提分小卷限时练02（解答ABC三组，综合训练）（山东专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦中考高频解答题型，以代数、几何、统计跨模块整合为核心，通过分层限时训练提升综合解题能力，渗透抽象能力、推理能力与数据意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数基础|2题|计算求值与分式方程|数与式的运算及化简求值| |几何证明|2题|平行四边形及切线证明|平面图形性质与判定的推理应用| |统计应用|2题|BMI及小麦株高数据分析|数据收集整理与样本估计总体| |解直角三角形|2题|坡度与仰角实际问题|三角函数在几何计算中的应用| |函数综合|3题|一次函数与反比例函数综合|函数图象交点及面积计算| |圆的综合|2题|切线证明与弧长计算|圆的性质与几何图形结合| |几何变换|2题|旋转与平移探究|图形变换性质及动态问题分析| |二次函数|2题|抛物线解析式与动点问题|函数与几何综合及最值探究|

提分小卷：解答题 限时训练02（A组+B组+C组） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16（8分）．计算或求值 (1)计算：； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)8 (2)， 【分析】（1）分别计算立方根、负整数次幂，绝对值，再进行加减运算； （2）先将括号内式子通分，变除法为乘法，约分化简，最后将a的值代入计算即可． 【详解】（1）解：原式 ， （2）解：原式 ， 当时，原式． 17（8分）．如图，平分，且，点在边上，且，连接，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据角平分线的性质得到，证明，从而得出结论． 【详解】证明：平分， ， 在和中， ， ， ． 18（8分）．“健康第一”是苏州市教育局2026年春季开展的一项以学生身心健康为核心的教育主题行动，旨在落实体育强身、心理润心、近视防控、睡眠管理等工作，促进学生全面健康成长．某数学学习小组为了解本校九年级学生的健康情况，开展了相关调查活动，随机抽取了部分学生调查他们身体质量指数“”数据，其计算公式为（m表示体重，单位：千克；表示身高，单位：米）．标准见表： 的范围 健康类型 体重过低 正常 超重 肥胖 【收集数据】随机抽取该校部分学生，测算出他们的数据组成样本． 【整理数据】将学生的数据按照以下标准分成A，B，C，D四组进行整理，如下表： 类别 A B C D 体重情况 过低 正常 超重 肥胖 人数（人）      36 9 3 【描述数据】根据学生的BMI数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 【分析数据】根据以上信息，解答下列问题： (1)参与本次调查的学生人数为__________人； (2)补全条形统计图； (3)若该校九年级共有600名学生，请估计身体质量指数正常的学生人数． 【答案】(1)60 (2)见解析 (3)360名 【分析】（1）用D类别的人数除以其人数占比即可求出参与本次调查的学生人数； （2）求出A类别的人数，再补全统计图即可； （3）用600乘以样本中身体质量指数正常的学生人数占比即可得到答案． 【详解】（1）解：人， ∴参与本次调查的学生人数为60人； （2）解：A类别的人数为人， 补全统计图如下： （3）解：名， 答：估计身体质量指数正常的学生人数为360名． 19（8分）．暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底处出发，先步行到达处，再从处坐缆车到达山顶处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度在同一平面内．（参考数据：） (1)求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； (2)求缆车的行驶路线的长（结果取整数）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，根据正弦的定义求出； （2）过点作，根据矩形的性质求出，求出，再根据正弦的定义求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作 ， 在中，，， 则． 答：小明一家步行上升的垂直高度约为． （2）解：如图，过点作， 根据题意，可知四边形为矩形， ， ， ， 在中，， 则． 答：缆车的行驶路线的长约为． 20（10分）．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴相交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若，求的面积． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数的解析式为 ； (2)的面积为． 【分析】（1）先将点坐标代入反比例函数解析式求出的值，再根据求出的反比例函数解析式求出点坐标，将点和点坐标代入一次函数解析式求出、的值即可得解； （2）由一次函数的图象与轴相交于点求出点坐标，再根据推得点坐标，进而结合点和点坐标即可求出的面积． 【详解】（1）解：在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为 ； 也在反比例函数的图象上， ， 即， ，在一次函数的图象上， ， 解得， 即一次函数解析式为． （2）解：一次函数的图象与轴相交于点， ， 即， ， 又，， ． 21（10分）．等腰中，，点为边中点，如图1，以为圆心作圆与相切于点． (1)求证：是的切线； (2)如图2，点为上一点，，连接并延长交于点．若半径为3，求弧的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作于点，连接，，证明，求得，据此即可证明是的切线； （2）连接，利用切线的性质结合圆周角定理求得，再利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）证明：作于点，连接，， ∵，点为边中点， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴，即是的半径， ∴是的切线； （2）解：连接，， ∵是的切线，， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵半径为3， ∴弧的长度． 22（10分）．【综合探究】 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为． (1)【初步感知】如图1，连接，，将三角形纸片绕点旋转，求的值； (2)【深入探究】如图2，在三角形纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长； (3)【拓展延伸】在三角形纸片绕点旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以为直角边的直角三角形．若能，直接写出线段的长度；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能，的长是或 【分析】（1）证明即可解答； （2）如图， 通过延长交于点，连接，得到四边形为矩形，设，先根据相似得，再证明三角形全等得，由勾股定理列方程即可解答； （3）分两种情况：如图和图，分别根据相似三角形和勾股定理即可解答． 【详解】（1）解： ∴， 由旋转得：， ， ， ∴； （2）如图2， 延长交于，连接交于， 由（1）知：， ∴， ∵是中线，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形， ∴，， ∵， ∴， 设， ∵， ， ∴， ， ， ，， ∴， ， 由勾股定理得：，即 解得， ； ∴ （3）分两种情况：①如图3，，过点作于，过点作于， ， ∴四边形是矩形， ， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ，即 ， ， 中，， ， 解得：(负值舍)， ∵， 即 ， ； ②如图，，过点作于， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， 由勾股定理得：； 综上，的长是或． 23（13分）．在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过两点，点P为第一象限抛物线上不与点B重合的一动点，作轴于点D，交直线于点C，设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，当点C为中点时，求m的值； (3)令． ①求d关于m的函数解析式； ②当d随m的增大而减小时，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；②或 【分析】本题考查了二次函数综合． （1）用待定系数法即可解答； （2）求出直线解析式，设，则， 根据轴于点D，点C为中点，列出等式，即可解答； （3）①先求出抛物线与x轴正半轴的交点坐标，再进行分类讨论即可；②根据①中的解析式，结合二次函数的增减性进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设直线解析式为， 将点代入得：， 解得：， ∴直线解析式为， 设，则， ∵轴于点D，点C为中点， ∴， 解得：（负值舍去）； （3）解：①当时， 解得：（负值舍去）， ∴抛物线交x轴正半轴于点， 设，则， ， 当时，，， ； 当时，，， ； 当时，，， ， 综上：； ②当时，， 开口向下，对称轴为直线， ∴当d随m的增大而减小； 当时，； 开口向上，对称轴为直线， ∴当d随m的增大而减小，不符合题意，舍去； 当时，， 开口向下，对称轴为直线， ∴当时，d随m的增大而减小． 综上：或． （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16（8分）．计算、解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：， 方程两边同时乘以得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 17（8分） ．在中，，，分别是边，的中点，延长到点，使，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)连结，交于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形的中位线定理，可知，，据此即可证明结论； （2）容易证明，，利用勾股定理求得的长度，进而可求得的长度． 【详解】（1）证明：∵，分别为，的中点， ∴，． ∴． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵，， ∴，． ∵， ∴． 在中，， ∵四边形是平行四边形， ∴，． 在中，， ∴． 18（8分）．安徽是我国黄淮海优质小麦核心产区，淮北平原为省内小麦种植核心区．为对比本地常规种植小麦与良种繁育试验田的小麦生长性状，农技人员分别从普通种植农田和良种繁育试验田中，各随机抽取20个采样点，测量小麦成熟株高（单位：，数据均为整数，且不低于）．现对测量数据进行整理、描述和分析，小麦株高用x表示，共分四组：A．；B．；C．；D． 下面给出了部分信息： 普通种植农田20个采样点的株高数据在B组中的是：81，82，82，83，83，83，88． 良种繁育试验田20个采样点的株高数据是：62，63，65，71，72，72，75，78，81，82，84，86，86，86，89，96，97，98，98，99． 两类农田采样点小麦株高统计表 地块类型 普通种植农田 良种繁育试验田 平均数 82 82 中位数 a 83 众数 83 b 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中________，________，________； (2)株高越高，说明小麦长势更好，根据以上数据，你认为哪类农田的小麦生长长势更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该片区普通种植农田总面积为560亩，良种繁育试验田总面积为500亩，按本次抽样标准，请估计该片区两类农田中，小麦株高不低于的总面积共是多少亩？ 【答案】(1)，， (2)良种繁育试验田的小麦生长长势更好，详见解析 (3)估计该片区两类农田中，小麦株高不低于的总面积共为293亩 【分析】本题考查了平均数、中位数、数据的计算，扇形统计图与统计表的综合应用，以及用样本估计总体．能够读懂题目，综合应用扇形统计图与统计表的信息是解题的关键． （1）先求出普通种植农田20个采样点的株高数据在C组和D组的数据，再结合B组数据即可求出中位数a的值，进而可得A组数据为6个，则可求出m的值． （2）可从平均数、中位数和众数等不同角度进行分析（合理即可）． （3）用普通种植农田总面积乘以A组所占百分比加上良种繁育试验田总面积乘以A组所占百分比即可． 【详解】（1）解：普通种植农田20个采样点的株高数据在C组和D组的共株， 由于B组有7个数据， ∴A组数据为， ∴， ∴； 结合B组数据可知第10个数据和第11个数据分别为82和83， ∴中位数； ∵良种繁育试验田20个采样点的株高数据中出现次数最多的为86， ∴； （2）解：良种繁育试验田的小麦生长长势更好． 理由：两类农田小麦株高的平均数相同，但良种繁育试验田的中位数83大于普通种植农田的中位数82.5，说明良种试验田有一半以上的小麦株高不低于，中间水平的小麦长势更优．（或其他合理理由：良种试验田的众数86大于普通农田的众数83，说明试验田小麦株高的集中水平更高；试验田株高不低于的样本占比，高株小麦占比更高等） （3）解：（亩）． 答：估计该片区两类农田中，小麦株高不低于的总面积共为293亩． 19（8分）．某学校计划修建地下车库，一数学兴趣小组根据《车库建筑设计规范》与所学知识，为学校地下车库设计并绘制了入库坡道示意图（如图），相关信息如下： （i）直线主坡道的水平距离为，坡度为0.12； （ii）左、右两段缓坡道为，，水平距离均为； （iii）和车库地面均与水平方向平行． 已知坡度，试根据上述信息解决以下问题： (1)求主坡道的铅直高度； (2)根据《车库建筑设计规范》：缓坡道坡度为主坡道坡度的，坡道的最小净高不低于．（坡道的净高为车库上方横梁到坡道的垂直距离） ①求车库高度； ②若，判断该坡道的最小净高是否符合设计规范，并说明理由． 参考数据：当时，，． 【答案】(1) (2)①；②该坡道的最小净高符合设计规范，理由见解析 【分析】（1）根据坡度定义求解即可； （2）①根据坡度定义和坡度间的关系求解即可； ②如图，过E作于P，交于M，过M作于S，根据锐角三角函数，结合已知数据求解即可． 【详解】（1）解：∵直线主坡道的水平距离为，坡度为， ∴在中，， ∴， 答：主坡道的铅直高度为； （2）解：①∵缓坡道的坡度为主坡道的坡度的， ∴在中，， 解得， 在中， 解得：， ， 答：车库高度为； ②该坡道的最小净高符合设计规范．理由如下： 如图，过E作于P，交于M，过M作于S， 则，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∵， ∴该坡道的最小净高符合设计规范． 20（10分）．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于两点，其中点的坐标为． (1)求的值； (2)当时，自变量的取值范围为__________； (3)将直线向上平移后，与反比例函数图象交于，两点，与两坐标轴分别相交于，两点．若，求直线的函数表达式． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题是反比例函数与一次函数的综合题，考查了反比例函数的图象和性质，函数和不等式的关系，函数和三角形面积计算相结合等知识点． （1）把点的横坐标代入正比例函数的表达式得到的值，进而将点的坐标代入反比例函数，得到的值． （2）根据函数图象以及点的坐标，通过比较对应函数值的大小，即可得到对应的取值范围． （3）连接，，根据点关于原点对称，得到，进而得到，通过计算面积的面积得到的值，进而得到直线的表达式． 【详解】（1）解：把代入得，， ， 点在反比例函数的图象上， ； （2）解：由（1）可知，反比例函数表达式为， 正比例函数与反比例函数的交于点，点， 点关于原点对称， 点， 根据函数图象可知，当反比例函数在正比例函数的上方时，， 当时，的取值范围为：或； （3）解：如图，连接，， 由（2）可知，点，点关于原点对称， ， ， ， ，即， ， ， 直线是由直线向上平移个单位得到的， 直线的表达式为． 21（10分）．如图，在中，，，是边上一点，以为直径作半圆，与交于的中点，连接． (1)求证：是半圆的切线． (2)若，求图中阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据直角三角形的性质和切线的判定定理即可得到结论． （2）根据三角形的面积公式、扇形面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：由（1）知，， ， ， 设半圆的半径为， 解得（负值不合题意，舍去）， 阴影部分的面积． 22（10分）．综合与探究 问题情境：如图1，在中，，点是的中点，连接，将线段平移得到线段，点，的对应点分别是点，，连接． (1)猜想验证：判断四边形的形状，并说明理由； (2)深入探究：将线段绕点按顺时针方向旋转，得到线段，点的对应点为点，连接，，，且． ①如图2，若，判断线段与的数量关系，并说明理由； ②若，在旋转的过程中，直线与直线相交于点，请直接写出线段的长． 【答案】(1)菱形，见解析 (2)①，见解析；②或 【分析】（1）利用平移的性质可得四边形是平行四边形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即可得到结论； （2）①根据旋转的性质以及菱形的性质证明即可解答．②分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，分别画出图形，根据菱形的性质、相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】（1）解：四边形为菱形．理由如下： 线段平移至线段， ，， 四边形是平行四边形， 在中，，点是的中点， ， 为菱形． （2）①，理由如下： 由旋转得，， ， ， ， ， ， ， 四边形为菱形， ，， ， ， 又，， ， ． ②a．∵,， ∴， ∵为菱形， ∴， ∴，即， 由上述证明得到，， 由旋转得到，为等腰直角三角形， ∴当绕B顺时针旋转时，如图：过点作交的延长线于点， ∵点是的中点，， ∴，，， 由（1）可得：为菱形， ∴，则四边形为正方形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵是的中点，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，，， ∵, ∴，即， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴，解得：（负值舍去）； b．由①可得，如图：当绕B顺时针旋转时，相当于绕B逆时针旋转，点在的延长线上，连接， ∵且，为菱形， ∴四边形为正方形， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 由（2）①可知， ∴， ∵， ∴， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， 在中，， ∴． 综上，线段的长度为或． 23（13分）．如图，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)将抛物线沿轴向下平移（）个单位长度，平移后的抛物线与直线恰好只有一个公共点．求的值； (3)点是抛物线对称轴上一动点，是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】此题考查了二次函数与几何综合题，用到了待定系数法求函数解析式、抛物线与一次函数的交点、抛物线的顶点、直角三角形的性质等知识，读懂题意，准确计算是解题的关键． （1）根据待定系数法求解函数解析式即可； （2）先得出平移后的函数表达式，将交点问题转换为方程根的问题，由即可求解； （3）设点的坐标为，用表示、、的长度，对的斜边进行分类讨论，结合勾股定理得出方程，求解方程即可． 【详解】（1）解：将点，，代入 ， 得，解得， 故抛物线的解析式为， 对称轴为直线， 当时，， 故点的坐标为． （2）解：假设平移后的函数表达式为， 假设直线所在的函数表达式为， 将点，代入， 得，解得， 故直线所在的函数表达式为， 由于平移后的抛物线与直线恰好只有一个公共点， 即方程仅有一个实数解， 整理得， 故， 解得． （3）解：假设点的坐标为， ∵，，， ∴，，， 当为直角的斜边时， ， 即， 解得； 当为直角的斜边时， ， 即， 解得； 故点的坐标为或． 解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16（8分）．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1； (2)． 【分析】（）利用乘方、零指数幂、负整数指数幂的法则、立方根的性质分别求解，再进行加减运算即可； （）先算括号内的分式加法，再算分式除法，最后约分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17（8分）．如图，在平行四边形中，对角线相交于点，延长到点，使得，连接，点是的中点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)条件：①四边形是矩形； ②四边形是菱形． 请从①和②中任选其一作为条件，判断并证明四边形的形状（两个都写以第一个为准）． 【答案】(1)见解析 (2)选择①：四边形为菱形，证明见解析；选择②：四边形为矩形，证明见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得，再由，可得，即可求证； （2）选择①：根据矩形的性质可得，再由三角形中位线定理可得，从而得到，可得到四边形为平行四边形，即可解答；选择②：根据菱形的性质可得，再由三角形中位线定理可得，从而得到，可得到四边形为平行四边形，即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：选择①：四边形为菱形，证明如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∵，点是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； 选择②：四边形为矩形，证明如下： ∵四边形是菱形， ∴， ∵，点是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 18（8分）．为了解中考体育科目训练情况，某县从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果按从高到低分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题： (1)本次抽样测试的学生人数是______人； (2)图1中的度数是______，并把图2条形统计图补充完整； (3)该县九年级有学生3000名，如果全部参加这次中考体育科目测试，估计B级及以上的人数为______人； (4)测试老师想从4位同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率． 【答案】(1)40 (2)，体育测试各等级学生人数条形图见解析 (3)1350 (4) 【分析】（1）用B级的人数除以B级的占比可得出本次抽样测试的学生人数； （2）求出级的占比，可得级的占比，再乘以可得的度数；用总人数乘以级占比得到级人数，再补全条形统计图即可； （3）用样本估计总体即可； （4）列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：（人）， 所以，本次抽样测试的学生人数是40人； （2）解：级的占比为， 级的占比为：， ∴； 级人数为：（人）， 补全条形统计图如下： （3）解：（人）， 所以，B级及以上的人数为1350人； （4）解：根据题意列表如下： E F G H E E，F E，G E，H F F，E F，G F，H G G，E G，F G，H H H，E H，F H，G 由图表可知：共12种等可能的结果，其中选中小明的结果有6种， ∴选中小明的概率． 19（8分）．【综合与实践】 在物理实验中，光线从空气中射入液体中会发生折射现象．某学习小组设计了如图所示的实验装置：水槽横截面为矩形，，为水槽水面的中点，水深．如图1，小明同学从高出水面的处发出一束激光，射到水槽水面上的处，光在水中的路径为，为水槽底部的中点，测得． (1)【问题初探】 图1中，，分别为入射角、折射角，则________； (2)【深入探究】 小组成员探究如何才能使折射光线经过点． ①小刚同学设计了如图2所示的实验，在保持入射角、折射角不变的条件下，通过把光线的出发点从点降至点，也能使得折射光线经过点．请直接写出下降高度为________； ②小张同学设计了如图3所示的实验，在保持光线出发点、入射角、折射角不变的条件下，通过增加水面高度，使得折射光线经过点，求增加的水面高度； (3)【问题拓展】 小组讨论后认为：在保持入射角、折射角不变的条件下，将光线出发点的高度降低，同时增加水面高度，也能使得折射光线经过点．请求出与之间的函数关系． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】（1）先求出，再根据正切的定义求解即可； （2）①过点T作，垂足为，推导出，，得到，，设为，则，得到，得到，即可解答； ②过点H作，垂足为，则，，设，则，，推导出，，再根据，列出方程求解即可； （3）设下降后的光线为，水面上升至，延长交延长线于点，推导出，，得到， 解得，即可解答． 【详解】（1）解：由题意，得， ∴； （2）解：①过点T作，垂足为，如图 则，，， 由题意，得，． ∴， ∴， 设为，则， ∴， 解得， ∴； ②过点H作，垂足为，如图 则：，， 设，则，， ∴， 由（1）知：，， ∴，， ∵， ∴，解得， 答：为； （3）解：如图，设下降后的光线为，水面上升至，延长交延长线于点， 由题意得：，，，， 则：， ， ∴， ∴， ∴， 解得． 20（10分）．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，经过点、点的直线与反比例函数的图象在第三象限交于点，是以为斜边的直角三角形． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图1，当点在轴的正半轴时，求的面积； (3)如图2，若平分，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为 【分析】（1）将代入一次函数求出，再代入反比例函数求出，得到解析式； （2）利用中心对称、直角三角形斜边中线定理求出再求出，然后用底高法求面积； （3）先构造全等三角形，再根据等腰三角形的性质，用坐标法列方程求，再由中点坐标公式求出点． 【详解】（1）解：∵一次函数经过点， ∴， ∴点， ∵反比例函数经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：作轴于点，轴于点， ∴，， ∵直线与双曲线关于原点中心对称， ∴点，点关于原点中心对称， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为且， ∴在中，， ∴， ∴， ∵，是斜边上的中线， ∴， 一次函数，当时，， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：延长交的延长线于点， ∵平分， ∴， ∵为直角三角形，且斜边，点在第二象限， ∴． 在和中，， ∴， ∴，， 即点是的中点， ∵点在直线上， ∴设点， ∵点在第二象限， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， ∴点， ∵点是的中点， ∴点的坐标为． 21（10分）．如图1，在正方形中，．以为直径在正方形内部作半圆，点O为圆心．点E在边上，且．连接，交半圆于点F．点G为上的动点．          (1)如图1，连接，求的长； (2)如图2，连接，当时，求的长； (3)如图3，连接，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据特殊角锐角函数值可得，即可求解； （2）连接，当时，点G在的垂直平分线上，此时的垂直平分线过圆心O．求出，再根据弧长公式，即可求解； （3）当点G为中点时，面积最大，连接交于点H，则，且点H为为中点，根据三角形中位线定理可得，可证明为等边三角形，即可求解． 【详解】（1）解：在中，，， ∵， ∴． ∵为直径， ∴． ∴； （2）解：连接， 当时，点G在的垂直平分线上，此时的垂直平分线过圆心O． ∴，， ∵， ∴． 又∵， ∴圆的半径为3， ∴的长； （3）解：当点G为中点时，面积最大， 连接交于点H，则，且点H为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵点O为的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴面积最大值． 22（10分）．在中，点，分别在边，上，连结，，，． (1)如图1，连结，如果，求证：； (2)已知，连结． ①如图2，如果点，关于直线对称，求的值； ②如图3，如果，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质、平行四边形的性质等： （1）先证明，结合，即可证明结论； （2）①作，垂足为．作，交的延长线于，延长交于，容易证得，设，可得到，进而可证得，结合，，可得到；②过点作，交的延长线于点，设，可求得，进而可求得，得到，，证明，可求得，进而可求得． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵，，， ∴． ∵， ∴． ∴． （2）解：①作，垂足为．作，交的延长线于，延长交于，延长交延长线于点． 设，则，． ∵点，关于直线对称， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵，关于直线对称， ∴． ∵． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴，． ∴，． ∴． ∴． ∵，， ∴． ②过点作，交的延长线于点． 设． ∵， ∴． ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 设． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． 又， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 23（13分）．如图，抛物线与直线交于和两点，抛物线与x轴的另一个交点为A，连接，，P是直线下方抛物线上一点． (1)求m的值； (2)如图1，过点P作平行于y轴交于N，求最大值； (3)如图2，连接，交于点D，若，求点P的坐标； (4)如图3，将绕点O旋转至，连接，，试求出的最小值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用待定系数法求得m即可； （2）由（1）知直线 的解析式为，可设点，且点，则求解即可； （3）结合已知可得，则D点纵坐标为，进一步得出点D的坐标，再求出点A的坐标，然后求出的解析式，然后联立的解析式和抛物线解析式即可求出点P的坐标． （4）在x轴取点P，使，连接，证明，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与直线交于点， ∴， 解得； （2）解：由（1）知直线 的解析式为， ∵P是直线下方抛物线上一点 ∴设点， ∵过点P作平行于y轴交于N， ∴点， 那么， 则最大值为； （3）解：∵点， ∴， ∵， ∴，解得， 则D点纵坐标为， ∵点D在直线上， ∴，解得， 则点， ∵抛物线与x轴交于点A和点B， ∴，解得，， ∴点， 设的解解析式为：， 则， 解得： 则的解解析式为：， 联立， 解得：或， 则． （4）解：在x轴取点P，使，连接，如图， 由旋转的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴的最小值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 提分小卷：解答题 限时训练02（A组+B组+C组） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16（8分）．计算或求值 (1)计算：； (2)先化简，再求值：，其中． 17（8分）．如图，平分，且，点在边上，且，连接，．求证：． 18（8分）．“健康第一”是苏州市教育局2026年春季开展的一项以学生身心健康为核心的教育主题行动，旨在落实体育强身、心理润心、近视防控、睡眠管理等工作，促进学生全面健康成长．某数学学习小组为了解本校九年级学生的健康情况，开展了相关调查活动，随机抽取了部分学生调查他们身体质量指数“”数据，其计算公式为（m表示体重，单位：千克；表示身高，单位：米）．标准见表： 的范围 健康类型 体重过低 正常 超重 肥胖 【收集数据】随机抽取该校部分学生，测算出他们的数据组成样本． 【整理数据】将学生的数据按照以下标准分成A，B，C，D四组进行整理，如下表： 类别 A B C D 体重情况 过低 正常 超重 肥胖 人数（人）      36 9 3 【描述数据】根据学生的BMI数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 【分析数据】根据以上信息，解答下列问题： (1)参与本次调查的学生人数为__________人； (2)补全条形统计图； (3)若该校九年级共有600名学生，请估计身体质量指数正常的学生人数． 19（8分）．暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底处出发，先步行到达处，再从处坐缆车到达山顶处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度在同一平面内．（参考数据：） (1)求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； (2)求缆车的行驶路线的长（结果取整数）． 20（10分）．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴相交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若，求的面积． 21（10分）．等腰中，，点为边中点，如图1，以为圆心作圆与相切于点． (1)求证：是的切线； (2)如图2，点为上一点，，连接并延长交于点．若半径为3，求弧的长度． 22（10分）．【综合探究】 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为． (1)【初步感知】如图1，连接，，将三角形纸片绕点旋转，求的值； (2)【深入探究】如图2，在三角形纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长； (3)【拓展延伸】在三角形纸片绕点旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以为直角边的直角三角形．若能，直接写出线段的长度；若不能，请说明理由． 23（13分）．在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过两点，点P为第一象限抛物线上不与点B重合的一动点，作轴于点D，交直线于点C，设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，当点C为中点时，求m的值； (3)令． ①求d关于m的函数解析式； ②当d随m的增大而减小时，请直接写出m的取值范围． （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16（8分）．计算、解分式方程： (1)； (2)． 17（8分） ．在中，，，分别是边，的中点，延长到点，使，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)连结，交于点，若，求的长． 18（8分）．安徽是我国黄淮海优质小麦核心产区，淮北平原为省内小麦种植核心区．为对比本地常规种植小麦与良种繁育试验田的小麦生长性状，农技人员分别从普通种植农田和良种繁育试验田中，各随机抽取20个采样点，测量小麦成熟株高（单位：，数据均为整数，且不低于）．现对测量数据进行整理、描述和分析，小麦株高用x表示，共分四组：A．；B．；C．；D． 下面给出了部分信息： 普通种植农田20个采样点的株高数据在B组中的是：81，82，82，83，83，83，88． 良种繁育试验田20个采样点的株高数据是：62，63，65，71，72，72，75，78，81，82，84，86，86，86，89，96，97，98，98，99． 两类农田采样点小麦株高统计表 地块类型 普通种植农田 良种繁育试验田 平均数 82 82 中位数 a 83 众数 83 b 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中________，________，________； (2)株高越高，说明小麦长势更好，根据以上数据，你认为哪类农田的小麦生长长势更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该片区普通种植农田总面积为560亩，良种繁育试验田总面积为500亩，按本次抽样标准，请估计该片区两类农田中，小麦株高不低于的总面积共是多少亩？ 19（8分）．某学校计划修建地下车库，一数学兴趣小组根据《车库建筑设计规范》与所学知识，为学校地下车库设计并绘制了入库坡道示意图（如图），相关信息如下： （i）直线主坡道的水平距离为，坡度为0.12； （ii）左、右两段缓坡道为，，水平距离均为； （iii）和车库地面均与水平方向平行． 已知坡度，试根据上述信息解决以下问题： (1)求主坡道的铅直高度； (2)根据《车库建筑设计规范》：缓坡道坡度为主坡道坡度的，坡道的最小净高不低于．（坡道的净高为车库上方横梁到坡道的垂直距离） ①求车库高度； ②若，判断该坡道的最小净高是否符合设计规范，并说明理由． 参考数据：当时，，． 20（10分）．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于两点，其中点的坐标为． (1)求的值； (2)当时，自变量的取值范围为__________； (3)将直线向上平移后，与反比例函数图象交于，两点，与两坐标轴分别相交于，两点．若，求直线的函数表达式． 21（10分）．如图，在中，，，是边上一点，以为直径作半圆，与交于的中点，连接． (1)求证：是半圆的切线． (2)若，求图中阴影部分的面积．（结果保留） 22（10分）．综合与探究 问题情境：如图1，在中，，点是的中点，连接，将线段平移得到线段，点，的对应点分别是点，，连接． (1)猜想验证：判断四边形的形状，并说明理由； (2)深入探究：将线段绕点按顺时针方向旋转，得到线段，点的对应点为点，连接，，，且． ①如图2，若，判断线段与的数量关系，并说明理由； ②若，在旋转的过程中，直线与直线相交于点，请直接写出线段的长． 23（13分）．如图，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)将抛物线沿轴向下平移（）个单位长度，平移后的抛物线与直线恰好只有一个公共点．求的值； (3)点是抛物线对称轴上一动点，是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16（8分）．计算： (1)； (2)． 17（8分）．如图，在平行四边形中，对角线相交于点，延长到点，使得，连接，点是的中点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)条件：①四边形是矩形； ②四边形是菱形． 请从①和②中任选其一作为条件，判断并证明四边形的形状（两个都写以第一个为准）． 18（8分）．为了解中考体育科目训练情况，某县从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果按从高到低分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题： (1)本次抽样测试的学生人数是______人； (2)图1中的度数是______，并把图2条形统计图补充完整； (3)该县九年级有学生3000名，如果全部参加这次中考体育科目测试，估计B级及以上的人数为______人； (4)测试老师想从4位同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率． 19（8分）．【综合与实践】 在物理实验中，光线从空气中射入液体中会发生折射现象．某学习小组设计了如图所示的实验装置：水槽横截面为矩形，，为水槽水面的中点，水深．如图1，小明同学从高出水面的处发出一束激光，射到水槽水面上的处，光在水中的路径为，为水槽底部的中点，测得． (1)【问题初探】 图1中，，分别为入射角、折射角，则________； (2)【深入探究】 小组成员探究如何才能使折射光线经过点． ①小刚同学设计了如图2所示的实验，在保持入射角、折射角不变的条件下，通过把光线的出发点从点降至点，也能使得折射光线经过点．请直接写出下降高度为________； ②小张同学设计了如图3所示的实验，在保持光线出发点、入射角、折射角不变的条件下，通过增加水面高度，使得折射光线经过点，求增加的水面高度； (3)【问题拓展】 小组讨论后认为：在保持入射角、折射角不变的条件下，将光线出发点的高度降低，同时增加水面高度，也能使得折射光线经过点．请求出与之间的函数关系． 20（10分）．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，经过点、点的直线与反比例函数的图象在第三象限交于点，是以为斜边的直角三角形． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图1，当点在轴的正半轴时，求的面积； (3)如图2，若平分，求点的坐标． 21（10分）．如图1，在正方形中，．以为直径在正方形内部作半圆，点O为圆心．点E在边上，且．连接，交半圆于点F．点G为上的动点．          (1)如图1，连接，求的长； (2)如图2，连接，当时，求的长； (3)如图3，连接，求面积的最大值． 22（10分）．在中，点，分别在边，上，连结，，，． (1)如图1，连结，如果，求证：； (2)已知，连结． ①如图2，如果点，关于直线对称，求的值； ②如图3，如果，，求的值． 23（13分）．如图，抛物线与直线交于和两点，抛物线与x轴的另一个交点为A，连接，，P是直线下方抛物线上一点． (1)求m的值； (2)如图1，过点P作平行于y轴交于N，求最大值； (3)如图2，连接，交于点D，若，求点P的坐标； (4)如图3，将绕点O旋转至，连接，，试求出的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $