专题15.3 互斥事件和独立事件（高效培优讲义）数学苏教版高一必修第二册

本讲义聚焦互斥事件、对立事件及独立事件核心知识点，从事件的包含、并、交关系切入，构建互斥与对立的概念体系，再延伸至独立事件的判定与性质，形成从基础关系到复杂应用的学习支架。 资料通过“即学即练”“典例变式”分层设计，结合表格对比互斥与独立事件差异，培养学生逻辑推理与数学运算素养。课中助教师清晰授课，课后学生可通过题型训练巩固知识，提升用数学语言解决实际问题的能力。

专题15.3 互斥事件和独立事件 教学目标 1.在了解随机事件交、并运算的基础上了解互斥事件、对立事件的含义，能判断某两个事件是否为互斥事件，进而判断它们是否为对立事件；结合有限样本空间，了解两个事件相互独立的概念，弄清相互独立事件与互斥事件的差异． 2.掌握互斥事件概率的加法公式和对立事件概率关系公式，会用公式进行简单的概率计算； 能够综合运用互斥事件概率的加法公式和相互独立事件概率的乘法公式求较复杂事件的概率． 3.在将复杂事件转化为简单事件及“正难则反”逆向思维过程中，发展逻辑推理素养；在应用公式计算概率过程中，发展数学运算素养；通过推导相互独立事件的性质以及将复杂事件分解为简单事件的过程中，发展逻辑推理素养；在综合运用公式计算概率的过程中，发展数学运算素养． 教学重难点 1.重点 互斥事件、对立事件的概念及概率的加法公式；用相互独立事件的概率乘法公式计算相关事件的概率． 2.难点 将较复杂事件的概率转化为简单事件的概率；概率乘法公式和加法公式的综合运用. 知识点01 互斥事件 1．互斥事件与对立事件 (1)互斥事件 ①互斥事件的定义 若事件A与B不可能同时发生，即A∩B=∅，则称A与B为互斥事件（互不相容事件）. ②互斥事件的推广 若事件A1，A2，…，An中任意两个都互斥，则称它们两两互斥. (2)对立事件 ①对立事件的定义 若事件A与B互斥，且A+B=Ω（必有一个发生），则称A与B为对立事件，记作或. 注：对立事件必互斥，但互斥事件不一定对立. (2)对立事件与互斥事件的区别 ①互斥事件：不能同时发生，可以都不发生； ②对立事件：不能同时发生，且必有一个发生. 【即学即练】 1．一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，若从中任取2支.记事件A=“恰有1支一等品”，事件B=“2支都是二等品”，事件C=“没有三等品”，下列说法正确的是（  ） A．事件A与事件B互斥 B．事件B与事件C互斥 C．事件A与事件C对立 D．事件B 与事件C对立 【答案】A 【分析】利用互斥事件与对立事件的概念逐项判断即可. 【解析】对于A，事件A与事件B不会同时发生，所以事件A与事件B互斥，故A正确； 对于B，若取到的两支笔都是二等品，则事件B与事件C同时发生， 所以事件B与事件C不是互斥事件，故B错误； 对于C，若取到的两支笔是一支二等品，一支三等品，则事件A与事件C都没有发生， 所以事件A与事件C不是对立事件，故C错误； 对于D，若取到的两支笔是一支一等品，一支三等品，则事件B与事件C都没有发生， 所以事件B与事件C不是对立事件，故D错误； 故选：A. 2．一个不透明的袋子中装有大小和质地相同的6个球，其中有2个红球，2个绿球，2个蓝球，从袋中一次性随机取出2个球，设事件“2个球颜色相同”，事件“2个球中至少有一个红球”，事件“2个球中至多有一个红球”，事件“2个都不是红球”，则（  ） A．与互斥 B．与对立 C．与相互独立 D． 【答案】D 【分析】由和互斥事件、对立事件定义即可判断AB；由即可判断C；由交事件定义计算即可判断D. 【解析】将2个红球、2个绿球和2个蓝球分别记为， 则从袋中一次性随机取出2个球的样本空间为共15个样本点， 由题意共3个样本点，共9个样本点， 共14个样本点，共6个样本点， 所以，故A与D不互斥，故A错误； ，故B与C不互斥，故B错误； 因为，一个样本点， 所以，即，故C错误； ，故D正确. 故选：D 知识点02 事件的关系和运算 (1)两个事件的关系和运算 事件的关系或运算 含义 符号表示 图形表示 包含 A发生导致B发生 并事件 （和事件） A与B至少一个发生 或 交事件 （积事件） A与B同时发生 或 互斥 （互不相容） A与B不能同时发生 互为对立 A与B有且仅有一个发生 ， （2）多个事件的和事件、积事件 类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.对于多个事件A，B，C，…，A∪B∪C∪… (或A+B+C+…)发生当且仅当A，B，C，…中至少一个发生，A∩B∩C∩… (或ABC…)发生当且仅当A，B，C，…同时发生. （3）用集合观点看事件间的关系 符号 概率角度 集合角度 Ω 必然事件 全集 ∅ 不可能事件 空集 ω 试验的可能结果 Ω中的元素 A 事件 Ω的子集 A的对立事件 A的补集 事件A包含于事件B 集合A是集合B的子集 事件A等于事件B 集合A等于集合B 或 事件A与事件B的并（和）事件 集合A与B的并集 或 事件A与事件B的交（积）事件 集合A与B的交集 事件A与事件B互斥 集合A与B的交集为空集 ，且 事件A与事件B对立 集合A与B互为补集 （4）概率的基本性质 性质1 对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)= 1，P(∅)=0. 性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)＋P(B). 推广：如果事件A1，A2，…，Am．两两互斥，那么事件发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P()=P(A1)+P(A2)+…+P(Am). 性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B). 性质5 如果，那么P(A)≤P(B). 性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B). 【即学即练】 1．已知事件互斥，且，则（  ） A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.9 【答案】B 【分析】根据互斥事件的概率加法公式即可求解. 【解析】由题可知. 故选：. 2．（多选）某学校为了丰富同学们的课外活动，为同学们举办了四种科普活动：科技展览、科普讲座、科技游艺、科技绘画．记事件：只参加科技游艺活动；事件：至少参加两种科普活动；事件：只参加一种科普活动；事件：一种科普活动都不参加；事件：至多参加一种科普活动，则下列说法正确的是（  ） A．与是互斥事件 B．与是对立事件 C． D． 【答案】ABC 【分析】根据互斥事件和对立事件的概念判断AB的真假，根据事件的交、并的概念判断CD的真假. 【解析】对A：互斥事件表示两事件的交集为空集.事件：只参加科技游艺活动， 与事件：一种科普活动都不参加，二者不可能同时发生，交集为空集，故A正确； 对B：对立事件表示两事件互斥且必定有一个发生. 事件和事件满足两个特点，故B正确； 对C：表示：至多参加一种科普活动，即为事件，故C正确； 对D：表示：只参加一种科普活动，但不一定是科技游艺活动，故D错误. 故选：ABC 知识点03 独立事件 1．独立事件 (1)定义 对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. (2)性质 若事件A与B相互独立，则与B，A与，与也相互独立. (3)应用 因为“A与B相互独立”是“P(AB)=P(A)P(B)”的充要条件，所以如果已知两个事件是相互独立的，则由它们各自发生的概率可以迅速得到它们同时发生的概率.在实际问题中，我们常常依据实际背景去判断事件之间是否存在相互影响，若认为事件之间没有影响，则认为它们相互独立. (4)推广 两个事件的相互独立性可以推广到n(n>2，n∈N*)个事件的相互独立性，即若事件A1，A2，…，An相互独立，则这n个事件同时发生的概率P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An). 2．互斥事件与相互独立事件的辨析 (1)互斥事件与相互独立事件都描述的是两个事件间的关系，但互斥事件强调不可能同时发生，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.用表格表示如下： 相互独立事件 互斥事件 判断方法 一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响. 两个事件不可能同时发生，即AB=∅. 概率公式 若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B). 若事件A与B互斥，则P（A∪B）=P（A）+P（B），反之不成立. (2)已知事件A，B发生的概率分别为P(A)，P(B)，我们有如下结论： 事件 表示 概率（A，B互斥） 概率（A，B相互独立） A，B中至少有一个发生 P(A∪B) P(A)+P(B) 或 P(A)+P(B) A，B都发生 P(AB) 0 P(A)P(B) A，B都不发生 [P(A)+P(B)] A，B恰有一个发生 P(A)+P(B) A，B中至多有一个发生 1 P(A)P(B) 【即学即练】 1．（多选）一个质地均匀的正四面体个表面上分别标有数字，抛掷该正四面体两次，记事件“第一次向下的数字为或”，事件“两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法正确的是（  ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件发生的概率为 D．事件发生的概率为 【答案】BC 【分析】A应用互斥事件进行判断；B根据事件独立性的定义，结合题设描述判断；C根据事件独立性计算交事件的概率；D应用事件的概率性质求发生的概率即可判断. 【解析】对于A，由“第一次向下的数字为或”，事件“两次向下的数字之和为偶数”，而发生同时也有可能发生，故不是互斥事件，A错误; 对于B，因为，而， 故，即事件与事件相互独立，B正确； 对于C，因为事件与事件相互独立所以事件与事件相互独立，，C正确； 对于D，事件发生的概率，D错误； 故选：BC. 2．假定生男、生女是等可能的，一个家庭中有若干个小孩，事件表示“一个家庭中既有男孩又有女孩”，事件表示“一个家庭中最多有一个男孩”．对下列两种情形，判断事件与事件是否相互独立． (1)一个家庭中有2个小孩； (2)一个家庭中有3个小孩． 【答案】(1)事件与事件不相互独立; (2)事件与事件相互独立 【分析】（1）列举所有可能性，求出对应概率，根据独立事件概念判断即可； （2）列举所有可能性，求出对应概率，根据独立事件概念判断即可. 【解析】（1）若家庭中有2个小孩，样本空间为{（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）}，共有4个样本点． 由等可能性，知每个样本点发生的概率都为． 此时（男，女），（女，男）（男，女），（女，男），（女，女）， 而（男，女），（女，男）， 则，，． 显然， 故在一个家庭中有2个小孩的前提下，事件与事件不相互独立． （2）若家庭中有3个小孩，样本空间为｛（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），（男，女，女），（女，女，男），（女，男，女），（女，女，女）}，共有8个样本点． 由等可能性，知每个样本点发生的概率都为． 此时（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），（男，女，女），（女，女，男），（女，男，女）（男，女，女），（女，女，男），（女，男，女），（女，女，女）， 而（男，女，女），（女，女，男），（女，男，女）， 则，，． 显然，故在一个家庭中有3个小孩的前提下，事件与事件相互独立． 题型01 互斥事件与对立事件的辨析 【典例1】在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是1或3”，事件C表示“向上的点数是4或5或6”，则下列说法正确的是（  ） A．A与B是对立事件 B．B与C是对立事件 C．A与C是互斥事件 D．A与B是互斥事件 【答案】D 【分析】根据互斥事件和对立事件的概念逐项分析即可. 【解析】当向上的点数为5时，事件A与B同时不发生，故A错误； 当向上的点数为2时，事件B与C同时不发生，故B错误； 当向上的点数是4或6时，事件A与事件C同时发生，故C错误； 事件A与事件B不能同时发生，故D正确． 故选：D. 判断事件对立的两步骤： 第一步，判断是互斥事件； 第二步，确定两个事件必然有一个发生，否则只有互斥，但不对立． 【变式1】一个袋子里装有2个红球和2个黑球，甲、乙每人随机不放回地取1个球，则互斥且不对立的两个事件是（  ） A．“甲取出的球是红球”与“甲取出的球是黑球” B．“甲取出的球是红球”与“乙取出的球是红球” C．“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球都是黑球” D．“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球中至少有1个红球” 【答案】C 【分析】由互斥，对立事件定义分析各选项可得答案. 【解析】A选项，“甲取出的球是红球”与“甲取出的球是黑球”是对立事件，故A错误； B选项，“甲取出的球是红球”与“乙取出的球是红球”可以同时发生，不是互斥事件，故B错误； C选项，“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球都是黑球”是互斥且不对立事件，故C正确； D选项，“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球中至少有1个红球”可以同时发生，不是互斥事件，故D错误. 故选：C. 【变式2】国际上通用的茶叶分类法，是按发酵程度把茶叶分为不发酵茶（如：龙井、碧螺春）和发酵茶（如：茉莉花茶、铁观音乌龙茶、普洱茶）两大类，现有6个完全相同的纸盒，里面分别装有龙井、碧螺春、茉莉花茶、铁观音、乌龙茶和普洱茶，从中任取若干盒，判断下列两个事件既是互斥事件又是对立事件的是（  ） A．“取出碧螺春”和“取出茉莉花茶” B．“取出发酵茶”和“取出龙井” C．“取出乌龙茶”和“取出铁观音” D．“取出不发酵茶”和“取出发酵茶” 【答案】D 【分析】由互斥，对立事件定义分析各选项可得答案. 【解析】对A，事件“取出碧螺春”和事件“取出茉莉花茶”不可能同时发生，也有可能都不发生，所以是互斥事件而不是对立事件．错误； 对B，事件“取出不发酵茶”和事件“取出龙井”不是互斥事件，因为“取出龙井”时，事件“取出不发酵茶”也发生了．错误； 对C，事件“取出乌龙茶”和事件“取出铁观音”不可能同时发生，也有可能都不发生，所以是互斥事件而不是对立事件．错误； 对D，事件“取出不发酵茶”和事件“取出发酵茶”不可能同时发生，但必有一个发生，所以既是互斥事件又是对立事件．正确． 故选：D. 【变式2】抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件表示“骰子向上的点数为奇数”，事件表示“骰子向上的点数为偶数”，事件表示“骰子向上的点数大于3”，事件表示“骰子向上的点数小于3”则（  ） A．事件与事件互为对立事件 B．事件与事件互为对立事件 C．事件与事件互斥 D．事件与事件互斥 【答案】A 【分析】利用互斥事件、对立事件的概念分析即可. 【解析】易知事件E可表示为，事件F可表示为，事件G可表示为, 事件H可表示为，抛掷一枚质地均匀的骰子一次可表示为, 得到是U的真子集，， 所以A正确，B错误，C错误，D错误. 故选：A 【变式3】（多选）甲、乙两人参加某商场举行的抽奖活动，中奖名额不限，设事件为“甲中奖”，事件为“乙中奖”，事件为“甲、乙中至少有一人中奖”，则下列说法正确的是（  ） A． 与互斥 B．与对立 C．与互斥 D．与对立 【答案】ABD 【分析】根据题意，结合互斥事件、对立事件的概念，逐项判定，即可求解. 【解析】与可以同时发生，所以与不互斥，故A错误； 与可以同时发生，所以与不互斥也不对立，故B错误； 为甲乙都中奖，为甲乙都不中奖，与不可能同时发生，所以与互斥，故C正确； 若事件发生，则事件一定发生，故与不是互斥事件，更不是对立事件，故D错误. 故选：ABD 题型02 事件的运算及其含义 【典例1】打靶3次，事件表示“击中i发”，其中．那么事件表示（     ） A．全部击中 B．至多击中1发 C．都未击中 D．至少击中1发 【答案】D 【分析】先明确各事件具体含义，再理解并集运算逻辑，接着合并事件情况推导结论即可. 【解析】由题意可得，事件是彼此互斥的事件， 且为必然事件， 所以表示的是打靶三次至少击中一次， 故选：D. 【变式1】某同学参加跳远测试，共有3次机会．用事件（）表示随机事件“第i（）次跳远成绩及格”，那么事件“前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格”可以表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意依次判断各项事件运算对应的含义，即可得. 【解析】表示前两次测试成绩均及格，故A错误； 表示后两次测试都没有及格，故B错误； 表示前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格，故C正确； 表示三次测试成绩均不及格，故D错误， 故选：C. 【变式2】打靶3次，记事件表示“共击中i发”，其中，那么表示（  ） A．“全部击中” B．“至少击中1次” C．“至多击中1次” D．“至少击中2次” 【答案】C 【分析】先明确各事件具体含义，再理解并集运算逻辑，接着合并事件情况推导结论即可. 【解析】由题意，表示共击中0次，表示共击中1次， 所以表示打靶3次，其中“至多击中1次”，或“击中不超过1次”. 故选：C 【变式3】（多选）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据事件之间的关系与运算分别判断选项即可. 【解析】用表示试验的射击情况，其中表示第1次射击的情况，表示第2次射击的情况，以1表示击中，0表示没中， 则样本空间. 由题意得，，，， 则，，且.即ABC都正确； 又，. .故D不正确. 故选：ABC 【变式3】（多选）中国四大名楼是一种泛称，特指山西永济鹳雀楼、江西南昌滕王阁、湖北武汉黄鹤楼、湖南岳阳岳阳楼．记事件“只去黄鹤楼”，事件“至少去两个名楼”，事件“只去一个名楼”，事件“一个名楼也不去”，事件“至多去一个名楼”，则下列命题正确的是（  ） A．E与H是互斥事件 B．F与I是互斥事件，且是对立事件 C． D． 【答案】ABC 【分析】根据互斥事件、对立事件的定义和事件间的运算即可得出答案. 【解析】对于A，事件E，H不可能同时发生，是互斥事件，故A正确； 对于B，事件F与I不可能同时发生，且发生的概率之和为1，是互斥事件，且为对立事件，故B正确； 事件“至多去一个名楼”刚好包含事件“只去一个名楼”与事件“一个名楼也不去”，所以，，故C正确，D错误 故选：ABC． 题型03 互斥事件的概率加法公式的应用 【典例1】若，则 _____________ 【答案】 【分析】首先求得，然后结合即可求解. 【解析】由题意， 所以. 故答案为： 1.求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，应用互斥事件的概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)求解；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P()求解． 2.解决此类题的关键是明晰概率加法公式应用的前提是“各事件是互斥事件”，对于较难判断关系的，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析． 【变式1】已知两个随机事件和，其中，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合互斥事件概率加法公式可得，进而可得结果. 【解析】， ． 故选：D. 【变式2】已知事件A，B，C两两互斥，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合互斥事件概率加法公式可得，进而可得结果. 【解析】因为事件A，B，C两两互斥， 则． 又因为， 可得，解得， 所以． 故选：B. 【变式3】抛掷一枚骰子，观察出现的点数，设事件为“出现1点”，事件为“出现2点”．已知，则出现1点或2点的概率为__________； 【答案】 【分析】应用互斥事件的加法公式求概率即可. 【解析】抛掷一枚骰子，“出现1点”和“出现2点”不能同时发生，所以事件与事件互斥， 故出现1点或2点的概率为． 故答案为： 【变式4】已知事件、、两两互斥，若，则____________ 【答案】 【分析】根据互斥事件的概率公式求出、. 【解析】因为事件、、两两互斥，， 所以， 所以. 故答案为： 【变式5】若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，则实数的取值范围为__________ 【答案】 【分析】由随机事件互斥, 发生的概率均不等0 ,且,由此能求出实数的取值范围. 【解析】∵随机事件互斥，且 发生的概率均不等0 ,且, 所以，即 解得： 故答案为：. 【变式6】袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，取到红球的概率是，取到黑球或黄球的概率是，取到黄球或绿球的概率是．试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少． 【答案】取到黑球的概率是，取到黄球的概率是，取到绿球的概率是． 【分析】根据给定条件，利用互斥事件的概率公式列出方程组求解即可. 【解析】从袋中任取一球，记事件“取到红球”，“取到黑球”，“取到黄球”和“取到绿球”分别为，则事件两两互斥， 依题意，，则，解得， 所以取到黑球的概率是，取到黄球的概率是，取到绿球的概率是． 题型04 利用对立事件的概率公式求概率 【典例1】如图，用三种不同元件连接成系统，每个元件是否正常工作不受其它元件的影响．当元件都正常工作或正常工作时，系统正常工作．已知元件正常工作的概率分别为，则系统正常工作的概率为（  ） A．0.504 B．0.846 C．0.902 D．0.956 【答案】D 【分析】利用对立事件的概率公式将目标事件合理转化，再结合独立事件的概率公式求解即可. 【解析】由题意得，，， 且系统正常工作的对立事件为系统不都正常工作且也不正常工作， 而每个元件是否正常工作不受其它元件的影响，则相互独立， 可得不都正常工作的概率为， 故系统不正常工作的概率为， 由对立事件的概率公式得系统正常工作的概率为，故D正确. 故选：D 求复杂事件的概率通常有两种方法： 一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，应用互斥事件的概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)求解； 二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P()求解． 【变式1】某电子图书平台通过大数据观测发现，读者选择类图书的概率为，选择类图书的概率为两类图书都不选的概率为，则两类图书都选的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对立事件和概率加法公式即可求解. 【解析】设事件“读者选择类图书”， 事件“读者选择类图书”， 则， 可得， 又， 所以. 故选：. 【变式2】已知事件相互独立，若，则的值为（  ） A．0.36 B．0.4 C．0.6 D．0.76 【答案】B 【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式求解即可. 【解析】由题意，， 则，即. 故选：B. 【变式3】（多选）在一次随机试验中，事件发生的概率分别是0.2，0.3，0.5，则下列说法错误的是（  ） A．与是互斥事件，也是对立事件 B．是必然事件 C． D． 【答案】ABC 【分析】根据事件，，不一定两两互斥，结合概率运算公式和互斥、对立的概念，即可求解. 【解析】由事件，，不一定两两互斥，所以, ，且， 所以不一定是必然事件，无法判断与是不是互斥或对立事件， 所以A、B、C中说法错误. 故选：ABC. 【变式4】玻璃球盒中装有除颜色外完全相同的球共12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球，求从中取1球： (1)取得红球或黑球的概率； (2)取得红球或黑球或白球的概率． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）（2）利用互斥事件或对立事件的知识来求得所求概率. 【解析】（1）记事件表示“任取1球为红球”，表示“任取1球为黑球”，表示“任取1球为白球”，表示“任取1球为绿球”， 则，，，． 解法一：利用互斥事件求概率． 根据题意知，事件，，，彼此互斥，由互斥事件概率公式，得 取出1球为红球或黑球的概率为． 解法二：利用对立事件求概率． 由解法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球， 即的对立事件为．所以取得1球为红球或，黑球的概率为： ． （2）解法一：利用互斥事件求概率． 取出1球为红球或黑球或白球的概率为． 解法二：利用对立事件求概率． 的对立事件为，则． 【变式5】2025年六五环境日主题为“美丽中国我先行”，南京市某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动.某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答这道题正确的概率是，甲、乙两个家庭都回答正确的概率是，乙、丙两个家庭至少一家回答正确的概率是.各家庭回答是否正确相互独立. (1)求乙、丙两个家庭各自回答这道题正确的概率； (2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答这道题正确的概率. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式来进行计算即可； （2）利用间接法来求三个家庭只有1个家庭或0个家庭回答正确的概率,即可求对立事件概率. 【解析】（1）记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件， 由甲家庭回答这道题正确的概率是，甲、乙两个家庭都回答正确的概率是， 则， 解得， 由乙、丙两个家庭至少一家回答正确的概率是， 则 即. 所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率为和. （2）有0个家庭回答正确的概率， 有1个家庭回答正确的概率为 所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率. 题型05 独立事件的判断和证明 【典例1】（多选）已知随机事件满足，且事件与相互独立，则下列说法正确的是（  ） A．若与相互独立，则 B．若，则与相互独立 C．若与互斥，且与也相互独立，则 D．若与相互独立，且与也相互独立，则 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，结合概率的性质、互斥事件、相互独立事件的概率公式，逐项分析判断即可. 【解析】因为事件与相互独立，所以事件与相互独立， 所以， 因为，A正确； ，又， 所以，又， 所以，即与相互独立，B正确； 因为与互斥，所以， 又因为与相互独立， 所以，C错误； 因为与相互独立，所以， 又因为与相互独立，所以，故D正确. 故选：ABD. 1.定义法：对于两个事件A、B，若事件A的发生不影响事件B发生的概率，即P(A∩B)=P(A)P(B)，则称事件A与B相互独立。 2. 性质法：若A与B独立，则与B、A与、与也相互独立。 【变式1】分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚反面朝上”，“第二枚正面朝上”，则（  ） A．A包含B B．A与B互斥 C．A与B互为对立 D．A与B相互独立 【答案】D 【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概念以及事件的概率求法逐一判断即可. 【解析】A不包含B，A与B不互斥，也不互为对立. 又因为，，，， 所以A与B相互独立. 故选：D. 【变式2】（多选）任意抛掷一枚骰子一次观察它向上一面的点数，得到样本空间为，若事件，事件，事件满足，下列结论中正确的是（  ） A． B．事件，，两两独立 C．当事件时， D．当事件时，满足条件的事件有3个 【答案】AC 【分析】根据概率定义和独立性条件，分别计算验证AC即可，对于B，，故事件，不相互独立，故B错误，对于D，事件的样本点包含1不包含5，所以满足条件的事件有4个，故D错误. 【解析】对于A，由题意得，故A正确； 对于B，由题意得，，， 所以事件，不相互独立，故B错误； 对于C，当时，， 解得，故C正确； 对于D，当时，， 解得，即事件包含4个样本点， 并且必包含1，不包含5，再从剩下的2，3，4，6中选3个， 所以满足条件的事件分别是， 共4个，故D错误. 故选：AC. 【变式3】判断下列各对事件是不是相互独立事件． (1)甲组有3名男生，2名女生，乙组有2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”； (2)一筐内有6个苹果和3个梨，“从中任意取出1个，取出的是苹果”与“把取出的水果放回筐内，再从筐内任意取出1个，取出的是梨”； (3)一个布袋里有大小完全相同的3个白球，2个红球，“从中任意取1个球是白球”与“取出的球不放回，再从中任意取1个球是红球”． 【答案】(1)是相互独立事件; (2)是相互独立事件．; (3)不是相互独立事件． 【分析】略 【解析】（1）“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响， 所以二者是相互独立事件． （2）由于把取出的水果又放回筐内，故“从中任意取出1个， 取出的是苹果”这一事件是否发生对“再从筐内任意取出1个， 取出的是梨”这一事件发生的概率没有影响，所以二者是相互独立事件． 不放回地取球，前者的发生影响后者发生的概率，所以二者不是相互独立事件． 【变式4】分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚反面朝上”，“第二枚正面朝上”， 证明A与B相互独立 【答案】证明见解析 【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概念以及事件的概率求法逐一判断即可. 【解析】A不包含B，A与B不互斥，也不互为对立. 又因为，，，， 所以A与B相互独立. 【变式5】某商场开展促销活动，每消费调500元可获得一次抽奖机会.抽奖箱装有3个红球、2个白球、1个蓝球，这些球除颜色外完全相同.抽奖规则如下：一次性随机摸出2个球，若摸出2个红球，可获得一等奖；若摸出1个红球和1个蓝球，可获得二等奖. (1)已知甲在该商场消费了500元，求甲获得一等奖的概率； (2)为加大促销力度，在原规则的基础上，当顾客在该商场消费满1000元时，若顾客两次抽奖均摸出蓝球，则额外获得一个二等奖.已知乙在该商场消费了1000元，记“乙至少获得一个一等奖”为事件，“乙恰好获得一个二等奖”为事件.判断事件与是否相互独立，并说明理由. 【答案】(1)； (2)不相互独立，理由见解析 【分析】（1）写出所有的样本点，再根据古典概率公式即可得出答案； （2）利用独立性事件同时发生的乘法公式及互斥事件发生的加法公式计算，再验证与是否相等即可判断. 【解析】（1）记三个红球分别为，，，两个白球分别为，，蓝球为， 则6个球中一次摸出两球的样本空间为： ， 则，且每个样本点出现的可能性相等，所以这是一个古典概型.     记事件“甲获得一等奖”，则，，     所以，所以甲获得一等奖的概率为. （2）记事件“乙第次摸得两个红球”，事件“乙第次摸得一红一蓝两个球”， 事件“乙第次摸得一白一蓝两个球”，事件“乙第次未摸到蓝球”，其中，2. 由（1）知； ，；     ，；     ，.     则，，与相互独立. 所以.     因为，且事件，，两两互斥，两次抽奖相互独立， 所以 .     因为，且，互斥，两次抽奖相互独立， 所以.     所以，所以事件与事件不相互独立. 题型06 相互独立事件与互斥事件的辨析 【典例1】（多选）抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的点数.若连续抛掷两次，则（  ） A．事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为偶数”为互斥事件 B．事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为奇数”互为对立事件 C．事件“两次点数之和大于6”与“两次点数之和小于6”互为对立事件 D．事件“第一次点数为偶数”与“第二次点数为奇数”相互独立 【答案】BD 【分析】利用互斥事件、对立事件、独立事件的定义逐项判断即可. 【解析】对于A，因为“至少有一次点数为偶数”包含恰有一次点数为偶数和恰有两次点数为偶数， 故事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为偶数”可能同时发生， 所以事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为偶数”不为互斥事件，故A错误； 对于B，因为“至少有一次点数为奇数” 包含恰有一次点数为奇数和恰有两次点数为奇数， 所以事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为奇数”不会同时发生， 因为在一次实验中“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为奇数”必然有一个事件会发生， 所以事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为奇数”互为对立事件，故B正确； 对于C，因为事件“两次点数之和等于6”发生时，事件“两次点数之和大于6”与“两次点数之和小于6”均不会发生， 所以事件“两次点数之和大于6”与“两次点数之和小于6”不互为对立事件，故C错误； 对于D，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次共有种不同的结果， 记“第一次点数为偶数” 为事件，则事件包含种结果，故， 记“第二次点数为奇数”为事件，则事件包含种结果，故， 事件同时发生包含种不同的结果，故， 所以事件“第一次点数为偶数”与“第二次点数为奇数”相互独立，故D正确. 故选：BD. 1.互斥事件判断：核心是 “不能同时发生”，需结合试验结果逐一验证，避免与 “独立事件” 混淆。 2.对立事件判断：需同时满足 “互斥” 和 “必有一个发生” 两个条件，缺一不可。对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件（对立是互斥的特例）。 3.独立事件与互斥事件无必然联系（独立强调 “互不影响”，互斥强调 “不能同时发生”，二者不可混淆）。 【变式1】分别写有数字1，2，3，4，5的5张一样的卡片中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第1次取出的卡片上的数字为2”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则（  ） A． 和为对立事件 B．与为相互独立事件 C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件 【答案】B 【分析】A.利用对立事件的定义判断；B.利用相互独立事件的定义判断；C.利用相互独立事件的定义判断；D.利用互斥事件的定义判断. 【解析】A. 事件的基本事件有，事件的基本事件有，总事件的基本事件还有等，所以 和不是对立事件，故错误； B. 事件的基本事件有，所以，事件的基本事件有，所以，事件的基本事件有 ，而，则，所以与是相互独立事件，故正确； C. 事件的基本事件有，所以，事件的基本事件有，所以，事件的基本事件有 ，则，，所以与不为相互独立事件，故错误； D. 事件的基本事件有，事件的基本事件有，都有基本事件，所以与不为互斥事件，故错误； 故选：B 【变式2】已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，满足，，，，则（  ） A．A，B相互独立 B．A，B互斥 C． D． 【答案】C 【分析】根据古典概型的概率计算，由互斥事件、独立事件以及对立事件的概率公式，可得答案. 【解析】由题意可得，，， 由，则，故C正确，B错误； 由，则事件不是相互独立的，故A错误； 由，则D错误. 故选：C. 【变式3】（多选）盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件“两个球颜色相同”，“第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”，“两个球颜色不同”．则（  ） A．与互为对立事件 B．与互斥 C．与相互独立 D． 【答案】ACD 【分析】分别计算出事件的概率，根据它们概率之间的关系，判断各选项的准确性. 【解析】设盒子里两个红球为，，两个白球为，， 从中不放回地依次取出2个球，所有的基本事件有： ，，，，，，，，，，，，共12个. 事件“两个球颜色相同”，包含，，，共4个基本事件，所以； “第1次取出的是红球”，包含，，，，，共6个基本事件，所以； “第2次取出的是红球”，包含，，，，，共6个基本事件，所以； “两个球颜色不同”，包含，，，，，，，共8个基本事件，所以. 因为 ,故,对立，故A正确； 因为事件包含，2个基本事件，所以事件，可以同时发生，故事件，不互斥，故B错误； 因为事件包含，2个基本事件，所以, 又，所以，所以事件，相互独立，故C正确； 因为，故D正确. 故选：ACD 题型07 独立事件的乘法公式及其应用 【典例1】小明参加一项积分晋级赛，规则如下：初始积分为10分，每场比赛胜则加5分，负则减5分，平则积分不变；当积分达到0分（淘汰出局）或20分（晋级成功）时终止比赛，否则继续比赛；若三场比赛后仍未终止，则判定为晋级成功并终止比赛.已知每场比赛结果相互独立，小明每场比赛胜、负、平的概率分别为，，，则比赛终止时小明积分为0分的概率为________. 【答案】 【分析】先明确积分为0分终止的所有可能比赛场次情况，上述情况的概率相加，得到比赛终止时积分为0分的总概率. 【解析】要计算比赛终止时小明积分为0分的概率，仅需考虑三场以内终止且得到0分的所有情况： 情况1：第二场比赛终止，得到0分： 初始积分10分，要第二场得到0分，必须前两场两连败：第一场负，积分变为（未终止），第二场再负，积分变为（终止）； 概率为：； 情况2：第三场比赛终止，得到0分： 前两场未终止，且前两场结束后积分为5分，第三场负得到0分， 积分为5分说明总变化为，只能是1负1平，共两种排列且两种排列都不会在前两场提前终止， 前两场得到5分的概率为：，第三场负的概率为，因此该情况概率： ； 总概率为两种情况相加：. 故答案为： 求相互独立事件同时发生的概率的方法： (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解. (2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算. 【变式1】如图，一个系统由4个部件组成，当甲、乙都正常工作，或丙、丁都正常工作时，系统就能正常工作.若每个部件的可靠度均为，而且这四个部件互不影响，则系统的可靠度为（  ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】记甲、乙都正常工作为事件，记丙、丁都正常工作为事件，计算出、，利用对立事件的概率公式可求得系统的可靠度为. 【解析】记甲、乙都正常工作为事件，记丙、丁都正常工作为事件， 因为每个部件的可靠度均为 所以，， 当且仅当事件或事件发生时，系统正常工作， 当且仅当事件和事件都不发生时，系统不工作. 因此，系统的可靠度为 故选：D. 【变式2】常德市某中学的校级运动会上，甲乙两人准备进行羽毛球冠亚军争夺赛，比赛实行三局两胜制.已知每局比赛中，若甲先发球，甲获胜的概率为，否则甲获胜的概率为.第一局由甲先发球，以后每局由负方先发球.各局比赛相互独立，则甲获胜的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案. 【解析】甲前两轮胜利的概率， 甲前两轮一赢一输，第三轮胜利的概率 ， 于是甲胜利的概率. 故选：D. 【变式3】设随机事件、相互独立，且，，则______． 【答案】 【分析】利用独立事件的概率乘法公式求出的值，再利用求解即可. 【解析】因为随机事件、相互独立，且，， 则， 故. 故答案为： 【变式4】甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，共进行两轮活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率； (2)求两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语的概率． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由题意转化为事件“甲猜对1个，乙猜对2个”，事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生，根据独立事件概率公式，即可求解； （2）根据题意转化为事件“甲猜对1个，乙猜对0个”，事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生，根据独立事件概率公式，即可求解； 【解析】（1）设，分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，，分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，根据独立事件的性质，可得 ，，，， 设“两轮活动星对猜对3个成语”，则， 所以， ， 因此“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率为. （2）设表示乙两轮都没猜对的事件，， 设事件“两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语”则 ， . 题型08 互斥事件、独立事件的综合应用 【典例1】某次答辩活动有4道题目，第1题1分，第2题2分，第3题3分，第4题4分，每道题目答对给满分，答错不给分，甲参加答辩活动，每道题都要回答，答对第题的概率分别为，，，，且每道题目能否答对都是相互独立的． (1)求甲得10分的概率； (2)求甲得3分的概率； (3)若参加者的答辩分数大于6分，则答辩成功，求甲答辩成功的概率． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）利用独立事件的概率公式求解即可. （2）将甲得3分分为两种情况，再结合互斥事件的概率公式求解即可. （3）将甲答辩成功这个事件合理拆分，再结合互斥事件和独立事件的概率公式求解即可. 【解析】（1）由题意得每道题目能否答对都是相互独立的事件， 由独立事件概率公式得甲得10分的概率为． （2）甲得3分有两种情况：甲答对第1题和第2题，甲答对第3题．且两种情况互斥， 故甲得3分的概率为． （3）若甲恰好答对2道题目答辩成功，则甲必定答对第3题和第4题． 甲答辩成功的概率为． 若甲恰好答对3道题目答辩成功，则甲答对第2题、第3题、第4题， 或者答对第1题、第3题、第4题，或者答对第1题、第2题、第4题． 甲答辩成功的概率为． 由（1）可知甲得10分的概率为，所以甲答辩成功的概率为． 求较复杂事件的概率的一般步骤如下： （1）列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示． （2）理清事件之间的关系（两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的），列出关系式． （3）根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算． （4）当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率． 注：综合应用中易混淆独立与互斥，乱套乘法、加法公式；多事件独立时漏乘、错乘概率；遇到 “至少、至多” 问题不善于用对立事件转化硬算；有条件关联事件误判为独立直接相乘；分步与分类概率混用，逻辑层次混乱致结果出错。 【变式1】“投壶”游戏源于周代的射礼，是中国古代宴饮时的一种投掷游戏，要求游戏者站在一定距离外，把箭投入壶中．甲、乙两人开始投壶游戏，约定规则如下：如果投一次，箭入壶中，原投掷入继续投，如果箭没有入壶，那么换另一个人投掷．若甲、乙两人投箭入壶成功的概率分别为，，甲先开始投掷，则第4次仍然由甲投掷的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意确定基本事件，再应用独立乘法公式及互斥事件加法求概率即可. 【解析】第4次仍然由甲投掷分为四类： 第一类，前三次均为甲中，概率为； 第二类，第一次甲中，第二次甲不中，第三次乙不中，概率为； 第三类，第一次甲不中，第二次乙中，第三次乙不中，概率为； 第四类，第一次甲不中，第二次乙不中，第三次甲中，概率为． 所以第4次仍然由甲投掷的概率为． 故选：D. 【变式2】（多选）一只不透明的口袋中装有形状、大小都相同的4个小球，其中有2个红球，1个白球和1个黑球．从中1次随机摸出2个球，记事件A为“2个都是红球”，事件B为“1个红球1个白球”，事件C为“有1个球是黑球”，事件D为“至少有1个是红球”，则（  ） A． B． C．事件A，B为相互独立事件 D．事件A，B为互斥事件 【答案】ABD 【分析】设2个红球为，白球为，黑球为，由题可得各事件样本空间，据此可判断各选项正误. 【解析】设2个红球为，白球为，黑球为. 则1次随机摸出2个球的样本空间为：6种情况. 对于A，事件A的样本空间为，则，故A正确； 对于B，事件B样本空间为：，事件C样本空间为：， 事件D样本空间为：，则，， 则，故B正确； 对于CD，由以上分析可得事件A，B不能同时发生，又 则事件A，B为互斥事件.故C错误，D正确. 故选：ABD 【变式3】某人上楼梯，每步上1阶的概率为，每步上2阶的概率为，设该人从第1阶台阶出发，到达第3阶台阶的概率为 ． 【答案】 【分析】先分①②两种方法，再由独立事件的乘法公式计算即可. 【解析】到达第3台阶的方法有两种： 第一种：  每步上一个台阶，上两步，则概率为；第二种：     只上一步且上两个台阶，则概率为， 所以到达第3阶台阶的概率为， 故答案为：. 【变式4】科技进步能够更好地推动高质量发展，如人工智能中的DeepSeek．小明、小华两位同学报名参加某公司拟开展的DeepSeek培训，培训前需要面试，面试时共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）．已知小明答对每道题目的概率均为，小华答对每道题目的概率依次为，且小明、小华两人每道题能否答对相互独立．记“小明只回答2道题就结束面试”为事件，记“小华3道题都回答且通过面试”为事件． (1)求事件发生的概率； (2)求事件和事件同时发生的概率； (3)求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）若事件发生，则小明前两题都答对或都答错，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得的值； （2）若事件发生，则小华前两题答对一题，答错一题，第三题答对，求出的值，分析可知，事件、相互独立，由独立事件的概率公式可求得的值； （3）记小明没有通过面试为事件，小华通过面试的事件记为，求出这两个事件的概率，记小明、小华两人恰有一人通过面试的事件记为，则，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得的值. 【解析】（1）若事件发生，则小明前两题都答对或都答错， 所以． （2）若事件发生，则小华前两题答对一题，答错一题，第三题答对， 根据题意则小华3道题都回答且通过面试的概率为， 由题意可知，事件相互独立， 则． （3）记小明没有通过面试为事件， 即分前两道回答对一道且最后一道错误或前两道均回答错误两种情况， 则小明没有通过面试的概率为， 可得小明通过面试的概率为． 记小华通过面试的事件为，由（2）得， 由题意可知，事件相互独立， 记小明、小华两人恰有一人通过面试的事件为， 则． 题型09 互斥事件和独立事件与其他章节的融合 【典例1】我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨），一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图. (1)求直方图中的值； (2)估计该地区月均用水量的60%分位数； (3)现在该地区居民中任选2位居民，将月均用水量落入各组的频率视为概率，不同居民的月均用水量相互独立，求恰有1位居民月均用水量大于60%分位数的概率. 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出； （2）根据百分位数的定义求解； （3）根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式列式计算得解. 【解析】（1）根据题意，可得， 解得. （2）数据落在区间的频率为， 数据落在区间的频率和为，则用水量的分位数， ，解得， 所以估计该地区月均用水量的分位数为. （3）设事件表示第位居民月均用水量大于分位数，， 事件表示恰有1位居民月均用水量大于分位数，， 所以. 所以恰有1位居民月均用水量大于60%分位数的概率为. 【变式1】“”是“事件A与事件B互为对立事件”的（  ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况选出正确答案. 【解析】投掷一枚硬币3次，满足,但不一定是对立事件， 如：事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“出现3次正面”， 则，，满足，但不是对立事件. 若事件A与事件B是对立事件，则为必然事件，再由概率的加法公式得； 所以“”是“事件A与事件B互为对立事件”的必要不充分条件； 故选：D 【变式2】为了治疗某种疾病，某药物中心研发了，两种药物．现对，两种药物进行动物试验，现有4只患有疾病的小白鼠，，两种药物各对2只小白鼠进行试验，设药物对每只小白鼠实施药物后能治愈的概率为（），药物对每只小白鼠实施药物后能治愈的概率为，且每种药物对每只小白鼠实施药物后能否治愈相互独立． (1)若药物恰好治愈1只小白鼠的概率为，药物治愈2只小白鼠的概率为： ①求，的值； ②求，两种药物一共治愈2只小白鼠的概率； (2)若，求药物治愈1只小白鼠且药物治愈1只小白鼠的概率的最大值． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）利用题设条件列关系式求解； （2）如下三种情况根据相互独立事件的概率公式求解； （3）利用基本不等式计算得解. 【解析】（1）①由题意可得，解得或， 因为，所以，，解得； ②一共治愈好2只小白鼠的情况有如下三种情况： 第一种，药物恰好治愈2只小白鼠，药物治愈0只小白鼠，其概率为； 第二种，药物恰好治愈0只小白鼠，药物治愈2只小白鼠，其概率为； 第三种，药物恰好治愈1只小白鼠，药物治愈1只小白鼠，其概率为； 所以，两种药物一共治愈好2只小白鼠的概率为； （2）设药物治愈1只小白鼠且药物治愈1只小白鼠的概率为， 则， 因为，所以， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 所以药物治愈1只小白鼠且药物治愈1只小白鼠的概率的最大值为. 【变式3】象棋是中华民族优秀的传统文化遗产，为弘扬棋类运动精神，传承中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，培养学生良好的心态和认真谨慎的生活观，某学校高一年级举办象棋比赛.比赛分为初赛和决赛、初赛采用线上知识能力竞赛，共有500名学生参加，从中随机抽取了50名学生，记录他们的分数，将数据分成5组：，，，，，并整理得到如图频率分布直方图： (1)根据直方图，求a的值： (2)估计这次知识能力竞赛的平均数和中位数； (3)决赛环节学校决定从知识能力竞赛中抽出成绩最好的两个同学甲和乙进行现场棋艺比拼，比赛采取三局两胜制.若甲每局比赛获胜的概率均为，且各轮比赛结果相互独立.求甲最终获胜的概率. 【答案】(1)； (2)平均数78分，中位数80分； (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图各组频率之和等于1求出； （2）由频率分布直方图估算平均数、中位数计算得解； （3）由题，甲最终获胜，比分可能是，，分别求出概率，再根据互斥事件的概率公式求解. 【解析】（1）由频率分布直方图，的频率为的频率为的频率为0.42，的频率为0.08， 所以的频率为， 所以； （2）根据平均数的计算公式，估计这次知识能力测评的平均数： 分， 因为前三组，，的频率之和为， 所以估计这次知识能力测评的中位数为80分； （3）因为甲最终获胜，比分可能是，， 设甲获胜为事件A，获胜为事件， 若甲获胜，则概率为， 若甲获胜，则概率为， 又A，B两个事件互斥，则甲最终获胜的概率为. 【变式4】航天员安全返回，中国航天再创辉煌1去年6月4日，当地时间6时20分许，神舟十五号载人飞船成功着陆，费俊龙、邓清明、张陆等航天员安全顺利地出舱，身体状况良好．这标志着神舟十五号载人飞行任务取得了圆满成功．某学校高一年级利用高考放假期间开展组织1200名学生参加线上航天知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题： (1)若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人成绩，求10人中成绩不高于50分的人数； (2)求的值，并以样本估计总体，估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数； (3)由首轮竞赛成绩确定甲、乙、丙三位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，丙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙、丙是否获优秀等级互不影响，求三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率． 【答案】(1)4； (2)平均数为，中位数为； (3) 【分析】（1）抽取的200名学生中, 分别求出不高于50分的人数，50分到60分的人数， 再利用分层抽样的定义，求出从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人的成绩，不高于50分的人数； （2）由各个矩形面积和为1列方程求出的值，每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值，利用直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数； （3）利用独立事件的概率公式求解即可. 【解析】（1）因为抽取的200名学生中, 不高于50分的人数为（人）， 50分到60分的人数为（人）， 所以从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人的成绩，不高于50分的人数为（人）. （2）由，解得， 平均数， 因为成绩不高于70分的频率为， 成绩不高于80分的频率为， 所以中位数位于内，则中位数为. （3）三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率为， . 1．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数不小于3”，“点数大于4”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，下列结论正确的是（  ） A．A，B为互斥事件 B．B，C为对立事件 C．C，D为互斥事件 D．D，E为对立事件 【答案】D 【分析】写出基本事件和样本空间，得到；B，C包含共同的基本事件；C，D包含共同的基本事件；，且，从而判断出结论. 【解析】A选项，设抛掷一颗质地均匀的骰子，向上的点数为基本事件， 则样本空间为， 事件包含的基本事件有点数为1，点数为2，点数为3， 事件包含的基本事件有点数为3，点数为4，点数为5，点数为6， 由于有共同的基本事件，即点数为3，，故A，B不为互斥事件，A错误； B选项，事件C包含的基本事件有点数为5，点数为6， 结合A选项，显然B，C包含共同的基本事件，不互斥，不对立，B错误； C选项，事件包含的基本事件有点数为1，点数为3，点数为5， 结合B选项，可知C，D包含共同的基本事件，不互斥，C错误； D选项，事件包含的基本事件有点数为2，点数为4，点数为6， 结合C选项，，且， 所以D，E为对立事件，D正确. 故选：D. 2．设为三个事件，分别表示它们的对立事件，表示“三个事件恰有一个发生”的表达式为（　　） A． B． C． D．＋＋ 【答案】B 【分析】根据事件的交和并即可得到答案. 【解析】选项A表示三个事件至少有一个发生； 选项B表示三个事件恰有一个发生； 选项C表示三个事件恰有一个不发生； 选项D表示三个事件至少有一个不发生． 故选：B. 3．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，若事件“向上的点数为”，“向上的点数为”，“向上的点数为或”，则有（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先明确各事件具体含义，再理解集合运算逻辑，接着合并事件情况推导结论即可. 【解析】对于A：事件“向上的点数为”发生，事件“向上的点数为”一定不发生，故A不正确； 对于B：事件“向上的点数为或”发生，事件“向上的点数为”不一定发生，但事件“向上的点数为”发生，事件“向上的点数为或” 一定发生，所以 ，故B不正确； 对于C：事件和事件不能同时发生，，故C不正确； 对于D：事件“向上的点数为”或事件“向上的点数为”发生， 则事件“向上的点数为或”发生，故D正确； 故选：D 4．投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（  ） A．A与B 是互斥事件 B．A 与B 是对立事件 C．A与C是独立事件 D．B与C 是独立事件 【答案】C 【分析】根据互斥事件，对立事件，独立事件概率公式和定义，即可判断选项. 【解析】和有公共事件：点数为3，所以不是互斥事件，也不是对立事件，故AB错误； 事件表示点数为4或6，，，，所以，所以与是独立事件，故C正确； 事件表示点数为2，则，，，所以，所以与不是独立事件，故D错误 故选：C 5．先后抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A表示“第1枚正面向上”，事件B表示“第2枚反面向上”，事件C表示“恰有1枚正面向上”，事件D表示“两枚都正面向上”，则下列关于事件描述不正确的是（  ） A．A与B相互独立 B．A与C相互独立 C．A与D相互独立 D．B与D互斥 【答案】C 【分析】根据相互独立事件、互斥事件的定义一一分析结合列举法判定选项即可. 【解析】先后抛掷两枚硬币出现的结果有：正正，正反，反正，反反四种情况， 则事件A包含正正，正反两种情况；事件B包含正反，反反两种情况； 事件C包含正反，反正两种情况；事件D包含正正一种情况； 所以， 显然，， ，，即ABD正确. 故选：C 6．已知篮球运动员甲、乙的罚球命中率分别为0.9，0.8，且两人罚球是否命中相互独立.若甲、乙各罚球一次，则恰有一人命中的概率为（  ） A．0.26 B．0.28 C．0.72 D．0.98 【答案】A 【分析】利用独立事件和互斥事件的概率公式求解即可． 【解析】设“篮球运动员甲、乙的罚球命中”分别为事件A，B，“恰有一人命中”为事件C， 则 . 故选：A． 7．（多选）一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：事件A：恰有1件次品；事件B：至少有2件次品；事件C：至少有1件次品；事件D：至多有1件次品，以下结论正确的是（  ） A． B．是必然事件 C． D． 【答案】AB 【分析】先明确各事件具体含义，再理解集合运算逻辑，接着合并事件情况推导结论即可. 【解析】表示的事件：至少有1件次品，即事件C，所以A正确，C不正确； 表示的事件：至少有2件次品或至多有1件次品，包括了所有情况，所以B正确； 表示的事件：至多有1件次品，即事件D，所以D不正确. 故选：AB. 8．（多选）有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，则下列选项正确的是（  ） A．甲与丙相互独立 B．甲与乙相互独立 C．丙与丁互斥 D．乙与丁互斥 【答案】ACD 【分析】根据题意列出两次取球所有可能情况，并分别列出甲、乙、丙、丁可能的情况，然后根据独立事件、互斥事件的定义判断即可. 【解析】由题意可得两次取球所有可能情况为，，，，，，，，，，，共种情况； 第一次取出的球的数字是1，所有可能为，，共3种情况； 第二次取出的球的数字是2，所有可能为，，共3种情况； 则两次取出球的数字之和为的所有可能为，，，共种情况； 两次取出球的数字之和为的所有可能为，共种情况； 记“第一次取出的球的数字是1”为，“第二次取出的球的数字是2”为， “两次取出的球的数字之和是5”为，“两次取出的球的数字之和是4”为， 则，，，. A：当甲丙同时发生时，取出的恰是，此时， 故甲丙相互独立，故A正确； B：当甲乙同时发生时，取出的恰是，此时，， 故甲乙不相互独立，故B错误； C：由不可能同时发生，故丙与丁互斥，故C正确； D：当第二次取出的球的数字是2时，第一次不可能取2，即两次取出的数字之和不能为4，故乙丁不能同时发生，则乙与丁互斥，故D正确； 故选：ACD. 9.（多选）已知随机事件、发生的概率分别为，，则（  ） A．若与互斥，则 B．若与相互独立，则 C．若，则 D．若，则事件与相互独立 【答案】ABD 【分析】根据事件互斥以及事件的运算性质计算，即可判断A、B、C；根据对立事件概率公式以及事件的独立性即可判断D. 【解析】对于A项，因为与互斥， 所以，故A正确； 对于B项，因为与相互独立， 所以， 所以，.故B正确； 对于C项，因为， 所以，.故C错误； 对于D项，由，可得， 所以，， 所以， 事件与相互独立.故D正确. 故选：ABD. 10．已知随机事件，，中，与互斥，与对立，且，，则________． 【答案】 【分析】先根据对立事件的概率关系求出，再利用互斥事件的概率加法公式计算. 【解析】根据题意，因为，事件与事件对立， 所以， 又事件与事件互斥，， 所以. 故答案为： 11．事件A与事件B相互独立．，则的最大值为______． 【答案】 【分析】由独立事件概率乘法公式及二次函数性质即可求解. 【解析】由事件相互独立，得， 代入已知条件得：， 二次函数的图象为开口向下，对称轴为的抛物线， 故 . 故答案为： 12．抛掷一枚质地均匀的硬币和一枚质地均匀的骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是 . 【答案】 【分析】根据题意求得其对立事件，然后根据其与对立事件之和为，即可得到结果. 【解析】因为，所以， 又因为为相互独立事件， 所以 所以中至少有一件发生的概率为 故答案为: 13．2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作.若某市经过初次选拔后有甲､乙､丙三名同学成功进入决赛，在决赛环节中这三名同学同时解答一道有关组合数论的试题．已知甲同学成功解出这道题的概率是，甲､丙两名同学都解答错误的概率是，乙､丙两名同学都成功解出的概率是，且这三名同学能否成功解出该题相互独立. (1)求乙､丙两名同学各自成功解出这道题的概率； (2)求这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式列方程组求解即可； （2）根据互斥事件的概率加法公式和独立事件的概率乘法公式直接计算可得. 【解析】（1）记甲成功解出这道题为事件，乙成功解出这道题为事件，丙成功解出这道题为事件， 则由题知，，解得， 即乙､丙两名同学各自成功解出这道题的概率分别为. （2）记这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题为事件， 则 ， 即这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率为. 14．溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次有关安全知识的竞赛.在某次淘汰赛中，甲、乙两个中学代表队（每队3人）狭路相逢，规定每队每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.假设甲队每人回答正确的概率分别为，，，乙队每人回答正确的概率均为，且各人回答正确与否相互之间没有影响. (1)分别求乙队总得分为3分与1分的概率； (2)求甲队得分与乙队得分为的概率. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）分析乙队总得分为3分与1分的答题情况，再此利用相互独立事件概率乘法公式即可得解； （2）根据题意分析得甲乙两队的得分情况，再利用相互独立事件概率乘法公式即可得解. 【解析】（1）记“队总得分为3分”为事件，“乙队总得分为1分”为事件. 乙队得3分，即三人都回答正确，其概率. 乙队得1分，即三人中只有1人答对，其余两人都答错， 其概率. （2）依题意可知甲队总得分为1分，乙队总得分为2分， 记“甲队总得分为1分”为事件，“乙队总得分为2分”为事件. 事件即甲队三人中只有1人答对，其余2人答错， 则， 事件即乙队三人中只有2人答对，剩余1人答错， 则， 则甲队得分与乙队得分为的概率. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15.3 互斥事件和独立事件 教学目标 1.在了解随机事件交、并运算的基础上了解互斥事件、对立事件的含义，能判断某两个事件是否为互斥事件，进而判断它们是否为对立事件；结合有限样本空间，了解两个事件相互独立的概念，弄清相互独立事件与互斥事件的差异． 2.掌握互斥事件概率的加法公式和对立事件概率关系公式，会用公式进行简单的概率计算； 能够综合运用互斥事件概率的加法公式和相互独立事件概率的乘法公式求较复杂事件的概率． 3.在将复杂事件转化为简单事件及“正难则反”逆向思维过程中，发展逻辑推理素养；在应用公式计算概率过程中，发展数学运算素养；通过推导相互独立事件的性质以及将复杂事件分解为简单事件的过程中，发展逻辑推理素养；在综合运用公式计算概率的过程中，发展数学运算素养． 教学重难点 1.重点 互斥事件、对立事件的概念及概率的加法公式；用相互独立事件的概率乘法公式计算相关事件的概率． 2.难点 将较复杂事件的概率转化为简单事件的概率；概率乘法公式和加法公式的综合运用. 知识点01 互斥事件 1．互斥事件与对立事件 (1)互斥事件 ①互斥事件的定义 若事件A与B不可能同时发生，即A∩B=∅，则称A与B为互斥事件（互不相容事件）. ②互斥事件的推广 若事件A1，A2，…，An中任意两个都互斥，则称它们两两互斥. (2)对立事件 ①对立事件的定义 若事件A与B互斥，且A+B=Ω（必有一个发生），则称A与B为对立事件，记作或. 注：对立事件必互斥，但互斥事件不一定对立. (2)对立事件与互斥事件的区别 ①互斥事件：不能同时发生，可以都不发生；②对立事件：不能同时发生，且必有一个发生. 【即学即练】 1．一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，若从中任取2支.记事件A=“恰有1支一等品”，事件B=“2支都是二等品”，事件C=“没有三等品”，下列说法正确的是（  ） A．事件A与事件B互斥 B．事件B与事件C互斥 C．事件A与事件C对立 D．事件B 与事件C对立 2．一个不透明的袋子中装有大小和质地相同的6个球，其中有2个红球，2个绿球，2个蓝球，从袋中一次性随机取出2个球，设事件“2个球颜色相同”，事件“2个球中至少有一个红球”，事件“2个球中至多有一个红球”，事件“2个都不是红球”，则（  ） A．与互斥 B．与对立 C．与相互独立 D． 知识点02 事件的关系和运算 (1)两个事件的关系和运算 事件的关系或运算 含义 符号表示 图形表示 包含 A发生导致B发生 并事件 （和事件） A与B至少一个发生 或 交事件 （积事件） A与B同时发生 或 互斥 （互不相容） A与B不能同时发生 互为对立 A与B有且仅有一个发生 ， （2）多个事件的和事件、积事件 类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.对于多个事件A，B，C，…，A∪B∪C∪… (或A+B+C+…)发生当且仅当A，B，C，…中至少一个发生，A∩B∩C∩… (或ABC…)发生当且仅当A，B，C，…同时发生. （3）用集合观点看事件间的关系 符号 概率角度 集合角度 Ω 必然事件 全集 ∅ 不可能事件 空集 ω 试验的可能结果 Ω中的元素 A 事件 Ω的子集 A的对立事件 A的补集 事件A包含于事件B 集合A是集合B的子集 事件A等于事件B 集合A等于集合B 或 事件A与事件B的并（和）事件 集合A与B的并集 或 事件A与事件B的交（积）事件 集合A与B的交集 事件A与事件B互斥 集合A与B的交集为空集 ，且 事件A与事件B对立 集合A与B互为补集 （4）概率的基本性质 性质1 对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)= 1，P(∅)=0. 性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)＋P(B). 推广：如果事件A1，A2，…，Am．两两互斥，那么事件发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P()=P(A1)+P(A2)+…+P(Am). 性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B). 性质5 如果，那么P(A)≤P(B). 性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B). 【即学即练】 1．已知事件互斥，且，则（  ） A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.9 2．（多选）某学校为了丰富同学们的课外活动，为同学们举办了四种科普活动：科技展览、科普讲座、科技游艺、科技绘画．记事件：只参加科技游艺活动；事件：至少参加两种科普活动；事件：只参加一种科普活动；事件：一种科普活动都不参加；事件：至多参加一种科普活动，则下列说法正确的是（  ） A．与是互斥事件 B．与是对立事件 C． D． 知识点03 独立事件 1．独立事件 (1)定义 对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. (2)性质 若事件A与B相互独立，则与B，A与，与也相互独立. (3)应用 因为“A与B相互独立”是“P(AB)=P(A)P(B)”的充要条件，所以如果已知两个事件是相互独立的，则由它们各自发生的概率可以迅速得到它们同时发生的概率.在实际问题中，我们常常依据实际背景去判断事件之间是否存在相互影响，若认为事件之间没有影响，则认为它们相互独立. (4)推广 两个事件的相互独立性可以推广到n(n>2，n∈N*)个事件的相互独立性，即若事件A1，A2，…，An相互独立，则这n个事件同时发生的概率P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An). 2．互斥事件与相互独立事件的辨析 (1)互斥事件与相互独立事件都描述的是两个事件间的关系，但互斥事件强调不可能同时发生，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.用表格表示如下： 相互独立事件 互斥事件 判断方法 一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响. 两个事件不可能同时发生，即AB=∅. 概率公式 若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B). 若事件A与B互斥，则P（A∪B）=P（A）+P（B），反之不成立. (2)已知事件A，B发生的概率分别为P(A)，P(B)，我们有如下结论： 事件 表示 概率（A，B互斥） 概率（A，B相互独立） A，B中至少有一个发生 P(A∪B) P(A)+P(B) 或 P(A)+P(B) A，B都发生 P(AB) 0 P(A)P(B) A，B都不发生 [P(A)+P(B)] A，B恰有一个发生 P(A)+P(B) A，B中至多有一个发生 1 P(A)P(B) 【即学即练】 1．（多选）一个质地均匀的正四面体个表面上分别标有数字，抛掷该正四面体两次，记事件“第一次向下的数字为或”，事件“两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法正确的是（  ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件发生的概率为 D．事件发生的概率为 2．假定生男、生女是等可能的，一个家庭中有若干个小孩，事件表示“一个家庭中既有男孩又有女孩”，事件表示“一个家庭中最多有一个男孩”．对下列两种情形，判断事件与事件是否相互独立． (1)一个家庭中有2个小孩； (2)一个家庭中有3个小孩． 题型01 互斥事件与对立事件的辨析 【典例1】在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是1或3”，事件C表示“向上的点数是4或5或6”，则下列说法正确的是（  ） A．A与B是对立事件 B．B与C是对立事件 C．A与C是互斥事件 D．A与B是互斥事件 判断事件对立的两步骤： 第一步，判断是互斥事件； 第二步，确定两个事件必然有一个发生，否则只有互斥，但不对立． 【变式1】一个袋子里装有2个红球和2个黑球，甲、乙每人随机不放回地取1个球，则互斥且不对立的两个事件是（  ） A．“甲取出的球是红球”与“甲取出的球是黑球” B．“甲取出的球是红球”与“乙取出的球是红球” C．“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球都是黑球” D．“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球中至少有1个红球” 【变式2】国际上通用的茶叶分类法，是按发酵程度把茶叶分为不发酵茶（如：龙井、碧螺春）和发酵茶（如：茉莉花茶、铁观音乌龙茶、普洱茶）两大类，现有6个完全相同的纸盒，里面分别装有龙井、碧螺春、茉莉花茶、铁观音、乌龙茶和普洱茶，从中任取若干盒，判断下列两个事件既是互斥事件又是对立事件的是（  ） A．“取出碧螺春”和“取出茉莉花茶” B．“取出发酵茶”和“取出龙井” C．“取出乌龙茶”和“取出铁观音” D．“取出不发酵茶”和“取出发酵茶” 【变式2】抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件表示“骰子向上的点数为奇数”，事件表示“骰子向上的点数为偶数”，事件表示“骰子向上的点数大于3”，事件表示“骰子向上的点数小于3”则（  ） A．事件与事件互为对立事件 B．事件与事件互为对立事件 C．事件与事件互斥 D．事件与事件互斥 【变式3】（多选）甲、乙两人参加某商场举行的抽奖活动，中奖名额不限，设事件为“甲中奖”，事件为“乙中奖”，事件为“甲、乙中至少有一人中奖”，则下列说法正确的是（  ） A． 与互斥 B．与对立 C．与互斥 D．与对立 题型02 事件的运算及其含义 【典例1】打靶3次，事件表示“击中i发”，其中．那么事件表示（     ） A．全部击中 B．至多击中1发 C．都未击中 D．至少击中1发 【变式1】某同学参加跳远测试，共有3次机会．用事件（）表示随机事件“第i（）次跳远成绩及格”，那么事件“前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格”可以表示为（  ） A． B． C． D． 【变式2】打靶3次，记事件表示“共击中i发”，其中，那么表示（  ） A．“全部击中” B．“至少击中1次” C．“至多击中1次” D．“至少击中2次” 【变式3】（多选）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）中国四大名楼是一种泛称，特指山西永济鹳雀楼、江西南昌滕王阁、湖北武汉黄鹤楼、湖南岳阳岳阳楼．记事件“只去黄鹤楼”，事件“至少去两个名楼”，事件“只去一个名楼”，事件“一个名楼也不去”，事件“至多去一个名楼”，则下列命题正确的是（  ） A．E与H是互斥事件 B．F与I是互斥事件，且是对立事件 C． D． 题型03 互斥事件的概率加法公式的应用 【典例1】若，则 _____________ 1.求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，应用互斥事件的概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)求解；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P()求解． 2.解决此类题的关键是明晰概率加法公式应用的前提是“各事件是互斥事件”，对于较难判断关系的，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析． 【变式1】已知两个随机事件和，其中，则（  ） A． B． C． D． 【变式2】已知事件A，B，C两两互斥，且，则（  ） A． B． C． D． 【变式3】抛掷一枚骰子，观察出现的点数，设事件为“出现1点”，事件为“出现2点”．已知，则出现1点或2点的概率为__________； 【变式4】已知事件、、两两互斥，若，则____________ 【变式5】若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，则实数的取值范围为__________ 【变式6】袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，取到红球的概率是，取到黑球或黄球的概率是，取到黄球或绿球的概率是．试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少． 题型04 利用对立事件的概率公式求概率 【典例1】如图，用三种不同元件连接成系统，每个元件是否正常工作不受其它元件的影响．当元件都正常工作或正常工作时，系统正常工作．已知元件正常工作的概率分别为，则系统正常工作的概率为（  ） A．0.504 B．0.846 C．0.902 D．0.956 求复杂事件的概率通常有两种方法： 一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，应用互斥事件的概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)求解； 二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P()求解． 【变式1】某电子图书平台通过大数据观测发现，读者选择类图书的概率为，选择类图书的概率为两类图书都不选的概率为，则两类图书都选的概率为（　　） A． B． C． D． 【变式2】已知事件相互独立，若，则的值为（  ） A．0.36 B．0.4 C．0.6 D．0.76 【变式3】（多选）在一次随机试验中，事件发生的概率分别是0.2，0.3，0.5，则下列说法错误的是（  ） A．与是互斥事件，也是对立事件 B．是必然事件 C． D． 【变式4】玻璃球盒中装有除颜色外完全相同的球共12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球，求从中取1球： (1)取得红球或黑球的概率； (2)取得红球或黑球或白球的概率． 【变式5】2025年六五环境日主题为“美丽中国我先行”，南京市某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动.某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答这道题正确的概率是，甲、乙两个家庭都回答正确的概率是，乙、丙两个家庭至少一家回答正确的概率是.各家庭回答是否正确相互独立. (1)求乙、丙两个家庭各自回答这道题正确的概率； (2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答这道题正确的概率. 题型05 独立事件的判断和证明 【典例1】（多选）已知随机事件满足，且事件与相互独立，则下列说法正确的是（  ） A．若与相互独立，则 B．若，则与相互独立 C．若与互斥，且与也相互独立，则 D．若与相互独立，且与也相互独立，则 1.定义法：对于两个事件A、B，若事件A的发生不影响事件B发生的概率，即P(A∩B)=P(A)P(B)，则称事件A与B相互独立。 2. 性质法：若A与B独立，则与B、A与、与也相互独立。 【变式1】分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚反面朝上”，“第二枚正面朝上”，则（  ） A．A包含B B．A与B互斥 C．A与B互为对立 D．A与B相互独立 【变式2】（多选）任意抛掷一枚骰子一次观察它向上一面的点数，得到样本空间为，若事件，事件，事件满足，下列结论中正确的是（  ） A． B．事件，，两两独立 C．当事件时， D．当事件时，满足条件的事件有3个 【变式3】判断下列各对事件是不是相互独立事件． (1)甲组有3名男生，2名女生，乙组有2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”； (2)一筐内有6个苹果和3个梨，“从中任意取出1个，取出的是苹果”与“把取出的水果放回筐内，再从筐内任意取出1个，取出的是梨”； (3)一个布袋里有大小完全相同的3个白球，2个红球，“从中任意取1个球是白球”与“取出的球不放回，再从中任意取1个球是红球”． 【变式4】分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚反面朝上”，“第二枚正面朝上”， 证明A与B相互独立 【变式5】某商场开展促销活动，每消费调500元可获得一次抽奖机会.抽奖箱装有3个红球、2个白球、1个蓝球，这些球除颜色外完全相同.抽奖规则如下：一次性随机摸出2个球，若摸出2个红球，可获得一等奖；若摸出1个红球和1个蓝球，可获得二等奖. (1)已知甲在该商场消费了500元，求甲获得一等奖的概率； (2)为加大促销力度，在原规则的基础上，当顾客在该商场消费满1000元时，若顾客两次抽奖均摸出蓝球，则额外获得一个二等奖.已知乙在该商场消费了1000元，记“乙至少获得一个一等奖”为事件，“乙恰好获得一个二等奖”为事件.判断事件与是否相互独立，并说明理由. 题型06 相互独立事件与互斥事件的辨析 【典例1】（多选）抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的点数.若连续抛掷两次，则（  ） A．事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为偶数”为互斥事件 B．事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为奇数”互为对立事件 C．事件“两次点数之和大于6”与“两次点数之和小于6”互为对立事件 D．事件“第一次点数为偶数”与“第二次点数为奇数”相互独立 1.互斥事件判断：核心是 “不能同时发生”，需结合试验结果逐一验证，避免与 “独立事件” 混淆。 2.对立事件判断：需同时满足 “互斥” 和 “必有一个发生” 两个条件，缺一不可。对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件（对立是互斥的特例）。 3.独立事件与互斥事件无必然联系（独立强调 “互不影响”，互斥强调 “不能同时发生”，二者不可混淆）。 【变式1】分别写有数字1，2，3，4，5的5张一样的卡片中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第1次取出的卡片上的数字为2”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则（  ） A． 和为对立事件 B．与为相互独立事件 C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件 【变式2】已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，满足，，，，则（  ） A．A，B相互独立 B．A，B互斥 C． D． 【变式3】（多选）盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件“两个球颜色相同”，“第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”，“两个球颜色不同”．则（  ） A．与互为对立事件 B．与互斥 C．与相互独立 D． 题型07 独立事件的乘法公式及其应用 【典例1】小明参加一项积分晋级赛，规则如下：初始积分为10分，每场比赛胜则加5分，负则减5分，平则积分不变；当积分达到0分（淘汰出局）或20分（晋级成功）时终止比赛，否则继续比赛；若三场比赛后仍未终止，则判定为晋级成功并终止比赛.已知每场比赛结果相互独立，小明每场比赛胜、负、平的概率分别为，，，则比赛终止时小明积分为0分的概率为________. 求相互独立事件同时发生的概率的方法： (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解. (2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算. 【变式1】如图，一个系统由4个部件组成，当甲、乙都正常工作，或丙、丁都正常工作时，系统就能正常工作.若每个部件的可靠度均为，而且这四个部件互不影响，则系统的可靠度为（  ）    A． B． C． D． 【变式2】常德市某中学的校级运动会上，甲乙两人准备进行羽毛球冠亚军争夺赛，比赛实行三局两胜制.已知每局比赛中，若甲先发球，甲获胜的概率为，否则甲获胜的概率为.第一局由甲先发球，以后每局由负方先发球.各局比赛相互独立，则甲获胜的概率为（  ） A． B． C． D． 【变式3】设随机事件、相互独立，且，，则______． 【变式4】甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，共进行两轮活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率； (2)求两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语的概率． 题型08 互斥事件、独立事件的综合应用 【典例1】某次答辩活动有4道题目，第1题1分，第2题2分，第3题3分，第4题4分，每道题目答对给满分，答错不给分，甲参加答辩活动，每道题都要回答，答对第题的概率分别为，，，，且每道题目能否答对都是相互独立的． (1)求甲得10分的概率； (2)求甲得3分的概率； (3)若参加者的答辩分数大于6分，则答辩成功，求甲答辩成功的概率． 求较复杂事件的概率的一般步骤如下： （1）列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示． （2）理清事件之间的关系（两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的），列出关系式． （3）根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算． （4）当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率． 注：综合应用中易混淆独立与互斥，乱套乘法、加法公式；多事件独立时漏乘、错乘概率；遇到 “至少、至多” 问题不善于用对立事件转化硬算；有条件关联事件误判为独立直接相乘；分步与分类概率混用，逻辑层次混乱致结果出错。 【变式1】“投壶”游戏源于周代的射礼，是中国古代宴饮时的一种投掷游戏，要求游戏者站在一定距离外，把箭投入壶中．甲、乙两人开始投壶游戏，约定规则如下：如果投一次，箭入壶中，原投掷入继续投，如果箭没有入壶，那么换另一个人投掷．若甲、乙两人投箭入壶成功的概率分别为，，甲先开始投掷，则第4次仍然由甲投掷的概率为（  ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）一只不透明的口袋中装有形状、大小都相同的4个小球，其中有2个红球，1个白球和1个黑球．从中1次随机摸出2个球，记事件A为“2个都是红球”，事件B为“1个红球1个白球”，事件C为“有1个球是黑球”，事件D为“至少有1个是红球”，则（  ） A． B． C．事件A，B为相互独立事件 D．事件A，B为互斥事件 【变式3】某人上楼梯，每步上1阶的概率为，每步上2阶的概率为，设该人从第1阶台阶出发，到达第3阶台阶的概率为 ． 【变式4】科技进步能够更好地推动高质量发展，如人工智能中的DeepSeek．小明、小华两位同学报名参加某公司拟开展的DeepSeek培训，培训前需要面试，面试时共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）．已知小明答对每道题目的概率均为，小华答对每道题目的概率依次为，且小明、小华两人每道题能否答对相互独立．记“小明只回答2道题就结束面试”为事件，记“小华3道题都回答且通过面试”为事件． (1)求事件发生的概率； (2)求事件和事件同时发生的概率； (3)求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率． 题型09 互斥事件和独立事件与其他章节的融合 【典例1】我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨），一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图. (1)求直方图中的值； (2)估计该地区月均用水量的60%分位数； (3)现在该地区居民中任选2位居民，将月均用水量落入各组的频率视为概率，不同居民的月均用水量相互独立，求恰有1位居民月均用水量大于60%分位数的概率. 【变式1】“”是“事件A与事件B互为对立事件”的（  ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【变式2】为了治疗某种疾病，某药物中心研发了，两种药物．现对，两种药物进行动物试验，现有4只患有疾病的小白鼠，，两种药物各对2只小白鼠进行试验，设药物对每只小白鼠实施药物后能治愈的概率为（），药物对每只小白鼠实施药物后能治愈的概率为，且每种药物对每只小白鼠实施药物后能否治愈相互独立． (1)若药物恰好治愈1只小白鼠的概率为，药物治愈2只小白鼠的概率为： ①求，的值； ②求，两种药物一共治愈2只小白鼠的概率； (2)若，求药物治愈1只小白鼠且药物治愈1只小白鼠的概率的最大值． 【变式3】象棋是中华民族优秀的传统文化遗产，为弘扬棋类运动精神，传承中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，培养学生良好的心态和认真谨慎的生活观，某学校高一年级举办象棋比赛.比赛分为初赛和决赛、初赛采用线上知识能力竞赛，共有500名学生参加，从中随机抽取了50名学生，记录他们的分数，将数据分成5组：，，，，，并整理得到如图频率分布直方图： (1)根据直方图，求a的值： (2)估计这次知识能力竞赛的平均数和中位数； (3)决赛环节学校决定从知识能力竞赛中抽出成绩最好的两个同学甲和乙进行现场棋艺比拼，比赛采取三局两胜制.若甲每局比赛获胜的概率均为，且各轮比赛结果相互独立.求甲最终获胜的概率. 【变式4】航天员安全返回，中国航天再创辉煌1去年6月4日，当地时间6时20分许，神舟十五号载人飞船成功着陆，费俊龙、邓清明、张陆等航天员安全顺利地出舱，身体状况良好．这标志着神舟十五号载人飞行任务取得了圆满成功．某学校高一年级利用高考放假期间开展组织1200名学生参加线上航天知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题： (1)若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人成绩，求10人中成绩不高于50分的人数； (2)求的值，并以样本估计总体，估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数； (3)由首轮竞赛成绩确定甲、乙、丙三位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，丙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙、丙是否获优秀等级互不影响，求三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率． 1．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数不小于3”，“点数大于4”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，下列结论正确的是（  ） A．A，B为互斥事件 B．B，C为对立事件 C．C，D为互斥事件 D．D，E为对立事件 2．设为三个事件，分别表示它们的对立事件，表示“三个事件恰有一个发生”的表达式为（　　） A． B． C． D．＋＋ 3．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，若事件“向上的点数为”，“向上的点数为”，“向上的点数为或”，则有（  ） A． B． C． D． 4．投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（  ） A．A与B 是互斥事件 B．A 与B 是对立事件 C．A与C是独立事件 D．B与C 是独立事件 5．先后抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A表示“第1枚正面向上”，事件B表示“第2枚反面向上”，事件C表示“恰有1枚正面向上”，事件D表示“两枚都正面向上”，则下列关于事件描述不正确的是（  ） A．A与B相互独立 B．A与C相互独立 C．A与D相互独立 D．B与D互斥 6．已知篮球运动员甲、乙的罚球命中率分别为0.9，0.8，且两人罚球是否命中相互独立.若甲、乙各罚球一次，则恰有一人命中的概率为（  ） A．0.26 B．0.28 C．0.72 D．0.98 7．（多选）一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：事件A：恰有1件次品；事件B：至少有2件次品；事件C：至少有1件次品；事件D：至多有1件次品，以下结论正确的是（  ） A． B．是必然事件 C． D． 8．（多选）有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，则下列选项正确的是（  ） A．甲与丙相互独立 B．甲与乙相互独立 C．丙与丁互斥 D．乙与丁互斥 9.（多选）已知随机事件、发生的概率分别为，，则（  ） A．若与互斥，则 B．若与相互独立，则 C．若，则 D．若，则事件与相互独立 10．已知随机事件，，中，与互斥，与对立，且，，则________． 11．事件A与事件B相互独立．，则的最大值为______． 12．抛掷一枚质地均匀的硬币和一枚质地均匀的骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是 . 13．2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作.若某市经过初次选拔后有甲､乙､丙三名同学成功进入决赛，在决赛环节中这三名同学同时解答一道有关组合数论的试题．已知甲同学成功解出这道题的概率是，甲､丙两名同学都解答错误的概率是，乙､丙两名同学都成功解出的概率是，且这三名同学能否成功解出该题相互独立. (1)求乙､丙两名同学各自成功解出这道题的概率； (2)求这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率． 14．溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次有关安全知识的竞赛.在某次淘汰赛中，甲、乙两个中学代表队（每队3人）狭路相逢，规定每队每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.假设甲队每人回答正确的概率分别为，，，乙队每人回答正确的概率均为，且各人回答正确与否相互之间没有影响. (1)分别求乙队总得分为3分与1分的概率； (2)求甲队得分与乙队得分为的概率. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $