专题13.5 直线与平面平行（高效培优讲义）数学苏教版高一必修第二册

专题13.5 直线与平面平行 教学目标 1.了解空间中直线与平面的位置关系及分类标准． 2.掌握直线与平面平行的判定定理与性质定理，能运用直线和平面平行的判定定理及性质定理解决相关问题． 3.在探究直线与平面的位置关系的过程中，发展直观想象素养． 4.在证明和运用直线与平面平行的判定定理以及运用直线与平面平行的性质定理作交线的过程中，发展直观想象和逻辑推理素养；在运用直线与平面平行的性质定理证明的过程中，发展逻辑推理素养。 教学重难点 1.重点 线面平行的判定定理的理解，证明题的规范书写；直线与平面平行的性质定理及其应用． 2.难点 直线与平面平行的判定定理与性质定理的综合应用. 知识点01 空间中直线与平面的位置关系 空间中直线与平面的位置关系： 一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种： 位置关系 直线a在平面α内 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 无数个公共点 有且只有一个公共点 没有公共点 符号 表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 注：直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，符号表示为a⊄α. 【即学即练】 1．若是异面直线，且平面，那么与平面的位置关系是（  ） A． B．与相交 C． D．以上三种情况都有可能 【答案】D 【分析】根据线线，线面的位置关系可判断结果. 【解析】 在长方体中，平面视为平面，直线为直线a，点E，F分别为棱的中点， 如图， 显然有平面，当直线b为直线时，直线是异面直线，此时； 因，平面，平面，则， 当直线b为直线时，直线是异面直线，此时； 当直线b为直线时，直线是异面直线，此时与相交， 所以直线b与平面可能平行，可能相交，也可能在平面内. 故选：D. 2．若直线a不平行于平面，且，则下列结论成立的是（  ） A．内的所有直线与a是异面直线 B．内不存在与a平行的直线 C．内存在唯一一条直线与a平行 D．内的所有直线与a都相交 【答案】B 【分析】根据直线和平面的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案. 【解析】设， A选项，内过点的直线与共面，所以A选项错误. D选项，内，不过点的直线与异面，所以D选项错误.    BC，若存在，则由于， 所以，这与已知矛盾，所以B选项正确，C选项错误. 故选：B 知识点02 直线与平面平行的判定定理 直线与平面平行的判定定理： (1)自然语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. (2)图形语言 (3)符号语言 . 简记为“若线线平行，则线面平行”. 【即学即练】 1．如图，在三棱柱中，与平面平行的直线为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线面平行的判定定理即可得出答案. 【解析】由题意，平面，与平面都相交， 因为，平面，平面， 所以平面. 故选：B. 2．在如图所示的五面体中，四边形与均为等腰梯形，，，，，，、分别为、的中点，与相交于点．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】利用线面平行的判定定理，即可证明线面平行. 【解析】连接，取的中点，连接、， 结合已知可得且， 所以四边形为平行四边形， 所以为中点， 因为为的中点，为中点， 则，且， 因为为的中点， 则，且， 则，且， 故四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面． 知识点03 直线与平面平行的性质定理 直线与平面平行的性质定理： (1)自然语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. (2)图形语言 (3)符号语言 . 简记为“若线面平行，则线线平行”. 【即学即练】 1．如图，在三棱锥中，点D，E分别为棱PB，BC的中点.若点F在线段AC上，且满足平面PEF，则的值为（  ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】连接CD，交PE于点G，连接FG，由线面平行性质证明，再利用重心性质求解即可. 【解析】如图，连接CD，交PE于点G，连接FG，    因为平面PEF，平面ADC，平面平面，所以， 因为点D，E分别为棱PB，BC的中点，所以G是的重心，所以. 故选：C. 2．已知：，是两个平面，，是两条直线，且，，.求证：.    【答案】证明见解析 【分析】利用线面平行的判定定理和性质定理证明即可得出结果. 【解析】如图所示，过作平面交平面于， 因为，所以，同样过作平面交平面于， 因为，所以，所以， 又，，所以， 又，，所以，所以. 题型01 直线与平面的位置关系 【典例1】已知直线，，平面，，，那么与平面的关系是（  ） A． B． C．或 D．与相交 【答案】C 【分析】以正方体为载体，取，，分别取面和为平面，即可判断结果. 【解析】 在正方体中，取，， 当取面为平面时， 所以满足，，此时； 当取面为平面时， 所以满足，，此时， 所以与平面的关系是或. 故选：C. 1.了解线线平行、线面平行、面面平行三者之间的关系；了解线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的关系。 2.了解平行与垂直的传递性。 【变式1】下列命题为真命题的是（  ） A．若两直线、互相平行，则平行于经过的任何平面 B．若直线与平面平行，则平行于内的任何直线 C．若两直线、都与平面平行，则 D．若直线平行于平面，直线在平面内，则或者与为异面直线 【答案】D 【分析】 根据已知条件判断各选项中线线、线面位置关系，可得出合适的选项. 【解析】对于A选项，记经过直线的平面为， 若两直线、互相平行，则或，A错； 对于B选项，若直线与平面平行，则与平面内的直线平行或异面，B错； 对于C选项，若两直线、都与平面平行，则、平行、相交或异面，C错； 对于D选项，若直线平行于平面，直线在平面内，则或者与为异面直线，D对. 故选：D. 【变式2】“直线与平面没有公共点”是“直线与平面平行”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】从充分性和必要性两方面来分析即可. 【解析】若直线与平面没有公共点，那直线与平面只能平行，故充分条件成立； 若直线与平面平行，则直线与平面没有公共点，故必要性也成立， 所以“直线与平面没有公共点”是“直线与平面平行”的充分必要条件. 故选：. 【变式3】已知，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题中，真命题是（  ） A．若，，则与必异面 B．若点，点，则直线 C．若，，则 D．若点，点，则直线与相交 【答案】D 【分析】应用线面位置关系，线线位置关系关系判断各个选项即可. 【解析】对于A，若，，则与平行或相交、或异面，故A为假命题； 对于B，若点，点，则直线平面或直线与平面相交，故B为假命题； 对于C，若，，则与平行或异面，故C为假命题； 对于D，若点，点，则直线与平面相交，故D为真命题； 故选：D. 【变式4】（多选）下列命题中，真命题是（  ） A.若直线上有无数个点不在平面内，则； B.若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行； C.若直线不平行于平面且，则平面内不存在与平行的直线； D.若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点. 【答案】CD 【分析】应用线面位置关系判断各个选项即可. 【解析】对于A，如图所示： 满足直线上有无数个点不在平面内，此时直线与平面相交，故A错误； 对B，若直线与平面平行，则直线与平面内的直线无公共点， 即直线与平面内的直线平行或异面，故B错误； 对C，若直线不平行于平面且，则直线与平面相交， 若在平面内存在直线，使得， 又因为，，由线面平行的判定定理可得，与已知条件矛盾，故C正确； 对D，若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点，故D正确. 故选：CD. 题型02 直线与平面平行的判定与证明 【典例1】四棱锥的底面为平行四边形，为中点，证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】利用线面平行的判定定理，即可证明线面平行. 【解析】连接，再连接， 由底面为平行四边形，可得为的中点， 又因为为中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. 证明线面平行的常用方法： (1)利用线面平行的定义：直线与平面没有公共点. (2)利用直线与平面平行的判定定理：a⊂α，a∥b，b⊂α，则a∥α.使用定理时，一定要说明“平面外一条直线与此平面内的一条直线平行”，若不注明，则证明过程不完整.因此，要证明a∥α，则必须在平面α内找一条直线b，使得a∥b，从而达到证明的目的，这三个条件缺一不可. (3)利用反证法.这时“平行”的否定有“在平面内”和“与平面相交”两种，只有在排除“直线在平面内”和“直线与平面相交”这两种位置关系后才能得到“直线与平面平行”的结论，在这一点上往往容易出错，应引起重视. 【变式1】如图，在下列四个正方体中，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的有（  ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用线面平行判定定理逐项验证即可求解． 【解析】对于①：如图，取中点，连接，则有，又平面，所以与平面相交，故①错误 对于②：由，，所以，又平面，不在平面上，所以平面，故②正确； 对于③：由，又平面，不在平面上，所以平面，故③正确； 对于④：由，又平面，不在平面上，所以平面，故④正确. 故选：C. 【变式2】（多选）在正方体中，分别是的中点，则下列说法中正确的是（  ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】ABD 【分析】连接和相交于点O，根据线面平行的判定定理可判断ABD，根据可判断C. 【解析】解：如图所示，连接和相交于点O，则O为，的中点. 对于A，连接，则,因为平面，平面， 所以平面，故A正确； 对于B，易知,因为平面，平面， 所以平面，故B正确； 对于C，因为,所以与平面相交，故C错误； 对于D，易知,因为平面,平面， 所以平面，故D正确. 故选:ABD 【变式3】如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为AB的中点，求证：BC1平面MA1C． 【答案】证明见解析 【分析】由线面平行的判定定理即可证明BC1平面MA1C． 【解析】连接AC1交A1C于点O，连接MO， ∵O为AC1中点，M为AB中点，∴MO为△AC1B的中位线，∴MOBC1， 又∵MO平面MCA1，BC1平面MA1C， ∴BC1平面MA1C． 【变式4】如图，直四棱柱的底面是菱形，E，M，N分别是BC，，的中点，求证：平面.    【答案】证明见解析 【分析】连接，ME，首先证明四边形是平行四边形，得到，则四边形MNDE是平行四边形，则，再利用线面平行的判定即可证明. 【解析】连接，ME， ∵M，E分别是，BC的中点， ∴，且， ∵N为的中点，∴. ，， 所以， ∴四边形是平行四边形， ∴，∴， ∴四边形MNDE是平行四边形， ∴，又平面，平面， ∴平面.    【变式5】如图所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，，，分别是对角线，上异于端点的动点，且.求证：直线平面； 【答案】证明见解析 【分析】利用线面平行的判定定理即可证得. 【解析】过作与交于点， 过作与交于点，连接. 由已知条件，可知矩形与矩形全等. 因为，且， 所以， 所以，又， 则四边形为平行四边形，所以， 因为不在平面内，平面，所以平面. 题型03 利用线面平行的性质判定或证明线线平行 【典例1】如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】连接交于点，连接，先利用三角形中位线性质和线面平行判定定理证明平面，然后由线面平行性质定理可证. 【解析】连接交于点，连接， 因为ABCD是平行四边形，所以为中点， 又M是PC的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面， 所以.    性质定理的作用: ①作为证明线线平行的依据.当证明线线平行时，可以证明其中一条直线平行于一个平面，另一条直线是过第一条直线的平面与已知平面的交线，从而得到两条直线平行. ②作为画一条与已知直线平行的直线的依据.如果一条直线平行于一个平面，要在平面内画一条直线与已知直线平行，可以过已知直线作一个平面与已知平面相交，交线就是所要画的直线. 【变式1】如图，在直三棱柱中，是边的中点，过，，作截面交于点D.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】先利用线面平行判定定理证明平面，然后由线面平行性质定理可证. 【解析】在直三棱柱中，因为，平面，平面， 所以平面， 又平面，平面平面， 所以. 【变式2】如图所示，过圆柱的轴的平面与该圆柱相截所形成的截面是边长为2的正方形是该圆柱底面圆周上异于两点的点.设平面平面，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】先利用线面平行判定定理证明平面，然后由线面平行性质定理可证. 【解析】由已知得，又平面，在平面外， 则平面， 又平面平面平面， 则. 题型06 线面平行的判定定理与性质定理的融合 【典例1】如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，为平面外一点，分别是的中点．记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明． 【答案】直线//平面，证明见解析 【分析】利用线面平行的判定、性质推理判断并证明. 【解析】直线平面，证明如下： 分别是的中点，得， 又平面，且平面，则平面， 而平面，且平面平面，因此， 又平面，平面，所以平面. 先根据直线与平面平行的性质有，过直线的平面与平行平面的交线，直线与交线是平行的，从而找到与直线平行的直线，然后再利用线面平行的判定定理证明线面平行。 【变式1】已知四棱锥的底面为正方形，设平面与平面的交线为．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据线面平行的判定及性质即可证明． 【解析】证明：在正方形中，， 又因为平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面，所以． 【变式2】如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，点为棱的中点．设平面与直线相交于点，求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】由线面平行的判定定理即可证明平面,再由线面平行的性质定理证明，最后再利用线面平行的判定定理证明平面． 【解析】因底面为平行四边形，故， 因平面，平面，故平面， 又因平面平面，平面，故， 因平面，平面， 故平面． 【变式3】如图，是空间四边形的对角线上任意一点，、分别在、上，且．又与相交于点，与相交于点，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】由成比例得到，由线面平行的判定得到平面，由线面平行的性质得到，再由平行的传递性得到. 【解析】证明：， ， 平面，平面， 平面． ，， 平面平面， 平面，平面，平面平面， ，又， . 【变式4】如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N、K分别为AB，PC，PA的中点，平面平面.    (1)判断直线l与BC的位置关系并证明； (2)求证：平面PAD； 【答案】(1),证明见解析；(2)证明见解析 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理证明即可. （2）证明四边形为平行四边形，利用线面平行的判定定理证明即可. 【解析】（1）.证明如下： 依题意，，平面，平面，则平面， 又平面平面，平面，所以. （2）取中点连接，在中， 在中，，则，即四边形为平行四边形， 因此，平面，平面， 所以平面.    题型05 利用线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【典例1】在四棱锥中，O为与的交点，平面，是正三角形，，，若点E为棱上一点，且平面，求的值． 【答案】． 【分析】根据线面平行的性质可得，即可由相似求解. 【解答】因为平面，平面， 平面平面，所以，所以， 因为，，所以， 所以． 分析动点满足的平行约束，转化为到定直线关系，确定轨迹形状（多为线段、直线或平面区域）。 【变式1】如图，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆的直径，M，C为底面圆周上的点，并将弧AB三等分，过AC作平面α，使SB∥α，设α与SM交于点N，则的值为 ． 【答案】 【解析】连接MB交AC于点D，连接ND，NA，NC， 则平面NAC即为平面α.因为SB∥α，平面SMB∩α＝DN，SB⊂平面SMB，所以SB∥DN.因为AB为底面圆的直径，点M，C将弧AB三等分，所以∠ABM＝∠BMC＝∠MBC＝∠BAC＝30°，MC＝BC＝AB，所以MC∥AB且MC＝AB，所以＝＝.又SB∥DN，所以＝＝，所以＝. 故答案为： 【变式2】如图，已知正方体，，分别为，的中点，点在上底面（含边界）上运动.请补充一个恰当条件，当点满足___________时，有平面. 【答案】在中点与中点连线上 【分析】取，，，的中点分别为，，，，连接，，，，，，，可证明平面，点在平面内，进而可得点在面与面的交线上，即可求解. 【解析】取，，，的中点分别为，，，， 连接，，，，，，， 因为，分别为，的中点，所以， 同理可得， 因为，，所以四边形是平行四边形，可得， 所以，同理可证明，， 所以，，，，，共面， 因为，平面，平面， 所以平面， 若平面，则点在平面内， 又因为点在上底面（含边界）， 所以点在平面与面的交线上， 所以点在线段上，即点在中点与中点连线上， 故答案为：在中点与中点连线上 【变式3】在长方体中，点P，R分别为BC，上的动点，当点P，R满足满足___________时，平面？ 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据给定条件，利用线面平行的判定，结合棱柱的几何特征求解. 【解析】 如图，当时，平面，理由如下： 在长方体中，由，得， 由，得四边形是平行四边形， 则，即，而平面，平面， 因此平面，所以当时，平面. 故答案为：（答案不唯一） 【变式4】如图，已知正三棱柱（底面是正三角形，侧面是矩形的棱柱）中，是上的点，是的中点，且平面．试判断点在上的位置，并给出证明． 【答案】为的中点，证明见解析 【分析】取的中点，连接，，设与交于点，结合图形，根据线面平行的性质定理得出，从而可证得是的中点，继而判断点在上的位置. 【解析】为的中点，证明如下： 取的中点，连接，， 设与交于点，易证且． 易知，，，共面， 因为平面，平面，且平面平面． 所以． 在平行四边形中，因为，且，所以是的中点， 所以点为的中点． 【变式5】四棱锥中底面是平行四边形，E是中点，平面与交于F． (1)求证：平面． (2)求证：F是中点． 【答案】(1)证明见解析; (2)证明见解析 【分析】（1）即证，利用线面平行的判定定理即可得证； （2）由（1）有平面，利用线面平行的性质定理即可得，进而得证. 【解析】（1）由底面是平行四边形，所以， 又平面平面， 所以平面； （2）由（1）有平面， 又平面，平面平面， 所以， 又E是中点， 所以F是中点. 题型06 利用线面平行求线段长度 【典例1】已知正方体的棱长为1，点是平面的中心，点是平面的对角线上一点，且平面，则线段的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用线面平行的性质定理及三角形的中位线定理，结合勾股定理即可求解. 【解析】连接，，则过点，如图所示： ∵平面，平面平面，平面， ∴，∵， ∴. 故选：B. 【变式1】已知直三棱柱 的侧棱和底面边长均为 分别是棱上的点，且，当平面时，的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过作交于，利用线面平行的性质可得 ，进而可得四边形为平行四边形，，即得. 【解析】过作交于，连接， 因为，∴，故共面, 因为平面，平面平面，平面， 所以，又, ∴四边形为平行四边形， 又， ∴， 所以. 故选：B． 【变式2】如图，长方体的底面是正方形，其侧面展开图是边长为4的正方形，E，F分别是侧棱上的动点，点P在棱上，且，若平面PBD，则EF的长为__________-.    【答案】 【分析】连接与交于点，连接，在棱上取，连接，，由平面PBD，证得四边形QEFC是平行四边形，在直角中，即可求解. 【解析】因为长方体的底面ABCD是正方形，其侧面展开图是边长为的正方形，所以，， 如图所示，连接与交于点，连接， 在棱上取，连接，，则，且， 因为平面PBD，且平面，平面平面， 所以，所以， 又因为，所以四边形QEFC是平行四边形，所以， 在直角中，，，所以， 所以.    故答案为： 【变式3】如图所示，，是的另一侧的点，，线段分别交于，若，则________，________． 【答案】 9 【分析】利用线面平行的性质定理即可求解 【解析】在平面的下方，是与平面的交点，在直线上，因此线段， 因,，故三点可确定平面 ，平面 ,且，平面与平面,故. 则有，即有 ，代入，解得 . 故答案为： 9 【变式4】三棱锥的所有棱长均为2，E，F分别为线段BC与AD的中点，M，N分别为线段AE与CF上的动点，若平面ABD，则线段MN长度的最小值为______． 【答案】 【分析】利用线面平行的性质定理即可求解 【解析】延长CM交AB于点I，因为平面ABD， 由线面平行性质定理可知，设， 因为三棱锥的所有棱长均为2， 所以，且E为线段BC的中点， 所以AE平分∠BAC，由角平分线定理可知， 所以， 因为F为线段AD的中点，所以， 由余弦定理可知， 所以， 令，，化简可得， 因为，所以， 则在时取得最小值， 所以， 综上当，即时MN取得最小值． 故答案为：． 【变式5】如图所示的一块正四棱锥木料，侧棱长和底面边长均为13，M为侧棱PA上的点． (1)若，要经过点M和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线?（请写出必要作图说明） (2)若，在线段上是否存在一点N，使直线平面?如果不存在，请说明理由，如果存在，求出的值以及线段MN的长. 【答案】(1)答案见解析；(2)存在，，7 【分析】（1）作，连接，利用平行公理可得共面，即可说明如何画线； （2）连接并延长交于E，连接，利用线面平行的性质定理推出，结合线段成比例，即可推出结论；利用余弦定理求出，结合线段成比例，即可求得线段MN的长. 【解析】（1）因为，所以M为的中点， 作，交于G，则G为的中点，连接， 则，由题意知四边形为平行四边形，则， 故，即共面， 故要经过点M和棱将木料锯开，在木料表面沿线段画线即可； （2）存在，，说明如下： 假设在线段上存在一点N，使直线平面， 连接并延长交于E，连接， 因为平面，平面，平面平面， 故，则， 由题意知四边形为正方形，故， 则，即假设成立， 故在线段上存在一点N，使直线平面，此时； 由于，，故，故， 中，，则 ， 即，而，， 故，则. 题型07 立体几何中的线面平行探索性问题 【典例1】如图所示的一块正四棱锥木料，侧棱长和底面边长均为13，M为侧棱PA上的点． (1)若，要经过点M和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线?（请写出必要作图说明） (2)若，在线段上是否存在一点N，使直线平面?如果不存在，请说明理由，如果存在，求出的值以及线段MN的长. 【答案】(1)答案见解析；(2)存在，，7 【分析】（1）作，连接，利用平行公理可得共面，即可说明如何画线； （2）连接并延长交于E，连接，利用线面平行的性质定理推出，结合线段成比例，即可推出结论；利用余弦定理求出，结合线段成比例，即可求得线段MN的长. 【解析】（1）因为，所以M为的中点， 作，交于G，则G为的中点，连接， 则，由题意知四边形为平行四边形，则， 故，即共面， 故要经过点M和棱将木料锯开，在木料表面沿线段画线即可； （2）存在，，说明如下： 假设在线段上存在一点N，使直线平面， 连接并延长交于E，连接， 因为平面，平面，平面平面， 故，则， 由题意知四边形为正方形，故， 则，即假设成立， 故在线段上存在一点N，使直线平面，此时； 由于，，故，故， 中，，则 ， 即，而，， 故，则. 根据平行关系设出未知点坐标或比例，利用线面平行或面面平行的性质建立方程，求参数值或证明存在。 【变式1】如图，已知四棱柱的底面为菱形，在直线上是否存在点P，使∥平面？ 【答案】存在 【分析】延长线段构造平行四边形，再通过线面平行的判定定理即可证明. 【解析】在直线上存在这样的点P，使∥平面． ∥∥且，∴四边形为平行四边形， ∥．在的延长线上取点P，使，连接， ∥且，∥且， ∴四边形是平行四边形，∥， ∥，平面，平面， ∥平面． 【变式2】矩形中，，为线段的中点，将沿折起，使得平面平面．在新构造的四棱锥中，在上是否存在点使得平面? 若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由；     【答案】)存在，是线段上靠近点的三等分点 【分析】设交于点，可证，因此只要，就有，进而可得平面. 【解析】存在．如图所示： 连接、，设交于点， ，且， ． 取的三等分点，使，连接、、，则． 又平面，平面， 平面． 故存在满足条件的点，且是线段上靠近点的三等分点． 【变式3】如图，在四棱锥中，底面四边形是平行四边形，是侧棱上一点，且．    (1)试确定侧棱上一点的位置，使平面． (2)在侧棱上是否存在一点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点在侧棱上满足．(2)存在，． 【分析】（1）直线在平面内运动，将平面转化成平面内的限制条件，就可以限制点的位置． （2）构造平面平面，利用面面平行的判定定理可说明点的位置. 【解析】（1）如图，连结，交于点，连结．显然为的中点．    若平面， 因为平面，平面平面， 所以，所以为的中点． 因为，所以． 又当时，有，从而平面． 所以点在侧棱上满足． （2）如图，取的中点，连结．    由（1）知为的中点， 所以，而平面，平面，所以平面． 又因为平面，平面，平面，且， 所以平面平面， 又平面，所以平面． 所以侧棱的中点符合题意，此时． 1．若直线l∥平面α，直线a⊂α，则（  ） A．l∥a B．l与a异面 C．l与a相交 D．l与a没有公共点 【答案】D 【分析】由线面位置关系结合异面直线的概念可直接得到答案. 【解析】若直线平面α，直线，则或l与a异面，故l与a没有公共点. 故选：D. 2．在空间中，直线平面的一个充要条件是（  ） A．内有一条直线与平行 B．内有无数条直线与平行 C．任意一条与垂直的直线都垂直于 D．存在一个与平行的平面经过 【答案】D 【分析】根据线面平行的性质即可结合选项求解. 【解析】对于A，B，C，直线都可能在内， 故选:D． 3．如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（  ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】对于A，根据结合线面平行的判断定理即可判断；对于B,根据结合线面平行的判断定理即可判断；对于C，根据，结合线面平行的判断定理即可判断；对于D，根据四边形是等腰梯形，与所在的直线相交，即可判断. 【解析】对于A,如下图所示， 易得, 则， 又平面,平面, 则平面，故A错误； 对于B，如下图所示， 为所在棱的中点，连接, 易得, 则四边形为平行四边形， 四点共面， 又易知， 又平面,平面, 则平面，故B错误； 对于C,如下图所示， 点为所在棱的中点，连接, 易得四边形为平行四边形，四点共面， 且, 又平面,平面, 则平面，故C错误； 对于D，连接, 由条件及正方体的性质可知四边形是等腰梯形， 所以与所在的直线相交， 故不能推出平面，故D正确， 故选：D. 4．如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为线段AD的中点，F为PC上一点，当平面时，=（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接交于点，连接，由线面平行的性质得，即有，结合已知得，即可得. 【解析】连接交于点，连接，显然平面平面， 又平面，平面，则，即， 由为平行四边形，且E为线段AD的中点，易知， 所以. 故选：A. 5．如图，在正方形中，分别是的中点，则直线与平面的位置关系是（  ） A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．无法确定 【答案】B 【分析】利用线面平行的判断定理即可判断。 【解析】连接交于，连接，，，而，分别是，的中点， 所以，即，且，即， 则四边形为平行四边形，故，由平面平面，则平面. 故选：B. 6．正三棱锥的各棱长均为2，D为的中点，M为的中点，E为上一点，且，平面交于点Q，则截面的面积为（  ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中位线可得线面平行，进而根据线面平行的性质可得线线平行，进而可得四边形为等腰梯形，即可由边角关系求解. 【解析】因为M，D分别为AB，BC的中点，故，又平面,平面，所以平面， 由于平面,平面平面,故， 又，故．在等腰梯形MDEQ中，，， 在中，，，则，故梯形的高为，故． 故选:D． 7．（多选）在四棱锥中，，，则下列结论中成立的是（  ） A．平面内任意一条直线都不与平行 B．平面内存在无数条直线与平面平行 C．平面和平面的交线不与底面平行 D．平面和平面的交线不与底面平行 【答案】ABC 【分析】利用反证法证明A、C，只需在平面内，与平面和平面的交线平行的所有直线（交线除外）均与平面平行，即可判断B，根据线面平行的判定定理与性质定理判断D. 【解析】因为，，所以四边形为梯形，且、不平行， 对于A：若平面内存在直线与平行，又平面， 所以平面，又平面平面，平面， 所以，与、不平行矛盾， 所以平面内任意一条直线都不与平行，故A正确； 对于B：因为平面和平面的一个交点为，故二者存在过点的一条交线， 在平面内，与平面和平面的交线平行的所有直线（交线除外）均与平面平行，故B正确； 对于C：若平面和平面的交线与底面平行， 设平面和平面的交线为，则平面， 因为平面平面，平面，所以，同理可得， 所以，与、不平行矛盾， 所以平面和平面的交线不与底面平行，故C正确； 对于D：因为，平面，平面，所以平面 设平面和平面的交线为，平面，所以， 因为平面，平面，所以平面， 故平面和平面的交线与底面平行，故D错误；    故选：ABC 8．（多选）下列底面为平行四边形的四棱锥中，A，B，C，M，N是四棱锥的顶点或棱的中点，则MN∥平面ABC的有（  ） A．   B．   C．   D．   【答案】AB 【分析】根据线面平行的判定定理可判断A，B选项；假设平面面，利用线面平行的性质定理结合平面内过一点有且仅有一条直线和已知直线平行可判断C，D选项. 【解析】对于A，设为的中点，底面为平行四边形，连接， 则，而，, 故，即四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 故平面，A正确； 对于B，设为的中点，底面为平行四边形，连接，    则，而，, 故，即四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 故平面，B正确； 对于C，设为的中点，底面为平行四边形，连接，    设交于，连接， 则，而, 故，即四边形为平行四边形， 故，又平面，平面， 平面平面， 假设平面，则， 即在平面内过点有两条直线和都平行， 这是不可能的，故此时平面不成立，C错误； 对于D，设底面为平行四边形， 连接交于点，交于，    则为的中点，连接， 由于为的中点，故； 又平面，平面，平面平面， 假设平面，则， 即在平面内过点有两条直线和都平行，这是不可能的， 故此时平面不成立，D错误； 故选：AB 9.（多选）下列说法中，正确的有（  ） A．如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行 B．如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内无数条直线相交 C．过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行 D．如果一条直线上有两点到平面的距离相等且不为0，那么这条直线和这个平面可能平行，也可能相交 【答案】BD 【分析】根据空间中直线与平面的位置关系逐项判断即可. 【解析】如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的直线平行或异面，所以A错； 如果一条直线与一个平面相交，那么在这个平面内作过交点的直线都与这条直线相交，有无数条，所以B正确； 过平面外一点有无数条直线与已知平面平行，所以C错； 如果一条直线上有两点到平面的距离相等且不为0，那么这条直线和这个平面可能平行，也可能相交，所以D正确． 故选：BD． 10．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是上一点，当点满足条件： 时，平面. 【答案】答案表述不唯一) 【分析】当为的中点，为的中点时，根据三角形中位线的性质即可判断，从而可得平面，由此可得出点满足条件的结论. 【解析】连接交于O，连接OE， 平面平面，平面平面 ， . 又 底面为平行四边形，为对角线与的交点， 故为的中点, 为的中点， 故当满足条件: 时，面. 故答案为: 答案表述不唯一) 11．如图，平面平面，直线平面，过点的直线分别交于点，过点的直线分别交于点．若，则________    【答案】 【分析】由线面平行得线线平行，再由平行线分割线段成比例可得，解出即可. 【解析】①当直线m，n共面时，因为平面平面，直线平面，面，面，， 所以， 根据平行线分割线段成比例可得， 又，解得， ②当为异面直线时，连接，如图    由①证明可知，， 所以， 又，解得. 故答案为： 12．如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点G的轨迹长度为______． 【答案】 【分析】取，，，的中点分别为，，，，连接，，，，，，，可证明平面，点在平面内，进而可得点在面与面的交线上，即可求解. 【解析】取，，，的中点分别为，，，， 连接，，，，，，， 因为，分别为，的中点， 所以，同理可得， 因为，， 所以四边形是平行四边形，可得， 所以，同理可证，， 所以，，，，，共面， 因为，面，面， 所以平面， 若平面，则点在平面内， 又因为点在上底面（含边界）， 所以点在面与面的交线上， 所以点在线段上，则点轨迹长度为. 故答案为： 13．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，，E是PD的中点． (1)求证：BC∥AD； (2)求证：CE∥平面PAB． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【分析】（1）根据线面平行的性质定理即可证明； （2）取PA的中点F，连接EF，BF，利用中位线的性质，平行四边形的性质，以及线面平行的判断定理即可证明． 【解析】（1）在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，BC⊂平面ABCD， 平面ABCD∩平面PAD＝AD，∴BC∥AD． （2）取PA的中点F，连接EF，BF，∵E是PD的中点， ∴EF∥AD，， 又由（1）可得BC∥AD，且，∴BC∥EF，BC＝EF， ∴四边形BCEF是平行四边形，∴EC∥FB， ∵EC⊄平面PAB，FB⊂平面PAB， ∴EC∥平面PAB． 14．如图，在正方体中，分别是的中点. (1)证明：平面； (2)棱上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在， 【分析】（1）利用三角形中位线性质和平行四边形性质可证得，根据线面平行的判定可证得结论； （2）假设存在点，延长交于，连接交于，根据三角形中位线性质可确定，利用线面平行的性质可证得四边形为平行四边形，由此可确定. 【解析】（1）连接， 分别为中点，， ，，四边形为平行四边形，， ，又平面，平面， 平面. （2）假设在棱上存在点，使得平面， 延长交于，连接交于， ，为中点，为中点， ，，， 平面，平面，平面平面， ，又，四边形为平行四边形，， ； 当时，平面. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13.5 直线与平面平行 教学目标 1.了解空间中直线与平面的位置关系及分类标准． 2.掌握直线与平面平行的判定定理与性质定理，能运用直线和平面平行的判定定理及性质定理解决相关问题． 3.在探究直线与平面的位置关系的过程中，发展直观想象素养． 4.在证明和运用直线与平面平行的判定定理以及运用直线与平面平行的性质定理作交线的过程中，发展直观想象和逻辑推理素养；在运用直线与平面平行的性质定理证明的过程中，发展逻辑推理素养。 教学重难点 1.重点 线面平行的判定定理的理解，证明题的规范书写；直线与平面平行的性质定理及其应用． 2.难点 直线与平面平行的判定定理与性质定理的综合应用. 知识点01 空间中直线与平面的位置关系 空间中直线与平面的位置关系： 一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种： 位置关系 直线a在平面α内 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 无数个公共点 有且只有一个公共点 没有公共点 符号 表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 注：直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，符号表示为a⊄α. 【即学即练】 1．若是异面直线，且平面，那么与平面的位置关系是（  ） A． B．与相交 C． D．以上三种情况都有可能 2．若直线a不平行于平面，且，则下列结论成立的是（  ） A．内的所有直线与a是异面直线 B．内不存在与a平行的直线 C．内存在唯一一条直线与a平行 D．内的所有直线与a都相交 知识点02 直线与平面平行的判定定理 直线与平面平行的判定定理： (1)自然语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. (2)图形语言 (3)符号语言 . 简记为“若线线平行，则线面平行”. 【即学即练】 1．如图，在三棱柱中，与平面平行的直线为（  ） A． B． C． D． 2．在如图所示的五面体中，四边形与均为等腰梯形，，，，，，、分别为、的中点，与相交于点．求证：平面． 知识点03 直线与平面平行的性质定理 直线与平面平行的性质定理： (1)自然语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. (2)图形语言 (3)符号语言 . 简记为“若线面平行，则线线平行”. 【即学即练】 1．如图，在三棱锥中，点D，E分别为棱PB，BC的中点.若点F在线段AC上，且满足平面PEF，则的值为（  ）    A．1 B．2 C． D． 2．已知：，是两个平面，，是两条直线，且，，.求证：.    题型01 直线与平面的位置关系 【典例1】已知直线，，平面，，，那么与平面的关系是（  ） A． B． C．或 D．与相交 1.了解线线平行、线面平行、面面平行三者之间的关系；了解线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的关系。 2.了解平行与垂直的传递性。 【变式1】下列命题为真命题的是（  ） A．若两直线、互相平行，则平行于经过的任何平面 B．若直线与平面平行，则平行于内的任何直线 C．若两直线、都与平面平行，则 D．若直线平行于平面，直线在平面内，则或者与为异面直线 【变式2】“直线与平面没有公共点”是“直线与平面平行”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】已知，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题中，真命题是（  ） A．若，，则与必异面 B．若点，点，则直线 C．若，，则 D．若点，点，则直线与相交 【变式4】（多选）下列命题中，真命题是（  ） A.若直线上有无数个点不在平面内，则； B.若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行； C.若直线不平行于平面且，则平面内不存在与平行的直线； D.若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点. 题型02 直线与平面平行的判定与证明 【典例1】四棱锥的底面为平行四边形，为中点，证明：平面. 证明线面平行的常用方法： (1)利用线面平行的定义：直线与平面没有公共点. (2)利用直线与平面平行的判定定理：a⊂α，a∥b，b⊂α，则a∥α.使用定理时，一定要说明“平面外一条直线与此平面内的一条直线平行”，若不注明，则证明过程不完整.因此，要证明a∥α，则必须在平面α内找一条直线b，使得a∥b，从而达到证明的目的，这三个条件缺一不可. (3)利用反证法.这时“平行”的否定有“在平面内”和“与平面相交”两种，只有在排除“直线在平面内”和“直线与平面相交”这两种位置关系后才能得到“直线与平面平行”的结论，在这一点上往往容易出错，应引起重视. 【变式1】如图，在下列四个正方体中，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的有（  ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（多选）在正方体中，分别是的中点，则下列说法中正确的是（  ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【变式3】如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为AB的中点，求证：BC1平面MA1C． 【变式4】如图，直四棱柱的底面是菱形，E，M，N分别是BC，，的中点，求证：平面.    【变式5】如图所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，，，分别是对角线，上异于端点的动点，且.求证：直线平面； 题型03 利用线面平行的性质判定或证明线线平行 【典例1】如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证：．   性质定理的作用: ①作为证明线线平行的依据.当证明线线平行时，可以证明其中一条直线平行于一个平面，另一条直线是过第一条直线的平面与已知平面的交线，从而得到两条直线平行. ②作为画一条与已知直线平行的直线的依据.如果一条直线平行于一个平面，要在平面内画一条直线与已知直线平行，可以过已知直线作一个平面与已知平面相交，交线就是所要画的直线. 【变式1】如图，在直三棱柱中，是边的中点，过，，作截面交于点D.求证：. 【变式2】如图所示，过圆柱的轴的平面与该圆柱相截所形成的截面是边长为2的正方形是该圆柱底面圆周上异于两点的点.设平面平面，求证：. 题型06 线面平行的判定定理与性质定理的融合 【典例1】如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，为平面外一点，分别是的中点．记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明． 先根据直线与平面平行的性质有，过直线的平面与平行平面的交线，直线与交线是平行的，从而找到与直线平行的直线，然后再利用线面平行的判定定理证明线面平行。 【变式1】已知四棱锥的底面为正方形，设平面与平面的交线为．求证：． 【变式2】如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，点为棱的中点．设平面与直线相交于点，求证：平面． 【变式3】如图，是空间四边形的对角线上任意一点，、分别在、上，且．又与相交于点，与相交于点，求证：． 【变式4】如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N、K分别为AB，PC，PA的中点，平面平面.    (1)判断直线l与BC的位置关系并证明； (2)求证：平面PAD； 题型05 利用线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【典例1】在四棱锥中，O为与的交点，平面，是正三角形，，，若点E为棱上一点，且平面，求的值． 分析动点满足的平行约束，转化为到定直线关系，确定轨迹形状（多为线段、直线或平面区域）。 【变式1】如图，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆的直径，M，C为底面圆周上的点，并将弧AB三等分，过AC作平面α，使SB∥α，设α与SM交于点N，则的值为 ． 【变式2】如图，已知正方体，，分别为，的中点，点在上底面（含边界）上运动.请补充一个恰当条件，当点满足___________时，有平面. 【变式3】在长方体中，点P，R分别为BC，上的动点，当点P，R满足满足___________时，平面？ 【变式4】如图，已知正三棱柱（底面是正三角形，侧面是矩形的棱柱）中，是上的点，是的中点，且平面．试判断点在上的位置，并给出证明． 【变式5】四棱锥中底面是平行四边形，E是中点，平面与交于F． (1)求证：平面． (2)求证：F是中点． 题型06 利用线面平行求线段长度 【典例1】已知正方体的棱长为1，点是平面的中心，点是平面的对角线上一点，且平面，则线段的长为（  ） A． B． C． D． 【变式1】已知直三棱柱 的侧棱和底面边长均为 分别是棱上的点，且，当平面时，的值为（  ） A． B． C． D． 【变式2】如图，长方体的底面是正方形，其侧面展开图是边长为4的正方形，E，F分别是侧棱上的动点，点P在棱上，且，若平面PBD，则EF的长为__________-.    【变式3】如图所示，，是的另一侧的点，，线段分别交于，若，则________，________． 【变式4】三棱锥的所有棱长均为2，E，F分别为线段BC与AD的中点，M，N分别为线段AE与CF上的动点，若平面ABD，则线段MN长度的最小值为______． 【变式5】如图所示的一块正四棱锥木料，侧棱长和底面边长均为13，M为侧棱PA上的点． (1)若，要经过点M和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线?（请写出必要作图说明） (2)若，在线段上是否存在一点N，使直线平面?如果不存在，请说明理由，如果存在，求出的值以及线段MN的长. 题型07 立体几何中的线面平行探索性问题 【典例1】如图所示的一块正四棱锥木料，侧棱长和底面边长均为13，M为侧棱PA上的点． (1)若，要经过点M和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线?（请写出必要作图说明） (2)若，在线段上是否存在一点N，使直线平面?如果不存在，请说明理由，如果存在，求出的值以及线段MN的长. 根据平行关系设出未知点坐标或比例，利用线面平行或面面平行的性质建立方程，求参数值或证明存在。 【变式1】如图，已知四棱柱的底面为菱形，在直线上是否存在点P，使∥平面？ 【变式2】矩形中，，为线段的中点，将沿折起，使得平面平面．在新构造的四棱锥中，在上是否存在点使得平面? 若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由；     【变式3】如图，在四棱锥中，底面四边形是平行四边形，是侧棱上一点，且．    (1)试确定侧棱上一点的位置，使平面． (2)在侧棱上是否存在一点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 1．若直线l∥平面α，直线a⊂α，则（  ） A．l∥a B．l与a异面 C．l与a相交 D．l与a没有公共点 2．在空间中，直线平面的一个充要条件是（  ） A．内有一条直线与平行 B．内有无数条直线与平行 C．任意一条与垂直的直线都垂直于 D．存在一个与平行的平面经过 3．如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（  ） A．B．C．D． 4．如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为线段AD的中点，F为PC上一点，当平面时，=（  ） A． B． C． D． 5．如图，在正方形中，分别是的中点，则直线与平面的位置关系是（  ） A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．无法确定 6．正三棱锥的各棱长均为2，D为的中点，M为的中点，E为上一点，且，平面交于点Q，则截面的面积为（  ）    A． B． C． D． 7．（多选）在四棱锥中，，，则下列结论中成立的是（  ） A．平面内任意一条直线都不与平行 B．平面内存在无数条直线与平面平行 C．平面和平面的交线不与底面平行 D．平面和平面的交线不与底面平行 8．（多选）下列底面为平行四边形的四棱锥中，A，B，C，M，N是四棱锥的顶点或棱的中点，则MN∥平面ABC的有（  ） A．   B．   C．   D．   9.（多选）下列说法中，正确的有（  ） A．如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行 B．如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内无数条直线相交 C．过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行 D．如果一条直线上有两点到平面的距离相等且不为0，那么这条直线和这个平面可能平行，也可能相交 10．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是上一点，当点满足条件： 时，平面. 11．如图，平面平面，直线平面，过点的直线分别交于点，过点的直线分别交于点．若，则________    12．如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点G的轨迹长度为______． 13．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，，E是PD的中点． (1)求证：BC∥AD； (2)求证：CE∥平面PAB． 14．如图，在正方体中，分别是的中点. (1)证明：平面； (2)棱上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $