专题01 轴对称（专项训练）数学新教材华东师大版七年级下册

专题01 轴对称 目录 A题型建模・专项突破 题型一、轴对称图形的识别 1 题型二、求对称轴条数 5 题型三、根据成轴对称图形的特征进行判断 7 题型四、根据成轴对称图形的特征求解 13 题型五、折叠问题 18 题型六、作已知线段的垂直平分线 30 题型七、作角平分线 34 题型八、画轴对称图形 38 题型九、作垂线 46 B综合攻坚・能力跃升 题型一、轴对称图形的识别 1．下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】轴对称图形的定义：平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的图形，就是轴对称图形．根据轴对称图形定义即可得出结论． 【详解】选项ABC的图形都找不到使图形折叠后重合的直线，它们都不是轴对称图形；选项D：沿图形中间的竖直线折叠，直线左右两侧可以完全重合，是轴对称图形． 2．窗花以精巧的构图与细腻的工艺，展现独特的东方美学与浓郁的传统韵味．在常见的窗花图案中，有的窗花是轴对称图形．下面4个窗花图案中，可以看作是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形的定义可得： A．不是轴对称图形，不符合题意； B．不是轴对称图形，不符合题意； C．是轴对称图形，符合题意； D．不是轴对称图形，不符合题意， 故选：C． 3．剪纸不仅是窗上的装饰，更是藏在红纸里的吉祥密码．下列剪纸图案中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：选项A、B、D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合， 是轴对称图形， 选项C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合， 不是轴对称图形， 4．下列图形中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，据此解答即可． 【详解】解：B、C、D选项找不到沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合,不是轴对称图形，不符合题意；选项A能找到沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合,是轴对称图形，符合题意． 5．下列选项中，含有轴对称图形汉字的是（  ） A．吉祥 B．如意 C．万事 D．顺遂 【答案】A 【分析】轴对称图形的定义为：沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．根据轴对称图形的定义，判断各选项中的汉字，找出含有轴对称图形汉字的选项即可． 【详解】解：A选项：汉字“吉”沿竖中线折叠后，直线两旁部分可完全重合，是轴对称图形，故A选项符合题意； B选项：“如”、“意”都不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C选项：“万”、“事”都不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D选项：“顺”、“遂”都不是轴对称图形，故D选项不符合题意． 6．彩云之南，民族聚居，自然人文，七彩绚丽．下列四个选项中，是轴对称图形的为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】轴对称图形是指把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的概念逐一进行辨别，即可解答． 【详解】解： B、C、D选项均无法找到这样的一条直线，使得沿着这条直线折叠之后，直线两旁的部分能完全重合，故它们都不是轴对称图形； A选项，能找到这样的一条直线，使得沿着这条直线折叠之后，直线两旁的部分能完全重合，故它是轴对称图形． 7．下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对每个选项中的图案，尝试寻找是否存在这样的一条直线，使得沿该直线折叠后图案的黑白棋子能完全重合．逐一验证每个选项是否满足折叠后重合的条件． 【详解】解：沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形． 对选项逐一判断： 选项A：存在一条对称轴，沿该直线折叠后直线两旁部分可以完全重合，是轴对称图形； 选项B：两个白子位置不对称，折叠后无法重合，不是轴对称图形； 选项C：仅右侧最下方有一个黑子，左侧对应位置无棋子，折叠后无法重合，不是轴对称图形； 选项D：找不到满足条件的对称轴，折叠后无法重合，不是轴对称图形． 8．汉字是世界上最古老的文字之一，已有六千多年的历史，是上古时期各大文字体系中唯一的传承者．下列汉字中，可以近似看成轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、可以近似看成轴对称图形，符合题意； B、不可以近似看成轴对称图形，不符合题意； C、不可以近似看成轴对称图形，不符合题意； D、不可以近似看成轴对称图形，不符合题意； 9．数学中有许多精美的曲线，下面的曲线中不是轴对称图形的是（   ） A．黄金螺旋线 B．三叶玫瑰线 C．星形线 D．笛卡尔心形线 【答案】A 【详解】解：A、没有对称轴直线，不是轴对称图形，符合题意； B、有对称轴直线，是轴对称图形，不符合题意； C、有对称轴直线，是轴对称图形，不符合题意； D、有对称轴直线，是轴对称图形，不符合题意 ． 10．中国的航天技术已达到世界先进水平，为世界科技进步贡献了中国智慧．以下航天图标中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 11．《三角洲行动》是国产自研战术射击大作，真实战场体验，硬核竞技，彰显中国游戏研发实力，下列干员成就徽章中，属于轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称图形的定义，能够正确判断轴对称图形是解题的关键． 根据轴对称的定义即可求解． 【详解】解：轴对称图形是指沿一条直线折叠后，两侧部分能够完全重合的平面图形，则选项A符合题意． 题型二、求对称轴条数 12．等腰梯形有_____条对称轴． 【答案】1/一 【分析】根据轴对称图形对称轴的定义，结合等腰梯形的性质即可确定其对称轴的数量． 【详解】解：等腰梯形沿上下两底中点所在的直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，不存在其他满足条件的直线，因此等腰梯形只有条对称轴． 13．如图，图中雪花的对称轴条数是（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴． 【详解】解：依据轴对称图形的意义，沿着对称轴所在的直线对折，对折后的两部分能够完全重合， 雪花有6条对称轴． 故选C． 14．如图所示的图案，它的对称轴有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 【答案】C 【详解】解：如图所示： 该图形有3条对称轴． 15．下列图形中，对称轴条数最多的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，据此结合图形找到四个图形的所有对称轴即可得到答案． 【详解】解：A选项中的图形有1条对称轴，B选项中的图形有5条对称轴，C选项中的图形有1条对称轴，D选项中的图形有3条对称轴， ∴对称轴条数最多的是B选项中的图形． 16．下面各图的对称轴数量最多的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的概念分别确定出各选项图形的对称轴的条数，然后选择即可． 【详解】解：选项A有四条对称轴，选项B有四条对称轴，选项C有三条对称轴，选项D有无数条对称轴， ∴对称轴数量最多的是选项D． 故选：D． 17．下列图形对称轴最多的是（    ） A．正方形 B．等边三角形 C．圆 D．正五边形 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的定义，分别确定各选项图形的对称轴条数，比较后即可得到结果． 【详解】解：∵ 正方形有4条对称轴． 等边三角形有3条对称轴． 圆过圆心的直线都是它的对称轴，因此圆有无数条对称轴． 正五边形有5条对称轴． ∴ 对比可知，圆的对称轴数量最多． 18．下列图形中，有3条对称轴的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：选项A有3条对称轴，选项B不是轴对称图形；选项C有6条对称轴；选项D有5条对称轴．故有3条对称轴的是A选项的图形． 题型三、根据成轴对称图形的特征进行判断 19．如图，与关于直线对称，交于点O，则下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称的性质逐项判断即可得解． 【详解】解：由题意可得，，，故A、B、C正确，不符合题意． 20．已知与分别在直线l的两侧且关于直线l对称，点与点、点与点，点与点都是关于直线l的对称点，下列线段被直线l垂直平分的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的基本性质，根据对称点的连线被对称轴垂直平分即可判断求解． 【详解】解：∵ 点与点是关于直线的对称点， ∴ 线段被直线垂直平分． 21．已知，与关于直线对称，交于点O，则下列结论中不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由轴对称的性质可以得到对应线段、对应点的连线与对称轴的位置关系，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，不能得出非对应线段的关系． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴，，， 无法得到； 故只有B选项不一定成立． 22．如下图，已知四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，，，． (1)试写出EF，AD的长度． (2)求的度数． (3)连接BF，线段BF与直线MN有什么关系？ 【答案】(1)， (2) (3)直线MN垂直平分线段BF 【分析】本题考查了轴对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键； （1）（2）（3）根据轴对称的性质即可得出相关信息． 【详解】（1）解：∵四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称， ，， ，． （2）解：∵四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称， ， ∴． （3）解：∵对称轴垂直平分对应点的连线， ∴直线MN垂直平分线段BF． 23．如图，已知和关于直线对称． (1)结合图形指出对称点； (2)若连接，直线与线段有什么关系？ (3)若延长与，它们的交点与直线有怎样的关系？其他对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律． 【答案】(1)点的对称点是，点的对称点是，点的对称点是 (2)直线垂直平分线段 (3)对应线段（或其延长线）的交点在对称轴上 【分析】（1）根据所给对称关系，写出对称点即可； （2）根据轴对称的性质即可解决问题； （3）根据题意进行画图，发现规律即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知， 点的对称点是，点的对称点是，点的对称点是； （2）解：连接， 则直线垂直平分线段； （3）解：若延长与， 它们的交点在直线上，其他对应线段（或其延长线）的交点也在直线上， 规律：对应线段（或其延长线）的交点在对称轴上． 24．如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质；根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解；轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 【详解】解：与关于直线对称， ，，，故A、C、D选项正确， 不一定成立，故B选项错误， 所以，不一定正确的是B． 故选：B． 25．如图，六边形ABCDEF关于直线l对称的图形是六边形．下列判断错误的是（   ） A． B． C．直线 D． 【答案】B 【分析】此题考查轴对称图形的性质，掌握关于某条直线对称的两个图形全等，对应点到对称轴的距离相等是解决问题的关键． 根据轴对称的性质逐一判断即可． 【详解】解：A、点和对称点是点和，．故该选项说法正确，不符合题意； B、∵点、、、对称点是点、、和，，．故该选项说法错误，符合题意； C、∵点、对称点分别是点、，直线故该选项说法正确，不符合题意； D、∵点对称点是点，，故该选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 26．数学课上，老师给出如图所示的直角三角形，其中，动点在线段上运动（不与端点重合），点关于边的对称点分别为，连接，点在上，小明认为：点在运动过程中，始终是直角三角形；小亮认为：点在运动过程中，线段存在最小值，最小值为，下列判断正确的是（   ） A．只有小明正确 B．只有小亮正确 C．两人都对 D．两人都错 【答案】A 【分析】本题考查轴对称的性质，垂线的定义，垂线段最短，三角形的面积，掌握知识点是解题的关键． 求出，即可判断出点在运动过程中，始终是直角三角形，即可判断小明正确；连接，推导出，得到当时，取得最小值，即也取得最小值，由，求出，则，即可判定小亮错误，即可解答． 【详解】解：∵点关于边的对称点分别为， ∴， ∴， ∴点在运动过程中，始终是直角三角形； 故小明正确． 连接，如图 ∵点关于边的对称点分别为， ∴， ∴， 当时，取得最小值，即也取得最小值， ∴， 即， 解得， ∴． 故小亮错误． 综上所述，小明正确，小亮错误． 故选：A． 27．如图，与关于直线对称，P为上任一点，下列结论中错误的是（   ） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．与周长相等 D．直线、的交点不一定在上 【答案】D 【分析】本题考查了成轴对称的两个图形的性质，掌握这一性质是解题的关键． 利用轴对称的性质即可作出判断． 【详解】解：由线段垂直平分线的性质得，即是等腰三角形，选项A正确； 两个图形关于直线成轴对称，则对称轴垂直平分对应点的连线段，选项B正确； 两个图形关于直线对称，则这两个图形重合，所以这两个三角形周长相等，选项C正确； 直线、直线的交点一定在对称轴上，选项D错误； 故选：D． 题型四、根据成轴对称图形的特征求解 28．【中档】如图，点P是外的一点，点M，N分别是两边上的点，点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于的对称点R落在的延长线上．若，求线段的长． 【答案】15 【分析】根据轴对称的性质进行计算即可． 【详解】解：∵点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于的对称点R落在的延长线上， ∴， ∵， ∴， ∴． 29．如图，点在的内部，点和点关于直线对称，点关于直线的对称点是点，连接交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据轴对称的性质，可知，，可以求出的度数； （2）根据轴对称的性质，可知，，根据周长定义可以求出的周长． 【详解】（1）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ∴ ； （2）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ， ， 即的周长为． 30．如图，点是内的一点，点，分别是点关于，的对称点，交于点，交于点．若，求的周长． 【答案】 【分析】根据轴对称的性质得到、，进而求出的周长为长． 【详解】解：点，分别是点关于，的对称点， 、， ， 的周长为． 31．如图，在直角三角形中，，，，，动点在线段上运动（不与端点重合），点关于边，的对称点分别为，，连接，点在上，则在点的运动过程中，线段长度的最小值是______． 【答案】/ 【分析】如图：连接，由轴对称的性质可得，即得，可知当时，的值最小，此时的长度的最小，利用三角形的面积求出的最小值即可求解． 【详解】解：如图：连接， ∵点关于边，的对称点分别为，，连接，点在上， ∴，， ∴， ∴， 当时，的值最小，此时的长度的最小， 当时，， ∴，解得：， ∴，即线段长度的最小值是． 32．如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D， ∴，，， ∴， 根据现有条件无法得到， ∴四个选项中只有A选项符合题意． 33．如图，为的边上一点，点关于直线的对称点恰好在线段上，连接，若，则的周长是（    ） A．10 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称的性质．先根据轴对称的性质得出，，进而得出，然后根据三角形的周长公式及线段的和差即可解答． 【详解】解：∵点A关于直线的对称点E恰好在线段上，连接，， ∴，， ， ∴的周长 ． 34．如图，现有A、B两个村庄，要在笔直的公路L上建一个货站，要使货站到两个村庄的距离之和最短，可选择L上C、D、E、F，4个点中的______点建立货站． 【答案】F 【分析】根据轴对称的性质可得，根据两点之间线段最短，即可得出答案． 【详解】解：由题意，B，关于直线L对称， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴最小，即最小， ∴此时点F满足条件． 35．如图，内一点P，点，分别是点P关于，的对称点，交于点M，交于点N，若，则的周长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【详解】解：由点，分别是点P关于，的对称点，可知：， ∴的周长为． 36．如图，与关于直线对称，其中，，，． (1)求的度数． (2)求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据成轴对称的两个图形对应角相等即可得答案； （2）根据成轴对称的两个图形对应边相等得出，进而求出的周长即可． 【详解】（1）解：∵与关于直线对称， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵与关于直线对称，， ∴， ∵，， ∴的周长． 题型五、折叠问题 37．如图所示，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，第一次沿折叠如图1，第二次沿折叠如图2．若，则________度． 【答案】36 【分析】根据折叠可得：，，设，则，根据平行线的性质得出，，根据三角形内角和定理得出，求出x的值，即可得出答案． 【详解】解：根据折叠可得：，， 设，则， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 38．如图，把一张长方形纸条沿着（在上，在上）向上方翻折，点落在点处，点落在边上的点处，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：依题意， ∴ ∵ ∴ ∴ 39．如图，将一张长方形纸条折叠，若，则的度数为______°． 【答案】61 【分析】由折叠的性质得出，再根据邻补角的定义得出，然后代入，即可求出的度数． 【详解】解：由折叠的性质得出， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 40．如图，在中，是的角平分线，将沿所在直线折叠得到，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠的性质可得，，结合角平分线的定义可证三点共线，利用三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可得 ， ∴，， ∵是 的角平分线， ∴， ∴， ∴点在线段 上 ， ∴ 是 的外角， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 41．如图所示，是直角三角形，，，点是边上的中点，是射线的动点，将沿翻折，得到（点不与点重合），连接，当是直角三角形时，________． 【答案】或 【分析】分点在线段上和点在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， 当是直角三角形时，分两种情况： ①当点在线段上，且时，如图： 则， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴； ②当点在线段的延长线上，且时，如图：则，作， ∴， ∴，， ∵折叠， ∴， ∴， ∴； 综上： 或． 42．将四边形纸片按如图方式折叠，折痕为，点D，C分别落在，．已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，根据折叠的性质得到，根据列方程求解即可． 【详解】解：设， ∴ ∵将四边形纸片按如图方式折叠，折痕为，点D，C分别落在，， ∴， ∵B、E、C在同一直线上， ∴， 解得：， 即的度数为． 43．如图，将长方形纸条沿折叠后，的对应边交于点G，若，则的度数为_____． 【答案】 【分析】根据折叠性质，平行线的性质，长方形的性质，平角的定义求解即可； 【详解】解：长方形纸条沿折叠后，的对应边交于点G， ，， ， ，， 则的度数为． 44．将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，为折痕，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质，可以得到，再根据折叠的性质，即可得到，最后根据平角的性质即可得解． 【详解】解：∵四边形是长方形纸片， ，， ， ∵折叠， ∴， ， ． 45．如图，将长方形纸片沿着折叠（折痕分别交，于点E，F），点B，C分别落到点，的位置，再将四边形沿着折痕折叠，点，分别落到，的位置．若，则的度数为______；若，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质、平行线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 利用折叠的性质得到，根据平行线的性质得到，进而得到的度数，利用三角形内角和定理求出的度数，从而求出；根据平行线的性质得到、，进而求出的度数，从而求出的值即可． 【详解】解：由折叠的性质得，、， 四边形是长方形， ， ， ， ， ， 由折叠的性质得：，， ； ， ， 、， 、， ， ， ， ． 46．阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线． (1)如图1，若，则______°； (2)折叠长方形纸片，，均为折痕，折叠后，点A落在点，点E落在点． ①如图2，当点在上时，求的度数； ②如图3，若，求的度数； ③如图4，若，，则的度数为______°（用含m和n的式子表示）． 【答案】(1) (2) ； ； 【分析】（1）由折叠得出，即可得出结论； （2）①由折叠得出，，再由点在上，进而求解即可； ②首先求出，然后由折叠得到，，然后求出，进而求解即可； ③首先由折叠得，，求出，，然后根据，得到，最后由折叠的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， 由折叠知，； （2）解：①由折叠知，，， ∴当点在上时， ； ②∵， ∴， 由折叠知，，， ∴， ∴； ③∵， ∴由折叠得，， ∴， ∴由折叠得，， ∵， ∴ ∴由折叠得，． 47．在数学课上，老师让同学们以两条平行线，和一块含角的直角三角尺（A、B、C逆时针方向排列），其中，，为主题展开数学活动，B点始终在线段上． (1)如图1，当时，求的大小． (2)如图2，三角尺绕着点B旋转，当C点在下方，A点在两平行线之间时，延长线交线段于点D，与的平分线交于点O，请你探究是否为定值，并说明理由． (3)若直角三角尺的C点在线段上，边交线段于点E，将三角形沿翻折，C落在点F处，，点G为射线上一动点，连接，的平分线所在直线交线段于点K，求与的数量关系_______．（直接写答案） 【答案】(1) (2)是定值，理由见解析 (3) 【分析】（1）延长交于点，根据角的和差关系，求出的度数，再根据平行线的性质，求出的大小即可； （2）设交于点，交于点，设，根据平行线的性质和三角形的内角和为180度，推出即可； （3）根据折叠的性质，角的和差关系和倍数关系以及平角的定义，求出的度数，进而求出的度数，分点在上和的延长线上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：延长交于点， 由题意，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：是定值，理由如下： 设交于点，交于点， ∵与的平分线交于点O， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 由题意，， ∴， ∴， ∵， 故是定值； （3）解：∵折叠， ∴， ∵， ∴设，则，， ∴， ∴， ∴， 当点在线段的延长线上时，如图， ∵， ∴，， ∴， 设，则，， ∵的平分线所在直线交线段于点K， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在线段上时，如图，设，则， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴ 综上：． 48．如图，已知四边形纸片的边，是边上任意一点，沿折叠，点落在点的位置． (1)观察发现：如图①所示：，，则________． (2)拓展探究：如图②，点落在四边形的内部，探究，，之间的数量关系，并证明： (3)迁移应用：如图③，已知，，当点落在边的上方和落在边下方时，请直接写出的值（用含有，的式子表示）． 【答案】(1) (2)；见解析 (3)点落在边上方时；点落在边下方时 【分析】（1）过点作，根据翻折的性质以及平行线的性质求解； （2）过点作，根据翻折的性质以及平行线的性质证明； （3）根据平行线的判定和性质进行求解即可． 【详解】（1）解：如图①所示，过点作， ∵， ∴， ∴， 根据翻折的性质得，， ∴； （2）解：，理由如下： 如图②所示，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 根据翻折的性质得，， ∴； （3）解：①点落在边上方时，如图③所示，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 根据翻折的性质得，， ∴； ②点落在边下方时，如图④所示，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 根据翻折的性质得，， ∴； 综上，点落在边上方时；点落在边下方时． 题型六、作已知线段的垂直平分线 49．如图，已知线段，利用尺规作的垂直平分线，步骤如下：①分别以点A和点B为圆心，以一定长度m为半径作弧，两弧相交于点C和点D；②作直线，直线就是线段的垂直平分线．下列各数中，m的值可能是（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】D 【分析】利用基本作图得到，从而可对各选项进行判断． 【详解】解：根据题意得， 即， 故选项D符合题意． 50．尺规作图： (1)作边的垂直平分线交于点，连接； (2)作边的垂直平分线交于点，连接（要求：保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质作出图形即可； （2）根据线段垂直平分线的性质作出图形即可． 【详解】（1）解：如图，点，即为所求； （2）解：如图，点，即为所求． 51．如图，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，连接，，，则，依据是___________ 【答案】线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 【分析】根据线段垂直平分线的性质解题即可． 【详解】解：由作图过程可知，直线是线段的垂直平分线， ∴． 52．如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中作的垂直平分线； (2)在图2中作的外心O． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 【分析】（1）取格点E，F，由网格的特征可知，四边形是正方形，由正方形的性质可知，则的垂直平分线即为所求； （2）根据外心的定义，分别作三条边的垂直平分线，三条垂直平分线交于点O，则点O为的外心． 【详解】（1）解：如图所示，的垂直平分线即为所求： （2）解：如图所示，的外心O即为所求： 53．已知：中，求作一点P，使得点P到A、C两点的距离相等，并且到、的距离相等． 【答案】图见详解 【分析】明确点是线段的垂直平分线与的角平分线的交点． 【详解】解：点P到A、C两点的距离相等， 点在线段的垂直平分线上， 点P到、的距离相等， 点在的角平分线上， 点是线段的垂直平分线与的角平分线的交点， 如图即为所求， 54．如图，已知锐角（），请用尺规作图法，在内部求作一点，使且点到、的距离相等．（保留作图痕迹，不写画法） 【答案】见详解 【分析】作线段的垂直平分线与的角平分线的交点即可． 【详解】解：，则点在线段的垂直平分线上， 点到、的距离相等，则点在的角平分线上， 如图所示， ∴点D即为所求点的位置． 55．如图，在数学活动课中，嘉嘉剪了一张的纸片，他将折叠压平使点落在点处，折痕分别交、于点、．请用尺规作图法，求作折痕．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】先根据折叠的性质可得折痕是的线段垂直平分线，再利用尺规作图作的线段垂直平分线，分别交于点D，交于点E，则即为所求。 【详解】解：如图，折痕即为所求. 题型七、作角平分线 56．如图，直线，点E，F分别在直线上，连接，以点E为圆心，适当长为半径画弧，交射线于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部交于点H，画射线交于点G，若，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由作图可知，结合，求出，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：由作图可知， ∵， ∴， ∵， ∴． 57．如图，是的外角． (1)分别作和的平分线，两条平分线的交点为E．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法即可作图； （2）先根据角平分线得到，，由外角得到，代入即可得到，再由三角形的外角性质求解． 【详解】（1）解：如图即为所求； （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴． 58．如图，点C在的边上，．请用尺规作图法，在上找一点D，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见详解 【分析】作的角平分线交于点D，连接即可． 【详解】解：作的角平分线交于点D，连接， ∵, ∴， 则点D即为所求． 59．角是轴对称图形，角平分线所在的直线就是对称轴，用圆规和无刻度直尺可以作出一个角的平分线．下列图形展示的是尺规作平分线的过程，请根据图形写出每一步的作图方法． 作法： (1) ； (2) ； (3) ．即： 为所求． 【答案】(1)以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线于点 (2)再分别以为圆心，大于一半的长为半径画弧，在角的内部交于点C (3)连接，射线 【详解】（1）解：以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线于点； （2）解：再分别以为圆心，大于一半的长为半径画弧，在角的内部交于点； （3）连接，即：射线为所求． 60．如图，在中，，，以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点D、E，再分别以点D、E为圆心，大于长为半径作弧交于点F，作射线交边于点M，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据作图可得平分，从而求出，最后根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 根据题意可得平分， ∴， ∴． 61．如图，在中，，按以下步骤作图： ①以点为圆心，小于的长为半径作圆弧，分别交，于点，； ②分别以点，为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点； ③作射线，交边于点．若，则的大小为____________． 【答案】 【分析】根据作图可得平分，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解． 【详解】解：由作图得平分， ∵， ∴， ∵， ∴． 62．如图，在中，，为锐角，请用尺规作图法，在边上求作一点P，使得点B关于的对称点在上．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】作出的角平分线交边于点P即可． 【详解】解：点P即为所作． ． 63．如图，在中，，是的角平分线，在上求作点P，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】图见解析 【分析】本题考查几何作图，核心是利用三角形内角和定理及作角平分线确定点的位置．根据三角形内角和可得，根据角平分线可得，进而可知. 【详解】解：作的角平分线与交于点，如图即为所作角； ， ， 是的角平分线，是的角平分线， , ， 如图即为所作角； 题型八、画轴对称图形 64．在边长为1的小正方形组成的网格中（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点），的三个顶点都在格点上，请利用网格线和直尺画图． (1)在图中画出关于直线成轴对称的；的面积为___________； (2)在所给的网格内，在直线上找一点，使的面积等于的面积． (3)在直线上确定一点，使得的周长最小． 【答案】(1)见解析；8； (2)见解析 (3)见解析 【分析】（）分别找到、、三点关于直线的对称点、、，再顺次连接； （）两个三角形都可以是以为底的三角形，根据同底等高即可知面积相等，所以只需要作同高，根据平行线间的距离相等，过作的平行线交于即可； （）的周长，长度固定，所以只需让最小；作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点即为所求的点． 【详解】（1）关于直线成轴对称的如图所示： 分别找到、、三点关于直线的对称点、、，再顺次连接； ∵ ∴ ∴． （2）解：过作的平行线交于，点即为所求作的图 （3）解：的周长，长度固定，所以只需让最小；作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点即为所求的点． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形，作轴对称图形，以及最短路径的问题，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 65．如图，平面直角坐标系中，，，． (1)画出点A、点B关于y轴的对称点、点，连接，，； (2)画出关于x轴对称的，点与点A为对应点，点与点B为对应点，并直接写出的面积S的值． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析， 【详解】（1）解：如图， （2）解： 66．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为 (1)在图中作出关于轴的轴对称图形； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）按照作轴对称图形的方法作出即可； （2）利用网格用梯形面积减去两个小三角形面积即可求出的面积． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：的面积为： ． 67．四边形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A，B，C，D均在格点上． (1)作出四边形关于y轴对称的四边形； (2)在y轴上找一点P，使的值最小（保留作图痕迹）； (3)四边形的面积为________． 【答案】(1)见详解 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了画轴对称图形，最短路径，割补法求不规则图形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合轴对称图形的性质，分别找出点，再依次连接，即可作答． （2）结合轴对称图形的性质，连接或连接它们都与y轴的交点即为点P，则，或，即可作答． （3）利用割补法进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：四边形如图所示： （2）解：在y轴上找一点P，使的值最小，如图所示； （3）解：四边形的面积． 68．如图，点A，B，C均在小正方形的顶点上，小正方形的边长为1． (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的，并求的面积； (2)在直线l上找一点P，使的值最小． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析 【分析】（1）根据成轴对称的性质，画出即可； （2）连接，与直线l的交点即为点P． 【详解】（1）解：如图，即为所求； 由图可知：的面积； （2）解：如图，点P即为所求； 69．如图，在平面直角坐标系内，已知． (1)画出关于轴对称的； (2)的面积为 ． 【答案】(1)作图详见解析 (2) 【分析】先由点的对称性作出图形，再由网格中求三角形面积的方法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： 的面积为． 70．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，的三个顶点都在格点上． (1)在网格中画出关于直线m对称的； (2)请求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可； （2）利用直角梯形的面积减去旁边两个直角三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图所示， 即为所求； （2）解：． 71．如图所示，在边长为1个单位长度的正方形网格中． (1)作出该图形关于直线对称的图形； (2)求出这个图形的面积． 【答案】(1)图见详解； (2)． 【分析】本题考查轴对称图形绘制与网格中图形面积计算，熟练掌握运用轴对称性质找对称点来完成作图以及运用割补法求面积是解题的关键． （1）作轴对称图形的核心是找到关键点关于直线的对称点，再按原图顺序依次连接即可； （2）通过分割法将复杂图形转化为两个简单三角形，以为底利用三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：如图所示即为所作图形； （2）解： ． 题型九、作垂线 72．观察下图中尺规作图的痕迹，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图，由垂线的作图方法即可作出判断． 【详解】解：由作图痕迹可知，，所以B是正确的，符合题意． 73．如图，及边上一点．请你用尺规在内部求作一点，使得，且点到两边的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】以点为圆心，任意长为半径画弧，与相交于两点；分别以该两点为圆心，大于两点距离的一半为半径画弧，两弧相交于一点，过该点和点作直线；以点为圆心，任意长为半径画弧，与、相交于两点；分别以该两点为圆心，大于两点距离的一半为半径画弧，两弧相交于一点，过点与该点作射线；直线与射线的交点即为所求点． 【详解】解：如图所示，点即为所求． 74．如图，已知． (1)作中线； (2)作角平分线． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】（1）先作的中垂线，确定的中点，连接即可； （2）利用尺规作角平分线的方法作图即可. 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； 75．如图，已知直线及直线外一点，利用尺规作直线，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析． 【分析】以为圆心，任意长度为半径画弧，交直线于点，再以为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点，连接，则直线即为所求． 【详解】解：如图，直线即为所求． 76．如图，已知，请用尺规作图的方法在内求作一点P，使得，且点P在边的高上．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】根据垂线的基本作图，线段垂直平分线的基本作图，求解即可． 【详解】解：根据题意，作图如下： ． 77．如图，已知钝角三角形，．请用尺规作图法，求作，使与关于所在直线对称．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】作关于的对称点，连接、，即可得到． 解题的关键在于掌握利用轴对称的性质作图步骤． 【详解】解：如图，为所求． 78．如图，在铁路旁边有一村庄，现要建一火车站，使该村庄的人乘火车最方便（即距离最近），请你在铁路边选一点来建火车站，并说明理由．（不写作法） 【答案】见解析，垂线段最短 【分析】过点A作铁路所在直线的垂线，垂足为B，根据垂线段最短可知，点B即为所求． 【详解】解：如图所示，点B即为所求，理由是垂线段最短． 79．如图，已知，请用尺规作图法在下方求作一点，连接，使得与互余，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】作的垂线，再以点为圆心，为半径画弧，交于点即可． 【详解】解： 与互余，即， 以为圆心，任意长为半径画弧，交于两点，以点，点分别为圆心，半径不变画弧，交于点，连接，再以点为圆心，为半径画弧，交于点，则点P为所作． 一、单选题 1．下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2．如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，由直角三角形两锐角互余可求出，由作图得，由三角形的外角的性质可得，故可得答案 【详解】解：∵， ∴， 由作图知，平分， ∴， 又 ∴ 故选：B 3．如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，平行线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形的性质即可判断B、C选项，再根据垂直于同一条直线的两条直线平行即可判断选项D． 【详解】解：由轴对称图形的性质得到，， ∴， ∴B、C、D选项不符合题意， 故选：A． 4．观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（    ） A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的高的定义，作线段的垂线，根据作图痕迹可得，从而可得答案． 【详解】解：由作图可得：， ∴线段一定是的高线； 故选B 5．如图，将沿折痕折叠，使点B落在边上的点E处，若，则的周长为（    ） A．5 B．6 C．6.5 D．7 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质，根据轴对称图形的性质得到，，从而，从而即可解答． 【详解】解：由折叠可得，， ∴， ∴． 故选：D． 6．如图，直线，点，分别在直线，上，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧．交射线于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点，画射线交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的作图，平行线的性质，熟练掌握角平分线的作法和平行线的性质是解题的关键．由作图可知，结合，求出，再利用平行线的性质即可求解， 【详解】解：由作图可知， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 7．如图，把一张两边分别平行的纸条折叠，为折痕，交于点，且．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质和平行线的性质，根据平行线的性质求出，根据折叠得出，再逐个判断即可． 【详解】解：，， ． 由折叠的性质，得，①正确； ，②正确； ， ． ， ，③正确； ， ，④正确． 故正确的结论有4个． 二、填空题 8．如图，在中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落在点处，若 ，则的度数为 _________ ． 【答案】/度 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，根据平行线的性质得到，根据折叠的性质得到，根据平角的定义可得，由此可以求出的度数即可得到答案． 【详解】解：，， ， 由折叠的性质得， ，， ， ， ． 故答案为：． 9．围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点________的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） 【答案】A或C 【分析】根据轴对称图形的定义解答即可． 本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】根据轴对称图形的定义，发现放在B，D处不能构成轴对称图形，放在A或C处可以， 故答案为：A或C． 10．如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则________． 【答案】/10度 【分析】本题主要考查角平分线的作法及三角形内角和定理，根据题意得出平分，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：因为， 所以， 根据题意得：平分， 所以， 因为为高， 所以， 所以, 所以， 故答案为：． 11．如图，平分，点A为射线上一点，，点E，F别为射线上的动点，连接，则的最小值为_________．    【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短路径，在上截取，连接，过点A作于点H，可得的最小值为的长，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，在上截取，连接，过点A作于点H．   ，， ， ， ． ，， ． 故答案为：． 12．如图，将三角形纸片折叠，使点A落在边上的点D处，折痕为．若的面积为8，的面积为5，则_______． 【答案】 【分析】本题考查的是轴对称的性质，三角形面积，先求解的面积为，的面积为，进一步可得答案． 【详解】解：∵的面积为8，的面积为5， ∴的面积为， 由折叠可得：的面积为， ∴的面积为， ∴， 故答案为： 三、解答题 13．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线成轴对称的； (2)在直线上找一点，使的长最短． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． （1）分别作出点关于直线的对称点，再顺次连接即可； （2）由点C与点F关于直线对称，则，根据两点之间线段最短即可求作． 【详解】（1）解：如图，即为所作： （2）解：如图，点P即为所求． 14．如图，已知点是内的一点，、分别是点关于、的对称点，连接与、分别相交于点、，已知． (1)求的周长； (2)连接、，若，求的度数． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟记轴对称的性质是解本题的关键； （1）根据轴对称的性质可得，再结合三角形的周长公式可得答案； （2）根据轴对称的性质可得，再结合角的和差运算可得答案； 【详解】（1）解： 、分别是点关于、的对称点，且、分别在、上， ，， 又， ． （2）解：连接， 、分别是点关于、的对称点， ，， 又， ， ， 又， ． 15．如图，已知点为边上一点，请用直尺和圆规作出满足下列条件的直线： (1)如图①，作一条直线，使得点关于的对称点为． (2)如图②，作一条过点B的直线，使得点关于的对称点落在上．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法； （1）连接，作出的垂直平分线，即可求解； （2）以为圆心，长为半径画弧交于，连接，作出的垂直平分线，即可求解； 掌握线段垂直平分线的作法是解题的关键． 【详解】（1）解：如图， 直线为所求作； （2）解：如图， 直线为所求作． 16．折纸中的数学（题中所有角都是指小于的角） 【问题情境】 动手折叠一张长方形纸片，点在边上，点，分别在边，上，分别沿，把，折叠得到和． 【问题初探】 （1）如图①，若点，点，点恰好在一条直线上，则的度数是_____； （2）如图②，若点落在上，点落在上，则的度数是_____； 【问题再探】 （3）若，求的度数（用含的代数式表示）； 【问题深探】 （4）连接，若，，且射线，射线，射线都与长方形的边相交．若射线是的角平分线，直接写出的度数（用含、的代数式表示）． 【答案】（1）；（2） ；（3）或；（4） 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，长方形的性质，平角的性质，角度的和差等知识点，利用分类讨论的思想，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）根据折叠可得，即可求解； （2）根据折叠可得，进而即可求解； （3）分与不重叠和重叠两种情况讨论，先表示出的度数，然后根据角的和差关系进行求解即可； （4）分点在的左侧，在的右侧和点在的右侧，在的左侧进行分类讨论即可得解． 【详解】解：（1）图2中，由折叠得，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）图3中，由折叠得∶，， ， ， ，即， 故答案为：； （3）分两种情况进行讨论：当与不重叠时，如图所示， 由折叠的性质得：，， ， ， ， ， ， 当与重叠时，如图所示， 由折叠的性质得：，， ， 又， ， ， 故答案为：或； （4）当点在的左侧，在的右侧时，如图， 折叠， ， 又， ， 射线是的角平分线， ， ， ∵折叠， ∴， ∴； 当点在的右侧，在的左侧时，如图， 折叠， ， 又， ， 射线是的角平分线， ， ， ∵折叠， ∴， ∴； 综上，的度数为． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 轴对称 目录 A题型建模・专项突破 题型一、轴对称图形的识别 1 题型二、求对称轴条数 3 题型三、根据成轴对称图形的特征进行判断 4 题型四、根据成轴对称图形的特征求解 6 题型五、折叠问题 8 题型六、作已知线段的垂直平分线 12 题型七、作角平分线 13 题型八、画轴对称图形 15 题型九、作垂线 18 B综合攻坚・能力跃升 题型一、轴对称图形的识别 1．下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．窗花以精巧的构图与细腻的工艺，展现独特的东方美学与浓郁的传统韵味．在常见的窗花图案中，有的窗花是轴对称图形．下面4个窗花图案中，可以看作是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．剪纸不仅是窗上的装饰，更是藏在红纸里的吉祥密码．下列剪纸图案中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 4．下列图形中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 5．下列选项中，含有轴对称图形汉字的是（  ） A．吉祥 B．如意 C．万事 D．顺遂 6．彩云之南，民族聚居，自然人文，七彩绚丽．下列四个选项中，是轴对称图形的为（   ） A． B． C． D． 7．下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 8．汉字是世界上最古老的文字之一，已有六千多年的历史，是上古时期各大文字体系中唯一的传承者．下列汉字中，可以近似看成轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 9．数学中有许多精美的曲线，下面的曲线中不是轴对称图形的是（   ） A．黄金螺旋线 B．三叶玫瑰线 C．星形线 D．笛卡尔心形线 10．中国的航天技术已达到世界先进水平，为世界科技进步贡献了中国智慧．以下航天图标中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 11．《三角洲行动》是国产自研战术射击大作，真实战场体验，硬核竞技，彰显中国游戏研发实力，下列干员成就徽章中，属于轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 题型二、求对称轴条数 12．等腰梯形有_____条对称轴． 13．如图，图中雪花的对称轴条数是（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 14．如图所示的图案，它的对称轴有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 15．下列图形中，对称轴条数最多的是（    ） A． B． C． D． 16．下面各图的对称轴数量最多的是（　　） A． B． C． D． 17．下列图形对称轴最多的是（    ） A．正方形 B．等边三角形 C．圆 D．正五边形 18．下列图形中，有3条对称轴的是（　　） A． B． C． D． 题型三、根据成轴对称图形的特征进行判断 19．如图，与关于直线对称，交于点O，则下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 20．已知与分别在直线l的两侧且关于直线l对称，点与点、点与点，点与点都是关于直线l的对称点，下列线段被直线l垂直平分的是（　　） A． B． C． D． 21．已知，与关于直线对称，交于点O，则下列结论中不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 22．如下图，已知四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，，，． (1)试写出EF，AD的长度． (2)求的度数． (3)连接BF，线段BF与直线MN有什么关系？ 23．如图，已知和关于直线对称． (1)结合图形指出对称点； (2)若连接，直线与线段有什么关系？ (3)若延长与，它们的交点与直线有怎样的关系？其他对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律． 24．如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（   ）    A． B． C． D． 25．如图，六边形ABCDEF关于直线l对称的图形是六边形．下列判断错误的是（   ） A． B． C．直线 D． 26．数学课上，老师给出如图所示的直角三角形，其中，动点在线段上运动（不与端点重合），点关于边的对称点分别为，连接，点在上，小明认为：点在运动过程中，始终是直角三角形；小亮认为：点在运动过程中，线段存在最小值，最小值为，下列判断正确的是（   ） A．只有小明正确 B．只有小亮正确 C．两人都对 D．两人都错 27．如图，与关于直线对称，P为上任一点，下列结论中错误的是（   ） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．与周长相等 D．直线、的交点不一定在上 题型四、根据成轴对称图形的特征求解 28．【中档】如图，点P是外的一点，点M，N分别是两边上的点，点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于的对称点R落在的延长线上．若，求线段的长． 29．如图，点在的内部，点和点关于直线对称，点关于直线的对称点是点，连接交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为________． 30．如图，点是内的一点，点，分别是点关于，的对称点，交于点，交于点．若，求的周长． 31．如图，在直角三角形中，，，，，动点在线段上运动（不与端点重合），点关于边，的对称点分别为，，连接，点在上，则在点的运动过程中，线段长度的最小值是______． 32．如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 33．如图，为的边上一点，点关于直线的对称点恰好在线段上，连接，若，则的周长是（    ） A．10 B．13 C．14 D．15 34．如图，现有A、B两个村庄，要在笔直的公路L上建一个货站，要使货站到两个村庄的距离之和最短，可选择L上C、D、E、F，4个点中的______点建立货站． 35．如图，内一点P，点，分别是点P关于，的对称点，交于点M，交于点N，若，则的周长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 36．如图，与关于直线对称，其中，，，． (1)求的度数． (2)求的周长． 题型五、折叠问题 37．如图所示，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，第一次沿折叠如图1，第二次沿折叠如图2．若，则________度． 38．如图，把一张长方形纸条沿着（在上，在上）向上方翻折，点落在点处，点落在边上的点处，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 39．如图，将一张长方形纸条折叠，若，则的度数为______°． 40．如图，在中，是的角平分线，将沿所在直线折叠得到，则的大小为（   ） A． B． C． D． 41．如图所示，是直角三角形，，，点是边上的中点，是射线的动点，将沿翻折，得到（点不与点重合），连接，当是直角三角形时，________． 42．将四边形纸片按如图方式折叠，折痕为，点D，C分别落在，．已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 43．如图，将长方形纸条沿折叠后，的对应边交于点G，若，则的度数为_____． 44．将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，为折痕，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 45．如图，将长方形纸片沿着折叠（折痕分别交，于点E，F），点B，C分别落到点，的位置，再将四边形沿着折痕折叠，点，分别落到，的位置．若，则的度数为______；若，则的值为______． 46．阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线． (1)如图1，若，则______°； (2)折叠长方形纸片，，均为折痕，折叠后，点A落在点，点E落在点． ①如图2，当点在上时，求的度数； ②如图3，若，求的度数； ③如图4，若，，则的度数为______°（用含m和n的式子表示）． 47．在数学课上，老师让同学们以两条平行线，和一块含角的直角三角尺（A、B、C逆时针方向排列），其中，，为主题展开数学活动，B点始终在线段上． (1)如图1，当时，求的大小． (2)如图2，三角尺绕着点B旋转，当C点在下方，A点在两平行线之间时，延长线交线段于点D，与的平分线交于点O，请你探究是否为定值，并说明理由． (3)若直角三角尺的C点在线段上，边交线段于点E，将三角形沿翻折，C落在点F处，，点G为射线上一动点，连接，的平分线所在直线交线段于点K，求与的数量关系_______．（直接写答案） 48．如图，已知四边形纸片的边，是边上任意一点，沿折叠，点落在点的位置． (1)观察发现：如图①所示：，，则________． (2)拓展探究：如图②，点落在四边形的内部，探究，，之间的数量关系，并证明： (3)迁移应用：如图③，已知，，当点落在边的上方和落在边下方时，请直接写出的值（用含有，的式子表示）． 题型六、作已知线段的垂直平分线 49．如图，已知线段，利用尺规作的垂直平分线，步骤如下：①分别以点A和点B为圆心，以一定长度m为半径作弧，两弧相交于点C和点D；②作直线，直线就是线段的垂直平分线．下列各数中，m的值可能是（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 50．尺规作图： (1)作边的垂直平分线交于点，连接； (2)作边的垂直平分线交于点，连接（要求：保留作图痕迹，不写作法） 51．如图，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，连接，，，则，依据是___________ 52．如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中作的垂直平分线； (2)在图2中作的外心O． 53．已知：中，求作一点P，使得点P到A、C两点的距离相等，并且到、的距离相等． 54．如图，已知锐角（），请用尺规作图法，在内部求作一点，使且点到、的距离相等．（保留作图痕迹，不写画法） 55．如图，在数学活动课中，嘉嘉剪了一张的纸片，他将折叠压平使点落在点处，折痕分别交、于点、．请用尺规作图法，求作折痕．（保留作图痕迹，不写作法） 题型七、作角平分线 56．如图，直线，点E，F分别在直线上，连接，以点E为圆心，适当长为半径画弧，交射线于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部交于点H，画射线交于点G，若，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 57．如图，是的外角． (1)分别作和的平分线，两条平分线的交点为E．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求的度数． 58．如图，点C在的边上，．请用尺规作图法，在上找一点D，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 59．角是轴对称图形，角平分线所在的直线就是对称轴，用圆规和无刻度直尺可以作出一个角的平分线．下列图形展示的是尺规作平分线的过程，请根据图形写出每一步的作图方法． 作法： (1) ； (2) ； (3) ．即： 为所求． 60．如图，在中，，，以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点D、E，再分别以点D、E为圆心，大于长为半径作弧交于点F，作射线交边于点M，则的度数为（    ） A． B． C． D． 61．如图，在中，，按以下步骤作图： ①以点为圆心，小于的长为半径作圆弧，分别交，于点，； ②分别以点，为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点； ③作射线，交边于点．若，则的大小为____________． 62．如图，在中，，为锐角，请用尺规作图法，在边上求作一点P，使得点B关于的对称点在上．（保留作图痕迹，不写作法） 63．如图，在中，，是的角平分线，在上求作点P，使．（保留作图痕迹，不写作法） 题型八、画轴对称图形 64．在边长为1的小正方形组成的网格中（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点），的三个顶点都在格点上，请利用网格线和直尺画图． (1)在图中画出关于直线成轴对称的；的面积为___________； (2)在所给的网格内，在直线上找一点，使的面积等于的面积． (3)在直线上确定一点，使得的周长最小． 65．如图，平面直角坐标系中，，，． (1)画出点A、点B关于y轴的对称点、点，连接，，； (2)画出关于x轴对称的，点与点A为对应点，点与点B为对应点，并直接写出的面积S的值． 66．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为 (1)在图中作出关于轴的轴对称图形； (2)求的面积． 67．四边形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A，B，C，D均在格点上． (1)作出四边形关于y轴对称的四边形； (2)在y轴上找一点P，使的值最小（保留作图痕迹）； (3)四边形的面积为________． 68．如图，点A，B，C均在小正方形的顶点上，小正方形的边长为1． (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的，并求的面积； (2)在直线l上找一点P，使的值最小． 69．如图，在平面直角坐标系内，已知． (1)画出关于轴对称的； (2)的面积为 ． 70．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，的三个顶点都在格点上． (1)在网格中画出关于直线m对称的； (2)请求出的面积． 71．如图所示，在边长为1个单位长度的正方形网格中． (1)作出该图形关于直线对称的图形； (2)求出这个图形的面积． 题型九、作垂线 72．观察下图中尺规作图的痕迹，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 73．如图，及边上一点．请你用尺规在内部求作一点，使得，且点到两边的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹） 74．如图，已知． (1)作中线； (2)作角平分线． 75．如图，已知直线及直线外一点，利用尺规作直线，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 76．如图，已知，请用尺规作图的方法在内求作一点P，使得，且点P在边的高上．（保留作图痕迹，不写作法） 77．如图，已知钝角三角形，．请用尺规作图法，求作，使与关于所在直线对称．（保留作图痕迹，不写作法） 78．如图，在铁路旁边有一村庄，现要建一火车站，使该村庄的人乘火车最方便（即距离最近），请你在铁路边选一点来建火车站，并说明理由．（不写作法） 79．如图，已知，请用尺规作图法在下方求作一点，连接，使得与互余，且．（保留作图痕迹，不写作法） 一、单选题 1．下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 3．如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 4．观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（    ） A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线 5．如图，将沿折痕折叠，使点B落在边上的点E处，若，则的周长为（    ） A．5 B．6 C．6.5 D．7 6．如图，直线，点，分别在直线，上，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧．交射线于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点，画射线交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，把一张两边分别平行的纸条折叠，为折痕，交于点，且．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 8．如图，在中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落在点处，若 ，则的度数为 _________ ． 9．围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点________的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） 10．如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则________． 11．如图，平分，点A为射线上一点，，点E，F别为射线上的动点，连接，则的最小值为_________．    12．如图，将三角形纸片折叠，使点A落在边上的点D处，折痕为．若的面积为8，的面积为5，则_______． 三、解答题 13．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线成轴对称的； (2)在直线上找一点，使的长最短． 14．如图，已知点是内的一点，、分别是点关于、的对称点，连接与、分别相交于点、，已知． (1)求的周长； (2)连接、，若，求的度数． 15．如图，已知点为边上一点，请用直尺和圆规作出满足下列条件的直线： (1)如图①，作一条直线，使得点关于的对称点为． (2)如图②，作一条过点B的直线，使得点关于的对称点落在上．（保留作图痕迹，不写作法） 16．折纸中的数学（题中所有角都是指小于的角） 【问题情境】 动手折叠一张长方形纸片，点在边上，点，分别在边，上，分别沿，把，折叠得到和． 【问题初探】 （1）如图①，若点，点，点恰好在一条直线上，则的度数是_____； （2）如图②，若点落在上，点落在上，则的度数是_____； 【问题再探】 （3）若，求的度数（用含的代数式表示）； 【问题深探】 （4）连接，若，，且射线，射线，射线都与长方形的边相交．若射线是的角平分线，直接写出的度数（用含、的代数式表示）． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $