专题06 图形变换与几何模型（8大考点）（陕西专用）2026年中考数学一模分类汇编

**基本信息** 聚焦图形变换与几何模型，整合陕西多地2026年模考题，覆盖轴对称与折叠、旋转、全等/相似几何模型等8大考点，梯度设计兼顾基础巩固与综合应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约15题|轴对称/中心对称图形判断、平移坐标变换|结合电子元器件符号、传统文化纹样等情境，考查直观想象| |填空|约20题|旋转性质应用、四边形模型计算|融入菱形、矩形折叠问题，强化空间观念| |解答|约20题|全等/相似模型探究、几何最值|设计“一线三等角”模型、智能机器人路径等综合题，匹配中考命题趋势|

专题06 图形变换与几何模型 8大考点概览 考点01轴对称与折叠问题 考点02旋转问题 考点03问题 考点04中心对称问题 考点05全等常见几何模型 考点06相似常见几何模型 考点07四边形常见几何模型 考点08几何最值与动点问题 轴对称与折叠问题 考点01 1．（2026·陕西渭南·一模）下面是部分电子元器件的符号，其中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，已知钝角三角形，．请用尺规作图法，求作，使与关于所在直线对称．（保留作图痕迹，不写作法） 3．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在中，，请用尺规作图法，求作，使与关于所在的直线对称．（保留作图痕迹，不写作法） 旋转问题 考点02 1．（2026·陕西西安·一模）如图，线段绕其中点逆时针旋转得到线段（点、的对应点分别为点、），平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西西安·一模）如图正方形中，E为边上任意一点（不与点A、D重合），将绕点C逆时针旋转至F，连接，取的中点P，若，则的长为______． 3．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在中，，将绕顶点按顺时针方向旋转得到，是的中点，连接．若，，则的长为________． 4．（2026·陕西汉中·一模）如图，将正八边形绕着它的中心旋转后，能够与原来的图形完全重合，则的值可以是_____°．（写出一个符合题意的数即可） 5．（2026·陕西西安·一模）如图，四边形是边长为2的菱形，，将菱形绕点A逆时针旋转，使点B的对应点落在对角线上，交于点E，则四边形的面积等于 ______． 6．（2026·陕西西安·一模）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1个单位长度，的顶点坐标分别是、、．将绕点顺时针旋转后得到，点、分别与点、对应． (1)请在图中画出； (2)求在旋转过程中线段所扫过的图形的面积．（结果保留） 中心对称问题 考点03 1．（2026·陕西渭南·一模）下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西汉中·一模）纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶．下面纹样的示意图中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西咸阳·一模）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西西安·一模）中国的剪纸艺术博大精深，石榴象征“各民族像石榴籽一样紧紧相拥”，表达团结和谐的时代精神，如图是石榴的剪纸图，既是轴对称，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·陕西西安·一模）下列符号中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·陕西西安·一模）如图，在等边中，为的中点，连接，，与B关于点成中心对称，则的长为（   ） A．5 B． C．3 D． 全等常见几何模型 考点04 1．（2026·陕西西安·一模）问题探究： (1)如图①，在中，，过点作直线，再分别过点、作于，于．则图中的相似三角形是_________； (2)如图②，在矩形中，，，点是边上的动点，连接，过点作交于点，在点的运动过程中，求的最大值？ (3)问题解决：如图③，某科创园区正在搭建一个沉浸式户外投影秀场，场地为一块五边形的数字艺术画布，经测绘，米，米，米，，．为了实现动态光影效果，技术人员在画布的、边设置了可移动激光点、，沿虚拟折叠后，点的虚拟投影点恰好落在预设光路上，延长交于．为了让核心投影区域（四边形）的视觉效果最佳，需要其面积最大．求此时折痕的长度． 2．（2026·陕西宝鸡·一模）探究四边形中线段之间的关系，并完成以下问题 (1)【问题提出】 如图1，在四边形中，，连接，，点E是对角线的中点，连接、，若，，则的值为____________； (2)【问题探究】 如图2，在四边形中，点E在上，连接、，已知，，求证：； (3)【问题解决】 如图3，和是某运动场的围栏，出入口A、B分别在、上，且，计划在线段上的点C处修建公共卫生间，、、、、是该运动场内的小路，和分别是健身步道和塑胶跑道（E在线段上），为了满足不同运动人员的需求，要求塑胶跑道尽可能的长．已知，，，，，求塑胶跑道的最大值．（出入口、卫生间的大小和小路、步道、跑道的宽度均忽略不计 3．（2026·陕西西安·一模）问题提出 (1)如图①，为上一点，连接、，当时，__________． 问题探究 (2)如图②，在边长为6的等边中，为的中点，为边上任意一点，连接，并作，使得的一边与交于点，试求出的最大值． 问题解决 (3)如图③，四边形为某美食商业区的平面示意图，其中，，，．经过一段时间的运营，为了更好地服务消费者，打造美食街区的独特风格．市场管理者计划在美食商业区规划一片三角形区域用于美食烹饪表演． 方案：在上选取一点M，上选取一点，连接、、，构造．已知点为美食商业区的出入口，，设． （i）求与之间的函数关系式． （ii）为了不影响其他商户的经营，同时确保表演区域足够集中，需要点与点的距离足够远，请你根据需求计算出当最大时的面积． 相似常见几何模型 考点05 1．（2026·陕西咸阳·一模）如图，菱形的对角线交于点O，点E在边上，且，过点E作交于点F．若，，则的面积为（   ） A．10 B．8 C．6 D．5 2．（2026·陕西榆林·一模）如图，在矩形中，对角线，交于点，点，分别为，的中点，连接，若的面积为，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 四边形常见几何模型 考点06 1．（2026·陕西铜川·一模）如图，是矩形的一条对角线，过点A作，垂足为E，交边于点F，且，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在菱形中，，，点在边上，连接，，点在上，连接、，若，则的长为______． 3．（2026·陕西汉中·一模）问题提出 (1)如图1，在正方形中，E是上的一点，G是上的一点，且，求证：；（提示：延长至F，使，连接） 问题解决 (2)某城市老旧街区有一块四边形的临时施工区域，如图2，其中米，，，．因自来水管道抢修，需在边，上设置临时警示点E，F，并拉警示带形成区域．为避免阻碍交通，需控制为．试问区域面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 4．（2026·陕西榆林·一模）根据所学知识，解答以下问题 【问题提出】 (1)如图1，在正方形中，点分别是边上的点，连接，若，则的度数为___________； 【问题探究】 (2)如图2，在四边形中，，过点作，连接交于点，交于点，求证：； 【问题解决】 (3)如图3，矩形是某公园的一块空地，现公园规划人员计划在该空地中的区域种植鲜花，边上的点处是入口，边上的点处有一口水井，是从到边修的一条地下水管，在点处修建一个观景台．已知，求观景台到水井的距离．（入口、水井和观景台的大小及地下水管的宽度均忽略不计） 几何最值与动点问题 考点08 1．（2026·陕西·一模）如图，在矩形中，，，点E、F分别是边、上的动点（点E不与A、B重合）且，若点G在五边形内，且满足，．则以下结论正确的有（    ）个． ①与一定互补；②点G到边，的距离一定相等；③点G到边，的距离不可能相等；④点G到边的距离的最大值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2026·陕西榆林·一模）如图，在中，，点为平面内一动点，连接，若，则的最小值为___________． 3．（2026·陕西西安·一模）如图，在菱形中，，，E为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为______． 4．（2026·陕西汉中·一模）如图，在矩形中，，，O为对角线的中点，点E在边上，且，点F为边上的一个动点，连接，，则的最大值为_____________． 5．（2026·陕西榆林·一模）如图，在中，，，点D是上的动点，连接，在右侧作菱形，，点G是的中点，连接，则的最小值为______． 6．（2026·陕西咸阳·一模）如图，线段的长为10，点B、D分别在线段的下方和上方，连接、、、，，则四边形面积的最大值为______． 7．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在菱形中，，，为线段上的一个动点，四边形是平行四边形，则的最小值为______． 8．（2026·陕西渭南·一模）如图，在中，，连接，点E、F分别为的中点，点M为边上的动点，点N为射线上的动点，且，连接，当将四边形的面积分为的两部分时，的长为________．    9．（2026·陕西商洛·一模）如图，在中，，点是的中点，点是边上的动点，点是所在直线上的动点，连接、，若的最小值是10，则的面积是___________． 10．（2026·陕西·一模）如图，菱形的边长为2，，是边的中点，为菱形内一动点，连接．，点为的中点，连接，则的最小值为__________． 11．（2026·陕西西安·一模）如图，菱形的边长为，，点在边上，，点、在对角线上，，连接、，则的最小值是______． 12．（2026·陕西榆林·一模）如图，在中，，点为平面内一动点，连接，若，则的最小值为___________． 13．（2026·陕西·一模）如图，矩形中，，，若点为线段上动点，以为斜边向矩形内部作等腰直角，，连接，当有最小值时，点到直线的距离为______． 14．（2026·陕西渭南·一模）【问题提出】 (1)如图1，点A、B、C、D在上，连接、、、，若，则的度数为________； (2)【问题探究】如图2，在中，，，，在上方找一点D，连接、、，，以为边在左侧作等边，求周长的最大值； (3)【问题解决】如图3，是某公园的一块圆形运动休闲区，上的A、B是出入口，小路经过圆心O（即是的直径），是一条长为的小路（C、D均在上，且不与相交），是一条长为的小路，．现要对该休闲区重新规划，在上找一点E，点E与点D在的异侧，连接、，过点D作的垂线，与的延长线交于点F，沿、、修建三条运动跑道，求这三条运动跑道总长度的最大值（即周长的最大值）．（出入口的大小、小路与跑道的宽度均忽略不计） 15．（2026·陕西咸阳·一模）【思路梳理】 (1)如图1，在矩形中，点E在边上，连接，过点E作，交边于点F，，求证：； 【问题解决】 (2)如图2，在某生态农场中，有一块等腰三角形花田，其中，，米，点E、F分别在边上移动（不与端点重合），且．为了优化灌溉系统，以为腰在下方作等腰，使得，，点D是的中点，在点D、G处设置监测点，并规划从D到B、G的路径，使得“”的总路径（即的周长）尽可能短，以减少巡查和管理成本．请你求出周长的最小值．（监测点的大小忽略不计） 16．（2026·陕西西安·一模）问题探究 (1)如图1，在中，点M，N分别在边上，且，过点C，M分别作的平行线，并交于点P，再作射线．则________（请在“”“”或“”中选择一个填入）； (2)在（1）问中，若三角形为等边三角形，则________； 问题解决 (3)某种简易房屋在整体运输前需按如图2所示的方式，用钢丝绳进行加固处理．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图3，是等腰三角形，四边形是矩形，米，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点M在上，点N在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．请你帮小明求出钢丝绳长度的最小值为多少米． 17．（2026·陕西榆林·一模）完成下列问题 (1)如图1，在等腰直角三角形中，，，以点为圆心，半径为作，点是边上的一个动点，点为上的一个动点，求线段的最小值； 问题解决 (2)如图2，兴隆社区有一块四边形空地，其中，，，，，且．现在管理人员计划重新规划这块空地，在空地上找一点，在处建一个灌溉点，要求，然后在区域种植太阳花，在区域种植郁金香，其余部分铺上草坪．其中太阳花的种植成本为元 ，郁金香的种植成本为元 ，求种植太阳花和郁金香的最低成本是多少元？ 18．（2026·陕西咸阳·一模）【问题探究】 (1)如图，在中，，点是边上的动点，连接，则的最小值为___________； (2)如图，在中，，点是延长线上一点，于点，求的长； 【问题解决】 (3)如图，矩形是某校实践活动基地，现要对该实践活动基地重新扩建规划，首先延长至点，使得，在边上找一点建一口水井，沿修一条水渠，再从向修一条小路，使得于点，再沿分别修小路，在四边形内种植果树．已知，求种植果树面积的最小值（即四边形面积的最小值）．（水井的大小和水渠、小路的宽度均忽略不计） 19．（2026·陕西宝鸡·一模）问题提出 (1)如图①，与的面积相等，且有一条公共边，连接，则线段与线段的位置关系是______．（填“相交”或“平行”） 问题探究 (2)如图②，在矩形中，，，G为边上任意一点，为矩形的边上的一条动线段，且，连接，，求的最小值． 问题解决 (3)如图③，一支长18米的队伍沿着射线方向前进，一名观察员从点O出发，行进至点M处．已知米，．当观察员在点M处观察队伍的行进情况时，假设其有效观测角为（），在队伍行进的过程中，是否存在最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由． 20．（2026·陕西汉中·一模）探究解题： (1)问题提出：如图1，在矩形中，，点、分别为边、上的动点，连接，则的最小值为_____； (2)问题探究：如图2，内接于，连接、，，点、分别在、的延长线上，连接，若，求的度数； (3)问题解决：劳动教育是“五育并举”中的重要一环，为培养学生劳动素养，某校拟开辟出一块实验田作为学生劳动实践基地，规划示意图如图3所示，是原有的田地，米，米，，学校计划在所在平面内找一个点，在的延长线上找一个点，按功能板块沿图中线段完成基地区域划分，并沿着修建一段快速通道（宽度忽略不计），根据规划要求，，请你计算快速通道；的最小长度． 21．（2026·陕西宝鸡·一模）按要求解答： (1)【问题提出】如图1，，，连接、交于点，若，则的长为______； (2)【问题探究】如图2，在正方形中，点在边上，，点是对角线上的动点，连接、，求的最小值； (3)【问题解决】如图3，矩形是某公园的一片花海，水井和入口在边上，现要在边上的点修一个凉亭，沿、修两条石板路，边的中点处是游客服务中心，是一条观光长廊，点在线段上，点在边上，在与的交点处修一个观景台，从观景台向游客服务中心修一条石子路．已知m，m，，且，求石板小路与的长度之和最小时，石子路的长．（水井、入口、凉亭、游客服务中心、观景台的大小及小路和观光长廊的宽度均忽略不计） 22．（2026·陕西·一模）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，在三角形纸片绕点旋转的过程中． (1)初步感知 如图，当点落在的延长线上时，求的长； (2)深入探究 如图，当点落在的延长线上时，连接，交于点，求的长； (3)拓展延伸 如图，，连接，延长交于点，点为的中点，连接．在旋转过程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 23．（2026·陕西咸阳·一模）问题提出 （1）边长为3的等边三角形外接圆的半径的长为______． 问题探究 （2）如图①，，射线，点从点出发沿着的方向移动，连接，过点作，求点到的距离的最大值． 问题解决 （3）如图②，已知一片空旷区域的边界为，某农业实验小组需要在空旷区域内规划一片试验田，其具体实施方案与相关数据如下： ①在边界上选取一点，连接，则四边形为选取的试验田； ②连接，在上找一点，连接，使得的度数始终为； ③已知，，，，边界的长度足够长，四边形划分为，，三个部分． 请根据以上方案及数据找出点的位置，使划分的面积最小．说明理由并求出此时的长． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 图形变换与几何模型 8大考点概览 考点01轴对称与折叠问题 考点02平移问题 考点03旋转问题 考点04中心对称问题 考点05全等常见几何模型 考点06相似常见几何模型 考点07四边形常见几何模型 考点08几何最值与动点问题 轴对称与折叠问题 考点01 1．（2026·陕西渭南·一模）下面是部分电子元器件的符号，其中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】轴对称图形沿着某条直线对称后，直线两旁的部分能够完全重合，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、该图形找不到任何一条直线使折叠后两旁部分重合，不是轴对称图形； 选项B、该图形中的斜箭头导致无法沿竖直或水平直线折叠重合，不是轴对称图形； 选项C、该图形中有“”和“”号，沿竖直中线折叠不能重合，不是轴对称图形； 选项D、该图形沿中间竖直直线折叠，左右两部分能够完全重合，是轴对称图形． 2．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，已知钝角三角形，．请用尺规作图法，求作，使与关于所在直线对称．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】作关于的对称点，连接、，即可得到． 解题的关键在于掌握利用轴对称的性质作图步骤． 【详解】解：如图，为所求． 3．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在中，，请用尺规作图法，求作，使与关于所在的直线对称．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】利用轴对称的性质作图即可. 【详解】解：作点关于的对称点，连接，即为所求. 旋转问题 考点02 1．（2026·陕西西安·一模）如图，线段绕其中点逆时针旋转得到线段（点、的对应点分别为点、），平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，角平分线的定义，平角的性质．先求得，利用角平分线的定义求得，再利用平角的性质即可求解． 【详解】解：由题意得， ∵平分， ∴， ∴， 故选：D． 2．（2026·陕西西安·一模）如图正方形中，E为边上任意一点（不与点A、D重合），将绕点C逆时针旋转至F，连接，取的中点P，若，则的长为______． 【答案】 【分析】根据题意，证明，得点共线，再证明，得到，则，证明，得，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，作于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∵将绕点C逆时针旋转至F， ∴， ∴，则， ∴， ∴，则， ∴点共线， ∵点P是中点， ∴在中，，在中，， ∴，且， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 3．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在中，，将绕顶点按顺时针方向旋转得到，是的中点，连接．若，，则的长为________． 【答案】3 【分析】由角所对的直角边是斜边的一半可得，再根据旋转的性质可得，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵将绕顶点按顺时针方向旋转得到， ∴， ∵是的中点， ∴． 4．（2026·陕西汉中·一模）如图，将正八边形绕着它的中心旋转后，能够与原来的图形完全重合，则的值可以是_____°．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】45，90，135，180，225，270，315 【分析】正八边形可以被平分成八部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转45度的整数倍，就可以与自身重合． 【详解】解：该图形被平分成八部分，， ∴该图形绕旋转中心旋转的整数倍时能够与自身重合， ， 可以为或90或135或180或225或270或315． 5．（2026·陕西西安·一模）如图，四边形是边长为2的菱形，，将菱形绕点A逆时针旋转，使点B的对应点落在对角线上，交于点E，则四边形的面积等于 ______． 【答案】/ 【分析】本题考查菱形的性质，旋转的性质，根据菱形的对角线平分一组对角，得出的度数，利用的面积减去的面积求出四边形的面积即可． 【详解】解：连接，交于点， ∵四边形是边长为2的菱形，， ∴， ∴， ∴，，，为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵将菱形绕点A逆时针旋转，使点B的对应点落在对角线上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴四边形的面积等于 ； 故答案为：． 6．（2026·陕西西安·一模）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1个单位长度，的顶点坐标分别是、、．将绕点顺时针旋转后得到，点、分别与点、对应． (1)请在图中画出； (2)求在旋转过程中线段所扫过的图形的面积．（结果保留） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了画旋转图形，求扇形的面积，准确计算是解题的关键． （1）根据旋转的性质，找到、的对应点、，画出，即可求解； （2）扫过的是以点为圆心，以为半径的的圆的面积，再根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： ； （2）解： 、， ， 线段所扫过的图形的面积为． 中心对称问题 考点03 1．（2026·陕西渭南·一模）下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意； 2．（2026·陕西汉中·一模）纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶．下面纹样的示意图中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】轴对称图形是指一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合；中心对称图形是指一个图形绕着一个点旋转，旋转后的图形能与原来的图形重合，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 选项B、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不符合题意； 选项C、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项符合题意； 选项D、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该选项不符合题意． 3．（2026·陕西咸阳·一模）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称图形和中心对称图形的定义，准确地理解相关概念是解题的关键．根据轴对称图形的概念和中心对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】解：对于A选项：图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 对于B选项：图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； 对于C选项：图形是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； 对于D选项：图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意． 4．（2026·陕西西安·一模）中国的剪纸艺术博大精深，石榴象征“各民族像石榴籽一样紧紧相拥”，表达团结和谐的时代精神，如图是石榴的剪纸图，既是轴对称，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称，又是中心对称图形，符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意. 【点睛】轴对称图形的关键是找到对称轴，中心对称图形的关键是找到对称中心. 5．（2026·陕西西安·一模）下列符号中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、旋转后，图形无法与原图重合，不是中心对称图形； B、旋转后，图形无法与原图重合(是轴对称图形)，不是中心对称图形； C、旋转后，图形无法与原图重合(是轴对称图形)，不是中心对称图形； D、旋转后，图形与原图完全重合，是中心对称图形． 故选：D． 6．（2026·陕西西安·一模）如图，在等边中，为的中点，连接，，与B关于点成中心对称，则的长为（   ） A．5 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、中心对称、勾股定理等知识点，熟练掌握等边三角形的性质和中心对称的性质是解题的关键． 根据等边三角形的性质和勾股定理求得，再根据中心对称的性质，即可得． 【详解】解：∵等边中，为的中点， ∴，，， ， ∵， ∴， 解得（负值已经舍去）， ∵与关于点成中心对称， ∴． 全等常见几何模型 考点04 1．（2026·陕西西安·一模）问题探究： (1)如图①，在中，，过点作直线，再分别过点、作于，于．则图中的相似三角形是_________； (2)如图②，在矩形中，，，点是边上的动点，连接，过点作交于点，在点的运动过程中，求的最大值？ (3)问题解决：如图③，某科创园区正在搭建一个沉浸式户外投影秀场，场地为一块五边形的数字艺术画布，经测绘，米，米，米，，．为了实现动态光影效果，技术人员在画布的、边设置了可移动激光点、，沿虚拟折叠后，点的虚拟投影点恰好落在预设光路上，延长交于．为了让核心投影区域（四边形）的视觉效果最佳，需要其面积最大．求此时折痕的长度． 【答案】(1) (2)的最大值为 (3)的长度为米 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，翻折的性质以及二次函数的应用，熟练掌握相关知识点以及准确添加辅助线是解题的关键． （1）根据角度关系，得出，，即可证出． （2）同（1）的证明方法，可得．令，则，可得出，故当时，最大，得出对应的长度即可； （3）延长、，相交于点，由翻折的性质，证出，令，则，根据，得出，再结合，求出的表达式，得出四边形的面积表达式，即可得出对应的值，最后结合勾股定理即可得出结果． 【详解】（1）解：，证明如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． （2）解：同（1）中证明方法，得， ∴， 令，则， ∴， 得， 故当时，最大，此时， 故的最大值为． （3）解：延长、，相交于点，如下图所示： 由翻折的性质，可得，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 令，则， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 令，根据勾股定理得， 故上式为， 解得，故， 同理可证， ∴， ∴， 解得， ∴ ， 变形得， 故当时，最大，为平方米， 此时米，米， 根据勾股定理得米， 故四边形面积最大时．求此时折痕的长度为米． 2．（2026·陕西宝鸡·一模）探究四边形中线段之间的关系，并完成以下问题 (1)【问题提出】 如图1，在四边形中，，连接，，点E是对角线的中点，连接、，若，，则的值为____________； (2)【问题探究】 如图2，在四边形中，点E在上，连接、，已知，，求证：； (3)【问题解决】 如图3，和是某运动场的围栏，出入口A、B分别在、上，且，计划在线段上的点C处修建公共卫生间，、、、、是该运动场内的小路，和分别是健身步道和塑胶跑道（E在线段上），为了满足不同运动人员的需求，要求塑胶跑道尽可能的长．已知，，，，，求塑胶跑道的最大值．（出入口、卫生间的大小和小路、步道、跑道的宽度均忽略不计 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得，再结合勾股定理，求出，即可得解； （2）根据同角的余角相等，得到，利用“”证明，即可得证； （3）在的延长线上截取，连接，先推导出，得到，进而求出，得到， 设，得到 ，记，整理得，令，则，得到，解得 ，即y的最大值为，即可解答． 【详解】（1）解：，点E是对角线的中点，， ， ，， ， ； （2）证明：， ，， ， 在和中， ， ， ； （3）解：在的延长线上截取，连接，如图 ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，由勾股定理，得 ， ∴， 由根号内非负得，即， 记， 移项得 ， 两边平方，得 ， 整理得 ， 令，则 ， 关于u的二次方程有实数根， ∴， 化简得 ， ， 解得 ， 当时，，代入得 ，对应，且满足平方前的等式，因此最大值可达． ∴y的最大值为， 即的最大值为 ． 3．（2026·陕西西安·一模）问题提出 (1)如图①，为上一点，连接、，当时，__________． 问题探究 (2)如图②，在边长为6的等边中，为的中点，为边上任意一点，连接，并作，使得的一边与交于点，试求出的最大值． 问题解决 (3)如图③，四边形为某美食商业区的平面示意图，其中，，，．经过一段时间的运营，为了更好地服务消费者，打造美食街区的独特风格．市场管理者计划在美食商业区规划一片三角形区域用于美食烹饪表演． 方案：在上选取一点M，上选取一点，连接、、，构造．已知点为美食商业区的出入口，，设． （i）求与之间的函数关系式． （ii）为了不影响其他商户的经营，同时确保表演区域足够集中，需要点与点的距离足够远，请你根据需求计算出当最大时的面积． 【答案】(1)90 (2)3 (3)（i）；（ii） 【分析】（1）利用直角三角形两锐角互余即可求解； （2）证明，设，利用相似三角形对应边成比例可得，整理得，利用二次函数的性质求最值即可； （3）（i）延长至点，使得，连接，过点作， 根据题意可知，，利用直角三角形的性质得出，进而证明，设，利用相似三角形对应边成比例求解即可． （ii）过点作的垂线，与的延长线交于点，与交于点．根据（i）所得关系式可知，当时，有最大值为，根据的正切值，设，，结合勾股定理得出的长，从而得出和的长，进而求出、、、，即可得解． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ， ． （2）解：是等边三角形，， ，．     ， ， ， ． 设，则， 为的中点， ， ，整理得， 当时，有最大值，最大值为3，即的最大值为3． （3）解：（i）如图，延长至点，使得，连接，过点作， 根据题意可知，， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ． 设． ， ， 整理得． （ii）如图，过点作的垂线，与的延长线交于点，与交于点． 由（i）可知，， 当时，取得最大值为， 即当时，有最大值为， ， 设，， ， ， ， ． ， ， ，，，， ， ∴当最大时，的面积为． 相似常见几何模型 考点05 1．（2026·陕西咸阳·一模）如图，菱形的对角线交于点O，点E在边上，且，过点E作交于点F．若，，则的面积为（   ） A．10 B．8 C．6 D．5 【答案】B 【分析】根据菱形的性质可得，，再证明，然后根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 2．（2026·陕西榆林·一模）如图，在矩形中，对角线，交于点，点，分别为，的中点，连接，若的面积为，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质可以求出，根据三角形中位线定理可得：，，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知，再根据四边形的面积求出结果． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 的面积为， ， ， 点，分别为，的中点， 是的中位线， ，， ， ， 四边形的面积． 四边形常见几何模型 考点06 1．（2026·陕西铜川·一模）如图，是矩形的一条对角线，过点A作，垂足为E，交边于点F，且，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据题意证明，得到，，作于点，证明，得到，，，再证明，得到，根据勾股定理，，，，算出，即可解题． 【详解】解：四边形为矩形， ，，， ， ，射线交于点， ， ， ， ，， 过点C作于点， ， ， ， ， ， ， ，， 在和中 ∴， ， ， ， ， 在中，由勾股定理： ， ， ． ，，， ， ， ， ． 2．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在菱形中，，，点在边上，连接，，点在上，连接、，若，则的长为______． 【答案】 【分析】过点作交的延长线于点，则可得点是的中点，求得，即可求得，，再利用勾股定理求即可，再根据斜边上中线等于斜边的一半可得，作差即可解答． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点， ， ， ， 在菱形中，， ， ， ，， ， 在中，， ，， ， ． 3．（2026·陕西汉中·一模）问题提出 (1)如图1，在正方形中，E是上的一点，G是上的一点，且，求证：；（提示：延长至F，使，连接） 问题解决 (2)某城市老旧街区有一块四边形的临时施工区域，如图2，其中米，，，．因自来水管道抢修，需在边，上设置临时警示点E，F，并拉警示带形成区域．为避免阻碍交通，需控制为．试问区域面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)存在，区域面积的最小值为平方米 【分析】（1）延长至F，使，连接，证明，得到，，再证明，得到，根据，即可得证； （2）延长至点，使，连接，先证明，再证明，得到，进而得到当的面积最小时，的面积最小，作，作的外接圆，连接，作，设的半径为，根据圆周角定理和垂径定理，推出，在求出的长，进而得到，当最小时，的面积最小，根据，求出的最小值，即可得出结果． 【详解】（1）解：延长至F，使，连接， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：存在； 延长至点，使，连接， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴当的面积最小时，的面积最小， 作，作的外接圆，连接，作，设的半径为， 则，， ∴， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴当最小时，的面积最小， ∵，即， ∴， ∴当时，的面积最小为， ∴区域面积的最小值为平方米． 4．（2026·陕西榆林·一模）根据所学知识，解答以下问题 【问题提出】 (1)如图1，在正方形中，点分别是边上的点，连接，若，则的度数为___________； 【问题探究】 (2)如图2，在四边形中，，过点作，连接交于点，交于点，求证：； 【问题解决】 (3)如图3，矩形是某公园的一块空地，现公园规划人员计划在该空地中的区域种植鲜花，边上的点处是入口，边上的点处有一口水井，是从到边修的一条地下水管，在点处修建一个观景台．已知，求观景台到水井的距离．（入口、水井和观景台的大小及地下水管的宽度均忽略不计） 【答案】(1)45 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，将逆时针旋转90度得到，可知，，，证明，得到，进而可知； （2）根据平行线的性质得到，根据得到，证明，得到，进而可知； （3）延长至点，使得，连接，可知，根据矩形的性质得到，证明，得到，进而可知，，过点作交的延长线于点，则，根据得到，证明，可知，延长交于点，则，证明，得到，即，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形， ∴，， 如图，将逆时针旋转90度得到，可知，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴； （2）证明：， ． 在中，， ∴． 则． ， ， ， ， ； （3）解：延长至点，使得，连接． ． 四边形是矩形，， ． ， ， ， ，即． 过点作交的延长线于点，则， 在中，， ． ， ． 在和中，， ， ，则． 延长交于点，可知四边形是矩形， 则， ． 由得． ， ， ，即， ， 解得或（不合题意，舍去） 综上可得观景台到水井的距离为 几何最值与动点问题 考点07 1．（2026·陕西·一模）如图，在矩形中，，，点E、F分别是边、上的动点（点E不与A、B重合）且，若点G在五边形内，且满足，．则以下结论正确的有（    ）个． ①与一定互补；②点G到边，的距离一定相等；③点G到边，的距离不可能相等；④点G到边的距离的最大值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查矩形的性质、全等三角形的判定以及三角形内角和定理，关键是对知识的掌握和运用，根据矩形的性质得出，又，由四边形内角和为可判断①；过作，，分别交于，交于，根据同角的补角相等，可以求出，然后证明，可以判断②；由，和②的结论可以判断③；当四边形是正方形时，点到的距离最大，从而可以判断④． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 又∵，四边形内角和是， ∴， 故①正确； 过作，，分别交于，交于，如图所示： ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； 延长交于，延长交于， 根据题意可知，，从而得到，即分别为点到边的距离， ∵，， ∴，， ∴，， 由②知，则， 即点到边的距离不相等，故③正确； 在直角三角形中，，当点重合时最大， ∵， ∴，故④正确， 故选：D． 2．（2026·陕西榆林·一模）如图，在中，，点为平面内一动点，连接，若，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】作的外接圆，连接交于点，根据圆周角定理可知，即是等腰直角三角形，则，作于点，则是等腰直角三角形，由勾股定理可得，同理可得，根据勾股定理求出，当点三点共线时，最小为． 【详解】解：作的外接圆，连接交于点， 则，则是等腰直角三角形， 则， 作于点，则是等腰直角三角形． ∵，， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 当点三点共线时，最小为． 3．（2026·陕西西安·一模）如图，在菱形中，，，E为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为______． 【答案】 【分析】利用四边形为平行四边形，得出，，过点作的平行线， 过点作关于线段的对称点，由对称性得，则，当且仅当、、依次共线时，取得最小值，设与交于点，交于点，延长交延长线于点，分别证明四边形和四边形是矩形，求出，，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵为线段上的动点， 如图，过点作的平行线， 过点作关于线段的对称点， 由对称性得， ∴，当且仅当点、、依次共线时，取得最小值， 此时如图，设与交于点，交于点，延长交延长线于点， ∵菱形中，，， ∴， ∴， 由题可得， ∴由对称性可得， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， 即的最小值为． 4．（2026·陕西汉中·一模）如图，在矩形中，，，O为对角线的中点，点E在边上，且，点F为边上的一个动点，连接，，则的最大值为_____________． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理以及三角形三边关系，根据三角形两边之差小于第三边可知，当，，三点共线且 O 在之间时取等号，此时取得最大值，最大值为线段的长. 通过构建直角三角形，利用勾股定理即可求出的长即可． 【详解】解：如图，连接并延长交 于点 ， 在中，根据三角形三边关系可得， 当点F运动到位置，即，，三点共线时，取得最大值，最大值为的长， 过点O作于点M， 四边形是矩形，，， 、， O为对角线的中点，， 、， ， 在中，由勾股定理得：， 点O是矩形中心，点E在上，点F在上， 当E，O，F共线时，O必为中点，此时F点在上， 的最大值为． 5．（2026·陕西榆林·一模）如图，在中，，，点D是上的动点，连接，在右侧作菱形，，点G是的中点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】过点A作于点O，取点H为的中点，连接，证明，则的最小值即为的最小值．当时取最小值，证明的长为，所以根据勾股定理求出的长，则的最小值即为的长． 【详解】解：如图，过点A作于点O，取点H为的中点，连接， 则， 点G是的中点， ， 在菱形中，，， ， ， 即， ， ， 则当最小时，最小， 如图，当时，取最小值， 点是的中点，， ， ， ， ， 根据勾股定理可得， ， 即最小值为． 6．（2026·陕西咸阳·一模）如图，线段的长为10，点B、D分别在线段的下方和上方，连接、、、，，则四边形面积的最大值为______． 【答案】50 【分析】取的中点，连接、，则，由直角三角形的性质可得，，从而得出，进而可得点、、、四点共圆，再结合四边形面积，得出当，时，和的面积最大，此时四边形面积也最大，计算即可得出结果． 【详解】解：如图，取的中点，连接、， 则， ∵， ∴，， ∴， ∴点、、、四点共圆， ∵四边形面积， ∴当，时，和的面积最大，此时四边形面积也最大， ∴四边形面积的最大值为． 7．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在菱形中，，，为线段上的一个动点，四边形是平行四边形，则的最小值为______． 【答案】 【分析】设与交于点，作点，使得且，连接，可得 四边形是平行四边形，得到，即得，作点关于直线的对称点，连接、， 得，即得，根据两点之间线段最短可知，当，，三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长， 过点作垂直过点且平行于的直线，垂足为，利用平移的性质可得，， 最后利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：设与交于点， ∵四边形是菱形，，， ，，， ∵四边形是平行四边形， ，， 作点，使得且，连接， ，， ∴四边形是平行四边形， ， ， 作点关于直线的对称点，连接、， ， ， 根据两点之间线段最短可知，当，，三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长， ，， ∴点可看作由点沿方向平移得到， ∵，， 又∵点到的距离为，点到的距离为，且在的左侧， ∴点在点的左侧个单位，下方个单位处， ∵点在下方个单位处，且在上， ∴点在下方个单位处，且在过点并垂直于的直线上， ∵点与点关于对称， ∴点在上方个单位处，且在过点并垂直于的直线上， 过点作垂直过点且平行于的直线，垂足为， ，， 在中，， 的最小值为． 8．（2026·陕西渭南·一模）如图，在中，，连接，点E、F分别为的中点，点M为边上的动点，点N为射线上的动点，且，连接，当将四边形的面积分为的两部分时，的长为________．    【答案】5 【分析】三角形的中位线定理，得到，进而推出四边形为平行四边形，连接，根据平行四边形的性质，易得，根据将四边形的面积分为的两部分，得到，进而得到，推出，证明，推出，即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵点E、F分别为的中点， ∴， ∵点M为边上的动点，点N为射线上的动点，且， ∴， ∴四边形为平行四边形， 连接，设交于点，则， 当将四边形的面积分为时， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．    9．（2026·陕西商洛·一模）如图，在中，，点是的中点，点是边上的动点，点是所在直线上的动点，连接、，若的最小值是10，则的面积是___________． 【答案】60 【分析】作点E关于的对称点F，连接，过点F作于点P，交于点M，连接，过点C作于点G，根据两点之间线段最短，且垂线段最短，得出此时最小，即最小，从而求出，证明四边形为平行四边形，得出，根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】解：作点E关于的对称点F，连接，过点F作于点P，交于点M，连接，过点C作于点G，如图所示： 根据轴对称可得：，， ∴， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴此时最小，即最小， ∵的最小值是10， ∴此时， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴． 10．（2026·陕西·一模）如图，菱形的边长为2，，是边的中点，为菱形内一动点，连接．，点为的中点，连接，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】过A作交的延长线于N，判定，推出，得到，由含30度角的直角三角形的性质得到， ，由勾股定理求出，再由，即可得到的最小值． 【详解】解：过A作交的延长线于N， ∵四边形是边长为2的菱形，， ∴， ∴， ∵F是中点， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 11．（2026·陕西西安·一模）如图，菱形的边长为，，点在边上，，点、在对角线上，，连接、，则的最小值是______． 【答案】 【分析】在上截取线段，以、为边构造平行四边形，边交于点，连接，交于点，交于点，连接，容易判断是等边三角形，则，，．容易证明，则，结合平行四边形的性质可得，因此，当、、三点共线时，取得最小值．容易证明是等边三角形，则，，从而计算出，，使用勾股定理计算出即可． 【详解】解：如图，在上截取线段，以、为边构造平行四边形，边交于点，连接，交于点，交于点，连接， ∵四边形是菱形， ∴，，，，， ∴是等边三角形， ∴，，， 由勾股定理可得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴当、、三点共线时，取得最小值， ∵， ∴， ∵，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理可得， ∴， 在直角中，， ∴的最小值为． 12．（2026·陕西榆林·一模）如图，在中，，点为平面内一动点，连接，若，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】作的外接圆，连接交于点，根据圆周角定理可知，即是等腰直角三角形，则，作于点，则是等腰直角三角形，由勾股定理可得，同理可得，根据勾股定理求出，当点三点共线时，最小为． 【详解】解：作的外接圆，连接交于点， 则，则是等腰直角三角形， 则， 作于点，则是等腰直角三角形． ∵，， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 当点三点共线时，最小为． 13．（2026·陕西·一模）如图，矩形中，，，若点为线段上动点，以为斜边向矩形内部作等腰直角，，连接，当有最小值时，点到直线的距离为______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是根据轴对称图形的特征转化为最短线段.题为求的最小值，即可转化为求的最小值，当共线时，利用等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，延长使，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 当共线且时，有最小值，最小值为， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴和都是等腰直角三角形， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点到直线的距离为,即中边上的高， ， 解得:． 故点到直线的距离为． 14．（2026·陕西渭南·一模）【问题提出】 (1)如图1，点A、B、C、D在上，连接、、、，若，则的度数为________； (2)【问题探究】如图2，在中，，，，在上方找一点D，连接、、，，以为边在左侧作等边，求周长的最大值； (3)【问题解决】如图3，是某公园的一块圆形运动休闲区，上的A、B是出入口，小路经过圆心O（即是的直径），是一条长为的小路（C、D均在上，且不与相交），是一条长为的小路，．现要对该休闲区重新规划，在上找一点E，点E与点D在的异侧，连接、，过点D作的垂线，与的延长线交于点F，沿、、修建三条运动跑道，求这三条运动跑道总长度的最大值（即周长的最大值）．（出入口的大小、小路与跑道的宽度均忽略不计） 【答案】(1)40 (2)27 (3) 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等即可得结果； （2）根据题意，点D在以为直径的上，三点在同一直线上时，即可求出 周长的最大值； （3）作于，连接，，， 求得，， ，进而求得，即可求得，，证明是等边三角形，进而可得，，得 的周长为，当是的直径时最大 ，即可求出这三条运动跑道总长度的最大值． 【详解】（1）解：，， ； （2）解： ， 点D在以为直径的上，如图： ， ， 连接，， ， 时最大，如图： 此时，三点在同一直线上， 在中， ， ， 等边中，， 周长的最大值为； （3）解：作于，连接，，， ，是一条长为， ，， 在中，， 是一条长为的小路， ， ， ， ， 中，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 中，，， 的周长为， 点E在上， 是的直径时最大，为， 周长的最大值为． 即这三条运动跑道总长度的最大值为． 15．（2026·陕西咸阳·一模）【思路梳理】 (1)如图1，在矩形中，点E在边上，连接，过点E作，交边于点F，，求证：； 【问题解决】 (2)如图2，在某生态农场中，有一块等腰三角形花田，其中，，米，点E、F分别在边上移动（不与端点重合），且．为了优化灌溉系统，以为腰在下方作等腰，使得，，点D是的中点，在点D、G处设置监测点，并规划从D到B、G的路径，使得“”的总路径（即的周长）尽可能短，以减少巡查和管理成本．请你求出周长的最小值．（监测点的大小忽略不计） 【答案】(1)见解析 (2)米 【分析】（1）由矩形的性质得到，可证明，，则可证明，得到； （2）在上取一点T，连接使得，可证明，得到，则可证明，得到，进而证明，则可推出，故点G在以点C为端点，且与的夹角（锐角）为的射线（在上方）上；作点D关于射线的对称点K，连接，可证明当三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为；由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，在上取一点T，连接使得， ∵，， ∴， ∴， ∴； ∵，且， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴点G在以点C为端点，且与的夹角（锐角）为的射线（在上方）上； 如图所示，作点D关于射线的对称点K，连接， ∵点D为的中点， ∴米； 由轴对称的性质可得米，， ∴； ∵的周长， ∴当三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为； 在中，由勾股定理得米， ∴的周长的最小值为米． 16．（2026·陕西西安·一模）问题探究 (1)如图1，在中，点M，N分别在边上，且，过点C，M分别作的平行线，并交于点P，再作射线．则________（请在“”“”或“”中选择一个填入）； (2)在（1）问中，若三角形为等边三角形，则________； 问题解决 (3)某种简易房屋在整体运输前需按如图2所示的方式，用钢丝绳进行加固处理．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图3，是等腰三角形，四边形是矩形，米，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点M在上，点N在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．请你帮小明求出钢丝绳长度的最小值为多少米． 【答案】(1) (2) (3)米 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，得到，再由，可得； （2）由等边三角形的性质和平行线的性质可得；由等边对等角和三角形外角的性质可得，即； （3）过点M作，过点D作交于点P，连接，同理可证明，得到；由矩形的性质得到，则可证明，得到，则，据此可确定点P在以点A为端点，且与的夹角为的射线上运动，故当时，有最小值，即此时有最小值，求出；过点C作于点T，则，解直角三角形推出的长，证明，求出当时，的长即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴； 由（1）得， ∴， ∵， ∴，即； （3）解：如图所示，过点M作，过点D作交于点P，连接， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴； ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点P在以点A为端点，且与的夹角为的射线上运动， ∴当时，有最小值，即此时有最小值， ∵， ∴； 如图所示，过点C作于点T，则， 在中，米， ∴米； ∵， ∴当时，米， ∴钢丝绳长度的最小值为米． 17．（2026·陕西榆林·一模）完成下列问题 (1)如图1，在等腰直角三角形中，，，以点为圆心，半径为作，点是边上的一个动点，点为上的一个动点，求线段的最小值； 问题解决 (2)如图2，兴隆社区有一块四边形空地，其中，，，，，且．现在管理人员计划重新规划这块空地，在空地上找一点，在处建一个灌溉点，要求，然后在区域种植太阳花，在区域种植郁金香，其余部分铺上草坪．其中太阳花的种植成本为元 ，郁金香的种植成本为元 ，求种植太阳花和郁金香的最低成本是多少元？ 【答案】(1) (2)最低成本为元 【分析】（1）连接，过点作，垂足为，解直角三角形，求得，根据得出的最小值，即可求解； （2）先求得，在右侧作以为底的等腰直角三角形，连接，得点在以点为圆心，半径为的上运动，根据得出，设种植太阳花和郁金香所需成本为，则，连接，过点作，得出，求得，过点作于点，过点作于点，过点作于点，则四边形为矩形，解直角三角形求得，根据得出的最小值，进而求得，代入即可求解． 【详解】（1）解：如图1，连接，过点作，垂足为． ∵是等腰直角三角形，且， ∴． ∴． ∵． ∴， ∴的最小值为； （2）∵，且， ∴． 如图2，在右侧作以为底的等腰直角三角形，连接， ∴， ∴． ∵， ∴点在以点为圆心，半径为的上运动， ∴． ∵， ∴． 设种植太阳花和郁金香所需成本为， 则． ∵，， ∴． 如图2，连接，过点作 ∵，，， ∴， ∴重合， ∴， ∴． 如图2，过点作于点，过点作于点，过点作于点， 四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴ ． ∴（元）， ∴最低成本为元． 18．（2026·陕西咸阳·一模）【问题探究】 (1)如图，在中，，点是边上的动点，连接，则的最小值为___________； (2)如图，在中，，点是延长线上一点，于点，求的长； 【问题解决】 (3)如图，矩形是某校实践活动基地，现要对该实践活动基地重新扩建规划，首先延长至点，使得，在边上找一点建一口水井，沿修一条水渠，再从向修一条小路，使得于点，再沿分别修小路，在四边形内种植果树．已知，求种植果树面积的最小值（即四边形面积的最小值）．（水井的大小和水渠、小路的宽度均忽略不计） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据垂线段最短，确定时最小，再利用等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，由求出的最小值为； （）先由已知条件求出各边长度，再证明与相似，最后根据相似三角形对应边成比例，计算出的长度； （）将四边形的面积拆分为与的面积之和，先由矩形边长算出的面积，将求四边形面积最小值转化为求面积最小值；再把面积表示为点到的距离的函数，结合点的运动轨迹(以中点为圆心的圆)，利用垂线段最短求出点到的最小距离，最终算出四边形的最小面积． 【详解】（1）解：根据垂线段最短，当时，取得最小值，如图： ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴； （2）解：， ，则． ， ． ， ， ， ． （3）解：连接，则． 四边形是矩形，， ， ， ， ， 要求四边形面积的最小值，只需求出面积的最小值． 过点作于点， 则， 只需求出点到的距离的最小值． 以的中点为圆心，为半径作， ，即， 点在上方的上运动． 过点作于点交于点，连接． ， 当点移动到点的位置时，点与点重合，此时点到的距离最小，最小值为的长． 是的中点， ， ． 在和中，， ， ，即， ， ， ， 故种植果树面积的最小值为． 19．（2026·陕西宝鸡·一模）问题提出 (1)如图①，与的面积相等，且有一条公共边，连接，则线段与线段的位置关系是______．（填“相交”或“平行”） 问题探究 (2)如图②，在矩形中，，，G为边上任意一点，为矩形的边上的一条动线段，且，连接，，求的最小值． 问题解决 (3)如图③，一支长18米的队伍沿着射线方向前进，一名观察员从点O出发，行进至点M处．已知米，．当观察员在点M处观察队伍的行进情况时，假设其有效观测角为（），在队伍行进的过程中，是否存在最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)平行 (2)的最小值为 (3)的最大值为 【分析】（1）分别作和底边上的高，可证四边形为长方形即可； （2）作点E关于的对称点，连接，利用对称性结合，再根据勾股定理求边长即可； （3）过点M作的平行线，作的外接圆，圆心为C，则当与相切时，满足最大，则存在最大值，再解三角形得到即可． 【详解】（1）解：分别作和底边上的高， ， 与的面积相等，且有一条公共边， ，则四边形为长方形， ，即， 则线段与线段的位置关系是平行； （2）解：如图1，作点E关于的对称点，连接， 设与交于点，连接，， 根据对称性可知，， ∴， 即当点G与点重合时，满足最小， ∵， ∴， 在中， ∴的最小值为； （3）解：存在．如图2，过点M作的平行线，作的外接圆，圆心为C， 当与相切时，满足最大，则存在最大值， 在上取一点，连接，，设与的交点为点E，连接， 则，故满足度数最大， 与相切时，连接并延长，的延长线与交于点D，连接，， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 设的半径为r，则由，可知， ∴， 在中，，即，解得， ∴，即的最大值为． 20．（2026·陕西汉中·一模）探究解题： (1)问题提出：如图1，在矩形中，，点、分别为边、上的动点，连接，则的最小值为_____； (2)问题探究：如图2，内接于，连接、，，点、分别在、的延长线上，连接，若，求的度数； (3)问题解决：劳动教育是“五育并举”中的重要一环，为培养学生劳动素养，某校拟开辟出一块实验田作为学生劳动实践基地，规划示意图如图3所示，是原有的田地，米，米，，学校计划在所在平面内找一个点，在的延长线上找一个点，按功能板块沿图中线段完成基地区域划分，并沿着修建一段快速通道（宽度忽略不计），根据规划要求，，请你计算快速通道；的最小长度． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】（1）当时，的值最小,此时，四边形是矩形，,的最小值为3； （2）求出，由，得，可得，得； （3）求出，∴,根据，得，即得． 【详解】（1）解：∵矩形中，，且，点、分别为边、上的动点， ∴当时，的值最小， 此时，， ∴四边形是矩形， ∴, ∴的最小值为3． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：∵中，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故的最小长度为米． 21．（2026·陕西宝鸡·一模）按要求解答： (1)【问题提出】如图1，，，连接、交于点，若，则的长为______； (2)【问题探究】如图2，在正方形中，点在边上，，点是对角线上的动点，连接、，求的最小值； (3)【问题解决】如图3，矩形是某公园的一片花海，水井和入口在边上，现要在边上的点修一个凉亭，沿、修两条石板路，边的中点处是游客服务中心，是一条观光长廊，点在线段上，点在边上，在与的交点处修一个观景台，从观景台向游客服务中心修一条石子路．已知m，m，，且，求石板小路与的长度之和最小时，石子路的长．（水井、入口、凉亭、游客服务中心、观景台的大小及小路和观光长廊的宽度均忽略不计） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由得，，结合用证，推出，再由即可求出； （2）先根据正方形性质和已知条件算出、的长度，再利用正方形对角线的轴对称性，用证，将转化为，把转化为，根据两点之间线段最短得出最小值为的长，最后用勾股定理算出即可得出的最小值； （3）先根据矩形性质和已知条件算出各基础边长，作点关于的对称点，可将转化为'，得出其最小值为的长，再由推出，用证，得到是的中点，过作的垂线，由且，证得四边形是矩形，利用等角的正切值相等列比例式算出的长度，进而求出． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵四边形是正方形，， ∴，，，，则 连接、，如图2， 在和中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴当点在与的交点处时，最小，最小值为的长， 在中，，， ∴， ∴的最小值为； （3）解：∵四边形是矩形，m，m，， ∴，，m，则m， ∴m， 作点关于的对称点，连接、，交于点，交于点，如图3， ∴m，， ∴m，，当点、、三点共线时，最小，最小为，此时点在点的位置，连接， ∵m， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴，，即点是、的中点， 过点作于点，则，m， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，则， ∴，即， ∴m， ∴m， ∴石板小路与的长度之和最小时，石子路的长为40m． 【点睛】本题综合考查全等三角形的判定与性质、特殊四边形的性质、最短路径（将军饮马）模型，核心是利用对称转化折线段为直线段求最值，结合全等、特殊四边形性质与勾股定理及三角函数完成计算，其中对称转化是解决最短路径问题的关键，全等是推导中点等关键位置的核心工具． 22．（2026·陕西·一模）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，在三角形纸片绕点旋转的过程中． (1)初步感知 如图，当点落在的延长线上时，求的长； (2)深入探究 如图，当点落在的延长线上时，连接，交于点，求的长； (3)拓展延伸 如图，，连接，延长交于点，点为的中点，连接．在旋转过程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，最小值为． 【分析】（）由勾股定理得，然后通过即可求解； （）过作交于，过作于，由题意知，，通过，则，再证明，所以，即，则，从而求解； （）过作交延长线于，连接，由题意知，，，，则，证明，所以，即是的中点，可得是的中位线，所以，要使最小，只需最小，此时三点共线，的最小值为，则的最小值为． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 由题意知，， 在中，， ∴； （2）解：如图，过作交于，过作于， 由题意知，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； （3）解：如图，过作交延长线于，连接， 由题意知，，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴，即是的中点， ∵点为的中点， ∴是的中位线， ∴， 要使最小，只需最小， 此时三点共线，的最小值为， ∴的最小值为． 23．（2026·陕西咸阳·一模）问题提出 （1）边长为3的等边三角形外接圆的半径的长为______． 问题探究 （2）如图①，，射线，点从点出发沿着的方向移动，连接，过点作，求点到的距离的最大值． 问题解决 （3）如图②，已知一片空旷区域的边界为，某农业实验小组需要在空旷区域内规划一片试验田，其具体实施方案与相关数据如下： ①在边界上选取一点，连接，则四边形为选取的试验田； ②连接，在上找一点，连接，使得的度数始终为； ③已知，，，，边界的长度足够长，四边形划分为，，三个部分． 请根据以上方案及数据找出点的位置，使划分的面积最小．说明理由并求出此时的长． 【答案】（1）（2）4（3） 【分析】（1）根据等边三角形的性质，结合三角形外接圆的圆心为三角形三边中垂线的交点，进行求解即可； （2）取的中点，连接，作，根据斜大于直，得到，即可得出结果； （3）易得，为定值，根据，得到当的面积最大时，的面积最小，作的外接圆，连接，作，得到，进而得到当三点共线时，最大，此时点G、F重合，根据，得到当即最大时，的面积最大，此时的面积最小，证明为等边三角形，作，求出的长，进而求出的长即可. 【详解】解：（1）如图，为边长为3的等边的外接圆，则垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴，即边长为3的等边三角形外接圆的半径的长为； （2）取的中点，连接，作，则， ∵，， ∴， ∴， ∴求点到的距离的最大值为4； （3）∵，，，， ∴，为定值， ∵， ∴当的面积最大时，的面积最小， 作的外接圆，连接，作， 则， ∴， ∵， ∴当三点共线时，最大，此时点F、G重合， ∵， ∴当即最大时，的面积最大，此时的面积最小，如图， ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， 作，则， 在中，， ∴. 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $