精品解析：2026年河北省沧州市南皮县第四中学、王寺中学、桂和中学等校初中学业水平模拟 数学（预测二）

2026年河北初中学业水平模拟 数学（预测二） 注意事项：共8页，总分120分，时间120分钟． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 巩立姣是河北籍田径运动员，是女子铅球项目的领军人物．国际田联规定：女子铅球的标准质量是 ，在某次比赛用品抽检中，第一个铅球的质量为，记为，第二个铅球的质量记为，则第二个铅球的质量为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知，点 ，点 分别是 ， 延长线上一点，若，则指的是图中的（ ）． A. B. C. D. 3. 可以记作（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将菱形沿着对角线所在的直线l平移，若，则的度数为（ ） A. 45° B. 50° C. 55° D. 60° 5. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 6. 一个不等式组的解集在数轴上表示出来如图所示．则下列实数是该不等式组的解的是（ ） A. B. C. D. 7. 凭借宣传口号“这么近，那么美，周末到河北”，河北文旅火速出圈，某商家制作的正方体快递箱上面印有“河北文旅”四个字（每个字各占一面，剩余两面为空白）．若要使一组相对的面印有“河”和“北”字，另一组相对的面印有“文”和“旅”字，则下列正方体快递箱的展开图符合要求的是（ ） A. B. C. D. 8. 算式的结果用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 9. 下面是嘉嘉作业本上一道习题及解答过程： 已知：如图．，于点 ， 于点 ， 与 交于点 ，且 ，连接 ． 求证： 为等边三角形． 证明：， ， ， 又， ， （① ）． ② 又， 为等边三角形． 若以上解答过程正确，①，②应分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 若关于的一元二次方程无实数根，则反比例函数的图象所在的象限分别位于（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 11. 我国古书《墨经》中记载了世界上最早的“小孔成像”的现象．墨子曾进行如下实验：在暗室的墙上开一个小孔，一人立于墙前，当阳光照射时，屋内对面墙壁上会呈现一个倒立的人像．已知初始状态下，小孔O到人 的距离、小孔O到所成像 的距离均为6米，要使像 的长度变为原来的 倍，下列操作正确的是（ ） A. 人向暗室后退2米 B. 人向暗室前进2米 C. 人向暗室后退4米 D. 人向暗室前进4米 12. 如图，在平面直角坐标系中，函数 的图象记为．若关于原点对称的函数图象记为．且直线（ 为常数）分别与、围成的两个封闭区域内（不含边界）的整点（横、纵坐标都是整数的点）的个数和恰好是19个，则 的值可能是（ ） A. B. 1 C. D. 二、填空题（本大题共4小题．每小题3分，共12分，把答案写在题中横线上） 13. 某足球运动员进行定点射门训练，通过大量重复射门试验后，发现射进球门的频率稳定在0.7．若该足球运动员定点射门10次，则估计他射进球门的次数为__________次． 14. 如图，将矩形 绕点 顺时针旋转 得到矩形，则__________°． 15. 如图，一根长度为4个单位长度的木棒在数轴上水平滑动．木棒左端对应数轴上的点为 ，右端对应数轴上的点为 ．数轴上点 对应的数为1，点 ， 均在点 的左侧．若点 到点 的距离是点 到点 距离的3倍，则点 对应的数为__________． 16. 水车是我国古代重要的灌溉工具，图1是某种型号水车的示意图，其外围部件是绕中心轴旋转的圆形轮盘．轮盘边缘均匀分布有12个水斗（看成点），这些水斗随轮盘转动而升降．如图2．已知外围轮盘半径为，在水车顺时针转动的某一时刻，其中1个水斗在点 处放空水，同时有1个水斗刚好在点 处接触水面，劣弧上（不含 ， ）还有另外2个水斗，现测得点 到水面 的竖直距离为 ，则此时在水面 下方的水斗个数最多有__________个．（参考数据：） 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按照如图所示的程序进行运算． （1）计算输出整式 的最简结果； （2）输入任意的值进行运算，发现输出 的结果总不超过．请验证这个结论． 18. 洪洪在计算的过程中产生了如下两种简便计算思路： 思路一： 解：原式 思路二： 解：原式 = （1）在思路一中的“□”内填上合适的数，并完成计算； （2）在思路二中的“○”内填上“”“”、“×”、或“÷”中的一个运算符号，使得运算过程正确．并完成计算． 19. 某中学为提升学生消防安全意识，开展了“消防知识竞赛”活动，竞赛成绩按从高到低分为A、B、C、D四个等级，活动结束后随机抽取七年级和八年级各50名同学的竞赛成绩进行调查分析．同时绘制了如图1和2所示的两幅不完整的统计图．根据统计图中所给信息，解答下列问题： （1）七年级抽取的学生中成绩为B的有 人，八年级抽取学生的竞赛成绩统计图中 ； （2）嘉嘉和淇淇在抽取学生的竞赛成绩中分别位居七年级和八年级的第26名．通过统计图分析谁的成绩高； （3）该中学七年级有480名同学，八年级有500名同学，请估计七、八年级竞赛成绩为D的总人数． 20. 探究下列问题： 【发现】 （1）如图1，在边长为1的正六边形 中，对角线 ， ， 与 的位置关系为 ； 【应用】图2是由边长为1的正六边形构成的网格图．正六边形的顶点称为格点，已知 ， ， ， 是网格图中的格点、连接、 、 、 、 与 相交于点，其中． （2）分别求及的值． 21. 如图．正方形 的顶点坐标分别为，，直线经过 ， 两点． （1）求直线的解析式； （2）直线经过点 ，并与直线交于点 ，求点 的坐标． 22. 如图1和2，点 ， ， 都是 上的点， 切 于点 ， 与 相交于点 ．，．弦． （1）求 的半径； （2）如图1，若 为直径，求线段 与的长．并比较大小； （3）在（2）的基础上，改变点 的位置使，如图2，直接写出此时线段的长度． 23. 6月8日是世界海洋日．某地海洋馆举办了“守护蔚蓝”公益展演．如图．在海豚钻圈表演中．海豚身体（看成一点）在空中的运行路线可以近似看成抛物线的一部分．以海豚起跳点 为原点，以点 与海豚落水点所在直线为轴．垂直于水面的直线为 轴建立平面直角坐标系．海豚离水面的高度 （单位： ）与距离起跳点 的水平距离（单位： ）之间满足函数关系式．海豚落入水面的点 的坐标为．经测量．海豚这次表演的最高点距离水面． （1）求这次表演过程中，海豚运动路线所在抛物线的解析式； （2）饲养员将直径为的圆如图放置，轴，点 的坐标为． ①海豚穿过时与圆的交点为 ，求点 的坐标； ②若使海豚恰好穿过圆的中点，求出需要将圆向下平移的距离； （3）为增加观赏性、在（2）的基础上．饲养员又准备了一个与圆相同的圆 ，并把 以同样高度放置在圆的右侧．且与海豚起跳点 的水平距离不超过．若海豚运动路线不变，设点 的横坐标为 ，当海豚顺利通过圆 时，直接写出 的取值范围． 24. 综合与实践 【情境】实际生活中，利用折叠的性质可以解决很多问题． 【发现】现有一张长为2．宽为1.8的矩形 纸片．由于该矩形纸片的长与宽的长度很接近．为了确定 与 哪个是较长边，嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题． 如图1，嘉嘉的方法： ①将矩形 纸片沿过点 的直线折叠，使点 的对应点落在 边所在的直线上； ②最终发现点在线段 上． 如图2，淇淇的方法： ①将矩形 纸片的顶点 与 通过折叠重合，设折痕与矩形的边分别交于 ， 两点，并且满足点 在点 的上方； ．．．．．． [探究] （1）通过嘉嘉的方法可以判断，较长边为（填“ ”或“ ”）； （2）在图2中，结合淇淇的方法， ①用尺规作图作出折痕（保留作图痕迹，不写作法），并说明 与 哪个是较长边； ②若连接 、 ，直接写出四边形 的形状（不说理由）； [拓展]在四边形 纸片中， ， ， ， ， ．按如下要求折叠该四边形纸片． （3）如图3，将四边形 纸片沿对角线 折叠，请判断点 的对应点能否落在边上，说明理由； （4）如图4，将四边形 纸片折叠，使折叠后点 的对应点始终落在边上，点 的对应点为，折痕与边 、分别交于、两点．当时，直接写出 的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河北初中学业水平模拟 数学（预测二） 注意事项：共8页，总分120分，时间120分钟． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 巩立姣是河北籍田径运动员，是女子铅球项目的领军人物．国际田联规定：女子铅球的标准质量是 ，在某次比赛用品抽检中，第一个铅球的质量为，记为，第二个铅球的质量记为，则第二个铅球的质量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解： ∵ 第二个铅球的质量记为 ，说明其质量比标准质量少 ， ∴ 第二个铅球的质量为 ． 2. 如图，已知，点 ，点分别是， 延长线上一点，若，则指的是图中的（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形外角的性质得出答案即可． 【详解】解：∵为 的外角， ∴， ∵， ∴，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 3. 可以记作（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：表示有 个相乘，故记作． 4. 如图，将菱形沿着对角线所在的直线l平移，若，则的度数为（ ） A. 45° B. 50° C. 55° D. 60° 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、图形平移的性质、等腰三角形的性质、直线平行的性质．根据菱形对角线的性质可知对角线将菱形分为两个等腰三角形，三角形底角为，根据三角形内角和定理求出顶角，再根据平移和直线平行的性质可求． 【详解】解：由菱形的性质可知菱形对角相等，对角线平分对角， ∴对角线将菱形分为两个等腰三角形， ∴是底角为65°，如图， ∴顶角为． 根据平移可知，， ∴， 故选：B． 5. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查的是分式的加法运算，准确掌握分式的加法法则是解决此题的关键． 根据分式的加法法则计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 6. 一个不等式组的解集在数轴上表示出来如图所示．则下列实数是该不等式组的解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数轴可得该不等式组的解集为，再估算出四个实数的范围即可得到答案． 【详解】解：由题意得，该不等式组的解集为， ∵， ∴只有是该不等式组的解． 7. 凭借宣传口号“这么近，那么美，周末到河北”，河北文旅火速出圈，某商家制作的正方体快递箱上面印有“河北文旅”四个字（每个字各占一面，剩余两面为空白）．若要使一组相对的面印有“河”和“北”字，另一组相对的面印有“文”和“旅”字，则下列正方体快递箱的展开图符合要求的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方体的相对面必定相隔1个小正方形进行判断即可. 【详解】解：A、“文”和“旅”不是相对面，不符合题意； B、“河”和“北”为相对面，“文”和“旅”是相对面，符合题意； C、“文”和“北”为相对面，不符合题意； D、“旅”和“河”为相对面，“文”和“北”为相对面，不符合题意. 8. 算式的结果用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 9. 下面是嘉嘉作业本上一道习题及解答过程： 已知：如图．，于点， 于点 ， 与交于点，且 ，连接． 求证： 为等边三角形． 证明：， ， ， 又， ， （① ）． ② 又， 为等边三角形． 若以上解答过程正确，①，②应分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据 证明，得到 即可 【详解】证明：， ， ， 又， ， （ ）． 又， 为等边三角形． 10. 若关于的一元二次方程无实数根，则反比例函数的图象所在的象限分别位于（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式、反比例函数的图象和性质． 先根据一元二次方程无实数根的条件求出n的范围，再确定反比例函数系数的符号，从而判断图象所在的象限． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴， 解得， ∴， ∴反比例函数的图象所在的象限分别位于第二、四象限， 故选：C． 11. 我国古书《墨经》中记载了世界上最早的“小孔成像”的现象．墨子曾进行如下实验：在暗室的墙上开一个小孔，一人立于墙前，当阳光照射时，屋内对面墙壁上会呈现一个倒立的人像．已知初始状态下，小孔O到人的距离、小孔O到所成像的距离均为6米，要使像的长度变为原来的 倍，下列操作正确的是（ ） A. 人向暗室后退2米 B. 人向暗室前进2米 C. 人向暗室后退4米 D. 人向暗室前进4米 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，根据题意可得 ，则可得到小孔O到人的距离：小孔O到所成像的距离，可求出操作前，操作后小孔O到人的距离：小孔O到所成像的距离，据此逐一判断即可． 【详解】解：由题意得， ， ∴小孔O到人的距离：小孔O到所成像的距离， ∵操作前小孔O到人的距离、小孔O到所成像的距离均为6米， ∴操作前； ∵操作后像的长度变为原来的 倍， ∴操作后小孔O到人的距离：小孔O到所成像的距离， 当人向暗室后退2米时，小孔O到人的距离：小孔O到所成像的距离，不满足题意，故A不符合题意； 当人向暗室前进2米时，小孔O到人的距离：小孔O到所成像的距离，满足题意，故B符合题意； 当人向暗室后退4米时，小孔O到人的距离：小孔O到所成像的距离，不满足题意，故C不符合题意； 当人向暗室前进4米时，小孔O到人的距离：小孔O到所成像的距离，不满足题意，故D不符合题意； 故选：B． 12. 如图，在平面直角坐标系中，函数 的图象记为．若关于原点对称的函数图象记为．且直线（ 为常数）分别与、围成的两个封闭区域内（不含边界）的整点（横、纵坐标都是整数的点）的个数和恰好是19个，则 的值可能是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用对称性得到，再逐项判断点的个数之和即可． 【详解】解：函数 的图象为，关于原点对称的图象为， 将代入可得，则对应的函数表达式为； 由图象可知，时，点的个数之和为，故A不符合题意； 由图象可知， 时，点的个数之和为，故B不符合题意； 由图象可知，时，点的个数之和为 ，故C符合题意； 由图象可知， 时，点的个数之和为，故D不符合题意； 二、填空题（本大题共4小题．每小题3分，共12分，把答案写在题中横线上） 13. 某足球运动员进行定点射门训练，通过大量重复射门试验后，发现射进球门的频率稳定在0.7．若该足球运动员定点射门10次，则估计他射进球门的次数为__________次． 【答案】7 【解析】 【分析】根据频率的稳定值得到射进球门的概率估计值，再利用总射门次数乘以概率得到估计的进球次数. 【详解】解：因为大量重复试验后，射进球门的频率稳定在， 所以该运动员射进球门的概率估计值为， 所以估计定点射门次射进球门的次数为． 14. 如图，将矩形 绕点顺时针旋转 得到矩形，则__________°． 【答案】130 【解析】 【分析】设交于，根据题意可得，，再由四边形内角和求出，进而得到即可． 【详解】解：设交于， 由题可知，， ， 在四边形中，， ， ． 15. 如图，一根长度为4个单位长度的木棒在数轴上水平滑动．木棒左端对应数轴上的点为，右端对应数轴上的点为．数轴上点对应的数为1，点，均在点的左侧．若点到点的距离是点到点距离的3倍，则点对应的数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设点对应的数为，则点对应的数为，由点A到点C的距离是点B到点C距离的3倍，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设点对应的数为，则点对应的数为， 根据题意得：， 解得． 16. 水车是我国古代重要的灌溉工具，图1是某种型号水车的示意图，其外围部件是绕中心轴旋转的圆形轮盘．轮盘边缘均匀分布有12个水斗（看成点），这些水斗随轮盘转动而升降．如图2．已知外围轮盘半径为，在水车顺时针转动的某一时刻，其中1个水斗在点处放空水，同时有1个水斗刚好在点处接触水面，劣弧上（不含，）还有另外2个水斗，现测得点到水面的竖直距离为 ，则此时在水面下方的水斗个数最多有__________个．（参考数据：） 【答案】3 【解析】 【分析】作 ， ，作，设，先说明四边形 是矩形，得到，再利用“ ”说明，得到 ，根据勾股定理列出方程，求出 ，，最后根据垂径定理，计算即可求解的最大值，利用两个水斗间夹角为30度，求出水斗最多的数量． 【详解】解：如图，作 、 交于点 、，作于点， 设， ， ，， ， 四边形 是矩形， ，， 点到水面的距离为， ，则， 圆形轮盘分布了12个水斗，水斗A和B中间还有2个水斗， ， ， 又 ，即， ， 在 和中， ， ， ， 在中，， 则，即，解得，， 或 ， ， 点 是的中点，即， 或． ∵在水面下方的水斗个数最多 ∴，，， 在中，， ∴， ∴， ∴所对的圆心角为， ∵每两个水斗的夹角度数为 ， ∴在水面下方的水斗个数最多有3个 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按照如图所示的程序进行运算． （1）计算输出整式 的最简结果； （2）输入任意的值进行运算，发现输出 的结果总不超过．请验证这个结论． 【答案】（1） （2） 由（1）可知 ， 对任意的值，， ， ，即输出 的结果总不超过． 【解析】 【分析】（1）根据程序图，结合多项式乘以多项式的运算法则和完全平方公式求解； （2）根据完全平方数的非负性判断即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 略 18. 洪洪在计算的过程中产生了如下两种简便计算思路： 思路一： 解：原式 思路二： 解：原式 = （1）在思路一中的“□”内填上合适的数，并完成计算； （2）在思路二中的“○”内填上“”“”、“×”、或“÷”中的一个运算符号，使得运算过程正确．并完成计算． 【答案】（1）；； （2）； 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 19. 某中学为提升学生消防安全意识，开展了“消防知识竞赛”活动，竞赛成绩按从高到低分为A、B、C、D四个等级，活动结束后随机抽取七年级和八年级各50名同学的竞赛成绩进行调查分析．同时绘制了如图1和2所示的两幅不完整的统计图．根据统计图中所给信息，解答下列问题： （1）七年级抽取的学生中成绩为B的有 人，八年级抽取学生的竞赛成绩统计图中 ； （2）嘉嘉和淇淇在抽取学生的竞赛成绩中分别位居七年级和八年级的第26名．通过统计图分析谁的成绩高； （3）该中学七年级有480名同学，八年级有500名同学，请估计七、八年级竞赛成绩为D的总人数． 【答案】（1）18； （2）淇淇的成绩高， （人）， ， 七年级第26名同学的成绩为C，即嘉嘉的成绩为C． 八年级抽取学生中成绩为A的有 （人）， 成绩为B的有 （人）， ， 八年级第26名同学的成绩为， 即淇淇的成绩为, 淇淇的成绩高； （3） 人 【解析】 【分析】（1）根据总人数计算七年级抽取的学生中成绩为B的人数即可；用1减其他部分的占比即可得到 ； （2）根据题意得出嘉嘉和淇淇竞赛成绩所在的等级，根据等级判断即可； （3）由样本所占比例估计总体的人数即可． 【小问1详解】 解： （人）， ，圆心角为 ， 故七年级抽取的学生中成绩为B的有18人， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：七、八年级竞赛成绩为 的人数为 （人）． 20. 探究下列问题： 【发现】 （1）如图1，在边长为1的正六边形 中，对角线 ， ， 与的位置关系为 ； 【应用】图2是由边长为1的正六边形构成的网格图．正六边形的顶点称为格点，已知，，， 是网格图中的格点、连接、、、、与相交于点，其中． （2）分别求及的值． 【答案】（1）；2； （2）； 【解析】 【分析】（1）过作交 于，可得，再解直角三角形得到，进而得到 ，利用勾股定理求出 ； （2）由题易得，进而得到，再由正切的定义求值． 【小问1详解】 解：在正六边形 中，， ，过作交 于， ，且为 中点， ，，， ； 【小问2详解】 如图2，连接 ， ， ， ， ，由（1）知，， ， 连接 ，，即， 在中，，又， ． 21. 如图．正方形 的顶点坐标分别为，，直线经过，两点． （1）求直线的解析式； （2）直线经过点，并与直线交于点，求点的坐标． 【答案】（1） （2）点的坐标为 【解析】 【分析】（1）得到点的坐标为，再利用待定系数法求解析式即可； （2）把点代入可得，再求交点即可． 【小问1详解】 解：∵正方形 的顶点坐标分别为，， ∴，轴， 点的坐标为， 设直线的解析式为，把及， 代入， 得，解得， 直线的解析式为； 【小问2详解】 由题意知：， ∴点的坐标为， 把， 代入，得， 直线的解析式为 ， 联立得，解得， 点的坐标为． 22. 如图1和2，点，，都是 上的点， 切 于点， 与 相交于点．，．弦． （1）求 的半径； （2）如图1，若 为直径，求线段 与的长．并比较大小； （3）在（2）的基础上，改变点的位置使，如图2，直接写出此时线段的长度． 【答案】（1）3 （2）；； （3） 【解析】 【分析】（1）利用切线性质和平行线的性质得到，利用等腰三角形的性质求得，， （2）在中，解直角三角形即可得到 ，由圆周角定理可得，再求弧长即可； （3）如图2，延长交 于H，根据切线性质和平行线的性质得到，进而证明四边形是矩形得到，，，利用垂径定理得到 ，在 中，解直角三角形求得，，进而可求解． 【小问1详解】 解：∵ 切⊙O于点， 为直径， ∴ ， ∵， ∴， ∵ ，， ∴，， 则 的半径为； 【小问2详解】 解：在中，，， ∴， 连接 ， ∴， ， ； 【小问3详解】 解：如图2，延长交 于H， ∵ 切⊙O于点， ∴, ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴ ， 在 中，，， ∴，， ∴． 23. 6月8日是世界海洋日．某地海洋馆举办了“守护蔚蓝”公益展演．如图．在海豚钻圈表演中．海豚身体（看成一点）在空中的运行路线可以近似看成抛物线的一部分．以海豚起跳点 为原点，以点 与海豚落水点所在直线为轴．垂直于水面的直线为轴建立平面直角坐标系．海豚离水面的高度（单位： ）与距离起跳点 的水平距离（单位： ）之间满足函数关系式．海豚落入水面的点的坐标为．经测量．海豚这次表演的最高点距离水面． （1）求这次表演过程中，海豚运动路线所在抛物线的解析式； （2）饲养员将直径为的圆如图放置，轴，点 的坐标为． ①海豚穿过时与圆的交点为，求点的坐标； ②若使海豚恰好穿过圆的中点，求出需要将圆向下平移的距离； （3）为增加观赏性、在（2）的基础上．饲养员又准备了一个与圆相同的圆 ，并把 以同样高度放置在圆的右侧．且与海豚起跳点 的水平距离不超过．若海豚运动路线不变，设点 的横坐标为 ，当海豚顺利通过圆 时，直接写出 的取值范围． 【答案】（1） （2）①点的坐标为；②需要将圆向下平移 （3） 【解析】 【小问1详解】 解：由题意得，抛物线过，， 且海豚这次表演的最高点距离水面， 抛物线顶点为，则， ，解得， ， 答：海豚运动路线所在抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：① 点 的坐标为，则点的坐标为， 设点的坐标为，点在抛物线上， 则， ， 答：点的坐标为； ②由①知的中心坐标为，， 答：要使海豚恰好穿过圆的中点，则需要将圆向下平移； 【小问3详解】 解： 抛物线对称轴为直线 ， 由题可知 在对称轴左侧， 若点经过抛物线，即纵坐标为3，则， 解得，（舍去）， ， 答： 的取值范围为． 24. 综合与实践 【情境】实际生活中，利用折叠的性质可以解决很多问题． 【发现】现有一张长为2．宽为1.8的矩形 纸片．由于该矩形纸片的长与宽的长度很接近．为了确定与哪个是较长边，嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题． 如图1，嘉嘉的方法： ①将矩形 纸片沿过点的直线折叠，使点的对应点落在边所在的直线上； ②最终发现点在线段上． 如图2，淇淇的方法： ①将矩形 纸片的顶点与通过折叠重合，设折痕与矩形的边分别交于，两点，并且满足点在点的上方； ．．．．．． [探究] （1）通过嘉嘉的方法可以判断，较长边为（填“”或“”）； （2）在图2中，结合淇淇的方法， ①用尺规作图作出折痕（保留作图痕迹，不写作法），并说明与哪个是较长边； ②若连接 、 ，直接写出四边形 的形状（不说理由）； [拓展]在四边形 纸片中， ， ， ， ， ．按如下要求折叠该四边形纸片． （3）如图3，将四边形 纸片沿对角线 折叠，请判断点的对应点能否落在边上，说明理由； （4）如图4，将四边形 纸片折叠，使折叠后点的对应点始终落在边上，点 的对应点为，折痕与边 、分别交于、两点．当时，直接写出 的长． 【答案】（1） （2）①见解析，是较长边；②菱形 （3） 解：点的对应点能落在边上． 理由：过点作 ， 可得四边形 为矩形， ， ， 在 中， ， ， ， 又 ， ， ， 点的对应点能落在边上； （4）或 【解析】 【分析】（1）由图易知 ，进而可得 ； （2）①利用尺规作图，作 的垂直平分线即可；②根据题意可得， ，再证，进而得到 即可得到四边形 为菱形； （3）过点作 ，证得 即可求解； （4）分两种情况：当在 左侧时，设与 相交于点 ， ，再证 ，得到，解出，再根据 即可求解；当在 右侧时，延长相交于点，设与相交于点 ， ，可证，则，即，解出即可． 【小问1详解】 解：由翻折可知 ，又 ， ； 【小问2详解】 解：①折痕如图所示： 连接 ，由折叠的性质可得， ，即 ， 在中， ， ， 是较长边； ②设 与相交于点 ， 同理由折叠的性质可知 ，且， 又， ， ， ， ， 四边形 为菱形； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：当在 左侧时，设与 相交于点 ， 由翻折可知 ，， ，不妨设 ， ，解得： ， ， 又 ， ， ，即，解得， ，解得， ； 当在 右侧时，延长相交于点，设与相交于点 ， 由翻折可知 ， 设 ，则 ， ，解得: ， ， 又， ， ， ，即，解得:， ； 综上， 的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $