精品解析：山东济南市高新区2025-2026学年第二学期期中八年级数学参考样题

2025-2026学年第二学期期中 八年级数学参考样题 本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷共2页，满分为40分；第Ⅱ卷共4页，满分为110分．本试题共6页，满分为150分．考试时间为120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的考点、姓名、准考证号、座号填写在答题卡上和试卷规定的位置上．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第I卷（选择题 共40分） 注意事项：第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 交通标志是实施交通管理，保证道路交通安全、顺畅的重要措施．以下交通标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形关于某条直线对称，中心对称图形绕某点旋转后重合．解决本题的关键是根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义进行判断． 【详解】解：A选项：既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B选项符合题意； C选项：是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故D选项不符合题意． 故选：B． 2. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．根据因式分解的定义，对选项逐个分析即可． 【详解】解：，是整式的乘法，不是因式分解，故A选项错误； ，是整式的乘法，不是因式分解，故B选项错误； ，等式右边中的不是整式，不是因式分解，故C选项错误； ，把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解，故D选项正确． 故选：D． 3. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了最简分式，根据最简分式是指分子和分母没有公因式的分式，分别检查各选项分子与分母是否可约分． 【详解】解：∵选项A∶，分子与分母有公因式x，可化简为，不是最简分式； ∵ 选项B∶，分子x与分母3x+1无公因式，是最简分式； ∵ 选项C∶ ，分子与分母有公因式3，可化简为，不是最简分式； ∵ 选项D∶，分母，与分子有公因式，可化简为，不是最简分式． 故选B． 4. 如图，在四边形中，对角线相交于点O，请添加一组条件，使四边形是平行四边形，以下添加条件不正确的是（　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、添加，可以运用两组对边分别相等的四边形是平行四边形的方法判定四边形是平行四边形，不符合题意； B、添加，无法证明四边形是平行四边形，符合题意； C、添加，可运用对角线相互平分的四边形是平行四边形的方法判定四边形是平行四边形，不符合题意； D、添加，可以运用两组对边分别平行的四边形是平行四边形的方法判定四边形是平行四边形，不符合题意； 故选：B ． 5. 在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据点A及其对应点的坐标，确定线段的平移规律，再按规律计算点B对应点的坐标即可. 【详解】解：∵点平移后的对应点为， ∴横坐标变化为，纵坐标变化为，即平移规律为横坐标减，纵坐标加， ∵点， ∴的横坐标为，纵坐标为，即的坐标为． 6. 已知点关于x轴的对称点为，则多项式可因式分解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据对称性确定点B的坐标，得到m和n的值，再将多项式因式分解． 本题考查了平面直角坐标系中点的对称性，以及利用完全平方公式分解因式．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：点关于x轴的对称点B的坐标为， ∴，． 代入多项式得． 故选：A． 7. 下列说法正确的是（　　） A. 如果一个正多边形的边数增加1，内角和与外角和均增加 B. 分式与的最简公分母是 C. 当分式值为0时， D. 三角形的外角可能小于它的内角 【答案】D 【解析】 【详解】解：对于选项A，任意多边形的外角和恒为，不随边数增加而改变，故A错误； 对于选项B，与的分母分别为和，最简公分母取系数最小公倍数，相同字母取最高次幂，可得最简公分母为，故B错误； 对于选项C，分式值为需满足分子为且分母不为，则得，当时，分母，分式无意义，仅时分式值为，故C错误； 对于选项D，钝角三角形中，钝角的外角是锐角，锐角小于原钝角，因此三角形的外角可能小于它的内角，故D正确． 8. 若多项式可以用完全平方公式分解因式，则m的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式与因式分解，多项式可以用完全平方公式分解因式，则可以写成的形式，由此可解． 【详解】解：， ∵多项式可以用完全平方公式分解因式， ∴， 故选：D． 9. 如图，在中，、分别是、边的中点，、两点在对角线上，且，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. 与互相平分 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质．连接交于，证明进而证明四边形是平行四边形，即可判断C选项，根据全等三角形的性质即判断B，D选项，即可求解． 【详解】解：连接交于点， 在平行四边形中 ∴，， ∴， 、分别是、边的中点， ， 又， ， ∴， ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴， 又∵ ∴ ∴与互相平分，故C正确 ∵ ，，，故B、D正确， 没有条件证明，故A不正确， 故选：A． 10. 如图，在中，，为的中点，直角绕点旋转，它的两条边分别交，的延长线于点，，连接，当，时，的长为（ ） A. 10 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先连接，利用证明，根据全等三角形的性质可知，，根据勾股定理可得． 【详解】解：如下图所示，连接， 在中，，为的中点， ，，， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ， ， 在中，． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 注意事项： 1.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 2.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 二、填空题:（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 若分式有意义，则x应满足的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】由题意得：， 解得：， 故答案为：． 12. 分解因式：a2﹣4b2=_____． 【答案】（a+2b）（a﹣2b） 【解析】 【详解】首先把4b2写成（2b）2，再直接利用平方差公式进行分解即可． 解：a2－4b2=a2-（2b）2=（a+2b）（a－2b）， 故答案为（a+2b）（a－2b）． 13. 如图，将沿方向平移到的位置，若，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．利用平移的性质得到，再用即可求解． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 关于的分式方程有增根，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，掌握求解的方法是关键； 分式方程去分母化为整式方程，然后根据分式方程有增根（即分式方程的分母为0）求出x，再代入整式方程求解即可． 【详解】解：去分母，得， ∵方程有增根， ∴，即， 把代入上述整式方程得：； 故答案为：． 15. 如图，在▱ABCD中，点E是对角线AC上一点，过点E作AC的垂线，交边AD于点P，交边BC于点Q，连接PC、AQ，若AC＝6，PQ＝4，则PC＋AQ的最小值为________________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平行四边形的知识，将的最小值转化为的最小值，再利用勾股定理求出MC的长度，即可求解； 【详解】过点A作且，连接MP， ∴四边形是平行四边形， ∴， 将的最小值转化为的最小值，当M、P、C三点共线时，的最小， ∵，， ∴， 在中，； 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，勾股定理，准确计算是解题的关键． 三、解答题:（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，完全平方公式，解题的关键是掌握因式分解的方法． （1）利用提公因式法进行因式分解即可； （2）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：，然后再从1，2，3中选一个你喜欢的数，求式子的值． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后根据分式有意义的条件，将代入求解． 【详解】解： ， ∵， ∴当时，原式 【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 检验：当时，， 是原方程的解； 【小问2详解】 解：， ， ，即， 检验：当时， ， 是原方程的解． 19. 如图，点、在上，且，，，连接、．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】证明，得，，则，再由平行四边形的判定定理即可得出结论． 【详解】略 20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出将向左平移4个单位后得到的图形； （2）画出将绕点C按逆时针方向旋转后得到的图形； （3）若在平面内有一点D，当以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出所有符合条件的点D的坐标． 【答案】（1） 解∶如图， 即为所求； （2） 解：如图，即为所求， （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据平移规则，确定的位置，再进行连线即可得到； （2）根据旋转的性质画出即可； （3）分①以，为对角线，②以，为对角线，③以，为对角线，三种情况讨论，然后利用平行四边形的性质，中点坐标公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设， ①以，为对角线， 则，解得， ∴； ②以，为对角线， 则，解得， ∴； ③以，为对角线， 则，解得， ∴ 综上，D的坐标为或或． 21. 如图，将绕点A逆时针旋转一个角度，得到，点B的对应点D恰好落在边上．且点A、B、E在同一条直线上． （1）求证：平分； （2）与交于点O，，求旋转角α的度数． 【答案】（1） 证明：如图： 由旋转得：，， ， ， 平分； （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）根据旋转的性质可得：，，然后利用等边对等角可得，从而可得，即可解答； （2）设与交于点，根据旋转的性质可得：，，，再根据垂直定义可得，从而可得，然后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再根据三角形的外角性质可得，从而可得，最后进行计算即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，设与交于点， 由旋转得：，，， ∵， ， ， ， 是的一个外角， ， ， 解得：， 旋转角的度数为． 22. 今年4月23日是第29个世界读书日．育才中学举办了“阅读伴成长，书香满校园”主题活动．学校图书馆准备订购一批鲁迅文集（套）和四大名著（套）． （1）采购员从市场上了解到四大名著（套）的单价比鲁迅文集（套）的单价贵25元．花费3000元购买鲁迅文集（套）的数量与花费4500元购买四大名著（套）的数量相同．求鲁迅文集（套）和四大名著（套）的单价各是多少元？ （2）若该校图书馆计划购买鲁迅文集和四大名著共30套，其中四大名著（套）的购买数量比鲁迅文集（套）的购买数量至少多4套，并且总费用不超过1960元，问该校图书馆有哪几种购买方案？ 【答案】（1）鲁迅文集（套）的单价是50元，四大名著（套）的单价是75元 （2）该校图书馆有两种购买方案：①购买鲁迅文集12套，四大名著18套；②购买鲁迅文集13套，四大名著17套 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设鲁迅文集（套）的单价为元，则四大名著（套）的单价是元，由题意：花费3000元购买鲁迅文集（套）的数量与花费4500元购买四大名著（套的数量相同．列出分式方程，解方程即可； （2）设购买鲁迅文集套，由题意：购买鲁迅文集和四大名著共30套（两类图书都要买），总费用不超过570元，四大名著（套）的购买数量比鲁迅文集（套）的购买数量至少多4套，列出一元一次不等式组，求出正整数解，即可得出答案． 【小问1详解】 解：设鲁迅文集（套）的单价为x元，则四大名著（套）的单价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是方程的解，且符合题意， ∴， 答：鲁迅文集（套）的单价是50元，四大名著（套）的单价是75元； 【小问2详解】 解：设购买鲁迅文集套，则购买四大名著套， 由题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴或13， 故该该校图书馆有两种购买方案：①购买鲁迅文集12套，四大名著18套；②购买鲁迅文集13套，四大名著17套． 23. 【阅读材料】 我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们通常在保证原式值不变的情况下，通过添加或拆分一项的方法，使其成为完全平方式，然后进行因式分解． 例如：（此处可看作在原式上添加“”，也可看作将3拆分为“”）． 【解决问题】 （1）用配方法将分解因式； （2）用配方法将分解因式； （3）已知分别为等腰三角形的腰和底，且满足，求该等腰三角形的周长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，掌握配方法是解题的关键． （1）把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （3）根据题意可得，则，据此根据非负数的性质求出a、b的值，再根据等腰三角形的定义和构成三角形的条件求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ， ， ∴ ， 若该等腰三角形的三边长为2，1，1， ∵，不满足三角形的三边关系， ∴不能构成三角形，舍去； 若该等腰三角形的三边长为2，2，1， ∵， ∴可构成三角形， ∴此时等腰三角形的周长为． 24. 如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“幸福分式”，常数k称为“幸福值”．如分式，，，则M与N互为“幸福分式”，“幸福值”． （1）已知分式，，判断A与B是否互为“幸福分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“幸福值”k； （2）已知分式，，C与D互为“幸福分式”，且“幸福值”， ①求_____（用含x的式子表示）； ②若x为正整数，且分式D的值为正整数，求x的值； （3）若分式，（b，c为整数且），E是F的“幸福分式”，且“幸福值”，求a的值． 【答案】（1）A与B是互为“幸福分式”，“幸福值”k为2 （2）①；② （3）的值为4或16 【解析】 【分析】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，理解新定义是解本题的关键． （1）先计算，再求出结果即可； （2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案；②由的值为正整数，x为正整数，可得或或或，从而可得答案； （3）计算，整理得：，确定，根据题意求解即可． 【小问1详解】 解：A与B是互为“幸福分式”，理由如下： 分式，， ∴， ∴A与B是互为“幸福分式”，“幸福值”k为2； 【小问2详解】 解：①∵，且“幸福值”， ∴， ∴； ② ∵分式D的值为正整数， ∴是的约数，即或或或 解得：或0或或； ∵x为正整数， ∴． 【小问3详解】 解：E是F的“幸福分式”， ∴， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴c，b为整数， ∴一定是5的约数， ∴或或1或5， 解得：或0或6或10， ∴或4或10或6， ∴或4或16或16， 即a的值为4或16． 25. 阅读： 材料一：含角的直角三角形，角所对的直角边等于斜边的一半； 材料二：连接三角形两条边的中点，形成的线段是三角形的中位线，三角形的中位线具有以下性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 完成以下问题：在中，，点是边上的一点． （1）已知，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． ①如图1，与是否全等？ （填“是”或“否”），若，则 ； ②如图2，以为边在其右侧作，交边于点，若，，求的长； （2）如图3，点是边的中点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点是边上一点，连接，满足，已知，，求的长． 【答案】（1）①是，；② （2） 【解析】 【分析】（1）①利用旋转的性质得到，，结合，，即可证明；再根据，得出，进而求出的值；②通过旋转构造全等三角形，将与已知线段建立联系，设，则，，利用勾股定理建立方程，求解即可； （2）先证明（构造辅助线），得到，利用勾股定理求出长度，利用三角形的中位线得到，由线段间的和差倍分关系即可求出的长度． 【小问1详解】 解：①，， ， ，， 即 在与中，， ； ， 在中，，， ， ； ②将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，作如图所示 由①可知， ，， ， 在与中， ， ∴ ，， ， 令，则，， ， 在中，，， ， 在，中，， 即，解得 ． 【小问2详解】 解：取中点，连接，作交延长线于点，如图所示， 是边的中点， 是的中位线， ， ， 即 ， ， 在与中，， ， 在中 ， ， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期中 八年级数学参考样题 本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷共2页，满分为40分；第Ⅱ卷共4页，满分为110分．本试题共6页，满分为150分．考试时间为120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的考点、姓名、准考证号、座号填写在答题卡上和试卷规定的位置上．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第I卷（选择题 共40分） 注意事项：第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 交通标志是实施交通管理，保证道路交通安全、顺畅的重要措施．以下交通标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在四边形中，对角线相交于点O，请添加一组条件，使四边形是平行四边形，以下添加条件不正确的是（　） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标是（　　） A. B. C. D. 6. 已知点关于x轴的对称点为，则多项式可因式分解为（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（　　） A. 如果一个正多边形的边数增加1，内角和与外角和均增加 B. 分式与的最简公分母是 C. 当分式值为0时， D. 三角形的外角可能小于它的内角 8. 若多项式可以用完全平方公式分解因式，则m的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 9. 如图，在中，、分别是、边的中点，、两点在对角线上，且，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. 与互相平分 D. 10. 如图，在中，，为的中点，直角绕点旋转，它的两条边分别交，的延长线于点，，连接，当，时，的长为（ ） A. 10 B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 注意事项： 1.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 2.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 二、填空题:（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 若分式有意义，则x应满足的条件是______． 12. 分解因式：a2﹣4b2=_____． 13. 如图，将沿方向平移到的位置，若，则的长为__________． 14. 关于的分式方程有增根，则的值是___________． 15. 如图，在▱ABCD中，点E是对角线AC上一点，过点E作AC的垂线，交边AD于点P，交边BC于点Q，连接PC、AQ，若AC＝6，PQ＝4，则PC＋AQ的最小值为________________． 三、解答题:（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 因式分解： （1） （2） 17. 先化简，再求值：，然后再从1，2，3中选一个你喜欢的数，求式子的值． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 如图，点、在上，且，，，连接、．求证：四边形是平行四边形． 20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出将向左平移4个单位后得到的图形； （2）画出将绕点C按逆时针方向旋转后得到的图形； （3）若在平面内有一点D，当以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出所有符合条件的点D的坐标． 21. 如图，将绕点A逆时针旋转一个角度，得到，点B的对应点D恰好落在边上．且点A、B、E在同一条直线上． （1）求证：平分； （2）与交于点O，，求旋转角α的度数． 22. 今年4月23日是第29个世界读书日．育才中学举办了“阅读伴成长，书香满校园”主题活动．学校图书馆准备订购一批鲁迅文集（套）和四大名著（套）． （1）采购员从市场上了解到四大名著（套）的单价比鲁迅文集（套）的单价贵25元．花费3000元购买鲁迅文集（套）的数量与花费4500元购买四大名著（套）的数量相同．求鲁迅文集（套）和四大名著（套）的单价各是多少元？ （2）若该校图书馆计划购买鲁迅文集和四大名著共30套，其中四大名著（套）的购买数量比鲁迅文集（套）的购买数量至少多4套，并且总费用不超过1960元，问该校图书馆有哪几种购买方案？ 23. 【阅读材料】 我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们通常在保证原式值不变的情况下，通过添加或拆分一项的方法，使其成为完全平方式，然后进行因式分解． 例如：（此处可看作在原式上添加“”，也可看作将3拆分为“”）． 【解决问题】 （1）用配方法将分解因式； （2）用配方法将分解因式； （3）已知分别为等腰三角形的腰和底，且满足，求该等腰三角形的周长． 24. 如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“幸福分式”，常数k称为“幸福值”．如分式，，，则M与N互为“幸福分式”，“幸福值”． （1）已知分式，，判断A与B是否互为“幸福分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“幸福值”k； （2）已知分式，，C与D互为“幸福分式”，且“幸福值”， ①求_____（用含x的式子表示）； ②若x为正整数，且分式D的值为正整数，求x的值； （3）若分式，（b，c为整数且），E是F的“幸福分式”，且“幸福值”，求a的值． 25. 阅读： 材料一：含角的直角三角形，角所对的直角边等于斜边的一半； 材料二：连接三角形两条边的中点，形成的线段是三角形的中位线，三角形的中位线具有以下性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 完成以下问题：在中，，点是边上的一点． （1）已知，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． ①如图1，与是否全等？ （填“是”或“否”），若，则 ； ②如图2，以为边在其右侧作，交边于点，若，，求的长； （2）如图3，点是边的中点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点是边上一点，连接，满足，已知，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $