精品解析：江苏南京市2026年普通高等学校招生全国统一考试样卷数学试题

2026年普通高等学校招生全国统一考试样卷 数 学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂照. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.本试卷共4页，考试时间为120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，是的共轭复数，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 3. 在平行四边形 中，为 的中点，记，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数若存在最小值，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 5. 记以长方体的四个顶点为顶点的三棱锥的体积为．若，，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 6. 在 中，，，若满足上述条件的 恰有一解，则边长 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知 为坐标原点， 为圆的一条弦，弦 绕点 旋转一周扫过的区域为.若点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9. 一组数据，记其中位数为k，均值为m，标准差为，由其得到新数据的标准差为，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，点 分别在函数的的图像上， 为坐标原点，则下列命题正确的是（ ） A. 若关于 的方程在上无解，则 B. 存在 关于直线对称 C. 若存在 关于 轴对称，则 D. 若存在 满足，则 11. 在棱长为1的正方体中，为正方体内（含表面）的动点， 为线段上的动点，若直线 与 的夹角为，则（ ） A. 的最小值为 B. 点的轨迹形成图形的面积为 C. 点的轨迹与正方体表面交线的长度为 D. 当点在侧面上时，的最小值为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为________． 13. 设函数．若对于任意的，函数和中至少有一个在上具有单调性，则的一个取值为__________． 14. 已知直线l的倾斜角为锐角，且过抛物线的焦点，与抛物线交于A、B两点.若在该抛物线的准线上存在一点C，使得 为正三角形，则直线l的斜率为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图所示，该几何体是由一个直三棱柱和一个正四棱锥组合而成，，． （Ⅰ）证明：平面平面； （Ⅱ）求正四棱锥的高 ，使得二面角的余弦值是． 16. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，若为函数的正零点，证明：. 17. 已知双曲线的右焦点为 ，过点 的直线交双曲线右支于、 两点（点在 轴上方），点在双曲线的右支上，直线 交 轴于点 （点 在点 的右侧）． （1）求双曲线的渐近线方程； （2）若点，且，求点的坐标； （3）若 的重心 在 轴上，记、的面积分别为、，求的最小值． 18. 已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 （1）求角C的取值范围； （2）证明： （3）求 的取值范围． (提示： 其中S为三角形面积) 19. 定义：若一个数列满足其首项为0，且对于可取或的概率均为0.5，则我们称该数列为“可取数列”．已知数列为“可取数列”． （1）求证：； （2）在“可取数列”中，设随机变量是的值，求： ①的概率分布； ②的期望． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年普通高等学校招生全国统一考试样卷 数 学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂照. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.本试卷共4页，考试时间为120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数定义域求法可求得集合 ，由交集定义可得结果. 【详解】，. 故选：B. 2. 已知复数满足，是的共轭复数，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，即可求出，再根据复数的乘法计算可得. 【详解】因为， 所以， 则， 所以. 故选：D 3. 在平行四边形 中，为 的中点，记，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】 如图，. 4. 已知函数若存在最小值，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用二次函数的性质求得 的最小值，再结合幂函数的单调性，由题意列出不等式，求解即可. 【详解】当 时，， 故当时，有最小值为； 当时，单调递减，所以，由题意存在最小值， 则，解得，即c的最大值为. 故选：A. 5. 记以长方体的四个顶点为顶点的三棱锥的体积为．若，，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用三棱锥的体积公式计算求解判断选项. 【详解】以长方体的四个顶点为顶点的三棱锥的体积为， 因为，，应用长方体的对称性，计算以为三棱锥顶点的三棱锥， 所以， ， 则的取值集合为. 故选：C. 6. 在 中，，，若满足上述条件的 恰有一解，则边长 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，或，进而可得. 【详解】若满足条件的 恰有一解，如图 则，或， 当时，， 当时，， 所以AC的取值范围是. 故选：D 7. 已知 为坐标原点， 为圆的一条弦，弦 绕点 旋转一周扫过的区域为.若点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知弦 绕点 旋转一周时， 上所有点到点 的距离范围是，又点，则，可得，可得的取值范围. 【详解】设圆心 到弦 的距离为，圆 半径， 弦 绕点 旋转一周时， 上所有点到点 的距离范围是， 所以 扫过的区域是内半径为，外半径为 的圆环区域， 又点，其到原点 的距离为，则， 所以， 又. 8. 设，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用，得出，再换元应用二次函数单调性结合三角函数值域得出的取值范围. 【详解】因为，则， 则， 又因为，所以， 令，当单调递减，当单调递增， 所以当时，，当或时，， 所以的取值范围是. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9. 一组数据，记其中位数为k，均值为m，标准差为，由其得到新数据的标准差为，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用中位数的定义可判断A选项；举反例可判断B选项C；利用均值和方差公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，因， 样本数据最中间的项为， 由中位数的定义可知，，A正确； 对于B，不妨令 ， 则，B错误； 对于C，不妨令 ， 则，C错误； 对于D，数据的均值为： ， 其方差为，D对. 故选：AD 10. 已知函数，点 分别在函数的的图像上， 为坐标原点，则下列命题正确的是（ ） A. 若关于 的方程在上无解，则 B. 存在 关于直线对称 C. 若存在 关于 轴对称，则 D. 若存在 满足，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，求出方程在上有解的a范围判断A；设出点 的坐标，由方程有解判断B；设出点 的坐标，建立函数关系，求出函数的值域判断CD作答. 【详解】函数， 对于A，方程在上有解， 显然函数 在上单调递增，则有，解得， 因此关于 的方程在上无解，则或，A错误； 对于B，设点，依题意，点Q关于直线对称点在函数的图象上， 即关于t的方程有解，即有解，此时，令函数， ，即函数在上单调递增，， 而函数在上都单调递增，它们的取值集合分别为， 因此函数的值域为，又，于是在有解， 所以存在 关于直线对称，B正确； 对于C，设点，则点P关于y轴对称点在函数的图象上， 即，令，， 即函数在上单调递减，，又，恒有，因此，C正确； 对于D，令，由得， 显然，且，，令，， 当 时，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 因此，即有，， 而，当且仅当时取等号，所以，即，D正确. 故选：BCD 11. 在棱长为1的正方体中，为正方体内（含表面）的动点， 为线段上的动点，若直线 与 的夹角为，则（ ） A. 的最小值为 B. 点的轨迹形成图形的面积为 C. 点的轨迹与正方体表面交线的长度为 D. 当点在侧面上时，的最小值为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由图通过折叠相关平面，使共面，据此可判断选项正误；对于B和C，由题设可得M的轨迹为如图以为顶点，AB为高，为母线的圆锥侧面的，据此可判断选项正误；对于D，注意到，据此可判断选项正误． 【详解】对于A，由图注意到，将平面沿折叠至平面处，使共面， 则，当且仅当三点共线时取等号，故A正确； 对于B，注意到，则M的轨迹为如图以为顶点，AB为高，为母线的圆锥侧面的， 则点M的轨迹所形成图形的面积为：，故B错误； 对于C，由B分析，点M的轨迹与正方体表面的交线长度为：，故C正确； 对于D，注意到，过N作平行线交于，则， 从而，当且仅当三点共线时取等号，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为________． 【答案】 【解析】 【详解】的展开式中的项为：， 所以的展开式中的系数为. 13. 设函数．若对于任意的，函数和中至少有一个在上具有单调性，则的一个取值为__________． 【答案】(答案不唯一） 【解析】 【分析】先分析函数的单调区间，再结合已知条件分析的单调区间，进而确定的取值. 【详解】根据余弦函数的性质，函数的单调递增区间为；单调递减区间， 那么函数的单调区间长度为，在任意长度为的区间上，函数，要么单调，要么先增后减或先减后增. 函数的单调递增区间为，即； 单调递减区间，即， 又对于任意的，函数和中至少有一个在上具有单调性， 当时，函数，此时单调递增区间为；单调递减区间， 函数的极值点为，函数的极值点为。因此，任意长度为的开区间不可能同时包含和的极值点，即和中至少有一个在该区间上单调。 同理，当时，都满足对于任意的，函数和中至少有一个具有单调性. 故答案为：（答案不唯一） 14. 已知直线l的倾斜角为锐角，且过抛物线的焦点，与抛物线交于A、B两点.若在该抛物线的准线上存在一点C，使得 为正三角形，则直线l的斜率为_______. 【答案】 【解析】 【分析】设直线AB的方程为，与抛物线的方程联立利用韦达定理得到弦长，AB的中点为，由 为正三角形，可得，且，建立方程求解即可. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 设直线AB的方程为，代入抛物线的方程， 可得， 设，，可得，，AB的中点为， 在该抛物线的准线上存在一点C，使得 为正三角形， 可得，且， 由， 可得， 设， 又CH的斜率为，可得， 解得C的横坐标为，C的纵坐标为， 所以， 由，可得，解得负的舍去 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图所示，该几何体是由一个直三棱柱和一个正四棱锥组合而成，，． （Ⅰ）证明：平面平面； （Ⅱ）求正四棱锥的高 ，使得二面角的余弦值是． 【答案】（Ⅰ）证明：直三棱柱中，平面， 所以，又，， 所以平面，平面， 所以平面平面． （Ⅱ）． 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据平面，结合，利用线面垂直以及面面垂直判定定理，可得结果. （Ⅱ）利用（Ⅰ）建系后求法向量，要注意两个法向量夹角和二面角平面角关系，不要弄错符号. 【详解】（Ⅰ）略 （Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，以为原点， ， ， 方向为 ， ，轴建立空间直角坐标系， 如图 设正四棱锥的高为 ，，则，，，，，，． 设平面的一个法向量， 则取，则，所以． 设平面的一个法向量，则 取，则，，所以． 二面角的余弦值是， 所以， 解得． 点睛：本题主要考查了直线与平面，平面与平面垂直的证明，注意条件的合理转化，和用向量解立体几何时法向量的求解和应用. 16. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，若为函数的正零点，证明：. 【答案】（1） 当时，增区间为； 当时，减区间为，增区间为； 当时，减区间为，增区间为； （2）证明如下： 由（1）可知当时，函数的减区间为，增区间为， 可知等价于. 因为，为函数的正零点， 所以，等价于证明， 又由， 令，有， 可得 ， 令，有， 可得函数单调递减，有， 可得当时，. 故有，可得得证. 【解析】 【分析】（1）先得到函数的定义域，求出导函数，然后分三种情况讨论即可求得结果； （2）根据（1）中的结论得到单调区间，将不等式转化为函数之间的关系，即可得到恒成立问题，构造新的函数，再根据导数讨论单调性即可. 【小问1详解】 函数的定义域为， ， ①当即时，， 函数单调递增，增区间为，没有减区间； ②当时，令，解得， 当，则，即时， 可得函数的减区间为，增区间为； ③当，则，即时， 可得函数的减区间为，增区间为； 综上，当时，增区间为； 当时，减区间为，增区间为； 当时，减区间为，增区间为； 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：借助导数讨论函数单调区间的方法： （1）根据函数解析式得到函数的定义域，单调区间均在定义域内讨论； （2）求出函数的导函数，根据导函数的正负来判断原函数的单调性，这个时候注意分情况讨论，大多数时候需要令导函数为零求出极值； （3）本题关键点是利用单调性和零点定义将不等式转化为恒成立问题，然后通过换元构造新的函数，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想和分类讨论思想的应用. 17. 已知双曲线的右焦点为 ，过点 的直线交双曲线右支于、 两点（点在 轴上方），点在双曲线的右支上，直线 交 轴于点 （点 在点 的右侧）． （1）求双曲线的渐近线方程； （2）若点，且，求点的坐标； （3）若 的重心 在 轴上，记、的面积分别为、，求的最小值． 【答案】（1） （2）点的坐标为 （3）的最小值为 【解析】 【分析】（1）根据双曲线方程即可得其渐近线方程； （2）由点可得，从而可利用三角形外角关系从而可得直线 的斜率，将直线 方程代入双曲线方程求解即可得点的坐标； （3）设直线，代入双曲线方程得交点坐标关系，由重心可得，根据点线关系即可得的范围，再结合三角形面积关系得与的关系，由基本不等式可得最值. 【小问1详解】 已知双曲线，则，所以双曲线方程为； 【小问2详解】 双曲线的右焦点， 又，所以，则， 因为，所以， 则直线，即， 所以，解得，即， 则，所以点的坐标为； 【小问3详解】 设直线， ， 则， 因为直线过点 且与双曲线右支交于、 两点，所以， 又因为 的重心 在 轴上，所以， 由点 在点 的右侧，可得，所以，解得，所以， 而，代入可得， 所以， 代入化简可得：， 所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为. 18. 已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 （1）求角C的取值范围； （2）证明： （3）求 的取值范围． (提示： 其中S为三角形面积) 【答案】（1） （2）证明：由正弦定理可得，， 即， ，通过和差化积可得， ， 以及 代入可得，， 整理可得，因为， 所以两侧同时除以，可得. （3） 【解析】 【分析】（1）根据锐角三角形，结合余弦定理，再通过对勾函数的性质求解即可. （2）通过余弦定理，正弦定理求解即可. （3）设，，以及化简求解即可. 【小问1详解】 因为三角形是锐角三角形，故，解得，解得且， ，由于对勾函数在单调递减，在单调递增， 当或时，，，当且仅当时，取等号，故当时， ，故，由于，故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，，，则，令， 由在三角形中，， 所以， 所以， 即，则， 且，化简可得，， 因为，所以，所以 所以，可得，由可得，所以. 19. 定义：若一个数列满足其首项为0，且对于可取或的概率均为0.5，则我们称该数列为“可取数列”．已知数列为“可取数列”． （1）求证：； （2）在“可取数列”中，设随机变量是的值，求： ①的概率分布； ②的期望． 【答案】（1）证明：当时概率为， 当时概率为， 所以的概率为． （2）①，；② 【解析】 【分析】（1）由条件可得或，结合独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求结论； （2）①设，可得，结合古典概型概率公式求结论； ②由①，，结合期望公式和组合数性质求结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①设， 则对任意正整数取 或的概率均为，且， 设．显然， 再设此时，，，中有 个 ，个，则， 因此只能取之间的偶数值， 所以， 其中 对于偶数， 事件相当于在个数，，，中，有个取1，个取， 所以的概率分布可表示为，. ②． 所以，， 则 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $