专题03 函数及其应用（12大考点）（陕西专用）2026年中考数学一模分类汇编

**基本信息** 聚焦函数核心考点，整合陕西各地2026年模拟题，通过13个考点分层设计，突出情境化应用与跨学科融合，适配中考一轮复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|约64题|一次函数实际应用（36题）、二次函数综合（28题）|结合新能源汽车充电、AI训练等科技情境，融入七巧板、汉服等文化元素，如“跨学科生物菌落增长”“大棚抛物线截面”等真实问题|

专题03 函数及其应用 12大考点概览 考点01一次函数的图像、性质与解析式 考点02一次函数图像的平移、对称 考点03一次函数的实际应用 考点04反比例函数的图像、性质与解析式 考点05反比例函数中 k 的几何意义 考点06反比例函数的实际应用 考点07二次函数的图像、性质与解析式 考点08二次函数的平移、对称 考点9二次函数的实际应用 考点10函数与方程、不等式综合 考点11函数与几何综合 考点12一次函数、二次函数与反比例函数结合 一次函数的图像、性质与解析式 考点01 1．（2026·陕西榆林·一模）已知点为正比例函数的图象上的一点，若且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在正比例函数的图象上，可得，再结合且，进而求出的值． 【详解】解：点是正比例函数图象上的点， 将代入解析式得， ， 移项整理得 ， 将代入， 得， ， ，两边同时除以得 ． 2．（2026·陕西咸阳·一模）已知一次函数（a为常数）的图象过第一、三、四象限，则a的值可以是（   ） A．8 B．5 C．3 D．0 【答案】D 【分析】根据一次函数中，当，时，图象经过一、三、四象限，据此解答即可． 【详解】解：∵ 一次函数的图象过第一、三、四象限， ∴，即， 观察选项，只有选项D中的0满足． 3．（2026·陕西渭南·一模）已知一次函数（k、b为常数，）的图象不经过第二象限，则一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】先根据已知一次函数的位置，结合判断和的符号，再利用一次函数的性质判断目标一次函数经过的象限，即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数（、为常数，）的图象不经过第二象限， ∴，， ∴的图象经过第二、三、四象限， ∴的图象不经过第一象限． 4．（2026·陕西咸阳·一模）已知点和点在直线（k为常数，）上，若，则的值可能是（   ） A．0 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据已知x与y的大小关系判断函数增减性，进而得到k的取值范围，即可选出符合条件的选项． 【详解】解：∵点纵坐标为，点纵坐标为， ∴， 又∵ ，可知增大时减小， ∴ 直线中，随的增大而减小， 根据一次函数的性质，一次项系数小于0时，随增大而减小， ∴ ， 解得 ， ∵ 选项中只有符合条件． 5．（2026·陕西西安·一模）在平面直角坐标系中，直线（b为常数，）和直线（k为常数，）的交点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】先确定一次函数图象经过的象限，再确定正比例函数经过的象限，即可判断交点所在象限． 【详解】解：∵直线（b为常数，），, ∴直线经过第二、三、四象限， ∵直线（k为常数，）, ∴其图象经过第一、三象限， ∵两个函数图象都经过第三象限， ∴交点在第三象限． 故选：C． 6．（2026·陕西渭南·一模）若，是一次函数（k为常数，且）图象上不同的两点，且，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知乘积的符号判断一次函数的增减性，再利用一次函数的性质得到一次项系数的不等式，求解即可得到k的取值范围． 【详解】解：∵ ∴与同号，即一次函数中y随x的增大而增大， ∵一次函数y随x增大而增大时，一次项系数大于0， ∴， 解得：． 7．（2026·陕西·一模）已知一次函数（为常数，且）的图象经过点和点，则的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据条件判断一次函数的增减性，再根据A、B两点横坐标的大小关系比较、的大小． 【详解】解：∵， ∴， ∴一次函数 中， 随 的增大而增大， ∵， ∴． 8．（2026·陕西西安·一模）已知点和点在一次函数的图象上，且，下列四个选项中的值可能是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的增减性，先比较、两点横坐标的大小，再结合判断函数增减性，得到的取值范围，即可选出正确选项． 【详解】解：∵点横坐标为，点横坐标为，， ∴，即， 又∵，说明一次函数随的增大而减小， 根据一次函数性质，一次项系数小于， ∴，解得， 选项中只有A选项，符合要求，因此选A． 9．（2026·陕西榆林·一模）已知点和点在一次函数（为常数）的图象上，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断一次项系数的正负，得到随的变化规律，再比较两点横坐标的大小，即可得出与的大小关系． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴一次函数，随的增大而减小， ∵点横坐标为，点横坐标为，且， ∴． 10．（2026·陕西西安·一模）在平面直角坐标系中，直线（b为常数，）和直线（k为常数，）的交点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】先确定一次函数图象经过的象限，再确定正比例函数经过的象限，即可判断交点所在象限． 【详解】解：∵直线（b为常数，），, ∴直线经过第二、三、四象限， ∵直线（k为常数，）, ∴其图象经过第一、三象限， ∵两个函数图象都经过第三象限， ∴交点在第三象限． 故选：C． 11．（2026·陕西·一模）点在函数的图象上，则代数式的值等于（    ） A． B．5 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标特征满足函数表达式是解题的关键. 由点P在函数图象上可得，代入代数式并化简求值. 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴. ∴. 故选：A. 12．（2026·陕西商洛·一模）已知一次函数（、为常数，且）的图象不经过第三象限，则一次函数的图象不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先根据已知一次函数的位置判断和的符号，再判断目标一次函数经过的象限，即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数（、为常数，且）的图象不经过第三象限， ∴，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴一次函数的图象不经过的象限是第二象限． 13．（2026·陕西渭南·一模）一次函数（k为常数，且）的图象不经过第三象限．若点N在该一次函数的图象上，则点N的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据一次函数图象不经过第三象限，结合一次函数性质确定的取值范围，再将各选项点坐标代入函数求出，判断是否符合的范围即可． 【详解】解：令得，， 一次函数与轴交于， 一次函数（）的图象不经过第三象限， ， 选项A、 将代入函数得： ，解得，符合条件； 选项B、 将代入函数得：，解得，符合条件； 选项C、 将代入函数得： ，解得，符合条件； 选项D、 将代入函数得： ，解得，不满足，不符合条件； 则点的坐标不可能为． 14．（2026·陕西西安·一模）在同一平面直角坐标系中，函数和（，为常数）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数中、的正负判断函数图象的趋势以及与轴交点大致位置即可． 【详解】解：本题中，系数决定正比例函数的图象性质，也决定一次函数与轴的交点位置， 当时，正比例函数和一次函数的图象都呈上升趋势，且一次函数交于轴正半轴，上述选项中均不满足该情况； 当时，正比例函数的图象呈下降趋势，一次函数的图象都呈上升趋势，且一次函数交于轴负半轴，上述图像中D选项满足该情况； 故满足条件的图象可能是D． 15．（2026·陕西宝鸡·一模）已知一次函数的图象经过点，且的值随的增大而增大，若点在该函数的图象上，则点的坐标可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据一次函数的性质确定，再结合点得到，然后将各选项坐标代入解析式，验证是否成立，从而筛选出符合条件的选项． 【详解】解：∵一次函数中随的增大而增大， ∴． ∵函数图象经过点， ∴， ∴． 选项A：， 将代入，得：， 又，矛盾，故A错误． 选项B： 将代入，得：， 将代入，得：， ， ， ，不符合，故B错误． 选项C： 将代入，得：， 将代入，得：， ， ， ，不符合，故C错误． 选项D： 将代入，得：， 将代入，得：， ， ， ，符合，故D正确． 16．（2026·陕西咸阳·一模）一次函数（m为常数，）的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】解：，， ∵， ，， 图象经过二、三、四象限， 图象不经过第一象限． 17．（2026·陕西宝鸡·一模）已知点，均在直线的图像上，若，则该直线经过的点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据一次函数的增减性判断出的符号，再根据判断选项中的符号关系即可解答． 【详解】解：∵点，均在直线的图像上，且，， ∴随的增大而减小，可得． ∴对于，变形得，说明与符号相反，即选项D符合题意． 一次函数图像的平移、对称 考点02 1．（2026·陕西咸阳·一模）若一次函数的图象向下平移3个单位长度后经过点，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题利用一次函数图象的平移规律得到平移后的解析式，再将已知点代入即可求出k的值． 【详解】解：∵一次函数向下平移3个单位长度， ∴平移后所得函数的解析式为 ， ∵平移后的图象经过点， ∴将代入得，， 解得． 2．（2026·陕西西安·一模）将直线：向左平移m个单位长度后得到直线，若直线与交于点，则m的值为（    ） A． B． C．1.5 D．3 【答案】A 【分析】先把代入求出n的值，然后利用平移规律写出直线的解析式，最后把代入求解即可． 【详解】解：∵经过， ∴， ∵直线：向左平移m个单位长度后得到直线， ∴直线为， 又直线经过， ∴， 解得． 3．（2026·陕西西安·一模）在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向右平移3个单位长度后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】左右平移时自变量满足 “左加右减”的平移法则，据此求出平移后的函数解析式，再根据正比例函数的常数项为0计算m的值即可． 【详解】解：将一次函数的图象向右平移3个单位长度后的函数解析式为 ， ∵平移后的函数是正比例函数， ∴． 解得． 4．（2026·陕西榆林·一模）（新定义）若函数的图象上存在点P，函数的图象上存在点Q，且P、Q关于y轴对称，则称点P（或点Q）的纵坐标为函数，与的“对偶值”．那么函数与的“对偶值”为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】设，，根据题意，得， 求解即可． 【详解】解：函数的图象上存在点P，函数的图象上存在点Q，且P、Q关于y轴对称，且，， 设，， 根据题意，得， ， 解得， ． 5．（2026·陕西宝鸡·一模）在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位长度后得到直线，直线、直线与轴围成的三角形的面积为（　　） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】A 【分析】先根据平移性质得到的解析式．再求出两条直线与轴的交点，以及和的交点，最后用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：将直线向上平移3个单位长度，得到的解析式为， 令，分别求两条直线与轴的交点坐标： 对，，解得 ， 即与轴的交点为； 对，， 解得， 即与轴的交点为； ∴三角形在轴上的底边长为． 联立与的方程求交点： 解得，即两直线交点纵坐标为，三角形的高为． ∴三角形面积． 6．（2026·陕西汉中·一模）在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向下平移个单位长度后，所得的新一次函数图象经过点，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据平移规则得到平移后的函数解析式，再将已知点的坐标代入即可求出的值。 【详解】解：∵一次函数向下平移个单位长度，根据“上加下减常数项”的平移规则，可得新函数的解析式为， ∵新函数图象经过点， ∴将代入新解析式得， 整理得：， 解得：． 7．（2026·陕西西安·一模）将直线向上平移个单位长度得到的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】灵活运用“上加下减”的平移规律求出平移后的直线解析式是解题的关键．根据平移规律得到平移后直线的解析式，进而求出该直线与坐标轴的交点坐标，再利用三角形面积公式求出与坐标轴围成的三角形的面积． 【详解】解：将直线向上平移时，解析式遵循“上加下减”的规律，原直线解析式为，向上平移个单位长度， 平移后直线解析式为， 当时，，即平移后直线与轴交点为； 当时，，解得，即平移后直线与轴交点为， 直线与坐标轴围成的三角形的两条直角边长分别为和， 三角形面积为． 8．（2026·陕西汉中·一模）直线向左平移个单位长度，所得图像恰好经过点，则（    ）． A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】根据“左加右减”的平移规则得到平移后直线的解析式，再代入已知点得到关于a的方程求解即可． 【详解】解：∵直线向左平移个单位长度， ∴平移后所得直线的解析式为， 又∵平移后的图像经过点， ∴，解得． 9．（2026·陕西·一模）在平面直角坐标系中，正比例函数的图像经过点，且两点关于原点中心对称，若将该正比例函数的图像向下平移2个单位长度，则平移后的图像不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】先利用关于原点中心对称的点的坐标特征得到A，B的坐标，再求出正比例函数的解析式，结合函数图像平移规律得到平移后的解析式，最后根据一次函数的性质判断其不经过的象限即可. 【详解】解：∵ A，B两点关于原点中心对称，点A坐标为，点B坐标为， ∴ 由关于原点对称的点的坐标性质得，，即， 将代入，得 ，解得：. ∴ 原正比例函数解析式为. 将该函数图像向下平移个单位长度，根据平移的“上加下减”规则，得平移后解析式为. 对于一次函数， ，， 函数图像经过第二、三、四象限，不经过第一象限，.即选项A符合题意. 10．（2026·陕西咸阳·一模）将过原点和点的直线向上平移1个单位长度，得到的新的直线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出原直线解析式，再根据一次函数图像的平移规律“上加下减”，可得答案． 【详解】解：设过原点和点的直线解析式为， 则， ∴该直线解析式为， ∴直线向上平移1个单位后得到的直线是． 11．（2026·陕西铜川·一模）在平面直角坐标系中，过点和的直线向下平移5个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用待定系数法求出原直线的解析式，再根据一次函数平移“上加下减”的规律得到平移后直线的解析式，最后将各选项坐标代入验证即可． 【详解】解∶设原直线的解析式为， ∵原直线过点和， ∴， 解得， ∴原直线解析式为， ∵直线向下平移5个单位长度，根据一次函数平移“上加下减”的规律， ∴平移后直线的解析式为， 代入选项A：当时，，满足解析式； 代入选项B：当时，，不满足； 代入选项C：当时，，不满足； 代入选项D：当时，，不满足， 因此选项A符合题意． 一次函数的实际应用 考点03 1．（2026·陕西西安·一模）春节期间，多部国产电影纷纷上映，某电影院的负责人经过调查后发现，每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间大致满足一次函数的关系（，且x是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价x（元/张） … 40 50 60 … 售出电影票数量y（张） … 164 124 84 … (1)请求出y与x之间的函数关系式； (2)若电影票的售价定为38元时，每天售出的电影票数量应为多少张？ 【答案】(1) (2)172张 【分析】（1）设y与x之间的函数关系式是，进而得到关于k、b的方程组求解即可； （2）令，然后代入（1）所得的函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式是， 由表格，得，解得． 答：y与x之间的函数关系式是． （2）解：令，则． 答：每天售出的电影票数量应为172张． 2．（2026·陕西榆林·一模）（新情境）为了让AI更精准地理解用户需求并生成有价值的输出，通常要对人工智能进行训练．已知当一个AI模型的数据量超过条时，其训练时间（单位：分）与训练的数据量（条）成一次函数关系．当训练的数据量为条时，训练时间为分钟；当训练的数据量为条时，训练时间为分钟． (1)当时，求与之间的函数表达式；（不要求写出自变量的范围） (2)若某次训练的数据量为条，求该AI模型的训练时间． 【答案】(1) (2)分钟 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，涉及用待定系数法求一次函数表达式、一次函数的函数值计算，熟练运用一次函数的相关公式与方法是解答本题的关键． （1）根据题意设出一次函数的一般形式，再将已知的两组数据代入，通过解二元一次方程组求出、的值，进而确定函数表达式； （2）将题目给定的数据量代入（1）中求出的函数表达式，计算对应的函数值，得到训练时间． 【详解】（1）解：当时，设与之间的函数表达式为， 将，代入， 得， 解得， 与之间的函数表达式为； （2）解：将代入， 得． 该AI模型的训练时间为分钟． 3．（2026·陕西渭南·一模）某校为了让学生参与到课堂教学实验当中，培养学生的动手能力，计划购进甲、乙两种化学实验仪器共100件，已知甲仪器的单价为30元/件，乙仪器的单价为50元/件．若该校购买甲仪器的数量为x件（x为正整数），购买这两种化学仪器所需的总费用为y（元）． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若该校购买这两种化学仪器共花费3400元，求该校购买甲、乙两种化学仪器各多少件？ 【答案】(1)（且x为正整数） (2)该校购买甲仪器80件，乙仪器20件 【分析】（1）根据总费用等于甲、乙两种化学实验仪器的费用之和，列出函数关系式即可； （2）将代入，求出x的值，再计算，即可解答． 【详解】（1）解：由题意，得 （且x为正整数）； （2）解：当时，， 解得， ∴（件）． 答：该校购买甲仪器80件，乙仪器20件． 4．（2026·陕西西安·一模）小明用量杯盛某种液体进行探究，实验表明液体与量杯的总质量（）和液体的体积满足一次函数关系．测得部分数据如下表： 液体体积 总质量（） (1)求与的函数关系式； (2)若用天平称得液体与量杯的总质量为，那么量杯中的液体体积为多少？ 【答案】(1) (2)量杯中的液体体积为 【分析】（1）设与的函数关系式为，待定系数法求解析式，即可求解； （2）将代入（1）中的解析式，求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为，代入，得， 解得： ∴与的函数关系式为 验证：当时，，符合表格数据 （2）将代入函数关系式： 移项计算得：， 解得 答：量杯中的液体体积为． 5．（2026·陕西宝鸡·一模）新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的．已知一款新能源汽车在某次充电过程中，汽车的电量（）与充电时间（）之间满足一次函数关系，部分对应值如下表所示： 充电时间/ 15 20 30 42 ... 汽车电量/ 35 40 50 62 ... 根据以上信息，解答下列问题： (1)在本次充电过程中，求汽车的电量与充电时间之间的函数关系式； (2)在本次充电过程中，当这款新能源汽车的电量达到70（）时，求充电的时间． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设汽车的电量与充电时间之间的函数关系式为，利用待定系数法即可解答； （2）把代入解析式即可． 【详解】（1）解：设汽车的电量与充电时间之间的函数关系式为， 将，代入， 得：， 解得 汽车的电量与充电时间之间的函数关系式为； （2）解：当时，， 解得 充电的时间为50min 6．（2026·陕西咸阳·一模）中国传统文化源远流长，博大精深，是中华民族智慧的结晶．为了能更好地宣传中国传统文化，某校组织了以“中华优秀传统文化”为主题的知识竞赛，该校决定购买A、B两种奖品共200件，对表现优异的学生进行奖励．已知A种奖品的价格为45元/件，B种奖品的价格为25元/件． (1)求购买两种奖品的总费用y（元）与购买A种奖品的数量x（件）之间的函数关系式； (2)若奖品中A种奖品的数量不多于80件，则总费用最多是多少元？ 【答案】(1)（且x为整数） (2)总费用最多是6600元 【分析】（1）根据总费用等于两种奖品的费用之和，结合奖品总数为200件，列出函数关系式，再结合实际意义确定自变量的取值范围即可； （2）根据一次函数的增减性，结合A种奖品数量的限制条件，确定x取最大值时总费用最大，代入函数计算即可得到结果． 【详解】（1）解：由题意得，购买B种奖品的数量为件， ∴（且x为整数）； （2）解：∵奖品中A种奖品的数量不多于80件， ∴ ∵中 ∴y随x的增大而增大 ∴当x取最大值80时，y取得最大值 将代入得（元）． 答：总费用最多是6600元． 7．（2026·陕西铜川·一模）某餐厅为提升顾客体验，用一种特制沙漏来把控上菜节奏．已知在沙子漏下的过程中，沙漏上半部分沙子的剩余高度是漏沙时间的一次函数．当漏沙时间为时，剩余高度为；当漏沙时间为时，剩余高度为． (1)求y与t之间的函数表达式； (2)该餐厅推出福利：若顾客下单后，沙漏上半部分沙子漏完时还没上菜，即可享受该菜品免单优惠．求触发免单优惠的最短等待时间． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设y与t之间的函数表达式为，利用待定系数法解答即可； （2）令，求出t的值即可． 【详解】（1）解：设y与t之间的函数表达式为， 将，代入得： ， 解得， 与t之间的函数表达式为． （2）解：令，则， 解得． 答：触发免单优惠的最短等待时间为． 8．（2026·陕西西安·一模）肉夹馍香飘三秦，腊汁醇厚味悠长．陕西腊汁肉夹馍是享誉全国的特色美食，某腊汁肉夹馍小店根据往期销售经验每个肉夹馍的售价x（元）与销售量y（个）成一次函数关系，售价与销售量之间的对应关系如下表： 每个售价（元） 12 11 10 9 8 …… 每天销售量（个） 60 75 90 105 120 …… (1)求y与x的函数关系式； (2)如果周日的销售量是165个，那么这天每个肉夹馍的售价是多少元？ 【答案】(1) (2)5元 【分析】（1）设y关于x的函数解析式，把和，代入解答即可． （2）计算当函数值时，对应的自变量值即可． 【详解】（1）解：设y关于x的函数解析式为，把和代入得： ， 解得：， ∴． （2）解：当时， 将代入解析式中得：， 解得：． 9．（2026·陕西西安·一模）2026马年春晚四骏吉祥物惊艳亮相！骐骐、骥骥、驰驰、骋骋每匹都有文物基因，从西周驹尊到汉代铜奔马，千年文化密码藏于细节，让吉祥物既兼具历史美感，又充满时代气象．某商场销售该吉祥物玩具，经调查发现，销售量y（件）是销售单价x（元）的一次函数．当销售单价为50元时，平均每天可销售30件；当销售单价为45元时，平均每天可销售40件． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当吉祥物的销售单价为多少元时，商场平均每天销售这种吉祥物玩具数量可以达到54件？ 【答案】(1) (2)当吉祥物的销售单价为38元时，商场平均每天销售这种吉祥物玩具数量可以达到54件． 【分析】（1）根据题目给出销售量是销售单价的一次函数，且提供了两组对应数据，可设函数表达式为，代入数据解出和，从而得到函数关系式； （2）在已知销售量的情况下，代入函数式解出对应的值，即销售单价． 【详解】（1）解：设销售量与销售单价之间的函数关系式为：， 根据题意，当时，；当时，． 代入得 解得， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：已知，代入函数式得：， 解得， 答：当吉祥物的销售单价为38元时，商场平均每天销售这种吉祥物玩具数量可以达到54件． 10．（2026·陕西·一模）2026年3月14日是第七个“国际数学日”，今年国际数学日的主题是“数学与希望”．某校计划开展趣味数学活动，数学老师欲购买汉诺塔作为活动道具，已知文具店里汉诺塔售价为15元套，文具店的优惠方案如下：一次购买不超过10套，则每套打九折；若一次购买超过10套，则前10套打九折，超过的部分打八折．设数学老师购买套汉诺塔，购买费用为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若数学老师计划用195元购买汉诺塔，则他能购买多少套汉诺塔？ 【答案】(1) (2)能购买15套汉诺塔 【分析】（1）根据“一次购买不超过10套，则每套打九折；若一次购买超过10套，则前10套打九折，超过的部分打八折”进行求解即可； （2）先判断购买的数量是否大于10套，进而求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，当时，费用为， 当时，费用为． 与之间的函数关系式为； （2）解：， 数学老师的购买数量大于10套． 令， 解得， 答：若数学老师计划用195元购买汉诺塔，则他能购买15套汉诺塔． 11．（2026·陕西渭南·一模）2026年3月16日，快舟十一号遥七运载火箭成功将8颗卫星送入预定轨道，再次彰显了我国的航天实力，也让全民的“航天梦”在实干中愈发清晰．某网店为了满足广大航天爱好者的需求，购入A、B两种火箭模型共200件，这两种火箭模型每件的进价和售价如下表所示： A种模型 B种模型 进价（元/件） 50 60 售价（元/件） 80 100 设购入A种火箭模型x件，所购进的两种火箭模型全部卖出后获得的总利润为w元． (1)求w与x之间的函数关系式； (2)若购入A、B两种火箭模型的总费用不超过11200元，那么该网店如何进货才能获利最大？并求出最大利润． 【答案】(1)（，为非负整数） (2)购进A种模型80件，B种模型120件时获利最大，最大利润为7200元 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式，根据题意列出不等式，掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）购入A种火箭模型件，则购入B种火箭模型件，结合每件利润计算总利润，整理得到w与x的函数关系式，同时确定自变量的取值范围； （2）根据总费用不超过11200元列出一元一次不等式，求出x的取值范围，再根据一次函数的增减性，判断取得最大值时的取值，进而得到最大利润和对应进货方案． 【详解】（1）解：由题意可知，购入A种火箭模型件，则购入B种火箭模型件， 根据题意得：， 整理得：， 因此，w与x之间的函数关系式为：（，为非负整数） （2）解：由题意得， 整理得：， 解得：， 由（1）知，则， 在函数中， 由于， 则随的增大而减小， 当时，取得最大值，即最大利润为元， 此时件， 答：购进A种火箭模型80件，B种火箭模型120件时获利最大，最大利润为7200元． 12．（2026·陕西咸阳·一模）随着“体重管理年”三年行动的实施，某体育用品商店老板计划购进甲、乙两种健身器材共100件进行销售．甲、乙两种健身器材的进价与售价如下表所示： 种类 进价（元/件） 售价（元/件） 甲 80 100 乙 50 80 设该体育用品商店老板购进甲健身器材件，购进这两种健身器材所需的总费用为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若该体育用品商店老板共花费6200元购进这两种健身器材，求售完此次购进的甲、乙两种健身器材所得的总利润． 【答案】(1) (2)2600元 【分析】（1）根据题意直接建立函数关系式即可； （2）根据题意得出，然后求解计算即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 与之间的函数关系式为． （2）解：由题意，得， 解得， 则． （元）， 售完此次购进的甲、乙两种健身器材所得的总利润为2600元． 13．（2026·陕西·一模）（跨学科）陈阳在学习完生物学中的《细菌》一节课后得知：“冰箱里低温的环境可以让细菌的繁殖速度变得非常缓慢，甚至失去活性”，但是妈妈告诉他，冰箱里的低温环境只能延缓食物变质的速度，食物在冰箱中放置若干天后一样会变质不能食用，陈阳想进一步了解食物在冰箱中的情况，于是他在家长的陪同下做了一个实验：将新鲜的蔬菜放置于冰箱冷藏室的环境中，逐天统计蔬菜上的菌落总数．经观察发现，蔬菜上的菌落总数是天数（天）的一次函数，他记录的部分数据如下： 天数/天 1 2 3 4 … 菌落总数 20 26 32 38 … (1)求出菌落总数与天数之间的函数关系式； (2)若蔬菜上的菌落总数达到50时就不能食用，那么7天后冰箱里的蔬菜能否食用？ 【答案】(1) (2)7天后冰箱里的蔬菜不能食用，理由见解析 【分析】（1）设菌落总数与天数之间的函数关系式为，结合表格数据利用待定系数法求解，即可解题； （2）将代入（1）中解析式中求出菌落总数，再与50比较判断，即可解题． 解题的关键在于结合表格数据利用待定系数法求出一次函数解析式． 【详解】（1）解：设菌落总数与天数之间的函数关系式为， 结合表格数据可得， 解得， 菌落总数与天数之间的函数关系式为； （2）解：当时，， ， 7天后冰箱里的蔬菜不能食用． 14．（2026·陕西商洛·一模）商洛市第一产业以种植业为主，其核桃、茶叶等产业规模较大，有“中国核桃之都”和“北方茶叶之乡”的美誉．小李在某电商平台销售商洛特产，今年2月份销售核桃和茶叶共150盒，核桃和茶叶的具体销售信息如下： 特产种类 成本（元/盒） 售价（元/盒） 核桃 80 100 茶叶 90 120 设小李2月份销售核桃盒，销售核桃和茶叶的总利润为元． (1)求与之间的函数关系式；（无需写出自变量的取值范围） (2)若小李2月份销售核桃和茶叶的总利润为4000元，求他2月份销售核桃的盒数． 【答案】(1) (2)50盒 【分析】（1）根据总利润等于核桃的利润加上茶叶的利润，列出函数关系式即可； （2）求出时的的值即可. 【详解】（1）解：由题意，； （2）解：当时， 解得； 答：他2月份销售核桃50盒. 15．（2026·陕西西安·一模）项目主题：探究家庭用水量． 项目背景：推进城市节水，建设宜居城市．为更好地帮助自己家节约用水，美美统计了自己家一个月（30天）的用水量．前5天爸爸出差不在家，家里只有美美和妈妈，之后25天爸爸妈妈和美美都在家． 数学建模：美美通过统计自己家的用水量，对用水量进行整理、分析，绘制出如图所示的函数图象，图中折线表示当月用水总量y（吨）和时间x（天）之间的函数关系． 解决问题： (1)求所在直线的函数表达式； (2)请求出美美家这一个月的用水总量． 【答案】(1) (2)美美家这一个月的用水总量是14吨． 【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式； （2）把代入函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：设所在直线的函数表达式为（）， 把点代入，得 ， 解得． 所在直线的函数表达式为； （2）解：当时，． 美美家这一个月的用水总量是14吨． 16．（2026·陕西宝鸡·一模）“一炷香”是中国古代通过燃烧线香计时的传统方法，因受环境、香体等因素影响，“一炷香”的时间约为十五分钟至一小时．已知某型号线香燃烧过程中剩余长度与燃烧时间（分钟）之间满足一次函数关系，其中线香初始长度为，燃烧分钟时，线香燃烧了． (1)求与之间的函数关系式； (2)当线香的剩余长度为时，燃烧了多少分钟？ 【答案】(1) (2)分钟 【分析】（1）设出函数的关系式，代入点，即可得出函数的关系式，再令找出的取值范围； （2）将，代入（1）得出的关系式中，即可求出时间． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， ∵线香初始长度为，燃烧分钟时，线香燃烧了， 此时剩余长度为：， 即点在一次函数的图像上， ∴， 解得：， ∴， 当时，得：， 解得：， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：当时，得：， 解得：， 答：当线香的剩余长度为时，燃烧了分钟． 17．（2026·陕西宝鸡·一模）《“体重管理年”活动实施方案》以三年为周期（2024-2026年），旨在应对居民超重肥胖引发的慢性病问题，落实《健康中国行动（2019―2030年）》要求．某中学对学生的身体质量指数（）与身高的关系进行研究，标准身体质量指数y与身高x（单位：）之间的对应关系如图所示． (1)求y和x之间的函数表达式． (2)若实际值超过或低于标准值的（包括）为异常范围．已知学生小亮身高是，实际值为24，请判断小亮的是否在正常范围内． 【答案】(1) (2)小亮的BMI在正常范围内 【分析】（1）设y和x之间的函数表达式是，利用待定系数法即可确定函数解析式； （2）当时，代入函数计算，进行比较即可． 【详解】（1）解：设y和x之间的函数表达式是 ∵点，在该函数图象上， ∴ 解得 即y和x之间的函数表达式是． （2）当时， ∵ ∴小亮的在正常范围内． 18．（2026·陕西宝鸡·一模）某网红餐厅每天都是人潮涌动，热闹非凡．为了提升顾客体验，用一种特制沙漏来把控上菜节奏．已知沙漏上半部分沙子初始高度为，10分钟后上半部分沙子剩余高度为．设漏沙时间为分钟，上半部分沙子剩余高度为，且与成一次函数关系． (1)求与的函数表达式； (2)若该餐厅推出活动：若顾客下单后，沙漏上半部分沙子漏完时还没上菜，即可享受该菜品五折优惠，求某顾客享受五折优惠的最短等待时间． 【答案】(1) (2)30分钟 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出时，x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设与的函数表达式为， 把代入得， ∴， ∴与的函数表达式为； （2）解：在中，当时，，解得， 答：某顾客享受五折优惠的最短等待时间为30分钟． 反比例函数的图像、性质与解析式 考点04 1．（2026·陕西宝鸡·一模）在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数）的图象分布在第二、四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，当图象分布在第二、四象限时，其比例系数小于0，据此列不等式求解的取值范围即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第二、四象限， ∴， ∴解得， 故选：C． 2．（2026·陕西西安·一模）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是__________．（用“”连接） 【答案】 【分析】首先得到，判断出反比例函数的图象在第二、四象限，在每个象限内随的增大而增大，进而比较即可． 【详解】解：∵，故， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，在每个象限内随的增大而增大， 点在第二象限，故； 点在第四象限，且， ∴； 综上，． 3．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，直线与轴交于点，与一个反比例函数图像交于点，过点作轴于点，若，则该反比例函数的表达式为________． 【答案】 【分析】由坐标与图形可得点B的横坐标为3，进而求得点的坐标为，然后运用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵轴于点， ∴点B的横坐标为3， ∵点在直线上， ∴当时，． ∴点的坐标为． 设反比例函数的表达式为． 将点代入，得，解得． ∴该反比例函数的表达式为． 4．（2026·陕西宝鸡·一模）反比例函数（），当时，函数y的最大值和最小值之差为3，则______． 【答案】 【分析】根据反比例函数的系数分析函数在给定范围内随的增大而增大，确定最大值和最小值，再结合差值列方程求解． 【详解】解：∵， ∴在的范围内随的增大而增大， 当时， 当时，， ∵当时，函数y的最大值和最小值之差为3， ∴，解得． 反比例函数中 k 的几何意义 考点05 1．（2026·陕西咸阳·一模）反比例函数（k为常数，）的图象与点的位置关系如图所示，已知点的坐标为，则的值可能是________．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据函数图象判定出参数的取值范围即可． 【详解】解：∵函数图象位于第二象限， ∴； 当时，， 解得， ∴可取，（答案不唯一）． 2．（2026·陕西渭南·一模）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，，点B、C在x轴上，且，反比例函数（k为常数，且，）的图象经过点A．若的面积为6，则k的值为______． 【答案】 【分析】设，得到点坐标，根据的面积为6，列出方程进行求解即可； 【详解】解：设，则， ∴， ∵，反比例函数（k为常数，且，）的图象经过点A， ∴， 由图象可知，， ∴的面积， ∴． 3．（2026·陕西榆林·一模）如图，已知点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴，交x轴于点B，点C在x轴负半轴上，连接AC．若，，则k的值为________． 【答案】10 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义以及三角形面积的计算，解题的关键是利用同高三角形的面积比等于底的比；先连接，由得与等高，底之比为，从而，再由，得，最后由反比例函数的几何意义，得． 【详解】解：连接， ， 与等高，， ， ， ， ， 点在的图象上，轴， ， ， 由图知， ． 故答案为：． 4．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，轴于点，延长到点，使得，连接、，若的面积为3，则的值为___________． 【答案】 【分析】根据三角形底和高之间的关系，可求，，再根据的几何意义，即可求解． 【详解】解： 轴，，的面积为3， ， 正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点， ， ， ， ，解得， 反比例函数的图象过一、三象限， ． 5．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，点在反比例函数（为常数，，）的图象上，点在轴上，连接交轴于点，轴于点，若是的中点，，则的值为______． 【答案】 【分析】连接，证明，可得，利用反比例函数的几何意义即可解答． 【详解】解：如图，连接， 是的中点， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 6．（2026·陕西渭南·一模）如图，在平面直角坐标系中，、为反比例函数图象上两点，轴于点H，轴于点G，连接交于点C，连接，若的面积为2，则k的值为________． 【答案】6 【分析】由题意得即，则，，根据求出即可． 【详解】解：∵、为反比例函数图象上两点， ∴即， ∴，， ∴， ∴． 7．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，点在反比例函数（为常数，，）的图象上，轴于点，点在轴上，连接、，平分，若，点的坐标为，则的值为____________． 【答案】 【分析】根据已知可证得，由平行线的性质结合角平分线的性质等量代换即可证得，由等角对等边可得 ， 然后在中，根据勾股定理可得，从而可得点的坐标，代入反比例函数解析式即可求解． 【详解】解：轴，轴轴 轴，即， ， 平分， ， ， ， 点的坐标为， ， 在中，， 点的坐标为， ，点在第二象限， 点的坐标为， 点在反比例函数的图象上， ． 8．（2026·陕西商洛·一模）如图，在平面直角坐标系中，点、分别在反比例函数、的图象上，连接、、，轴于点，轴于点，若，则的值为___________． 【答案】 【分析】证明，得出，根据点在上，得出，则，即可求出， 由图可知点在第三象限，，则． 【详解】解：∵ ，轴，轴， ∴ ， ，， ∴， ∴ ， ∴， ∵点在上， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴， 由图可知点在第三象限，， ∴． 9．（2026·陕西西安·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，为坐标原点，顶点在反比例函数（为常数，且，）的图象上，边交轴于点，且，若的面积为9，则的值为______． 【答案】 【分析】连接，可知的面积为，根据“三角形高相等，面积比等于底的比”求出的面积为，根据k的几何意义求出，根据反比例函数经过第二象限可知． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为9， ∴的面积为， ∵， ∴， ∴的面积为， 即， ∴， ∵反比例函数经过第二象限， ∴， ∴． 10．（2026·陕西西安·一模）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接．当于点，时，______． 【答案】 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，可证，得，设，则，，即得，，得到，再利用待定系数法解答即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，则， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， 设，则，， ∴，， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴． 11．（2026·陕西榆林·一模）如图，点是反比例函数（为常数）的图象上一点，轴于点，点在上，，点是轴上一点，连接，若，则的值为___________． 【答案】 【分析】设点坐标为，利用三角形的面积列出方程求解． 【详解】解：设点坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 12．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在平面直角坐标系中，点为反比例函数的图象上的点，轴交轴于点，点为轴正半轴上的点，连接，若的面积为，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，连接，由轴，则，然后根据即可求解，掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 反比例函数的实际应用 考点06 1．（2026·陕西咸阳·一模）某蓄水池进水管的进水速度为，7h可将蓄水池灌满．设进水速度为Q（），进水时间为，则与之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数的实际应用，灵活运用“工作总量工作效率工作时间”是解题的关键。根据已知条件先求出蓄水池的固定容积（工作总量），再结合“进水速度容积进水时间”，进而得出与之间的函数关系式． 【详解】解：蓄水池的体积， ， 故答案为：． 2．（2026·陕西宝鸡·一模）视野角度是指汽车在道路上行驶时，驾驶人员目视前方左右两侧视线所构成的夹角，其值与车速有关．随着车速的增加，驾驶人员的视野会逐渐变窄，即两侧的视野范围逐渐缩小，视野角度f（单位：度）与车速v（单位：）成反比例函数关系，它的函数图象如图所示，当车速为时，视野角度f为______度． 【答案】80 【分析】首先根据题意，可得视野角度（度）与车速成反比例函数关系，用待定系数法可得反比例函数的关系式；代入进一步求解可得答案． 【详解】解：根据题意：设视野角度（度）与车速的函数关系式为， 把点代入得：， 解得：， ∴视野角度（度）与车速的函数关系式为， 当时，． 3．（2026·陕西汉中·一模）（跨学科）已知经过某闭合电路的电流（单位：）与电路的电阻（单位：）之间满足反比例函数关系，图象如图所示，当该闭合电路的电阻为时，经过该闭合电路的电流为_____A． 【答案】3 【分析】设电流I与电阻R之间的函数解析式为，根据函数图象过点，求出，再把R的值代入计算即可． 【详解】解：设电流I与电阻R之间的函数解析式为， 由图象可知，该函数图象经过点， 将，代入，得， 解得， 电流I与电阻R之间的函数解析式为， ∴当时， ． 4．（2026·陕西榆林·一模）某条公路上有甲、乙两个测速点，从甲到乙汽车平均行驶速度（）与行驶时间（）呈反比例函数关系，其图象如图所示．若某辆汽车从甲到乙所用时间为，则该汽车平均行驶速度是______． 【答案】 【分析】设，根据函数图象可知，当时，，用待定系数法求出反比例函数的解析式，再把代入函数解析式求出值即可． 【详解】解：设， 由函数图象可知，当时，， 可得：， 解得：， ， 当时， 可得：． 二次函数的图像、性质与解析式 考点07 1．（2026·陕西渭南·一模）已知二次函数（b、c是常数）的图象与x轴的交点的横坐标为和1，且二次函数的最小值为m，则的值为（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【分析】利用二次函数与x轴交点满足函数解析式，先求出b，c的值，再根据二次函数性质求出最小值m，最后计算即可； 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交点横坐标为和， ∴函数图象过点和， 将两点坐标代入解析式得：， 整理得， 解得，， ∴二次函数解析式为， 配方得， ∵二次项系数，函数开口向上， ∴最小值， 则． 2．（2026·陕西·一模）已知二次函数（a为常数，且），当分别取时，所对应的函数值相等，则当时，的值为（　　　） A． B．0 C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质，函数值相等的两个不同点关于对称轴对称，先求出二次函数的对称轴，得到的值，再代入函数计算即可． 【详解】解：∵二次函数，，其中二次项系数为，一次项系数为， ∴二次函数的对称轴为， ∵分别取、（）时函数值相等， ∴，关于对称轴对称，可得， ∴， 把代入函数得： ． 3．（2026·陕西榆林·一模）已知二次函数（为常数）的对称轴为，下列说法中正确的是（   ） A．图象与轴的交点可能在轴负半轴上 B．该二次函数的最小值为 C．图象与轴有一个交点 D．若点，在该函数图象上，则 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的性质，灵活运用二次函数的对称轴公式、顶点坐标公式、与坐标轴的交点判定方法以及函数的增减性是解题的关键．根据二次函数对称轴公式，先由对称轴为求出参数的值，确定函数解析式；再分别分析函数与轴、轴的交点情况、函数的最小值，以及抛物线上点到对称轴的距离与函数值大小的关系，从而对各选项进行判断． 【详解】解：二次函数的对称轴为， ， ， 令，， 图象与轴的交点在轴正半轴上，错误； 函数开口向上，当时，，错误； ，， 图象与轴没有交点，错误； 开口向上的抛物线，离对称轴越远，函数值越大， 对称轴为： 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， ， ，正确． 故选：． 4．（2026·陕西咸阳·一模）已知二次函数（为常数）的图象经过点，则下列关于该函数的结论正确的是（   ） A．图象的开口向上 B．当时， C．当时，的值随值的增大而增大 D．函数图象的顶点在第二象限 【答案】C 【分析】先根据已知点坐标求出参数的值，再结合二次函数的图象与性质逐一判断选项即可． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴将代入解析式得：， 整理得：，解得：， ∵， ∴抛物线图象开口向下，选项A错误。 将代入解析式得，选项B错误； 二次函数对称轴为， ∵，开口向下， ∴当时，随的增大而增大， 又∵满足， ∴当时，的值随值的增大而增大，选项C正确； 顶点坐标为，横坐标为正纵坐标为负，顶点位于第四象限，选项D错误． 5．（2026·陕西宝鸡·一模）已知抛物线（为常数，），当时，取得最小值，当时，取得最大值，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定抛物线开口方向和对称轴，再根据最值位置确定区间端点的范围，解不等式得到m的取值范围． 【详解】对抛物线配方得：， ， ∴抛物线开口向下，对称轴为，在处取得最大值， ∵，且时取得最大值， ∴， 解得 ， 又时取得最小值，二次函数在闭区间的最小值出现在离对称轴更远的端点处，到对称轴的距离为，因此区间右端点到对称轴的距离不超过3，即： 化简得， 解得 ， 取两个不等式的交集得， 故选：A． 6．（2026·陕西宝鸡·一模）已知二次函数（其中、、为常数，且）的自变量与函数的对应值如下表： … 0 1 3 … … 3 4 0 … 则下列关于二次函数的说法正确的是（    ） A．函数图象的开口向上 B．函数图象的对称轴为直线 C．当时，的值随值的增大而减小 D．当时， 【答案】B 【分析】利用待定系数法求出二次函数解析式，再化为顶点式，逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵时， ， 将和分别代入得 化简得 解得 ∴二次函数解析式为 ∵， ∴函数图象开口向下，故选项A错误； 函数图象的对称轴为直线，故选项B正确； ∵开口向下，对称轴为直线， ∴当时，的值随值的增大而增大，故选项C错误； 当时，，即，不满足，故选项D错误． 7．（2026·陕西渭南·一模）已知二次函数（a、b为常数，且），当时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是（   ） A．该函数图象的对称轴为直线 B．该函数图象与x轴只有一个交点 C．该函数图象的最大值不可能是4 D．， 【答案】C 【分析】先根据二次函数的增减性得到开口方向和对称轴的范围，再结合二次函数的性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵二次函数中，当时，随的增大而增大， ∴抛物线开口向下，即，且对称轴，因此对称轴不一定为，故A错误； 由，， 不等式两边同乘得， 整理得 ， ∵， ∴，可得，故D错误； 该函数的判别式， ∵，， ∴ ， ∴ ， ∴函数图象与轴有两个交点，故B错误； 二次函数的最大值为顶点纵坐标，即 ， ∵，， ∴， ∴，即最大值一定大于，不可能是，故C正确． 8．（2026·陕西西安·一模）如图，抛物线与抛物线交于点，过点A作x轴的平行线，与两条抛物线分别交于B、C两点，若点B是的中点，则（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【分析】先推导出，，得到，进而推导出，将，代入，，可得到，则，即可解答． 【详解】解：抛物线的对称轴为，抛物线的对称轴为， ∵抛物线与抛物线相交于点， ∴由抛物线的对称性可知，， 即， ∴， ∵点B是的中点， ∴，即：， 将，代入，，得 ， 则， ∴， ∴， ∴． 9．（2026·陕西宝鸡·一模）已知二次函数（a、c为常数，且）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 1 2 3 … y … 3 0 m … 则下列关于二次函数的说法正确的是（    ） A．二次函数图象的开口向下 B．二次函数图象的对称轴为 C．若点在该函数图象上，则 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】根据表格中所给数据，可利用待定系数法求出函数解析式，并化为顶点式，进而得到开口方向，增减性和对称轴，再对所给选项依次进行判断，据此可得答案． 【详解】解：将点、代入中， 得：， 解得， ∴二次函数解析式为， A、∵， ∴函数图象开口向上， 故A不符合题意； B、∵二次函数解析式为， ∴对称轴为直线， 故B不符合题意； C、当时，， 故C符合题意； D、∵二次函数解析式的对称轴为直线，函数图象开口向上， ∴当时，的值随值的增大而增大， 故D项不符合题意． 10．（2026·陕西汉中·一模）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表： x … 0 1 … y … … 下列关于该二次函数的结论正确的是（    ） A．图象的开口向上 B．对称轴为直线 C．有最大值 D．图象与x轴有两个交点 【答案】C 【分析】先利用表格中的点坐标求出二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：由表格可知，当时，代入得， 将，和，代入解析式得： ， 解得， 二次函数解析式为， 该二次函数图象开口向下，函数有最大值，即最大值为， 故选项A错误、C正确； 对称轴为直线， 故选项B错误； 令，得方程，即， 判别式，方程无实根， 因此，图象与轴没有交点， 故选项D错误． 11．（2026·陕西西安·一模）二次函数（a，b，c为常数，a0）的图象经过三点，则的值为（   ） A． B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】利用二次函数图象上纵坐标相等的两点关于对称轴对称，则可求出对称轴，得到a与b的关系，再由B点坐标得到c的值，最后代入式子计算即可． 【详解】解：∵二次函数经过，， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴ ∵二次函数的图象经过， ∴将代入解析式得， ∴． 12．（2026·陕西宝鸡·一模）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表： 则下列关于这个二次函数的结论中，正确的有（   ）个． ①当时，的值随值的增大而增大；②图象不经过第三象限；③该二次函数有最小值； ④关于x的一元二次方程有两个不等的实数根． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】 先利用表格中对称点的坐标确定二次函数的对称轴与开口方向，再代入点的坐标求出函数解析式，随后逐一分析四个结论的正确性，统计正确结论的个数． 【详解】解：设二次函数的解析式为， ∵当时，；当时，；当时，， ∴代入解析式得 ， 解得， ∴二次函数解析式为， 将解析式化为顶点式：， ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； ①∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，的值随值的增大而增大，故①错误； ②∵抛物线开口向上，对称轴为，与轴交于，顶点为， ∴抛物线图象不经过第三象限，故②正确； ③∵，抛物线顶点坐标为， ∴该二次函数有最小值，故③错误； ④方程即， 整理得， ∵， ∴方程有两个不等的实数根，故④正确； 综上，②④正确，共2个． 二次函数的平移、对称 考点08 1．（2026·陕西渭南·一模）将二次函数（a、h为常数，）的图象向右平移2个单位长度，得到的新二次函数中部分x与y的对应值如下表： x … 1 2 3 4 … y … 7 4 … 则关于新二次函数的说法不正确的是（） A．其图象开口向下 B．其图象的对称轴为 C．当时，y的值随x值的增大而减小 D．当时， 【答案】C 【分析】根据二次函数图象的平移可得新二次函数为，由表可得，当时，；当时，，代入解析式求解即可得到a，h的值，从而得到新二次函数的解析式，根据二次函数的图象及性质即可判断各个选项． 【详解】解∶将二次函数的图象向右平移2个单位长度，得到新二次函数为，即， 由表可得，当时，；当时，， ∴，解得， ∴新二次函数为． ∴其图象开口向下，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而增大， 当时，． 综上所述，选项A、B、D正确，选项C错误． 2．（2026·陕西商洛·一模）将抛物线（为常数，且）向右平移个单位长度得到抛物线，若点均在抛物线上，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求原抛物线对称轴，根据平移规律得到平移后抛物线的对称轴，再利用开口向上的二次函数的性质：点离对称轴越远，函数值越大，列出不等式求解即可． 【详解】解：∵且， ∴原抛物线开口向上，对称轴为直线； 将原抛物线向右平移个单位后，抛物线的对称轴为直线， ∵开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越大，对应函数值越大，且， ∴点到对称轴的距离不小于点到对称轴的距离， 即， 解得． 二次函数的实际应用 考点9 1．（2026·陕西咸阳·一模）将科技元素与农业资源相结合，是推动农业现代化、提升农业生产效率和效益的重要途径．某农田引进了一台移动喷灌机，如图，灌溉机喷出的两条水流具有相同的抛物线形状，而且左、右两条抛物线关于y轴对称．按照图中的平面直角坐标系，左面的一条抛物线可以用表示． (1)求水流的最高点到地面的距离； (2)求左、右两条水流最高点之间的距离． 【答案】(1)水流的最高点到地面的距离为10米 (2)左、右两条水流最高点之间的距离为6米 【分析】（1）将二次函数转化为顶点式进行求解即可； （2）根据点关于轴对称的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水流最高点到地面的距离为10米； （2）解：∵左、右两条抛物线关于轴对称， ∴左边抛物线的顶点为，其关于轴的对称点即为右边抛物线的顶点， ∴左、右两条水流最高点之间的距离为：米． 2．（2026·陕西汉中·一模）用石头打水漂是一项有趣的活动，抛掷出的石头与水面接触后弹起，石头在空中近似地形成一组抛物线的运动路径．如图1，小辰站在河边的安全位置用一石头打水漂，石头在空中飞行的高度与水平距离之间的关系如图2所示．石头第1次与水面接触的点为A，运动路径近似为抛物线，且，石头在水面上弹起后第2次与水面接触的点为B，运动路径近似为抛物线，若点B的坐标为，的最高点距离水面．（小辰所站地面、水面在同一水平面，且石头近似看作点） (1)求抛物线的函数表达式； (2)若横坐标为的位置处有一只水鸭，水鸭的身体高出水面，判断该石头能否飞越水鸭． 【答案】(1) (2)能 【分析】（1）先求出点坐标，进而求出的顶点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时的函数值，进行判断即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，解得， ∴， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴设， 把代入，得，解得， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴当时，， ∵， ∴该石头能飞越水鸭． 3．（2026·陕西渭南·一模）如图，在某次网球训练中，运动员甲在距离球网水平距离为的位置点将网球击出，网球的运动路线是抛物线形状，点到地面的距离为，在距离球网水平距离为时，网球运动到最大高度，落地点为点．以为坐标原点，地面所在直线为轴，球网所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求网球运动路线所在抛物线的函数表达式； (2)球网在网球场地的正中间位置，若这个网球场地的长度为，请你判断该网球的落地点是否在网球场地外？并说明理由． 【答案】(1) (2)该网球的落地点在网球场地内． 【分析】（1）根据题意可知，点的坐标为，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，把点的坐标代入，求出的值，即可得到抛物线的解析式； （2）当时，可得方程，解方程可得：，根据网球场地的长度为，球网在网球场地的正中间位置，所以对面场地的长度为，所以点在场地内． 【详解】（1）解：由题意可知，点的坐标为，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：点在场地内，理由如下： 当时， 可得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， 网球场地的长度为，球网在网球场地的正中间位置， ， ， 该网球的落地点在网球场地内． 4．（2026·陕西宝鸡·一模）竹编作为中国传统手工艺．曾被列入第二批国家级非物质文化遗产名录．如图1是一种竹编工艺品，其中某根竹条的形状呈如图2所示的抛物线形，点与点关于抛物线的对称轴对称，以所在直线为轴，过点且垂直于的竖直线为轴建立平面直角坐标系，有两根竹条、均与垂直，点、在上，点、在抛物线上（点在抛物线对称轴的右侧），已知． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若竹条的长为，求竹条与之间的水平距离的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）中由与关于对称轴对称且，得抛物线过和，设，代入求出； （2）中，即，代入抛物线方程求出，再计算． 【详解】（1）解：与关于抛物线对称轴对称，， 抛物线与轴交于和， 设抛物线的函数表达式为， ， ， 将代入， ， ， ， 抛物线的函数表达式为； （2）解：， ， 将代入， ， 解得，， 点在对称轴右侧，对称轴为直线， ， ， ． 5．（2026·陕西汉中·一模）【用数学的眼光观察现实世界】 如图1是某摄影棚的截面示意图，其形状近似呈双抛物线形． 【用数学的思维思考现实世界】 图1中内侧抛物线上的水平支架有多长呢？ 【用数学的语言表达现实世界】 将图1中的示意图抽象成数学图形如图2所示，建立平面直角坐标系后，点与点分别为抛物线和的顶点，且点与点到轴的距离相等，、之间的竖直高度为，两条抛物线均经过坐标原点，且其对称轴均与轴垂直． (1)求抛物线的函数表达式； (2)有一根支架（点和点均在抛物线上），若点和点到轴的距离和均为，求水平支架的长度． 【答案】(1) (2)4米 【分析】（1）由题意得，设抛物线的函数表达式为，且经过，代入求出a即可解答； （2）当时，求出 或 ，根据两点间的距离公式计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，即， 设抛物线的函数表达式为， ∵抛物线过，代入得，解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由（1）得抛物线的函数表达式为， 当时，即， 解得 或 ； ∴，； （米）， 答：水平支架的长度4米． 6．（2026·陕西宝鸡·一模）如图1是某海洋馆的玻璃隧道，图2是它的截面示意图，玻璃隧道截面可近似看作抛物线和矩形构成．矩形的长米，宽米，小明以O为原点，所在水平线为x轴、所在直线为y轴建立如图2的平面直角坐标系，在抛物线上点处贴有一张“小心碰头”的温馨提示． (1)求隧道截面所在抛物线的函数表达式； (2)为保障游客观赏效果，清洁工人会对玻璃隧道进行定期清洁，某次清洁工人站在地面上清洁玻璃隧道时，能刷到的最大高度是其站立位置地面的正上方米处（抛物线上的段清洁工未清洁，即点E、F到x轴的距离均为米），此次清洁工人站在地面完成玻璃隧道清洁后，求未清洁部分最低两处的水平距离（即求E、F两点之间的距离）． 【答案】(1) (2)未清洁部分最低两处的水平距离为米 【分析】（1）根据题意得到，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意令代入抛物线求解，得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 设抛物线解析式为，点在抛物线的图象上， ∴， 解得，， ∴； （2）解：点E、F到x轴的距离均为米，则令， ∴， 整理得，， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴未清洁部分最低两处的水平距离为米． 7．（2026·陕西·一模）如图是一个宣传广告牌，其示意图如图所示． 素材一：广告牌由抛物线、以及线段、围成，点、在抛物线上，点、在抛物线上，且点、分别是、的中点，抛物线与关于所在直线对称． 素材二：以直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．已知米， 米，抛物线的最高点到的距离为5米，点在轴上，轴． 素材三：现需要在广告牌上张贴一幅矩形宣传画，顶点、均在抛物线上，顶点、均在抛物线上． (1)求抛物线、的函数表达式； (2)求宣传画的周长（矩形的周长）的最大值． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为，抛物线的函数表达式为 (2)宣传画的周长的最大值为米 【分析】（1）根据题意，抛物线的顶点为，且过点，利用待定系数法求出抛物线的函数表达式为，再根据对称性求出抛物线的函数表达式； （2）设点，根据对称性表示出点和点的坐标，进而表示出和，计算得矩形的周长，根据二次函数的性质求出最大值． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线的顶点为，且在抛物线上， 设抛物线的函数表达式为， 将代入，得， ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， ∵抛物线与关于轴对称， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：设，由对称性可知， 点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴矩形的周长 ， ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． 答：宣传画的周长的最大值为米． 8．（2026·陕西西安·一模）一座三拱桥横跨于湖面之上，三个桥洞、、以及桥面均呈抛物线型，如图所示，桥洞和与湖面的交点分别是、、、，以的中点为坐标原点，所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．已知桥洞的跨度米，桥洞、关于轴对称，桥洞的最高点在上，且的长为40米，桥洞最高点到湖面的距离为5米． (1)求桥洞所在抛物线的函数表达式； (2)现要悬挂两条警示标语、，、均与轴平行，点、分别在、上，点、分别在、上，点、到的距离均为12米．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条标语的总长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意，求出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意得到，，求出桥洞所在抛物线的顶点坐标为，设抛物线，将代入，即可得到答案； （2）由于点、到的距离均为12米，当时，求出，，得到，根据对称性可知，，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意知，， ，即， 的长为40米，桥洞、关于轴对称， ，即， 桥洞最高点到湖面的距离为5米， 顶点坐标的横坐标为，纵坐标为； 设抛物线， 将代入， ， 桥洞所在抛物线的函数表达式为； （2）解：由于点、到的距离均为12米， 当时，， ， 当时，， ， ， 根据对称性可知，， 故； 9．（2026·陕西西安·一模）“大老碗”有浓郁的陕西特色，“纳四海宾朋，融八方来客”，简约、凝重、大气、深沉、厚重，千年的积淀在这一只“大老碗”里得到了充分的交汇和融合．如图1是一个竖直放置在水平桌面上的瓷碗，其截面图如图2所示，瓷碗深度为，碗口宽为，碗底高为，，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），以碗底的中点O为原点，以所在直线为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求碗体的抛物线解析式； (2)若用碗盛面汤后与碗口相距（即距离），求面汤表面的宽度． 【答案】(1)碗体的抛物线解析式为 (2) 【详解】（1）解：根据题意，，，， ∴，，，对称轴直线为， 设抛物线的解析式为， ∴， 解得，， ∴碗体的抛物线解析式为； （2）解：， ∴， ∴， 解得，， ∴． 10．（2026·陕西西安·一模）如图，某影视基地由于场景需求，搭建了一座门洞，门洞的外轮廓形状为抛物线，以门洞外轮廓正中央的竖直线为对称轴还分别制作了两个形状为抛物线与的造型．已知抛物线的形状相同，且为拋物线的顶点，为抛物线与的交点，抛物线与分别经过A，B两点，满足，其中，点到AB的距离为，以的中点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求出抛物线的函数表达式． (2)求出拋物线与两个顶点之间的距离． 【答案】(1) (2)抛物线与两个顶点之间的距离为2米 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据待定系数法求出的解析式，即可求出抛物线的顶点坐标，然后根据对称轴求出抛物线的顶点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意设抛物线的函数表达式为． ， ∴点的坐标为． 将点代入所设的函数表达式得，解得， ∴抛物线的函数表达式为． （2）解∶由于抛物线的形状相同， 故设抛物线的函数表达式为． ， ，即． ∵抛物线经过点， ∴将其代入抛物线中得解得． ∴抛物线的函数表达式为，则其顶点坐标为． 又抛物线与关于轴对称， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线与的顶点距离为， ∴抛物线与两个顶点之间的距离为2米 11．（2026·陕西铜川·一模）如图是一座“彩虹门”喷泉景观，喷泉场地宽度米，在A，B处各安装一个喷水装置，出水口高度米，且，，喷出的两条抛物线水柱形状相同，并在抛物线顶点C处相遇，组成一条完整的抛物线形“彩虹门”，且点C到地面的距离为米．以A为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线形“彩虹门”的函数表达式； (2)为了避免游客被淋湿，设计团队计划在上安装6个挡雨伞，伞的顶端离地面的距离为3米，且相邻两个挡雨伞的间距相等．若最外侧两个挡雨伞顶端与水柱间的竖直高度均为米，求相邻两个挡雨伞的间距． 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）由题意得抛物线的顶点，，设抛物线形“彩虹门”的函数表达式为，将代入求出，即可求出抛物线形“彩虹门”的函数表达式； （2）求出最外侧两个挡雨伞顶端上方的水柱高度，进而求出最外侧两个挡雨伞的底端的横坐标，求出最外侧两个挡雨伞之间的距离，即可求出相邻两个挡雨伞的间距． 【详解】（1）解：由题意得抛物线的顶点，． ∴设抛物线形“彩虹门”的函数表达式为． 将代入，得， 解得． ∴抛物线形“彩虹门”的函数表达式为． （2）解：令，则， 解得，． ∴最外侧两个挡雨伞之间的距离为（米） ∴相邻两个挡雨伞的间距（米）． 12．（2026·陕西咸阳·一模）某广场的一座遮阳棚截面示意图如图所示，其中为遮阳棚的主杆部分，曲线与为遮阳棚伞盖部分，与所在曲线可近似看作两条关于对称的抛物线．与所在抛物线的最高点到主杆的距离均为，到地面的距离均为，主杆的高度为，以为原点，所在直线为轴，水平地面为轴建立平面直角坐标系． (1)分别求出与所在抛物线的表达式． (2)若伞盖两端之间的水平距离为，求伞盖端点（或点）到地面的距离． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题意，得两条抛物线的顶点坐标分别为，，且都过点，代入抛物线的表达式，解答即可； （2）根据伞盖两端之间的水平距离为，得到点B的横坐标为5，到点A的横坐标为，代入表达式求函数值即可； 【详解】（1）解：根据题意，得所在抛物线的顶点坐标为，且过点， 不妨设抛物线的表达式为， 故， 解得， 故所在抛物线的表达式为． 根据题意，得所在抛物线的顶点坐标为，且过点， 不妨设抛物线的表达式为， 故， 解得， 故所在抛物线的表达式为． （2）解：∵伞盖两端之间的水平距离为， ∴到点A的横坐标为， ∵抛物线的表达式为， ∴（米）， 故伞盖端点到地面的距离为． 13．（2026·陕西·一模）某抛物线型拱桥侧面示意图如图所示．水面宽与桥长均为米，在距离点米的处，测得桥面到桥拱的距离为米，以桥拱顶点为原点，桥面所在直线为轴建立平面直角坐标系．如图，桥面上方有根高度均为米的支柱，过相邻支柱顶端的两根钢缆可以近似看做两条形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为米． (1)求其中一条钢缆抛物线的函数表达式； (2)春节前夕，市政打算在钢缆和桥拱之间沿竖直方向装饰若干条灯带（见图），请你求出可以在竖直方向安装的灯带中最短的灯带长度． 【答案】(1)右边：或左边： (2)米 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数最值求解方法，结合题意根据数形结合的思想设出二次函数的顶点式方程是解题的关键． （）①右边：根据钢缆抛物线的顶点为，设其顶点式，再将已知点代入解析式，求解出系数的值，进而确定钢缆抛物线的完整解析式；②左边：根据钢缆抛物线的顶点为，设其顶点式，再将已知点代入解析式，求解出系数的值，进而确定钢缆抛物线的完整解析式； （）先根据拱桥侧面抛物线的特征设解析式，将已知点代入求出，得到的解析式；再根据列出关于的函数表达式，求出该函数的最小值，即彩带长度的最小值． 【详解】（1）解：①由题意得，，右边钢缆的抛物线顶点为， 设右边钢缆的抛物线表达式为， ∵， ∴， ∴， ∴． ②由题意得，，左边钢缆的抛物线顶点为， 设左边钢缆的抛物线表达式为， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：设拱桥侧面抛物线表达式为， 由题意得， ∴， ∴， ∴， 设灯带长度为，则， ∵， ∴当时，有最小值为． 答：灯带长度的最小值是米． 14．（2026·陕西西安·一模）某校将新建实验楼的正门设计为一个抛物线型拱门，现将设计方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示，拱门的跨度，拱高，点M在x轴上，，．要在拱门中设置高为（）的矩形框架，点A、D在抛物线上，边在上，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： (1)求抛物线的函数表达式； (2)求矩形框架的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，矩形的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据题意可得：点M为，顶点E为，然后利用待定系数法求二次函数解析式进行计算，即可解答； （2）利用（1）的结论进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：∵拱门的跨度，， ∴点M为，， ∵拱高，， ∴顶点E为， 设抛物线的函数表达式为， 把代入中得：， 解得：， ∴； （2）解：当时，， 解得：， ∴， ∴， ∴矩形框架的周长， 即矩形框架的周长为． 15．（2026·陕西商洛·一模）为落实五育并举，践行健康第一的教育理念，切实提升学生身体素质，某校成立了毽子俱乐部在一次活动中，小萌踢出的毽子运动轨迹呈抛物线形，在该抛物线所在平面内建立如图所示的平面直角坐标系后，毽子的起始位置到水平地面（轴）的距离为，到轴的距离为，毽子到达最高点处时到轴的距离为，点在该抛物线上，小悦接毽子的脚（看作一个点）到水平地面（轴）的距离为 ． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)请你计算并说明当小悦接毽子的脚到轴的距离为多远时，恰好可以接住毽子？ 【答案】(1) (2)小悦的脚到轴的距离为 【分析】（1）设抛物线的顶点式为：，待定系数法求解析式，即可求解； （2）将，代入抛物线表达式：，解方程，结合题意取舍方程的解，即可求解． 【详解】（1）解：已知抛物线的顶点横坐标为6，设抛物线的顶点式为： 起始位置的坐标为，点在抛物线上， 解得： ∴抛物线的函数表达式为： （2）解：将，代入抛物线表达式： 解得：，即或． 因为在起始位置左侧，不符合题意，舍去． 所以，即小悦的脚到轴的距离为． 16．（2026·陕西咸阳·一模）大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎．如图，积极响应号召回乡发展的小宇设计了一个大棚，它的构建纵切面的示意图可近似看作抛物线，为大棚左侧的一根立柱，点在水平地面上，，，且，以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，点、在轴上，且点在点的左侧，抛物线的对称轴为直线． (1)当与恰好相等时，求抛物线的表达式； (2)在（1）中的条件下，小宇想在大棚内线段上找一固定点，并设计一根支撑柱，使得与平行，请通过计算判断能否找到符合条件的固定点．若能，计算出的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)大棚内线段上找不到固定点，使，理由见解析． 【分析】（1）根据，，利用勾股定理可以求出，可得点的坐标是，点的坐标为，利用待定系数法求出抛物线的表达式； （2）假设存在点使，可证，根据相似三角形的性质可以求出点的坐标为，根据抛物线的解析式可以求出点的坐标为，因为，所以点不在线段上，所以大棚内线段上找不到固定点，使． 【详解】（1）解：，， ， ， ， 点的坐标是， 设抛物线的解析式为， ， 点的坐标为， 点在抛物线上， ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：大棚内线段上找不到固定点，使， 理由如下： 如下图所示，假设存在点使， ，， ， ， ， ， ， 点的坐标为， 当时， 可得：， 解得：，， ， 点的坐标为，点的坐标为， ， 点在点的右侧， 点不在线段上， 大棚内线段上找不到固定点，使． 函数与方程、不等式综合 考点10 1．（2026·陕西西安·一模）已知关于，的二元一次方程组的解为，如图，若直线（，为常数，且）与直线相交于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程组的解就是交点坐标即可求解． 【详解】解：∵关于，的二元一次方程组的解为， ∴， ∴， ∴，的二元一次方程组的解为， 二元一次方程组的解就是两个一次函数和图象的交点坐标， ∴点的坐标为：． 故选：A． 2．（2026·陕西宝鸡·一模）在反比例函数中，当时，随的增大而减小，且关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则所有满足条件的整数的值之和为（    ） A．7 B．6 C．5 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质和一元二次方程根的判别式．结合反比例函数的性质和一元二次方程根的判别式确定的取值范围，再找出符合条件的整数并求和，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数中，当时，随的增大而减小 ∴ ∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根 ∴ 即 解得 ∴ 又∵为整数 ∴可取1，2，3 ∴满足条件的整数的值之和为 故选：B． 函数与几何综合 考点11 1．（2026·陕西汉中·一模）如图，反比例函数的图象经过的顶点C，在轴负半轴上，点B的坐标为．若的面积为40，则反比例函数的表达式为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求反比例函数解析式． 根据平行四边形的性质可知且，由在轴上可知平行于轴，从而得出点C的纵坐标，利用平行四边形的面积公式求出边的长，进而得到的长，从而求出点C的坐标，最后利用待定系数法求出k的值即可． 【详解】解： 四边形是平行四边形， 、， 在轴负半轴上， 轴， 点B的坐标为， 点C的纵坐标为8， 设平行四边形边上的高为h，则， ，即， 解得， ， 点C的横坐标为， 点C的坐标为， 反比例函数的图象经过点C， ， 解得， 反比例函数的表达式为． 2．（2026·陕西西安·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过的顶点A，点B、C分别在x轴负半轴、y轴负半轴上，，则点A的坐标是____________． 【答案】 【分析】先推导出得到点A的纵坐标为2，进而代入反比例函数的解析式求出，即可解答． 【详解】解：在中， ∴点A的纵坐标为2， 将代入，得 ， 解得， ∴点A的坐标是． 3．（2026·陕西咸阳·一模）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，点B、C在x轴上，点D在y轴上，反比例函数（k为常数，且，）的图象经过点A，若点也在反比例函数的图象上，则的面积为______． 【答案】3 【分析】过点作轴于点，证明，得出四边形的面积等于的面积，然后根据几何意义即可解答． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵四边形为平行四边形， ， ， 又 ∵， ， ， ∵点在反比例函数的图象上， ， ∴的面积． 4．（2026·陕西咸阳·一模）如图，点A是反比例函数的图象上的动点，过点A分别作x轴、y轴的平行线，交反比例函数的图象于点B、C，连接，则的面积为______． 【答案】 【分析】根据题意，设点A的坐标为 ，根据轴，轴，分别求出点和点的坐标，进而表示出线段和的长，最后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：根据题意，设点A的坐标为 ， ∵轴，轴，且点B、C在反比例函数的图象上， ∴，，且， ∴，， ∴． 5．（2026·陕西西安·一模）如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以，为边，在第一象限内作矩形，将矩形翻折，使点B与原点O重合，折痕为，点C的对应点落在第四象限，过M点的反比例函数的图象恰好经过的中点Q，则点Q的坐标为________． 【答案】 【分析】如图，连接，过作于，过作于，由折叠的性质与矩形的性质可知，，，，可得是的中位线，是线段的中点，设，则，设，由，均为反比例函数上的点，可得，表示出点坐标，求出，在中，由勾股定理得，即，得到，根据，计算的值，进而可求点坐标． 【详解】解：如图，连接，过作于，过作于， 由折叠的性质与矩形的性质可知，，，， ∵，， ∴， ∴， ∵为中点，即， ∴，即是线段的中点， ∴是的中位线， ∴， 设，则，设， ∵，均为反比例函数上的点， ∴， 解得， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ∵， ∴ ∴（负值舍去）， ∴， ∴点Q的坐标为． 6．（2026·陕西·一模）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，点为抛物线上一动点（不与点重合），图中虚线是抛物线的对称轴． (1)求该二次函数的表达式； (2)若点在抛物线的对称轴上，是否存在点，使得以点为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）直接利用待定系数法求解解析式即可； （2）求解抛物线的对称轴为直线，设，，再分类讨论即可 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线为：； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 令，则， ∴, 设， 如图， 当时，则且 解得：， ∴ 当时，则且 解得：， ∴ 综上：点M坐标为或 一次函数、二次函数与反比例函数结合 考点12 1．（2026·陕西西安·一模）在同一平面直角坐标系中，函数（为常数，且）和的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的性质．分和两种情况分类讨论即可确定正确的选项． 【详解】解：时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，无选项符合； 时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第二、四象限，选项D符合． 故选：D． 2．（2026·陕西·一模）如图，二次函数的图象和直线交于两点，点在轴的负半轴上，且，设，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数图像的性质及代数式符号判断，能够从图像中的点的坐标的性质得到参数的取值范围是解题关键．由二次函数与轴有两个不同交点，将方程整理为，得，根据时函数图像在轴上方，得，进而判断两者乘积． 【详解】解：令，整理得， ∵两个图象有个交点， ∴，即：， ∵点在轴的负半轴上，且， 由图象可知：当时，二次函数的函数值为， ∵设且，， ∴，即． 故选：B． 3．（2026·陕西西安·一模）已知正比例函数与反比例函数的图象相交，且其中一个交点的坐标为，则的值为________． 【答案】 【分析】把两个函数的交点的坐标代入正比例函数的解析式中求出n的值，则可得到交点的坐标，再把交点的坐标代入反比例函数的解析式求出m的值即可得到答案． 【详解】解：将点代入得，， ∴两个函数的交点的坐标为， 将点代入得，， ∴． 4．（2026·陕西渭南·一模）若正比例函数与反比例函数（k为常数，）图象的一个交点坐标为，则k的值为________． 【答案】 【分析】先将代入，求出，再将代入，解得，即可解答． 【详解】解：将代入，得 解得， ∴正比例函数与反比例函数（k为常数，）图象的一个交点坐标为， 将代入，得 ， 解得． 5．（2026·陕西咸阳·一模）如图，正比例函数的图象与双曲线交于，两点，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】先求出和，再联立方程组求解即可； 【详解】解： 在双曲线上， ， ， 在正比例函数上， ， ， 正比例函数解析式为， 联立方程组得， 解得：或， 两个函数的交点为，， ． 6．（2026·陕西·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象在第二象限交于点，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】将分别代入反比例函数和一次函数解析式，得，，再代入变形后的式子求解即可． 【详解】解：∵反比例函数与一次函数的图象在第二象限交于点， ∴，，即， ∵． 7．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式及的值； (2)若为反比例函数图象上的点，且，求满足条件的点坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，求正切值． （1）先求得点的坐标，待定系数法求得，进而求得的坐标和点的坐标，根据正切的定义，即可求解； （2）先求得，则，进而根据三角形的面积公式可得，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入中， 得， ， 将代入反比例函数中，得， 则反比例函数的表达式为：． 在中，令，则， 令，则． 在中，． （2）由（1）得，， ， ． ， 在中，当时，，此时； 当时，，此时． 故点的坐标为或． 8．（2026·陕西西安·一模）如图，在平面直角坐标系中，对称轴为直线的抛物线与直线的图象交于，两点，其中抛物线与轴交于点，已知． (1)求此抛物线的解析式； (2)点为抛物线第四象限部分上的一点，点是坐标平面内一点（点与点不重合），过点作轴交直线于点，求出当线段的长度最大时，使以、、为顶点的三角形与全等的点的坐标． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）根据一次函数的解析式求出点、的坐标，根据抛物线的对称轴为，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）根据点为抛物线第四象限部分上的一点，设点的坐标为，根据轴交直线于点，则点的坐标为，所以，根据二次函数的性质可知当时，有最大值，最大值为，此时点的坐标为，点的坐标为，可知，根据以、、为顶点的三角形与全等，分情况求出点的坐标． 【详解】（1）解：当时，可得：， 点的坐标为， 当时，可得：， 点的坐标为， 抛物线的对称轴为直线， ∴设抛物线的解析式为， 把点和点的坐标代入解析式， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为， （2）解：点为抛物线第四象限部分上的一点， 设点的坐标为， 轴交直线于点， 则点的坐标为， 可得：， 当时，有最大值，最大值为， 此时点的坐标为，点的坐标为， 又点的坐标为， 轴， ， ， 如下图所示，当轴，， 则， 可得：， 此时， 点的坐标为， 点的坐标为； 如下图所示，当在轴上，时， ，轴， ， 可得：， 此时， 点的坐标为， 点的坐标为； 如下图所示，当轴，时， 则， ∴， 可得：， ， 点的坐标为， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数及其应用 12大考点概览 考点01一次函数的图像、性质与解析式 考点02一次函数图像的平移、对称 考点03一次函数的实际应用 考点04反比例函数的图像、性质与解析式 考点05反比例函数中 k 的几何意义 考点06反比例函数的实际应用 考点07二次函数的图像、性质与解析式 考点08二次函数的平移、对称 考点09二次函数的实际应用 考点10函数与方程、不等式综合 考点11函数与几何综合 考点12一次函数、二次函数与反比例函数结合 一次函数的图像、性质与解析式 考点01 1．（2026·陕西榆林·一模）已知点为正比例函数的图象上的一点，若且，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西咸阳·一模）已知一次函数（a为常数）的图象过第一、三、四象限，则a的值可以是（   ） A．8 B．5 C．3 D．0 3．（2026·陕西渭南·一模）已知一次函数（k、b为常数，）的图象不经过第二象限，则一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2026·陕西咸阳·一模）已知点和点在直线（k为常数，）上，若，则的值可能是（   ） A．0 B． C． D．2 5．（2026·陕西西安·一模）在平面直角坐标系中，直线（b为常数，）和直线（k为常数，）的交点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（2026·陕西渭南·一模）若，是一次函数（k为常数，且）图象上不同的两点，且，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·陕西·一模）已知一次函数（为常数，且）的图象经过点和点，则的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 8．（2026·陕西西安·一模）已知点和点在一次函数的图象上，且，下列四个选项中的值可能是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2026·陕西榆林·一模）已知点和点在一次函数（为常数）的图象上，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 10．（2026·陕西西安·一模）在平面直角坐标系中，直线（b为常数，）和直线（k为常数，）的交点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．（2026·陕西·一模）点在函数的图象上，则代数式的值等于（    ） A． B．5 C．3 D． 12．（2026·陕西商洛·一模）已知一次函数（、为常数，且）的图象不经过第三象限，则一次函数的图象不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 13．（2026·陕西渭南·一模）一次函数（k为常数，且）的图象不经过第三象限．若点N在该一次函数的图象上，则点N的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 14．（2026·陕西西安·一模）在同一平面直角坐标系中，函数和（，为常数）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 15．（2026·陕西宝鸡·一模）已知一次函数的图象经过点，且的值随的增大而增大，若点在该函数的图象上，则点的坐标可能是（  ） A． B． C． D． 16．（2026·陕西咸阳·一模）一次函数（m为常数，）的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 17．（2026·陕西宝鸡·一模）已知点，均在直线的图像上，若，则该直线经过的点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 一次函数图像的平移、对称 考点02 1．（2026·陕西咸阳·一模）若一次函数的图象向下平移3个单位长度后经过点，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 2．（2026·陕西西安·一模）将直线：向左平移m个单位长度后得到直线，若直线与交于点，则m的值为（    ） A． B． C．1.5 D．3 3．（2026·陕西西安·一模）在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向右平移3个单位长度后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（   ） A． B． C．3 D．4 4．（2026·陕西榆林·一模）（新定义）若函数的图象上存在点P，函数的图象上存在点Q，且P、Q关于y轴对称，则称点P（或点Q）的纵坐标为函数，与的“对偶值”．那么函数与的“对偶值”为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 5．（2026·陕西宝鸡·一模）在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位长度后得到直线，直线、直线与轴围成的三角形的面积为（　　） A．12 B．16 C．20 D．24 6．（2026·陕西汉中·一模）在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向下平移个单位长度后，所得的新一次函数图象经过点，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2026·陕西西安·一模）将直线向上平移个单位长度得到的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·陕西汉中·一模）直线向左平移个单位长度，所得图像恰好经过点，则（    ）． A．1 B．2 C．3 D． 9．（2026·陕西·一模）在平面直角坐标系中，正比例函数的图像经过点，且两点关于原点中心对称，若将该正比例函数的图像向下平移2个单位长度，则平移后的图像不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．（2026·陕西咸阳·一模）将过原点和点的直线向上平移1个单位长度，得到的新的直线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 11．（2026·陕西铜川·一模）在平面直角坐标系中，过点和的直线向下平移5个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 一次函数的实际应用 考点03 1．（2026·陕西西安·一模）春节期间，多部国产电影纷纷上映，某电影院的负责人经过调查后发现，每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间大致满足一次函数的关系（，且x是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价x（元/张） … 40 50 60 … 售出电影票数量y（张） … 164 124 84 … (1)请求出y与x之间的函数关系式； (2)若电影票的售价定为38元时，每天售出的电影票数量应为多少张？ 2．（2026·陕西榆林·一模）（新情境）为了让AI更精准地理解用户需求并生成有价值的输出，通常要对人工智能进行训练．已知当一个AI模型的数据量超过条时，其训练时间（单位：分）与训练的数据量（条）成一次函数关系．当训练的数据量为条时，训练时间为分钟；当训练的数据量为条时，训练时间为分钟． (1)当时，求与之间的函数表达式；（不要求写出自变量的范围） (2)若某次训练的数据量为条，求该AI模型的训练时间． 3．（2026·陕西渭南·一模）某校为了让学生参与到课堂教学实验当中，培养学生的动手能力，计划购进甲、乙两种化学实验仪器共100件，已知甲仪器的单价为30元/件，乙仪器的单价为50元/件．若该校购买甲仪器的数量为x件（x为正整数），购买这两种化学仪器所需的总费用为y（元）． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若该校购买这两种化学仪器共花费3400元，求该校购买甲、乙两种化学仪器各多少件？ 4．（2026·陕西西安·一模）小明用量杯盛某种液体进行探究，实验表明液体与量杯的总质量（）和液体的体积满足一次函数关系．测得部分数据如下表： 液体体积 总质量（） (1)求与的函数关系式； (2)若用天平称得液体与量杯的总质量为，那么量杯中的液体体积为多少？ 5．（2026·陕西宝鸡·一模）新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的．已知一款新能源汽车在某次充电过程中，汽车的电量（）与充电时间（）之间满足一次函数关系，部分对应值如下表所示： 充电时间/ 15 20 30 42 ... 汽车电量/ 35 40 50 62 ... 根据以上信息，解答下列问题： (1)在本次充电过程中，求汽车的电量与充电时间之间的函数关系式； (2)在本次充电过程中，当这款新能源汽车的电量达到70（）时，求充电的时间． 6．（2026·陕西咸阳·一模）中国传统文化源远流长，博大精深，是中华民族智慧的结晶．为了能更好地宣传中国传统文化，某校组织了以“中华优秀传统文化”为主题的知识竞赛，该校决定购买A、B两种奖品共200件，对表现优异的学生进行奖励．已知A种奖品的价格为45元/件，B种奖品的价格为25元/件． (1)求购买两种奖品的总费用y（元）与购买A种奖品的数量x（件）之间的函数关系式； (2)若奖品中A种奖品的数量不多于80件，则总费用最多是多少元？ 7．（2026·陕西铜川·一模）某餐厅为提升顾客体验，用一种特制沙漏来把控上菜节奏．已知在沙子漏下的过程中，沙漏上半部分沙子的剩余高度是漏沙时间的一次函数．当漏沙时间为时，剩余高度为；当漏沙时间为时，剩余高度为． (1)求y与t之间的函数表达式； (2)该餐厅推出福利：若顾客下单后，沙漏上半部分沙子漏完时还没上菜，即可享受该菜品免单优惠．求触发免单优惠的最短等待时间． 8．（2026·陕西西安·一模）肉夹馍香飘三秦，腊汁醇厚味悠长．陕西腊汁肉夹馍是享誉全国的特色美食，某腊汁肉夹馍小店根据往期销售经验每个肉夹馍的售价x（元）与销售量y（个）成一次函数关系，售价与销售量之间的对应关系如下表： 每个售价（元） 12 11 10 9 8 …… 每天销售量（个） 60 75 90 105 120 …… (1)求y与x的函数关系式； (2)如果周日的销售量是165个，那么这天每个肉夹馍的售价是多少元？ 9．（2026·陕西西安·一模）2026马年春晚四骏吉祥物惊艳亮相！骐骐、骥骥、驰驰、骋骋每匹都有文物基因，从西周驹尊到汉代铜奔马，千年文化密码藏于细节，让吉祥物既兼具历史美感，又充满时代气象．某商场销售该吉祥物玩具，经调查发现，销售量y（件）是销售单价x（元）的一次函数．当销售单价为50元时，平均每天可销售30件；当销售单价为45元时，平均每天可销售40件． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当吉祥物的销售单价为多少元时，商场平均每天销售这种吉祥物玩具数量可以达到54件？ 10．（2026·陕西·一模）2026年3月14日是第七个“国际数学日”，今年国际数学日的主题是“数学与希望”．某校计划开展趣味数学活动，数学老师欲购买汉诺塔作为活动道具，已知文具店里汉诺塔售价为15元套，文具店的优惠方案如下：一次购买不超过10套，则每套打九折；若一次购买超过10套，则前10套打九折，超过的部分打八折．设数学老师购买套汉诺塔，购买费用为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若数学老师计划用195元购买汉诺塔，则他能购买多少套汉诺塔？ 11．（2026·陕西渭南·一模）2026年3月16日，快舟十一号遥七运载火箭成功将8颗卫星送入预定轨道，再次彰显了我国的航天实力，也让全民的“航天梦”在实干中愈发清晰．某网店为了满足广大航天爱好者的需求，购入A、B两种火箭模型共200件，这两种火箭模型每件的进价和售价如下表所示： A种模型 B种模型 进价（元/件） 50 60 售价（元/件） 80 100 设购入A种火箭模型x件，所购进的两种火箭模型全部卖出后获得的总利润为w元． (1)求w与x之间的函数关系式； (2)若购入A、B两种火箭模型的总费用不超过11200元，那么该网店如何进货才能获利最大？并求出最大利润． 12．（2026·陕西咸阳·一模）随着“体重管理年”三年行动的实施，某体育用品商店老板计划购进甲、乙两种健身器材共100件进行销售．甲、乙两种健身器材的进价与售价如下表所示： 种类 进价（元/件） 售价（元/件） 甲 80 100 乙 50 80 设该体育用品商店老板购进甲健身器材件，购进这两种健身器材所需的总费用为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若该体育用品商店老板共花费6200元购进这两种健身器材，求售完此次购进的甲、乙两种健身器材所得的总利润． 13．（2026·陕西·一模）（跨学科）陈阳在学习完生物学中的《细菌》一节课后得知：“冰箱里低温的环境可以让细菌的繁殖速度变得非常缓慢，甚至失去活性”，但是妈妈告诉他，冰箱里的低温环境只能延缓食物变质的速度，食物在冰箱中放置若干天后一样会变质不能食用，陈阳想进一步了解食物在冰箱中的情况，于是他在家长的陪同下做了一个实验：将新鲜的蔬菜放置于冰箱冷藏室的环境中，逐天统计蔬菜上的菌落总数．经观察发现，蔬菜上的菌落总数是天数（天）的一次函数，他记录的部分数据如下： 天数/天 1 2 3 4 … 菌落总数 20 26 32 38 … (1)求出菌落总数与天数之间的函数关系式； (2)若蔬菜上的菌落总数达到50时就不能食用，那么7天后冰箱里的蔬菜能否食用？ 14．（2026·陕西商洛·一模）商洛市第一产业以种植业为主，其核桃、茶叶等产业规模较大，有“中国核桃之都”和“北方茶叶之乡”的美誉．小李在某电商平台销售商洛特产，今年2月份销售核桃和茶叶共150盒，核桃和茶叶的具体销售信息如下： 特产种类 成本（元/盒） 售价（元/盒） 核桃 80 100 茶叶 90 120 设小李2月份销售核桃盒，销售核桃和茶叶的总利润为元． (1)求与之间的函数关系式；（无需写出自变量的取值范围） (2)若小李2月份销售核桃和茶叶的总利润为4000元，求他2月份销售核桃的盒数． 15．（2026·陕西西安·一模）项目主题：探究家庭用水量． 项目背景：推进城市节水，建设宜居城市．为更好地帮助自己家节约用水，美美统计了自己家一个月（30天）的用水量．前5天爸爸出差不在家，家里只有美美和妈妈，之后25天爸爸妈妈和美美都在家． 数学建模：美美通过统计自己家的用水量，对用水量进行整理、分析，绘制出如图所示的函数图象，图中折线表示当月用水总量y（吨）和时间x（天）之间的函数关系． 解决问题： (1)求所在直线的函数表达式； (2)请求出美美家这一个月的用水总量． 16．（2026·陕西宝鸡·一模）“一炷香”是中国古代通过燃烧线香计时的传统方法，因受环境、香体等因素影响，“一炷香”的时间约为十五分钟至一小时．已知某型号线香燃烧过程中剩余长度与燃烧时间（分钟）之间满足一次函数关系，其中线香初始长度为，燃烧分钟时，线香燃烧了． (1)求与之间的函数关系式； (2)当线香的剩余长度为时，燃烧了多少分钟？ 17．（2026·陕西宝鸡·一模）《“体重管理年”活动实施方案》以三年为周期（2024-2026年），旨在应对居民超重肥胖引发的慢性病问题，落实《健康中国行动（2019―2030年）》要求．某中学对学生的身体质量指数（）与身高的关系进行研究，标准身体质量指数y与身高x（单位：）之间的对应关系如图所示． (1)求y和x之间的函数表达式． (2)若实际值超过或低于标准值的（包括）为异常范围．已知学生小亮身高是，实际值为24，请判断小亮的是否在正常范围内． 18．（2026·陕西宝鸡·一模）某网红餐厅每天都是人潮涌动，热闹非凡．为了提升顾客体验，用一种特制沙漏来把控上菜节奏．已知沙漏上半部分沙子初始高度为，10分钟后上半部分沙子剩余高度为．设漏沙时间为分钟，上半部分沙子剩余高度为，且与成一次函数关系． (1)求与的函数表达式； (2)若该餐厅推出活动：若顾客下单后，沙漏上半部分沙子漏完时还没上菜，即可享受该菜品五折优惠，求某顾客享受五折优惠的最短等待时间． 反比例函数的图像、性质与解析式 考点04 1．（2026·陕西宝鸡·一模）在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数）的图象分布在第二、四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西西安·一模）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是__________．（用“”连接） 3．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，直线与轴交于点，与一个反比例函数图像交于点，过点作轴于点，若，则该反比例函数的表达式为________． 4．（2026·陕西宝鸡·一模）反比例函数（），当时，函数y的最大值和最小值之差为3，则______． 反比例函数中 k 的几何意义 考点05 1．（2026·陕西咸阳·一模）反比例函数（k为常数，）的图象与点的位置关系如图所示，已知点的坐标为，则的值可能是________．（写出一个符合题意的数即可） 2．（2026·陕西渭南·一模）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，，点B、C在x轴上，且，反比例函数（k为常数，且，）的图象经过点A．若的面积为6，则k的值为______． 3．（2026·陕西榆林·一模）如图，已知点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴，交x轴于点B，点C在x轴负半轴上，连接AC．若，，则k的值为________． 4．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，轴于点，延长到点，使得，连接、，若的面积为3，则的值为___________． 5．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，点在反比例函数（为常数，，）的图象上，点在轴上，连接交轴于点，轴于点，若是的中点，，则的值为______． 6．（2026·陕西渭南·一模）如图，在平面直角坐标系中，、为反比例函数图象上两点，轴于点H，轴于点G，连接交于点C，连接，若的面积为2，则k的值为________． 7．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，点在反比例函数（为常数，，）的图象上，轴于点，点在轴上，连接、，平分，若，点的坐标为，则的值为____________． 8．（2026·陕西商洛·一模）如图，在平面直角坐标系中，点、分别在反比例函数、的图象上，连接、、，轴于点，轴于点，若，则的值为___________． 9．（2026·陕西西安·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，为坐标原点，顶点在反比例函数（为常数，且，）的图象上，边交轴于点，且，若的面积为9，则的值为______． 10．（2026·陕西西安·一模）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接．当于点，时，______． 11．（2026·陕西榆林·一模）如图，点是反比例函数（为常数）的图象上一点，轴于点，点在上，，点是轴上一点，连接，若，则的值为___________． 12．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在平面直角坐标系中，点为反比例函数的图象上的点，轴交轴于点，点为轴正半轴上的点，连接，若的面积为，则的值为______． 反比例函数的实际应用 考点06 1．（2026·陕西咸阳·一模）某蓄水池进水管的进水速度为，7h可将蓄水池灌满．设进水速度为Q（），进水时间为，则与之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西宝鸡·一模）视野角度是指汽车在道路上行驶时，驾驶人员目视前方左右两侧视线所构成的夹角，其值与车速有关．随着车速的增加，驾驶人员的视野会逐渐变窄，即两侧的视野范围逐渐缩小，视野角度f（单位：度）与车速v（单位：）成反比例函数关系，它的函数图象如图所示，当车速为时，视野角度f为______度． 3．（2026·陕西汉中·一模）（跨学科）已知经过某闭合电路的电流（单位：）与电路的电阻（单位：）之间满足反比例函数关系，图象如图所示，当该闭合电路的电阻为时，经过该闭合电路的电流为_____A． 4．（2026·陕西榆林·一模）某条公路上有甲、乙两个测速点，从甲到乙汽车平均行驶速度（）与行驶时间（）呈反比例函数关系，其图象如图所示．若某辆汽车从甲到乙所用时间为，则该汽车平均行驶速度是______． 二次函数的图像、性质与解析式 考点07 1．（2026·陕西渭南·一模）已知二次函数（b、c是常数）的图象与x轴的交点的横坐标为和1，且二次函数的最小值为m，则的值为（    ） A． B． C．4 D．8 2．（2026·陕西·一模）已知二次函数（a为常数，且），当分别取时，所对应的函数值相等，则当时，的值为（　　　） A． B．0 C．2 D．4 3．（2026·陕西榆林·一模）已知二次函数（为常数）的对称轴为，下列说法中正确的是（   ） A．图象与轴的交点可能在轴负半轴上 B．该二次函数的最小值为 C．图象与轴有一个交点 D．若点，在该函数图象上，则 4．（2026·陕西咸阳·一模）已知二次函数（为常数）的图象经过点，则下列关于该函数的结论正确的是（   ） A．图象的开口向上 B．当时， C．当时，的值随值的增大而增大 D．函数图象的顶点在第二象限 5．（2026·陕西宝鸡·一模）已知抛物线（为常数，），当时，取得最小值，当时，取得最大值，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．（2026·陕西宝鸡·一模）已知二次函数（其中、、为常数，且）的自变量与函数的对应值如下表： … 0 1 3 … … 3 4 0 … 则下列关于二次函数的说法正确的是（    ） A．函数图象的开口向上 B．函数图象的对称轴为直线 C．当时，的值随值的增大而减小 D．当时， 7．（2026·陕西渭南·一模）已知二次函数（a、b为常数，且），当时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是（   ） A．该函数图象的对称轴为直线 B．该函数图象与x轴只有一个交点 C．该函数图象的最大值不可能是4 D．， 8．（2026·陕西西安·一模）如图，抛物线与抛物线交于点，过点A作x轴的平行线，与两条抛物线分别交于B、C两点，若点B是的中点，则（   ） A． B．3 C． D．9 9．（2026·陕西宝鸡·一模）已知二次函数（a、c为常数，且）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 1 2 3 … y … 3 0 m … 则下列关于二次函数的说法正确的是（    ） A．二次函数图象的开口向下 B．二次函数图象的对称轴为 C．若点在该函数图象上，则 D．当时，y随x的增大而增大 10．（2026·陕西汉中·一模）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表： x … 0 1 … y … … 下列关于该二次函数的结论正确的是（    ） A．图象的开口向上 B．对称轴为直线 C．有最大值 D．图象与x轴有两个交点 11．（2026·陕西西安·一模）二次函数（a，b，c为常数，a0）的图象经过三点，则的值为（   ） A． B．2 C．1 D． 12．（2026·陕西宝鸡·一模）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表： 则下列关于这个二次函数的结论中，正确的有（   ）个． ①当时，的值随值的增大而增大；②图象不经过第三象限；③该二次函数有最小值； ④关于x的一元二次方程有两个不等的实数根． A．1 B．2 C．3 D．4 二次函数的平移、对称 考点08 1．（2026·陕西渭南·一模）将二次函数（a、h为常数，）的图象向右平移2个单位长度，得到的新二次函数中部分x与y的对应值如下表： x … 1 2 3 4 … y … 7 4 … 则关于新二次函数的说法不正确的是（） A．其图象开口向下 B．其图象的对称轴为 C．当时，y的值随x值的增大而减小 D．当时， 2．（2026·陕西商洛·一模）将抛物线（为常数，且）向右平移个单位长度得到抛物线，若点均在抛物线上，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二次函数的实际应用 考点9 1．（2026·陕西咸阳·一模）将科技元素与农业资源相结合，是推动农业现代化、提升农业生产效率和效益的重要途径．某农田引进了一台移动喷灌机，如图，灌溉机喷出的两条水流具有相同的抛物线形状，而且左、右两条抛物线关于y轴对称．按照图中的平面直角坐标系，左面的一条抛物线可以用表示． (1)求水流的最高点到地面的距离； (2)求左、右两条水流最高点之间的距离． 2．（2026·陕西汉中·一模）用石头打水漂是一项有趣的活动，抛掷出的石头与水面接触后弹起，石头在空中近似地形成一组抛物线的运动路径．如图1，小辰站在河边的安全位置用一石头打水漂，石头在空中飞行的高度与水平距离之间的关系如图2所示．石头第1次与水面接触的点为A，运动路径近似为抛物线，且，石头在水面上弹起后第2次与水面接触的点为B，运动路径近似为抛物线，若点B的坐标为，的最高点距离水面．（小辰所站地面、水面在同一水平面，且石头近似看作点） (1)求抛物线的函数表达式； (2)若横坐标为的位置处有一只水鸭，水鸭的身体高出水面，判断该石头能否飞越水鸭． 3．（2026·陕西渭南·一模）如图，在某次网球训练中，运动员甲在距离球网水平距离为的位置点将网球击出，网球的运动路线是抛物线形状，点到地面的距离为，在距离球网水平距离为时，网球运动到最大高度，落地点为点．以为坐标原点，地面所在直线为轴，球网所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求网球运动路线所在抛物线的函数表达式； (2)球网在网球场地的正中间位置，若这个网球场地的长度为，请你判断该网球的落地点是否在网球场地外？并说明理由． 4．（2026·陕西宝鸡·一模）竹编作为中国传统手工艺．曾被列入第二批国家级非物质文化遗产名录．如图1是一种竹编工艺品，其中某根竹条的形状呈如图2所示的抛物线形，点与点关于抛物线的对称轴对称，以所在直线为轴，过点且垂直于的竖直线为轴建立平面直角坐标系，有两根竹条、均与垂直，点、在上，点、在抛物线上（点在抛物线对称轴的右侧），已知． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若竹条的长为，求竹条与之间的水平距离的长． 5．（2026·陕西汉中·一模）【用数学的眼光观察现实世界】 如图1是某摄影棚的截面示意图，其形状近似呈双抛物线形． 【用数学的思维思考现实世界】 图1中内侧抛物线上的水平支架有多长呢？ 【用数学的语言表达现实世界】 将图1中的示意图抽象成数学图形如图2所示，建立平面直角坐标系后，点与点分别为抛物线和的顶点，且点与点到轴的距离相等，、之间的竖直高度为，两条抛物线均经过坐标原点，且其对称轴均与轴垂直． (1)求抛物线的函数表达式； (2)有一根支架（点和点均在抛物线上），若点和点到轴的距离和均为，求水平支架的长度． 6．（2026·陕西宝鸡·一模）如图1是某海洋馆的玻璃隧道，图2是它的截面示意图，玻璃隧道截面可近似看作抛物线和矩形构成．矩形的长米，宽米，小明以O为原点，所在水平线为x轴、所在直线为y轴建立如图2的平面直角坐标系，在抛物线上点处贴有一张“小心碰头”的温馨提示． (1)求隧道截面所在抛物线的函数表达式； (2)为保障游客观赏效果，清洁工人会对玻璃隧道进行定期清洁，某次清洁工人站在地面上清洁玻璃隧道时，能刷到的最大高度是其站立位置地面的正上方米处（抛物线上的段清洁工未清洁，即点E、F到x轴的距离均为米），此次清洁工人站在地面完成玻璃隧道清洁后，求未清洁部分最低两处的水平距离（即求E、F两点之间的距离）． 7．（2026·陕西·一模）如图是一个宣传广告牌，其示意图如图所示． 素材一：广告牌由抛物线、以及线段、围成，点、在抛物线上，点、在抛物线上，且点、分别是、的中点，抛物线与关于所在直线对称． 素材二：以直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．已知米， 米，抛物线的最高点到的距离为5米，点在轴上，轴． 素材三：现需要在广告牌上张贴一幅矩形宣传画，顶点、均在抛物线上，顶点、均在抛物线上． (1)求抛物线、的函数表达式； (2)求宣传画的周长（矩形的周长）的最大值． 8．（2026·陕西西安·一模）一座三拱桥横跨于湖面之上，三个桥洞、、以及桥面均呈抛物线型，如图所示，桥洞和与湖面的交点分别是、、、，以的中点为坐标原点，所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．已知桥洞的跨度米，桥洞、关于轴对称，桥洞的最高点在上，且的长为40米，桥洞最高点到湖面的距离为5米． (1)求桥洞所在抛物线的函数表达式； (2)现要悬挂两条警示标语、，、均与轴平行，点、分别在、上，点、分别在、上，点、到的距离均为12米．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条标语的总长． 9．（2026·陕西西安·一模）“大老碗”有浓郁的陕西特色，“纳四海宾朋，融八方来客”，简约、凝重、大气、深沉、厚重，千年的积淀在这一只“大老碗”里得到了充分的交汇和融合．如图1是一个竖直放置在水平桌面上的瓷碗，其截面图如图2所示，瓷碗深度为，碗口宽为，碗底高为，，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），以碗底的中点O为原点，以所在直线为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求碗体的抛物线解析式； (2)若用碗盛面汤后与碗口相距（即距离），求面汤表面的宽度． 10．（2026·陕西西安·一模）如图，某影视基地由于场景需求，搭建了一座门洞，门洞的外轮廓形状为抛物线，以门洞外轮廓正中央的竖直线为对称轴还分别制作了两个形状为抛物线与的造型．已知抛物线的形状相同，且为拋物线的顶点，为抛物线与的交点，抛物线与分别经过A，B两点，满足，其中，点到AB的距离为，以的中点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求出抛物线的函数表达式． (2)求出拋物线与两个顶点之间的距离． 11．（2026·陕西铜川·一模）如图是一座“彩虹门”喷泉景观，喷泉场地宽度米，在A，B处各安装一个喷水装置，出水口高度米，且，，喷出的两条抛物线水柱形状相同，并在抛物线顶点C处相遇，组成一条完整的抛物线形“彩虹门”，且点C到地面的距离为米．以A为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线形“彩虹门”的函数表达式； (2)为了避免游客被淋湿，设计团队计划在上安装6个挡雨伞，伞的顶端离地面的距离为3米，且相邻两个挡雨伞的间距相等．若最外侧两个挡雨伞顶端与水柱间的竖直高度均为米，求相邻两个挡雨伞的间距． 12．（2026·陕西咸阳·一模）某广场的一座遮阳棚截面示意图如图所示，其中为遮阳棚的主杆部分，曲线与为遮阳棚伞盖部分，与所在曲线可近似看作两条关于对称的抛物线．与所在抛物线的最高点到主杆的距离均为，到地面的距离均为，主杆的高度为，以为原点，所在直线为轴，水平地面为轴建立平面直角坐标系． (1)分别求出与所在抛物线的表达式． (2)若伞盖两端之间的水平距离为，求伞盖端点（或点）到地面的距离． 13．（2026·陕西·一模）某抛物线型拱桥侧面示意图如图所示．水面宽与桥长均为米，在距离点米的处，测得桥面到桥拱的距离为米，以桥拱顶点为原点，桥面所在直线为轴建立平面直角坐标系．如图，桥面上方有根高度均为米的支柱，过相邻支柱顶端的两根钢缆可以近似看做两条形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为米． (1)求其中一条钢缆抛物线的函数表达式； (2)春节前夕，市政打算在钢缆和桥拱之间沿竖直方向装饰若干条灯带（见图），请你求出可以在竖直方向安装的灯带中最短的灯带长度． 14．（2026·陕西西安·一模）某校将新建实验楼的正门设计为一个抛物线型拱门，现将设计方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示，拱门的跨度，拱高，点M在x轴上，，．要在拱门中设置高为（）的矩形框架，点A、D在抛物线上，边在上，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： (1)求抛物线的函数表达式； (2)求矩形框架的周长． 15．（2026·陕西商洛·一模）为落实五育并举，践行健康第一的教育理念，切实提升学生身体素质，某校成立了毽子俱乐部在一次活动中，小萌踢出的毽子运动轨迹呈抛物线形，在该抛物线所在平面内建立如图所示的平面直角坐标系后，毽子的起始位置到水平地面（轴）的距离为，到轴的距离为，毽子到达最高点处时到轴的距离为，点在该抛物线上，小悦接毽子的脚（看作一个点）到水平地面（轴）的距离为 ． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)请你计算并说明当小悦接毽子的脚到轴的距离为多远时，恰好可以接住毽子？ 16．（2026·陕西咸阳·一模）大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎．如图，积极响应号召回乡发展的小宇设计了一个大棚，它的构建纵切面的示意图可近似看作抛物线，为大棚左侧的一根立柱，点在水平地面上，，，且，以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，点、在轴上，且点在点的左侧，抛物线的对称轴为直线． (1)当与恰好相等时，求抛物线的表达式； (2)在（1）中的条件下，小宇想在大棚内线段上找一固定点，并设计一根支撑柱，使得与平行，请通过计算判断能否找到符合条件的固定点．若能，计算出的长；若不能，请说明理由． 函数与方程、不等式综合 考点10 1．（2026·陕西西安·一模）已知关于，的二元一次方程组的解为，如图，若直线（，为常数，且）与直线相交于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西宝鸡·一模）在反比例函数中，当时，随的增大而减小，且关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则所有满足条件的整数的值之和为（    ） A．7 B．6 C．5 D．3 函数与几何综合 考点12 1．（2026·陕西汉中·一模）如图，反比例函数的图象经过的顶点C，在轴负半轴上，点B的坐标为．若的面积为40，则反比例函数的表达式为_____________． 2．（2026·陕西西安·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过的顶点A，点B、C分别在x轴负半轴、y轴负半轴上，，则点A的坐标是____________． 3．（2026·陕西咸阳·一模）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，点B、C在x轴上，点D在y轴上，反比例函数（k为常数，且，）的图象经过点A，若点也在反比例函数的图象上，则的面积为______． 4．（2026·陕西咸阳·一模）如图，点A是反比例函数的图象上的动点，过点A分别作x轴、y轴的平行线，交反比例函数的图象于点B、C，连接，则的面积为______． 5．（2026·陕西西安·一模）如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以，为边，在第一象限内作矩形，将矩形翻折，使点B与原点O重合，折痕为，点C的对应点落在第四象限，过M点的反比例函数的图象恰好经过的中点Q，则点Q的坐标为________． 6．（2026·陕西·一模）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，点为抛物线上一动点（不与点重合），图中虚线是抛物线的对称轴． (1)求该二次函数的表达式； (2)若点在抛物线的对称轴上，是否存在点，使得以点为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 一次函数、二次函数与反比例函数结合 考点12 1．（2026·陕西西安·一模）在同一平面直角坐标系中，函数（为常数，且）和的图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西·一模）如图，二次函数的图象和直线交于两点，点在轴的负半轴上，且，设，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西西安·一模）已知正比例函数与反比例函数的图象相交，且其中一个交点的坐标为，则的值为________． 4．（2026·陕西渭南·一模）若正比例函数与反比例函数（k为常数，）图象的一个交点坐标为，则k的值为________． 5．（2026·陕西咸阳·一模）如图，正比例函数的图象与双曲线交于，两点，则点的坐标为______． 6．（2026·陕西·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象在第二象限交于点，则代数式的值为______． 7．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式及的值； (2)若为反比例函数图象上的点，且，求满足条件的点坐标． 8．（2026·陕西西安·一模）如图，在平面直角坐标系中，对称轴为直线的抛物线与直线的图象交于，两点，其中抛物线与轴交于点，已知． (1)求此抛物线的解析式； (2)点为抛物线第四象限部分上的一点，点是坐标平面内一点（点与点不重合），过点作轴交直线于点，求出当线段的长度最大时，使以、、为顶点的三角形与全等的点的坐标． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $