湖北黄冈市益才盛华学校2025-2026学年高三下学期数学周测卷（4.25）

益才盛华学校2026届高三数学模拟卷4.25 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合,,则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z是方程的根,则（ ） A. B. C. 2 D. 3 3. 如图为某款仿生蝴蝶的设计示意图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长为1，蝴蝶翅膀的一个前尖端点的坐标为，另一个前尖端点、尾突点均在格点上，则与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 4．正四面体、正六面体（正方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体统称为柏拉图体.连接正方体中相邻面的中心，可以得到一个柏拉图体.已知该柏拉图体的体积为，则生成它的正方体的棱长为 A． 86677:uId:86677 2 B． C． D．4 5. 设等差数列的前项和为，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 人工智能（AI）领域中，神经网络是用于模仿神经元，用来学习规律做预测和识别的数学模型.神经网络中的激活函数能把线性输入变成非线性输出.是最常用的激活函数,下面关于表述错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，若内角A,B为锐角，满足,则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，抛物线的方程为，焦点是，圆心在轴上的圆与抛物线在第四象限有且只有一个公共点，且它们在点处的切线是同一条直线.若点的横坐标为，则实数的值为（    ） A．18 B．12 C．9 D．6 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记为等差数列的前n项和，若，,则（ ） A. B. 公差 C. D. 若,则， 10. 下列说法正确的是（ ） A. 随机事件A,B相互独立的充要条件是 B．已知随机变量，若，则 C．在列联表中，若每个数据均变成原来的2倍，则不变（，其中） D. 若,记函数,,则的图象关于点对称 11. 曲线C：（）是优美的封闭曲线,其围成的面积记为,M是C与y轴正半轴的交点,过原点O的直线交C于点A,B,则（ ） A. B. C. 当时,的最大值是 D. 当时, 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知正数，，均不等于1，且，，则________． 13. 的展开式中不含的项为______．（用数字作答） 14．在棱长为2的正方体内，有按照如下方式产生的一系列大小均不相同的n个球：第1个球与正方体的6个面均相切；第2个球与第1个球外切，且与正方体过顶点A的3个面均相切；第3个球与第2个球外切，且与正方体过顶点A的3个面均相切，…，依次下去.记这n个球的表面积和为，若对总成立，则M的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（13分） 已知函数（）,最小正周期的范围为. （1）求的取值范围； （2）若,函数的图象关于直线对称,求的值. 16．（15分）近年来某APP用户保持连续增长，若李明收集了2021~2025年的年份代码x(x=1，2，3，4，5)与该APP在线用户数y（单位：万）的数据，具体如下表所示： 年份代码x 1 2 3 4 5 App在线用户数y（单位：万） 80 150 210 260 300 （1）求样本相关系数r（精确到小数点后两位），并判断变量x与y之间的线性相关关系的强弱； （2）从2021~2025年中随机抽取三个不同年份所对应的在线用户数据y，记最小的数据为X，求X的分布列及数学期望． 注：样本相关系数．其中，． 17．（15分）已知 IYYUU :uId: IYYUU 分别是双曲线的上顶点、下焦点． （1）求的标准方程； （2）过的直线与的上、下支分别交于两点（异于），直线平分线段且与的下支交于点．求证：直线与直线的交点在一条定直线上． 18．（17分）将椭圆面沿着垂直于其所在平面的空间向量平移得到的封闭几何体叫做椭圆柱体．如图所示的椭圆柱体，点和分别为上、下椭圆面的对称中心，椭圆的长轴长，短轴长为，均垂直于椭圆面，且，过下底面椭圆的右焦点的动直线交椭圆于两点，是上一点，且满足平面． （1）求的值； （2）求点到平面距离的最大值； （3）若，求直线与平面所成角的正弦值． 19．（17分）设函数 QWYRPTY :fId: QWYRPTY ，（）. （1）若曲线在点处的切线方程为，求实数的值； （2）关于的方程能否有三个不同的实根？证明你的结论； （3）若2026-04-19T18:04:01.373对任意恒成立，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 益才盛华学校2026届高三数学模拟卷4.25 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合,,则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【详解】由集合,,则 2. 已知复数z是方程的根,则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】因为方程的判别式， 所以该方程有虚数根， 所以， 因此. 3. 如图为某款仿生蝴蝶的设计示意图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长为1，蝴蝶翅膀的一个前尖端点的坐标为，另一个前尖端点、尾突点均在格点上，则与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题图，知，，又，所以，则． 4．正四面体、正六面体（正方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体统称为柏拉图体.连接正方体中相邻面的中心，可以得到一个柏拉图体.已知该柏拉图体的体积为，则生成它的正方体的棱长为 A． 86677:uId:86677 2 B． C． D．4 4、D 5. 设等差数列的前项和为，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先由可得一个等价条件，进而再由充分必要条件的定义判断可得. 【详解】设等差数列的公差为，由，得，即． 若，则，充分性成立； 若，则可为任意的正整数，必要性不成立． 综上可得，“”是“”的充分不必要条件． 6. 人工智能（AI）领域中，神经网络是用于模仿神经元，用来学习规律做预测和识别的数学模型.神经网络中的激活函数能把线性输入变成非线性输出.是最常用的激活函数,下面关于表述错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，故A正确； 恒成立，故，则，故，故B正确； ，， ，故C正确； ，又，，， ，故D错误. 7. 在中，若内角A,B为锐角，满足,则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由诱导公式、两角和的正弦公式、两角和的正切公式等，整理可得的表达式，结合基本不等式，即可得答案. 【详解】因为，所以， 所以，即， 又， 所以，即， 所以， 则， 因为A,B为锐角，所以， 所以， 因为， 当且仅当，即时取等号， 所以，则的最大值为. 8．如图，抛物线的方程为，焦点是，圆心在轴上的圆与抛物线在第四象限有且只有一个公共点，且它们在点处的切线是同一条直线.若点的横坐标为，则实数的值为（    ） A．18 B．12 C．9 D．6 【答案】A 【分析】作出公共切线，并过作射线轴，则由抛物线的光学性质可得，再利用抛物线定义计算可得点坐标，最后利用直线的斜率计算即可得. 【详解】如图，作出抛物线C和圆E在点处的公共切线，同时过作射线轴， 则有，由抛物线的光学性质，可得， ， 且， 又，代入得，解得. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记为等差数列的前n项和，若，,则（ ） A. B. 公差 C. D. 若,则， 【答案】AD 【解析】 【分析】先利用等差数列的性质求出​，再结合​求出公差，进而逐一分析选项. 【详解】设等差数列的公差为, 由，所以，故A正确； 由​，得，即， 又，所以，解得，故B错误； 由等差数列前项和公式得，故C错误； 对于，因为，所以​， 所以，故D正确. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 随机事件A,B相互独立的充要条件是 B．已知随机变量，若，则 C．在列联表中，若每个数据均变成原来的2倍，则不变（，其中） D. 若,记函数,,则的图象关于点对称 【答案】AD 【解析】 【分析】根据随机事件的独立性、随机变量的方差与期望的关系、二项分布的期望与方差、正态分布的对称性逐一严格推导每个选项的正确性，排除错误选项. 【详解】对于A，先证必要性：若相互独立，则， 所以， 再证充分性：若，则， 所以，即，说明与相互独立， 所以随机事件A,B相互独立的充要条件是，故A正确； 对于D，因为,记函数,, 所以对任意，有， 由正态分布的对称性：， 因此， 即的图象关于点对称，故D正确. 11. 曲线C：（）是优美的封闭曲线,其围成的面积记为,M是C与y轴正半轴的交点,过原点O的直线交C于点A,B,则（ ） A. B. C. 当时,的最大值是 D. 当时, 【答案】ACD 【解析】 【详解】当时，曲线C：，即， 当时，，即， 当时，曲线C：， 当时，，即，这是一个顶点为和的直线段， 在区间内，由于，， 故时的图象比时更靠近坐标轴，，故A正确， 当时，曲线C：，即，其面积为， 当时，曲线C：， 当时，，即， 在区间内，由于，，进而有， 故时其图像在单位圆的外部， 故，故B错误， 当时，曲线C：，易知， 由对称性可设，，则，， 当时，，即，代入上式得 ，对称轴为， 故的最大值为，故C正确， 当时，当时，曲线C：，即， 当时，，即， 令，则， ， 设，则， 易知，令，解得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故当时，，，所以D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知正数，，均不等于1，且，，则________． 【答案】6 【解析】 【详解】方法一：，即． 方法二：由，，得，，则，所以． 13. 的展开式中不含的项为______．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式定理求特定项系数即可. 【详解】由， 则展开式中不含的项为． 14．在棱长为2的正方体内，有按照如下方式产生的一系列大小均不相同的n个球：第1个球与正方体的6个面均相切；第2个球与第1个球外切，且与正方体过顶点A的3个面均相切；第3个球与第2个球外切，且与正方体过顶点A的3个面均相切，…，依次下去.记这n个球的表面积和为，若对总成立，则M的最小值为______. 【答案】 【分析】作出辅助线，得到外切球的半径关系，求出的关系式，求出最小值. 【详解】如图，过棱作正方体的截面， 由对称性知，这些球的球心都在线段上，与底面ABCD的切点都在线段AC上. 设第i（1，2，…）个球的球心为，半径为，与底面ABCD切于， 作于P，由∽，得， 解得，同理可得，对于任意，， 又由于＝1，所以，其表面积， 所以，注意到当时， ，此时， 且，故M的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数（）,最小正周期的范围为. （1）求的取值范围； （2）若,函数的图象关于直线对称,求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助三角恒等变换公式可将原函数化为正弦型函数，再利用周期范围计算即可得解； （2）结合（1）中所得可求出，再利用三角函数对称性可得，最后利用两角和的正切公式计算即可得. 【小问1详解】 ， 又，函数的最小正周期为， 所以，则； 【小问2详解】 由，且，故，即， 则，解得， 则 . 16．（15分） 近年来某APP用户保持连续增长，若李明收集了2021~2025年的年份代码x(x=1，2，3，4，5)与该APP在线用户数y（单位：万）的数据，具体如下表所示： 年份代码x 1 2 3 4 5 App在线用户数y（单位：万） 80 150 210 260 300 （1）求样本相关系数r（精确到小数点后两位），并判断变量x与y之间的线性相关关系的强弱； （2）从2021~2025年中随机抽取三个不同年份所对应的在线用户数据y，记最小的数据为X，求X的分布列及数学期望． 注：样本相关系数．其中，． 16、（1）由题意，，, ..............2分 则， 由， 同理 86677:uId:86677 ，则， 则， ....................................................................6分 由接近1且为正，故变量x与y之间有很强的线性正相关关系。 ................................7分 （2）由题意，X的可能取值为80、150、210， 则，,， ..........13分 故X的分布列为： X 80 150 210 P 则 ......................................................................15分 17．（15分） 已知 IYYUU :uId: IYYUU 分别是双曲线的上顶点、下焦点． （1）求的标准方程； （2）过的直线与的上、下支分别交于两点（异于），直线平分线段且与的下支交于点．求证：直线与直线的交点在一条定直线上． 17、（1）由题意，，∴，∴的方程为． ..............4分 （2）由题意,直线的斜率存在,设直线方程为，． 由，消去整理得 ， ∴且， .........................7分 ∴ 1264055:fId:1264055 , 由 解得，∴ .....................10分 ∴直线方程为，即， .......................13分 由 得，∴直线与直线的交点在一条定直线上 ....15分 18．（17分） 将椭圆面沿着垂直于其所在平面的空间向量平移得到的封闭几何体叫做椭圆柱体．如图所示的椭圆柱体，点和分别为上、下椭圆面的对称中心，椭圆的长轴长，短轴长为，均垂直于椭圆面，且，过下底面椭圆的右焦点的动直线交椭圆于两点，是上一点，且满足平面． （1）求的值； （2）求点到平面距离的最大值； （3）若，求直线与平面所成角的正弦值． 18、解：（1）∵椭圆的长轴长，短轴长为, ∴焦距为． 建立如图所示的空间直角坐标系，则，∴， 设，则. ∵平面，平面，平面平面， ∴， ……3分 ∴.人，解得，∴． ……5分 （2） iyyuu :uId: iyyuu 设，则，． 设平面的法向量为，则，即， 取． ……8分 又∵， ∴点到平面距离 (当时取等号)，（没有取等条件，扣1分） ∴点到平面的距离的最大值为． ……11分 （3）∵，∴直线的方向向量， 又，设平面的法向量为， 则，即，取． ……14分 又， 设直线 qwyrptt :fId: qwyrptt 与平面所成角为， ∴． ∴直线与平面所成角的正弦值为． ……17分 19．（17分） 设函数 QWYRPTY :fId: QWYRPTY ，（）. （1）若曲线在点处的切线方程为，求实数的值； （2）关于的方程能否有三个不同的实根？证明你的结论； （3）若2026-04-19T18:04:01.373对任意恒成立，求实数的取值范围. 19、（1） ………………4分 （2）不可能有三个不同的实根，证明如下：令g(x)= f（x）+2cosx ………………5分 如果g（x）=5有三个不同的实根，则g（x）至少要有三个单调区间，则至少两个不等实根，所以只要证明在至多1个实根 ，， 1°当a<0时，，∴，∴在单调递增， ∴在至多1个实根； ………………8分 2°当a≥0时，，∴在单调递增， ∴>0，又因为a≥0时，∴， ∴ IYYUU :uId: IYYUU 在没有实根 综合1°2°可知，在至多1个实根，所以得证. ………………11分 （3）∵f（2x-1）+2>2f（x）对任意恒成立，且， ∴对任意恒成立， ∴对任意恒成立， 令， ………………14分 则对任意恒成立， ∵时，且， ∴在单调递增∴在恒成立， ∴2026-04-19T18:04:01.361 QWYRPTT :fId: QWYRPTT ………………17分 学科网（北京）股份有限公司 $