专题04 三角形与四边形（8大考点）（陕西专用）2026年中考数学一模分类汇编

**基本信息** 聚焦三角形与四边形专题，整合陕西各地2026年模拟题，覆盖8大核心考点，融入跨学科情境（凹透镜折射、化学实验）和地域文化素材（西安奥体中心、城隍庙），适配中考一模分层复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|52题|相交线平行线、三角形性质、四边形性质|基础角度计算结合实际场景（道闸、三角板叠放）| |填空|33题|正多边形、勾股定理、相似比|跨学科问题（光的反射、正六边形螺帽尺寸）| |解答|49题|尺规作图、全等证明、解直角三角形应用|分层设计：基础作图（作等边三角形）、综合测量（纪念碑高度、峡谷宽度）|

专题04 三角形与四边形 8大考点概览 考点01相交线、平行线与角度计算 考点02三角形基本性质与边角关系 考点03尺规作图 考点04全等三角形判定与性质 考点05相似三角形判定、性质与应用 考点06解直角三角形的应用 考点07勾股定理及逆定理 考点08四边形与特殊平行四边形 相交线、平行线与角度计算 考点01 1．（2026·陕西咸阳·一模）如图，点在射线上，直线，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西渭南·一模）如图，直线，与交于点F，连接．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西西安·一模）如图，，连接，平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西西安·一模）（跨学科）如图是一个化学实验某一步骤的截面示意图，其中液面，一根粗细均匀的玻璃棒（直线）分别交、于点、，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·陕西榆林·一模）如图，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·陕西咸阳·一模）如图，，直线分别与交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，点C在上，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·陕西汉中·一模）如图，，点在上，若，则的度数为（    ） A． B．45° C．50° D．60° 9．（2026·陕西渭南·一模）如图，已知，直线分别与、交于点M、N，点E是上一点，连接，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，直线，直线与、分别交于点E、F，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 11．（2026·陕西·一模）如图，，直线分别与交于点．射线，垂足为．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 12．（2026·陕西汉中·一模）如图，，点A在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 13．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，于点B，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 14．（2026·陕西西安·一模）如图，直线，过点D作，若，则为（    ） A． B． C． D． 15．（2026·陕西榆林·一模）如图，已知，点在上，点在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 16．（2026·陕西西安·一模）如图，在中，点D是边延长线上一点，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 17．（2026·陕西·一模）如图，，点E在线段上，．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 18．（2026·陕西西安·一模）如图，，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 19．（2026·陕西渭南·一模）如图，已知，直线分别与交于点E、F，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 20．（2026·陕西宝鸡·一模）某小区车库入口的“曲臂直杆道闸”在某一时刻的位置（如图1）可抽象成如图2所示的几何图形，表示地面，，，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 21．（2026·陕西·一模）如图，已知，交于点，平分，延长至点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 22．（2026·陕西咸阳·一模）如图，，，点D在上，若，则的度数为（    ） A．100° B．90° C．80° D．60° 23．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，直线，相交于点．若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 24．（2026·陕西西安·一模）如图，直线与相交于点，射线在内部，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 25．（2026·陕西商洛·一模）如图，直线与相交于点，平分，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 26．（2026·陕西西安·一模）如图，的两条高、相交于点，则图中与（不包含）相等的角的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 27．（2026·陕西西安·一模）如图，在正八边形中，对角线交于点，则__________． 28．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在正六边形中，连接，过点作，则的度数为______． 三角形基本性质与边角关系 考点02 1．（2026·陕西榆林·一模）如图，在中，于点，平分交于点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西西安·一模）如图，在中，，，平分交于D，若，则的面积等于（   ） A．3 B．6 C．12 D．24 3．（2026·陕西西安·一模）如图，平分，于点，点在上．若，面积为9，则的长为（   ） A．2 B．6 C．3 D．9 4．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在中，平分，于点，为的中点，连接并延长，交于点．若，则的长为（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 5．（2026·陕西西安·一模）如图，是的角平分线，于点，，，，则的长是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．（2026·陕西西安·一模）如图，在中，是的角平分线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·陕西西安·一模）如图，的两条高、相交于点，则图中与（不包含）相等的角的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8．（2026·陕西渭南·一模）如图，在中，，的平分线交边于点D．若的面积为15，则的面积为（    ） A．9 B．6 C．5 D．5.5 9．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，且，若，则的长是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 10．（2026·陕西渭南·一模）如图，在中，点D在边上，连接，若，则图中的等腰三角形共有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 11．（2026·陕西汉中·一模）如图，在中，，于点D，，若，则的长为（    ）． A．4 B．6 C．8 D．10 12．（2026·陕西榆林·一模）如图，在中，，过点作交于点，，若，则的长为（    ） A． B．3 C． D． 13．（2026·陕西西安·一模）如图，在中，，，于点，点是的中点，与互余的角共有（   ）个 A．个 B．个 C．个 D．个 14．（2026·陕西西安·一模）如图，在中，，于点D，，E是斜边的中点，则（   ） A． B． C． D． 15．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在中，平分，于点，为的中点，连接并延长，交于点．若，则的长为（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 16．（2026·陕西·一模）如图，在正六边形中，连接，则的度数为__________． 17．（2026·陕西宝鸡·一模）蜜蜂的蜂巢美观有序，由许多正六边形构成．如图，在正六边形中，连接、交于点O，则的度数为____________°． 18．（2026·陕西西安·一模）生活中处处有数学，多边形在生活中的应用更是不胜枚举．如图是一个正六边形的螺帽，它的边长是，则这个扳手的开口a的值是________． 尺规作图 考点03 1．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，已知，请用尺规作图法作等边，使得点和点分别在和上，且．（保留作图痕迹，不写作法） 2．（2026·陕西西安·一模）如图，在中，，请用尺规作图法在边上求作点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 3．（2026·陕西西安·一模）如图，请用尺规作图的方法在边求作点P，使得以为边构成的等边的周长最小．（不写作法，保留作图痕迹） 4．（2026·陕西西安·一模）如图，在中，，请用尺规作图法在边上确定一点，使得．（要求保留作图痕迹，不写作法） 5．（2026·陕西西安·一模）如图，已知，，，请用尺规作图法，在线段上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） 6．（2026·陕西·一模）如图，已知，点在射线上，请用尺规作图法在射线上求作点，使 ．（不写作法，保留作图痕迹） 7．（2026·陕西榆林·一模）如图，已知，请用尺规作图的方法在内求作一点P，使得，且点P在边的高上．（保留作图痕迹，不写作法） 8．（2026·陕西西安·一模）如图，点D是的边上一点，连接，请利用尺规作图法在上求作一点P，连接，使与互余．（保留作图痕迹，不写作法） 9．（2026·陕西渭南·一模）如图，已知．请你用尺规作图法作等腰，使得为底边，且点D在边上．（保留作图痕迹，不写作法） 10．（2026·陕西咸阳·一模）如图，已知，点在边上．请用尺规作图法，在的外部求作一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 11．（2026·陕西咸阳·一模）如图，已知，请用尺规作图法作，使得点E到点A、C的距离相等，且点E在边上．（不写作法，保留作图痕迹） 12．（2026·陕西汉中·一模）如图，已知，请用尺规作图法在边上找一点D，连接，使的周长等于．（保留作图痕迹，不写作法） 13．（2026·陕西咸阳·一模）如图，已知，点是的中点，利用尺规作图法在边上找一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 14．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在中，，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 15．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在四边形中，，点E在对角线上，平分，延长．请你用尺规作图法在射线上求作点F，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 16．（2026·陕西西安·一模）如图，在中，，请用尺规作图法在边上找一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 17．（2026·陕西西安·一模）如图，在中，请分别在边、、上寻找点E、D、F，使得四边形为菱形（不写作法，保留作图痕迹）． 18．（2026·陕西·一模）如图，已知矩形，请用尺规作图的方法在该矩形内求作一点，使得点到两点的距离相等，且．（保留作图痕迹，不写作法） 19．（2026·陕西西安·一模）如图，在中，．请用尺规作图法，在内部求作一点，使．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论） 全等三角形判定与性质 考点04 1．（2026·陕西渭南·一模）如图，在中，，，点D、E分别在、上，且，连接，点P、Q分别是、的中点，连接，则的长为________． 2．（2026·陕西西安·一模）如图，在中，于点D，E为边上一点，连接交于点F，且，．求证：． 3．（2026·陕西渭南·一模）如图，在等边中，D、E分别为、延长线上一点，且满足，连接、，求证：． 4．（2026·陕西安康·一模）如图，，点在上，与交于点，且为的中点．求证：． 5．（2026·陕西西安·一模）已知：如图，AD是的角平分线，E为AD延长线上一点，，连接BE，．求证：． 6．（2026·陕西渭南·一模）如图，是的中线，的平分线交于点，延长至点，连接，．求证：． 7．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在四边形中，，平分，点是上的一点，连接，且．过点作于点，求证：． 8．（2026·陕西宝鸡·一模）图，在中，，点、分别在边、上，于点，于点，，求证：． 9．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在和中，点D在的延长线上，，，，求证：． 10．（2026·陕西·一模）如图，在和中，点，，，在同一条直线上，若，，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得． (1)你选择的补充条件是___________（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出的证明过程． 11．（2026·陕西·一模）如图，已知，点是边上一点，连接交于点，若．求证：． 12．（2026·陕西·一模）如图，，点在上，与交于点，且为的中点．求证：． 13．（2026·陕西西安·一模）如图，在四边形中，连接，为的中点，连接、，，，求证：． 14．（2026·陕西西安·一模）如图，在四边形中，，点E为对角线上一点，，且．求证：．    相似三角形判定、性质与应用 考点05 1．（2026·陕西咸阳·一模）如图，乐乐将高为米的标杆竖立在地面上，某一时刻高为米的小树在太阳光下的投影为，此时标杆在太阳光下的投影为，米．已知，，点、、、在同一直线上，则投影的长为______米． 2．（2026·陕西咸阳·一模）如图，是的角平分线，，点E、F在边上，且，连接与交于点M．若，，，则的长为______． 3．（2026·陕西·一模）如图所示，图是一个夹子闭合时的状态，图2是此时的主视示意图，夹子两边为（闭合时点与点重合），点是夹子转轴位置，连接杆与夹子两边始终保持垂直，即于点，于点，，，，．用手捏住夹子手柄，夹子两边绕点转动，如图，当夹子的手柄合拢（即点与点重合）时，两点间的距离是多少厘米？ 4．（2026·陕西渭南·一模）背景：某数学小组的成员利用所学知识在周末测量了一棵银杏树的高度． 测量过程：该小组的同学甲在地面上的点C处测量了银杏树顶端A的仰角的度数；该小组的同学乙在地面上的点D处放置一面平面镜（大小忽略不计），随后从点D处沿方向移动至点E处时，恰好从平面镜中看到银杏树顶端A的像． 数据：米，米，米，． 说明：，，点B、C、D、E在一条直线上，图中所有点均在同一平面内． 任务：求银杏树的高度．（参考数据：，，） 5．（2026·陕西咸阳·一模）某地城隍庙有“毕土木之功，穷造形之巧”的美誉．城隍庙的山门是进入城隍庙的第一道大门．如图，某数学兴趣小组准备利用所学过的数学知识测量该城隍庙山门的高度． 【测量过程】小组成员甲在处利用测角仪（高度忽略不计）测得山门顶端点的仰角的度数；小组成员乙沿方向移动至点，在处放置一面平面镜（大小忽略不计），沿方向移动至点处，眼睛位于处时，恰好从平面镜中看到山门顶端点的像． 【测量数据】． 【图形说明】，点在同一水平直线上，图中所有的点都在同一平面内． 【参考数据】． 请你根据以上信息，求出该城隍庙山门的高度． 6．（2026·陕西宝鸡·一模）为了加强红色教育，传承红色基因，某校组织学生前往陕西省铜川市军台岭战斗旧址进行参观，参观期间，组织同学们开展了测量军台岭战斗纪念碑高度的活动，记录如下： 活动主题 测量军台岭战斗纪念碑的高度 测量过程及示意图 如图，在地面上的点处竖立一根标杆，某一时刻纪念碑与标杆在太阳光下的影子顶端重合于地面上的点处，将标杆移至点处后，给标杆顶端处放置一个测角仪（大小忽略不计），测得纪念碑的顶端的仰角的度数． 测量数据 米，米，米， 测量说明 、，，、、在同一条直线上，图中所有的点都在同一平面内 参考数据 请你根据以上测量结果，计算军台岭战斗纪念碑的高度． 7．（2026·陕西宝鸡·一模）西安鼓楼是中国古代遗留下来的众多鼓楼中形制最大、保存最完整的鼓楼之一．某数学小组成员想利用所学知识测量鼓楼的高度（如图）．该小组成员在点C处测得鼓楼的顶端A的仰角，从点C处移动31米到达点E处（米），在点E处竖立一根高为2米的标杆，此时，鼓楼在太阳光下的影子末端与标杆在太阳光下的影子末端恰好重合于地面上的点D处．经测量知米，已知，，点C，D，E，B在同一直线上，图中所有点均在同一平面内，请你帮助该数学小组成员求出西安鼓楼的高度．（参考数据：，，） 8．（2026·陕西渭南·一模）实践课上，老师组织学生测量学校主教学楼上校徽的高度，学生王雯由距离主教学楼米的大树的底部C处向后移动，当移动到达点D时，她恰好略过大树的顶端E看到校徽的顶端P，接着她继续向后移动到达点B处时，她又恰好略过大树的顶端E看到校徽的底部点Q，并测得（A、B、C、D在一条水平线上），请你利用文中数据帮助王雯计算校徽的高度（参考数据：，，）． 9．（2026·陕西西安·一模）《金戈》是以紫铜锻造而成，突出表现了秦国在统一历程中推行“耕战”国策的雄略主题，周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量这座雕塑最高点到地面的距离．如图，小华在点D处竖立一根标杆，小亮站在斜坡的点F处，调整自己眼睛的高度，当眼睛在E处时，他的视线从E点通过标杆顶端C点正好落在雕塑顶端A点处．已知、、均与地面垂直，测得米，米，点F到地面的距离米，米，米，，点B、D、G、M、H在一条水平线上，图中所有点均在同一平面内，求雕塑最高点到地面的距离． 10．（2026·陕西商洛·一模）小伟同学是一名军事爱好者，他了解到“跳眼法”是常用于军事领域的一种测距方法，于是他使用“跳眼法”测量了两棵树之间的距离，测量活动报告记录如下： 活动目的 使用“跳眼法”测量两棵树之间的距离 测量过程及示意图 如图，点与点处各有一棵大树，小伟面向所在直线站立，右眼位于点处，左眼位于点处，点为右手大拇指，闭上左眼时，右眼、大拇指与大树在一条直线上，闭上右眼，睁开左眼时，左眼、大拇指与大树在一条直线上；然后小伟在上的点处测得的度数． 测量说明 ，图中所有的点都在同一平面内 测量结果 ，，， 参考数据 请你根据活动报告中的信息，计算这两棵大树之间的距离． 11．（2026·陕西·一模）山河壮丽如画卷，万里锦绣映华夏．越来越多的人们通过旅游感受祖国的大好河山，放松心情，浩浩一家在咸阳某景区游玩时，发现景区的游客中心（）上面有一面旗帜，浩浩想知道这面旗帜的高度，于是设计了以下测量方案：他先在游客中心前分别放置了高为的测角仪（）和一根高的竹竿（）．在某一时刻的阳光下，旗帜的影子顶端与竹竿的影子顶端在点处重合．然后他用皮尺测得，，，用测角仪测得游客中心顶端的仰角为．已知，求游客中心上的旗帜（）的高度．（参考数据：） 12．（2026·陕西榆林·一模）革命亭为西安革命公园标志性建筑，是纪念在“二虎守长安”西安围城期间所死难的军民．某校数学学习小组为测量革命亭的高度，开展了如下综合与实践活动，如图，在D处竖立一根标杆，某一时刻在阳光下，革命亭顶端A的影子和标杆顶端C的影子重合于点E处，；小组成员铭铭站在G处时，他的视线从F点通过标杆顶端C点正好落在革命亭底端B点处，，铭铭眼睛到地面的距离．已知、、均与地面垂直，点B、D、E、G在一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内．请你求出革命亭的高度． 13．（2026·陕西宝鸡·一模）石鼓阁是宝鸡市的标志性建筑之一，因石鼓文而得名，堪称西北第一阁，采用外五内九的层级设置，喻示周秦文明在中华文明史上的九五之尊的崇高地位．小林想利用学过的知识测量石鼓阁的高度．一个阳光明媚的下午，他和数学应用实践小组的同学们带着测量工具来到石鼓阁前，但他们无法到达石鼓阁的底部B．如图，小林先在石鼓阁前方的点处测得石鼓阁顶端的仰角；然后，他从点处沿方向前进38米至石鼓阁的影子顶端处（即米），同一时刻，小组成员测得小林的影长为米．已知小林的身高为米，，点在同一水平线上，图中所有点都在同一平面内，求石鼓阁的高度．（参考数据：） 解直角三角形的应用 考点06 1．（2026·陕西渭南·一模）合阳千金塔为密檐式八角形空心砖塔，共十三层，被国务院公布为国家重点文物保护单位．某实践活动小组在老师的指导下，用学过的数学知识测量千金塔的高度，下面是测量活动报告： 活动主题 测量千金塔的高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量过程及示意图 如图，小组成员甲在处利用高为的测角仪测得千金塔顶端点的仰角的度数，小组成员乙在处利用测角仪测得千金塔顶端点的仰角的度数，用皮尺测出、两点间的距离 测量数据及图形说明 ，，，，，，点、、在同一直线上，图中所有的点在同一平面内 参考数据 ，，，，， 备注 测量过程中注意安全，做到保护文物 请你根据以上活动报告，求出合阳千金塔的高度． 2．（2026·陕西汉中·一模）拜将坛遗址位于陕西省汉中市境内，是陕西省首批优秀传统文化传承基地．小伟去汉中市旅游期间、运用所学知识测量了该遗址内韩信雕像的高度、如图，在地面上的点处测得雕像顶端的仰角．在地面上的点处测得雕像顶端的仰角，米，，、、在一条水平直线上，请你根据小伟的测量结果，计算韩信雕像的高度． 【参考数据：，，] 3．（2026·陕西宝鸡·一模）凤翔城墙遗址公园的核心景观为唐末凤翔节度使李茂贞所筑古城墙遗址，某数学兴趣小组在老师的指导下，用学过的数学知识测量该古城墙遗址的高度，下面是测量活动报告： 活动主题 测量凤翔古城墙遗址的高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量过程及示意图 如图，小组成员甲在处利用测角仪测得该古城墙遗址顶端点的仰角的度数，小组成员乙在处利用高为的测角仪测出该古城墙遗址顶端点的仰角的度数． 测量数据及图形说明 ，，，，，，点、、在同一直线上，图中所有的点在同一平面内 参考数据 ，， 请你根据以上活动报告，求出凤翔古城墙遗址的高度． 4．（2026·陕西汉中·一模）鹳雀楼有“黄河第一楼”之称，是国内唯一一座采用唐代彩画艺术恢复的唐代建筑．小辰用所学知识测量鹳雀楼的高度．在垂直地面的鹳雀楼前阶梯下有一广场，小辰在阶梯前米的A处（米）测得鹳雀楼顶B的仰角为，走上阶梯，在D处测得楼顶B的仰角为，已知阶梯的坡度，阶梯的坡面高度米，请你帮小辰计算鹳雀楼楼身的高度．（，得数保留整数） 5．（2026·陕西·一模）漫山遍野的桃花，点燃了春日的盛景．娜娜与丽丽相约春游，她们想用所学知识测量一棵桃树的高度．具体研究方法与过程如表： 课题 测量桃树的高度 工具 卷尺、测角仪等 示意图 说明 如图，娜娜在斜坡上的点处，用测角仪测得桃树的顶端的仰角为，斜坡的坡度为（与的比），丽丽用卷尺测得的长．已知均与地面垂直，点在同一直线上，图中所有点均在同一平面内． 数据 米，米，米，． 根据以上信息，求这棵桃树的高度．（参考数据：，，） 6．（2026·陕西咸阳·一模）兴教寺塔，位于陕西省长安区少陵原畔兴教寺内，是中国现存最古老的楼阁式塔．某数学小组的成员在周末用无人机测量了兴教寺塔的高度．测量过程如下：如图，无人机在水平地面上的点处，测得该塔顶端的仰角为；随后，无人机从点处沿垂直于地面的方向向上飞行到达点处（即），此时测得该塔顶端A的仰角为．已知，，图中所有点均在同一平面内，请你求出兴教寺塔的高度．（参考数据：，，，，，） 7．（2026·陕西西安·一模）中国的“春节”，已列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，春节涵盖了中华民族丰富多彩的非遗活动，如贴春联、逛庙会、剪纸、打铁花……今年春节期间，小明和小亮相约来到非遗广场，一起感受浓浓的中国节．他们在广场的地面A点处看到远处有一个古塔，用测倾仪测得塔顶C的仰角为，然后沿着坡度为的斜坡前进39米到达观景台D，用测倾仪测得塔顶C的仰角为，已知古塔与地面互相垂直，测倾仪的高度为1米，求古塔高度大约为多少米？（结果保留整数，） 8．（2026·陕西铜川·一模）某综合实践活动小组尝试利用无人机测算某山体的海拔高度，当无人机位于海拔高度为的点C处时，测得山顶A处的仰角为；当无人机垂直上升到海拔高度为的点G处时，测得山顶A处的仰角为，已知点A，B，F，C，G在同一平面内，且，．求山体的海拔高度．（参考数据：，，） 9．（2026·陕西咸阳·一模）某校九年级数学兴趣小组开展“测量学校操场旗杆”的实践活动，其中一个设计方案如图所示，旗杆垂直于水平地面，在地面上选取两处（点在同一条直线上），测得地面上两点的距离为，分别在点和点处测得旗杆顶端的仰角为和，请根据他们的测量数据，求旗杆的高．（参考数据：，，，，，） 10．（2026·陕西西安·一模）2026年1月1日，长安灯会在西安城墙上“惊喜”亮灯，吸引了市民和游客纷至沓来，同时在遗址公园设置了如图所示A、B、C、D四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，B在A的正东方向，C在B的正北方向，D在A的北偏东方向且在C的北偏西方向，小明以的速度从C打卡点沿方向步行至D打卡点用了，，求A打卡点与B打卡点之间的距离．（结果保留整数．参考数据：，，，） 11．（2026·陕西西安·一模）如图，山坡长为26米，坡度为，底端A在地面上，山坡与对面的山之间有一条小河，对面山顶D处立有高15米的铁塔．数学实践小组的同学欲测量山高，他们在B处测得塔顶C的仰角，又测得塔底D的仰角．已知点C，D，E在同一条直线上，与水平线垂直，图中点A，B，C，D，E，F均在同一平面内，请计算山高．（测倾器的高度忽略不计，结果精确到1米．参考数据：，，） 勾股定理及逆定理 考点07 1．（2026·陕西渭南·一模）如图，在中，，点D是的中点，连接．若，，则的长为（   ） A．5 B．6 C．8 D．10 2．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在中，于点，若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2026·陕西西安·一模）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图①是一个直角边长分别为2和3的直角三角形，用四个这样的全等的直角三角形拼成如图②所示的正方形，四边形是正方形，对角线和交于点O，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西西安·一模）如图，在中，，是的角平分线，于点E．若，则的长为（    ） A． B． C．5 D．6 5．（2026·陕西榆林·一模）如图，在四边形中，，，点E是对角线的中点，点F，G分别是，边的中点，连接，，．若，则线段的长度为（   ） A．5 B． C． D．3 6．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，为的高，点、分别为、的中点，连接若，则的长为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 7．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在中，，是的角平分线，于点，若，，则的长为（  ） A．7 B．8 C．9 D．10 8．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在中，，边的垂直平分线分别与、交于点D、E，连接，若，，则的长为（    ） A．13 B．18 C．20 D．28 9．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在中，是的高，则的值是（    ） A． B． C． D． 10．（2026·陕西西安·一模）如图1是我国古建筑墙上采用的八角形窗户，其外轮廓是一个正八边形，外轮廓示意图如图2的正八边形所示，若对角线，则对角线的长为______． 11．（2026·陕西安康·一模）如图，已知在中，，，，点、分别在边、上，且，若DE把的面积平分，则__ ．    12．（2026·陕西西安·一模）如图，一棵大树从处折断，树梢着地．经测量，树干与折断部分之间的夹角，与此同时，有一个身高为1.6米的学生在阳光的照射下他的影长为2米，段的影长为，点在同一条直线上，，大树原来高度为12米，求学生到树梢着地点的距离．（结果保留根号） 四边形与特殊平行四边形 考点08 1．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在矩形中，，点在上，连接、，若，则的长为（　　） A． B． C．5 D．6 2．（2026·陕西渭南·一模）如图，是矩形的对角线，线段的垂直平分线，分别交、于点、，连接．若，，则的值为（    ） A． B．3 C． D． 3．（2026·陕西咸阳·一模）如图，菱形的对角线交于点O，点E在边上，且，过点E作交于点F．若，，则的面积为（   ） A．10 B．8 C．6 D．5 4．（2026·陕西榆林·一模）如图，在菱形中，，对角线，相交于点O，且．延长到点E，在内作射线，使得，过点B作，垂足为H，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 5．（2026·陕西渭南·一模）如图，在矩形中，对角线交于点O，交于点E．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·陕西汉中·一模）如图，在菱形中，对角线与交于点，点为上一点，连接，若，，则的长为（    ） A．12 B．15 C．17 D．20 7．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在正方形中，点在的垂直平分线上，连接、，于点，，若，则的长为（  ） A．1 B． C． D． 8．（2026·陕西渭南·一模）如图，点E在正方形内，连接、，，于点F，若，，则的长为（   ）    A．1 B． C． D． 9．（2026·陕西西安·一模）如图，、为正方形内两点，且，连接，若，，，则的长为（   ） A．1 B． C． D． 10．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在菱形中，对角线与交于点O，点E是上一点，连接，，若，，则菱形的周长为（    ） A．60 B．40 C．36 D．48 11．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在菱形中，，对角线的长为16，E是的中点，F是上一点，连接．若，则的长为（   ） A． B．10 C． D． 12．（2026·陕西西安·一模）如图，菱形的对角线交于点O，过点A作于点E，连接，若，则的长为 （   ）    A．5 B．6 C．7 D．8 13．（2026·陕西榆林·一模）如图，在中，是的中线，以为边作正方形，若，则四边形的面积为（   ） A．4 B．9 C．12 D．16 14．（2026·陕西西安·一模）如图，在矩形中，平分交于点，连接，点为的中点，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 15．（2026·陕西西安·一模）如图，在正方形中，为对角线上一点，连接并延长交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 16．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在正方形中，连接，点在上，连接，于点，延长交于点，若，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 17．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在菱形中，点在边上，且，连接，交对角线于点．若，则的长为（    ） A．8 B．6 C．9 D．7 18．（2026·陕西西安·一模）如图，中，E、F分别是边和的中点，于点H，的面积为16，若，，则的长为（    ） A．5 B．3.5 C．3 D．2.5 19．（2026·陕西西安·一模）如图，在正方形中，是延长线上一点，连接，是边边上一点，连接交于点且．若时，的值为（   ） A． B．3 C． D．2 20．（2026·陕西榆林·一模）如图，在矩形中，，，点E是边的中点，点F在边上，且，与相交于点N，M是的中点，连接，则的长为________． 21．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在菱形中，对角线交于点，点是延长线上一点，连接交于点，若，则菱形的周长为________． 22．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，是内一点，连接，，，，过点作，过点作，与交于点．若的面积为18，则四边形的面积为________． 23．（2026·陕西商洛·一模）如图，的对角线与相交于点，点在上，点在上，且，连接、、、，要使四边形为矩形，则可以添加的条件是___________．（写出一个即可） 24．（2026·陕西西安·一模）如图，在菱形中，点、分别在、边上，，连接、．若，，，则线段的长为______． 25．（2026·陕西咸阳·一模）如图，矩形的对角线相交于点O，点E在上，连接，若，则的度数为______． 26．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在矩形中，为的中点，连接，过点作，与的延长线交于点，平分，且点在边上，则的长为______． 27．（2026·陕西咸阳·一模）如图，正五边形的边长为3，对角线相交于点，则四边形的周长为______． 28．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，四边形和四边形均为菱形，且菱形的面积为落在边上，若的面积为，则的面积是___________． 29．（2026·陕西渭南·一模）如图，在菱形中，连接交于点O，点F在上，且，点E在边上，且，连接、．若的面积为10，则四边形的面积为______． 30．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，正八边形的每个顶点均在正方形的边上，若正八边形的边长为，则正方形的边长为___________． 31．（2026·陕西西安·一模）如图，在梯形中，，，，点C、M分别是边上的点，连接，若和的面积之和为12，则的长为____________． 32．（2026·陕西西安·一模）如图，在正方形中，为对角线上一点，与交于点，当时，则的值为__________． 33．（2026·陕西西安·一模）在矩形中，点是边上的三等分点，连接相交于点，连接．若，，则的值是______． 34．（2026·陕西汉中·一模）如图，在菱形中，点E，F分别在，边上，，求证：． 35．（2026·陕西商洛·一模）如图，点为正方形内一点，连接、、，若，求证：． 36．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在四边形中，，于点E，于点F，，求证：四边形是矩形． 37．（2026·陕西榆林·一模）如图，在平行四边形中，点是边上的一点，点是延长线上的一点，且．求证：． 38．（2026·陕西渭南·一模）如图，在中，点E、F分别在、边上，连接，有下列三个选项：①，②，③．请你在上述三个选项中选择两个作为补充条件，选择一个作为结论，并证明你的结论．（只要求写出一种正确的选法） (1)你选的补充条件为________、________，结论为________；（填序号即可） (2)根据第（1）问的选择，证明你的结论． 39．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在矩形中，点分别在边上，连接，求证： ． 40．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，点为正方形的边的中点，点、分别在、上，且，连接、，求证：． 41．（2026·陕西汉中·一模）如图，在矩形中，点、在边上（点在点左侧），连接、，．求证：． 42．（2026·陕西铜川·一模）如图，在中，对角线，相交于点O，点、分别在，上，且．求证：． 43．（2026·陕西宝鸡·一模）已知：如图，在平行四边形中，点分别在和上，且．求证：． 44．（2026·陕西西安·一模）如图，在菱形中，点分别在边上，连接，求证：． 45．（2026·陕西榆林·一模）如图，在正方形中，以为斜边向下作，点是正方形内一点，过点作于点，连接，，．求证：． 46．（2026·陕西西安·一模）如图，已知正方形的对角线和相交于，点，分别在，上，若，求证：． 47．（2026·陕西西安·一模）如图，已知四边形是平行四边形，在对角线上取两点E，F，连接，若．求证：． 48．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在矩形中，延长至点，使得，连接交于点．求证：点是的中点． 49．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在中，连接并延长至点E，连接，，点F在线段上，连接，平分，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求的长． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 三角形与四边形 8大考点概览 考点01相交线、平行线与角度计算 考点02三角形基本性质与边角关系 考点03尺规作图 考点04全等三角形判定与性质 考点05相似三角形判定、性质与应用 考点06解直角三角形的应用 考点07勾股定理及逆定理 考点08四边形与特殊平行四边形 相交线、平行线与角度计算 考点01 1．（2026·陕西咸阳·一模）如图，点在射线上，直线，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据邻补角可得，结合得到，由此即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴ ． 2．（2026·陕西渭南·一模）如图，直线，与交于点F，连接．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质和三角形的外角的性质，进行求解即可； 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的一个外角，， ∴． 3．（2026·陕西西安·一模）如图，，连接，平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据平行线的性质求出，再根据角平分线的性质即可求出． 【详解】解：∵，， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵平分， ∴（角平分线的定义）. 4．（2026·陕西西安·一模）（跨学科）如图是一个化学实验某一步骤的截面示意图，其中液面，一根粗细均匀的玻璃棒（直线）分别交、于点、，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质结合平角的定义进行求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∴. 5．（2026·陕西榆林·一模）如图，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行线的性质和平角的定义计算即可． 【详解】解：，， ， ． 6．（2026·陕西咸阳·一模）如图，，直线分别与交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 7．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，点C在上，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据可得，再根据可得，解题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 8．（2026·陕西汉中·一模）如图，，点在上，若，则的度数为（    ） A． B．45° C．50° D．60° 【答案】C 【分析】根据平行线的性质解答即可． 【详解】∵ ∴， ∵， ∴． 9．（2026·陕西渭南·一模）如图，已知，直线分别与、交于点M、N，点E是上一点，连接，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和定理求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，直线，直线与、分别交于点E、F，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角平分线的定义得到，再由两直线平行，同旁内角互补即可求解． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 11．（2026·陕西·一模）如图，，直线分别与交于点．射线，垂足为．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平角和已知，求出；接着，由得同位角相等，即；最后，根据得，通过角度差，最终求得． 【详解】解：∵直线与交于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选B． 12．（2026·陕西汉中·一模）如图，，点A在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质结合平角的定义进行求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∴. 13．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，于点B，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等）求出 的度数，再根据垂直的定义得到 ，最后利用角的和差关系求出 的度数． 【详解】解：， （两直线平行，内错角相等）． ， ． ． 14．（2026·陕西西安·一模）如图，直线，过点D作，若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 15．（2026·陕西榆林·一模）如图，已知，点在上，点在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用邻补角以及平行线的性质进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 16．（2026·陕西西安·一模）如图，在中，点D是边延长线上一点，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质、对顶角的定义和三角形的内角和定理知识点，根据对顶角得到，利用平行线的性质得到，再利用三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， 故选：C． 17．（2026·陕西·一模）如图，，点E在线段上，．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等边对等角， 先根据“两直线平行内错角相等”得，再根据等边对等角得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 18．（2026·陕西西安·一模）如图，，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，邻补角的性质，平行线的性质，由角平分线的定义得，即得，再根据平行线的性质即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 19．（2026·陕西渭南·一模）如图，已知，直线分别与交于点E、F，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据对顶角相等求出，再利用平行线的性质求出，最后根据角平分线的定义求解． 【详解】解： ， （对顶角相等）． ， （两直线平行，同旁内角互补）． ． 平分， ． 20．（2026·陕西宝鸡·一模）某小区车库入口的“曲臂直杆道闸”在某一时刻的位置（如图1）可抽象成如图2所示的几何图形，表示地面，，，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行线的性质可得，，然后根据垂直定义可得，则，最后进行计算即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 21．（2026·陕西·一模）如图，已知，交于点，平分，延长至点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线求出的度数，再根据角平分线求出的度数，最后再根据邻补角即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 22．（2026·陕西咸阳·一模）如图，，，点D在上，若，则的度数为（    ） A．100° B．90° C．80° D．60° 【答案】C 【分析】由两直线平行、同旁内角互补可得，再根据两直线平行、内错角相等即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，即选项C符合题意． 23．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，直线，相交于点．若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对顶角相等可得的度数，再根据角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 24．（2026·陕西西安·一模）如图，直线与相交于点，射线在内部，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角，角的和差，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．根据题意可得，再根据对顶角相等可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由图可得， ∴， ， ， ．      故选：A． 25．（2026·陕西商洛·一模）如图，直线与相交于点，平分，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，平分，得出，则，根据，得出，再根据即可求解． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 26．（2026·陕西西安·一模）如图，的两条高、相交于点，则图中与（不包含）相等的角的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查了等角的余角相等，对顶角相等．根据垂线的定义结合等角的余角相等，求得，再结合对顶角相等求得． 【详解】解：∵的两条高、相交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中与（不包含）相等的角的个数有2个， 故选：C． 27．（2026·陕西西安·一模）如图，在正八边形中，对角线交于点，则__________． 【答案】 【分析】根据正八边形的性质得出是它的一条对称轴，，即可得出的度数，从而求出的度数，即可求解． 【详解】解：∵八边形是正八边形， ∴是它的一条对称轴，， ∴， ∴， ∴． 28．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在正六边形中，连接，过点作，则的度数为______． 【答案】 【分析】利用正六边形的内角为和边长相等的性质，求出，再结合平行线的性质求解．首先根据正六边形性质得出，，进而求出，从而得到．然后利用平行线的性质结合即可求出的度数． 【详解】解：六边形是正六边形， ，， 在中，， ， ， 延长交于点， ， ， ， 在中，． 三角形基本性质与边角关系 考点02 1．（2026·陕西榆林·一模）如图，在中，于点，平分交于点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直，可得，进而可求，，再根据角平分线，可得，最后根据三角形内角和，计算即可求解． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， 平分， ， ． 2．（2026·陕西西安·一模）如图，在中，，，平分交于D，若，则的面积等于（   ） A．3 B．6 C．12 D．24 【答案】B 【分析】过点作交于点，根据角平分线的性质得到，根据三角形面积公式进行计算即可． 【详解】解：过点作交于点， 平分交于D， ，，， ， ． 3．（2026·陕西西安·一模）如图，平分，于点，点在上．若，面积为9，则的长为（   ） A．2 B．6 C．3 D．9 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质及三角形面积公式．过点作于，根据三角形面积公式求出的长，再根据角平分线的性质可得，从而得出答案． 【详解】解：如图，过点作于， ，， 平分，， ． 4．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在中，平分，于点，为的中点，连接并延长，交于点．若，则的长为（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】延长交于点，利用等腰三角形“三线合一”性质证明且为中点，求出的长；再根据三角形中位线定理证明，进而推出为中点，最后利用的中位线性质求出的长． 【详解】解：如图，延长交于点   平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴为的中点 ，， 为的中点，为的中点， 是的中位线 ， ，即 ， 为的中点， ， ∴，即， 为的中点 ， 在中，为的中点，为的中点 ， 是的中位线 ． 5．（2026·陕西西安·一模）如图，是的角平分线，于点，，，，则的长是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】过点D作于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再根据列出方程求解即可． 【详解】解：如图，过点D作于F， ∵是中的角平分线，， ∴， ∵， ∴， 解得． 6．（2026·陕西西安·一模）如图，在中，是的角平分线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的定义可知的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴． 7．（2026·陕西西安·一模）如图，的两条高、相交于点，则图中与（不包含）相等的角的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查了等角的余角相等，对顶角相等．根据垂线的定义结合等角的余角相等，求得，再结合对顶角相等求得． 【详解】解：∵的两条高、相交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中与（不包含）相等的角的个数有2个， 故选：C． 8．（2026·陕西渭南·一模）如图，在中，，的平分线交边于点D．若的面积为15，则的面积为（    ） A．9 B．6 C．5 D．5.5 【答案】B 【详解】解：过点作于点，于点， 平分，，， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ． 9．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，且，若，则的长是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】由得到，根据线段的垂直平分线的性质得到，可知，再根据三角形的内角和得，即可求出，利用含的直角三角形的性质解答．利用角的等量代换是正确解答本题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 又∵边的垂直平分线交于点， ∴， ∴． ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．（2026·陕西渭南·一模）如图，在中，点D在边上，连接，若，则图中的等腰三角形共有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据等角对等边进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴和都是等腰三角形， ∵， ， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； 综上，等腰三角形共有3个． 11．（2026·陕西汉中·一模）如图，在中，，于点D，，若，则的长为（    ）． A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】先求得，在中利用含30度直角三角形的性质求得，然后再利用含30度直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵于点D，，， ∴，， ∵在，，， ∴， ∵在中，， ∴，即选项C符合题意． 12．（2026·陕西榆林·一模）如图，在中，，过点作交于点，，若，则的长为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得，根据角所对的直角边与斜边的关系可得，即可得的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 13．（2026·陕西西安·一模）如图，在中，，，于点，点是的中点，与互余的角共有（   ）个 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据直角三角形两锐角互余的性质求出和的度数，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，结合等腰三角形性质和三角形外角性质求出和的度数，最后统计出与互余的角的个数即可求解． 【详解】解： ∵在中，， ∴， ∵， ， ， ， ， ， ∵点是的中点，， ， ， ， ， 是的外角， ， ， 综上所述，与互余的角有、、、，共个 ． 14．（2026·陕西西安·一模）如图，在中，，于点D，，E是斜边的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直角三角形的性质求得，利用等边对等角求得，再证明是等腰直角三角形，求得，据此求解即可． 【详解】解：∵E是斜边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 15．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在中，平分，于点，为的中点，连接并延长，交于点．若，则的长为（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】延长交于点，利用等腰三角形“三线合一”性质证明且为中点，求出的长；再根据三角形中位线定理证明，进而推出为中点，最后利用的中位线性质求出的长． 【详解】解：如图，延长交于点   平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴为的中点 ，， 为的中点，为的中点， 是的中位线 ， ，即 ， 为的中点， ， ∴，即， 为的中点 ， 在中，为的中点，为的中点 ， 是的中位线 ． 16．（2026·陕西·一模）如图，在正六边形中，连接，则的度数为__________． 【答案】 【分析】利用正多边形内角和定理求出每个内角的度数，然后根据三角形内角和定理以及角的和差进行求解． 【详解】解：∵六边形为正六边形， ∴每个内角的度数为， ∴， ， ∴． 17．（2026·陕西宝鸡·一模）蜜蜂的蜂巢美观有序，由许多正六边形构成．如图，在正六边形中，连接、交于点O，则的度数为____________°． 【答案】60 【分析】本题主要考查正多边形内角的问题和性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握是解答本题的关键．根据正六边形得出，，由等边对等角得出，，再根据三角形的外角即可得出答案． 【详解】解：六边形是正六边形， ，， ，， ． 18．（2026·陕西西安·一模）生活中处处有数学，多边形在生活中的应用更是不胜枚举．如图是一个正六边形的螺帽，它的边长是，则这个扳手的开口a的值是________． 【答案】/厘米 【分析】作于点，根据正六边形的特点求出的度数，再由等腰三角形的性质求出的度数，由特殊角的三角函数值求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵此多边形为正六边形， ∴， ∴， ∴，， ∴． 尺规作图 考点03 1．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，已知，请用尺规作图法作等边，使得点和点分别在和上，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】作线段的垂直平分线确定点，然后在取一点使，则可得等边． 【详解】解：分别以为圆心，大于的长为半径画弧，在的两侧分别交于一点，连接这两个点的直线交于点，以为圆心，为半径画弧交于点，连接，即为所求． 2．（2026·陕西西安·一模）如图，在中，，请用尺规作图法在边上求作点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】根据题意求出，若，则，那么，所以，此时只需作的垂直平分线，与的交点即为点． 【详解】解：如图，点即为所求作． 3．（2026·陕西西安·一模）如图，请用尺规作图的方法在边求作点P，使得以为边构成的等边的周长最小．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】过点A作边的垂线交于点P，再分别以点A，P为圆心，长为半径画弧，两弧交于点Q，即可． 【详解】解：如图，点P即为所求． 4．（2026·陕西西安·一模）如图，在中，，请用尺规作图法在边上确定一点，使得．（要求保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】根据垂直平分线的作法作的垂直平分线与的交点即为点． 【详解】解：如图，点即为所求作． 由垂直平分线的性质可得， ， ， ， ，， ． 5．（2026·陕西西安·一模）如图，已知，，，请用尺规作图法，在线段上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】图见解析 【分析】作的垂直平分线，交于点，利用线段垂直平分线的性质可得，再结合含角的直角三角形的性质，推导出． 【详解】解：如图，作的垂直平分线，交于点， ，， ， ， ， ， ， ． 6．（2026·陕西·一模）如图，已知，点在射线上，请用尺规作图法在射线上求作点，使 ．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析． 【分析】作垂直平分线交于点，连接，再以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，则点即为所求． 【详解】解：如图，作垂直平分线交于点，连接，再以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，则点即为所求， 理由：由作图可知，， ∴，， ∵， ∴，即 ， ∴点即为所求． 7．（2026·陕西榆林·一模）如图，已知，请用尺规作图的方法在内求作一点P，使得，且点P在边的高上．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】根据垂线的基本作图，线段垂直平分线的基本作图，求解即可． 【详解】解：根据题意，作图如下： ． 8．（2026·陕西西安·一模）如图，点D是的边上一点，连接，请利用尺规作图法在上求作一点P，连接，使与互余．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】过点D作交于点P，则，即与互余． 【详解】解：如图所示，即为所求． 9．（2026·陕西渭南·一模）如图，已知．请你用尺规作图法作等腰，使得为底边，且点D在边上．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】作出线段的垂直平分线与的交点即为点，根据线段垂直平分线的性质得到． 【详解】解：如图，等腰即为所求． 10．（2026·陕西咸阳·一模）如图，已知，点在边上．请用尺规作图法，在的外部求作一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】图见解析 【分析】以为圆心，的长画弧交于点，连接，等边对等角结合三角形的内角和定理，得到，利用尺规作图作，再以为圆心，的长为半径，画弧，进而确定点的位置即可. 【详解】解：如图，点即为所求； 或 11．（2026·陕西咸阳·一模）如图，已知，请用尺规作图法作，使得点E到点A、C的距离相等，且点E在边上．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】图见解析 【分析】作的垂直平分线交于点，即为所求． 【详解】解：如图， 即为所求． 12．（2026·陕西汉中·一模）如图，已知，请用尺规作图法在边上找一点D，连接，使的周长等于．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】作线段的垂直平分线交于点D，连接即可． 【详解】解：∵的周长等于， ∴， ∴点D在线段的垂直平分线上， 如图，点D即为所求． 13．（2026·陕西咸阳·一模）如图，已知，点是的中点，利用尺规作图法在边上找一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】根据题意作，然后利用相似三角形的判定和性质即可证明 【详解】解：如图所示，点即为所求． 证明：根据题意得， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴即． 14．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在中，，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】过点作交于点，则可得． 【详解】解：如图，点即为所作，使． 理由：由作图得：，即， ∵， ∴， 又， ∴． 15．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在四边形中，，点E在对角线上，平分，延长．请你用尺规作图法在射线上求作点F，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】过点E作,垂足为点E，交于F， 则，又因为平分，则，所以． 【详解】解：如图，点F即为所求， 【点睛】掌握相似三角形的判定和经过直线上一点作直线的垂线的作法是解题的关键． 16．（2026·陕西西安·一模）如图，在中，，请用尺规作图法在边上找一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析． 【分析】作的角平分线，进而与相交于点D，即可得出答案. 【详解】解：如图所示：D点即为所求． 17．（2026·陕西西安·一模）如图，在中，请分别在边、、上寻找点E、D、F，使得四边形为菱形（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】①作的平分线，交于点D；②作的垂直平分线，分别交、于点、；③连接，，则四边形即为所求作． 【详解】解：①作的平分线，交于点D； ②作的垂直平分线，分别交、于点、； ③连接，， 则四边形即为所求作． 证明：∵是的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∵是的平分线， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 18．（2026·陕西·一模）如图，已知矩形，请用尺规作图的方法在该矩形内求作一点，使得点到两点的距离相等，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】如图：先用尺规作线段的垂直平分线交于E，再以点E为圆心，以为半径画弧交垂直平分线于P，连接，是等腰直角三角形，即可得到且． 【详解】解：如图：即为所求． 19．（2026·陕西西安·一模）如图，在中，．请用尺规作图法，在内部求作一点，使．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论） 【答案】见解析 【分析】作的外心，根据圆周角定理可得． 【详解】解：如图：点P即为所求． 全等三角形判定与性质 考点04 1．（2026·陕西渭南·一模）如图，在中，，，点D、E分别在、上，且，连接，点P、Q分别是、的中点，连接，则的长为________． 【答案】3 【分析】连接，并延长至点H，使得，连接，．证明，得到，，因此，，从而是等边三角形，得到，再根据三角形中位线的性质即可求解． 【详解】解∶连接，并延长至点H，使得，连接，． ∵点Q是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵点P、Q分别是、的中点， ∴． 2．（2026·陕西西安·一模）如图，在中，于点D，E为边上一点，连接交于点F，且，．求证：． 【答案】见解析 【分析】证明，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 3．（2026·陕西渭南·一模）如图，在等边中，D、E分别为、延长线上一点，且满足，连接、，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据等边三角形的性质得到，进而得到，利用判定定理证明，从而得出结论． 【详解】证明：在等边中， ，， ， 在和中， ， ， ． 4．（2026·陕西安康·一模）如图，，点在上，与交于点，且为的中点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】先利用平行线的性质得出，再通过判定和全等，最后根据全等三角形对应边相等得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴． 5．（2026·陕西西安·一模）已知：如图，AD是的角平分线，E为AD延长线上一点，，连接BE，．求证：． 【答案】见解析 【分析】利用三角形全等判定与性质，三角形的内角和定理是解题的关键． 根据角平分线得出，再由三角形内角和定理确定，利用角边角证明，再有全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∴， ∴． 6．（2026·陕西渭南·一模）如图，是的中线，的平分线交于点，延长至点，连接，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据以及角平分线的定义得到，再由是的中线得到，最后证明即可得出结论． 【详解】证明：是的平分线， ， 又， ， 是的中线， ， 在和中， ， ， ． 7．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在四边形中，，平分，点是上的一点，连接，且．过点作于点，求证：． 【答案】见解析 【分析】由角平分线性质定理得，再根据“”证明即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 8．（2026·陕西宝鸡·一模）图，在中，，点、分别在边、上，于点，于点，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】由，可得，再由，，可得，可得，则可得． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 9．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在和中，点D在的延长线上，，，，求证：． 【答案】见详解 【分析】由判定，由全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：， ， ， ，， （）， ． 10．（2026·陕西·一模）如图，在和中，点，，，在同一条直线上，若，，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得． (1)你选择的补充条件是___________（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出的证明过程． 【答案】(1)①或③ (2)证明见解析 【分析】选①，由可得，进而满足边角边的全等判定；选②，根据边边角无法判定全等；选③，直接根据角角边可判定全等． 【详解】（1）解：选①或③； （2）解：选①， 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； 选③， 证明：在和中， ， ∴． 11．（2026·陕西·一模）如图，已知，点是边上一点，连接交于点，若．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】先证明，进而证明，即可得出． 【详解】证明： ，， ， ， ，， ， ． 12．（2026·陕西·一模）如图，，点在上，与交于点，且为的中点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的性质、三角形全等的判定及全等三角形的性质，先利用平行线的性质得出两组对应角相等，结合中点条件得到一组对应边相等，再通过判定两个三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴． 13．（2026·陕西西安·一模）如图，在四边形中，连接，为的中点，连接、，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】利用证明即可解答． 【详解】证明：∵为的中点， ∴， ∵， ∴在和中， ∴， ∴． 14．（2026·陕西西安·一模）如图，在四边形中，，点E为对角线上一点，，且．求证：．    【答案】见解析 【分析】利用平行线的性质求得，利用三角形的外角性质求得，再由“”可证，从而可得． 【详解】解：证明：， ， ∵，，， ∴， 在和中， ， ， ． 相似三角形判定、性质与应用 考点05 1．（2026·陕西咸阳·一模）如图，乐乐将高为米的标杆竖立在地面上，某一时刻高为米的小树在太阳光下的投影为，此时标杆在太阳光下的投影为，米．已知，，点、、、在同一直线上，则投影的长为______米． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，灵活运用“同一时刻物高与影长成比例”的原理是解题的关键．根据平行光线照射下，垂直于地面的物体与其投影构成相似三角形，可得到，进而利用相似三角形对应边成比例的性质，求出小树的投影的长度． 【详解】解：，，点、、、在同一直线上， ， ， ， ， 即， ． 故答案为：． 2．（2026·陕西咸阳·一模）如图，是的角平分线，，点E、F在边上，且，连接与交于点M．若，，，则的长为______． 【答案】 【分析】证明，得到，，过点作于点G，过点作于点H，利用解直角三角形求出 ，，则，证明，则，解得，即可求出答案． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴ ∴，， ∴ 过点作于点G，过点作于点H， ∴ ， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴ 3．（2026·陕西·一模）如图所示，图是一个夹子闭合时的状态，图2是此时的主视示意图，夹子两边为（闭合时点与点重合），点是夹子转轴位置，连接杆与夹子两边始终保持垂直，即于点，于点，，，，．用手捏住夹子手柄，夹子两边绕点转动，如图，当夹子的手柄合拢（即点与点重合）时，两点间的距离是多少厘米？ 【答案】厘米 【分析】本题主要考查的知识点是相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定、勾股定理及三角形面积公式的应用．先利用“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”，判定垂直平分；再结合勾股定理求出的长度，通过三角形面积的两种表示方法算出，进而得到的长度；最后根据两边成比例且夹角相等，证明，利用相似三角形的对应边成比例求出的长度． 【详解】解：如图，连接、，交于点． ∵， ∴点在线段的中垂线上， 又∵， ∴点在线段的中垂线上， ∴垂直平分线段，从而， ∵中，，而且得， ∴， ∵，即， ∴， 从而， ∵，，从而，， ∴， ∴即， ∴， 答：两点间的距离是厘米． 4．（2026·陕西渭南·一模）背景：某数学小组的成员利用所学知识在周末测量了一棵银杏树的高度． 测量过程：该小组的同学甲在地面上的点C处测量了银杏树顶端A的仰角的度数；该小组的同学乙在地面上的点D处放置一面平面镜（大小忽略不计），随后从点D处沿方向移动至点E处时，恰好从平面镜中看到银杏树顶端A的像． 数据：米，米，米，． 说明：，，点B、C、D、E在一条直线上，图中所有点均在同一平面内． 任务：求银杏树的高度．（参考数据：，，） 【答案】银杏树的高度为米 【分析】先由，可设，再解即可． 【详解】解：由题意得， ∴ ∴， ∴， ∴ 设， 则， 在中，， ∴ 解得 ∴（米） 答：银杏树的高度为米． 5．（2026·陕西咸阳·一模）某地城隍庙有“毕土木之功，穷造形之巧”的美誉．城隍庙的山门是进入城隍庙的第一道大门．如图，某数学兴趣小组准备利用所学过的数学知识测量该城隍庙山门的高度． 【测量过程】小组成员甲在处利用测角仪（高度忽略不计）测得山门顶端点的仰角的度数；小组成员乙沿方向移动至点，在处放置一面平面镜（大小忽略不计），沿方向移动至点处，眼睛位于处时，恰好从平面镜中看到山门顶端点的像． 【测量数据】． 【图形说明】，点在同一水平直线上，图中所有的点都在同一平面内． 【参考数据】． 请你根据以上信息，求出该城隍庙山门的高度． 【答案】 【分析】根据锐角三角函数得出．证明，利用对应边成比例进行求解． 【详解】解：， ，即． 由题意可得． ， ， ， ． ， ， 解得， 该城隍庙山门的高度为． 6．（2026·陕西宝鸡·一模）为了加强红色教育，传承红色基因，某校组织学生前往陕西省铜川市军台岭战斗旧址进行参观，参观期间，组织同学们开展了测量军台岭战斗纪念碑高度的活动，记录如下： 活动主题 测量军台岭战斗纪念碑的高度 测量过程及示意图 如图，在地面上的点处竖立一根标杆，某一时刻纪念碑与标杆在太阳光下的影子顶端重合于地面上的点处，将标杆移至点处后，给标杆顶端处放置一个测角仪（大小忽略不计），测得纪念碑的顶端的仰角的度数． 测量数据 米，米，米， 测量说明 、，，、、在同一条直线上，图中所有的点都在同一平面内 参考数据 请你根据以上测量结果，计算军台岭战斗纪念碑的高度． 【答案】14米 【分析】延长交于点，证明，得出相关线段之间的数量关系，设，则，然后利用锐角三角函数进行列方程求解． 【详解】解：如图，延长交于点， 则（米）， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 假设，则， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， ∴（米）， ∴（米）． 7．（2026·陕西宝鸡·一模）西安鼓楼是中国古代遗留下来的众多鼓楼中形制最大、保存最完整的鼓楼之一．某数学小组成员想利用所学知识测量鼓楼的高度（如图）．该小组成员在点C处测得鼓楼的顶端A的仰角，从点C处移动31米到达点E处（米），在点E处竖立一根高为2米的标杆，此时，鼓楼在太阳光下的影子末端与标杆在太阳光下的影子末端恰好重合于地面上的点D处．经测量知米，已知，，点C，D，E，B在同一直线上，图中所有点均在同一平面内，请你帮助该数学小组成员求出西安鼓楼的高度．（参考数据：，，） 【答案】36米 【分析】根据相似三角形的判定得出，可得，确定，再由，代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴，即 ∴ ∵， ∴，即 ∴，解得， ∴ ∴西安鼓楼的高度约为36米． 8．（2026·陕西渭南·一模）实践课上，老师组织学生测量学校主教学楼上校徽的高度，学生王雯由距离主教学楼米的大树的底部C处向后移动，当移动到达点D时，她恰好略过大树的顶端E看到校徽的顶端P，接着她继续向后移动到达点B处时，她又恰好略过大树的顶端E看到校徽的底部点Q，并测得（A、B、C、D在一条水平线上），请你利用文中数据帮助王雯计算校徽的高度（参考数据：，，）． 【答案】校徽的高度为 【分析】过点F作于点D，求出，推导出，得到，则，代入求解即可． 【详解】解：过点F作于点D，如图 ， 由题知：， ， 又， ， ， ． 答：校徽的高度为． 9．（2026·陕西西安·一模）《金戈》是以紫铜锻造而成，突出表现了秦国在统一历程中推行“耕战”国策的雄略主题，周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量这座雕塑最高点到地面的距离．如图，小华在点D处竖立一根标杆，小亮站在斜坡的点F处，调整自己眼睛的高度，当眼睛在E处时，他的视线从E点通过标杆顶端C点正好落在雕塑顶端A点处．已知、、均与地面垂直，测得米，米，点F到地面的距离米，米，米，，点B、D、G、M、H在一条水平线上，图中所有点均在同一平面内，求雕塑最高点到地面的距离． 【答案】雕塑最高点到地面的距离为米． 【分析】过点E作于点N，交于点O，则四边形是矩形，证明，求解即可； 【详解】解：如图，过点E作于点N，交于点O， 则四边形是矩形， 故米， 与地面垂直，， 点F在上． ， ， 米， 米，米， 由四边形是矩形， 得米，米，米， ， ， ， ， 解得米， 米， 雕塑最高点到地面的距离为米． 10．（2026·陕西商洛·一模）小伟同学是一名军事爱好者，他了解到“跳眼法”是常用于军事领域的一种测距方法，于是他使用“跳眼法”测量了两棵树之间的距离，测量活动报告记录如下： 活动目的 使用“跳眼法”测量两棵树之间的距离 测量过程及示意图 如图，点与点处各有一棵大树，小伟面向所在直线站立，右眼位于点处，左眼位于点处，点为右手大拇指，闭上左眼时，右眼、大拇指与大树在一条直线上，闭上右眼，睁开左眼时，左眼、大拇指与大树在一条直线上；然后小伟在上的点处测得的度数． 测量说明 ，图中所有的点都在同一平面内 测量结果 ，，， 参考数据 请你根据活动报告中的信息，计算这两棵大树之间的距离． 【答案】 【分析】证明，得出，设，则，求出，根据，得出，建立方程，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 设，则， 则， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 11．（2026·陕西·一模）山河壮丽如画卷，万里锦绣映华夏．越来越多的人们通过旅游感受祖国的大好河山，放松心情，浩浩一家在咸阳某景区游玩时，发现景区的游客中心（）上面有一面旗帜，浩浩想知道这面旗帜的高度，于是设计了以下测量方案：他先在游客中心前分别放置了高为的测角仪（）和一根高的竹竿（）．在某一时刻的阳光下，旗帜的影子顶端与竹竿的影子顶端在点处重合．然后他用皮尺测得，，，用测角仪测得游客中心顶端的仰角为．已知，求游客中心上的旗帜（）的高度．（参考数据：） 【答案】 【分析】过点M作，根据题意得出，，再由正切函数的定义得出，利用相似三角形的判定和性质确定，结合图形即可求解． 【详解】解：过点M作，如图所示： 根据题意得：四边形为矩形， ∴，， ∵用测角仪测得游客中心顶端的仰角为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴即， ∴ ． 12．（2026·陕西榆林·一模）革命亭为西安革命公园标志性建筑，是纪念在“二虎守长安”西安围城期间所死难的军民．某校数学学习小组为测量革命亭的高度，开展了如下综合与实践活动，如图，在D处竖立一根标杆，某一时刻在阳光下，革命亭顶端A的影子和标杆顶端C的影子重合于点E处，；小组成员铭铭站在G处时，他的视线从F点通过标杆顶端C点正好落在革命亭底端B点处，，铭铭眼睛到地面的距离．已知、、均与地面垂直，点B、D、E、G在一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内．请你求出革命亭的高度． 【答案】 【分析】利用，结合垂直条件，证明和均为等腰直角三角形，得到；利用视线条件，证明，通过相似比求出的长度；由求出，进而得到的高度． 【详解】解：∵、、均与地面垂直， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴． ∵， ∴， ∴，即 ∴． ∴． ∴革命亭的高度为． 13．（2026·陕西宝鸡·一模）石鼓阁是宝鸡市的标志性建筑之一，因石鼓文而得名，堪称西北第一阁，采用外五内九的层级设置，喻示周秦文明在中华文明史上的九五之尊的崇高地位．小林想利用学过的知识测量石鼓阁的高度．一个阳光明媚的下午，他和数学应用实践小组的同学们带着测量工具来到石鼓阁前，但他们无法到达石鼓阁的底部B．如图，小林先在石鼓阁前方的点处测得石鼓阁顶端的仰角；然后，他从点处沿方向前进38米至石鼓阁的影子顶端处（即米），同一时刻，小组成员测得小林的影长为米．已知小林的身高为米，，点在同一水平线上，图中所有点都在同一平面内，求石鼓阁的高度．（参考数据：） 【答案】石鼓阁的高度为57米 【分析】题目主要考查解三角形及相似三角形的判定和性质，理解题意，熟练掌握运用是解题关键． 设米，根据题意得出，再由相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：设米， 在中， ， （米）， 由题意得：，， ， ，即， 解得：，即米， 石鼓阁的高度为57米． 解直角三角形的应用 考点06 1．（2026·陕西渭南·一模）合阳千金塔为密檐式八角形空心砖塔，共十三层，被国务院公布为国家重点文物保护单位．某实践活动小组在老师的指导下，用学过的数学知识测量千金塔的高度，下面是测量活动报告： 活动主题 测量千金塔的高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量过程及示意图 如图，小组成员甲在处利用高为的测角仪测得千金塔顶端点的仰角的度数，小组成员乙在处利用测角仪测得千金塔顶端点的仰角的度数，用皮尺测出、两点间的距离 测量数据及图形说明 ，，，，，，点、、在同一直线上，图中所有的点在同一平面内 参考数据 ，，，，， 备注 测量过程中注意安全，做到保护文物 请你根据以上活动报告，求出合阳千金塔的高度． 【答案】35米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，解决此类问题的关键是要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形． 首先证明四边形为矩形，设，分别解和，列方程求解即可． 【详解】解：设， ，，， ∴四边形为矩形． ，． ． ， ． ． ． ， ，解得． ． 答：合阳千金塔的高度为35米． 2．（2026·陕西汉中·一模）拜将坛遗址位于陕西省汉中市境内，是陕西省首批优秀传统文化传承基地．小伟去汉中市旅游期间、运用所学知识测量了该遗址内韩信雕像的高度、如图，在地面上的点处测得雕像顶端的仰角．在地面上的点处测得雕像顶端的仰角，米，，、、在一条水平直线上，请你根据小伟的测量结果，计算韩信雕像的高度． 【参考数据：，，] 【答案】韩信雕像的高度为米． 【分析】根据题意可得，，，设韩信雕像的高度米，可得，解方程即可． 【详解】解：根据题意可得，，， ∴，， ∴， 设韩信雕像的高度米， ∴， 解得， ∴韩信雕像的高度为米． 3．（2026·陕西宝鸡·一模）凤翔城墙遗址公园的核心景观为唐末凤翔节度使李茂贞所筑古城墙遗址，某数学兴趣小组在老师的指导下，用学过的数学知识测量该古城墙遗址的高度，下面是测量活动报告： 活动主题 测量凤翔古城墙遗址的高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量过程及示意图 如图，小组成员甲在处利用测角仪测得该古城墙遗址顶端点的仰角的度数，小组成员乙在处利用高为的测角仪测出该古城墙遗址顶端点的仰角的度数． 测量数据及图形说明 ，，，，，，点、、在同一直线上，图中所有的点在同一平面内 参考数据 ，， 请你根据以上活动报告，求出凤翔古城墙遗址的高度． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先理解题意，证明四边形是矩形，得出，然后在中，，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：过点作于点， ∵ 则四边形是矩形， ∴，， ，， ， 则 四边形是矩形，， ，， 在中，， ，， ， 解得， ∴凤翔古城墙遗址的高度是． 4．（2026·陕西汉中·一模）鹳雀楼有“黄河第一楼”之称，是国内唯一一座采用唐代彩画艺术恢复的唐代建筑．小辰用所学知识测量鹳雀楼的高度．在垂直地面的鹳雀楼前阶梯下有一广场，小辰在阶梯前米的A处（米）测得鹳雀楼顶B的仰角为，走上阶梯，在D处测得楼顶B的仰角为，已知阶梯的坡度，阶梯的坡面高度米，请你帮小辰计算鹳雀楼楼身的高度．（，得数保留整数） 【答案】米 【分析】由题意可得：四边形是矩形，即米，，由阶梯的坡度可求得米；设米，米，在中，解直角三角形可得，即；在中可得，据此列关于x的方程求解即可． 【详解】解：由题意可得：四边形是矩形，即米，， ∵阶梯的坡度，阶梯的坡面高度米， ∴，即，解得：米． 设米，米， 在中，， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∴米， 在中，， ∴， ∴，解得：米． 答：鹳雀楼楼身的高度 约为米． 5．（2026·陕西·一模）漫山遍野的桃花，点燃了春日的盛景．娜娜与丽丽相约春游，她们想用所学知识测量一棵桃树的高度．具体研究方法与过程如表： 课题 测量桃树的高度 工具 卷尺、测角仪等 示意图 说明 如图，娜娜在斜坡上的点处，用测角仪测得桃树的顶端的仰角为，斜坡的坡度为（与的比），丽丽用卷尺测得的长．已知均与地面垂直，点在同一直线上，图中所有点均在同一平面内． 数据 米，米，米，． 根据以上信息，求这棵桃树的高度．（参考数据：，，） 【答案】这棵桃树的高度为米 【分析】过点作于点，延长交于点，根据，得出，设，则，求出，根据，求出，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于点，延长交于点，则，四边形是矩形， ， 在中，，即， 可设，则 ， ， ，即， ， 在中，， ， ， ． 故这棵桃树的高度为8.2米． 6．（2026·陕西咸阳·一模）兴教寺塔，位于陕西省长安区少陵原畔兴教寺内，是中国现存最古老的楼阁式塔．某数学小组的成员在周末用无人机测量了兴教寺塔的高度．测量过程如下：如图，无人机在水平地面上的点处，测得该塔顶端的仰角为；随后，无人机从点处沿垂直于地面的方向向上飞行到达点处（即），此时测得该塔顶端A的仰角为．已知，，图中所有点均在同一平面内，请你求出兴教寺塔的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】答：兴教寺塔的高度为米． 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是根据题意，得到四边形是矩形，则，设，根据，，求出，从而得到，即可求出． 【详解】解：延长交于点， ∵，，（）， ∴四边形是矩形， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：（）， ∴， ∴（）． 答：兴教寺塔的高度为米． 7．（2026·陕西西安·一模）中国的“春节”，已列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，春节涵盖了中华民族丰富多彩的非遗活动，如贴春联、逛庙会、剪纸、打铁花……今年春节期间，小明和小亮相约来到非遗广场，一起感受浓浓的中国节．他们在广场的地面A点处看到远处有一个古塔，用测倾仪测得塔顶C的仰角为，然后沿着坡度为的斜坡前进39米到达观景台D，用测倾仪测得塔顶C的仰角为，已知古塔与地面互相垂直，测倾仪的高度为1米，求古塔高度大约为多少米？（结果保留整数，） 【答案】米 【分析】作交于G，作交于F，作交于K，交于O，可知四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形，设米，则米，根据勾股定理求出，即米，米，设米，根据三角函数得到米，米，列出方程求出，即可求出高度． 【详解】解：作于点G，作于点F，作于点K，交于O， 可知四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形， ∴米，，， ∵沿着坡度为的斜坡前进39米到达观景台D， ∴米，， 设米，则米， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴米，米， ∴（米）， 设米， ∴米， 由题意可知，， ∴米，， 即米，米， 即 解得：， ∴米． 8．（2026·陕西铜川·一模）某综合实践活动小组尝试利用无人机测算某山体的海拔高度，当无人机位于海拔高度为的点C处时，测得山顶A处的仰角为；当无人机垂直上升到海拔高度为的点G处时，测得山顶A处的仰角为，已知点A，B，F，C，G在同一平面内，且，．求山体的海拔高度．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】过点G作，垂足为H，过点C作，垂足为E，由题意得，，，，．从而可得，再解直角三角形即可得出结果． 【详解】解：如图，过点G作，垂足为H，过点C作，垂足为E． 由题意得，，，，． ． 在中，， ． 在中，， ． ，即， 解得． ． 答：山体的海拔高度约为． 9．（2026·陕西咸阳·一模）某校九年级数学兴趣小组开展“测量学校操场旗杆”的实践活动，其中一个设计方案如图所示，旗杆垂直于水平地面，在地面上选取两处（点在同一条直线上），测得地面上两点的距离为，分别在点和点处测得旗杆顶端的仰角为和，请根据他们的测量数据，求旗杆的高．（参考数据：，，，，，） 【答案】旗杆的高为 【分析】由题意得，，然后根据锐角三角函数列出等式，得到，最后由即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∵在中，， ∴． ∵在中，， ∴， ∴， ∴，即． ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 答：旗杆的高为． 10．（2026·陕西西安·一模）2026年1月1日，长安灯会在西安城墙上“惊喜”亮灯，吸引了市民和游客纷至沓来，同时在遗址公园设置了如图所示A、B、C、D四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，B在A的正东方向，C在B的正北方向，D在A的北偏东方向且在C的北偏西方向，小明以的速度从C打卡点沿方向步行至D打卡点用了，，求A打卡点与B打卡点之间的距离．（结果保留整数．参考数据：，，，） 【答案】 【分析】过点A作于点A，过点C作于点C，交于点F，交于点G，过点D作于点E，然后利用解直角三角形的知识求解即可． 【详解】解：过点A作于点A，过点C作，交于点F，交于点G，过点D作于点E， 根据题意，得，，四边形是矩形，， ∴，，，， ∵小明以的速度从C打卡点沿方向步行至D打卡点用了， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 11．（2026·陕西西安·一模）如图，山坡长为26米，坡度为，底端A在地面上，山坡与对面的山之间有一条小河，对面山顶D处立有高15米的铁塔．数学实践小组的同学欲测量山高，他们在B处测得塔顶C的仰角，又测得塔底D的仰角．已知点C，D，E在同一条直线上，与水平线垂直，图中点A，B，C，D，E，F均在同一平面内，请计算山高．（测倾器的高度忽略不计，结果精确到1米．参考数据：，，） 【答案】山高为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-俯角仰角，解直角三角形的应用-坡角坡度，正确地作出辅助线是解题的关键．过作于，于，则四边形是矩形，，由坡度为，求出，，再根据，，得到，，最后根据，求出，最后根据计算即可． 【详解】解：过作于，于，则四边形是矩形，， ∵山坡长为26米，坡度为， ∴设，， ∵， ∴， 解得（负值舍去）， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴（米）， 答：山高为米． 勾股定理及逆定理 考点07 1．（2026·陕西渭南·一模）如图，在中，，点D是的中点，连接．若，，则的长为（   ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】先根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半求出，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，为斜边的中点，， ∴， ∵， ∴． 2．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在中，于点，若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】先利用勾股定理求出，再根据进行求解． 【详解】解：∵， ∴， 由勾股定理得， ∴． 3．（2026·陕西西安·一模）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图①是一个直角边长分别为2和3的直角三角形，用四个这样的全等的直角三角形拼成如图②所示的正方形，四边形是正方形，对角线和交于点O，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先利用勾股定理求出，然后得到，，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：根据题意得，，， ∴ ∵四边形是正方形 ∴， ∴，即 ∴． 4．（2026·陕西西安·一模）如图，在中，，是的角平分线，于点E．若，则的长为（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质．过点D作于点F，根据角平分线的性质，可得，再由含30度角的直角三角形的性质，可得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作于点F， ∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故选：A 5．（2026·陕西榆林·一模）如图，在四边形中，，，点E是对角线的中点，点F，G分别是，边的中点，连接，，．若，则线段的长度为（   ） A．5 B． C． D．3 【答案】B 【分析】因为E、F、G分别是、、的中点，所以可利用三角形中位线定理，分别求出和的长度．因为，可利用勾股定理求出的长度． 【详解】∵是中点，是中点， ∴ ， 又∵是中点， ∴ ， ∵， ∴ ． 6．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，为的高，点、分别为、的中点，连接若，则的长为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【分析】由三角形中位线定理得，再由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵点、分别为、的中点， ∴， ∵为的高，， ∴，， ∴． 7．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在中，，是的角平分线，于点，若，，则的长为（  ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】证明为等腰直角三角形，可得，求得，即可求得． 【详解】解：，是的角平分线， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ． 8．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在中，，边的垂直平分线分别与、交于点D、E，连接，若，，则的长为（    ） A．13 B．18 C．20 D．28 【答案】B 【分析】先利用面积公式求得，然后利用勾股定理求得，最后根据线段垂直平分线得到即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，则， ∵边的垂直平分线分别与、交于点D、E， ∴， ∴． 9．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在中，是的高，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求余弦值，先根据条件求出，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴ 解得：， ∴， 故选：C． 10．（2026·陕西西安·一模）如图1是我国古建筑墙上采用的八角形窗户，其外轮廓是一个正八边形，外轮廓示意图如图2的正八边形所示，若对角线，则对角线的长为______． 【答案】 【分析】连接，先求出，再证明，则，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵八边形是正八边形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴在中，． 11．（2026·陕西安康·一模）如图，已知在中，，，，点、分别在边、上，且，若DE把的面积平分，则__ ．    【答案】 【分析】过点作，垂足为，根据题意，求出；推出的面积，根据把的面积平分，则，根据，求出，再根据，求出，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作，垂足为， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵把的面积平分， ∴， ∵， ∴， ∴； 在直角三角形中，， ∴， ∴， ∴， 12．（2026·陕西西安·一模）如图，一棵大树从处折断，树梢着地．经测量，树干与折断部分之间的夹角，与此同时，有一个身高为1.6米的学生在阳光的照射下他的影长为2米，段的影长为，点在同一条直线上，，大树原来高度为12米，求学生到树梢着地点的距离．（结果保留根号） 【答案】学生到树梢着地点的距离为米． 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，勾股定理，根据题意可得米，解直角三角形求出米，米，利用勾股定理求出米，再根据点在同一条直线上，可得，进而求出米，即可求解． 【详解】解：题意可得米， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴米， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， ∵点在同一条直线上，， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， ∴米， ∴米， ∴米， 答：学生到树梢着地点的距离为米． 四边形与特殊平行四边形 考点08 1．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在矩形中，，点在上，连接、，若，则的长为（　　） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据矩形的性质可得，，根据勾股定理可得，则可得，再根据勾股定理可得．本题主要考查了矩形的性质和勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：B． 2．（2026·陕西渭南·一模）如图，是矩形的对角线，线段的垂直平分线，分别交、于点、，连接．若，，则的值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据垂直平分线的性质，可得，设，可以把用的代数式表示出来，再利用勾股定理列方程，求出即可求解本题． 【详解】解： 垂直平分， ， 设， 在矩形中，，， ， ， 解得：， ． 3．（2026·陕西咸阳·一模）如图，菱形的对角线交于点O，点E在边上，且，过点E作交于点F．若，，则的面积为（   ） A．10 B．8 C．6 D．5 【答案】B 【分析】根据菱形的性质可得，，再证明，然后根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 4．（2026·陕西榆林·一模）如图，在菱形中，，对角线，相交于点O，且．延长到点E，在内作射线，使得，过点B作，垂足为H，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据菱形的性质得到，再利用三角函数得到，证明即可得到答案． 【详解】解：菱形中，， ，点为中点，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 5．（2026·陕西渭南·一模）如图，在矩形中，对角线交于点O，交于点E．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，得，，继而得到，求解即可． 【详解】解：矩形中，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 6．（2026·陕西汉中·一模）如图，在菱形中，对角线与交于点，点为上一点，连接，若，，则的长为（    ） A．12 B．15 C．17 D．20 【答案】C 【分析】利用菱形性质求出及，在中求出，进而求出，最后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， 7．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在正方形中，点在的垂直平分线上，连接、，于点，，若，则的长为（  ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】证明为等边三角形，根据由题意求得，即可求得的长，利用． 【详解】解：在正方形中，，， 点在的垂直平分线上， ， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， ． 8．（2026·陕西渭南·一模）如图，点E在正方形内，连接、，，于点F，若，，则的长为（   ）    A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】证明，得出，，根据线段间的数量关系，求出的长． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 9．（2026·陕西西安·一模）如图，、为正方形内两点，且，连接，若，，，则的长为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据正方形的性质得到，，再利用勾股定理分别求出中的长和中的长，即可得，，进而证明，得到，，再结合直角三角形两锐角互余的性质，利用余角性质得，，即可证明，得到、的长度和，进而推出，然后计算出和的长度，最后在中用勾股定理求出的长，从而确定答案． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， 在中，由勾股定理：， 在中，由勾股定理：， ∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 在和中， ， ​∴， ∴，，， ∴， ，， 在中，​． 10．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在菱形中，对角线与交于点O，点E是上一点，连接，，若，，则菱形的周长为（    ） A．60 B．40 C．36 D．48 【答案】A 【分析】根据菱形的性质得出，，设，则，，得出， 确定， 得出， 即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴设，则，， ∴， ∵在上，且， ∴， ∵， ∴，解得， ∴， ∵， ∴， ∴菱形的周长为． 11．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在菱形中，，对角线的长为16，E是的中点，F是上一点，连接．若，则的长为（   ） A． B．10 C． D． 【答案】C 【分析】连接交于点，过点作于点.利用菱形对角线互相垂直平分求出和的长，再利用相似三角形求出和的长，进而求出的长，最后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接交于点，过点作于点， 四边形是菱形， ，，， 在中，， ∵， ， ， 是的中点， ， ，， ，， ， 在中，． 12．（2026·陕西西安·一模）如图，菱形的对角线交于点O，过点A作于点E，连接，若，则的长为 （   ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先根据菱形对角线互相垂直平分得到，再由勾股定理得到，则由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得． 【详解】解：∵菱形的对角线交于点O， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵，为的中点， ∴． 13．（2026·陕西榆林·一模）如图，在中，是的中线，以为边作正方形，若，则四边形的面积为（   ） A．4 B．9 C．12 D．16 【答案】A 【分析】利用锐角三角函数以及直角三角形斜边中线定理进行求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴四边形的面积为． 14．（2026·陕西西安·一模）如图，在矩形中，平分交于点，连接，点为的中点，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，勾股定理，直角三角形的性质． 由矩形的性质、平行线的性质和角平分线的定义得到，利用勾股定理求出，再利用直角三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：矩形， ，，，， ， 平分， ， ， ， ， ， 点为的中点， ． 15．（2026·陕西西安·一模）如图，在正方形中，为对角线上一点，连接并延长交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，利用正方形的性质可证，得到，再根据等腰三角形及三角形外角性质可得，进而得到，即可求解，掌握正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 16．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在正方形中，连接，点在上，连接，于点，延长交于点，若，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据正方形的性质得出，确定，得出，利用勾股定理得出，再由等腰三角形三线合一得出，根据含30度角的直角三角形的性质及勾股定理得出，，即可求解 【详解】解：∵正方形，为对角线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴ 17．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在菱形中，点在边上，且，连接，交对角线于点．若，则的长为（    ） A．8 B．6 C．9 D．7 【答案】A 【分析】由题意可得，利用菱形的性质可得，，易证可得，即，再将代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴，即选项A符合题意． 18．（2026·陕西西安·一模）如图，中，E、F分别是边和的中点，于点H，的面积为16，若，，则的长为（    ） A．5 B．3.5 C．3 D．2.5 【答案】D 【分析】延长交于G，根据平行四边形的性质得出，，，根据平行线的性质可得出，根据的面积为16可求出，根据同角的正切值相等得出，则可求出，根据勾股定理求出，证明，根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：延长交于G， ， ∵中，E、F分别是边和的中点，， ∴，，， ∵， ∴， ∵的面积为16， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 19．（2026·陕西西安·一模）如图，在正方形中，是延长线上一点，连接，是边边上一点，连接交于点且．若时，的值为（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】D 【分析】过点作交于点，设，，根据，得出，，，再证出，得，可得方程，解出，即可得出结果． 【详解】解：过点作交于点，如下图所示： 在正方形中，，， 设，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 化简得， 即， 解得（舍去）或， 故， 故选：D． 20．（2026·陕西榆林·一模）如图，在矩形中，，，点E是边的中点，点F在边上，且，与相交于点N，M是的中点，连接，则的长为________． 【答案】 【分析】先证明，求得．再利用直角三角形的性质结合勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，． ∵点E是边的中点， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵M是的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴的长为． 21．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在菱形中，对角线交于点，点是延长线上一点，连接交于点，若，则菱形的周长为________． 【答案】48 【分析】取的中点，连接，根据菱形的性质得出是的中位线，得出相等的角，证明，利用对应边成比例进行求解． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴是的中位线， ∴， ，且， ∴， 则， 即， 解得， 则 菱形的周长为． 22．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，是内一点，连接，，，，过点作，过点作，与交于点．若的面积为18，则四边形的面积为________． 【答案】9 【分析】如图，连接，证明出，，得到，得到，，证明出四边形，是平行四边形，然后利用平行四边形的性质得到，然后利用四边形的面积等量代换求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴，， ∵，， ∴四边形，是平行四边形， 设点E到的距离为，点E到的距离为，与间的距离为h，则， ∴， ∴，， ∴四边形的面积． 23．（2026·陕西商洛·一模）如图，的对角线与相交于点，点在上，点在上，且，连接、、、，要使四边形为矩形，则可以添加的条件是___________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用对角线相互平分的四边形是平行四边形证得四边形是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得到需要添加的条件． 【详解】解：添加使得四边形是矩形． 四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形， 添加， 四边形是矩形． 24．（2026·陕西西安·一模）如图，在菱形中，点、分别在、边上，，连接、．若，，，则线段的长为______． 【答案】 【分析】连接，过点分别作于点于点，根据菱形的面积公式求出，根据和等底等高得，由已知，进而得，再根据面积公式得，由此可得，在Rt中，由勾股定理求出，进而可得，然后在Rt中，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：连接，过点分别作于点于点， 在菱形中，， 又 ∴， ∴， ∴和等底等高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, ∴， 在Rt中，，， ∴， ∴， 在Rt中，． 25．（2026·陕西咸阳·一模）如图，矩形的对角线相交于点O，点E在上，连接，若，则的度数为______． 【答案】 79 【分析】先根据矩形的性质结合三角形内角和定理求出，再利用三角形外角的性质求出，最后由即可求解． 【详解】解：在矩形中，， ； ， ； ， ， ． 26．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在矩形中，为的中点，连接，过点作，与的延长线交于点，平分，且点在边上，则的长为______． 【答案】 【分析】证明，得出，过点G作于点H，证明，再推出，可得，解得即可解答． 【详解】解：四边形为矩形， ， ， ， ，即， ， ， ， E为的中点， ， ， 如图，过点G作于点H． ， ，则， ，， ， ． ，平分， ， ， ，即， 解得， ． 27．（2026·陕西咸阳·一模）如图，正五边形的边长为3，对角线相交于点，则四边形的周长为______． 【答案】12 【分析】根据多边形的内角和公式可求出正五边形各内角度数，继而证明四边形是菱形，即可求解周长． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴ 则， ∴， ∴， ∴， ∴；同理可证， ∴四边形为平行四边形，而， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形的周长为． 28．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，四边形和四边形均为菱形，且菱形的面积为落在边上，若的面积为，则的面积是___________． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形面积，掌握菱形的性质是解题关键．连接，根据菱形的性质，推出，得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 四边形和四边形都是菱形， ，，，， ，， ， ， ， ， 和同底等高， ， 菱形的面积为，的面积为， ， ， 故答案为：． 29．（2026·陕西渭南·一模）如图，在菱形中，连接交于点O，点F在上，且，点E在边上，且，连接、．若的面积为10，则四边形的面积为______． 【答案】 80 【分析】根据菱形的性质，得到，作于点，证明，得到， 根据的面积为10，求出菱形的面积，进而求出的面积，根据同高三角形的面积比等于底边比，求出的面积，再利用分割法进行求解即可. 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ， 点在上，， ， ， 过点作于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， 点在边上，， ， . 30．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，正八边形的每个顶点均在正方形的边上，若正八边形的边长为，则正方形的边长为___________． 【答案】 【分析】根据正多边形和正方形的性质推出为等腰直角三角形，进而可得，同理可得，，再根据求解即可． 【详解】解：∵是正方形， ∴， ∵正八边形， ∴，由正八边形外角可得， ∵正八边形的边长为，即， ∴， 同理可得，， ∴， 即正方形的边长为． 31．（2026·陕西西安·一模）如图，在梯形中，，，，点C、M分别是边上的点，连接，若和的面积之和为12，则的长为____________． 【答案】6 【分析】如图，连接，取的中点F，连接，易证四边形是矩形．再证明是的中位线可得，即点M到的距离与点M到的距离相等均为4，然后根据三角形间的面积关系以及已知条件求解即可． 【详解】如图，连接，取的中点F，连接， ∵，，， ∴四边形是矩形． ∴ ∵， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴点M到的距离与点M到的距离相等均为4， ∴与的面积相等，和的面积之和即为的面积， ∴，解得：． 32．（2026·陕西西安·一模）如图，在正方形中，为对角线上一点，与交于点，当时，则的值为__________． 【答案】 【分析】过点作，垂足分别为G、H，可证明四边形是正方形，得到，；再证明，得到，则可证明，进而可推出 ，证明，则． 【详解】解：如图，过点作，垂足分别为G、H， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴或（舍去）， ∵， ∴， ∴． 33．（2026·陕西西安·一模）在矩形中，点是边上的三等分点，连接相交于点，连接．若，，则的值是______． 【答案】 【分析】根据矩形的性质可得，，，由，是边上的三等分点可得，进而求出，证明，利用相似三角形对应边成比例求出的值，过点作于点，可证，利用相似比求出和的长，进而求出的长，最后在中利用正切定义求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ，，，， ，是边上的三等分点， ， ， ，即， ， ， ， 过点作于点，如图， ， ， ， ， ，， ， 在中，． 34．（2026·陕西汉中·一模）如图，在菱形中，点E，F分别在，边上，，求证：． 【答案】见解析 【分析】由菱形的性质可得，再根据角的和差结合已知条件可得，进而证明，最后利用全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】证明：∵菱形中， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 35．（2026·陕西商洛·一模）如图，点为正方形内一点，连接、、，若，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据正方形的性质得，证，得到，再根据等角的余角相等，即可求证． 【详解】证明：四边形为正方形， ， 又， ， ， ， ． 36．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在四边形中，，于点E，于点F，，求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】证明，得到，再根据，，得到，即可得证． 【详解】证明：∵，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴四边形是矩形． 37．（2026·陕西榆林·一模）如图，在平行四边形中，点是边上的一点，点是延长线上的一点，且．求证：． 【答案】证明见详解 【分析】根据平行四边形的性质得到，，进而推出，再结合已知条件，利用判定，进而得到． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ． 38．（2026·陕西渭南·一模）如图，在中，点E、F分别在、边上，连接，有下列三个选项：①，②，③．请你在上述三个选项中选择两个作为补充条件，选择一个作为结论，并证明你的结论．（只要求写出一种正确的选法） (1)你选的补充条件为________、________，结论为________；（填序号即可） (2)根据第（1）问的选择，证明你的结论． 【答案】(1)①，②；③；（②，③；①） (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键． （1）根据全等三角形的判定选择即可 （2）根据选择的条件进行证明，即可求证． 【详解】（1）解：解法一，选的条件为①，②，结论为③； 解法二，选的条件为②，③，结论为①． （2）解：解法一，选的条件为①，②，结论为③， 证明，四边形为平行四边形， ， 在和中， ， ， ； 解法二，选的条件为②，③，结论为①， 证明，四边形为平行四边形， ， 在和中， ， ， ． 39．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在矩形中，点分别在边上，连接，求证： ． 【答案】见解析 【分析】证明，即可得证. 【详解】证明：四边形是矩形， ，即． 在和中，， ， ． 40．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，点为正方形的边的中点，点、分别在、上，且，连接、，求证：． 【答案】见解析 【分析】证明即可． 【详解】证明：正方形， ∴， ∵点为正方形的边的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 41．（2026·陕西汉中·一模）如图，在矩形中，点、在边上（点在点左侧），连接、，．求证：． 【答案】见解析 【分析】由四边形是矩形，得到对边相等，四个角为直角，进而得到直角三角形全等，由全等三角形对边相等即可得证． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 42．（2026·陕西铜川·一模）如图，在中，对角线，相交于点O，点、分别在，上，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据平行四边形的性质得，根据平行线的性质得， ，然后证明，最后根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． 43．（2026·陕西宝鸡·一模）已知：如图，在平行四边形中，点分别在和上，且．求证：． 【答案】证明见详解 【分析】由平行四边形的判定与性质求证即可． 【详解】解：在中，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 44．（2026·陕西西安·一模）如图，在菱形中，点分别在边上，连接，求证：． 【答案】见解析 【分析】通过证明即可求解． 【详解】证明：在菱形中，， ， ，即， 在和中， , ． 45．（2026·陕西榆林·一模）如图，在正方形中，以为斜边向下作，点是正方形内一点，过点作于点，连接，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】首先依据正方形的性质得出，结合已知推导出；再通过角的和差关系由得到；接着结合、为直角三角形得出；最后利用判定，根据全等三角形的性质证得． 【详解】证明：在正方形中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵． ∴（）， ∴． 46．（2026·陕西西安·一模）如图，已知正方形的对角线和相交于，点，分别在，上，若，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据正方形的性质得到，，再根据等角对等边可得，进而证明，由全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴． 47．（2026·陕西西安·一模）如图，已知四边形是平行四边形，在对角线上取两点E，F，连接，若．求证：． 【答案】见解析 【分析】利用平行四边形的性质证明，进而证明，即可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ， ， 在和中，， ， ． 48．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在矩形中，延长至点，使得，连接交于点．求证：点是的中点． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，根据矩形的性质得出，结合已知条件得出，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证． 【详解】证明：四边形是矩形， ， ， 在和中， ， ， ，即点是的中点． 49．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在中，连接并延长至点E，连接，，点F在线段上，连接，平分，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查特殊四边形，涉及平行四边形的性质、正方形的判定和性质、勾股定理的应用和相似三角形的判定和性质等知识点， （1）由平行四边形的性质得出，由角平分线的定义得出，等量代换可得出，则，再求出，即可证明． （2）根据正方形得和，进一步求得和，证明，即有，求得即可． 【详解】（1）证明：∵是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴ ∴， ∴， 又， 则， ∴ ∴四边形是正方形． （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 则，即， ∴． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $