江西南昌市第十五中学2025-2026学年高二下学期5月学情检测数学试卷

绝密★启用前 08-调k分动三，t 高二年级5月学情检测 。=且，5 数学 试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.考查范围：选择性必修第一册占50%，选择性必修第二册第一章至第二章第三节占50%。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷 ,.点青（口 上无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 .C=,,5.胶送梁时(0T11, 1.过点(1,1)且方向向量为m=(2,3)的直线方程为 A.3x-2y-1=0 B.3x-2y+1=0 C.2x-3y-1=0 D.2x-3y+1=0 :,,k5 2.已知函数f(x)满足f'(8)=2,则m 8-2△x)-f8) △x A.4 B.-4 C.-2 D.2 3.若A(1,0,1),B(0,3,0),C(1,1,2),则点A到直线BC的距离为 A号 B② C.2 D.2 4.已知数列{a,}满足a,+aa1=4,4,=0.若an=a.,则正整数m的最小值是 ,(经下） A.1 B.2 C.3 D.4 n1 5.若二项式(a+2x)4的展开式中，x和x2的系数相同，则非零常数a= A.1 B.2 C.3 D.4 亡+=1的上顶点为A,右焦点为F,则以A为圆心，AP为半径的圆与E的交点个 6.记椭圆E:g4 数为 A.0 B.2 C.3 D.4 7.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4=a2S2,a1a2>0,a1a4a5=6a23a6,则a5= A.3 B.3√2 C.6 D.62 8.已知样本点(x1,y),(x2,y2),,(x。,yn)的经验回归直线l的方程为y=x+a,相关系数为r,样本 均值分别为x,少.现令山，=2x+1,,=-y+2(i=1,2,…,n).设新样本点（山，）的经验回归直线为 ',则下列命题为假命题的是 .积=0 含(%（列 附：样本相关系数r= ,经验回归方程y=x+à中斜率和截距的最小二乘估 （动客 娜带下关2/.无=￥洪假，1-=乙涉人弹状￥， 计公式分别为6化=0列 、生接，得风，数阅的同的个上姿中拿自的的金不个一李 a=y-bx. 等组含（名）2水为音麻5宇的数51来费器宇留1北票餐个1出厨 A.u与v的相关系数为-r B.l过(2x+1,2-y) 学暖的因，吴比身为总就 老凳嘶点罪女面，职字文出忌边苦端，代T下共，县小2共层本：黑答鼎，四 C的斜率为8 2m=,c2D,l'的截距为2-8描比业5（餐E)2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.来，「=d,1,等) 9.模型构建常需要进行正态检验.记随机变量X服从标准正态分布N(0,1),给定区间(m,n),若 P(m<X<n)<0.01,则称区间(m,n)具有较好构建度.则 附：若随机变量Y服从正态分布N(u,o2),则P(1Y-u|<o)=0.6827,P(|Y-u<2o)=0.9545, P(|Y-u<3o)=0.9973. A.P(X<0)=P(X>0) B.P(X<4)+P(X<-4)=1 C.区间(985,2026)具有较好构建度 D.区间(2,3)具有较好构建度 10.已知圆A:(x-a)2+y2=a2,圆B:x2+(y-2)2=a2,则下列说法正确的有 A.圆A过定点 2.E,8.(0.)上克码的1(06,0<1= :④出斯期：世0ù B.若圆A与直线x+3y-2=0相交，则a>-4√10 :行闭3平. C若圆4与圆：相切，则圆8的面积为行 )风/.子交3P)进的而9.-12419) D.对任意非零实数a,两圆存在与直线AB平行的公切线 11.对于数列{an},{b,},若对任意正整数n,a.<b1-bn|恒成立，则称{a.}是b。-有界数列，若 a+1=(n+1)a.,则称{a}是阶乘数列，则 A.对任意等差数列{an},存在等比数列bn}使得{a,}是b。-有界数列 B.对任意等比数列{an},存在等差数列{bn}使得{an}是b-有界数列 C.对任意等差数列{an},存在阶乘数列{bn}使得{an}是b。-有界数列 D.对任意阶乘数列{an},存在等比数列{bn}使得{a}是b.-有界数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.记抛物线y=2px(p>0),0为坐标原点，直线x=t与抛物线交于A,B两点，且AB引=12， LA0B=2,则p= 退0命比址。 1且.平均储言倾向(APS)是指任-收入水平上储蓄在收入中所占的比率，满足APS=,其中S为储 蓄，Y为收人.若S=Y-1,则当Y=3时，APS关于Y的瞬时变化率为 14.在一个不透明的盲盒中装有4个相同的圆球，分别标有数字1,2,3,4.现每次从中有放回地随机 摸出1个球，记录其上的数字.若要求记录的数字之和首次不小于5时即停止摸球，记此时的摸 球总次数为X,则X的数学期望EX= 心头时猫可. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)已知在公差为d的等差数列{an}中，a3=55,a6=115. c面1) (1)求{a}的通项公式；中送出的小睡若 2共，盟小弱，小彩共四本：瑞室，一 (2)若数列{bn}满足ab.an+1=1,求数列{bn}的前n项和. 的械数代验，伦己带怡恢放蹈 ￥.，厨列容.！.0以0公罪 ,行可当海落宝时动 :9,n/>m 心调1斟器： E(0=)F>1 1=->14+1s? 0<9=1>1八/ 复42其.51小可 110g产202， 合面.{面 -:当0国 16.(15分)已知双曲线E:云云=1(>0，b>0)上有两点A(2,0),B(3,5). 501 04 0=-11"用 (1)求E的方程； (2)过点(-4,0)的直线l与E交于M,N两点（异于点A),证明：直线AM与AW的斜率之积为 定值 1乎a17西 4111 苦抵头乐行一 67限，立一，y 球7g1 心资州 17.（15分)如图，三棱台ABC-AB,C,中，上、下底面均为正三角形，AB=3,A1B1=1,侧棱AA1⊥底面 ABC,且AA1=2. 侧部学民天单二高 .B命说」令，抗小，6头 :烈地领折 P0记的三英章二蒙生单一部二绿酷的 配最一茶出任韩：阻岛务生山 工置答千腿答连建其多C:长年，辰卦储5出部必叠至装，脑暴法 英（1)求异面直线AC1与A1B所成角的余弦值；登静鼠.总囊多责4甚出，棉典餐等四 多斯青盆 体9258中黑 (2)若点M在线段CC1上，且AM与平面A1BC,所成角的正弦值为 258,求CM, 拉民3 回变子老解在，启来换答是，数叁的号显秀其希鞭的尘全 目盛合料景：一含只，中页登个四啦出罂岳小希莎代种兵，念屡心磨，墨小多共圆本：圆登 的鬼圆 18.(17分)在等差数列{an}中，a1a3=5,a2a4=21. 写阳(8，S)=路话通调日付，安 (1)求 %2-a7 5-a 0={+-g89 0=1-5-1. 0=I+r2-r5d 0=w无-C (2)求a1; 87-{xL正-数1 (3)若a2<2a1,求{n·2}的前n项和. 1,=81瑞7游为 sa - 5-1 6于2阴，5..手)，0，uH,, 19.(17分)已知数列1a,满足4，=1,111是以2为首项，2为公差的等差数列 An+l an (1)求{an}的通项公式； (2)证明：(n+1)aa1-(n+2)aa2<an1≤na,-(n+1)aa+1 5n+1 (3)记Sn为{a,的前n项和，证明：当n≥2时，3m+n+ <Sn≤2- n n2-n+1 天@@t 比漫 色两可洲山版班： 01 H 高二年级5月学情检测 数学参考答案 1.【答案】A 【解折1由题遂直线斜率=子，于是直线方程为)一1(x-1).即3x-2-1=0故选A 2.【答案】B 【解折]四8-28》=-28+2A)8》-2y“《8)=-4故选B △x 2(-△x) 3.【答案】C 【解析】由AC=(0,1,1),BC=(1,-2,2)得AC·BC=0,故AC1BC,故点A到直线BC的距离|AC|=√+1P+下= √瓦.故选C 4.【答案】B 【解析】注意到aa+a+2=4,可得a+2=a,而a2=4≠a1,可得正整数m的最小值是2.故选B. 5.【答案】C 【解析】由题意可得x的系数为C4a32=8a3,x2的系数为Ca2·22=24a2,则有24a2=8a3,又由a≠0得a=3.故 选C 6.【答案】B 【解析】由半焦距c=8-4=2,A(0,2),故|4F|=√4+c=22,故圆的方程为x2+(y-2)2=8.联立 x2+(y-2)2=8, 解得y=-2(2+1)或y=2(2-1),由-2≤y≤2得y=2(√2-1)，结合对称性知有两个交点.故选B. x2+2y2=8, 7.【答案】D 【解折】记a,1的公比为9，由a%=0>0知g>0面8，=a,8,显然g=1不成立，放21=，91） 1-g 1-g 即a19=1+q.由a1a,a=6a,aa6,得ag'=6aig,即a9=6.联立 19=1+92,.9=2, 解得3故a=a9=62.故 a1g3=6, a1= 选D. 8.【答案】D 【解析】由已知样本均值性质可得新样本均值分别为u=2x+1与=-y+2,因为经验回归直线必过样本中心点 (u,v,所以新经验回归直线过点(2x+1,2-y),故B正确；因为u:-u=2(x-x)且：-v=-(y:-y),代入相关系数公 含(u,-m() -2g(x)(） 式可得新样本的相关系数'= 二=-r,故A正确；代入斜率公式可 √含(u-0)客()2√4客(x-)宫() 得新经验回归直线的斜率'= ”}2怎，放C正确：由阿归截矩公式可得新盈 含(u,-0) 4宫(x-x) 验间归直线的被距a=-6a=2-2(2x+1)=2-(G-)+=2-i+3,故D错误赦选D. 9.【答案】ABC(每选对1个得2分) 【解析】显然P(X<)=P(X>4),故A正确：由正态分布的对称性可得P(X<-4)=P(X>4),故P(X<4)+ P(X<-4)=P(X<4)+P(X>4)=1,故B正确；P(985<X<2026)<P(X>3)<P(1X|>3)=1-0.9973<0.01,故C正 确：P2<X<3)=PX<3a),PX<2a）_0973,09545=0.0214>0.01,赦D错误故选ABC 2 2 10.【答案】ACD(每选对1个得2分) 【解析】对于A,由(0-a2+02=2,可知圆A过定点(0,0)，放A正确：对于B,Aa,0),由相交得a-21al,解 +3 得a<2+2①或a2y而-2，故B错误；对于C,由两圆半径相同，故不可能内切，于是只能外切，而8(0,2. 9 9 故v公4=2，即。2=手，可得圆B的面积为心m= 3,故C正确；对于D,直线AB的方程为+号=1，即 2 2x+ay-2a=0,设与其平行的直线方程为2x+y-入=0.若其与两圆均相切，则 2a-Al_12a-A-lal,取a=2a± V4+a2 V4+a |a√4+a时等号成立，故D正确.故选ACD. 11.【答案】AC(每选对1个得3分) 【解析】对于A,记{an}公差为d,取bn=(a,+d+2)(4+d)“,此时b1-b,=(4+|d)“(3+|dl)·（a,+ ld+2),而lan|=la+(n-1)d≤|a+|dl(n-1),而|a+|d(n-1)<(4+d)"(3+|dl)(la1+ld|+2),可 得|a<bn1-bn1,故A正确；对于B记{bn}公差为d,显然b1-b,=d,此时取an=2”,则当n>d时，|an> 2la八d,故B错误；对于C,由累乘法易得bn=n!b1,故b1-bn|=nn!b,l,而an≤a1l+(n-1)ld,要 使|anlk|bn1-bnl,可令n·n!|b,n-1)ld>n[n!|b,-|d]>a,l,不妨取|b,=|a,+|d+1,则此不等 式成立，故C正确：对于D,设{bn}公七为q,bn=bg,则要求有n!|a,<lg-1川g川b,l,不妨考虑g>2且 9eN,即n!a,<(q-1)g-b,l而随着n增长，显然存在一个N,当n>N时，1x2x·9(9+1)··” 9·9·…·q 1,即n!>,此时取a-）6,得到矛盾，故D错误故选AC 12.【答案】3 【解析】令x=1得y=±2，又因为L40B=受，于是1=√，即1=2，放p=2印=6，解得p=3. 18【答案写 11 【解析】此时APS=Y- P=1-1 1 ,APS'(3)=i 33+△Y AY AY 3(3+A9 4I答案% 【解析】由题意知每次摸球得到数字1,2,3,4的概率均为4，摸球总次数X的所有可能取值为2,3,4,5.当X=2 时，表示前2次数字之和不小于5，此时摸球2次总基本事件数为4=16种，前2次数字之和严格小于5的情况 有(1.1)，(1,2)，(2.1)(1,3)，(3.1，(2.2)共6种，枚前2次数字之和不小于5的情况有16-6=10种.枚 P(X=2)66当X3时，表示前2次数字之和小于5且前3次数字之和不小于5，在前2次数字之和小 于5的6种情况中，若前2次和为2即(1,1)，第3次可取3,4共2种，若前2次和为3即(1,2)，(2,1)，第3次 可取2,3,4共2×3=6种，若前2次和为4即(1,3)，(3,1)，(2,2)，第3次可取1,2,3,4共3×4=12种，摸球3 2080 次总基本事件数为43=64种，满足条件的基本事件总数为2+6+12=20种，故P(X=3)= 4256:当X=4时， 表示前3次数字之和小于5且前4次数字之和不小于5，前3次数字之和小于5的情况有和为3的(1,1,1)以 及和为4的(1,1,2)，(1,2,1)，(2,1,1)共4种，若前3次和为3，第4次可取2,3,4共3种，若前3次和为4，第 4次可取1,2,3,4共3×4=12种，摸球4次总基本事件数为4=256种，满足条件的基本事件总数为3+12=15种， 15 故P(X=4)=56:当X=5时，表示前4次数字之和小于5且前5次数字之和不小于5，前4次数字之和小于5 的情况仅有和为4的(1,1,1,1)这1种，此时第5次取1,2,3,4均满足条件，摸球5次总基本事件数为4= 41 1024种，满足条件的基本事件总数为4种，故P(X=45不所以X的数学期望为x=2X03x8心+ 15 1320+240+60+5625 +5× 256 256 256 256 fa3=a1+2d=55, 15.解：1)由题意 2分)》 a6=a1+5d=115, a1=15, 解得 (4分) ld=20, 所以an=15+20(n-1)=20n-5.(6分 (2)设数列{bn}的前n项和为Tn, 因为a.6,a1=1,所以6，=1 111 a,a1(20咖-5)(20n+15)2020n-520n+15,(10分) 1/11,11,,1111、/11 所以7.-20535t555t…+20-520a+50X520n+5-30a+25(13分） 16.(1)解：由题意 (2分) 95 a26=1, a=2, 解得 (4分) b=2, 故E的方程为 王=1.(5分) 44 (2)证明：易知1的斜率不为0，设1的方程为x=my-4(m≠±1)，M(x1,y,),N(x2,y2),(6分) [x=my-4, 联立 可得(m2-1)y2-8my+12=0,(8分)》 x2-y2=4, 8m 则4=64m2-48(m2-1)>0,t-m2-w 12 m2-(10分) 故直线AM与AW的斜率之积立·2 yiY2 yty2 -22(m-6(m,-6ms-6m(,+,)+3612分) 12 1 12m-6m·8m+36(m2-1）-子(15分) 17.解：1)由侧棱AA,⊥底面ABC,且上、下底面均为正三角形，则以A为原点，以过点A垂直于平面A,B,BA的直 线为x轴，AB,AA,所在直线分别为y,z轴建立如下图所示的空间直角坐标系A-xz.(2分) B ◆1 由48=34B=14-2则400.0).c停74(0.0,2.80,3.0).3分) 则C停行=(03，-2》4分 则cos(AC,A,或= AC.AB2 x0+1 ×3+2×(-2) 2 6 AC lAB 5×√13 26 ,(5分) 故异面直线AC,与A,B所成角的余弦值为 √65 26(6分) 2自q04G-(.124c-5.分剂 设a-AcC0≤A≤1)，则0adi-(-5,A,2),=d+-325,A,2小(8分) 0知C-停分a-03,-2.(9分) 设平面A,BC,的法向量为n=(x,y,z), a…AC=5ty 则 +2=0, 2 n·A,B=3y-2z=0, 令y=6,得x=-25,z=9,故平面A,BC,的一个法向量为n=(-25,6,9).(10分)》 设直线AM与平面A,BC,所成的角为0， 则sin0=lcos(,nl=成nl 26y5小63+92n (11分) 1MIIml -53+2a √（-23)+62+92 |18A 9/258 V8A2-12λ+9·129 258 解得入子(5分) 此时引放)9 放CM的长度为3 二.(15分) 泥a,的公送为高云宁分) (2)由题意可得5=a(a1+2d),21=(a,+d)(a1+3d),(4分) 此时显然a,≠0，可得=引品小，5分) 则2=ada+-a2a点劉臣) +103.(1分) 75 即-a+10+84,@i+74a-75=0.ai=1,(8分) 所以a1=±1.(9分) (3)当a1=1时，a3=5,此时a2=3>2a1不符合题意，(10分) 当a1=-1时，a3=-5,此时a2=-3<2a1,符合题意，(11分) 故d=-3-(-1)=-2,an=-2n+1.(12分) 则a·2产=2，记n…2的前n项和为S, 则5=-2×子2+a(门(3分剂 上式果以宁字.=到以+2分)+a-(份n(份)门.4分) 两式相减得子3.=2x个[分+…n(份)] 图 号(2a+）),16分) 即8=8+ ）(分) 19.(1)解：由已知，数列11是首项为2、公差为2的等差数列， 所以11-2+(n-1)·2=2m.(2分) antl an 当2时，利用紫加法可得后位。)品+位》 =2a-1）+2(a-2）+*+2=2(a-1)2]a-=2-n(3分) 2 因为a,=1所以-1，则n2-+1即a, 7.（4分) 当a=1时a411,符合该式， 1 综上所述，数列{an}的通项公式为an= n2-n+ .(5分) 1 (2)证明：由(1)知a,n-n+先证不等式右侧a≤ma,-(n+1)ar n n+1 nn+l n2+n-1 由nan-(n+1)a.+1= (6分) n2-n+1(n+1)2-(n+1)+1n2-n+1n2+n+1(n2-nt1)(n2+n+1) 1 n2-n+1 叉a-2tn+i(m2-n+1)(n+n+1） 由于(n2+n-1)-(n2-n+1)=2n-2=2(n-1), 因为n∈N*,所以2(n-1)≥0. 由于分母恒为正数，故nan-(n+1)at1≥an1成立，当且仅当n=1时取等号.(8分) 再证不等式左侧(n+1)aat1-(n+2)a+2<a+1 n2+n-1 由na,-(n+l)a1(m2-n+1)(+n+1) (n+1)2+(n+1)-1 n2+3n+1 则(n+1)a-(n+2)a:[(a+1)2-(n+1)+1][(+1)2+(a+1)+1叮n+n+1)(m+3n+3 .(9分) 1 n2+3n+3 叉ar2+n+1(m+n+1)(m+3n+3) 由于(n2+3n+1)-(n2+3n+3)=-2,所以(n+1)a1-(n+2)a+2<a1成立.(10分) 综上所述，对任意n∈N“,都有(n+1)a1-(n+2)a+2<a+1≤nan-(n+1)an+,(11分) (3)证明：由(2)知，对于任意ieN·,有a1≤ia,-(计1)a+ 圆S,ataxtu,t+0,≤at02a+(2a,-3a+…+(n-)0-0,J2a,-no,宁2-+右侧不等团 得证.(14分) 又由(2)知，对于任意ieN·,有a1>i计1)a*1-(i+2)a*2: 则Sn=a1+a2ta3+…+an>a1+(2a2-3a3)+(3a3-4a4）+…+[nan-(n+1)an+1]=a1+2a2-(n+1)atl,(15分) 11 因为a:28-2+行故5， 5n+1 3n2+n+1 ,左侧不等式成立.(16分) 参上所述，当a2时，号2直成立(7分 n2-n+1