专题05 圆（6大考点）（陕西专用）2026年中考数学一模分类汇编2026年中考数学一模分类汇编

**基本信息** 陕西地区2026年一模模拟题汇编，聚焦圆的6大核心考点，以桥洞、筒车等现实情境和《九章算术》等文化素材为载体，覆盖选择、填空、解答题型，梯度适配中考复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约15题|垂径定理、圆周角推论|结合秦岭隧道等工程情境考查实际应用| |填空|约15题|圆内接四边形、正多边形|融入《梦溪笔谈》会圆术等文化背景| |解答|约30题|切线判定与性质|综合几何证明与线段计算，如切线与直径的位置关系证明|

专题05 圆 6大考点概览 考点01圆的基本性质与垂径定理 考点02圆心角、圆周角定理及推论 考点03切线的判定与性质 考点04圆内接四边形 考点05正多边形与圆 考点06弧长、扇形面积与阴影面积计算 圆的基本性质与垂径定理 考点01 1．（2026·陕西榆林·一模）如图，为的直径，弦与交于点E，已知，，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质求出的度数，再利用圆的半径相等得到，进而求出的度数，最后利用角的和差关系及邻补角定义求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 2．（2026·陕西汉中·一模）如图，为的弦，点为的中点，连接并延长交于点，连接，若，则的度数为_____． 【答案】/36度 【分析】连接，根据等边对等角得，根据垂径定理推论得，根据直角三角形性质得，根据角的和差关系得，再根据等边对等角即可求得答案． 【详解】解：连接， 则， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴, ∴， ∴， ∴． 3．（2026·陕西·一模）如图，在中，弦垂直于直径，垂足是，已知，则的长为__________． 【答案】 【分析】根据三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质得，得出是等腰直角三角形，进而根据垂径定理和勾股定理得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∵弦垂直于直径 ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ 4．（2026·陕西榆林·一模）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章记载了计算弧田面积所用的经验公式．如图，、、是⊙O的半径，于点D，《方田》章计算弧田面积所用的经验公式：，若，，按照这个公式计算，的值为______． 【答案】10 【分析】先根据垂径定理得到，再利用勾股定理求得，则，进而由所给公式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．（2026·陕西·一模）如图，为的直径，弦于点F，于点E，若，，则的长度为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，灵活运用垂径定理和勾股定理求出边的长度是解题的关键． 如图：连接，根据勾股定理求出，根据垂径定理求出，可求出，设，则，根据勾股定理得出，求出，再根据勾股定理求出，根据垂径定理求出，即可求出的长． 【详解】解：如图：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 圆心角、圆周角定理及推论 考点02 1．（2026·陕西西安·一模）如图，为的直径，点、在上，点为劣弧的中点，连接、、、．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等边对等角及三角形内角和定理求出，再根据“同弧（等弧）所对的圆心角相等”得出，然后根据圆周角定理得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵点是的中点， ∴， ∴． 2．（2026·陕西西安·一模）如图，为的直径，、为上的两点，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，如图，根据圆周角定理得到，，然后利用互余计算的度数． 【详解】解：连接，如图， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴． 【点睛】圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径． 3．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，是的直径，A，D为上的两点，与相交于点E，，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理得出，再由三角形内角和定理即可求解 【详解】解：∵，， ∴， ∴ 4．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，点，，，均在上，连接，，，，于点，若，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，，先证明，得出，再结合同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行作答即可． 【详解】解：如图，连接，，， 点，，，均在上，， ，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 5．（2026·陕西汉中·一模）如图，点A，B，C，D在上，且，若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由同圆或等圆中等弧所对的圆心角相等可得，再利用等边对等角以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵点A，B，C，D在上，，若， ∴， ∵， ∴，即选项D符合题意． 6．（2026·陕西西安·一模）如图，是的直径，C，D是上的点，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据直径所对的圆周角为直角，得出，根据同弧或等弧所对的圆周角相等得出，，最后求出结果即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 7．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在中，，点在劣弧上．若，则的度数为______度． 【答案】 【分析】先连接，根据圆周角定理，由的度数求出的度数；再结合已知的的度数，求出的度数；最后再次利用圆周角定理，求出的度数． 【详解】解：连接， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ 8．（2026·陕西渭南·一模）如图，、、都是的半径，连接、．若，，则的度数为______°． 【答案】 80 【详解】解：， . ， ． 9．（2026·陕西西安·一模）如图，是的直径，点C、D在上，且在的两侧，连接，若，则的度数为____________． 【答案】/100度 【分析】先推导出，进而得到，则，即可解答． 【详解】解：∵同为的圆周角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，内接于，为的直径，点B是的中点，延长至点D，连接，若，，则的长为________． 【答案】4 【分析】根据题意得，，，，求得，，根据计算即可． 【详解】解：∵内接于，为的直径，点B是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 11．（2026·陕西渭南·一模）如图，是的直径，是的弦，，点E是劣弧上一点，连接交于点F，若，则的度数为________°． 【答案】 【分析】根据垂径定理可得，再根据直角三角形的锐角互余即可求解． 【详解】解：∵，为的直径， ∴， ∵， ∴． 12．（2025·陕西西安·一模）如图，是的直径，，若，则的度数为__________． 【答案】/35度 【分析】此题考查弧、弦、圆心角的关系，等边对等角和三角形的外角． 根据等边对等角和三角形的外角可得，然后根据弧、弦、圆心角的关系解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 13．（2026·陕西西安·一模）如图，AB，为的直径，点E为的中点，连接，若，则的度数为______． 【答案】/63度 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，弧、弦和圆心角的关系，对顶角相等，三角形内角和定理等知识，连接，首先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，进而可知，再根据“弧、弦和圆心角的关系”可得，然后在中，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：连接，如下图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，为的弦，连接、，点在上连接并延长交于点，连接，若，则的度数为___________°． 【答案】 30 【分析】首先根据点在上得出的度数，利用等边对等角及三角形内角和定理求出的度数，进而求出的度数，最后根据圆周角定理求解即可 【详解】解：点在上，， ， ， ， ， ， ， 与分别是所对的圆周角和圆心角， ． 15．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，内接于，连接、，若，，则的度数为______． 【答案】25 【分析】连接，根据圆周角定理求得，则可得的度数，根据，求得的度数，即可求得． 【详解】解：如图，连接， ， ， ，， ， ， ． 16．（2026·陕西西安·一模）如图，是的外接圆，且为直径，为中点，连接，若，则______． 【答案】 【分析】连接，，由圆周角定理可得的度数，再由平角的定义可得的度数，根据为中点，可得的度数，最后再根据圆周角定理可得的度数． 【详解】解：如图，连接，， ， ， ， 为中点， ， ． 17．（2026·陕西西安·一模）如图，是的直径，弦交于点，若半径长为，，，则的面积是______． 【答案】/ 【分析】连接，过点作于点，根据圆周角定理得到，由直径所对的圆周角是直角得到，在中求出的长，分别在和中解直角三角形求出、、的长，进而得到的长，最后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：连接，过点作于点，， ∵是的直径， ∴， ∵与都是弧所对的圆周角， ∴， 在中，， ∴， 在中，，， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， ∴． 18．（2026·陕西西安·一模）如图，是的直径，、是的两条弦，连接，，平分，则的度数为____________． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理．根据同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴ ∵平分， ∴， 故答案为：. 19．（2026·陕西咸阳·一模）如图，内接于，是的直径，点是下方上一点，连接，若 ，则的度数为________． 【答案】/度 【分析】先利用直径所对圆周角为直角，结合已知求出；再由等腰得，结合等腰与，证得平分，算出；最后根据同弧所对圆心角是圆周角的2倍，求出． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰三角形，， ∵， ∴是等腰三角形，， ∵， ∴，即平分， ∴， ∵是弧所对的圆周角，是弧所对的圆心角， ∴． 20．（2026·陕西铜川·一模）如图，是的直径，C，D是上的点，，E是上一点，连接并延长交于点F，延长，交于点G，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据为的直径，可得，根据得出，进而得出，即可得出； （2）根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，进而求得，勾股定理求得，再证明，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：是的直径， ． ． ， ． ． ， ． ，即． （2）解：，，， ，． ． ，． ．     由（1）可知，， ． ， ． ，即． ． 切线的判定与性质 考点03 1．（2026·陕西铜川·一模）如图，点，在上，是的直径，过点作的切线交的延长线于点．连接，，，若，则的度数为___________． 【答案】 【分析】连接，根据圆周角定理得，根据切线的性质得，由三角形内角和即可得出的度数． 【详解】解：连接，如下图所示： ∵与所对的弧相同， ∴， ∵AP为的切线， ∴， ∴． 2．（2026·陕西西安·一模）如图，四边形内接于，点为的中点，连接，过圆心，过点作的切线交的延长线于点．若，，则半径为______． 【答案】5 【分析】连接并延长交于点，先证明四边形是矩形，设的半径为，在中，由勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：连接并延长交于点， ∵点D为的中点， ∴，， ∵是的切线， ∴， ∵过圆心O， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 设的半径为，则，， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ∴半径为5． 3．（2026·陕西西安·一模）如图，已知，点P在边上，请用尺规作图法，求作，使圆心O在边上，且与边相切于点P．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的判定． 过点P作的垂线，交于点O，以点O为圆心，以的长为半径作圆即可． 【详解】解：如图，即为所求作的圆． 由作法可知， 是的半径，且， ∴是的切线， ∴即为所求作的圆． 4．（2026·陕西西安·一模）如图，在中，，点O在边上，与相切于点D，与相交于A，E两点，连接． (1)求证：平分； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)7.5 【分析】本题主要考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直角，角平分线的证明，相似三角形的性质和判定， 对于（1），根据切线的性质说明，可得，再根据“等边对等角”得，进而得出，则答案可得； 对于（2），先证明，可得，即可求出，再根据勾股定理求出答案． 【详解】（1）证明：∵是的切线， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：∵是的直径， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 设，根据勾股定理，得 ， 解得， 所以的半径是7.5． 5．（2026·陕西渭南·一模）如图，是的直径，C是上异于A、B的点，点D在的延长线上，连接交于点E，过点E作的切线交于点F，且，连接交于点H，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由圆的切线的性质，得出，则，根据等边对等角，得出，即可得证； （2）根据平行可证，则，得出，则，由直径可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 是的直径， ， 6．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在中，以为直径的交于点，过点的切线交于点，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质得出直角，证明，得出，即可得出结论； （2）连接，根据直径得出直角，得出，根据勾股定理列出方程求解． 【详解】（1）证明：如图，连接． 是的切线， ． ， ， ， ； （2）解：连接． 是的直径， ，则． ，即点是的中点， ． 在中，， ， 解得， 的半径为． 7．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，为的直径，点在上，连接、，，点为劣弧的中点，过点作的切线交的延长线于点．点在半径上，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接交于点，根据垂径定理，以及切线的性质推出，，即可证明； （2）过点作于点，结合平行线性质，等腰三角形性质和判定，直角三角形性质推出，利用推出，设，则，，再利用勾股定理，以及线段的和差求解，即可解题． 解题的关键在于灵活运用相关知识，并作辅助线构造直角三角形． 【详解】（1）证明：连接交于点， 点为劣弧的中点， ， 为的切线， ； （2）解：过点作于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 设， 则，， ， ， ， ． 8．（2026·陕西汉中·一模）如图，为的直径，为的弦，交于点，过点作的切线交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)若的半径为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：如图，连接，过点作于， ∵的半径为，， ∴，， ∴，， ∵为的直径， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 9．（2026·陕西西安·一模）如图，在中，，以为直径的交于点D，作交于点E，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用等边对等角和平行线的性质得出，证明，得出，即可证明； （2）连接，证明，利用全等得出， 平行线分线段成比例求出，通过证明，列式求出，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， ， ， 又，， ， ， ∵是的半径， 是的切线； （2）解：连接， 为的直径， ， ， ，， ∴， ， ， ，， ， ， ， ． 10．（2026·陕西西安·一模）如图，是的直径，弦交于点E，点E是的中点，连接，过点B作的切线，连接，． (1)求证：； (2)若的半径为6，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据垂径定理的推论得到，根据切线的性质得到，可知； （2）根据平行线的性质得到，，可知，证明，得到，即可求出的长． 【详解】（1）证明：点E是的中点，是的直径， ， 即， 是的切线， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ，， ， ， 即， ∴． 11．（2026·陕西·一模）如图，是的直径，是上一点，点是延长线上一点，连接，已知． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）由得到，然后由直径得到，然后等量代换得到，即，即可得到是的切线； （2）首先得到，然后证明出，得到，然后代数求解． 【详解】（1）解：如图，连接 ∵ ∴ ∵是的直径 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴，即 ∵是上一点 ∴是的切线； （2）解：∵， ∴ ∵， ∴ ∴，即 ∴． 12．（2026·陕西榆林·一模）如图，是的直径，弦交于点E，点E是的中点，点F是上一点，连接并延长交于点M，过点B作的切线交的延长线于点G，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接、，利用圆周角定理，等腰三角形的性质证明即可； （2）证明求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接、， 则， 点E是的中点， ∴，． ∵，， ∴． （2）解：∵，点E是的中点， ∴， ∵ ∴ ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 ∴． 13．（2026·陕西西安·一模）如图，和为的两条直径，点P为延长线上一点，连接交于点F，若弦，． (1)求证：是的切线； (2)若，半径为10，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据平行线的性质得，结合题意得，再根据圆周角定理得，进而得，然后得出，则此题可证； （2）作，根据垂径定理得，再说明，可得 ，然后根据求出，即可得，接下来说明，再根据求出，最后根据得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∴是的切线； （2）解：过点O作，交于点G， ∴． ∵， ∴，， ∴． ∵， ∴, ∴， 即， 解得， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴． 14．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在中，为边上的中线，且满足，点在边上，以为直径的与相切于点，与分别交于点，连接． (1)求证：为的直径． (2)若的半径为3，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由为边上的中线，且满足可得，即，即可证明结论； （2）连接，在中计算出的长，再证明即可求解． 【详解】（1）证明：∵为边上的中线，且满足， ∴， ∴，， ∴， ∵，即， ∴，即， ∵都在上， ∴为的直径． （2）解：∵的半径为3，为的直径， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∴， 在中，， 如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∴，， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 15．（2026·陕西·一模）如图，在中，，点D在边上，以为直径作，交的延长线于点E，连接，若切于点E． (1)求证：； (2)若，，求半径的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线的性质可得，由半径相等可得，再通过导角即可得证； （2）根据正切的定义可求，设，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明： 切于点E， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：∵，， ∴，则， 设， ， ， 解得：， 半径的长为． 16．（2026·陕西西安·一模）如图，内接于，点D在线段的延长线上，连接，且，于点E． (1)求证：是的切线； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接并延长交于点，连接，易得，进而得到，等边对等角得到，根据，得到，进而推出，得到，即可得证； （2）三线合一，得到，解直角三角形求出的长，设，则，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：连接并延长交于点，连接，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得：， ∴，解得； ∴． 17．（2026·陕西西安·一模）如图，是的直径，点在上，连接、，点是劣弧的中点，连接，交于点，过点作的切线交的延长线于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为5． 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理以及勾股定理． （1）根据切线的性质，圆周角定理，垂径定理求得，即可得到四边形为矩形； （2）设的半径为，利用垂径定理结合勾股定理列式计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的切线， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵点是劣弧的中点， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； （2）解：∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， 设的半径为， ∴，， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ∴， 即的长为5． 18．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在中，点D在边上，以为直径作，分别交、边于点G、E，点H在上方的上，连接、，，是的切线． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据圆周角定理可知，进而可知，根据角度关系即可证明； （2）证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：连接,, ∵ ∴, 在中，， ∴， ∵是的切线， ∴ ∴, ∴, ∴ ∴ （2）解：∵,, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴． 19．（2026·陕西渭南·一模）如图，内接于，且是的直径，延长至点，过点作于点，过点作的切线交于点． (1)求证：； (2)若点是的中点，的半径为，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆的性质、勾股定理以及三角函数定义等． （1）连接，根据圆的切线性质得，再利用直径所对的圆周角是直角得，根据等腰三角形的性质，由得，即可得证； （2）先根据三角函数定义，得，求出的长，结合勾股定理求出的长，从而求得，进而得到，最后由勾股定理得：，即可求得的长． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的切线， ，即， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ； （2）解：的半径为， ， 在中，， ， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， 由勾股定理得：， 即， 得， ， ， 故的长为． 20．（2026·陕西榆林·一模）如图，为的直径，的切线与的延长线交于点C，连接，，过点B作交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据等边对等角得出．根据切线的性质可得出，结合，可得，然后根据平行线的性质即可得证； （2）设的半径为r，在中，根据勾股定理得出，则，证明，根据相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴． ∵是的切线， ∴，即． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：设的半径为r，且， 则，． 在中，，， ∴， 解得：， ∴，，． 由（1）知， ∴，， ∴， ∴，即， 解得． 21．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，是的直径，点C在的延长线上，与相切于点D，交的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由是切线，得到，根据为的直径，得到，等量代换得到，根据等腰三角形的性质得到，即可得到结论； （2）根据垂直的定义得到，根据平行线的性质得到 根据相似三角形的性质得到，解方程即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵与的相切， ∴ ． ∵是的直径， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 由（1）可知， ∴． ∵， ∴， ∴，即， 解得（负值已舍）， ∴， ∴． 22．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，内接于，是的直径，于点，交于点，连接交于点，过点作的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）根据切线的性质可得，通过，得到，根据推出，即可解答； （2）证明，再求得，根据求出即可． 【详解】（1）证明：是的切线， ，则 ， 于点，则， ， ， （2）解：是的直径，， ， ， ， ， ， 是的中点， 是的中位线，则， ， ， 的半径为4 23．（2026·陕西渭南·一模）如图，是的直径，点C是上一点，与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线与的延长线相交于点P，连接、，弦平分，交于点F，连接、． (1)求证：平分； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)6.4 【分析】（1）根据切线的性质得，而，则可判断，根据平行线的性质得，加上，则，即可得到平分． （2）连接，根据圆周角定理，由是的直径，得到，，再证明为等腰直角三角形，得到，在中，根据勾股定理求出，再证明，利用相似比即可计算出的长． 【详解】（1）证明：如图， ∵为的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：连接，如图， ∵是的直径， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 24．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，是的直径，点C是延长线上一点，点D是上一点，过点C作的切线，M为切点，过点D作的垂线交的延长线于点N． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）根据切线的性质求得，再利用等角的余角相等，即可得到，然后利用等边对等角和三角形的外角性质即可得证； （2）利用勾股定理求得，根据，得到，据此列式计算即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 25．（2026·陕西汉中·一模）如图，为的直径，C为上的一点，连接，，并延长至点D，使，过点C作的切线，交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若D是的中点，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】（1）连接，证明，等边对等角得到，三角形的外角结合角的和差关系，即可得出结论； （2）取的中点，连接，设交于点，连接，延长交于点，连接，证明，得到，中位线定理，结合勾股定理，求出的长，进而求出的长，线段的和差求出的长，再根据勾股定理即可得出结果． 【详解】（1）证明：连接，则， ∴， ∵是切线，为直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：取的中点，连接，设交于点，连接，延长交于点，连接， ∵为直径， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点，为的中点， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴． 26．（2026·陕西·一模）如图，已知为的直径，点均在上，连接，平分，延长至点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】（1）由平分，得，再根据和三角形外角的性质，可得．再根据三角形内角和可求出，则可得，进而即可求证； （2）先证明四边形是平行四边形，再根据，证明其为菱形．由得，在中，，进而求出菱形的周长． 【详解】（1）证明：，平分， ， ， ， ， ，即， 是的半径， 是的切线； （2）解：， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 由（1）知，， ， 在中，， 菱形的周长，即四边形的周长为12． 27．（2026·陕西商洛·一模）如图，内接于，为的直径，为的弦，点为的中点，连接，过点作的切线交的延长线于点，． (1)求证：； (2)若，的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）连接，证明是的中位线，得到且，证明四边形是矩形，得到，即可得证； （2）连接，证明，得到，设，则，进而求出的长，勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）证明： 连接， ∵是的切线， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴且， ∵是直径， ∴， ∴ ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，即； （2）∵， ∴， 设的半径为，则． 由（1）知． ∵是直径， ∴． 连接，则， ∴， ∵是切线， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 设，则， ∴，解得， ∴． 在中，由勾股定理：， ∴． 28．（2026·陕西西安·一模）如图，经过顶点的与边相切于点，点在边上，并与边交于点，连接并延长到点，连接，使得． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质即圆周角定理求出，根据等边对等角得到，根据平行线的性质得到，即可证明； （2）根据平行线的性质得到，证明，得到，根据勾股定理求出，可知，根据勾股定理得到，即可求出的长． 【详解】（1）证明：如图，连接． 为的切线，为的直径， ， ． ， ， ； （2）解： ． 由（1）可知 ∴， ， ． ， ， ， 则． 在中，， 即， （负值舍去） 29．（2026·陕西西安·一模）如图，是的直径，点是线段延长线上一点，过点的直线与相切于点，过线段上一点作的垂线交直线于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】本题主要考查了圆的切线性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质以及等角对等边的应用，关键是通过连接辅助线，利用角的关系转化与证明，再结合相似三角形求解线段长度． （1）连接，利用切线的垂直关系和的垂直关系，结合同角的补角相等得到角的等量关系，再通过等腰三角形和圆周角定理，将与联系，最后利用等角的余角相等得到与相等，从而证得； （2）先在直角三角形中用勾股定理求出的长度，再证明与相似，利用相似比求出的长度，进而得到的长度． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ， 解得， ∴， 30．（2026·陕西榆林·一模）如图，在中，，平分交于点，点是上一点，以为圆心，长为半径的交于点，且经过点，连接． (1)求证：是的切线； (2)点在上，连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）连接，根据角平分线的定义以及等边对等角得出，然后利用平行线的性质得出直角，根据切线的判定定理即可得出结论； （2）连接，根据同圆中弧与弦的关系得出，根据直径得出直角，然后根据勾股定理求出相关线段的长度，证明，根据相似三角形的对应边成比例即可求解． 【详解】（1）证明：连接， 平分， ． ， ， ， ． ， ，即， 是的切线； （2）解：如图，连接， ． 是的直径， ，则． ， ， ，则， ． 圆内接四边形 考点04 1．（2026·陕西商洛·一模）如图，内接于，点在上，点在劣弧上，连接、、，若四边形为平行四边形，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用圆内接四边形性质求得的度数，再由平行四边形的性质可得的度数，最后根据外角的性质可求得的度数． 【详解】解：， ， 四边形为平行四边形，， ， ． 2．（2026·陕西咸阳·一模）如图，四边形是平行四边形，经过点A、B、C，且与边交于点E，连接．若，则的度数为______． 【答案】72 【分析】由平行四边形的性质可得，，由圆内接四边形的性质可得，再由平行线的性质即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∵， ∴． 3．（2026·陕西·一模）如图，四边形内接于是的直径，连接．若的半径为2，，则的长为_____． 【答案】 【分析】连接，根据圆内接四边形的性质，圆周角定理，得到为等腰直角三角形，进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵是的直径，的半径为2， ∴， ∵四边形内接于，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 4．（2026·陕西西安·一模）圆“一中同长”，圆是最基本的图形．宏如宇宙天体，微至原子电子，飞转的车轮，滴答的钟表……简单中寓深奥．在圆简约的外形下，潜藏着无穷的数学奥秘．圆与正多边形结合可以应用于各种图案，美观大气．若一个正方形的内切圆半径为4，则它的外接圆半径为______． 【答案】 【详解】解：根据题意，作图如下， ∵正方形的内切圆半径为4， ∴，，， ∴， ∴外接圆的半径， 故答案为：． 5．（2026·陕西榆林·一模）如图，四边形内接于，是的直径，连接，若，则的度数为___________． 【答案】 【分析】根据直径所对的圆周角等于90度，可得，求得，然后根据内接四边形对角互补，，最后求得答案． 【详解】解：∵ 是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴． 6．（2026·陕西西安·一模）如图，已知点是上一点，请用尺规作图法作的内接正方形．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆的基本性质，正方形的判定． 先作直径，再作的垂直平分线交于B、D，连接，则四边形就是所求作的内接正方形． 【详解】解：如图，正方形为所作． ∵垂直平分，为的直径， ∴为的直径， ∴， ∴四边形是的内接正方形． 正多边形与圆 考点05 1．（2026·陕西渭南·一模）历来中国茶杯的各种造型从杯口形状，到杯身的样子，既是匠心，也是美丽的几何．宋哥窑八方杯的杯口呈八方形（即正八边形），将其抽象为如图所示的正八边形，连接、，则的度数为________°． 【答案】45 【分析】根据正多边形的性质，正八边形内接于圆，利用圆周角定理，通过计算每条弧所对的圆周角的度数进行计算即可． 【详解】解：∵正八边形是圆内接正八边形，圆周被8个顶点分成8条相等的弧， ∴每条弧所对的圆心角的度数为， ∴每条弧所对的圆周角的度数为， ∵是两条弧所对的圆周角， ∴． 2．（2026·陕西咸阳·一模）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正六边形，连接，若该正六边形的半径为2，则的长为________． 【答案】 【分析】连接，交于点，根据正六边形的性质，求出，进而得到垂直平分，进而求出的长即可. 【详解】解：连接，交于点，则， ∵正六边形， ∴， ∴垂直平分，， ∴， ∴. 3．（2026·陕西西安·一模）如图，在正八边形中，、是两条对角线，则___________． 【答案】 【分析】构造正八边形的外接圆，求出所对的圆心角，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】如图，取中点O，以点O为圆心作正八边形的外接圆， 则正八边形的各顶点都在圆O上， 连接、、， ∵正八边形的中心角为， ∴， ∴， ∴． 弧长、扇形面积与阴影面积计算 考点06 1．（2026·陕西西安·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知，且点C、B、O、D均在圆A上，若，则的长为_______． 【答案】 【分析】先证明是等边三角形，求出圆A的半径为4，即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， 即圆A的半径为4， ∴的长为． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 圆 6大考点概览 考点01圆的基本性质与垂径定理 考点02圆心角、圆周角定理及推论 考点03切线的判定与性质 考点04圆内接四边形 考点05正多边形与圆 考点06弧长、扇形面积与阴影面积计算 圆的基本性质与垂径定理 考点01 1．（2026·陕西榆林·一模）如图，为的直径，弦与交于点E，已知，，则的度数为________． 2．（2026·陕西汉中·一模）如图，为的弦，点为的中点，连接并延长交于点，连接，若，则的度数为_____． 3．（2026·陕西·一模）如图，在中，弦垂直于直径，垂足是，已知，则的长为__________． 4．（2026·陕西榆林·一模）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章记载了计算弧田面积所用的经验公式．如图，、、是⊙O的半径，于点D，《方田》章计算弧田面积所用的经验公式：，若，，按照这个公式计算，的值为______． 5．（2026·陕西·一模）如图，为的直径，弦于点F，于点E，若，，则的长度为______． 圆心角、圆周角定理及推论 考点02 1．（2026·陕西西安·一模）如图，为的直径，点、在上，点为劣弧的中点，连接、、、．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西西安·一模）如图，为的直径，、为上的两点，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，是的直径，A，D为上的两点，与相交于点E，，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，点，，，均在上，连接，，，，于点，若，则的度数是（） A． B． C． D． 5．（2026·陕西汉中·一模）如图，点A，B，C，D在上，且，若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 6．（2026·陕西西安·一模）如图，是的直径，C，D是上的点，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在中，，点在劣弧上．若，则的度数为______度． 8．（2026·陕西渭南·一模）如图，、、都是的半径，连接、．若，，则的度数为______°． 9．（2026·陕西西安·一模）如图，是的直径，点C、D在上，且在的两侧，连接，若，则的度数为____________． 10．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，内接于，为的直径，点B是的中点，延长至点D，连接，若，，则的长为________． 11．（2026·陕西渭南·一模）如图，是的直径，是的弦，，点E是劣弧上一点，连接交于点F，若，则的度数为________°． 12．（2025·陕西西安·一模）如图，是的直径，，若，则的度数为__________． 13．（2026·陕西西安·一模）如图，AB，为的直径，点E为的中点，连接，若，则的度数为______． 14．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，为的弦，连接、，点在上连接并延长交于点，连接，若，则的度数为___________°． 15．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，内接于，连接、，若，，则的度数为______． 16．（2026·陕西西安·一模）如图，是的外接圆，且为直径，为中点，连接，若，则______． 17．（2026·陕西西安·一模）如图，是的直径，弦交于点，若半径长为，，，则的面积是______． 18．（2026·陕西西安·一模）如图，是的直径，、是的两条弦，连接，，平分，则的度数为____________． 19．（2026·陕西咸阳·一模）如图，内接于，是的直径，点是下方上一点，连接，若 ，则的度数为________． 20．（2026·陕西铜川·一模）如图，是的直径，C，D是上的点，，E是上一点，连接并延长交于点F，延长，交于点G，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 切线的判定与性质 考点03 1．（2026·陕西铜川·一模）如图，点，在上，是的直径，过点作的切线交的延长线于点．连接，，，若，则的度数为___________． 2．（2026·陕西西安·一模）如图，四边形内接于，点为的中点，连接，过圆心，过点作的切线交的延长线于点．若，，则半径为______． 3．（2026·陕西西安·一模）如图，已知，点P在边上，请用尺规作图法，求作，使圆心O在边上，且与边相切于点P．（保留作图痕迹，不写作法） 4．（2026·陕西西安·一模）如图，在中，，点O在边上，与相切于点D，与相交于A，E两点，连接． (1)求证：平分； (2)若，，求的半径． 5．（2026·陕西渭南·一模）如图，是的直径，C是上异于A、B的点，点D在的延长线上，连接交于点E，过点E作的切线交于点F，且，连接交于点H，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 6．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在中，以为直径的交于点，过点的切线交于点，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的半径． 7．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，为的直径，点在上，连接、，，点为劣弧的中点，过点作的切线交的延长线于点．点在半径上，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 8．（2026·陕西汉中·一模）如图，为的直径，为的弦，交于点，过点作的切线交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)若的半径为，求的长． 9．（2026·陕西西安·一模）如图，在中，，以为直径的交于点D，作交于点E，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 10．（2026·陕西西安·一模）如图，是的直径，弦交于点E，点E是的中点，连接，过点B作的切线，连接，． (1)求证：； (2)若的半径为6，，求的长． 11．（2026·陕西·一模）如图，是的直径，是上一点，点是延长线上一点，连接，已知． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 12．（2026·陕西榆林·一模）如图，是的直径，弦交于点E，点E是的中点，点F是上一点，连接并延长交于点M，过点B作的切线交的延长线于点G，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 13．（2026·陕西西安·一模）如图，和为的两条直径，点P为延长线上一点，连接交于点F，若弦，． (1)求证：是的切线； (2)若，半径为10，求的长． 14．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在中，为边上的中线，且满足，点在边上，以为直径的与相切于点，与分别交于点，连接． (1)求证：为的直径． (2)若的半径为3，，求的长． 15．（2026·陕西·一模）如图，在中，，点D在边上，以为直径作，交的延长线于点E，连接，若切于点E． (1)求证：； (2)若，，求半径的长． 16．（2026·陕西西安·一模）如图，内接于，点D在线段的延长线上，连接，且，于点E． (1)求证：是的切线； (2)当，时，求的长． 17．（2026·陕西西安·一模）如图，是的直径，点在上，连接、，点是劣弧的中点，连接，交于点，过点作的切线交的延长线于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求的长． 18．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在中，点D在边上，以为直径作，分别交、边于点G、E，点H在上方的上，连接、，，是的切线． (1)求证：； (2)若，，求的值． 19．（2026·陕西渭南·一模）如图，内接于，且是的直径，延长至点，过点作于点，过点作的切线交于点． (1)求证：； (2)若点是的中点，的半径为，，求的长． 20．（2026·陕西榆林·一模）如图，为的直径，的切线与的延长线交于点C，连接，，过点B作交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 21．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，是的直径，点C在的延长线上，与相切于点D，交的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，，求的长． 22．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，内接于，是的直径，于点，交于点，连接交于点，过点作的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 23．（2026·陕西渭南·一模）如图，是的直径，点C是上一点，与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线与的延长线相交于点P，连接、，弦平分，交于点F，连接、． (1)求证：平分； (2)若，，求线段的长． 24．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，是的直径，点C是延长线上一点，点D是上一点，过点C作的切线，M为切点，过点D作的垂线交的延长线于点N． (1)求证：； (2)若，，求的长． 25．（2026·陕西汉中·一模）如图，为的直径，C为上的一点，连接，，并延长至点D，使，过点C作的切线，交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若D是的中点，且，求的长． 26．（2026·陕西·一模）如图，已知为的直径，点均在上，连接，平分，延长至点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求四边形的周长． 27．（2026·陕西商洛·一模）如图，内接于，为的直径，为的弦，点为的中点，连接，过点作的切线交的延长线于点，． (1)求证：； (2)若，的半径． 28．（2026·陕西西安·一模）如图，经过顶点的与边相切于点，点在边上，并与边交于点，连接并延长到点，连接，使得． (1)求证：． (2)若，求的长． 29．（2026·陕西西安·一模）如图，是的直径，点是线段延长线上一点，过点的直线与相切于点，过线段上一点作的垂线交直线于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 30．（2026·陕西榆林·一模）如图，在中，，平分交于点，点是上一点，以为圆心，长为半径的交于点，且经过点，连接． (1)求证：是的切线； (2)点在上，连接，若，求的长． 圆内接四边形 考点04 1．（2026·陕西商洛·一模）如图，内接于，点在上，点在劣弧上，连接、、，若四边形为平行四边形，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西咸阳·一模）如图，四边形是平行四边形，经过点A、B、C，且与边交于点E，连接．若，则的度数为______． 3．（2026·陕西·一模）如图，四边形内接于是的直径，连接．若的半径为2，，则的长为_____． 4．（2026·陕西西安·一模）圆“一中同长”，圆是最基本的图形．宏如宇宙天体，微至原子电子，飞转的车轮，滴答的钟表……简单中寓深奥．在圆简约的外形下，潜藏着无穷的数学奥秘．圆与正多边形结合可以应用于各种图案，美观大气．若一个正方形的内切圆半径为4，则它的外接圆半径为______． 5．（2026·陕西榆林·一模）如图，四边形内接于，是的直径，连接，若，则的度数为___________． 6．（2026·陕西西安·一模）如图，已知点是上一点，请用尺规作图法作的内接正方形．（不写作法，保留作图痕迹） 正多边形与圆 考点05 1．（2026·陕西渭南·一模）历来中国茶杯的各种造型从杯口形状，到杯身的样子，既是匠心，也是美丽的几何．宋哥窑八方杯的杯口呈八方形（即正八边形），将其抽象为如图所示的正八边形，连接、，则的度数为________°． 2．（2026·陕西咸阳·一模）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正六边形，连接，若该正六边形的半径为2，则的长为________． 3．（2026·陕西西安·一模）如图，在正八边形中，、是两条对角线，则___________． 弧长、扇形面积与阴影面积计算 考点06 1．（2026·陕西西安·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知，且点C、B、O、D均在圆A上，若，则的长为_______． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $