第19章数据的分析（单元复习课件）数学新教材华东师大版八年级下册

单元复习课件 第19章 数据的分析 华师版（新教材）·八年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1. 掌握平均数（算术 / 加权）、中位数、众数、方差、标准差的计算公式及求解步骤，能准确计算一组数据的各类统计量，熟练绘制箱线图并解读其信息。 3. 提升数据处理与逻辑推理能力，运用数据分析知识解决实际问题，建立 “用样本估计总体” 的统计思想。 2.理解集中趋势（平均数、中位数、众数）与离散程度（方差、标准差）的统计意义，明确各统计量的适用场景及极端值对统计量的影响规律。 单元学习目标 分析数据 刻画一组数据集中趋势的指标 平均数 中位数 加权平均数 离差平方和 众数 方差 合理选用统计图 刻画一组数据离散程度的指标 描述数据分布的 箱线图 单元知识图谱 考点一 平均数、中位数、众数 一、数据的集中趋势 平均数 定义 一组数据的平均值称为这组数据的平均数 算术平均数 一般地，如果有n个数x1，x2，…，xn，那么 叫做这 n 个数的平均数. 加权平均数 一般地，若n个数x1，x2，…，xn的权分别是w1，w2，…，wn， 则 叫做这 n 个数的加权平均数． x = x1 + x2 + … + xn n x x1w1 + x2w2 + … + xnwn w1 + w2 + … + wn = 权重相同时，加权平均数就是平均数 1. 平均数 考点串讲 中位数 定义 将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于________________就是这组数据的中位数，如果数据的个数是偶数，则中间_________________________是这组数据的中位数 防错 提醒 确定中位数时，一定要注意先把整组数据按照大小顺序排列，再确定。 众 数 定义 一组数据中出现次数________的数据叫做这组数据的众数 防错 提醒 (1)一组数据中众数不一定只有一个； （2）众数是 “数据” 而非 “次数 （3）当一组数据中出现异常值时，其平均数往往不能正确反映这组数据的集中趋势，就应考虑用中位数或众数来分析 最多 中间位置的数 　两个数据的平均数 考点一 平均数、中位数、众数 2. 中位数与众数 考点串讲 考点一 平均数、中位数、众数 名称 作用 优点 缺点 考试易错点 平均数 平均数反映了一组数据的“平均水平” 反映整体平均水平，利用了所有数据 易受极端值（偏大 / 偏小）影响 算错总和 加权平均数权重用错，权重变化会直接影响结果 中位数 中位数反映了一组数据的“中等水平” 不受极端值影响，稳定性好 不能充分利用所有数据 求之前一定要先排序 众数 众数反映了一组数据的“多数水平” 反映数据中最常见水平，可多个 当数据均匀时无众数或出现多个众数时，众数失去实际意义 可以不止一个，也可以没有 3.集中趋势量的选择 平均数、中位数和众数都是反映一组数据集中趋势的量,但它们的作用不同 考点串讲 考点二 数据的波动 表示波 动的量 定义 意义 离差平方和 设有 n 个数据 x1，x2，x3，…，xn，是 x1，x2，…，xn 的平均数，各数据与它们的________的差的平方分别是 (x1－)2，(x2－)2，…，(xn－)2，相加的和称为离差平方和.先平均，再求差，然后平方，最后求和。 方差越大，数据的波动越___ ，反之也成立，通过比较方差的大小来判断数据的稳定性. 方差 离差平方和的平均数 可以用来衡量这组数据的波动大小，叫做这组数据的方差，记作 σ2 ，计算步骤:“先平均,再求差,然后平方,最后再平均”。方差是 “平方单位”，比较波动时可直接比方差，无需开方。 二、数据的波动程度 平均数 大 S2 = 1. 方差和离差平方和 考点串讲 名称 定义 / 求法 意义 易错点 极差 最大值−最小值 反映数据波动范围 只看两头，忽略中间数据，不够精确 方差 各数据与平均数差的平方的平均数 衡量波动大小： 方差越大→ 波动越大、越不稳定 1. 忘记平方 2. 最后忘记除以个数n 标准差 方差的算术平方根 s=​ 单位和原数据一致，更直观 标准差大=波动大 考点二 数据的波动 2. 数据稳定性的比较 考点串讲 考点三 箱线图 1. 四分位数的概念 ___________、________、 ___________这 三 个 分 位 数 把一 组由 小到大排列 后的 数据分成四 等 份， 因 此 称 为 四 分 位 数。 上四分位数 下四分位数 中位数 中位数 整组数据 下四分位数 上四分位数 下四分位数（第一四分位数）：处于总体 25%的位置 中位数：处于总体 50%的位置 上四分位数（第三四分位数）：处于总体 75%的位置 考点串讲 考点三 箱线图 2. 箱线图的组成 5 4 3 2 1 0 最小值 最大值 下四分位数 中位数 上四分位数 3、箱线图的特点 （1）直观展示数据分布 （2）便于多组数据比较 4、箱线图的应用 中位数：看箱子中间横线，位置越高，中位数越大 极差：看上下两端总长度，越长极差越大 稳定性：箱子越窄，中间 50% 数据越集中，数据越稳定 易错点：箱线图不能比较各分数段具体人数 考点串讲 考点四 统计量的选择与实际应用 选择原则 反映 “平均水平”→ 平均数（无极端值时）； 反映 “中等水平”、有极端值→ 中位数； 反映 “多数水平”、关注最常见值→ 众数； 比较稳定性、波动大小→ 方差 / 标准差。 统计思想：用样本估计总体（如抽样调查全校学生身高，用样本平均数估计全校平均身高）。 考点串讲 例1、（2025・长沙中考）8 名同学家庭月均用电耗碳量（单位：千克）为：76，78，77，79，78，75，78，80，求这组数据的算术平均数。 解： （千克） 答：算术平均数为 77.625 千克。 例2、（2025・南充中考）评委从控球技能（60%）和投球技能（40%）打分，林林控球 90 分，投球 80 分，求综合成绩。 分析：权重为 60% 和 40%，代入加权平均数公式计算。 解： （分） 答：综合成绩为 86 分。 题型一、与平均数有关的计算 题型剖析 例3．（2025·江苏宿迁·中考真题）某公司在一次招聘中，分笔试和面试两部分，笔试和面试成绩按计算最终成绩．小李的笔试成绩为85分，面试成绩为90分，则小李的最终成绩为___________分． 解：由题意得小李的最终成绩为：（分）， 例4、某学校餐厅有 10 元、12 元、15 元三种盒饭供学生选择． 某天盒饭的销售情况如图所示，则当天学生购买盒饭费用 的平均数是_______元． 解：10×50% + 12×40% + 15×10% = 5 + 4.8 + 1.5 = 11.3 11.3 题型一、与平均数有关的计算 题型剖析 例5、（1）（2024·江苏镇江·中考真题）小丽6次射击的成绩如图所示，则她的射击成绩的中位数为 环． 解：射击成绩从小到大重新排列为： 4，5，7，8，9，10， 中位数为． （2）（2024·四川南充·中考真题）若一组数据，，，，，的众数为，则这组数据的中位数为 ． 解：∵6，6，m，7，7，8的众数为7， ∴m=7， 把这组数据从小到大排列为：6，6，7，7，7，8， ∴中位数：． 题型二、中位数与众数求解 题型剖析 例6、（2025·山东淄博·中考真题）某班主任为了解本班学生开学以来在周六、周日两天的运动锻炼情况，随机调查了10名学生在这两天的平均运动时间，收集的数据（单位：）如下：5，7，3，6，8，6，4，7，5，6．则这组数据的众数和中位数分别是（   ） A．5，6 B．5，7 C．6，6 D．6，7 解：这组数据排列为：3，4，5，5，6，6，6，7，7，8， 处于中间的两个数据为6，6，故中位数为； 在这组数据中出现次数最多的是6，则众数为6， C 题型二、中位数与众数求解 题型剖析 例7、（2026·湖南邵阳·模拟预测）甲、乙两名运动员六次射击测试的成绩（单位：环）如表所示，如果两人测试成绩的中位数相同，那么“？”表示的是（　　） 甲的成绩 6 7 8 8 9 9 乙的成绩 5 9 6 ？ 9 10 A．6 B．7 C．8 D．9 解：∵甲的成绩从小到大排序为6，7，8，8，9，9，共6个数据，数据个数为偶数， ∴甲成绩的中位数为第3个和第4个成绩的平均数，即， ∵两人测试成绩的中位数相同， ∴乙成绩的中位数也为8， 设？表示的成绩为环， ∵乙已知成绩从小到大排序为5，6，9，9，10， ∴不能小于6也不能大于8， ∴加入从小到大排序为5，6，，9，9，10， ∴， B 题型二、中位数与众数求解 题型剖析 题型三、方差计算与稳定性分析 例8、（2025·山东青岛·中考真题）为弘扬传统文化，培养学生的劳动意识，某校在端午节期间举行了包粽子活动，每个粽子的标准质量为．甲、乙两名同学各包了个粽子，每个粽子的质量（单位：）如下： 甲：，，，，； 乙：，，，，． 甲、乙两名同学包的粽子的质量比较稳定的是________（填“甲”或“乙”）． 解：甲的平均数为：， ∴； 乙的平均数为：， ∴， ∵， ∴甲、乙两名同学包的粽子的质量比较稳定的是甲， 甲 题型剖析 例9、（2025·山东烟台·中考真题）求一组数据方差的算式为： ． 由算式提供的信息，下列说法错误的是（   ） A．的值是5 B．该组数据的平均数是7 C．该组数据的众数是6 D．若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 解： 选项A、算式中平方差项数为5，对应数据个数，正确． 选项B、平均数，正确． 选项C、数据中6和8均出现2次，次数最多，故众数为6和8，而非仅6，错误． 选项D、加入两个7后，数据更集中，方差由减小为，正确． 综上，错误的说法是C． C 题型三、方差计算与稳定性分析 题型剖析 题型三、方差计算与稳定性分析 例10、（2026·安徽·模拟预测）甲、乙两人各投掷10次实心球的平均成绩相同，落点如图所示，对于方差，的描述正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定 C 解：由图可知，乙的成绩比甲的成绩更加的集中， ∴． 题型剖析 例11、（2025・泸州中考）甲、乙、丙、丁跳绳成绩： 同学 甲 乙 丙 丁 平均数 205 217 208 217 方差 4.6 4.6 6.9 9.6 选成绩好且稳定的同学，应选哪位同学？ 解：平均数：乙 = 丁（217）> 丙（208）> 甲（205） 方差：乙（4.6）< 丁（9.6），乙更稳定 答：应选乙。 题型三、方差计算与稳定性分析 题型剖析 题型四、箱线图解读与绘制 例12、某班甲、乙两名同学本学期 5 次数学单元测试成绩（单位：分），绘制成如下箱线图： 90 85 80 75 70 65 60 成绩 95 甲同学 乙同学 下列说法错误的是（ ） A. 甲成绩的中位数高于乙 B. 甲的最高分比乙高 C. 乙的成绩波动比甲小 D. 甲的下四分位数大于乙 解：中位数甲 82＞乙 78，A 对； 甲最高 95，乙最高 90，B 对； 甲四分位距：88-75=1，乙四分位距：85-72=1， 极差甲95-70=25、乙90-65=25，波动一样，C 错； 甲 Q1=75＞乙 Q1=72，D 对。 C 统计量 甲同学 乙同学 最小值 70 65 下四分位数 Q1 75 72 中位数 Q2 82 78 上四分位数 Q3 88 85 最大值 95 90 题型剖析 题型四 箱线图解读与绘制 例12、数据：12，15，18，20，22，25，28，求箱线图的 5 个关键值。 解：排序：12，15，18，20，22，25，28 最小值 = 12，最大值 = 28 中位数（Q2）=20（第 4 个数） Q1（左半部分：12,15,18）=15， Q3（右半部分：22,25,28）=25 5 个值：12，15，20，25，28 答：5 个关键值为 12，15，20，25，28。 题型剖析 题型五、根据要求选择合适的统计量 1．（2020·湖南郴州·中考真题）某鞋店试销一种新款男鞋，试销期间销售情况如下表： 鞋的尺码（） 销售数量（双） 则该组数据的下列统计量中，对鞋店下次进货最具有参考意义的是（ ） A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差 C 2．（2024·河南郑州·模拟预测）歌唱比赛有位评委给选手打分，统计每位选手得分时，会去掉一个最高分和一个最低分，这样做，不受影响的统计量是（　　） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．极差 B 题型剖析 题型五、根据要求选择合适的统计量 1.（2023·山西大同·模拟预测）某校初中三个年级进行卫生大评比，其中一个评委对初三年级20个班的成绩汇总并绘制如下表格： 平均数 众数 中位数 方差 学校规定三个年级评比要求：去掉一个最高分，去掉一个最低分进行评比，去掉后表中数据一定不发生变化的是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 B 去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响， 题型剖析 例（2025·山东德州·中考真题）本学期，为提高七年级学生排球垫球水平，某校对七年级学生实施了“百日提升训练计划”，并分别于3月份和6月份进行了一分钟垫球数量测试，测试成绩用x（单位：个）表示，分为四个等级，包括优秀：；良好：；合格：；不合格：． 为了解本计划的实施效果，随机抽取了20名学生，对他们3月份和6月份的测试成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下： 信息一：3月份测试成绩如下： 17  33  28  27  35  19  21  22  25  22 25  27  19  27  18  27  28  29  31  32 信息二：6月份测试成绩绘制成不完整的条形图和扇形图如下： 信息三：测试成绩对比表如下： 月份 平均数/个 众数/个 优秀率 3月 a b 6月 29 c 请根据以上信息；完成下面问题： (1)补全条形图； (2)表中的 ， ， ； (3)已知该校七年级共400人，请估算七年级，6月份达到“优秀”等级的学生比3月份增加了多少人？ 题型六、统计调查综合解答 题型剖析 5．（2025·山东德州·中考真题）本学期，为提高七年级学生排球垫球水平，某校对七年级学生实施了“百日提升训练计划”，并分别于3月份和6月份进行了一分钟垫球数量测试，测试成绩用x（单位：个）表示，分为四个等级，包括优秀：；良好：；合格：；不合格：． 为了解本计划的实施效果，随机抽取了20名学生，对他们3月份和6月份的测试成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下： 信息一：3月份测试成绩如下： 17  33  28  27  35  19  21  22  25  22 25  27  19  27  18  27  28  29  31  32 信息二：6月份测试成绩绘制成不完整的条形图和扇形图如下： 信息三：测试成绩对比表如下： 月份 平均数/个 众数/个 优秀率 3月 a b 6月 29 c 请根据以上信息；完成下面问题： (1)补全条形图； （1）解：根据题意得，合格的人数为： 人， ∴优秀的人数为：人， 补全统计图如下：   题型六、统计调查综合解答 题型剖析 5．（2025·山东德州·中考真题）本学期，为提高七年级学生排球垫球水平，某校对七年级学生实施了“百日提升训练计划”，并分别于3月份和6月份进行了一分钟垫球数量测试，测试成绩用x（单位：个）表示，分为四个等级，包括优秀：；良好：；合格：；不合格：． 为了解本计划的实施效果，随机抽取了20名学生，对他们3月份和6月份的测试成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下： 信息一：3月份测试成绩如下： 17  33  28  27  35  19  21  22  25  22 25  27  19  27  18  27  28  29  31  32 信息二：6月份测试成绩绘制成不完整的条形图和扇形图如下： 信息三：测试成绩对比表如下： 月份 平均数/个 众数/个 优秀率 3月 a b 6月 29 c 请根据以上信息；完成下面问题： (2)表中的 ， ， ； （2）根据题意得，3月测试成绩中27出现的次数最多， ∴，∵优秀：； ∴3月份中优秀的人数为4人，6月份中优秀的人数为7人， ∴，， 27 题型六、统计调查综合解答 题型剖析 5．（2025·山东德州·中考真题）本学期，为提高七年级学生排球垫球水平，某校对七年级学生实施了“百日提升训练计划”，并分别于3月份和6月份进行了一分钟垫球数量测试，测试成绩用x（单位：个）表示，分为四个等级，包括优秀：；良好：；合格：；不合格：． 为了解本计划的实施效果，随机抽取了20名学生，对他们3月份和6月份的测试成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下： 信息一：3月份测试成绩如下： 17  33  28  27  35  19  21  22  25  22 25  27  19  27  18  27  28  29  31  32 信息二：6月份测试成绩绘制成不完整的条形图和扇形图如下： 信息三：测试成绩对比表如下： 月份 平均数/个 众数/个 优秀率 3月 a b 6月 29 c 请根据以上信息；完成下面问题： (3)已知该校七年级共400人，请估算七年级，6月份达到“优秀”等级的学生比3月份增加了多少人？ （3）6月份达到“优秀”的人数为：人， 3月份达到“优秀”的人数为：人， ∴人， ∴6月份达到“优秀”等级的学生比3月份增加了60人． 题型六、统计调查综合解答 题型剖析 复习题 A 组 某班 30 名学生的考试成绩如下： 76，56，80，78，71，78，90，79，92，83，81，93，84， 86，98，61，75，84，90，73，80，86，84，88，81，90， 78，92，89，100． 请计算这次考试全班学生成绩的平均数、中位数、众数和方差. 解: 平均数： ×(76 + 56 + … + 100) ≈ 82.5； 中位数是 83.5；众数是 78，84，90； 方差为 ×[(76－82.5)2 + (56－82.5)2 + … + (100－82.5)2] ≈ 89.5 教材p186 针对训练 2. 有两组数据，第一组数据是：1，3，5，7，9；第二组数据 是：21，23，25，27，29，31，33. 先分别求出这两组数据 的平均数，再将这两组数据合并在一起，求合并后这组数据 的平均数，想一想，它是前两个平均数的平均数吗？ 解:第一组数据的平均数为： ×(1 + 3 + 5 + 7 + 9) = 5， 第二组数据的平均数为： ×(21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33) = 27， 合并后数据的平均数为： ×(1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33) ≈ 17.8 前两个平均数的平均数为：（5 + 27）÷2=16≠ 17.8 所以合并后这组数据的平均数不等于前两个平均数的平均数. 针对训练 （4）n 个数的中位数一定是这 n 个数中的某一个. （5）如果在 n 个数中某个或某几个数出现的频数最大，那么这个或这几个数就是这 n 个数的众数，如果找不出这样的数，那么这 n 个数就没有众数. （6）如果 n 个数中存在众数，那么该众数一定是这 n 个数中的某一个. 3. 判断下列说法是否正确，若不正确，请举出反例. （1）n 个数的平均数就是把这 n 个数的总和除以 n 所得的数. （2）n 个数的平均数一定是这 n 个数中的某一个. （3）将 n 个数由小到大排列后，如果 n 是奇数，位置在正中间的数就是这 n 个数的中位数；如果 n 是偶数，位置在正中 间的那两个数的平均数才是这 n 个数的中位数. 正确. 错误. 反例：数据 1，2，4 的平均数为 ， 不属于这组数据. 正确. 错误. 反例:数据 1，2，3，4 的中位数为 2.5，2.5 不属于这组数据. 正确. 正确. 针对训练 5. 某个工程队正在修建道路，有 4 天每天修 5 m，有 2 天 每天修 7 m，有 3 天每天修 10 m，有 1 天修 11 m，这 10 天中该工程队平均每天修建道路多少米？ 解: (4×5 + 2×7 + 3×10 + 1×11)÷10 ＝ 7.5 (m). 所以这 10 天中该工程队平均每天修建道路 7.5 m. 针对训练 6. 下表给出了某校七年级和九年级部分学生的身高（单位：cm）， 在这些学生中，哪个年级的学生平均身高较高？哪个年级的学生身高的方差较大？请先不计算，试着回答这两个问题；再通过计算得出答案，与你预期的答案一致吗？ 解: 九年级学生的平均身高较高，九年级学生身高的方差较大. 通过计算，七年级学生的平均身高为154 cm，九年级学生的 平均身高为 160.4 cm，所以九年级学生平均身高较高. 七年级学生身高的方差为38，九年级学生身高的方差为 56.54， 所以九年级学生身高的方差较大. 针对训练 7. 通过 19.2 节的阅读材料我们了解到，位于西北的乌鲁木齐 2022 年 7 月 1 日当日温差大于位于西南的南宁，如果比较这两地月平均气温（单位：℃），那么结果会如何呢？下表是国家统计局在《中国统计年鉴 2021》中给出的 2020 年两地每月的平均气温，请据此回答 2020 年乌鲁木齐月平均气温的变化幅度是否大于南宁. 解: 乌鲁木齐月平均气温为 ×[(－9.3) + (－4.8) + … + (－12.3)] = 8.7（℃）， 方差为 ×[(－9.3－8.7)2 + (－4.8－8.7)2 + … + (－12.3－8.7)2] = 160.92 针对训练 7. 通过 19.2 节的阅读材料我们了解到，位于西北的乌鲁木齐 2022 年 7 月 1 日当日温差大于位于西南的南宁，如果比较这两地月平均气温（单位：℃），那么结果会如何呢？下表是国家统计局在《中国统计年鉴 2021》中给出的 2020 年两地每月的平均气温，请据此回答 2020 年乌鲁木齐月平均气温的变化幅度是否大于南宁. 南宁月平均气温为 ×[15.4 + 16.5 + 19 + … + 22.1 + 20.2 + 13.4] ≈ 22.1（℃）， 方差为 ×[(15.4－2.1)2 + (16.5－22.1)2 + … + (13.4－22.1)2] ≈ 28.4 根据计算可知，2020 年乌鲁木齐月平均气温的变化幅度大于南宁. 针对训练 B 组 8. 下表给出了 2020 年各月杭州的平均相对湿度（%）： （1）请将最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值标记在如图所示的箱线图中. 1 月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 平均相对湿度 81 73 72 60 72 85 7 月 8 月 9 月 10 月 11 月 12 月 平均相对湿度 85 64 74 70 73 69 60 55 100 95 90 85 80 75 70 65 平均相对湿度/% 50 解: 数据按从小到大排序为 60，64，69，70，72，72，73，73，74，81，85，85. 由表格数可知，最小值为 60％ ，最大值为 85％ . 因为 ×(69 + 70)＝ 69.5，下四分位数为 69.5％. 因为 ×(72 + 73)＝ 72.5，所以中位数为 72.5％. 因为 ×(74 + 81)＝ 77.5，上四分位数为 77.5％. 60 69.5 72.5 77.5 85 针对训练 B 组 8. 下表给出了 2020 年各月杭州的平均相对湿度（%）： 1 月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 平均相对湿度 81 73 72 60 72 85 7 月 8 月 9 月 10 月 11 月 12 月 平均相对湿度 85 64 74 70 73 69 60 55 100 95 90 85 80 75 70 65 平均相对湿度/% 50 60 69.5 72.5 77.5 85 （2）杭州 2020 年有几个月的平均相对湿度小于下四分位数？分别是哪几个月？ 杭州 2020 年有三个月的平均相对湿度小于下四分位数，分别是 4 月、8 月和12 月. 针对训练 B 组 8. 下表给出了 2020 年各月杭州的平均相对湿度（%）： 1 月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 平均相对湿度 81 73 72 60 72 85 7 月 8 月 9 月 10 月 11 月 12 月 平均相对湿度 85 64 74 70 73 69 60 55 100 95 90 85 80 75 70 65 平均相对湿度/% 50 60 69.5 72.5 77.5 85 （3）平均相对湿度介于 60% 和 69.5% 之间的月份是否比介于 69.5% 和 72.5% 之间的多？ 平均相对湿度介于 60％ 和 69.5％ 之间的月份不比介于 69.5％ 和 72.5％ 之间的多. 针对训练 9. 有一组数据: a，b，c，d，e，f，其中 a = －10， b = 0，c = 11， d = 17，e = 17，f = 31，问： （1）增大 a 对平均数、中位数和众数会产生影响吗？ （2）去掉 b 对平均数、中位数和众数会产生影响吗？ （3）去掉 c 对平均数、中位数和众数会产生影响吗？ 解: （1）增大 a 对平均数一定会产生影响； 若 a > 11，则对中位数会产生影响； 若 a 增大到 0 或 11 或 31，对众数会产生影响，这时候就会出现两个众数. （2）去掉 b 对平均数会产生影响，平均数由原来的 11 变为 13.2， 对中位数会产生影响，中位数由原来的 14 变为 17， 对众数不会产生影响，众数仍是 17. （3）去掉 c 对平均数不会产生影响，平均数仍是 11，对中位数 会产生影响，中位数由原来的 14 变为 17，对众数不会产生 影响，众数仍是 17. 针对训练 10. 某同学这学期四次数学测验成绩依次为 93 分、82 分、86 分 和 90 分，期中考试成绩为 77 分，数学老师说这学期的总评 成绩的权重将按平时测验、期中考试和期末考试依次占 40%、 20% 和 40% 计算，这位同学希望总评成绩能够达到或超过 85 分，那么期末考试这位同学至少要考多少分？(取整数) 解: 平时测验的平均分为 × (93 + 82 + 86 + 90) = 87.75（分）. 设期末考试这位同学考了 x 分. 根据题意，得 87.75×40％ + 77×20％ + x·40％ ≥ 85. 解得 x ≥ 86.25. 由题意对 x 取整数，所以 x 的最小值为 87. 答: 期末考试这位同学至少要考 87 分. 针对训练 C 组 11. 我们曾经按等距分组法，画过“2021年我国 31 个省市自治区 （不含港澳台地区）人均 GDP 的频数分布直方图”（如图）. 如果以各组的组中值（每组两个端点值的平均数）代表组内各地的实际数据，请完成下面的频数分布表并估算按此分组方案，2021 年我国 31 个省市自治区（不含港澳台地区）人均 GDP 的平均数、中位数和众数，结合频数分布直方图，你认为 用什么指标来代表该年我国 31 个省市自治区（不含港澳台地区） 人均 GDP 比较合适？ 人均 GDP x/万元 组中值/万元 频数 4.1 ≤ x < 5.6 4.85 6 5.6 ≤ x < 7.1 6.35 13 7.1 ≤ x < 8.6 3 8.6 ≤ x < 10.1 3 10.1 ≤ x < 11.6 2 11.6 ≤ x < 13.1 1 13.1 ≤ x < 14.6 1 14.6 ≤ x < 16.1 0 16.1 ≤ x < 17.6 1 17.6 ≤ x < 19.1 1 总计 31 7.85 9.35 10.85 12.35 13.85 15.35 16.85 18.35 针对训练 C 组 11. 我们曾经按等距分组法，画过“2021年我国 31 个省市自治区 （不含港澳台地区）人均 GDP 的频数分布直方图”（如图）. 如果以各组的组中值（每组两个端点值的平均数）代表组内各地的实际数据，请完成下面的频数分布表并估算按此分组方案，2021 年我国 31 个省市自治区（不含港澳台地区）人均 GDP 的平均数、中位数和众数，结合频数分布直方图，你认为 用什么指标来代表该年我国 31 个省市自治区（不含港澳台地区） 人均 GDP 比较合适？ 估算平均数为： ×( 4.85×6 + 6.35×13 +7.85×3 + 9.35×3 +10.85×2+ 12.35 +16.85 + 18.35 ) ≈ 7.95 (万元). 中位数为 6.35 万元， 众数为 6.35 万元. 2021 年我国 31 个省市自治区（不含港澳台地区）人均 GDP 的频数分布直方图 针对训练 2021 年我国 31 个省市自治区（不含港澳台地区）人均 GDP 的频数分布直方图 结合频数分布直方图， 用中位数或众数来代表该年我国 31 个省市自治区(不含港澳台地区)人均 GDP 比较合适. C 组 11. 我们曾经按等距分组法，画过“2021年我国 31 个省市自治区 （不含港澳台地区）人均 GDP 的频数分布直方图”（如图）. 如果以各组的组中值（每组两个端点值的平均数）代表组内各地的实际数据，请完成下面的频数分布表并估算按此分组方案，2021 年我国 31 个省市自治区（不含港澳台地区）人均 GDP 的平均数、中位数和众数，结合频数分布直方图，你认为 用什么指标来代表该年我国 31 个省市自治区（不含港澳台地区） 人均 GDP 比较合适？ 针对训练 13. 某饮食公司为一学校提供午餐，有 12 元、15 元和 18 元三种价格 的饭菜供师生选择（每人限定一份），如图是 5 月份的销售情况 统计图，如果这个月一共销售了 10400 份饭菜，那么师生购买 午餐费用的平均数、中位数和众数各是多少？ 师生购买午餐费用的平均数为 12×20％ +15×65％ + 18×15％ ＝14.85 (元)， 中位数为 15 元，众数为 15元. 针对训练 1. 数据的集中趋势：核心是刻画一组数据的“平均水平”，包含三个关键统计量。算术平均数是所有数据的总和除以数据个数，反映数据的整体平均情况；加权平均数需考虑各数据的权重（如频数、比例等），权重体现数据的重要程度，当权重相同时，加权平均数等同于算术平均数；中位数是将数据按从小到大（或从大到小）排序后，若数据个数为奇数，取中间位置的数，若为偶数，取中间两个数的算术平均数，不易受极端值影响；众数是一组数据中出现次数最多的数据，一组数据可能有多个众数，也可能没有众数。 2. 数据的离散程度：核心是刻画一组数据的“波动大小”，重点掌握方差，辅助理解离差平方和。方差是先求各数据与平均数的差的平方，再求这些平方值的平均数，公式为（其中为平均数，n为数据个数）；方差越大，数据波动越大，稳定性越差，方差越小，数据波动越小，稳定性越好。 3. 数据的分布描述：初步了解箱线图，通过最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值，直观展示数据的分布范围和集中趋势，便于多组数据的对比分析。 4. 数据处理流程：从数据收集（全面调查、抽样调查）、数据整理，到运用上述统计量描述数据特征，最终通过分析数据得出合理结论，体现“用数据说话”的核心思路。 一、知识点总结 课堂总结 1. 数形结合思想：将抽象的统计量与直观的图表（如箱线图、频数分布表）结合，通过图表快速感知数据的集中趋势和离散程度，把抽象数据转化为具体图形，降低分析难度，实现“数”与“形”的相互转化。 2. 转化与化归思想：将复杂的数据分析问题转化为对基本统计量（平均数、中位数、众数、方差）的计算和判断，例如将“比较两组数据的稳定性”转化为“比较两组数据的方差大小”；将未知数据的求解（如已知平均数求未知数据）转化为方程问题，简化解题过程。 3. 用样本估计总体思想：当总体数据量较大，无法进行全面调查时，通过抽取具有代表性的样本，计算样本的统计量，以此估计总体的相关特征，体现统计推断的核心思维，也是实际生活中数据分析的常用方法。 4. 分类讨论思想：在判断众数、求中位数时，需根据数据的个数（奇数、偶数）、数据的分布情况（如是否有多个数据出现次数相同）进行分类讨论，确保结论的完整性和准确性。 二、思想方法总结 课堂总结 1. 计算平均数时：求加权平均数容易忽略权重，误当作算术平均数计算；计算算术平均数时，容易漏算数据、求和错误，或忘记除以数据个数。 2. 求解中位数时：忘记先将数据按大小顺序排列，直接找中间位置的数；当数据个数为偶数时，误将中间的一个数当作中位数，忽略需计算两个中间数的算术平均数。 3. 判断众数时：误将“数据出现的次数”当作众数，而非出现次数最多的“数据本身”；忽略“一组数据可能有多个众数或没有众数”的情况。 4. 计算方差时：容易遗漏“除以数据个数”这一步骤；混淆方差与标准差的关系（方差是标准差的平方）；计算过程中，误将“数据与平均数的差”直接平方，忽略先求差再平方的顺序。 5. 解读统计量时：混淆中位数与平均数的意义，误认为方差越大，平均数越大；存在极端值时，仍误用平均数描述数据的集中趋势，忽略中位数或众数的适用性。 6. 绘制箱线图时：未先对数据排序，或误算第一四分位数、第三四分位数，导致箱线图无法准确反映数据分布。 三、易错点总结 课堂总结 感谢聆听! $