健康第一”理念．很多学校的课间活动时间已从传统的10分钟普遍延长至15分钟，并鼓励学生每天进行锻炼．为了解九年级学生的锻炼时间，张老师从九年级学生中随机抽取了部分学生，统计其上周的锻炼时间，并对统计的数据进行整理，绘制了如下的统计图表： 其中组（）学生上周的锻炼时间为：10，11，11，11，13，14，14． 分组 锻炼时间 频数 组内平均数/ 3 3 7 12 4 17 根据以上信息，解答下列问题： (1)一共调查了_________名学生，表中_________，调查的学生中，上周锻炼时间的中位数是_________； (2)求调查的这些学生上周锻炼时间的平均数； (3)若该校九年级有380名学生，请估计九年级上周锻炼时间超过10小时的有多少人？ 21．（2026·陕西咸阳·一模）（新情境）2026年4月23日是第31个世界读书日，习近平总书记也在多个场合强调过读书的重要性．某校在世界读书日来临前在全校学生中开展了“大阅读”活动，并制定了“大阅读”等级评选方案，每周评选一次，为了解活动开展情况，学校组织对全校“大阅读”等级评选工作进行抽样调查，随机抽取了20名学生的“大阅读”积分x（分值为整数）情况并进行分析． 【收集数据】抽取的20名学生的“大阅读”积分（单位：分）： 10，12，17，21，24，25，28，30，32，32，33，35，35，35，38，40，42，42，46，47． 【整理数据】 积分/分 等级 A B C D 频数 3 5 4 总积分 39 128 280 177 (1)填空：______；抽取的20名学生的“大阅读”积分的中位数为______分； (2)求抽取的这20名学生的“大阅读”积分的平均数； (3)已知该校共有1600名学生，请你估计全校“大阅读”积分高于30分的学生有多少名？ 22．（2026·陕西西安·一模）为了解某校九年级学生立定跳远水平，随机抽取该年级50名学生进行测试，并把测试成绩（单位：）绘制成如下不完整的频数分布表和频数分布直方图． 学生立定跳远测试成绩的频数分布表 分组 频数 12 10 请根据图表中所提供的信息，回答下列问题： (1)请把频数分布直方图补充完整，并填空：__________，__________． (2)样本成绩的中位数落在__________范围内． (3)该校九年级共有800名学生，试估计该年级学生立定跳远成绩在范围内的学生人数． 23．（2026·陕西西安·一模）为了解某市人口年龄结构情况，对该市的人口数据进行随机抽样分析，绘制了如下尚不完整的统计图、表： 人口年龄结构统计表 类别 A B C D 年龄（岁） 人口（万人） 4.7 11.6 2.7 根据以上信息解答下列问题： (1)本次抽样调查，共调查了__________万人； (2)请计算统计表中的值及扇形统计图中“”对应的圆心角度数； (3)该市现有人口约1200万人，请根据此次抽查结果，试估计该市现有60岁及60岁以上的人口数量． 24．（2026·陕西西安·一模）为丰富同学们的校园生活，检验日常学习成果，某校在学期中开展了学科素养达标测试．测试结束后，教务处从全校学生的测试成绩（单位：分，满分100分，均不低于60分）中用分层抽样的方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图． 其中D组共有10个成绩，从高到低分别为：69，68，66，65，65，65，64，63，61，60．根据以上信息，解答下列问题： (1)D组10个成绩的平均数为________；众数为________； (2)本次被抽取的所有成绩的个数为________，扇形统计图中，B组对应扇形的圆心角为________； (3)若测试成绩不低于80分为优秀，估计该校3000名学生中成绩优秀的人数是多少？ 25．（2026·陕西西安·一模）某学校为了更好地开展阳光体育运动，组织八年级学生进行体育测试（百分制），从中随机抽取了部分学生的成绩（成绩用x表示，单位：分），并对数据（成绩）进行整理，数据分为五组，下面给出了部分信息： 抽取的学生体育测试成绩统计表和不完整的扇形统计图如下： 组别 成绩/分 人数（频数） A 1 B 5 C m D 16 E 20 请根据以上信息完成下列问题： (1)随机抽取的学生人数为______人，统计表中的______； (2)求扇形统计图中E组所对应扇形的圆心角度数； (3)若该校八年级共有1200名学生参加了此次体育测试，请你估计该校八年级参加此次体育测试成绩达到60分及以上的学生人数． 26．（2026·陕西西安·一模）2025年9月3日，中国举行了举世瞩目的“九三大阅兵”活动，其规模体现了国家强大军事力量．看完阅兵后，某校开展了“读红色经典，传承奋斗精神”为主题的读书活动，学校对本校学生12月份阅读该主题相关书籍的读书量（以下简称：读书量）进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取的学生的读书量（单位：本）进行了统计．根据调查结果，绘制了不完整的统计表和扇形统计图． 读书量 1本 2本 3本 4本 5本 人数 10 25 30 15 (1)本次调查共抽取学生____________名，表中的值为____________，扇形统计图中“3本”所在扇形圆心角的度数为____________； (2)求本次调查所抽取学生这个月的平均读书量； (3)已知该校有1000名学生，请估计该校学生中，该月读书量不少于“4本”的学生人数． 27．（2026·陕西西安·一模）为了解曲江二中九年级男生在体能测试中引体向上项目的情况，随机抽查了部分男生引体向上项目的测试成绩，绘制如图统计图，请根据相关信息，解答下列问题： (1)本次随机抽样调查的男生人数为___________，图①中的值为___________，中位数为___________； (2)求本次调查获取的样本数据的平均数； (3)若规定引体向上6次及以上为该项目良好，根据样本数据，估计我校九年级560名男生中该项目良好的人数． 统计图表综合决策 考点02 1．（2026·陕西宝鸡·一模）某校在八、九年级举行了“人文地理知识”测试比赛（百分制），并从八、九年级各随机抽取了10名学生的测试成绩，将测试成绩（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．）整理、描述和分析，绘制成如下所示的统计图表： 八、九年级抽取的学生测试成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 92 93 b 37 九年级 92 c 100 39.4 其中八年级10名学生的成绩：96，80，96，86，99，96，90，100，89，88． 九年级10名学生在C组中的成绩：94，90，92． 根据以上信息，解答下列问题： (1)由统计表可估计这次比赛中______年级学生的测试成绩更稳定． (2)直接写出图表中a，b，c的值：a=______，b=______，c=______ (3)该校九年级共800人参加了此次测试比赛，估计参加此次测试比赛成绩优秀（）的九年级学生人数． 2．（2026·陕西咸阳·一模）某校为了解九年级学生的身体健康情况，从九年级随机抽取了若干名学生，测量他们的体重（均取整数，单位：），并将他们的体重进行整理，绘制了如下统计表与统计图： 组别 体重（kg） 频数（人） A 2 B a C 8 D 5 E 4 已知C组的具体体重为（单位：）：54，54，55，55，56，57，59，60． 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：______，所抽取学生体重的中位数是______； (2)所抽取学生平均体重为，小敏的体重是，小敏推测自己的体重在所抽取的学生中处于中下游水平，请问小敏的推测正确吗？请简单说明理由． 3．（2026·陕西·一模）市武术学校打算选派走走、格格两名选手中的一人参加明年的省级锦标赛，现抽取了两人今年内平时考核的次成绩（记为，单位：分），满分为分，分为四个等级：（优秀）；（良好）；（合格）；（待提高）． 走走的十次成绩（分）：． 格格的十次成绩中在组的是：． 另制作了如下两幅统计图表： 走走、格格被抽取的考核成绩统计表 平均数 中位数 方差 走走 格格 格格被抽取的考核成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)走走、格格被抽取的考核成绩统计表中，______，______；格格被抽取的考核成绩扇形统计图中，扇形B对应的圆心角度数为______； (2)求走走被抽取的十次考核成绩的平均数； (3)根据本次调查，请你结合平均数和方差对走走、格格被抽取的十次考核成绩进行评价，并根据评价结果在走走、格格中推荐一位选手代表该校参加比赛． 列表法、树状图求概率 考点03 1．（2026·陕西榆林·一模）（新情境）随着2026年第31个世界读书日的临近，实验中学开展了以“最美人间四月天，不负韶华读书时”为主题的系列读书活动．同学们可以从以下四个主题“A．好书推荐、B．科普读书会、C．阅读马拉松、D．AI数字阅读互动”中任意选择一个参加． (1)若小颖在这4个主题中随机选择一个参加，则选中“B．科普读书会”的概率是________； (2)九年级的小贤和小艺也报名参加了该读书活动，请用画树状图或列表的方法，求他们随机选择选到同一主题读书活动的概率． 2．（2026·陕西汉中·一模）十二生肖是十二地支的形象化代表，是我国历史悠久的民俗文化符号．小辰收集了如图所示的五张不透明的生肖卡片（分别记作A，B，C，D，E），除正面图案不同外，其余完全相同，将其洗匀，背面朝上放置． (1)小辰从这五张卡片中随机抽取一张，恰好抽到“马”的概率是_____________； (2)小辰从这五张卡片中随机抽取一张，不放回，小强再从剩下的四张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求他们两人抽到的卡片中有一张是“马”的概率． 3．（2026·陕西·一模）（新情境）2026年《丙午年》特种邮票全套共两枚，第一枚邮票图案名为“驰跃宏图”，图中一匹红马奔驰于祥云之上、鬃毛如焰；第二枚邮票图案名为“万骏臻福”，图中三匹骏马并驰、祥纹环绕．小骏收集了两套（4枚，即“驰跃宏图”“万骏臻福”各2枚）《丙午年》特种邮票，现将这4枚邮票（除正面图案外其余完全相同）背面朝上洗匀后放在桌面，小骏先从中随机抽取1枚，记下名称后不放回，小亮再从剩下的3枚邮票中随机抽取1枚． (1)小骏抽到的是“驰跃宏图”的概率为___________； (2)请用画树状图或列表的方法，求小骏和小亮两人所抽取的邮票图案上的马的总数为4匹的概率． 4．（2026·陕西宝鸡·一模）我国航天事业不断刷新纪录，重大工程成就举世瞩目，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．明明和亮亮对航天知识产生了极大兴趣，他们在中国载人航天网站了解到，航天知识分为“梦圆天路”、“飞天英雄”、“碧空天链”、“太空家园”等模块．他们决定每人都从这四个模块中随机选择一个进行学习，设这四个模块依次为、、、．（两名同学的选择相互不受影响，且选每个模块的可能性均相同） (1)明明恰好选择“飞天英雄”进行学习的概率是___________； (2)用画树状图或列表的方法求出他们恰好选择不同模块的概率． 5．（2026·陕西·一模）近日，教育部举办了《第七届中华经典诵写讲大赛》，本届大赛分为“诵读中国”经典诵读、“诗教中国”诗词讲解、“笔墨中国”汉字书写和“印记中国”师生篆刻比赛四个类别． (1)我校学生会从有意向参与比赛的学生中抽取若干名学生进行问卷调查，若报名参赛的同学每人只能参加一个类别，那么莹莹同学从中随机选择恰好选到“笔墨中国”汉字书写大赛的概率为______； (2)经过激烈角逐，我校走走老师率领初中部选拔出的两位同学莹莹和格格闯入“诗教中国”诗词讲解比赛决赛，比赛规则是：组委会提供主题为“清明”“端午”“七夕”“重阳”“中秋”的五组题目，由电脑随机给每位参赛选手派发一组题目，选手根据题目要求进行诗词讲解，评委根据讲解情况给选手打分．请用列表或画树状图的方法，求出莹莹和格格两名选手拿到的题目恰好在同一组的概率． 6．（2026·陕西咸阳·一模）习近平总书记指出：建设社会主义现代化强国，关键在科技自立自强．为了让学生进一步了解中国科技的快速发展，某中学九年级组织了一次黑板报比赛，该年级每个班都从“中国天眼”、“时代”、“夸父一号”、“巅峰使命”四个主题中随机选择一个主题作为该班的黑板报主题． (1)该中学九年级（1）班选择主题“夸父一号”的概率为______； (2)请用画树状图或列表的方法，求该中学九年级（1）班和（2）班均没有选择主题“巅峰使命”的概率． 7．（2026·陕西渭南·一模）055型驱逐舰对于中国海军实施“近海防御、远海护卫”战略具有重要意义．某班开展“055驱逐舰”主题班会，班级的每位同学都从南昌舰、拉萨舰、鞍山舰、无锡舰、大连舰、延安舰、遵义舰、咸阳舰、东莞舰、安庆舰这10艘战舰中随机挑选一艘进行介绍，每位同学选择每艘驱逐舰的可能性相同． (1)该班的晓慧选择介绍延安舰的概率为______； (2)该班的军军和乐乐制作了四张正面分别为大连舰、延安舰、咸阳舰、安庆舰的不透明卡片（如图），这些卡片除了正面不同外其余均相同，将四张卡片背面朝上洗匀后放置在桌面上，军军从四张卡片中随机抽取一张，不放回，乐乐再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法求两人均没有抽到咸阳舰的概率． 8．（2026·陕西西安·一模）陕西作为中华文化的重要发源地之一，有着悠久的文化底蕴和历史积淀，也拥有着许多珍贵的文化遗产．如：西安鼓乐、陕北秧歌、秦腔和华阴老腔深受人们喜爱，为了促进同学们热爱家乡的意识，班里准备召开“我为家乡代言”的主题班会． (1)若从中随机抽选一种，喜欢“戏曲”的小明同学恰好抽到心仪的项目的概率是 ； (2)班里决定在以上四种项目中任选一种进行宣传和推广家乡，请利用列表或画树状图的方法分析甲、乙两名同学恰好选中同一种的概率． 9．（2026·陕西渭南·一模）在一次数学游戏活动中，老师设置了A．“实数运算比拼”，B．“根式化简挑战”，C．“方程求解竞赛”和D．“几何证明比赛”四个活动项目，并将分别写有A、B、C、D的四个小球放在一个不透明的箱子中搅匀（这些小球除所写字母不同外其他均相同）．参加活动的每位同学从中随机摸出一个小球，则该同学参与自己所摸小球上字母对应的活动项目，将小球放回箱子中，老师再将箱子中的小球搅匀． (1)参加活动的小丽同学参与的活动项目恰好是C．“方程求解竞赛”的概率为________； (2)小明和小强也参加了这次数学游戏活动，用列表或画树状图的方法求两人参与的活动项目中有A．“实数运算比拼”的概率． 10．（2026·陕西咸阳·一模）汉字是世界上最古老的文字之一，是中华优秀传统文化的重要载体．现有正面分别印着“生”“肖”“午”“马”古文字的四张不透明卡片如图所示，它们除正面外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上，小明先随机抽取一张卡片不放回，再从剩下的三张卡片中随机抽取一张． (1)小明第一次抽中的卡片正面古文字是“马”的概率是___________； (2)请用列表或画树状图的方法，求小明抽取的两张卡片正面的古文字恰好可以组成“生肖”或“午马”的概率．（不分先后顺序） 11．（2026·陕西宝鸡·一模）中国画讲求“以形写神、形神兼备”的基本造型法则，其按题材可分为人物画、山水画、花鸟画三大类（如图），爱好美术的晓伟同学计划从这三类中选择一类进行学习，他制作了两个不透明的小盒子，在盒中放了3个黄球和1个红球，在盒中放了3个红球和1个黄球（这些球除颜色不同外其他均相同），分别摇匀后，先从盒中随机摸出一个球，再从盒中随机摸出一个球．若摸出的两个球均为黄球，则选择人物画进行学习；若摸出的两个球均为红球，则选择山水画进行学习；若摸出的两个球颜色不同，则选择花鸟画进行学习． (1)晓伟从盒中摸出的是黄球的概率为___________； (2)请用列表或画树状图的方法求晓伟最终选择花鸟画进行学习的概率． 12．（2026·陕西宝鸡·一模）剪纸窗花是我国古老的汉族传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，深受大家的喜爱．手工制作课上，小轩剪了4张窗花，然后将其粘在大小相同的正面是白色的卡片（背面完全相同）上，然后将这些卡片背面朝上洗匀，放置在桌面上． (1)若小轩从中随机抽取一张卡片，抽到的窗花图案是“中心对称图形”的概率是________； (2)若小轩从中随机抽取一张卡片，记录下窗花的图案，放回洗匀，再从中随机抽取一张，记录下窗花的图案．请用列表或画树状图的方法，求两次记录的窗花图案均是“轴对称图形”的概率． 13．（2026·陕西宝鸡·一模）3月15日是国际消费者权益日，中国消费者协会及地方各级协会都会举办大规模的宣传活动．运用各种方式宣传消费者的权利．某校在3·15消费者权益宣传活动中，准备了4张除正面不同外背面完全相同的不透明知识卡片供学生学习，其中有2张卡片正面为消费维权知识，2张卡片正面为食品安全知识，将4张卡片背面朝上洗匀放在桌子上． (1)若小丽从这4张卡片中随机抽取1张，则抽到的卡片正面是消费维权知识的概率为_____； (2)甲同学先从这4张卡片中随机抽1张，不放回，乙同学再从剩下的3张卡片中随机抽1张，请用列表法或画树状图法求两人抽到的卡片正面知识类型不同的概率． 14．（2026·陕西渭南·一模）孔子曰：“不学礼，无以立”，礼仪文化是中国传统文化的重要组成部分，也是每一位现代人必备的基本素养．小西和小安准备从社交礼仪、商务礼仪、政务礼仪和涉外礼仪这4个分支中各自随机选择一个进行学习，他们制作了如图所示的四张不透明卡片（卡片除正面内容不同外其他完全相同），背面朝上洗匀后放在桌子上，小西先从中随机抽取一张，记录下卡片上的内容后放回洗匀，小安再从中随机抽取一张，他们分别以自己抽取的卡片上内容为准进行学习． (1)小西抽取的卡片上内容为社交礼仪的概率为________； (2)请用列表法或画树状图法求小西和小安抽取的卡片上都不是涉外礼仪的概率． 15．（2026·陕西宝鸡·一模）（新情境）2026年春节联欢晚会吉祥物形象——“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马，与晚会主题“骐骥驰骋·势不可挡”一脉相承、相得益彰．围绕春晚吉祥物主题推出了各种类型的饰品与文创产品，小明的爸爸买了一套春晚吉祥物钥匙扣盲盒共4个，每个盲盒分别装着“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”吉祥物钥匙扣，这4个盲盒除了里面钥匙扣上的小马不同外其他完全相同． (1)小明随机选择一个盲盒，拆开后里面钥匙扣上的小马是“骐骐”的概率为____________； (2)小明随机选择一个盲盒拆开后，弟弟在剩下的三个盲盒中随机选择一个拆开，用画树状图或列表的方法，求两人拆开的盲盒中钥匙扣上的小马是“驰驰”和“骋骋”的概率．（不分先后顺序） 16．（2026·陕西西安·一模）（新情境）根据2026年3月最新公开资料，教育部部长怀进鹏对学生健康的要求集中体现为“健康第一”的教育理念，并通过“健康教育专项工程”具体落实，确保每天综合体育活动2小时．老师课间调查发现篮球、乒乓球、羽毛球、跳绳四项体育活动深受学生们的喜爱，于是他决定每天将班里的同学随机分成：A．篮球、B．羽毛球、C．乒乓球、D．跳绳四组，以确保学生全员、有序的参加课间体育活动，让学生身上有汗，眼里有光． (1)明天王明同学恰好被分到球类运动项目的概率是______； (2)王明和李虎是好朋友，请利用列表或画树状图的方法，计算出他俩明天被分到同一组的概率． 17．（2026·陕西西安·一模）劳动实践活动的核心在于做中学，强调在真实情境中动手实践、出力流汗，从而接受锻炼、磨炼意志，某校开展种植蔬菜的劳动实践活动，每位同学通过转转盘来确定种植蔬菜的种类，均匀的转盘被四等分，每个扇形里标有对应的蔬菜（．辣椒，．茄子，．西红柿，．豆角），每人转动转盘一次，当转盘停止时，指针落在哪个区域就种植该种蔬菜．（若指针落在分界线上，重转，直到指针指向某一扇形区域内为止） (1)该校的程程转动转盘一次，则她种植B．茄子的概率是____________； (2)请用画树状图或列表的方法求出该校的花花和康康两名同学至少有一人种植西红柿的概率． 18．（2026·陕西·一模）（新情境）中央广播电视总台《年春节联欢晚会》上，人形机器人亮出行云流水的“功夫模式”震撼全球．从科幻走进现实，机器人的表演受到了人们的喜爱．在一次科技展上，机器人小智和团团需要进行表演，已知表演区有三个入口．它们均可以随机从一个入口进入表演区进行表演． (1)机器人小智从口进入表演区的概率是__________； (2)请用画树状图或列表的方法求出机器人小智和团团从不同入口进入表演区的概率． 19．（2026·陕西商洛·一模）（跨学科）通过生物学的学习我们知道，微生物泛指广泛存在于自然界中、形体微小、结构简单的微小生物．为了加深对微生物分类的理解，生物兴趣小组的玥玥和茜茜两位同学制作了如图所示的四张不透明卡片（卡片除正面图案不同外其他均相同），将卡片背面朝上洗匀后，玥玥先从中随机抽取一张，记录下卡片上的微生物名称并放回洗匀，茜茜再从中随机抽取一张，他们分别判断自己所抽取卡片上的微生物种类．（已知真菌和原生动物属于真核细胞型微生物，古菌和细菌属于原核细胞型微生物） (1)玥玥抽到的卡片上的微生物属于原核细胞型微生物的概率为___________； (2)请用列表法或画树状图法，求玥玥和茜茜抽到的卡片上的微生物均属于真核细胞型微生物的概率． 20．（2026·陕西榆林·一模）为增强学生的消防安全意识，某校举行了消防宣传科普活动，并准备了四种灭火器，每位同学通过转动如图所示的均匀转盘来选定灭火器种类并进行演练实操．转盘被四等分，每个扇形里标有对应的灭火器的种类（A．干粉灭火器，B．水基型灭火器，C．二氧化碳灭火器，D．泡沫灭火器），每人转动转盘一次，当转盘停止时，指针落在哪个区域就在专业人士指导下使用该种灭火器．（若指针落在分界线上，则重转，直到指针指向某一扇形区域内为止） (1)该校的同学甲没有转到C．二氧化碳灭火器的概率是______； (2)请用画树状图或列表的方法求出该校的乙，丙两名同学使用不同种类灭火器的概率． 21．（2026·陕西咸阳·一模）在中华文明灿烂的长卷中，唐诗宋词是其中最为绚丽的华章．某班举行诗词朗诵大赛，每位参赛人员需要在：A．《关山月》、B．《夜雨寄北》、C．《武陵春·春晚》、D．《念奴娇·赤壁怀古》这四首古诗词中随机选择一首进行朗诵（A、B为唐诗，C、D为宋词）．该班的小君和小雪参加了此次大赛． (1)小君选择B．《夜雨寄北》的概率是______； (2)请用列表或画树状图的方法，求两人之间只有一人选择宋词的概率． 22．（2026·陕西西安·一模）某校在践行以“安全在我心中，你我一起行动”为主题的手抄报评比活动中，共设置了“A．交通安全”“B．消防安全”“C．饮食安全”“D．校园安全”“E．心理健康安全”五个主题内容，九年级推荐小秦、小博两名学生参加评比，每人从以上五个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同，且相互不受影响． (1)小秦选择“交通安全”主题的概率是__________． (2)请用画树状图法或列表法求小秦、小博两名同学选择不同主题的概率． 23．（2026·陕西西安·一模）有四张背面完全相同的纸牌、、、，其正面分别画有四个不同的几何图形：正三角形；：正方形；：平行四边形；：矩形，将这四张纸牌背面朝上洗匀． (1)从中随机摸出一张，摸出的牌面图形是四边形的概率是__________； (2)小明先从中随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，请利用画树状图或者列表的方法，求两人摸出的牌面图形都是中心对称图形的概率．（纸牌用、、、） 24．（2026·陕西铜川·一模）一个不透明的袋子中装有4个小球，这4个小球上各标有一个数字，分别为1，2，3，4，这些小球除所标数字外完全相同，将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下数字后放回，记作随机摸球1次． (1)随机摸球1次，摸到的小球上的数字为奇数的概率为___________； (2)随机摸球2次，请用列表或画树状图的方法，求两次摸到的小球上的数字之和大于5的概率． 25．（2026·陕西榆林·一模）随着城市化建设的发展，市民出行公共交通越来越方便及多样化，可供市民出行的公共交通方式一般有以下四种：A．公交车，B．共享电动车，C．共享单车，D．地铁，已知每种出行方式被选择的可能性是相同的，且每人出行只选择其中一种公共交通方式． (1)若小美周末要去某公园游玩，她选择的公共交通方式恰好是C．共享单车的概率为___________； (2)小明和小亮相约一起去图书馆学习，要各自选择一种公共交通方式去图书馆，请你通过列表或画树状图的方法，求两人中只有一人选择的公共交通方式是A．公交车的概率． 26．（2026·陕西咸阳·一模）某校开展主题为“逐梦九天”的航天科普活动，设置了五个科普小组，分别探索“载人航天”“探月工程”“火星探测”“北斗导航”“空间站建设”（分别记作）五大航天领域，现有五张背面完全相同的不透明卡片，在卡片正面绘制如图所示的图案． (1)将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“探月工程”的概率为______． (2)各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的科普方向．将这五张卡片背面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组科普方向不同的概率． 27．（2026·陕西西安·一模）如图，有四张背面完全相同的卡片，将它们正面朝下洗匀后放在桌面上 (1)从4张卡片中抽取一张，这张卡片的数字为3的倍数的概率是_______； (2)元旦联欢会需要从小明和小亮中选择一名同学作为男主持人，老师让他俩通过抽卡片的方式选拔，获胜的同学担任主持，游戏规则如下：小明先从中抽出一张卡片，小亮再从剩余的3张卡片中也抽出一张卡片，把两人抽取的卡片上的数字相加，若和大于11小明胜，否则小亮胜，这个游戏公平吗？请用画树状图或列表法的方法说明理由． 28．（2026·陕西西安·一模）国家邮政局发布：2025年纪特邮票发行计划（第一批）共21套、其中2025年3月14日（国际圆周率日）发行的邮票名称为《数学之美》，枚数是4枚．数学兴趣小组的同学对邮票的发布充满期待，同时也尝试进行了邮票的设计．如图，小组分别以“刘徽割圆术”、“莫比乌斯环带”、“埃舍尔的平面镶嵌”、“黄金分割螺旋线”为素材设计了卡片A，卡片B，卡片C；卡片D四张卡片作为邮票的图案部分．卡片背面朝上洗匀放在桌面上（卡片背面完全相同）． (1)小文从中随机抽取一张，抽到“埃舍尔的平面镶嵌”的概率是 ； (2)小文从中随机抽取两张卡片，请用画树状图或列表的方法求小文抽到的两张卡片的图案恰好是“刘徽割圆术”和“黄金分割螺旋线”的概率． 29．（2026·陕西西安·一模）小明和小亮玩游戏：将正面分别写有数字1，7，8，8的四张卡片（这些卡片除数字外其余均相同）洗匀后，背面向上放在桌面上，小明从中任意抽取一张卡片（不放回），小亮从剩余的卡片中任意抽取一张，若两张卡片上的数字之和是8的倍数，则小亮获胜，否则小明获胜． (1)小明抽到写有偶数的卡片的概率是______； (2)请利用画树状图或列表的方法，判断这个游戏是否公平． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $