8.6.1直线与直线垂直课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.6.1 直线与直线垂直 1.理解异面直线所成的角的概念，会运用平移的方法求异面直线所成的角 2.能对直线与直线互相垂直进行判定 学习目标 1.空间内两直线的位置关系 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点 共面直线 平行直线：同一平面内，没有公共点 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 120° 2.平面内两直线所成的角 平面内，两直线相交形成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角（或夹角）；图中直线a,b的夹角为60°. 复习回顾 新课导入 思考：在同一平面内，可以通过夹角来刻画一条直线相对于另一条直线的倾斜程度.正方体中，直线A'C'与直线AB，直线A'D'与直线AB都是异面直线，如何刻画它们的位置关系呢？ 将直线AB平移至A'B' 将空间图形问题转化为平面图形图形问题 利用平移把异面直线转化为相交直线 已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′，b′所成的角叫做异面直线所成的角（或夹角）． 1.异面直线所成的角 探究新知 α 问题1：角的大小与O点的位置有关吗? 即O点位置不同时, 这一角的大小是否改变? 两条异面直线所成的角的大小，与点O的位置选取无关. 异面直线所成角的取值范围：0°<α≤90° 空间两条直线所成角的取值范围：0°≤α≤90° 规定：两条平行直线所成的角为0° 2.异面直线垂直 直线a与直线b垂直，记作a⊥b. 如果两条异面直线所成的角是直角,那么就说这两条异面直线相互垂直． 探究新知 问题2：若空间中两条直线互相垂直，这两条直线是异面直线吗？ 问题3:垂直于同一条直线的两条直线是否平行？ 不一定 正方体 垂直分为两种 相交直线的垂直 异面直线的垂直 探究新知 探究新知 例1.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中， （1）哪些棱所在直线与直线AA1垂直？ （2）求直线BA1与CC1所成的角的大小. （3）求直线BA1与AC所成的角的大小. 题型一：求异面直线所成角(数学运算) 例2.如图，在正方体中，为底面的中心.求证：. 分析： 题型二：证明两异面直线垂直(逻辑推理) 推出 异面直线夹角转化为相交直线的夹角 探究新知 9 例2.如图，在正方体中，为底面的中心. 求证：. 分析：要证明应先构造直线所成的角，再证明这个角是直角 解： 连接.∵是正方体， ∴且. ∴四边形是平行四边形. ∴ ∴直线与所成的角即为直线与所成的角. 连接，易证. 又为底面的中心， ∴为的中点，∴.∴. A B C D A1 B1 C1 D1 O1 题型二：证明两异面直线垂直(逻辑推理) 探究新知 10 探究新知 步骤：找点→平移→ 证明→求解 方法：直接平移法、中位线平移法、补形平移法； 若异面直线所成角为90°，即线线垂直 求两条异面直线所成的角的一般步骤： 　1．作：恰当地选择一个点（经常在其中一条线上取一点），作出（常用平移法)异面直线所成的角(或其补角)； 　2．证：证明(1)中所作出的角(或其补角)就是所求异面直线所成的角； （注：证明线线平行） 　3．求：通过解三角形或其他方法，求出(1)中所构造的角的大小； （注：假如所构造的角的大小为α，若0°<α≤90°,则α即为所求异面 直线所成角的大小；若90°<α<180°,则180°－α即为所求）． 1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画 “√”，错误的画“×”． ①. 中,空间中直线∥,∥,则直线,所成的角是.（ ） ②.相互垂直的直线一定是相交直线（ ） ③.如果一条直线与平行直线中的一条垂直,那么这条直线也与另一条直线垂直.（ ） 2.如图,在长方体中,若,, 则异面直线和所成角的余弦值为 (　　) A. B. C. D. D. 随堂练习 小结 1.必做作业：教材148页第1,2,3题 2.选做作业：教材148页第4题 作业 $