2026年中考数学模拟猜题卷（江西卷）

2026年中考数学模拟猜题卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 本套试题与江西中考题型、题量、分值完全一致，难度贴合中考 “6:3:1” 结构，六大核心考点全覆盖。数与式、几何变换、圆、统计概率、函数、方程与不等式均为必考重点；基础题立足教材变式，中档题侧重情境建模，压轴题聚焦几何综合与函数应用。命题稳定、考点常规，高度贴合江西考情，备考需夯实基础、规范中档题答题步骤、重点突破几何与函数压轴。 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．的相反数是（ ） A． B． C．3 D．-3 2．如图几何体的左视图是( ) A． B． C． D． 3．在借助某AI工具命制如下①~④四道试题时，小聪发现其中有一道不能按要求分解因式，则该题是（ ） 用平方差公式分解下列各式： ①；②；③；④． A．①题 B．②题 C．③题 D．④题 4．苯分子中的6个碳原子与6个氢原子H均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等（如图1），组成了一个完美的六边形（正六边形），图2是其平面示意图，则的度数为（ ） A． B． C． D． 第4题图 第5题图 5．随着初中学业水平考试的临近，某校连续四个月开展了学科知识模拟测试，并将测试成绩进行整理，最终绘制了如图所示的统计图（四次参加模拟测试的学生人数不变）下列四个结论中不正确的是（ ） A．共有500名学生参加模拟测试 B．从第1个月到第4个月，测试成绩为“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长 C．第2个月测试成绩为“优秀”的学生达到50人 D．第4个月增长的“优秀”人数比第3个月增长的“优秀”人数少 6．乌鸦喝水的故事：一个紧口瓶中盛有一些水，乌鸦想喝，但是嘴够不着瓶中的水，于是乌鸦衔来一些小石子放入瓶中，瓶中水面的高度随石子的增多而上升，乌鸦喝到了水．但是还没解渴，瓶中水面就下降到乌鸦够不着的高度，乌鸦只好再去衔些石子放入瓶中，水面又上升，乌鸦终于喝足了水，飞走了。如果设衔入瓶中石子的体积为x，瓶中水面的高度为y，下面能大致表示上面故事情节的图象是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 7．使代数式有意义的x的取值范围是_______． 8．江西这片红土圣地，到处传颂着革命先烈可歌可泣的英雄故事．近26万人，这是江西有名有姓的革命烈士的总人数，在烽火连天的峥嵘岁月，他们用鲜血和生命铸就了伟大的井冈山精神、苏区精神、长征精神，孕育了融入民族血脉和灵魂的红色基因．26万用科学记数法表示为_______． 9．设是关于的方程的两个根，且，则的值是___________． 10．1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为_____． 11．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接并延长交于点，当时，的长是______． 第11题图 第12题图 12．如图，在中，，点P是边上一个动点，点D是边的中点，连接，将沿DP翻折，使点A落在点处，当平行于其中一条直角边时，的长为______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，满分30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 13．（1）计算：； （2）解不等式组：． 14．下面是小华化简分式的过程： 解： …………① ………………………② ．………………………③ (1)小华的解答过程在第__________步开始出现错误； (2)请你帮助小华写出正确的解答过程，并计算当时分式的值． 15．京剧脸谱是一种内涵丰富的艺术表现形式，每个脸谱都有一种主色调，以显示剧中人物的性格特征，如关羽脸谱为红色，曹操是白色，包拯是黑色，窦尔敦是蓝色．美术课上，老师准备了如图所示的A、B、C、D四张不同的脸谱（大小、形状及背面完全相同），并将这四张脸谱背面朝上，洗匀放好． (1)文文从这四张脸谱中随机抽取一张，抽到的脸谱是D的概率为________； (2)文文从这四张脸谱中同时随机抽取两张，请用列表或画树状图的方法求她抽到的脸谱中有一张是B的概率． 16．如图，点是以为直径的半圆内任意一点，连接，，点在上，且，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）． (1)在图1中，找出边上的中线； (2)在图2中，画出的角平分线． 17．已知矩形ABCD的长AB=2，AB边与x轴重合，双曲线y=在第一象限内经过D点以及BC的中点E． (1)求A点的横坐标； (2)连接ED，若四边形ABED的面积为6，求双曲线的函数关系式． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，满分24分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18．某商场将每件进价为80元的商品按每件100元出售，一天售出100件，经调查发现，该种商品单价每降低1元，其日销售量增加10件． （1）求商场出售该种商品，原来一天可获利多少元？ （2）设该商品每件降价x元，商场一天可获利y元． ①若商场经营该商品一天要获利2160元，则每件商品应降价多少元？ ②求出y与x之间的函数关系式，并结合题意直接写出当x取何值时，商场所获利润不少于2160元？ 19．2026年马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．如图，图1是某型号的机器人在展示时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一腿直立于地面，小腿部刚好与地面平行，上身垂直于大腿，即于点，，于点．是机器人小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．（这里的小腿，都包括脚面部分，上身包括头部部分）．已知，，，求： (1)______； (2)若小腿部长，求的长； (3)点距离地面的高度．（结果精确到，参考数据：，，，，，．） 20．赣南脐橙因赣南红壤土富含稀土元素，赋予脐橙独特甘甜风味，被列为全国十一大优势农产品之一，荣获“中华名果”等称号．脐橙成熟季，数学小组成员想了解甲、乙两片果园的脐橙质量，随机从甲、乙两片果园各抽取了20个脐橙，从果径大小、甜度、水分三个方面进行考察，统计结果如下： 数据处理 甲、乙果园的脐橙果径大小分布表 果径 等级 甲果园频数 乙果园频数 小果 2 4 中果 8 5 大果 8 10 特大果 2 1 各方面平均分统计表 果径平均值 甜度平均值 水分平均值 甲 乙 数据应用 (1)乙果园的脐橙果径的中位数落在______区间．（填正确结论的选项） A． B． C． D． (2)补全甜度得分统计图，并指出甲果园中甜度得分的众数为______． (3)若从甲果园随机摘下600个脐橙，估计大果的数量． (4)若某水果商想选择承包其中一片果园的脐橙，按照果径、甜度、水分分别占比3:3:4计算综合评分，且综合评分越高越好．请通过计算说明该水果商应该选择哪片果园． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21．【课本再现】如下，是人教版九年级上册课本102页的第12题： 如图，为的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D． 求证：平分． 【课本开发】一次数学课上，李老师引导同学们一起对课本习题进行改编． (1)如下是小文同学改编的题目：如图，为的直径，C为上一点，于点D，平分．求证：是的切线．请你利用所学知识解答小文同学改编的题目． (2) 小峰同学在小文同学的基础上进行了如下延伸：若，，求的直径．请你利用所学知识解答小峰同学延伸的题目． 22．若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们称这个三角形是比例三角形． （1）已知△ABC是比例三角形，AB＝1，BC＝2，求AC的长． （2）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，对角线BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADC ①求证：△ABC是比例三角形 ②若AB∥DC，如图2，求的值． 六、解答题（本大题共1小题，每小题12分，满分12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 23．如图，抛物线与轴交、两点（点在点左侧），直线与抛物线交于、两点，其中点的横坐标为2. （1）求、两点的坐标及直线的函数表达式； （2）是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段长度的最大值； （3）点是抛物线上的动点，在轴上是否存在点，使、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，写出所有满足条件的点坐标（请直接写出点的坐标，不要求写过程）；如果不存在，请说明理由. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学模拟猜题卷卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 A B A B D B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 7． 8． 9． 10．x（x﹣12）＝864 11． 12．1或3或9 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，满分30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 13．（6分） 【详解】（1）解： ；······（3分） （2）解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为．······（3分） 14．（6分） 【详解】（1）①；······（2分） （2）解：原式 ，······（5分） 当时，原式．······（6分） 15．（6分） 【详解】（1）；······（2分） （2）解：根据题意画树状图如下： ······（5分） 由图知，共有12种等可能的结果，其中抽到的脸谱中有一张是B的结果数为， 抽到的脸谱中有一张是B的概率为．······（6分） 16．（6分） 【详解】（1）解：如图，为所作； ······（3分） （2）如图，为所作． ······（6分） 17．（6分） 【详解】（1）解：设A（a，0），AD=b，则B（a+2，0），C（a+2，b），D（a，b）， ∵E为BC的中点， ∴E（a+2，b）， ∵双曲线y=在第一象限内经过D点以及BC的中点E， ∴ab=（a+2）×b， ∴a=2， ∴A点的横坐标是2．······（3分） （2）解：∵AD=b，BE=b，AB=2，四边形ABED的面积为6 ∴S四边形ABED=×2（b+b）=6， ∴b=4， ∴D（2，4）， ∵双曲线y=在第一象限内经过D点， ∴k=2×4=8， ∴双曲线的函数关系式为y=．······（3分） 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，满分24分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18．（8分） 【详解】解：（1）若商场经营该商品不降价，则一天可获利润（元)；······（2分） （2）①由题可得：，解得：， 答：商店经营该商品一天可获利润2160元，则每件商品应降价2元或8元．······（5分） ②根据题意列函数关系式如下： 要使得 根据①的解，得到 答：y与x之间的函数关系式为，当时，商场所获利润不少于2160元． ······（8分） 19．（8分） 【详解】（1）50°······（2分） （2）解：如图，连接， 由题意得，， ∵机器人两条腿长度一致， ， ， ， ， ， 答：的长为；······（5分） （3）解：如图，过点作交的延长线于， ， ， ， ， ， 答：点P距离地面的高度约为．······（8分） 20．（8分） 【详解】（1）C······（1分） （2）解：∵甲果园的脐橙甜度平均值为，设分的有个， ∴， 解得：． ∵乙果园的脐橙甜度平均值为，设分的有个 ∴， 解得：． 补全统计图如下：   ······（2分） 甲果园中甜度得分的众数为．······（3分） （3）解：． 答：估计大果的数量为．······（5分） （4）解：． ． 因为，所以该水果商应该选择乙果园．······（8分） 五、解答题（本大题共2小题，每小题6分，满分18分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21．（9分） 【详解】（1）证明：连接，如图1： ， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线；······（4分） （2）解：连接，作，垂足为，如图： ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设的直径为，即，， 在中，根据勾股定理， 可得：， 在中，根据勾股定理， 可得：， ∴， 解得：； ∴的直径为5；······（9分） 22．（9分） 【详解】解：（1）设AC＝m． 由题意m2＝1×2或12＝2m或22＝m， ∴m＝，m＝（不符合三角形三边关系定理，舍去），m＝4（不符合三角形三边关系定理，舍去）， 故AC＝；······（2分） （2）①∵AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠ADB＝∠DBC， ∴AD∥BC， ∴∠ACB＝∠DAC， ∵∠BAC＝∠ADC， ∴△ADC∽△CAB， ∴， ∴AD•BC＝AC2， ∵∠ABD＝∠CBD，∠ADB＝∠DBC， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD， ∴AB•BC＝AC2， ∴△ABC是比例三角形；······（5分） ②由①知AD∥BC， ∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB＝AD， ∴四边形ABCD是菱形， ∵∠BAC＝∠ADC，且∠BAC＝∠BCA， ∴∠ADC＝∠BCA， ∴∠ABC＝∠BCA＝∠BAC， ∴△ABC是等边三角形， ∴BO＝AO，DO＝OC， ∴BO+DO＝（OA+OC）， ∴BD＝AC， ∴＝．······（9分） 六、解答题（本大题共1小题，每小题12分，满分12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 23．（12分） 【详解】（1）令y=0，解得x1=-1或x2=3， ∴A（-1，0）B（3，0），······（2分） 将C点的横坐标x=2代入y=x2-2x-3得y=-3， ∴C（2，-3）， ∴直线AC的函数解析式是y=-x-1；······（3分） （2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2）， 则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1）， E（x，x2-2x-3）， ∵P点在E点的上方，PE=（-x-1）-（x2-2x-3）=-x2+x+2=-（x-）2+， ∴当x=时，PE的最大值=；······（7分） （3）存在4个这样的点，分别是，，，.······（12分） ①如图1， 连接C与抛物线和y轴的交点，那么CG∥x轴，此时AF=CG=2，因此F点的坐标是（-3，0）； ②如图2， AF=CG=2，A点的坐标为（-1，0），因此F点的坐标为（1，0）； ③如图3， 此时C，G两点的纵坐标互为相反数，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为（1+，3）， 设直线GF的解析式为y=-x+h， 将G点代入后可得出直线的解析式为y=-x+4+， 因此直线GF与x轴的交点F的坐标为（4+，0）； ④如图4， 同③可求出F的坐标为（4-，0）． 总之，符合条件的F点共有4个． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学模拟猜题卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 本套试题与江西中考题型、题量、分值完全一致，难度贴合中考 “6:3:1” 结构，六大核心考点全覆盖。数与式、几何变换、圆、统计概率、函数、方程与不等式均为必考重点；基础题立足教材变式，中档题侧重情境建模，压轴题聚焦几何综合与函数应用。命题稳定、考点常规，高度贴合江西考情，备考需夯实基础、规范中档题答题步骤、重点突破几何与函数压轴。 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．的相反数是（ ） A． B． C．3 D．-3 【答案】A 【分析】解：的相反数为． 故选：A． 2．如图几何体的左视图是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解：根据题意知，该几何体的左视图为： 故选：B． 3．在借助某AI工具命制如下①~④四道试题时，小聪发现其中有一道不能按要求分解因式，则该题是（ ） 用平方差公式分解下列各式： ①；②；③；④． A．①题 B．②题 C．③题 D．④题 【答案】A 【分析】解：对于①，的两个平方项符号相同，无法写成平方差的形式，故①不能按要求分解； 对于②， 符合平方差形式，故②可以按要求分解； 对于③， ，符合平方差形式，故③可以按要求分解； 对于④， ，符合平方差形式，故③可以按要求分解． 综上可知，不能按要求分解因式的是①题． 4．苯分子中的6个碳原子与6个氢原子H均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等（如图1），组成了一个完美的六边形（正六边形），图2是其平面示意图，则的度数为（ ） A． B． C． D． 第4题图 第5题图 【答案】B 【分析】解：六边形是正六边形， ，， ． 同理可得， ． 故选B． 5．随着初中学业水平考试的临近，某校连续四个月开展了学科知识模拟测试，并将测试成绩进行整理，最终绘制了如图所示的统计图（四次参加模拟测试的学生人数不变）下列四个结论中不正确的是（ ） A．共有500名学生参加模拟测试 B．从第1个月到第4个月，测试成绩为“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长 C．第2个月测试成绩为“优秀”的学生达到50人 D．第4个月增长的“优秀”人数比第3个月增长的“优秀”人数少 【答案】D 【分析】解：人，则共有500名学生参加模拟测试，故A正确，不合题意； 由折线统计图可知，从第1个月到第4个月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐周增长，故B正确，不符合题意； 第2个月测试成绩为“优秀”的学生达到人，故C正确，不符合题意； 第4月增长的“优秀”人数为（人），第3月增长的“优秀”人数（人），故第4个月增长的“优秀”人数比第3个月增长的“优秀”人数多，故D错误，符合题意； 故选：D． 6．乌鸦喝水的故事：一个紧口瓶中盛有一些水，乌鸦想喝，但是嘴够不着瓶中的水，于是乌鸦衔来一些小石子放入瓶中，瓶中水面的高度随石子的增多而上升，乌鸦喝到了水．但是还没解渴，瓶中水面就下降到乌鸦够不着的高度，乌鸦只好再去衔些石子放入瓶中，水面又上升，乌鸦终于喝足了水，飞走了。如果设衔入瓶中石子的体积为x，瓶中水面的高度为y，下面能大致表示上面故事情节的图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解：根据题意得：开始时的水位不是0，因而A错误； 因为乌鸦衔来一些小石子放入瓶中，瓶中水面的高度随石子的增多而上升，所以第一段图象呈上升趋势，因而选项D错误； 因为乌鸦衔来一些小石子放入瓶中，水面上升，到达一定的高度，乌鸦开始喝水，因而水面下降，下降到的高度一定要高于原来，未放石子前的高度，因而选项C错误，B正确； 故选：B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 7．使代数式有意义的x的取值范围是_______． 【答案】 【分析】解：代数式有意义， 故答案为： 8．江西这片红土圣地，到处传颂着革命先烈可歌可泣的英雄故事．近26万人，这是江西有名有姓的革命烈士的总人数，在烽火连天的峥嵘岁月，他们用鲜血和生命铸就了伟大的井冈山精神、苏区精神、长征精神，孕育了融入民族血脉和灵魂的红色基因．26万用科学记数法表示为_______． 【答案】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：26万， 故答案为：． 9．设是关于的方程的两个根，且，则的值是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得，进而得到，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是关于的方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10．1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为_____． 【答案】x（x﹣12）＝864． 【分析】由长和宽之间的关系可得出宽为（x-12）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵长为x步，宽比长少12步， ∴宽为（x﹣12）步． 依题意，得：x（x﹣12）＝864． 11．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接并延长交于点，当时，的长是______． 第11题图 第12题图 【答案】 【分析】先证，再求出的长，最后根据弧长公式求得的长． 【详解】解：， ， 是绕点A逆时针旋转得到， ，， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 12．如图，在中，，点P是边上一个动点，点D是边的中点，连接，将沿DP翻折，使点A落在点处，当平行于其中一条直角边时，的长为______． 【答案】1或3或9 【分析】本题考查轴对称性质，相似三角形的判定和性质，平行的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意平行于其中一条直角边，分类讨论进行计算求解． 【详解】解：， ， ∵D为的中点， ， 如图（1），当时，， 由折叠可知，， ， ， 如图（2），当时，点在点P左侧时，， ， ， ， ， ∴， ∴，即， 解得， 由折叠可知， ， ， ， ∴， ∴， 即， 解得， ； 如图（3），当，点在点P右侧时，取的中点E， 连接，则，． ， ， ，， ∴， ， 由折叠可知， ， ， ． 综上所述，的长为1，3或9， 故答案为：1或3或9． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，满分30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 13．（1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）解： ； （2）解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为． 14．下面是小华化简分式的过程： 解： …………① ………………………② ．………………………③ (1)小华的解答过程在第__________步开始出现错误； (2)请你帮助小华写出正确的解答过程，并计算当时分式的值． 【答案】（1）解：因为， 所以第①步开始出现错误， 故答案为：①； （2）解：原式 ， 当时，原式． 15．京剧脸谱是一种内涵丰富的艺术表现形式，每个脸谱都有一种主色调，以显示剧中人物的性格特征，如关羽脸谱为红色，曹操是白色，包拯是黑色，窦尔敦是蓝色．美术课上，老师准备了如图所示的A、B、C、D四张不同的脸谱（大小、形状及背面完全相同），并将这四张脸谱背面朝上，洗匀放好． (1)文文从这四张脸谱中随机抽取一张，抽到的脸谱是D的概率为________； (2)文文从这四张脸谱中同时随机抽取两张，请用列表或画树状图的方法求她抽到的脸谱中有一张是B的概率． 【答案】（1）解：从这四张脸谱中随机抽取一张，抽到的脸谱是D的概率为； 故答案为：； （2）解：根据题意画树状图如下： 由图知，共有12种等可能的结果，其中抽到的脸谱中有一张是B的结果数为， 抽到的脸谱中有一张是B的概率为． 16．如图，点是以为直径的半圆内任意一点，连接，，点在上，且，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）． (1)在图1中，找出边上的中线； (2)在图2中，画出的角平分线． 【答案】（1）解：如图，为所作； （2）如图，为所作． 【分析】（1）连接、，它们相交于点，则点为的重心，连接并延长交于点，则满足条件； （2）延长交半圆于点，延长交于点，交半圆于点，连接交于点，利用为的中位线得到，而由为直径得到，所以，则，所以，则满足条件． 17．已知矩形ABCD的长AB=2，AB边与x轴重合，双曲线y=在第一象限内经过D点以及BC的中点E． (1)求A点的横坐标； (2)连接ED，若四边形ABED的面积为6，求双曲线的函数关系式． 【答案】（1）解：设A（a，0），AD=b，则B（a+2，0），C（a+2，b），D（a，b）， ∵E为BC的中点， ∴E（a+2，b）， ∵双曲线y=在第一象限内经过D点以及BC的中点E， ∴ab=（a+2）×b， ∴a=2， ∴A点的横坐标是2． （2）解：∵AD=b，BE=b，AB=2，四边形ABED的面积为6 ∴S四边形ABED=×2（b+b）=6， ∴b=4， ∴D（2，4）， ∵双曲线y=在第一象限内经过D点， ∴k=2×4=8， ∴双曲线的函数关系式为y=． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，满分24分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18．某商场将每件进价为80元的商品按每件100元出售，一天售出100件，经调查发现，该种商品单价每降低1元，其日销售量增加10件． （1）求商场出售该种商品，原来一天可获利多少元？ （2）设该商品每件降价x元，商场一天可获利y元． ①若商场经营该商品一天要获利2160元，则每件商品应降价多少元？ ②求出y与x之间的函数关系式，并结合题意直接写出当x取何值时，商场所获利润不少于2160元？ 【答案】解：（1）若商场经营该商品不降价，则一天可获利润 （元)； （2）①由题可得：，解得：， 答：商店经营该商品一天可获利润2160元，则每件商品应降价2元或8元． ②根据题意列函数关系式如下： 要使得 根据①的解，得到 答：y与x之间的函数关系式为，当时，商场所获利润不少于2160元． 19．2026年马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．如图，图1是某型号的机器人在展示时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一腿直立于地面，小腿部刚好与地面平行，上身垂直于大腿，即于点，，于点．是机器人小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．（这里的小腿，都包括脚面部分，上身包括头部部分）．已知，，，求： (1)______； (2)若小腿部长，求的长； (3)点距离地面的高度．（结果精确到，参考数据：，，，，，．） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作，可得，再利用平行线的性质解答即可求解； （2）连接，由题意得，即得，再利用勾股定理解答即可求解； （3）过点作交的延长线于，可得，解直角三角形可得，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作， ， ， ， ， ， ∵， ． （2）解：如图，连接， 由题意得，， ∵机器人两条腿长度一致， ， ， ， ， ， 答：的长为； （3）解：如图，过点作交的延长线于， ， ， ， ， ， 答：点P距离地面的高度约为． 20．赣南脐橙因赣南红壤土富含稀土元素，赋予脐橙独特甘甜风味，被列为全国十一大优势农产品之一，荣获“中华名果”等称号．脐橙成熟季，数学小组成员想了解甲、乙两片果园的脐橙质量，随机从甲、乙两片果园各抽取了20个脐橙，从果径大小、甜度、水分三个方面进行考察，统计结果如下： 数据处理 甲、乙果园的脐橙果径大小分布表 果径 等级 甲果园频数 乙果园频数 小果 2 4 中果 8 5 大果 8 10 特大果 2 1 各方面平均分统计表 果径平均值 甜度平均值 水分平均值 甲 乙 数据应用 (1)乙果园的脐橙果径的中位数落在______区间．（填正确结论的选项） A． B． C． D． (2)补全甜度得分统计图，并指出甲果园中甜度得分的众数为______． (3)若从甲果园随机摘下600个脐橙，估计大果的数量． (4)若某水果商想选择承包其中一片果园的脐橙，按照果径、甜度、水分分别占比3:3:4计算综合评分，且综合评分越高越好．请通过计算说明该水果商应该选择哪片果园． 【答案】（1）解：，， 乙果园的脐橙果径的中位数落在区间． （2）解：∵甲果园的脐橙甜度平均值为，设分的有个， ∴， 解得：． ∵乙果园的脐橙甜度平均值为，设分的有个 ∴， 解得：． 补全统计图如下：    甲果园中甜度得分的众数为． （3）解：． 答：估计大果的数量为． （4）解：． ． 因为，所以该水果商应该选择乙果园． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21．【课本再现】如下，是人教版九年级上册课本102页的第12题： 如图，为的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D． 求证：平分． 【课本开发】一次数学课上，李老师引导同学们一起对课本习题进行改编． (1)如下是小文同学改编的题目：如图，为的直径，C为上一点，于点D，平分．求证：是的切线．请你利用所学知识解答小文同学改编的题目． (2) 小峰同学在小文同学的基础上进行了如下延伸：若，，求的直径．请你利用所学知识解答小峰同学延伸的题目． 【答案】（1）证明：连接，如图1： ， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：连接，作，垂足为，如图： ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设的直径为，即，， 在中，根据勾股定理， 可得：， 在中，根据勾股定理， 可得：， ∴， 解得：； ∴的直径为5； 22．若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们称这个三角形是比例三角形． （1）已知△ABC是比例三角形，AB＝1，BC＝2，求AC的长． （2）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，对角线BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADC ①求证：△ABC是比例三角形 ②若AB∥DC，如图2，求的值． 【答案】（1）AC＝；（2）①详见解析；②． 【分析】（1）根据比例三角形的定义，分AB2＝BC•AC、BC2＝AB•AC、AC2＝AB•BC三种情况分别代入计算可得； （2）①先证△ADC∽△CAB，得AD•BC＝AC2，再由∠ABD＝∠CBD，∠ADB＝∠DBC，推出AB＝AD即可得；②首先证明四边形ABCD是菱形，根据∠BAC＝∠ADC可得△ABC是等边三角形，然后根据含30° 直角三角形的性质可得答案． 【详解】解：（1）设AC＝m． 由题意m2＝1×2或12＝2m或22＝m， ∴m＝，m＝（不符合三角形三边关系定理，舍去），m＝4（不符合三角形三边关系定理，舍去）， 故AC＝； （2）①∵AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠ADB＝∠DBC， ∴AD∥BC， ∴∠ACB＝∠DAC， ∵∠BAC＝∠ADC， ∴△ADC∽△CAB， ∴， ∴AD•BC＝AC2， ∵∠ABD＝∠CBD，∠ADB＝∠DBC， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD， ∴AB•BC＝AC2， ∴△ABC是比例三角形； ②由①知AD∥BC， ∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB＝AD， ∴四边形ABCD是菱形， ∵∠BAC＝∠ADC，且∠BAC＝∠BCA， ∴∠ADC＝∠BCA， ∴∠ABC＝∠BCA＝∠BAC， ∴△ABC是等边三角形， ∴BO＝AO，DO＝OC， ∴BO+DO＝（OA+OC）， ∴BD＝AC， ∴＝． 六、解答题（本大题共1小题，每小题12分，满分12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 23．如图，抛物线与轴交、两点（点在点左侧），直线与抛物线交于、两点，其中点的横坐标为2. （1）求、两点的坐标及直线的函数表达式； （2）是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段长度的最大值； （3）点是抛物线上的动点，在轴上是否存在点，使、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，写出所有满足条件的点坐标（请直接写出点的坐标，不要求写过程）；如果不存在，请说明理由. 【答案】（1），，．（2）．（3），，，. 【分析】（1）因为抛物线与x轴相交，所以可令y=0，解出A、B的坐标．再根据C点在抛物线上，C点的横坐标为2，代入抛物线中即可得出C点的坐标．再根据两点式方程即可解出AC的函数表达式； （2）根据P点在AC上可设出P点的坐标．E点坐标可根据已知的抛物线求得．因为PE都在垂直于x轴的直线上，所以两点之间的距离为yp-yE，列出方程后结合二次函数的性质即可得出答案； （3）此题要分两种情况：①以AC为边，②以AC为对角线．确定平行四边形后，可直接利用平行四边形的性质求出F点的坐标． 【详解】（1）令y=0，解得x1=-1或x2=3， ∴A（-1，0）B（3，0）， 将C点的横坐标x=2代入y=x2-2x-3得y=-3， ∴C（2，-3）， ∴直线AC的函数解析式是y=-x-1； （2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2）， 则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1）， E（x，x2-2x-3）， ∵P点在E点的上方，PE=（-x-1）-（x2-2x-3）=-x2+x+2=-（x-）2+， ∴当x=时，PE的最大值=； （3）存在4个这样的点，分别是，，，. ①如图1， 连接C与抛物线和y轴的交点，那么CG∥x轴，此时AF=CG=2，因此F点的坐标是（-3，0）； ②如图2， AF=CG=2，A点的坐标为（-1，0），因此F点的坐标为（1，0）； ③如图3， 此时C，G两点的纵坐标互为相反数，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为（1+，3）， 设直线GF的解析式为y=-x+h， 将G点代入后可得出直线的解析式为y=-x+4+， 因此直线GF与x轴的交点F的坐标为（4+，0）； ④如图4， 同③可求出F的坐标为（4-，0）． 总之，符合条件的F点共有4个． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $