11.1数列新定义课件-2026届高三数学二轮专题复习

专题十一 创新压轴题 【新高考二轮复习专题】 专题11.1 数列新定义 目录 典例精讲·通性通法·变式训练 1 2 3 考点概览 知识点拨 重点题型 新定义数列 数列定义新概念 数列定义新运算 考点概览 考点一 数列定义新概念 20-25 年真题统计 具体考查方式 2024年新课标全国I卷第19题 新定义数列：可分数列 2022年北京卷第21题 新定义数列：连续可表数列 2021年北京卷第21题 新定义数列：Rp数列 考频统计 数列新定义的判定: 根据题目中给出的数列新定义（如连续可表数列、可分数列等），逐一分析是否满足定义条件. 数列性质分析: 利用递推关系、和式特性或对称性分析，研究数列是否具有特定的数学性质. 构造与求解: 在数列新定义的框架下，结合题意设计特定数列，分析最优值或证明特殊结论. 考点一 数列定义新概念 知识点拨 由于，，故为连续可表数列而数列无法找到连续的若干个数和为，故不是连续可表数列． 已知，，，为有穷整数数列给定正整数，若对任意的，在中存在，，，，，使得，则称为连续可表数列． 判断，，是否为连续可表数列是否为连续可表数列说明理由 若，，，为连续可表数列，求证：的最小值为 若，，为连续可表数列，且，求证： 考点一 数列定义新概念 重点题型 当时，至多可以表示，，，，，这个数，不符题意当时，取数列，，，满足题意故的最小值为． 先证若，则至多可以表示个数，不符题意． 当时，由于，故数列中存在为负的项， 且仅有一个为负的项，不妨设该项为，因此 数列中一定存在若干项正数的和为由于对称性，我们只需考查，，的情况． 当时，由于，而数列中一定有若干个连续整数和为， 考点一 数列定义新概念 重点题型 因此或为连续若干个数的和中最大的数． 而由于个数的数列最多能表示个数，且其中有一个为负，因此除了以外，其它连续若干个数的和分别表示，，，， 故有，若为连续若干个数的和中最大的数， 则，矛盾若为连续若干个数中的最大的数，同理可得矛盾． 当时，与同理，不符合题意． 当时，则连续若干个数的和中最大的数为，那么有： 考点一 数列定义新概念 重点题型 由前文分析可知， 因此 若，则如果， 那么，并且此时，有，则，矛盾． 如果，那么，并且此时，有下面我们考查，，． 注意到且，，，，， 则， 考点一 数列定义新概念 重点题型 并且由于，，由不重复的原则可知 如有，，那么，矛盾如有，，那么，矛盾故该假设不成立． 若，那么，并且有并且， 则此时，，那么此时，矛盾故该假设不成立． 因此综上所述，  考点一 数列定义新概念 重点题型 设为正整数，数列，，，是公差不为的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的个数都能构成等差数列，则称数列，，，是可分数列． 写出所有的，，使数列，，，是可分数列 当时，证明：数列，，，是可分数列 从，，，中一次任取两个数和，记数列，，，是可分数列的概率为，证明：． 考点一 数列定义新概念 重点题型 记原等差数列，，，的公差为，由于该数列仅有六项， 若删去两项，余下四项中总存在相邻的两项公差为， 又余下的四项构成等差数列， 因此余下的四项必然是原数列中连续的四项，故删去的两项只能有三种情况， 即，，． 考点一 数列定义新概念 重点题型 当时，，，，，，，，，，，，可分成三组： ，，，；，，，以及，，，，每组均为公差为的等差数列， 所以时符合；当时，数列，，，去掉，以后，分成组：只需让前面的组还按时的分法，即，，，；，，，；，，，； 后面的每个相邻的项一组即可，即，，，；；，，，．每一组都能构成等差数列 因此，数列，，，是可分数列． 考点一 数列定义新概念 重点题型 结合考虑分别证明以下两个引理． 引理一    数列，，，是可分的删去，后，可分组如下 ， ， ， ， ， ， ， ， ． 因此引理一得证且该种情形下共有，即种可分数列． 考点一 数列定义新概念 重点题型 引理二     数列，，，是可分的． 其中，，删去，． 可分组如下，，， ，， ， 且该种情形下共有种可分数列． 综上有． 证毕．  考点一 数列定义新概念 重点题型 设为实数若无穷数列满足如下三个性质，则称为数列： ，且； ； ，． 如果数列的前项为，，，，那么是否可能为数列？说明理由； 若数列是数列，求； 设数列的前项和为是否存在数列，使得恒成立？如果存在，求出所有的；如果不存在，说明理由． 考点一 数列定义新概念 重点题型 因为  所以， 因为所以 所以数列，不可能是数列． 性质， 由性质，因此或，或， 若，由性质可知，即或，矛盾； 若，由有，矛盾． 因此只能是． 又因为或，所以或． 若，则， 不满足，舍去． 当，则前四项为：，，，， 考点一 数列定义新概念 重点题型 下面用数学归纳法证明： 当时，经验证命题成立，假设当时命题成立， 当时： 若，则，利用性质： ，此时可得：；否则，若，取可得：， 而由性质可得：，与矛盾． 同理可得： ，有； ，有； ，又因为，有即当时命题成立，证毕． 综上可得：，． 考点一 数列定义新概念 重点题型 令，由性质可知： ， 由于， 因此数列为数列． 由可知： 若； ，， 因此，此时，，满足题意． 考点一 数列定义新概念 重点题型 解题通法 理解定义条件: 明确数列新定义的条件，例如是否要求连续和、可被分组或具有某种对称性. 逐步验证数列是否满足这些条件，尤其注意题目中可能隐含的限制条件. 通过递推分析结构: 若数列具有递推性质，可以写出递推公式或利用归纳法证明其性质. 考点一 数列定义新概念 归纳总结 解题通法 分类讨论求解: 针对数列的特定构造（如参数范围、和式特点），分情况讨论，构造出符合定义的具体数列. 对于最优值问题，可通过函数分析或代数推导验证解的唯一性. 结合特殊数列: 题目中常涉及等差数列、等比数列或递增数列等. 可以将新定义数列转化为这些经典数列，从而借助它们的公式进行简化与求解. 考点一 数列定义新概念 归纳总结 考点二 数列定义新运算 20-25 年真题统计 具体考查方式 2025年北京卷第21题 数列与集合结合，数列新定义变换 2023年北京卷第21题 数列与不等式结合，数列新定义运算 考频统计 新定义运算的理解: 题目中可能定义数列的特殊运算，例如结合集合、不等式或递推公式. 需明确运算的几何意义或代数特性. 运算性质证明: 对数列的新运算定义进行分析，可能需要证明数列的递推规律、和式性质或结合点的分布特性. 判定数列的类型: 运算结果可能需要判断数列是等差数列、等比数列或具有某种递增递减关系. 考点二 数列定义新运算 知识点拨 已知是无穷数列．给出两个性质： 对于中任意两项，在中都存在一项，使； 对于中任意项，在中都存在两项，使得． Ⅰ若，判断数列是否满足性质，说明理由； Ⅱ若，判断数列是否同时满足性质和性质，说明理由； Ⅲ若是递增数列，且同时满足性质和性质，证明：为等比数列． 考点二 数列定义新运算 重点题型 Ⅰ不具有性质； Ⅱ具有性质； 具有性质； Ⅲ 首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数： 显然，假设数列中存在负项，设， 第一种情况：若，即， 由可知：存在，满足，存在，满足， 由可知，从而，与数列的单调性矛盾，假设不成立． 考点二 数列定义新运算 重点题型 第二种情况：若，由知存在，满足，由的定义可知：， 另一方面，，由数列的单调性可知：， 这与的定义矛盾，假设不成立． 同理可证得数列中的项恒为负数． 综上可得，数列中的项同号． 其次，证明： 利用性质：取，此时， 由数列的单调性可知， 而，故， 此时必有，即， 考点二 数列定义新运算 重点题型 最后，用数学归纳法证明数列为等比数列： 假设数列的前项成等比数列，不妨设， 其中，的情况类似 由可得：存在整数，满足，且  由得：存在，满足：，由数列的单调性可知：， 由可得：  由和式可得：， 结合数列的单调性有：， 注意到均为整数，故，代入式，从而． 总上可得，数列的通项公式为：． 即数列为等比数列． 考点二 数列定义新运算 重点题型 已知数列的项数均为，且的前项和分别为，并规定对于，定义，其中，表示数集中最大的数． 若，求的值； 若，且，求； 证明：存在，满足使得． 考点二 数列定义新运算 重点题型 由题意可知：， 当时，则，故； 当时，则，故； 当时，则故； 当时，则，故； 综上所述：，，，． 由题意可知：，且， 因为，则，当且仅当时，等号成立，所以， 又因为，则， 即，可得， 则， 则，得，则． 考点二 数列定义新运算 重点题型 (ⅰ)若，构建，由题意可得：，且为整数，反证，假设存在正整数，使得， 则，可得， 这与相矛盾，故对任意，均有． 若存在正整数，使得，即， 可取，使得； 若不存在正整数，使得， 因为，且， 所以必存在，使得， 即，可得， 可取，使得； 考点二 数列定义新运算 重点题型 (ⅱ)若，构建，由题意可得：，且为整数，反证，假设存在正整数，使得， 则，可得， 这与相矛盾，故对任意，均有． 若存在正整数，使得，即， 可取，使得； 若不存在正整数，使得， 因为，且， 所以必存在，使得， 即，可得， 可取，使得； 综上所述：存在使得． 考点二 数列定义新运算 重点题型 解题通法 拆解新运算定义: 详细分析题目中给出的运算定义，明确其对数列特性的要求. 若涉及集合操作或函数关系，应先分步求解，避免直接复杂计算. 结合递推关系分析: 若新运算定义与递推关系相关，需从递推公式中推导通项公式. 可以采用归纳法证明公式是否成立，或通过代入具体项验证合理性. 运算的几何意义分析: 当新运算涉及数列的几何特性（如递增、递减或区间划分），结合数列的单调性或函数特性推导其变化规律. 考点二 数列定义新运算 归纳总结 解题通法 利用特殊数列推导结果: 如果题目要求判定数列的类型，可以假设为等差或等比数列，通过定义验证假设是否成立. 结合运算定义和数列的单调性，求得唯一解. 逐步构造与优化: 对于题目要求构造特定数列，需从简单情况出发逐步递推出符合要求的数列，并验证其结果是否满足所有条件. 若涉及最优值问题，可结合函数求导或极值分析确定最优解. 考点二 数列定义新运算 归纳总结 $