专题24：组合体、不规则物体的表面积和体积（讲义）-2026年小升初数学复习讲练测

第七章：立体图形 专题24：组合体、不规则物体的表面积和体积 （4大考点典例讲解+知识总结+变式练习+真题训练） 考点01：组合体的表面积 考点02：组合体的体积 考点03：“排水法”求不规则物体的体积 考点04：“转化法”求不规则物体的体积 知识点01：组合体的表面积和体积 1.组合体的表面积 （1）概念：组合体的表面积是指组合体各个面的面积之和。在计算时，需要注意有些面可能会重合，重合的面在计算总面积时只能计算一次。 （2）计算方法：通常采用“分面计算，然后求和”的方法。先将组合体分解成几个基本的立体图形，分别计算出每个基本立体图形的表面积，然后减去重合部分的面积。 （3）拼接：两个立体拼在一起，重合面会消失，每重合1处，减少2个重合面面积。 （4）挖去：在立体上挖去小正方体。 ①角上挖：表面积不变。 ②棱上挖：表面积增加2个面。 ③面上挖：表面积增加4个面。 2.组合体的体积 （1）概念：组合体的体积是指组合体所占空间的大小。 （2）计算方法： ①“分割法”：将组合体分割成几个规则的、易求体积的基本立体图形，分别计算它们的体积，然后将这些体积相加。 ②“添补法”：对于一些不规则的组合体，可以通过添加一部分使其成为一个规则的立体图形，然后用这个规则立体图形的体积减去添加部分的体积，得到组合体的体积。 知识点02：不规则物体的表面积和体积 1.不规则物体的表面积 计算方法：一般采用 “近似转化” 的方法。可以将不规则物体的表面近似看作由若干个规则的平面图形组成，然后分别计算这些平面图形的面积，再求和。 2.不规则物体的体积 计算方法： （1）“排水法”：将不规则物体放入一个装满水的容器中，溢出的水的体积就是该不规则物体的体积。具体操作时，先测量出容器的容积以及放入物体后剩余水的体积，用容器的容积减去剩余水的体积，就得到了不规则物体的体积。 （2）割补法：对于一些形状比较特殊的不规则物体，也可以通过将其分割或拼接成规则物体来计算体积。 （3）“转化法” ①根据正放的瓶子得：液体的体积＝瓶子的底面积×液体的高度 ②根据倒放的瓶子得：空余部分的的体积＝瓶子的底面积×空余部分的高度 ③瓶子的容积＝液体的体积＋空余部分的体积 【易错点拨】 （1）拼接：重合面要减去。 （2）挖去：看位置判断表面积增减，空心、挖孔图形别把内部面积漏掉。 （3）组合体表面积：不要直接相加，一定要减重合面。 （4）排水法：容器底面积不变，只看高度变化。单位必须统一，高度差是关键。 考点01：组合体的表面积 【典型例题】如下图，一个棱长为3厘米的正方体，在它的6个面的正中心各挖去一个边长1厘米的正方形的孔和对面打通，做成一个零件，它的表面积是( ）。 【变式训练1】小浩周末在家制作了一个小摆件，你能计算一下它的表面积吗？（单位：cm） 【变式训练2】王叔叔要制作一个模型，他拿来一个棱长是4dm的正方体铁块，选择其中一个面，从正中间打一个直径为2dm的圆孔，一直穿透到对面（如下图）。为了防止生锈，王叔叔要把这个模型与空气接触的表面都喷上油漆。需喷油漆的面积是多少平方分米？ 考点02：组合体的体积 【典型例题】求下面图形的体积。（单位：dm） 【变式训练1】求下图立体图形的体积。 【变式训练2】求下面组合图形的体积。（单位：cm） 考点03：“排水法”求不规则物体的体积 【典型例题】一个底面积为300平方厘米圆柱形的容器，容器中装有一些水，水面离容器口2厘米。一个高为10厘米的圆锥形的铁块浸没在水中后，容器中的水刚好到达容器口，没有溢出。这个圆锥形铁块的底面积是多少平方厘米？（π值取3） 【变式训练1】科学实验室里有一个正方体的容器，棱长是25厘米，里面注满了水，有一根长50厘米、横截面是12平方厘米的长方体铁棒，现将铁棒垂直插入水中，会溢出多少毫升水？ 【变式训练2】如图，在一个装满水的容器中放入1个圆柱形铁块和2个与它等底等高的圆锥形零件，溢出了600mL的水，则每个圆锥形零件的体积是（ ）cm3。 考点04：“转化法”求不规则物体的体积 【典型例题】一个容积是的瓶子里装满消毒液，李老师从瓶子里倒出一些配制消毒水，把瓶盖拧紧，正着放时如图①所示，倒着放时如图②所示，此时空白部分是圆柱形，李老师倒出（ ）的消毒液。 【变式训练1】一个饮料瓶内饮料的高度是6厘米，将这瓶饮料的瓶盖拧紧倒置（如图），空余部分的高度是10厘米。已知这个饮料瓶的容积是672毫升，则瓶内的饮料有多少升？ 【变式训练2】一个内半径是4cm的瓶子里装满了水，丽丽喝了一部分，剩下的水的高度是4cm，把瓶盖拧紧后倒置放平，如图，无水部分高10cm，那么丽丽喝了（     ）mL的水。 A．50.24 B．200.96 C．251.2 D．502.4 一、计算题 1．求如图所示几何体的表面积（单位：厘米）。 2．求这个图形的表面积和体积。（单位：厘米） 3．计算（1）的表面积和（2）的体积。 （1）     （2） 4．计算如图组合图形的体积。（单位：dm） 5．求下面图形的体积。（单位：厘米）（共8分） 6．求图形的体积（单位：厘米）（π取3.14）。 二、解答题 7．据推断，陀螺产生于我国宋朝，相关古籍记载了当时流行于北京的一句童谣“杨柳儿活，抽陀螺同现代的陀螺玩法完全一样。如图，一个陀螺上面是圆柱，且圆锥的高是圆柱高的。已知圆柱的底面直径是10厘米，高是8厘米，这个陀螺的体积是多少立方厘米？ 8．母亲节到来之际，红红亲手为妈妈制作了一个双层蛋糕，已知蛋糕最底层的直径20厘米，每层蛋糕的厚度都是5厘米，两层间的直径相差4厘米。如果在蛋糕表面（不包括底面）涂上奶油，涂奶油的面积是多少平方厘米？ 9．如图的博士帽是用黑色卡纸做成的，上面是边长30厘米的正方形，下面是底面直径16厘米、高10厘米的无底无盖的圆柱。制作一个这样的“博士帽”至少需要多少平方厘米的黑色卡纸？ 10．（如图）一个圆锥和圆柱拼接成透明模具，小仑装了一些水，正放时水的高度是6厘米，倒放时无水部分高14厘米，这个模具的容积是多少毫升？ 11．我国农村地区有用竹箩筐装稻谷的习惯，如图，这是一个圆柱形的竹箩筐，从里面量高5分米，底面直径是6分米。 （1）编这个箩筐，要编织多少平方米的竹编？（用“进一法”保留一位小数） （2）在装稻谷时，除了把这个箩筐本身装满外，还可以把稻谷在这个箩筐的上面堆一个高相当于底面直径的圆锥形（如图），这样一共装了多少升的稻谷？ 12．下图展示了一款饮料纸杯的设计图，纸张厚度以及连接处忽略不计。 根据图中信息，解决下列问题。（计算结果用含的算式表示） （1）制作一个这样的纸杯，使用的纸张面积是多少平方厘米？ （2）用这款纸杯能装下400毫升的饮料吗？请通过计算说明理由。 13．在一个长20分米、宽9分米、高7分米的长方体容器内注入3.6分米深的水，然后放入一个棱长为6分米的正方体铁块，则水位上升了多少分米？ 14．张老师测量一颗钢球体积的过程如下图： （1）将400立方厘米的水倒进一个容量为1升的大杯子中； （2）将5颗相同的钢球放入水中，结果水没满； （3）再将一颗同样的钢球放入水中，结果水满溢出。 根据以上过程，推测这样一颗钢球的体积的范围。 15．小刚有一个圆柱体的模型，他想测量它的体积，厨房有个长方体容器，测得水面原来的高度为4厘米。他把圆柱体的模型放入长方体容器内，水面升高到8厘米，此时圆柱体模型的在水面上（如图所示），圆柱体模型的体积是多少？ 16．小东测量瓶子的容积（如下图），测得瓶子的底面直径是10厘米，然后给瓶子内盛入一些水，正放时水高15厘米，倒放时水高25厘米，瓶子深30厘米。这个瓶子的容积是多少毫升？（π取3.14）（单位：厘米） 17．在下图的空玻璃鱼缸中放入一块高1.5分米、体积为6立方分米的假山石。如果水管以每分钟10立方分米的流量向鱼缸内注水，至少需要多长时间才能把假山石刚好淹没？ 18．一个底面直径是20厘米的圆柱形容器，容器内的水中浸没着一个底面周长是37.68厘米，高是20厘米的圆锥形铁块，当取出铁块后，容器内水面下降了多少厘米？ 19．一个圆柱形的玻璃缸装有一些水，底面内直径为6厘米，高为12厘米。把一个圆锥形铅锤放入玻璃缸中（全部浸没），水面上升了0.5厘米，铅锤的高为2厘米，这个铅锤的底面积是多少平方厘米？ 20．“瓷都”景德镇被誉为非遗传承中的千年窑火。在非遗陶瓷作坊里，正在开展“瓷器体积测算”实验，过程如下： ①取一个长方体容器，倒入养护液，测量养护液的高度是12.4cm； ②放入1件体积为270cm3的小瓷器，液面上升。 根据信息，解决以下问题： （1）放入小瓷器后，液面上升了多少厘米？ （2）为了不使养护液溢出，后续实验中最多只能放入体积为多大的瓷器？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章：立体图形 专题24：组合体、不规则物体的表面积和体积 （4大考点典例讲解+知识总结+变式练习+真题训练） 考点01：组合体的表面积 考点02：组合体的体积 考点03：“排水法”求不规则物体的体积 考点04：“转化法”求不规则物体的体积 知识点01：组合体的表面积和体积 1.组合体的表面积 （1）概念：组合体的表面积是指组合体各个面的面积之和。在计算时，需要注意有些面可能会重合，重合的面在计算总面积时只能计算一次。 （2）计算方法：通常采用“分面计算，然后求和”的方法。先将组合体分解成几个基本的立体图形，分别计算出每个基本立体图形的表面积，然后减去重合部分的面积。 （3）拼接：两个立体拼在一起，重合面会消失，每重合1处，减少2个重合面面积。 （4）挖去：在立体上挖去小正方体。 ①角上挖：表面积不变。 ②棱上挖：表面积增加2个面。 ③面上挖：表面积增加4个面。 2.组合体的体积 （1）概念：组合体的体积是指组合体所占空间的大小。 （2）计算方法： ①“分割法”：将组合体分割成几个规则的、易求体积的基本立体图形，分别计算它们的体积，然后将这些体积相加。 ②“添补法”：对于一些不规则的组合体，可以通过添加一部分使其成为一个规则的立体图形，然后用这个规则立体图形的体积减去添加部分的体积，得到组合体的体积。 知识点02：不规则物体的表面积和体积 1.不规则物体的表面积 计算方法：一般采用 “近似转化” 的方法。可以将不规则物体的表面近似看作由若干个规则的平面图形组成，然后分别计算这些平面图形的面积，再求和。 2.不规则物体的体积 计算方法： （1）“排水法”：将不规则物体放入一个装满水的容器中，溢出的水的体积就是该不规则物体的体积。具体操作时，先测量出容器的容积以及放入物体后剩余水的体积，用容器的容积减去剩余水的体积，就得到了不规则物体的体积。 （2）割补法：对于一些形状比较特殊的不规则物体，也可以通过将其分割或拼接成规则物体来计算体积。 （3）“转化法” ①根据正放的瓶子得：液体的体积＝瓶子的底面积×液体的高度 ②根据倒放的瓶子得：空余部分的的体积＝瓶子的底面积×空余部分的高度 ③瓶子的容积＝液体的体积＋空余部分的体积 【易错点拨】 （1）拼接：重合面要减去。 （2）挖去：看位置判断表面积增减，空心、挖孔图形别把内部面积漏掉。 （3）组合体表面积：不要直接相加，一定要减重合面。 （4）排水法：容器底面积不变，只看高度变化。单位必须统一，高度差是关键。 考点01：组合体的表面积 【典型例题】如下图，一个棱长为3厘米的正方体，在它的6个面的正中心各挖去一个边长1厘米的正方形的孔和对面打通，做成一个零件，它的表面积是( ）。 【答案】72平方厘米/72cm2 【分析】根据题干分析可得，这个零件的表面积＝棱长3厘米的正方体的表面积＋正方体内部6个长、宽、高分别为1厘米、1厘米、（3－1）÷2厘米的长方体的侧面积的和，再减去6个正方体面上的边长为1厘米的6个面的面积，据此列式计算。 【详解】（3－1）×2 ＝2÷2 ＝1（厘米） 3×3×6＋1×1×4×6－1×1×6 ＝54＋24－6 ＝72（平方厘米） 它的表面积是72平方厘米。 【变式训练1】小浩周末在家制作了一个小摆件，你能计算一下它的表面积吗？（单位：cm） 【答案】247.92cm2 【分析】观察图形可知，圆柱体与长方体有重合面，把圆柱体的上底面向下平移补给长方体的上面，这样求表面积时，圆柱只求侧面积，长方体求表面积，然后相加；根据圆柱的侧面积公式：S＝πdh，长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，把数据代入公式解答。 【详解】圆柱的侧面积：3.14×4×7＝87.92（cm2） 长方体的表面积： （10×5＋10×2＋5×2）×2 ＝（50＋20＋10）×2 ＝80×2 ＝160（cm2） 一共：87.92＋160＝247.92（cm2） 【变式训练2】王叔叔要制作一个模型，他拿来一个棱长是4dm的正方体铁块，选择其中一个面，从正中间打一个直径为2dm的圆孔，一直穿透到对面（如下图）。为了防止生锈，王叔叔要把这个模型与空气接触的表面都喷上油漆。需喷油漆的面积是多少平方分米？ 【答案】114.84dm2 【分析】由题意知：需喷油漆的面积＝正方体的表面积－圆柱两个底面的面积＋圆柱的侧面积，据此解答。 【详解】4×4×6－2×3.14×(2÷2)2+3.14×2×4 ＝96－6.28+25.12 ＝114.84（dm2） 答：需喷油漆的面积是114.84 dm2。 考点02：组合体的体积 【典型例题】求下面图形的体积。（单位：dm） 【答案】 【分析】这个图形的体积＝正方体体积－圆锥体积，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，圆锥体积＝底面积×高÷3。 【详解】6×6×6－3.14×（6÷2）2×6÷3 ＝216－3.14×32×6÷3 ＝216－3.14×9×6÷3 ＝216－56.52 ＝159.48(dm3 ) 【变式训练1】求下图立体图形的体积。 【答案】12560立方厘米 【分析】该立体图形为斜切的不规则圆柱，可通过拼接法，将两个完全相同的该图形拼成一个底面直径20厘米、高为35＋45＝80厘米的完整圆柱。先根据圆柱体积公式算出完整圆柱的体积，再÷2即可得到该立体图形的体积，圆柱体积公式为V＝πr2h。 【详解】圆柱底面半径：20÷2＝10（厘米） 拼接后完整圆柱的高：35＋45＝80（厘米） 完整圆柱的体积： 3.14×102×80 ＝3.14×100×80 ＝314×80 ＝25120（立方厘米） 该立体图形的体积：25120÷2＝12560（立方厘米） 【变式训练2】求下面组合图形的体积。（单位：cm） 【答案】11.14cm3 【分析】组合图形的体积＝正方体体积＋半圆柱体积，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，半圆柱体积＝πr2h（π取3.14），分别求出各自的体积，再相加即可解答。 【详解】正方体体积：2×2×2＝8（cm3） 半圆柱体积：×3.14×（2÷2）2×2 ＝×3.14×1×2 ＝3.14（cm3） 组合图形的体积：8＋3.14＝11.14（cm3） 考点03：“排水法”求不规则物体的体积 【典型例题】一个底面积为300平方厘米圆柱形的容器，容器中装有一些水，水面离容器口2厘米。一个高为10厘米的圆锥形的铁块浸没在水中后，容器中的水刚好到达容器口，没有溢出。这个圆锥形铁块的底面积是多少平方厘米？（π值取3） 【答案】180平方厘米 【分析】本题考查圆柱与圆锥的体积关系及排水法求体积。根据题意，圆锥形铁块完全浸没在水中，水面上升部分的体积即为圆锥形铁块的体积。首先利用圆柱形容器的底面积乘水面上升的高度，求出上升水的体积（即圆锥体积）。然后根据圆锥的体积公式，通过体积乘3再除以高，逆推求出圆锥的底面积。题目中给出的值在此计算过程中不需要使用，因为已知的是底面积而非半径。 【详解】因为圆锥形铁块浸没在水中，所以水面上升的体积等于圆锥形铁块的体积。 300×2×3÷10 ＝600×3÷10 ＝1800÷10 ＝180（平方厘米） 答：这个圆锥形铁块的底面积是180平方厘米。 【变式训练1】科学实验室里有一个正方体的容器，棱长是25厘米，里面注满了水，有一根长50厘米、横截面是12平方厘米的长方体铁棒，现将铁棒垂直插入水中，会溢出多少毫升水？ 【答案】300毫升 【分析】容器注满水，溢出水的体积等于铁棒浸没在水中的体积。正方体容器棱长25厘米，即水深25厘米。铁棒长50厘米，大于水深，所以浸没部分的高度为25厘米。根据长方体体积公式：体积＝底面积×高求出浸没体积，再将立方厘米换算为毫升。 【详解】12×25＝300（立方厘米） 300立方厘米＝300毫升 答：会溢出300毫升水。 【变式训练2】如图，在一个装满水的容器中放入1个圆柱形铁块和2个与它等底等高的圆锥形零件，溢出了600mL的水，则每个圆锥形零件的体积是（ ）cm3。 【答案】120 【分析】等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，那么1个圆柱形铁块和2个与它等底等高的圆锥形零件就相当于（3＋2）个圆锥形零件。溢出了600mL的水可以看作，5个圆锥形零件的体积是600 cm3，进而根据除法计算得到每个圆锥形零件的体积是多少。 【详解】600mL＝600 cm3 600（3＋2） ＝6005 ＝120（cm3） 考点04：“转化法”求不规则物体的体积 【典型例题】一个容积是的瓶子里装满消毒液，李老师从瓶子里倒出一些配制消毒水，把瓶盖拧紧，正着放时如图①所示，倒着放时如图②所示，此时空白部分是圆柱形，李老师倒出（ ）的消毒液。 【答案】200 【分析】正着放时瓶子，上面空白部分的容积等于倒着放时上面空白部分的容积，750mL＝750cm3，所以整个瓶子的容积等于高为11＋（17－13）＝15（cm）的圆柱形瓶子的容积，根据圆柱的容积公式：V＝Sh，据此求出圆柱的底面积，再用底面积乘（17－13）即可求出倒出多少消毒液。 【详解】750mL＝750 cm3 11＋（17－13） ＝11＋4 ＝15（cm） 750÷15×（17－13） ＝50×4 ＝200（cm3） 200cm3＝200mL 所以李老师倒出200mL的消毒液。 【变式训练1】一个饮料瓶内饮料的高度是6厘米，将这瓶饮料的瓶盖拧紧倒置（如图），空余部分的高度是10厘米。已知这个饮料瓶的容积是672毫升，则瓶内的饮料有多少升？ 【答案】0.252升 【分析】饮料瓶的容积等于正放时饮料的体积加上倒置时空余部分的体积，且这两部分的底面积相同，因此可将饮料瓶的总容积看作底面积相同、高6＋10＝16（厘米）的圆柱的体积；已知饮料瓶的容积是672毫升，根据“1毫升＝1立方厘米，圆柱的体积＝底面积×高”，先进行单位转化，求出饮料瓶的底面积，进而用底面积乘饮料的高求出饮料的体积，最后根据1000毫升＝1升进行单位转化即可。 【详解】672毫升＝672立方厘米 672÷（6＋10） ＝672÷16 ＝42（平方厘米） 42×6＝252（立方厘米） 252立方厘米＝0.252升 答：瓶内的饮料有0.252升。 【变式训练2】一个内半径是4cm的瓶子里装满了水，丽丽喝了一部分，剩下的水的高度是4cm，把瓶盖拧紧后倒置放平，如图，无水部分高10cm，那么丽丽喝了（     ）mL的水。 A．50.24 B．200.96 C．251.2 D．502.4 【答案】D 【分析】分析题目，丽丽喝掉的饮料的体积等于一个底面半径是4cm高是10cm的圆柱的体积，根据圆柱的体积＝πr2h代入数据求出水的体积，再根据1cm3＝1mL把单位换算成mL即可。 【详解】3.14×42×10 ＝3.14×16×10 ＝50.24×10 ＝502.4（cm3） 502.4cm3＝502.4mL 一个内半径是4cm的瓶子里装满了水，丽丽喝了一部分，剩下的水的高度是4cm，把瓶盖拧紧后倒置放平，无水部分高10cm，那么丽丽喝了502.4mL的水。 故答案为：D 一、计算题 1．求如图所示几何体的表面积（单位：厘米）。 【答案】168.84平方厘米 【分析】已知正方体的棱长为5厘米，根据“正方体表面积＝棱长×棱长×6”计算出正方体的表面积；该圆柱与正方体相连，圆柱的两个底面中，有一个面与正方体接触，不计入几何体表面积，另一个面正好补全正方体表面，所以只需计算圆柱的侧面积，由图可知圆柱底面直径为2厘米，高为3厘米，根据圆柱侧面积公式计算出圆柱的侧面积；最后该几何体的表面积就等于正方体的表面积加上圆柱的侧面积。 【详解】5×5×6 ＝25×6 ＝150（平方厘米） 3.14×2×3 ＝6.28×3 ＝18.84（平方厘米） 150＋18.84＝168.84（平方厘米） 所以该几何体的表面积是168.84平方厘米。 2．求这个图形的表面积和体积。（单位：厘米） 【答案】600平方厘米；936立方厘米 【分析】观察图形可知，这个图形的表面积就等于棱长10厘米的正方体的表面积，利用正方体的表面积公式计算即可解答，正方体的表面积＝棱长×棱长×6；体积等于棱长10厘米的正方体与棱长4厘米的正方体的体积之差，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，据此即可解答。 【详解】10×10×6 ＝100×6 ＝600（平方厘米） 10×10×10－4×4×4 ＝100×10－16×4 ＝1000－64 ＝936（立方厘米） 所以这个图形的表面积是600平方厘米，体积是936立方厘米。 3．计算（1）的表面积和（2）的体积。 （1）     （2） 【答案】（1）251.2cm2；（2）1177.5cm3 【分析】（1）从图中可知，小圆柱和大圆柱有重合部分，把小圆柱的上底面向下平移到重合处，补给大圆柱的上底面，这样大圆柱的表面积是完整的，而小圆柱只需计算侧面积； 组合图形的表面积＝小圆柱的侧面积＋大圆柱的侧面积＋大圆柱的2个底面积；根据圆柱的侧面积公式S侧＝πdh，S底＝πr2，代入数据计算即可。 （2）组合图形的体积＝圆锥的体积＋圆柱的体积，根据圆锥的体积公式V＝πr2h，圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算即可。 【详解】（1）小圆柱的侧面积： 3.14×4×2 ＝3.14×8 ＝25.12（cm2） 大圆柱的侧面积： 3.14×8×5 ＝3.14×40 ＝125.6（cm2） 大圆柱的2个底面积： 3.14×（8÷2）2×2 ＝3.14×16×2 ＝3.14×32 ＝100.48（cm2） 组合图形的表面积： 25.12＋125.6＋100.48 ＝150.72＋100.48 ＝251.2（cm2） （2）圆锥的体积： ×3.14×（10÷2）2×9 ＝×3.14×25×9 ＝3.14×75 ＝235.5（cm3） 圆柱的体积： 3.14×（10÷2）2×12 ＝3.14×25×12 ＝3.14×300 ＝942（cm3） 组合图形的体积： 235.5＋942＝1177.5（cm3） 4．计算如图组合图形的体积。（单位：dm） 【答案】110.56dm3 【分析】观察图形可知，组合图形的体积＝圆锥的体积＋长方体的体积，根据圆锥的体积公式V＝πr2h，长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算求解。 【详解】×3.14×（4÷2）2×3＋7×7×2 ＝×3.14×22×3＋7×7×2 ＝×3.14×4×3＋7×7×2 ＝12.56＋98 ＝110.56（dm3） 组合图形的体积是110.56dm3。 5．求下面图形的体积。（单位：厘米）（共8分） 【答案】2072.4立方厘米；150.72立方厘米 【分析】（1），图形的体积＝大圆柱的体积－小圆柱的体积，把图中的数据代入公式计算； （2），，图形的体积＝圆柱的体积－圆锥的体积，把图中的数据代入公式计算。 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝2072.4（立方厘米） 所以，该图形的体积是2072.4立方厘米。 （2） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝150.72（立方厘米） 所以，该图形的体积是150.72立方厘米。 6．求图形的体积（单位：厘米）（π取3.14）。 【答案】214.2立方厘米 【分析】观察图形可知，图形的体积＝圆柱的体积×＋长方体的体积，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算即可求解。 【详解】3.14×22×10×＋6×10×2 ＝3.14×4×10×＋60×2 ＝94.2＋120 ＝214.2（立方厘米） 图形的体积是214.2立方厘米。 二、解答题 7．据推断，陀螺产生于我国宋朝，相关古籍记载了当时流行于北京的一句童谣“杨柳儿活，抽陀螺同现代的陀螺玩法完全一样。如图，一个陀螺上面是圆柱，且圆锥的高是圆柱高的。已知圆柱的底面直径是10厘米，高是8厘米，这个陀螺的体积是多少立方厘米？ 【答案】785立方厘米 【分析】这个陀螺是圆柱和圆锥的组合体，且圆锥和圆柱的底面是同一个圆（半径相同）。已知圆柱的高，圆锥的高是圆柱高的，用乘法求出圆锥的高。直径除以2即可求得圆柱和圆锥的底面圆半径。根据圆柱体积公式和圆锥体积公式，求出两者体积并相加，即可求得陀螺的体积。 【详解】计算圆锥的高： 计算圆柱和圆锥底面圆半径： 计算圆柱体积： 计算圆锥体积： 求陀螺体积： 答：这个陀螺的体积是785立方厘米。 8．母亲节到来之际，红红亲手为妈妈制作了一个双层蛋糕，已知蛋糕最底层的直径20厘米，每层蛋糕的厚度都是5厘米，两层间的直径相差4厘米。如果在蛋糕表面（不包括底面）涂上奶油，涂奶油的面积是多少平方厘米？ 【答案】879.2平方厘米 【分析】蛋糕是由两个圆柱体组成，涂奶油的面积是两个圆柱表面积之和减去重叠部分面积再减底层圆柱的底面积；或者看作底层圆柱的上表面积加两个圆柱的侧面积。 【详解】20－4＝16（厘米） 3.14×20×5＋3.14×16×5＋3.14×（20÷2）2 ＝62.8×50.245＋××5＋3.14×100 ＝314＋251.2＋314 ＝879.2（平方厘米） 答：涂奶油的面积是879.2平方厘米。 9．如图的博士帽是用黑色卡纸做成的，上面是边长30厘米的正方形，下面是底面直径16厘米、高10厘米的无底无盖的圆柱。制作一个这样的“博士帽”至少需要多少平方厘米的黑色卡纸？ 【答案】1402.4平方厘米 【分析】根据题意和图意可知，制作一个这样的“博士帽”至少需要黑色卡纸的面积＝正方形的面积＋圆柱的侧面积，根据正方形的面积公式S＝a2，圆柱的侧面积公式S侧＝πdh，代入数据计算求解。 【详解】30×30＋3.14×16×10 ＝900＋502.4 ＝1402.4（平方厘米） 答：制作一个这样的“博士帽”至少需要1402.4平方厘米的黑色卡纸。 10．（如图）一个圆锥和圆柱拼接成透明模具，小仑装了一些水，正放时水的高度是6厘米，倒放时无水部分高14厘米，这个模具的容积是多少毫升？ 【答案】1004.8毫升 【分析】根据题意可知，模具的容积、水的体积不变，则正放时空白部分的容积与倒放时空白部分的容积相等，所以模具的容积＝正放时水的体积＋倒放时无水部分的体积，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求出模具的容积。注意单位的换算：1立方厘米＝1毫升。 【详解】3.14×（8÷2）2×6＋3.14×（8÷2）2×14 ＝3.14×42×6＋3.14×42×14 ＝3.14×16×6＋3.14×16×14 ＝3.14×16×（6＋14） ＝3.14×16×20 ＝1004.8（立方厘米） 1004.8立方厘米＝1004.8毫升 答：这个模具的容积是1004.8毫升。 11．我国农村地区有用竹箩筐装稻谷的习惯，如图，这是一个圆柱形的竹箩筐，从里面量高5分米，底面直径是6分米。 （1）编这个箩筐，要编织多少平方米的竹编？（用“进一法”保留一位小数） （2）在装稻谷时，除了把这个箩筐本身装满外，还可以把稻谷在这个箩筐的上面堆一个高相当于底面直径的圆锥形（如图），这样一共装了多少升的稻谷？ 【答案】（1）1.3平方米； （2）160.14升 【分析】（1）由图可知，这个箩筐没有盖子，计算要编织多少平方米的竹编就是计算圆柱的侧面积和一个底面积的和，利用“”求出需要编织竹编的面积； （2）由题意可知，装稻谷的体积等于下面圆柱的体积加上上面圆锥的体积，利用“”“”求出所装稻谷的体积，最后把体积单位转化为容积单位，据此解答。 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝122.46（平方分米） 122.46平方分米＝1.2246平方米 1.2246平方米≈1.3平方米 答：编这个箩筐，要编织1.3平方米的竹编。 （2） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝160.14（立方分米） 160.14立方分米＝160.14升 答：一共装了160.14升的稻谷。 12．下图展示了一款饮料纸杯的设计图，纸张厚度以及连接处忽略不计。 根据图中信息，解决下列问题。（计算结果用含的算式表示） （1）制作一个这样的纸杯，使用的纸张面积是多少平方厘米？ （2）用这款纸杯能装下400毫升的饮料吗？请通过计算说明理由。 【答案】（1）平方厘米 （2）这款纸杯能装下400毫升的饮料，见详解。 【分析】（1）对于展开图中的扇形，大圆半径为10厘米＋20厘米，小圆半径为20厘米，根据圆心角的度数确定这个扇形面积是整个大圆的几分之几即，杯身的面积＝，则杯身侧面展开面积＋底面圆面积即可知道使用的纸张面积； （2）纸杯的容积＝大圆锥体积－小圆锥体积，利用比例可知大圆锥的高，大圆锥的底面半径为9厘米的一半，小圆锥的底面半径为6厘米的一半，据此即可求解纸杯的容积，再与400毫升比较即可知道这款纸杯是否能装下400毫升的饮料。 【详解】（1） 答：制作一个这样的纸杯，使用的纸张面积是平方厘米。 （2）9÷2＝4.5（厘米） 6÷2＝3（厘米） 因为 所以 纸杯体积： 因为 答：这个杯子能装下400毫升的饮料。 13．在一个长20分米、宽9分米、高7分米的长方体容器内注入3.6分米深的水，然后放入一个棱长为6分米的正方体铁块，则水位上升了多少分米？ 【答案】0.9分米 【分析】水深是3.6分米，放入的铁块是棱长6分米的正方体，6分米大于3.6分米，铁块不一定完全浸入到水中，需通过计算来判断。 长方体的体积＝长×宽×高＝底面积×高，注入3.6分米的水，水的体积＝20×9×3.6； 放入铁块之后，假设水面高度低于6分米，现在水的底面积＝20×9－6×6， 再根据现在水的高度＝水的体积÷现在水的底面积，计算出来现在水的高度之后，判断假设是否成立；、 若成立，上升的水位高度＝现在水的高度－3.6分米； 若不成立，也就是铁块完全浸入水中，现在水高＝（水和铁块总体积）÷底面积（20分米×9分米），据此分析即可。 【详解】假设把铁块放入水中之后，水没有淹没铁块。 ＝180×3.6÷144 ＝648÷144 ＝4.5（分米） 6分米＞4.5分米，说明水没有淹没铁块，假设成立。 4.5－3.6＝0.9（分米） 答：水位上升了0.9分米。 14．张老师测量一颗钢球体积的过程如下图： （1）将400立方厘米的水倒进一个容量为1升的大杯子中； （2）将5颗相同的钢球放入水中，结果水没满； （3）再将一颗同样的钢球放入水中，结果水满溢出。 根据以上过程，推测这样一颗钢球的体积的范围。 【答案】 100立方厘米＜单颗钢球体积＜120立方厘米 【分析】首先统一单位：1升＝1000立方厘米，杯子中原有水400立方厘米，因此杯子剩余空间为：1000－400＝600（立方厘米）。 先分析5颗钢球的体积范围： 放入5颗钢球后水没满，说明5颗钢球的体积小于剩余空间，即：5×单颗钢球体积小于600立方厘米。 可得：单颗钢球体积小于600÷5＝120（立方厘米） 再分析6颗钢球的体积范围： 放入6颗钢球后水溢出，说明6颗钢球的体积大于剩余空间，即：6×单颗钢球体积大于600立方厘米。 可得：单颗钢球体积大于600÷6＝100（立方厘米） 据此推出结论即可。 【详解】立方厘米 （立方厘米）。 5颗钢球的体积小于剩余空间，可得单颗钢球体积小于： 600÷5＝120（立方厘米） 6颗钢球的体积大于剩余空间，可得单颗钢球体积大于： 600÷6＝100（立方厘米） 这样一颗钢球的体积范围是： 100立方厘米＜单颗钢球体积＜120立方厘米。 15．小刚有一个圆柱体的模型，他想测量它的体积，厨房有个长方体容器，测得水面原来的高度为4厘米。他把圆柱体的模型放入长方体容器内，水面升高到8厘米，此时圆柱体模型的在水面上（如图所示），圆柱体模型的体积是多少？ 【答案】960立方厘米 【分析】把圆柱体模型的体积看作单位“1”，放入圆柱体的模型后上升部分水的体积等于圆柱体模型体积的，上升部分水的体积＝容器的底面积×上升部分水的高度，由此求出圆柱体模型体积的，圆柱体模型的体积＝上升部分水的体积÷，据此解答。 【详解】12×10×（8－4）÷ ＝12×10×4÷ ＝120×4÷ ＝480÷ ＝480×2 ＝960（立方厘米） 答：圆柱体模型的体积是960立方厘米。 16．小东测量瓶子的容积（如下图），测得瓶子的底面直径是10厘米，然后给瓶子内盛入一些水，正放时水高15厘米，倒放时水高25厘米，瓶子深30厘米。这个瓶子的容积是多少毫升？（π取3.14）（单位：厘米） 【答案】1570毫升 【分析】瓶子的容积等于瓶子正放时的水的体积加上瓶子倒放时上面空的部分的体积，这两部分都是圆柱，根据圆柱的体积公式V＝πr2h解决。1立方厘米＝1毫升。 【详解】10÷2＝5（厘米） 3.14×52×15＋3.14×52×（30－25） ＝3.14×25×15＋3.14×25×（30－25） ＝3.14×25×15＋3.14×25×5 ＝1177.5＋392.5 ＝1570（立方厘米） 1570立方厘米＝1570毫升 答：这个瓶子的容积是1570毫升。 17．在下图的空玻璃鱼缸中放入一块高1.5分米、体积为6立方分米的假山石。如果水管以每分钟10立方分米的流量向鱼缸内注水，至少需要多长时间才能把假山石刚好淹没？ 【答案】3分钟 【分析】把假山石刚好淹没，也就是此时空玻璃鱼缸内水面高度刚好到1.5分米，根据长方体的体积＝长×宽×高，则此时玻璃鱼缸内：水的体积＋石头的体积＝6×4×1.5，其中石头的体积是6立方分米，进而将水的体积计算出来，又知水以“每分钟10立方分米的流量”向鱼缸注水，用除法即可算出所需要的时间。 【详解】假山石刚好淹没时，鱼缸内水的体积： 6×4×1.5－6 ＝24×1.5－6 ＝36－6 ＝30（立方分米） 30÷10＝3（分钟） 答：至少需要3分钟才能把假山石刚好淹没。 18．一个底面直径是20厘米的圆柱形容器，容器内的水中浸没着一个底面周长是37.68厘米，高是20厘米的圆锥形铁块，当取出铁块后，容器内水面下降了多少厘米？ 【答案】2.4厘米 【分析】已知圆锥底面周长，根据“C÷π÷2”求出底面半径，再依据圆锥体积公式“V＝πr2h”算出圆锥体积；接着用圆柱形容器底面直径除以2求出底面半径，根据圆的面积公式“S＝πr2”计算出圆柱的底面积；最后用圆锥体积（也就是下降的水的体积）除以圆柱底面积，得到水面下降的高度。 【详解】37.68÷3.14÷2 ＝12÷2 ＝6（厘米） ×3.14×62×20 ＝×3.14×36×20 ＝3.14×12×20 ＝37.68×20 ＝753.6（立方厘米） 3.14×（20÷2）2 ＝3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 753.6÷314＝2.4（厘米） 答：容器内水面下降了2.4厘米。 19．一个圆柱形的玻璃缸装有一些水，底面内直径为6厘米，高为12厘米。把一个圆锥形铅锤放入玻璃缸中（全部浸没），水面上升了0.5厘米，铅锤的高为2厘米，这个铅锤的底面积是多少平方厘米？ 【答案】21.195平方厘米 【分析】根据题意可知，把圆锥形铅锤放入圆柱形玻璃缸中（完全浸没，水未溢出），上升部分水的体积就等于这个铅锤的体积，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，圆锥的体积公式：V＝Sh那么S＝3V÷h，把数据代入公式解答。 【详解】3.14×（6÷2）2×0.5÷÷2 ＝3.14×32×0.5×3÷2 ＝3.14×9×0.5×3÷2 ＝14.13×3÷2 ＝42.39÷2 ＝21.195（平方厘米） 答：这个铅锤的底面积是21.195平方厘米。 20．“瓷都”景德镇被誉为非遗传承中的千年窑火。在非遗陶瓷作坊里，正在开展“瓷器体积测算”实验，过程如下： ①取一个长方体容器，倒入养护液，测量养护液的高度是12.4cm； ②放入1件体积为270cm3的小瓷器，液面上升。 根据信息，解决以下问题： （1）放入小瓷器后，液面上升了多少厘米？ （2）为了不使养护液溢出，后续实验中最多只能放入体积为多大的瓷器？ 【答案】（1）0.6厘米；（2）2250立方厘米 【分析】（1）根据题意可知，放入小瓷器后，液面上升的高等于小瓷器的体积除以容器的底面积。据此列式解答。 （2）根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式容器内无养护液部分的体积即可。 【详解】（1）270÷（30×15） ＝270÷450 ＝0.6（厘米） 答：液面上升了0.6厘米。 （2）容器剩余空间的高度：18－12.4－0.6＝5（厘米） 剩余空间的体积： 30×15×5 ＝450×5 ＝2250（立方厘米） 答：为了不使养护液溢出，后续实验中最多只能放入体积为2250立方厘米的瓷器。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $