精品解析：山东济南市市中区2025-2026学年第二学期七年级期中学业质量监测数学学科试题

2025-2026学年第二学期七年级期中学业质量监测 数学学科试题 试卷说明：本试题共6页，满分为150分，考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、准考证号、座号等填在答题卡和试题规定的位置上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔在答题卡上题号提示的区域作答．在本试题上作答无效． 3．不允许使用计算器．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．） 1. 假设年我国量子计算技术取得重大突破，“祖冲之四号”量子芯片的单个量子比特操控精度达到秒．用科学记数法表示这个数为（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，的绝对值等于原数第一个非零数字前所有零的个数，据此判断即可． 【详解】解：∵原数是绝对值小于的数，科学记数法要求， ∴， 又∵原数第一个非零数字前面共有个零， ∴ ， ∴ ， 故选B． 2. 下列式子运算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂的运算法则及多项式乘法运算公式对每一选项进行计算，即可得到解答 ． 【详解】解：A、，故此选项错误，不符合题意； B、，故此选项正确，符合题意； C、，故此选项错误，不符合题意； D、，故此选项错误，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查幂的运算，熟练掌握幂的运算法则或公式是解题关键． 3. 某林业部门将一种树苗移植成活的情况绘制成如下统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率为（ ） A. 0.80 B. 0.85 C. 0.90 D. 0.95 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定的位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率的稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是事件的概率；由图可知，成活频率在0.90上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在0.90，成活的概率估计值为0.90． 【详解】解：∵由图可知，成活频率在0.90上下波动， ∴可估计这种树苗成活的频率稳定在0.90，成活的概率估计值为0.90． 故选：C． 4. 如图，和相交于点，若，用“”证明还需（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据判定方法即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：在和中，，， 若要用证明，则需要添加条件， 故选：． 5. 用下列长度的三根木棒首尾相接，能做成三角形框架的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”． 【详解】解：A、，不能做成三角形框架，选项说法错误，不符合题意； B 、，能做成三角形框架，选项说法正确，符合题意； C 、，不能做成三角形框架，选项说法错误，不符合题意； D 、，能做成三角形框架，选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，解题的关键是掌握三角形三边关系． 6. 如图1是一乐谱架，利用立杆可进行高度调节，图2是底座部分的平面图，其中支撑杆，点E，F分别为，中点，，是连接立杆和支撑杆的支架，且．立杆在伸缩过程中，总有，其判定依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段中点的定义，全等三角形的判定与性质，根据题意先整理得，再证明，即可作答． 【详解】解：点E，F分别为，中点， ，， ， ， 在和中 ， ∴ 故答案：B． 7. 已知中，，则为（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据三个内角的比例，利用三角形内角和定理求出最大内角的度数，即可判断三角形的类型． 【详解】解：∵， ∴中最大角为， ∵三角形内角和为， ∴ ， ∵最大角， ∴三个内角均为锐角， ∴是锐角三角形． 8. 如图，在边长为的正方形中剪去一个边长为2的小正方形，把剩下部分拼成一个梯形，利用这两幅图形中阴影部分面积，可以验证的公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式与图形面积，熟练掌握平方差公式是解题关键．第1幅图中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，第2幅图中阴影部分的面积等于梯形的面积，根据这两幅图形中阴影部分面积相等即可得出结论． 【详解】解：第1幅图中阴影部分面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，即为， 第2幅图中阴影部分面积等于梯形的面积，即为， ∵这两幅图形中阴影部分面积相等， ∴可以验证的公式是， 故选：B． 9. 如图，在中，，分别是边上的中线和高，点在点的左侧，已知，，，（ ） A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形的中线平分三角形面积得出cm2，进而利用三角形面积公式得出CD的长，即可得出CE的长． 【详解】解：AD， AE分别是边BC.上的中线和高，AE= 2cm， ， ， ， 解得： CD= 4 (cm)， ， CE= 4-1= 3(cm) ． 故选：C 【点睛】此题主要考查了三角形的面积以及三角形中线以及高线的性质，根据已知得出S△ADC是解题关键． 10. 设，是实数，定义@的一种运算如下：@ ，则下列结论：①若@=0，则或；②@(+z)=@+@z；③不存在实数，，满足@；④设，是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当时，@最大，其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据平方差公式化简可判断①②，根据非负数的性质可判断③，根据二次函数的性质可判断④． 【详解】解：∵@ 若@=0，则 或； 故①正确 @(+z) @+@z @(+z)=@+@z 故②正确； @ 若@ 则 即 当时，成立， 故③不正确 ，是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，设周长为，则 @ 当时，取得最大值， 即，整理得， 则当时，@最大， 故④正确 故选B 【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，完全平方公式，平方差公式，非负数的性质，二次函数的性质，掌握以上知识是解题的关键． 二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 杜牧《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是____事件．（填“必然”、“不可能”或“随机”） 【答案】随机 【解析】 【分析】本题考查了随机事件的概念，解题的关键是明确必然事件，不可能事件，随机事件的定义． 必然事件是指在一定条件下必然会发生的事件；不可能事件是指在一定条件下必然不会发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．判断诗句描述的事件类型，依据随机事件的定义分析． 【详解】“清明时节雨纷纷”描述的是清明时节下雨的情况，在现实中，清明时节可能下雨，也可能不下雨，其发生具有不确定性，符合随机事件的定义．因此，诗句中描述的事件是随机事件． 故答案为：随机． 12. 若向如图的正方形游戏板投掷一次飞镖，掷向每一点的机会都均等，飞镖落在阴影部分的概率是______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查几何概率，根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值，求解即可． 【详解】解：根据题意，阴影部分面积占整个游戏板面积的， ∴飞镖落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 13. 已知，，则的值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，代数式求值，利用多项式乘以多项式的运算法则把代数式展开，再把已知代入计算即可求解，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 14. 如果实数满足，且恰好是等腰的两边长，则的周长是___________． 【答案】或． 【解析】 【分析】根据非负性可得，，求解得，，再分成是腰长和3是底边长，分别讨论，进而可得出周长． 【详解】解：∵实数满足，，， ∴，， 解得：，， 若是腰长， ∵， ∴以、、为边可以构成三角形， ∴的周长是； 若3是底边长， ∵， ∴以、、为边能构成三角形， ∴的周长是． 故答案为：或． 15. 如图，四边形中，，，，．点为线段的中点．点在线段上以的速度由B向C运动，同时点在线段上由C向D运动．当与全等时，则点的速度为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】设点的运动速度为，运动的时间为，则，，由点为线段的中点得到，由于，根据全等三角形的判定定理可得到当，时，，即，；当，时，，即，，然后分别求出即可． 【详解】解：设点的运动速度为，运动的时间为，则，， 点为线段的中点， ， ， 当，时，， 即，， 解得，， 即此时点的运动速度为； 当，时，， 即，， 解得，， 即此时点的运动速度为； 综上所述，点的运动速度为或． 三．解答题（本大题共10个小题，共90分，请写出文字说明或演算步骤） 16. 计算：； 【答案】 【解析】 【分析】分别计算出每一项的值，再进行加减运算即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 17. 化简： （1）． （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据多项式除以单项式运算法则进行计算即可． （2）先计算单项式乘以多项式和完全平方公式，然后合并即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 简便计算： （1）； （2）． 【答案】（1） 9991 （2） 39204 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 已知在同一条直线上，，，，与交于点． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，由平行线的性质可得，进而可证明． （2）根据，，，可得，，代入即可求解． 【小问1详解】 证明：∵在同一条直线上，， ∴， 即， ∵， ∴， 在和中，， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 20. 先化简，后求值：，其中，． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是掌握完全平方公式、平方差公式与整式的除法． 先利用完全平方公式、平方差公式计算中括号里面的，合并同类项，再作除法，然后将，代入求值． 【详解】解： = = = 当，时， 原式=． 21. 2023年杭州亚运会吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”深受同学们喜爱．某班准备了枚吉祥物徽章用于主题班会抽奖，其中“琮琮”徽章有9枚，“宸宸”徽章有6枚，所有徽章除图案外完全相同． （1）若小颖随机抽取一枚徽章，求抽到“宸宸”徽章的概率； （2）班会结束后，又补充了若干枚徽章，此时徽章总数变为枚．若随机抽取一枚徽章，抽到“琮琮”徽章的概率恰好为，求补充了多少枚“琮琮”徽章． 【答案】（1） （2）补充了枚“琮琮”徽章． 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式，用“宸宸”徽章的数量除以总徽章数量得到所求概率， （2）设补充了枚“琮琮”徽章，根据概率公式列一元一次方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，总徽章数为枚，“宸宸”徽章共6枚， 故抽到“宸宸”徽章的概率为． 【小问2详解】 解：设补充了枚“琮琮”徽章， 由题意可得方程， 去分母得 ， 解得， ∴补充了枚“琮琮”徽章． 22. 按要求解答下列各题： （1）数学课堂上老师留了道数学题，如图1，用式子表示空白部分的面积． 甲，乙，丙，丁4名同学表示的式子是： 甲： 乙： 丙： 丁： ①4名同学中正确的学生是___________；（填“甲”，“乙”，“丙”，“丁”） ②当时，求空白部分的面积． （2）如图2，有一块长为米，宽为米的长方形空地，计划修筑东西、南北走向的两条道路，其余进行绿化，已知两条道路的宽分别为米和米，求绿地的面积（用含，的式子来表示）． 【答案】（1）①丙、丁；② （2） 【解析】 【分析】（1）①结合图形表示出空白部分的面积，即可判断； ②将代入计算即可； （2）根据长方形的面积计算方法先列出算式，再根据平方差公式的法则进行计算即可． 【小问1详解】 解：①空白部分的面积为： ， 丙、丁正确； ②空白部分的面积 【小问2详解】 解：根据题意得：. 23. 小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球A可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的 A、B、O、C在同一平面上），过点C作于点E，测得，． （1）试说明：； （2）求的长．（用含a，b的式子表示） 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂线性质，余角，熟练掌握相关性质定理是解题关键． 解：先推导出，，，得到，继而证明，则，即可解答； （2）由，得到，则，即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴ 又∵． ∴ ∴ ∴ 在和中， ∴ ∴ 【小问2详解】 ∵ ∴ ∵ ∴ 答：的长为． 24. 【发现问题】《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论． 【提出问题】 （1）观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号） 公式①：；公式②：；公式③：；公式④：． 图1对应公式____，图3对应公式____． 【解决问题】 （2）利用图形所表示的乘法公式，解决以下问题． ①已知，，求的值； ②化简． 【能力拓展】 （3）如图5，在六边形中，对角线和相交于点，当四边形和四边形都为正方形时，若，正方形和正方形的面积和为36，直接写出阴影部分的面积____． （提示：正方形的四条边都相等，四个角都是） 【答案】（1）①，④；（2）①；②；（3）32 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘以多项式，掌握完全平方公式并灵活运用是解题的关键． （1）根据各个图形中面积之间的关系可得答案； （2）①利用（1）中的公式④即可得解；②利用多项式乘以多项式结合平方差计算即可得解； （3）设，，则有，，利用（1）中的公式④求出的值，即可得解． 【详解】解：（1）图1，“整体”上看，是长为，宽为的长方形，因此面积为，从“部分”上看三个长方形的面积和为， ∴，故图1对应公式①； 图2，“整体”上看，是长为，宽为的长方形，因此面积为，从“部分”上看四个长方形的面积和为， ∴，故图2对应公式②； 图3，“整体”上看，是边长为的正方形，因此面积为，从“部分”上看四个部分的面积和为， ∴，故图3对应公式④； 图4，“整体”上看，是边长为的正方形，因此面积为，从“部分”上看四个部分的面积和为， ∴，即，故图4对应公式③； 故答案为：①；④； （2）①把两边平方得：， ∴， ∵， ∴， 解得：； ② ； （3）设，，则有，， 把两边平方得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴阴影部分的面积为． 故答案为：． 25. 【模型构建】 如图①，两个等腰和中，，，，点A为公共顶点，连接，．如果把的腰看作大手，的腰看作小手，，可视作大手拉着小手，这就是“手拉手模型”．可探究和的数量关系． 探索思路如下： ， （___________）， 即（___________）， 在与中， ， （___________）， （___________）． （1）请在上面（ ）中填写适当的理由． 【深入探究】 （2）如图②，和为等腰直角三角形，，判断直线、的数量关系和位置关系并证明： 【拓展应用】 （3）如图③，在中，，点为的中点，以为边在下方构造等边，连接，，．已知点到的距离为1，的面积为，求的值． 【答案】（1）等式性质；；；全等三角形的对应边相等 （2），；证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形全等的判定与性质填空即可； （2）延长与交于点H，类比（1）的证明方法，先证明，得到，，再证明即可； （3）以为边向右上方作等边三角形，延长，交于点F，连接，根据已知先求出，然后证明根据全等三角形的判定与性质，逐步证明，，，即可求得答案． 【小问1详解】 解：， （等式性质）， 即， 在与中， ， （）， （全等三角形的对应边相等）． 【小问2详解】 解：，． 延长与交于点H， 和为等腰直角三角形， ，，，， ， 即， （）， ，， ， 即． 【小问3详解】 解：以为边向右上方作等边三角形，延长，交于点F，连接， 点M到的距离为1，的面积为， ， ， 和都是等边三角形， ，，， ， ， ， ， ， ，， 点为的中点， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】对于图形变换问题，要把握好图形变换前后解题思路的延续性，用类似的方法解答． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期七年级期中学业质量监测 数学学科试题 试卷说明：本试题共6页，满分为150分，考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、准考证号、座号等填在答题卡和试题规定的位置上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔在答题卡上题号提示的区域作答．在本试题上作答无效． 3．不允许使用计算器．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．） 1. 假设年我国量子计算技术取得重大突破，“祖冲之四号”量子芯片的单个量子比特操控精度达到秒．用科学记数法表示这个数为（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 2. 下列式子运算正确的是( ) A. B. C. D. 3. 某林业部门将一种树苗移植成活的情况绘制成如下统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率为（ ） A. 0.80 B. 0.85 C. 0.90 D. 0.95 4. 如图，和相交于点，若，用“”证明还需（ ） A. B. C. D. 5. 用下列长度的三根木棒首尾相接，能做成三角形框架的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图1是一乐谱架，利用立杆可进行高度调节，图2是底座部分的平面图，其中支撑杆，点E，F分别为，中点，，是连接立杆和支撑杆的支架，且．立杆在伸缩过程中，总有，其判定依据是（ ） A. B. C. D. 7. 已知中，，则为（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 不能确定 8. 如图，在边长为的正方形中剪去一个边长为2的小正方形，把剩下部分拼成一个梯形，利用这两幅图形中阴影部分面积，可以验证的公式是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，分别是边上的中线和高，点在点的左侧，已知，，，（ ） A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm 10. 设，是实数，定义@的一种运算如下：@ ，则下列结论：①若@=0，则或；②@(+z)=@+@z；③不存在实数，，满足@；④设，是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当时，@最大，其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 杜牧《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是____事件．（填“必然”、“不可能”或“随机”） 12. 若向如图的正方形游戏板投掷一次飞镖，掷向每一点的机会都均等，飞镖落在阴影部分的概率是______． 13. 已知，，则的值等于______． 14. 如果实数满足，且恰好是等腰的两边长，则的周长是___________． 15. 如图，四边形中，，，，．点为线段的中点．点在线段上以的速度由B向C运动，同时点在线段上由C向D运动．当与全等时，则点的速度为___________． 三．解答题（本大题共10个小题，共90分，请写出文字说明或演算步骤） 16. 计算：； 17. 化简： （1）． （2） 18. 简便计算： （1）； （2）． 19. 已知在同一条直线上，，，，与交于点． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 20. 先化简，后求值：，其中，． 21. 2023年杭州亚运会吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”深受同学们喜爱．某班准备了枚吉祥物徽章用于主题班会抽奖，其中“琮琮”徽章有9枚，“宸宸”徽章有6枚，所有徽章除图案外完全相同． （1）若小颖随机抽取一枚徽章，求抽到“宸宸”徽章的概率； （2）班会结束后，又补充了若干枚徽章，此时徽章总数变为枚．若随机抽取一枚徽章，抽到“琮琮”徽章的概率恰好为，求补充了多少枚“琮琮”徽章． 22. 按要求解答下列各题： （1）数学课堂上老师留了道数学题，如图1，用式子表示空白部分的面积． 甲，乙，丙，丁4名同学表示的式子是： 甲： 乙： 丙： 丁： ①4名同学中正确的学生是___________；（填“甲”，“乙”，“丙”，“丁”） ②当时，求空白部分的面积． （2）如图2，有一块长为米，宽为米的长方形空地，计划修筑东西、南北走向的两条道路，其余进行绿化，已知两条道路的宽分别为米和米，求绿地的面积（用含，的式子来表示）． 23. 小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球A可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的 A、B、O、C在同一平面上），过点C作于点E，测得，． （1）试说明：； （2）求的长．（用含a，b的式子表示） 24. 【发现问题】《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论． 【提出问题】 （1）观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号） 公式①：；公式②：；公式③：；公式④：． 图1对应公式____，图3对应公式____． 【解决问题】 （2）利用图形所表示的乘法公式，解决以下问题． ①已知，，求的值； ②化简． 【能力拓展】 （3）如图5，在六边形中，对角线和相交于点，当四边形和四边形都为正方形时，若，正方形和正方形的面积和为36，直接写出阴影部分的面积____． （提示：正方形的四条边都相等，四个角都是） 25. 【模型构建】 如图①，两个等腰和中，，，，点A为公共顶点，连接，．如果把的腰看作大手，的腰看作小手，，可视作大手拉着小手，这就是“手拉手模型”．可探究和的数量关系． 探索思路如下： ， （___________）， 即（___________）， 在与中， ， （___________）， （___________）． （1）请在上面（ ）中填写适当的理由． 【深入探究】 （2）如图②，和为等腰直角三角形，，判断直线、的数量关系和位置关系并证明： 【拓展应用】 （3）如图③，在中，，点为的中点，以为边在下方构造等边，连接，，．已知点到的距离为1，的面积为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $