专题01 轴对称最值之将军饮马问题（高效培优专项训练）数学新教材华东师大版七年级下册

**基本信息** 以轴对称和平移为核心，系统构建将军饮马问题的五类题型解法，形成“题型-方法-应用”的完整逻辑链，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |两定一动|多题覆盖|作对称点连线得动点|基于“两点之间线段最短”，构建对称转化基础模型| |一定两动（角内周长）|多题覆盖|作定点关于角两边对称点|拓展对称应用，将三角形周长转化为两对称点距离| |一定两动（垂线段型）|多题覆盖|对称后作垂线得最小值|结合垂线段最短，深化对称与垂线的综合应用| |线段差绝对值最大|多题覆盖|连两定点延长交直线|逆向应用线段性质，构建差最大模型| |造桥选址|多题覆盖|平移+对称确定桥位|融合平移与对称，解决含定长线段的路径问题|

专题01 轴对称最值之将军饮马问题 题型一：两定一动（直线同侧两点求和最小） 题型二：一定两动（角内求三角形周长最小） 题型三：一定两动（垂线段最短型求和最小） 题型四：线段差的绝对值最大 题型五：造桥选址（平移+对称求最短路径） 题型一：两定一动（直线同侧两点求和最小） 方法技巧：作一对称点，连线交直线得动点，最小值=对称点与另一定点距离。 1．如图，将军在图中点处，现在他要带马去河边l喝水，之后返回军营处，问：将军怎么走能使得路程最短？将实际问题转化成数学问题，即：在直线上找一点使得最小． 解决方法是：作点关于直线的对称点，连接，则，所以，连接，则线段的长度即为的最小值，这样做依据的基本事实是__________． 2．如图，点P，Q在直线l的同一侧，现需在l上找一点M，使得的和最小，下列做法正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在其格点上． (1)的面积为_____________； (2)画出关于直线l的轴对称图形； (3)在直线l上求作一点P，使值最小．（保留作图痕迹，不写作法） 4．如图，在平面直角坐标系中，的顶点． (1)在图中画出关于轴对称的； (2)直接写出的面积是___________； (3)在轴上找一点，连接使最小，请在图中标出点位置． 题型二：一定两动（角内求三角形周长最小） 方法技巧：作定点关于角两边对称点，连线交角两边，周长最小值=两对称点距离。 5．如图，在中，，P、M、N分别是AB、AC、BC边上的动点，当的周长最小时，下列关于P点位置的描述中正确的是（   ） A．P在AB边的中点处 B．连接CP，CP是的角平分线 C． D． 6．如图，四边形中，，，在、上分别找一点、，使周长最小时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（1）如图，在正方形网格上有一个．作关于直线的对称图形（不写作法）；    （2）在直线找一点P，使的周长最小（不写作法，保留作图痕迹）； （3）若网格上的最小正方形的边长为1，求的面积． 8．综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”． (1)【题型解决】如图①，小明将，两地抽象为两个点，将河抽象为一条直线、如图②，小明作点关于直线的对称点，连结与直线交于点，点就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明．以下是说明过程： 如图③，在直线上另取任意一点（与点不重合），连接，，． 点与点关于直线对称， 直线是的垂直平分线． ________，________ ________＝________． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． (2)【模型应用】如图④，在中，直线是边的垂直平分线，点是直线上的动点．若，，，则周长的最小值为________． (3)【模型拓展】如图⑤，已知，为内一定点，上有一点，上有一点，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 题型三：一定两动（垂线段最短型求和最小） 方法技巧：作定点对称，过对称点作另一边垂线，垂线段长即为最小值。 9．如图，等腰三角形的底边长为，面积是．若点为边的中点，点为线段上一动点，仔细观察图中利用尺规作图的痕迹，可知周长的最小值是_____． 10．如图，在中，,,，直线垂直平分线段，若点为边BC的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（） A．9 B．13 C．12 D．14 11．如图，中，，边的垂直平分线分别交，于点，，点是边的中点，点是上任意一点，连接，，若，，当周长取到最小值时，，之间的数量关系是 ________ ． 12．【综合与实践】 日常生活中经常会遇到最短路径问题，例如，在物流配送中规划最短行驶路线以节约成本，在通信网络中寻找数据传输最优路径以提升效率，在交通导航中计算实时最快方案以减少拥堵，在工业生产中优化物料搬运路线以提升效能．从数学的角度看，这类问题抽象为几何问题，常常是求线段和的最小值问题． 【问题原型】 如图1，牧民从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？ 【数学模型】 作点关于直线的对称点；连接，与直线交于点；点即为所求饮马点，路径最短． 【解决问题】 (1)利用轴对称变换将折线问题转化为直线问题，体现了数学中的______思想．（填选项字母） A．数形结合    B．转化与化归    C．方程     D．分类讨论 (2)如图2，在等边中，是上的动点，是的平分线，是上的动点．若，则的最小值为______． (3)如图3，某能源公司在山区有一座风力发电站，需定期对一片扇形检修区（由射线和构成，）进行无人机巡检．无人机从发电站出发，需先到地面基站边缘处进行数据采集，再到河边处取水冷却设备，最后返回站．已知． ①请在备用图中画出一条最短巡检路线（保留作图痕迹，不写画法）； ②根据所画图示计算最短巡检路线的长度． 题型四：线段差的绝对值最大 方法技巧：连接两定点延长交直线，交点使|PA-PB|最大，最大值=AB长。 13．如图，已知点，在x轴上找一点C，使得的值最大，则此时点C的坐标为________． 14．直线的两旁分别有点、， (1)在图1直线上求作一点，使最大． (2)在图2直线上求作一点，使最小． 15．如图，在由长度均为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点，，均在小正方形的顶点上（保留画图痕迹，不写画法）． (1)在图中画出与关于直线成轴对称的； (2)的面积为____________； (3)在直线上找一点，使得的值最小； (4)在直线上找一点，使得的值最大． 16．如图，在边长为1个单位的小正方形组成的网格中，点在正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的． (2)在直线l上找一点，使的值最小， (3)在直线l上找一点M，使值最大．（在图形中标出点P、M，保留作图痕迹）． 题型五：造桥选址（平移+对称求最短路径） 方法技巧：将一点沿桥方向平移桥长，连接平移点与另一点，确定桥位。 17．已知，是，两个城镇和一条河流． (1)如图1，，两个城镇在河流同一侧，现计划在河边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，在河边找出点的位置，使的值最小（保留作图痕迹）． (2)如图2，，两个城镇在河流的两侧，现计划在河流靠镇的一边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，因条件限制，铺在河流中的管道必须垂直于河边，请在河边找出点的位置，使铺设管道的总长最小（保留作图痕迹）． 18．（1）如图①，、两点在直线的两侧，请你在直线上找到点，使得的长度最小，简述画法，并说明理由； （2）如图②，、两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直．） 将这个实际问题抽象出来，即：如图③，直线，点、分别位于直线、的两侧，请你在直线上找到点，使得垂直于直线，垂足为，且的长度最小．在图③中画出点、，并简要说明点、的位置是如何找到的（不要求证明）． （3）如图④，在（II）的条件中，如果将“一条河”的条件变化为“两条河”，那么两座桥分别建在何处才能使得从地到达地的路程最短呢？在图④中画出两座桥的位置，并简要说明这四个点的位置是如何找到的（不要求证明）． 19．解决问题 (1)如图1，两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直．）将这个实际问题抽象出来，即：如图2，直线，点、分别位于直线的两侧，请你在直线上找到点，使得垂直于直线，垂足为，且的长度最小，在图2中画出点、，并简要说明点、的位置是如何找到的（不要求证明）． (2)如图3，在（1）的条件中，如果将“一条河”的条件变化为“两条河”，那么两座桥分别建在何处才能使得从地到达地的路程最短呢？在图3中画出两座桥的位置． 20．综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图（1），将军从山脚下的点出发，到一条笔直的河边饮马后再回到点宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】小亮：如图（2），作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图（3），在直线上另取不同于点的任一点，连接，，． ∵点、关于直线对称，点、在直线上， ∴______，______， ∴______． ∵在中，， ∴______，即最小． 【解决问题】 任务一 请将小亮的说明过程补充完整．（直接填在横线上） 任务二 如图（4），将军从地出发，先到草地边某一处牧马；再到河边饮马，然后回到处，请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短．（保留画图痕迹） 任务三 如图（5），在、两村之间有一条河，且这条河的宽度处处相等，从村前往村，要经过这条河，现要在这条河上造一座垂直于河岸的桥，则这座桥造在何处可使由村到村的路程最短？（保留画图痕迹，在图上画出道路和桥的位置） 21．如图，一条东西流向的小河在处直角转弯，改变为南北流向，河宽不变．两地分别在河的北岸和西岸，现分别要在东西、南北流向的河上建两座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河两岸是平行线，桥与河垂直） 22．直线表示一条河的两岸，且，若村庄P和村庄Q在这条河的两岸．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路径最短，即最小．则下列图中满足条件的是（  ） A． B． C． D． 23．如图，和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） (1)作图，并保留作图痕迹，不需要写作法； (2)最短，说明理由． 24．如图，和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直），使从点到的路径最短的是（   ） A． B． C． D． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 轴对称最值之将军饮马问题 题型一：两定一动（直线同侧两点求和最小） 题型二：一定两动（角内求三角形周长最小） 题型三：一定两动（垂线段最短型求和最小） 题型四：线段差的绝对值最大 题型五：造桥选址（平移+对称求最短路径） 题型一：两定一动（直线同侧两点求和最小） 方法技巧：作一对称点，连线交直线得动点，最小值=对称点与另一定点距离。 1．如图，将军在图中点处，现在他要带马去河边l喝水，之后返回军营处，问：将军怎么走能使得路程最短？将实际问题转化成数学问题，即：在直线上找一点使得最小． 解决方法是：作点关于直线的对称点，连接，则，所以，连接，则线段的长度即为的最小值，这样做依据的基本事实是__________． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】本题考查了两点之间，线段最短、线段垂直平分线的性质，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型．依据是两点之间线段最短得出答案． 【详解】解：点与点关于直线对称， ， ， 两点之间，线段最短， 当点、、三点共线时，的值最小为． 故答案为：两点之间，线段最短． 2．如图，点P，Q在直线l的同一侧，现需在l上找一点M，使得的和最小，下列做法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对称的性质以及两点之间线段最短，理解两点之间线段最短是解题的关键． 作Q点关于l的对称点，连接与l的交点为M，此时最小． 【详解】解：∵点P，Q在直线l的同侧， ∴作Q点关于l的对称点，连接与l的交点为M， 由对称性可知， 此时，最小， 故选：D． 3．如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在其格点上． (1)的面积为_____________； (2)画出关于直线l的轴对称图形； (3)在直线l上求作一点P，使值最小．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)8 (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）用割补法求面积即可； （2）每个点关于对称，连接即可； （3）先作点关于的对称点，连接，与的交点为． 【详解】（1）解：； （2）解：如图所示： （3）解：如图，点即为所求作， ， ∵关于直线对称， ∴， 当三点共线时，值最小． 4．如图，在平面直角坐标系中，的顶点． (1)在图中画出关于轴对称的； (2)直接写出的面积是___________； (3)在轴上找一点，连接使最小，请在图中标出点位置． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了轴对称作图，求网格三角形的面积，最短路径问题，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． （1）分别作出点关于轴对称的点，再顺次连接即可； （2）利用割补法求解即可； （3）连接与轴交点即为点，根据轴对称的性质可得，则由两点之间线段最短可得，故此时最小． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：的面积， 故答案为：； （3）解：点即为所求： 题型二：一定两动（角内求三角形周长最小） 方法技巧：作定点关于角两边对称点，连线交角两边，周长最小值=两对称点距离。 5．如图，在中，，P、M、N分别是AB、AC、BC边上的动点，当的周长最小时，下列关于P点位置的描述中正确的是（   ） A．P在AB边的中点处 B．连接CP，CP是的角平分线 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称与最短路径问题（将军饮马模型），解题的关键在于正确构造对称点并识别出特殊图形，易错点主要在于对称模型应用错误；作出点关于和的对称点和，将周长最小转化为最短，再由对称可得，，所以在等腰中，顶角固定，要使得底边最短，可转化为最短，最短时为垂线段，即时，再根据角度计算得出． 【详解】作出点关于和的对称点和，连接，，； 由对称性可得，， 周长为，即最小即为． ∵，， ∴． 由对称可得： ，，， ∴． ∵在中，，， ∴要使最小，则最短， 最短时为垂线段，即， ∴在中，， 则． 故选：D． 6．如图，四边形中，，，在、上分别找一点、，使周长最小时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查轴对称的性质（最短路径问题，“将军饮马”模型）、三角形内角和定理、外角性质，解题的关键在于最短路径的转化；利用轴对称将的周长最小问题转化为“两点之间线段最短”， 利用轴对称性质得，，再通过三角形内角和或外角性质，推导与的关系． 【详解】解：作点关于的对称点；作点关于的对称点 连接，与交于点，与交于， 此时，周长最短. 由轴对称可得 设 ∴ ∵在中，， ∴① ∵， ∴② 得 则， 即． 故选D． 7．（1）如图，在正方形网格上有一个．作关于直线的对称图形（不写作法）；    （2）在直线找一点P，使的周长最小（不写作法，保留作图痕迹）； （3）若网格上的最小正方形的边长为1，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（4） 【分析】本题考查作图轴对称变换，三角形的面积，轴对称最短问题，解题的关键是： （1）作出、、关于直线的对称点、、即可； （2）连接，与y轴交于点P即可； （3）利用割补法求面积即可． 【详解】解：（1）如图即为所求作； （2）如图：点P即为所求作；      （3）此三角形面积为：． 8．综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”． (1)【题型解决】如图①，小明将，两地抽象为两个点，将河抽象为一条直线、如图②，小明作点关于直线的对称点，连结与直线交于点，点就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明．以下是说明过程： 如图③，在直线上另取任意一点（与点不重合），连接，，． 点与点关于直线对称， 直线是的垂直平分线． ________，________ ________＝________． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． (2)【模型应用】如图④，在中，直线是边的垂直平分线，点是直线上的动点．若，，，则周长的最小值为________． (3)【模型拓展】如图⑤，已知，为内一定点，上有一点，上有一点，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 【答案】(1)，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边 (2)9 (3) 【分析】（1）利用点B与点关于直线l对称，根据垂直平分线性质得，，将转化为，再依据三角形三边关系，证得最小，核心是借轴对称和三角形性质转化、推导最短路径 ． （2）根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，值的最小，周长有最小值，求出长度即可得到结论． （3）设点P关于、对称点分别为、，当点A、B在上时，周长为，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出的度数． 【详解】（1）解：如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ，， ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是“两点之间线段最短”，或“三角形两边之和大于第三边”； （2）解：如图，直线m与交于点D，连接 ∵直线m垂直平分， ∴B、C关于直线m对称，， ∴ ∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长， ∵，， ∴周长的最小值是． （3）解：分别作点P关于、的对称点P′、P″，连接、、，交、于点A、B，连接、，此时周长的最小值等于． 由轴对称性质可得，，，， ∴， ∴， ∴由轴对称的性质可得，，， ∴． 题型三：一定两动（垂线段最短型求和最小） 方法技巧：作定点对称，过对称点作另一边垂线，垂线段长即为最小值。 9．如图，等腰三角形的底边长为，面积是．若点为边的中点，点为线段上一动点，仔细观察图中利用尺规作图的痕迹，可知周长的最小值是_____． 【答案】 【分析】本题考查轴对称-最短路径问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 先连接，，由于是等腰三角形，点为边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据尺规作图的痕迹判断是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，． ∵等腰三角形，点为边的中点， ∴， ∵，， 又∵， ∴． ∵由图中尺规作图的痕迹可以判断出为线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴的长为的最小值， ∴周长的最小值为． 故答案为：． 10．如图，在中，,,，直线垂直平分线段，若点为边BC的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（） A．9 B．13 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一、线段垂直平分线的性质等知识，掌握将军饮马模型是解题关键． 连接，，推出周长的最小值为，证明，再利用三角形的面积公式列方程求出即可解决问题． 【详解】解：连接，， ∵直线垂直平分线段． ， ∵点为边的中点，， 周长， 周长的最小值为， ，点为边的中点， ∵,， ， 解得， 周长的最小值为， 故选：C． 11．如图，中，，边的垂直平分线分别交，于点，，点是边的中点，点是上任意一点，连接，，若，，当周长取到最小值时，，之间的数量关系是 ________ ． 【答案】 【分析】如图，连接．根据垂直平分，推出，，所以，当、、在同一直线上时，最小，最小值为．据此解答即可． 【详解】解：如图，连接． 垂直平分， ，， ， 当、、在同一直线上时，最小，最小值为． 周长最小值． ，点是边的中点， ， ， ， 即． 故答案为：． 12．【综合与实践】 日常生活中经常会遇到最短路径问题，例如，在物流配送中规划最短行驶路线以节约成本，在通信网络中寻找数据传输最优路径以提升效率，在交通导航中计算实时最快方案以减少拥堵，在工业生产中优化物料搬运路线以提升效能．从数学的角度看，这类问题抽象为几何问题，常常是求线段和的最小值问题． 【问题原型】 如图1，牧民从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？ 【数学模型】 作点关于直线的对称点；连接，与直线交于点；点即为所求饮马点，路径最短． 【解决问题】 (1)利用轴对称变换将折线问题转化为直线问题，体现了数学中的______思想．（填选项字母） A．数形结合    B．转化与化归    C．方程     D．分类讨论 (2)如图2，在等边中，是上的动点，是的平分线，是上的动点．若，则的最小值为______． (3)如图3，某能源公司在山区有一座风力发电站，需定期对一片扇形检修区（由射线和构成，）进行无人机巡检．无人机从发电站出发，需先到地面基站边缘处进行数据采集，再到河边处取水冷却设备，最后返回站．已知． ①请在备用图中画出一条最短巡检路线（保留作图痕迹，不写画法）； ②根据所画图示计算最短巡检路线的长度． 【答案】(1)B (2) (3)①作图见解析；②最短巡检路线的长度为． 【分析】（1）通过轴对称将折线问题转化为直线问题，属于转化与化归思想． （2）利用等边三角形对称轴的性质，将转化为点到直线的距离，结合等边三角形的高求解最小值． （3）①作点关于、的对称点，连接对称点与、的交点即为最短路径；②利用轴对称性质和等边三角形判定，计算最短路径长度． 【详解】（1）解：利用轴对称将折线问题转化为直线问题，体现转化与化归思想， 故选：B； （2）解：连接，，过点作于点， ∵ 等边中，是的平分线， ∴ 点、关于直线对称， ∴ ， ∴ ， ∵ 和都是等边的高，， ∴ ， ∴ 的最小值为； （3）解：① 如图，分别作点关于、的对称点、，连接分别交、于点、，连接、，则为最短巡检路线． ②∵ 点关于、的对称点为、， ∴ ，，， ∵ ， ∴ ， ∴ 为等边三角形， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， ∴ 最短巡检路线的长度为． 【点睛】本题主要考查了最短路径问题、等边三角形的性质与判定、轴对称的性质，熟练掌握“利用轴对称将折线问题转化为直线问题”是解题的关键． 题型四：线段差的绝对值最大 方法技巧：连接两定点延长交直线，交点使|PA-PB|最大，最大值=AB长。 13．如图，已知点，在x轴上找一点C，使得的值最大，则此时点C的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握并利用三角形三边关系，通过求直线解析式确定点的坐标是解题的关键． 要使的值最大，根据三角形三边关系，当三点共线时，，此时值最大，所以先求出直线的解析式，再求其与轴的交点的坐标． 【详解】解：设直线的解析式为，把代入得： 解得： 所以直线的解析式为 令，则， 解得， 所以点的坐标为． 故答案为：． 14．直线的两旁分别有点、， (1)在图1直线上求作一点，使最大． (2)在图2直线上求作一点，使最小． 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解 【分析】本题主要考查轴对称的性质及三角形三边不等关系，熟练掌握轴对称的性质及三角形三边不等关系是解题的关键； （1）作点关于直线的对称点，由轴对称的性质可知，所以当点三点共线时，有最大值，然后问题可求解； （2）连接，此时最小，进而问题可求解． 【详解】（1）解：所作点如图所示： （2）解：所作点如图所示： 15．如图，在由长度均为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点，，均在小正方形的顶点上（保留画图痕迹，不写画法）． (1)在图中画出与关于直线成轴对称的； (2)的面积为____________； (3)在直线上找一点，使得的值最小； (4)在直线上找一点，使得的值最大． 【答案】(1)见解析 (2)11 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用长方形的面积减去三个顶点上三角形的面积可得出结论； （3）连接，交直线于点，由此即可得解； （4）连接，并延长交直线于点，由此即可得解． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：．如图： ． （3）解：如图，点即为所求． （4）解：如图，点即为所求． 【点睛】本题考查的是作图，轴对称变换，熟知轴对称的性质，正确利用轴对称求最短路线是解答此题的关键． 16．如图，在边长为1个单位的小正方形组成的网格中，点在正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的． (2)在直线l上找一点，使的值最小， (3)在直线l上找一点M，使值最大．（在图形中标出点P、M，保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作轴对称图形，最短距离等知识，掌握轴对称图形的性质是解题的关键； （1）画出关于直线的对称点，并依次连接即可； （2）连接交于点P，则点P即为所求； （3）延长交于点M，则点M即为所求． 【详解】（1）解：画出关于直线的对称点，依次连接得到如下： （2）解：如图，连接交于点P，则点P即为所求： 由对称知，，则最小值为线段的长； （3）解：如图，延长交直线l于点M，则点M即为所求． 此时的最大值为线段的长． 证明：如图， 根据三角形三边关系可知， 即在同一直线时，的最大值为线段的长． 题型五：造桥选址（平移+对称求最短路径） 方法技巧：将一点沿桥方向平移桥长，连接平移点与另一点，确定桥位。 17．已知，是，两个城镇和一条河流． (1)如图1，，两个城镇在河流同一侧，现计划在河边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，在河边找出点的位置，使的值最小（保留作图痕迹）． (2)如图2，，两个城镇在河流的两侧，现计划在河流靠镇的一边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，因条件限制，铺在河流中的管道必须垂直于河边，请在河边找出点的位置，使铺设管道的总长最小（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了轴对称的性质、平移的性质、最短路径问题，根据轴对称和平移的性质正确作图是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据平移的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图1，作关于河边（直线）的对称点，连接交直线于点，连接， 由轴对称的性质得， ∴， ∴当三点共线时，的值最小， ∴如图所示，点的位置即为所求； （2）解：设河流宽度（直线与直线之间的距离）为， 将点向下平移至，连接交直线于点，作直线交直线于点，连接，如图2： 则， 由平移的性质得，， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，即铺设管道的总长最小， ∴如图所示，点的位置即为所求． 18．（1）如图①，、两点在直线的两侧，请你在直线上找到点，使得的长度最小，简述画法，并说明理由； （2）如图②，、两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直．） 将这个实际问题抽象出来，即：如图③，直线，点、分别位于直线、的两侧，请你在直线上找到点，使得垂直于直线，垂足为，且的长度最小．在图③中画出点、，并简要说明点、的位置是如何找到的（不要求证明）． （3）如图④，在（II）的条件中，如果将“一条河”的条件变化为“两条河”，那么两座桥分别建在何处才能使得从地到达地的路程最短呢？在图④中画出两座桥的位置，并简要说明这四个点的位置是如何找到的（不要求证明）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查轴对称作图，线段的性质，熟练掌握轴对称的性质，两点之间线段最短，是解题的关键： （1）根据两点之间线段最短，直接连接，与的交点即为点； （2）在直线上任取一点，过点作于点，画，且，连接交直线于点，作于点，点即为所求． （3）在直线上任取一点，过点作于点，作，且，在直线上任取一点，过点作于点，作，且，连接交直线于点，交直线于点，作于点，作于点，点、、、即为所求． 【详解】解：（I）如图，连接，与交于点，点即为所求； 理由：两点之间，线段最短． （II）在直线上任取一点，过点作于点，画，且，连接交直线于点，作于点，点即为所求． （Ⅲ）在直线上任取一点，过点作于点，作，且，在直线上任取一点，过点作于点，作，且，连接交直线于点，交直线于点，作于点，作于点，点、、、即为所求． 19．解决问题 (1)如图1，两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直．）将这个实际问题抽象出来，即：如图2，直线，点、分别位于直线的两侧，请你在直线上找到点，使得垂直于直线，垂足为，且的长度最小，在图2中画出点、，并简要说明点、的位置是如何找到的（不要求证明）． (2)如图3，在（1）的条件中，如果将“一条河”的条件变化为“两条河”，那么两座桥分别建在何处才能使得从地到达地的路程最短呢？在图3中画出两座桥的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）在直线上任取一点，过点作于点，画，且，连接交直线于点，作于点，点即为所求； （2）在直线上任取一点，过点作于点，作，且，在直线上任取一点，过点作于点，作，且，连接交直线于点，交直线于点，作于点，作于点，点、、、即为所求． 【详解】（1）解：在直线上任取一点，过点作于点，画，且，连接交直线于点，作于点，点即为所求． （2）解：在直线上任取一点，过点作于点，作，且，在直线上任取一点，过点作于点，作，且，连接交直线于点，交直线于点，作于点，作于点，点、、、即为所求． 20．综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图（1），将军从山脚下的点出发，到一条笔直的河边饮马后再回到点宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】小亮：如图（2），作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图（3），在直线上另取不同于点的任一点，连接，，． ∵点、关于直线对称，点、在直线上， ∴______，______， ∴______． ∵在中，， ∴______，即最小． 【解决问题】 任务一 请将小亮的说明过程补充完整．（直接填在横线上） 任务二 如图（4），将军从地出发，先到草地边某一处牧马；再到河边饮马，然后回到处，请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短．（保留画图痕迹） 任务三 如图（5），在、两村之间有一条河，且这条河的宽度处处相等，从村前往村，要经过这条河，现要在这条河上造一座垂直于河岸的桥，则这座桥造在何处可使由村到村的路程最短？（保留画图痕迹，在图上画出道路和桥的位置） 【答案】任务一: ,,,; 任务二:见详解； 任务三：见详解． 【分析】本题考查了轴对称之将军饮马模型，掌握轴对称变换和两点之间线段最短是解题的关键． 【详解】解：任务一 ∵点、关于直线对称，点、在直线上， ∴，， ∴． ∵在中，， ∴，即最小； 任务二 如图，即为最短路径． 任务三 如图，即为最短路径． 21．如图，一条东西流向的小河在处直角转弯，改变为南北流向，河宽不变．两地分别在河的北岸和西岸，现分别要在东西、南北流向的河上建两座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河两岸是平行线，桥与河垂直） 【答案】见解析 【分析】由于河的宽度是固定的，因此当最小时，最小，沿垂直河岸的方向平移点A到，使得河宽，再利用两点之间线段最短，可确定桥的位置． 【详解】解：如图，把河的两岸看成平行线和，将沿河岸垂直的方向平移等于河宽的距离，即点移动到点，点移动到点，则，； 同理，将点B沿垂直河岸方向平移河宽距离到点，使得，则； 所以， 在连接两点的线中，线段最短， 因此与直线的交点的位置即为所求，即在点处造桥，所得路径最短． 22．直线表示一条河的两岸，且，若村庄P和村庄Q在这条河的两岸．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路径最短，即最小．则下列图中满足条件的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平移﹣最短路径问题，掌握转化思想是解题的关键．先根据平移的性质，把问题转化为最短路径问题，再轴对称的性质作图． 【详解】解：∵， ∴先把和点P向上平移，使与重合，点P平移到，再连接交于点F， 再反方向平移回原来位置即可， 故选：A． 23．如图，和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） (1)作图，并保留作图痕迹，不需要写作法； (2)最短，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了最短路径问题、平移的性质、三角形三边关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）平移点到，使得等于河宽，连接交河岸于点，作桥，连接，此时最短； （2）另任意作桥，连接，，，由平移的性质可得，，，故转化为，而转化为，再结合在中，，即可得解． 【详解】（1）解：如图所示：平移点到，使得等于河宽，连接交河岸于点，作桥，连接即可， ； （2）解：如图，另任意作桥，连接，，， ， 由平移的性质可得：，，， 故转化为， 而转化为， 在中，， ∴， 故最短． 24．如图，和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直），使从点到的路径最短的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了两点之间线段最短，掌握最短路径的计算方法是解题的关键． 求的最小值，因为是定值，则当的值最小时即可，将线段沿着方向，平移得到，当点重合时，点三点共线，此时的值最小，由此即可求解． 【详解】解：从点到的路径为的值， ∵是定值， ∴当的值最小时，从点到的路径最短， 如图所示，将线段沿着方向，平移得到，点与点重合， 当时，点三点共线，， ∴由两点之间线段最短得，的值最小， 故选：D ． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $