5.5数列不等式证明课件-2026届高三数学二轮专题复习

专题五 数列 【新高考二轮复习专题】 专题5.5 数列不等式证明 目录 典例精讲·通性通法·变式训练 1 2 3 考点概览 知识点拨 重点题型 数列放缩 与不等式证明 数列求通项，借助数列放缩求最值 利用数列放缩证明两不等式关系 利用数列性质，借助级数放缩证明不等式 数列不等式证明 级数放缩 与不等式证明 考点概览 20-25 年真题统计 具体考查方式 2025天津卷第19题 等比数列求通项与前n项和，新数列求证不等式与前n项和 2023新高考II卷第18题 等差数列求通项，并证明新数列前n项大于原等差数列前n项 2023天津卷第19题 等差数列求通项与级数和，等比数列求证第k项的不等关系，并求通项与前n项和 2022新高考I卷第17题 数列求通项，并证明新数列前n项和小于某个实数 2021浙江卷第20题 数列求通项，并由新数列前n项恒小于通项的倍数，求倍数的取值范围 2021新高考II卷第17题 数列求通项，并求证前n项和大于通项的n的最小值 2021全国卷I文第19题 数列求通项，并证明两数列前n项和的不等关系 2020浙江卷第20题 等比数列求公比和通项，并证明新数列恒小于某个值 2020天津卷第19题 数列求通项，证明前n项和的不等关系，并求新数列的前n项和 考点一 数列放缩与不等式证明 考频统计 数列放缩与不等式证明问题，牢记以下常见的放缩形式： 考点一 数列放缩与不等式证明 （1）关于的常见放缩形式： ①； ②； ③ . （2）关于的常见放缩形式： ①； 知识点拨 数列放缩与不等式证明问题，牢记以下常见的放缩形式： 考点一 数列放缩与不等式证明 ② )； ③ ). （3）关于的常见放缩形式： ①； ②. 知识点拨 （1）设等差数列的公差为，而， 则， 于是，解得，， 所以数列的通项公式是. 已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 考点一 数列放缩与不等式证明 重点题型 （2）由（1）知，， ，当为偶数时，， ， 当时， ，因此，当为奇数时， ， 当时，， 因此，所以当时，. 考点一 数列放缩与不等式证明 重点题型 （1）∵，∴,∴, 又∵是公差为的等差数列，∴,∴, ∴当时，，∴, 整理得：,即, 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 考点一 数列放缩与不等式证明 重点题型 ∴ ， 显然对于也成立， ∴的通项公式； （2） ∴ . 考点一 数列放缩与不等式证明 重点题型 （1）当时，，， 当时，由①，得②， ①②得,，又 是首项为，公比为的等比数列，； 考点一 数列放缩与不等式证明 已知数列的前n项和为，，且. （1）求数列的通项； （2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 重点题型 （2）由，得， 所以， ，两式相减得，所以， 考点一 数列放缩与不等式证明 重点题型 由得恒成立， 即恒成立， 时不等式恒成立； 时，，得； 时，，得； 所以. 考点一 数列放缩与不等式证明 重点题型 （1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列， 所以，所以， 即，解得，所以， 所以. 设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列． （1）求和的通项公式； （2）记和分别为和的前n项和．证明：． 考点一 数列放缩与不等式证明 重点题型 （2）证明：由（1）可得， ，① ，② ①②得 ， 所以， 所以，所以. 考点一 数列放缩与不等式证明 重点题型 （I）依题意，而，即，由于，所以解得，所以. 已知数列，，中，． （Ⅰ）若数列为等比数列，且公比，且，求与的通项公式； （Ⅱ）若数列为等差数列，且公差，证明：． 考点一 数列放缩与不等式证明 重点题型 所以，故，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以. 所以（）. 所以，又，符合， 故. （II）依题意设，由于， 所以， 考点一 数列放缩与不等式证明 重点题型 故 . 又，而， 故.所以 . 由于，所以，所以. 即，. 考点一 数列放缩与不等式证明 重点题型 解题通法 数列放缩与不等式证明问题，关注以下易错点： 1. 放缩度的把握不准确：放缩的目的是为了求和，但放缩度需要准确把握. 放缩过度可能导致求和结果偏离实际值，而放缩不足则可能无法证明不等式. 2. 对放缩后的数列处理不当：放缩后的数列可能需要进一步处理，如求和、裂项等.若处理不当，可能导致最终结论错误. 3. 使用不恰当的放缩技巧：证明数列不等式时，需要选择合适的放缩技巧. 若使用不恰当的技巧，如糖水不等式的倒数形式等，可能导致证明过程出错. 4. 未能正确理解和应用放缩法：放缩法是一种重要的数学方法，但在实际应用中，需要正确理解和应用. 例如，需要明确放缩的目的是为了求和，还是为了证明不等式；需要明确是先求和再放缩，还是先放缩再求和等. 考点一 数列放缩与不等式证明 归纳总结 20-25 年真题统计 具体考查方式 2021天津卷第19题 数列求通项，并证明级数恒小于某个实数 考点二 级数放缩与不等式证明 考频统计 1. 直接放缩法‌：找到一个适当的常数或函数，使得每一项都大于或小于原级数中的对应项. 2. 比较判别法‌：通过比较两个级数的大小关系来判断原级数的大小关系. 3. 单调性放缩法‌：通过构造一个与原级数单调性相反的级数来判断原级数的范围. 4. 二项式放缩法‌：适用于级数的项可以表示为二项式系数的情况，通过比较级数的项与二项式系数的大小关系来判断原级数的大小. 级数放缩与不等式证明问题，需掌握以下技巧： 考点二 级数放缩与不等式证明 知识点拨 已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，． （I）求和的通项公式； （II）记， （i）证明是等比数列； （ii）证明 考点二 级数放缩与不等式证明 重点题型 （I）因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 所以，所以， 所以； 设等比数列的公比为， 所以，解得（负值舍去）， 所以； （II）（i）由题意，， 所以， 考点二 级数放缩与不等式证明 重点题型 所以，且，所以数列是等比数列； （ii）由题意知，， 所以，所以， 设，则， 两式相减得， 所以，所以. 考点二 级数放缩与不等式证明 重点题型 在；；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并完成解答设是等差数列，公差为，是等比数列，公比为，已知，，___________． 请写出你的选择，并求和的通项公式； 设数列满足，求； 设，求证：． 考点二 级数放缩与不等式证明 重点题型 选，由题意有，，解得，故； 选，由题意有，，解得，故； 选，由题意有，，解得，故； 解：由得，，记， ， 考点二 级数放缩与不等式证明 重点题型 可得， 故以． 解：由得，， . 所以． 考点二 级数放缩与不等式证明 重点题型 解题通法 级数放缩与不等式证明问题，需关注以下易错点： 1. 放缩方向不一致：在使用放缩法时，需要确保放缩的方向是一致的. 如果时而放大时而缩小，可能会导致无法同向传递，从而得出错误的结论. 2. 放缩过度或不足：放缩时需要适度，不要过度放大或缩小，否则可能会影响结果的准确性. 3. 忽视级数的特性：在使用放缩法时，需要充分考虑级数的特性，如正项级数、交错级数等. 考点二 级数放缩与不等式证明 归纳总结 博学深思 未来可期 $