提分小卷限时练01（解答ABC三组，综合训练）（山东专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

提分小卷：解答题 限时训练01（A组+B组+C组） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16（8分）．计算和化简 (1)计算：． (2)化简：． 17（8分）．如图，点A、D、B、E在同一直线上，，，．求证：． 18（8分）．为进一步宣传垃圾分类知识，某校组织全校学生进行“垃圾分类知识测试”（满分100分）．现随机抽取部分学生的测试成绩x（单位：分）整理成A：，B：，C：，D：四个分数段，绘制成如下频数分布直方图和扇形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)抽取的学生的人数是________人，请补全频数分布直方图； (2)扇形统计图中A段学生所对的圆心角是________，抽取的学生的测试成绩的中位数在A，B，C，D中________段（填字母）； (3)若测试成绩在80分以上（含80分）定为“优秀”，该校有1150名学生，请你估计该校测试成绩“优秀”的学生人数． 19（8分）．如图，为了测量一个小树林的宽度，数学兴趣小组利用无人机进行辅助测量，在小树林边缘的A点，观测悬停在C处的无人机，此时在A处测得C的仰角为，无人机的飞行高度为；操控无人机的同学让无人机垂直上升悬停在D处，此时在B处测得D的仰角为．若点A，B，C，D在同一平面内，求小树林的宽的值．（结果精确到，参考数据：，，，，，） 20（10分）．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象相交于点． (1)求一次函数的解析式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集． 21（10分）．如图，点在的边上，经过点的与相交于点，点在上，且与相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若点是的中点，求的值． 22（10分）．问题探究 (1)如图，在中，，，点是的中点，点是上一动点，则的最小值为______； (2)如图，在等边中，，点，分别在边，上，且，连接，交于点，连接，的最小值是多少？ (3)问题解决：如图，一家养老院的平面示意图可抽象为直角梯形，经测量可得，，，老年公寓位于点处，且m，根据养老院规划，需要在边上建立一个半径为的餐厅，即半圆，并在半圆的三等分点处设置餐厅入口，在半圆与交点处设置餐厅出口，同时以直角梯形的边建设以点为入口的老年活动中心，因活动中心场地规划需求，要使．线段、是要修的两条道路，为节约成本，希望最小，试求最小值及此时的长． 23（13分）．二次函数的图象的对称轴为直线，点在二次函数的图像上． (1)求二次函数的表达式． (2)若该二次函数图象上的点向左平移8个单位长度后，所得的点也在该二次函数的图象上，求点的坐标． (3)将该二次函数的图象平移，使其顶点始终在直线上，则平移后所得二次函数的图象与轴交点的纵坐标是否存在最大值或者最小值？若存在，请求出该值；若不存在，请说明理由． （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16（8分）．计算： (1)； (2) 17（8分）．如图，在和中，点D在边上，，， ．求证：． 18（8分）．2026年央视马年春晚的舞台上，歌咏创意秀《贺花神》融合了动态舞美与传统非遗的国风盛宴，将“十二月花神”的东方浪漫具象化．某校举办了创意作品大赛，现从参赛的作品中随机抽取部分作品的成绩（百分制，单位：分）进行了整理、描述和分析，得到了下列不完整的统计表和统计图． 所抽取作品的成绩频数分布表 组别 作品成绩x（分） 频数 组内总成绩（分） 第1组 a 171 第2组 9 567 第3组 b 1119 第4组 21 1829 第5组 12 1150 根据统计图表提供的信息，解答下列问题： (1)本次抽取的作品有______份，b的值为______，所抽取作品成绩的中位数位于第______组； (2)求所抽取作品成绩的平均数； (3)若参加此次大赛的作品共有900份，请你估计成绩不低于80分的作品数． 19（8分）．如图1是一辆高空作业升降车在某次工作时的实景图，图2是它的示意图．已知点A，B，C，D，E，F，G在同一平面内，四边形为矩形，点B，C在地面l上，，是可以伸缩的起重臂，转动点E到l的距离为2米．当米，米，且时，操作平台G到l的距离为米，求的值．（注：） 20（10分）．在平面直角坐标系（如图），已知正比例函数的图像与反比例函数（）的图像相交于点，过点作轴的垂线，与反比例函数的图像相交于点． (1)求的值和反比例函数的解析式； (2)联结，点是的中点，联结，求的长． 21（10分）．如图，是外一点，与交于点，是上一点，，于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 22（10分）．【方法提炼】解答几何问题常常需要添辅助线，其中平移图形是重要的添辅助线策略． 【问题情境】 如图1，在正方形中，、，分别是，，上的点，于点．求证：小明在分析解题思路时想到了两种平移法： 方法1：平移线段使点与点重合，构造全等三角形； 方法2：平移线段使点与点重合，构造全等三角形； 【尝试应用】 (1)请按照小明的思路，选择其中一种方法进行证明； (2)如图2，正方形网格中，点，，，为格点，交于点则：的值为_________； (3)如图3，点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段，于点，． ①求的度数； ②连接交于点，直接写出的值． 23（13分）．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过和． (1)求该抛物线的解析式． (2)将线段平移，平移后对应点和都落在抛物线上，求点的坐标． (3)当时，二次函数的最小值为，请直接写出t的值． 解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16（8分）．计算及化简： (1)计算：； (2)化简：． 17（8分）．如图，在中，，分别为，的中点，点在的延长线上，且，点在边上，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，，求的长． 18（8分）．为了解2025年前三季度“长三角”41市经济运行情况，兴趣小组通过网络查询得知，经济增速最高为，最低为．他们将经济增速按照查询的结果进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．2025年前三季度“长三角”各市经济增速分布表： 分类 城市数量 增长率（精确到） A 7 B 14 C 11 D 9 b．B组具体数据如下表： 城市 南京 常州 嘉兴 六安 泰州 安庆 滁州 杭州 南通 扬州 蚌埠 池州 苏州 上海 增速 c．2025年前三季度，全国经济平均增速为． (1)本次调查中，经济增速的中位数落在___________组（填“A”“B”“C”或“D”）． (2)从表中数据可知，长三角41市中，前三季度经济增速超过全国平均水平的占长三角城市总数百分比为___________（精确到）； (3)现从B组增长率为的四个城市中，任选两个进行调查研究，通过画树状图或列表法求选中的两个城市是南京和六安的概率． 19（8分）．淋浴房喷头位置的数学建模探究 题目背景：为优化淋浴体验，某品牌淋浴房设计了可调节喷头系统．请结合几何原理与实际测量数据，解决以下问题： 已知条件 喷头结构 手柄，与墙面的夹角（称为“调整角”）．水流射线，落点需满足竖直站立者的“舒适喷淋点”要求．    淋浴房参数 矩形是淋浴房的截面图，．固定站立点满足．    人体工程学定义 “舒适喷淋点”（高度=身高）．已知父亲身高，小明身高． 参考数据 问题解决 (1)当父亲使用喷头时，调整角，水流恰好落于其“舒适喷淋点”处．求：点到地面的距离． (2)父亲使用后，固定器位置不变（长度固定），调整角改为．判断：小明站立于处时，水流是否能喷到他的“舒适喷淋点”？通过计算说明理由．（计算结果精确到个位） 20（10分）．如图，直线与y轴交于A点，与反比例函数的图象交于点M，过M作轴于点H，且． (1)求反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上的点，在y轴上是否存在点P，使得最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 21（10分）．如图，在中，，以为直径作．交于点，是的切线且交于点．延长交于点，半径，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 22（10分）．综合与实践 图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，在研究三角形的旋转过程中，发现下列问题． (1)【观察猜想】 如图1，在中，，，点是平面内不与点，重合的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则的值是___________，直线与直线相交所成的较小角的度数是___________； (2)【类比探究】 如图2，点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段于点． ①求的度数； ②连接交于点，若，求； (3)【拓展延伸】 如图3，中，，，，分别是，的中点，连接．如图4，将绕着点顺时针旋转角度交于点，连接，射线交于点．若射线将分成的两个角满足，求的值． 23（13分）．代数推理 我们约定：若一个点的纵坐标是横坐标的一半，则称这个点为“减半点”，若一个函数图象上至少存在一个“减半点”，则称该函数为“减半函数”． (1)函数是“减半函数”吗？如果是，请求出它的一对“减半点”，如果不是，请说明理由； (2)求函数图像上的“减半点”； (3)若抛物线：图像上存在唯一的“减半点”． ①求抛物线的解析式； ②将抛物线向上平移个单位长度，得到新抛物线，作直线交抛物线于点，作直线交抛物线于点，连接，若直线的“减半点”恰好为线段的中点，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 提分小卷：解答题 限时训练01（A组+B组+C组） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16（8分）．计算和化简 (1)计算：． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 17（8分）．如图，点A、D、B、E在同一直线上，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】先得出，，再证出即可得证． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 18（8分）．为进一步宣传垃圾分类知识，某校组织全校学生进行“垃圾分类知识测试”（满分100分）．现随机抽取部分学生的测试成绩x（单位：分）整理成A：，B：，C：，D：四个分数段，绘制成如下频数分布直方图和扇形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)抽取的学生的人数是________人，请补全频数分布直方图； (2)扇形统计图中A段学生所对的圆心角是________，抽取的学生的测试成绩的中位数在A，B，C，D中________段（填字母）； (3)若测试成绩在80分以上（含80分）定为“优秀”，该校有1150名学生，请你估计该校测试成绩“优秀”的学生人数． 【答案】(1)50，见解析 (2)72，C (3)598人 【分析】（1）用C组人数除以占比求出抽取的学生的人数，然后求出B组人数，然后补全频数分布直方图即可； （2）用乘以A组占比即可求出圆心角；根据中位数的定义求解； （3）利用样本估计总体求解． 【详解】（1）解：抽取的学生的人数是（人）， ∴B组人数为（人）， 补全频数分布直方图如下： （2）解：扇形统计图中A段学生所对的圆心角是； ∵共有50个数据， ∴中位数是第25个和第26个数据的平均数， ∵A，B组的和为，C组人数为21， ∴第25个数，第26个数都落在C组； （3）解：（人）， 答：估计该校测试成绩“优秀”的学生人数为598人． 19（8分）．如图，为了测量一个小树林的宽度，数学兴趣小组利用无人机进行辅助测量，在小树林边缘的A点，观测悬停在C处的无人机，此时在A处测得C的仰角为，无人机的飞行高度为；操控无人机的同学让无人机垂直上升悬停在D处，此时在B处测得D的仰角为．若点A，B，C，D在同一平面内，求小树林的宽的值．（结果精确到，参考数据：，，，，，） 【答案】小树林的宽约为 【分析】延长交延长线于点E．在中，根据求出，在中，根据，求出，然后根据求解即可． 【详解】解：如答图，延长交延长线于点E． ∴． 由题意知，在中，，， ∵， ∴． 在中，，， ∵， ∴． ∴． 答：小树林的宽约为． 20（10分）．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象相交于点． (1)求一次函数的解析式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先求出A，B的坐标，再用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）令，解得，再结合，观察图象即可求得不等式的解集． 【详解】（1）解：∵在反比例函数的图象上， ∴，解得， ∴， 又∵在一次函数的图象上， ∴，解得， ∴； （2）解：∵当时，即解得， 又∵， 由图象可知的解集为． 21（10分）．如图，点在的边上，经过点的与相交于点，点在上，且与相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若点是的中点，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明，即可得证； （2）设，半径为，则，，在中，勾股定理求出，再利用正弦的定义，进行求解即可. 【详解】（1）证明：如图1，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线 （2）解：设，半径为，则，， 在中，， ， ， ， 在中，， . 22（10分）．问题探究 (1)如图，在中，，，点是的中点，点是上一动点，则的最小值为______； (2)如图，在等边中，，点，分别在边，上，且，连接，交于点，连接，的最小值是多少？ (3)问题解决：如图，一家养老院的平面示意图可抽象为直角梯形，经测量可得，，，老年公寓位于点处，且m，根据养老院规划，需要在边上建立一个半径为的餐厅，即半圆，并在半圆的三等分点处设置餐厅入口，在半圆与交点处设置餐厅出口，同时以直角梯形的边建设以点为入口的老年活动中心，因活动中心场地规划需求，要使．线段、是要修的两条道路，为节约成本，希望最小，试求最小值及此时的长． 【答案】(1) (2) (3)的最小值为，此时的长度为 【分析】（1）利用轴对称性质，将点关于对称，把转化为两点间线段，结合直角三角形中位线与勾股定理计算最小值； （2）先通过全等三角形证明，确定点的运动轨迹为一段圆弧，再利用圆外一点到圆上点的最短距离（即−半径）求出的最小值； （3）通过平移变换将转化为，结合轴对称将转化为，把转化为，利用圆的轨迹（，在以为直径的半圆上），结合勾股定理与中位线性质，求出的最小值及此时的长度． 【详解】（1）解：如图，作点关于的对称点，连接，此时的最小值为 取的中点，连接， ∵点是的中点， ， ， ； （2）解：如图，是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ， 点的运动轨迹是为圆心，为半径的弧上运动， 其中， 过点作于点， 由垂径定理，，， 在中，， 连接交于，当点与重合时，的值最小，最小值； （3）解：如左图，连接，，作，为垂足． 如图，平移线段至，点与点重合，以为对称轴作点的对称点，交于点． 根据线段平移的性质，四边形为平行四边形， ∴，， 设的中点为，由于点，的相对位置固定不变，动点的轨迹是以为直径的半圆，此时半径， 且点在以为圆心，为半径的圆上运动， 连接、， ，即， 当且仅当，，，四点共线时，等号成立， 的最小值为， 的最小值为，即为的最小值， 在如图中，半圆形餐厅的半径，， ， ，， 根据平移的性质，点移至点，相当于先向左平移了长度，再向上平移了长度， ， 根据轴对称的性质，， 由平移得：， 过点作的平行线交的延长线于，得四边形为矩形， ，， ， 在中，， 最小值为：， 即的最小值为， 设和的交点， ，， 为中位线，， 当取最小值时，动点位置为和的交点， 故的最小值为，此时的长度为． 23（13分）．二次函数的图象的对称轴为直线，点在二次函数的图像上． (1)求二次函数的表达式． (2)若该二次函数图象上的点向左平移8个单位长度后，所得的点也在该二次函数的图象上，求点的坐标． (3)将该二次函数的图象平移，使其顶点始终在直线上，则平移后所得二次函数的图象与轴交点的纵坐标是否存在最大值或者最小值？若存在，请求出该值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在最小值，最小值为 【分析】（1）利用二次函数对称轴公式和点A的坐标，列出关于a，b的方程组，求解得到二次函数表达式． （2）设点P的坐标为，则点，根据点P和都在二次函数的图象上，则列出关于m，n的方程组求解即可得出点P的坐标． （3）则平移后二次函数表达式为，令，则，再根据二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可知， 解得， 则二次函数的解析式为：． （2）解：设点P的坐标为， 则点， ∵点P和都在二次函数的图象上， ∴， 解得， ∴． （3）解：∵，平移后的二次函数顶点始终在直线上， ∴设平移后的顶点坐标为， 则平移后二次函数表达式为， 令，则， ∵， ∴抛物线开口向上，有最小值， ∴当时，． （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16（8分）．计算： (1)； (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）首先计算绝对值，立方根，有理数的乘方和特殊角的三角函数值，然后计算加减； （2）根据分式的混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 17（8分）．如图，在和中，点D在边上，，， ．求证：． 【答案】见解析 【分析】由平行线的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出． 【详解】证明：， ． ，， ， ． 18（8分）．2026年央视马年春晚的舞台上，歌咏创意秀《贺花神》融合了动态舞美与传统非遗的国风盛宴，将“十二月花神”的东方浪漫具象化．某校举办了创意作品大赛，现从参赛的作品中随机抽取部分作品的成绩（百分制，单位：分）进行了整理、描述和分析，得到了下列不完整的统计表和统计图． 所抽取作品的成绩频数分布表 组别 作品成绩x（分） 频数 组内总成绩（分） 第1组 a 171 第2组 9 567 第3组 b 1119 第4组 21 1829 第5组 12 1150 根据统计图表提供的信息，解答下列问题： (1)本次抽取的作品有______份，b的值为______，所抽取作品成绩的中位数位于第______组； (2)求所抽取作品成绩的平均数； (3)若参加此次大赛的作品共有900份，请你估计成绩不低于80分的作品数． 【答案】(1)60；15；4 (2)80.6分 (3)495份 【分析】（1）扇形中某项目所占百分数等于频数除以样本容量，频数等于样本容量乘以所占百分数，根据中位数的定义，解答即可； （2）利用平均数的定义求解即可； （3）利用样本估计总体思想求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得本次抽取的作品有：， 根据题意，得第1组的份数为：（份）， 故（份） 中位数是第30个，第31个数据的平均数， 故中位数位于第4组． （2）解：（分）． 答：所抽取作品成绩的平均数为80.6分． （3）解：（份）． 答：成绩不低于80分的作品数大约是495份． 19（8分）．如图1是一辆高空作业升降车在某次工作时的实景图，图2是它的示意图．已知点A，B，C，D，E，F，G在同一平面内，四边形为矩形，点B，C在地面l上，，是可以伸缩的起重臂，转动点E到l的距离为2米．当米，米，且时，操作平台G到l的距离为米，求的值．（注：） 【答案】 【分析】过点G作于点H，过点F分别作于点M，交于点P，于点N，解得到，证明四边形和四边形都是矩形，得到米，， 则米；证明；解得到米，则米，据此可得，可证明，据此可得答案． 【详解】解：如图，过点G作于点H，过点F分别作于点M，交于点P，于点N， 则， 在中，，， ∴米； ∵四边形为矩形，点B，C在地面l上， ∴，， ∴， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，， ∵转动点E到l的距离为2米， ∴米， ∴米； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 在中，米， ∴， ∴米， ∵操作平台G到l的距离为米， ∴米， ∴， ∴； ∵，且， ∴， ∴． 20（10分）．在平面直角坐标系（如图），已知正比例函数的图像与反比例函数（）的图像相交于点，过点作轴的垂线，与反比例函数的图像相交于点． (1)求的值和反比例函数的解析式； (2)联结，点是的中点，联结，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先求出m，再待定系数法求解析式； （2）先求出点C的坐标，再利用直角三角形斜边中线求的长． 【详解】（1）解：把代入，得． ∴，把代入，得． ∴反比例函数解析式为． （2）把代入，得． ∴．∵，∴． 又∵轴，∴． 在中，∵点是的中点， ∴， ∵，∴． 21（10分）．如图，是外一点，与交于点，是上一点，，于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）延长交于点，连接，根据圆周角定理，垂径定理，等弧对等弦，等边对等角推出，，根据，进而得到，即可得证； （2）设的半径为，则，然后利用相似三角形的性质求解． 【详解】（1）证明：延长交于点，连接，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 又∵为半径， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， 设的半径为，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 故的半径为5． 22（10分）．【方法提炼】解答几何问题常常需要添辅助线，其中平移图形是重要的添辅助线策略． 【问题情境】 如图1，在正方形中，、，分别是，，上的点，于点．求证：小明在分析解题思路时想到了两种平移法： 方法1：平移线段使点与点重合，构造全等三角形； 方法2：平移线段使点与点重合，构造全等三角形； 【尝试应用】 (1)请按照小明的思路，选择其中一种方法进行证明； (2)如图2，正方形网格中，点，，，为格点，交于点则：的值为_________； (3)如图3，点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段，于点，． ①求的度数； ②连接交于点，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；② 【分析】（1）方法1：平移线段至交于点，证明四边形是平行四边形，得出，再证明，即可得出结论； 方法2：平移线段至交于点，则四边形是矩形，再证明，即可得出结论； （2）将线段向右平移至处，使得点与点重合，连接，设正方形网格的边长为单位1，由勾股定理求得，，，得出，则，由即可得出结果； （3）①平移线段至处，连接，由证得 ，得出，，证明 ，得出 ，即可得出结果； ②证明，得出即可求解． 【详解】（1）(1)证明：方法1：平移线段至交于点，如图， 由平移的性质得， 四边形是正方形， ，°，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 方法2：平移线段至交于点，如图， 则四边形是矩形，， ，， 四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：将线段向右平移至处，使得点与点重合，连接，如图， ， 设正方形网格中小正方形的边长为单位1， 则，，，，，， 由勾股定理可得，，，， ， 即， 为直角三角形，， ； （3）解：①平移线段至处，连接，如图， 则，四边形是平行四边形， ， 四边形与四边形都是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ； ②如图， 为正方形的对角线，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查全等三角形的判定与性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，掌握以上知识点是解题的关键． 23（13分）．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过和． (1)求该抛物线的解析式． (2)将线段平移，平移后对应点和都落在抛物线上，求点的坐标． (3)当时，二次函数的最小值为，请直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3)或1 【分析】（1）将和代入求解即可； （2）设，由可知，再将代入函数解析式求解即可； （3）分，，三种情况，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：抛物线经过和， ， 解得， 该抛物线的解析式为； （2）解：设， ， ， ， 点落在抛物线上， ， 解得， ， ； （3）解：， 抛物线的对称轴是直线， 若，即， 当时，二次函数的最小值为， ， 解得，（舍去）； 若，即， 当时，二次函数的最小值为，不合题意，舍去； 若， 当时，二次函数的最小值为， ， 解得，（舍去）； 综上所述，t的值为或1． 【点睛】此类问题通常要根据对称轴与、t的不同位置进行分类讨论． 解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16（8分）．计算及化简： (1)计算：； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用绝对值、算术平方根、零次幂化简，然后再计算即可； （2）先运用完全平方公式、平方差公式展开，然后再合并同类项即可． 【详解】（1）解：   ． （2）解： ． 17（8分）．如图，在中，，分别为，的中点，点在的延长线上，且，点在边上，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形中位线定理先得到，然后即可证明四边形是平行四边形，再根据邻边相等即可证明其为菱形； （2）连接与交于点，先根据三角形中位线定理求解，即可求解，然后根据菱形得到，，再根据角直角三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵，分别为，的中点， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：连接与交于点， ∵，分别为，的中点， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 18（8分）．为了解2025年前三季度“长三角”41市经济运行情况，兴趣小组通过网络查询得知，经济增速最高为，最低为．他们将经济增速按照查询的结果进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．2025年前三季度“长三角”各市经济增速分布表： 分类 城市数量 增长率（精确到） A 7 B 14 C 11 D 9 b．B组具体数据如下表： 城市 南京 常州 嘉兴 六安 泰州 安庆 滁州 杭州 南通 扬州 蚌埠 池州 苏州 上海 增速 c．2025年前三季度，全国经济平均增速为． (1)本次调查中，经济增速的中位数落在___________组（填“A”“B”“C”或“D”）． (2)从表中数据可知，长三角41市中，前三季度经济增速超过全国平均水平的占长三角城市总数百分比为___________（精确到）； (3)现从B组增长率为的四个城市中，任选两个进行调查研究，通过画树状图或列表法求选中的两个城市是南京和六安的概率． 【答案】(1)B (2) (3) 【分析】（1）根据中位数的定义解答即可； （2）得出前三季度经济增速超过全国平均水平的城市数，除以被调查的城市数可得结论； （3）分别用A、B、C、D表示南京、常州、嘉兴和六安，画出树状图，得出所有等可能的结果数，和选中的两个城市是南京和六安的结果数，再用概率公式计算出概率即可． 【详解】（1）解：把41个数据按从小到大的顺序排列，最中间的是第21个数据， 而A类与B类数量和， 所以，在本次调查中，经济增速的中位数落在B组； （2）解：前三季度经济增速超过全国平均水平的占长三角城市总数百分比为：； （3）解：分别用A、B、C、D表示南京、常州、嘉兴和六安，画树状图如下： 由树状图可得，共有12种等可能的结果，其中选中的两个城市是南京和六安的结果数有2种， 所以，选中的两个城市是南京和六安的概率为． 19（8分）．淋浴房喷头位置的数学建模探究 题目背景：为优化淋浴体验，某品牌淋浴房设计了可调节喷头系统．请结合几何原理与实际测量数据，解决以下问题： 已知条件 喷头结构 手柄，与墙面的夹角（称为“调整角”）．水流射线，落点需满足竖直站立者的“舒适喷淋点”要求．    淋浴房参数 矩形是淋浴房的截面图，．固定站立点满足．    人体工程学定义 “舒适喷淋点”（高度=身高）．已知父亲身高，小明身高． 参考数据 问题解决 (1)当父亲使用喷头时，调整角，水流恰好落于其“舒适喷淋点”处．求：点到地面的距离． (2)父亲使用后，固定器位置不变（长度固定），调整角改为．判断：小明站立于处时，水流是否能喷到他的“舒适喷淋点”？通过计算说明理由．（计算结果精确到个位） 【答案】(1)； (2)水流可以喷在小明的“舒适喷淋点”处．理由见解析 【分析】（1）作于点N，延长交于点M，利用的正弦值和余弦值可得和的长度，进而可得的长度，那么根据的正切值可得的长度，那么的长度即为的长度减去的长度； （2）利用的正弦值和余弦值可得和的长度，进而可得的长度，那么根据的正切值可得的长度，那么的长度即为的长度减去的长度，再比较即可． 【详解】（1）解：作于点N，延长交于点M，则， ∵爸爸身高是，此时水流正好喷在爸爸的“舒适喷淋点”C处， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：点A到地面的距离约为； （2）解：当时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵小明的身高是， ∴小明的舒适距离， ∴水流可以喷在小明的“舒适喷淋点”处． 20（10分）．如图，直线与y轴交于A点，与反比例函数的图象交于点M，过M作轴于点H，且． (1)求反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上的点，在y轴上是否存在点P，使得最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出点A的坐标得到，的长，解直角三角形求出的长，则可求出点M的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）求出点N的坐标，连接，根据，得到，则当P、M、N三点共线时，有最小值，最小值为，利用两点间的距离公式求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， ∴； 在中，， ∴， ∵轴， ∴点M的横坐标为2， 在中，当时，， ∴， 把点M的坐标代入得，解得， ∴反比例函数的表达式； （2）解：在中，当时，， ∴； 如图所示，连接， ∵， ∴， ∴当P、M、N三点共线时，有最小值，最小值为， ∵，， ∴， ∴的最小值为． 21（10分）．如图，在中，，以为直径作．交于点，是的切线且交于点．延长交于点，半径，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，易得 ，由等腰三角形的三线合一得到 ，即点为中点，推出是的中位线，，根据为的切线，推出，证明，即可证明； （2）证明，得到，在中，设，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， 为的直径， ， ，即点为中点， ，即点为中点， 是的中位线， ， 又为的切线， ， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）得 ， 又 ， ， ， ， ，即， 在中，设， ， ， ， ， （负值舍去）， ． 22（10分）．综合与实践 图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，在研究三角形的旋转过程中，发现下列问题． (1)【观察猜想】 如图1，在中，，，点是平面内不与点，重合的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则的值是___________，直线与直线相交所成的较小角的度数是___________； (2)【类比探究】 如图2，点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段于点． ①求的度数； ②连接交于点，若，求； (3)【拓展延伸】 如图3，中，，，，分别是，的中点，连接．如图4，将绕着点顺时针旋转角度交于点，连接，射线交于点．若射线将分成的两个角满足，求的值． 【答案】(1)； (2)①；②； (3) 【分析】（1）根据题意可得和为等边三角形，结合角的和差可得，利用全等三角形的性质可得，结合三角形内角和可得直线与直线相交所成的较小角的度数． （2）①连接，根据正方形的性质可得， ，证明，根据相似三角形的性质可得． ②连接交于点，根据正方形的性质可得，进而证明，利用相似三角形的性质可得， 进而得出． （3）连接，根据题意可利用中位线定理和等腰三角形的性质，得，，， ，根据平行线的性质可得，根据三角形内角和可得，根据勾股定理即可求得，由题意可知，，直线交于点，直线交于点，过点作垂线，垂足为，直线交于点，连接，根据相似三角形的性质和判定，勾股定理，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴为等边三角形， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴如图，延长交于点，则直线与直线相交所成的较小角的度数是：． （2）解：①如图，连接，交与点， ∵四边形是正方形， ∴，且，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． ②解：补充图，如图所示： ∵是正方形的对角线， ∴， 由①可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：连接，如图所示： ∵，点、分别是、的中点， ∴是的中位线，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 射线将分成的两个角， ， 旋转后，直线交于点，直线交于点，过点作垂线，垂足为，直线交于点，连接，如图所示： ∵， ∴， 又∵，，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则，，， ∵ ∴， 又∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：，（舍）， ． 23（13分）．代数推理 我们约定：若一个点的纵坐标是横坐标的一半，则称这个点为“减半点”，若一个函数图象上至少存在一个“减半点”，则称该函数为“减半函数”． (1)函数是“减半函数”吗？如果是，请求出它的一对“减半点”，如果不是，请说明理由； (2)求函数图像上的“减半点”； (3)若抛物线：图像上存在唯一的“减半点”． ①求抛物线的解析式； ②将抛物线向上平移个单位长度，得到新抛物线，作直线交抛物线于点，作直线交抛物线于点，连接，若直线的“减半点”恰好为线段的中点，求的值． 【答案】(1)不是“减半函数”，理由见解析 (2)和 (3)①；． 【分析】（1）假设是“减半函数”，则其上至少存在一点，然后将代入函数得到方程，再根据方程根的情况判断即可； （2）设函数图像上的“减半点”的坐标为，然后将代入函数得到方程并求解得到b的值，进而确定“减半点”的坐标； （3）①设抛物线：图像上存在唯一的“减半点”的坐标为，然后将代入函数得到方程，然后分和两种情况，求得m的值并判断是否满足题意，再代入函数解析式即可解答；②先求出抛物线 H的解析式，进而确定A坐标为 ，点B坐标为，则其中点坐标为，再根据“减半点”的定义列方程求解即可． 【详解】（1）解：不是“减半函数”，理由如下： 假设是“减半函数”，则其上至少存在一点， 将点代入得：，即， ∴该方程无解，即该函数图像上不存在 “减半点”， ∴函数不是“减半函数”． （2）解：设函数图像上的“减半点”的坐标为， 将代入得：，解得：或， 当时，，即“减半点”坐标为； 当时，，即“减半点”坐标为． 综上，函数图像上的“减半点”的坐标为和． （3）解：①设抛物线：图像上存在唯一的“减半点”的坐标为， 将代入得：， 整理得：， ∵图像上存在唯一的 “减半点”，所以该方程有唯一解． ∴当时，即，不是抛物线，不符合题意； 当时，，解得：，符合题意； ∴抛物线的解析式 代入抛物线方程：，即． ②抛物线 G 向上平移 个单位得到抛物线 H： ​， ∴直线与 H 的交点A坐标为 直线与 H 的交点B坐标为 ，即， ∴线段 AB 的中点坐标为，即， ∵直线的“减半点”恰好为线段的中点， ∴，解得： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $