精品解析：北京市陈经纶中学2025-2026学年中考数学模拟试卷

2025-2026学年初三数学模拟试卷 2026.4 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】A.是轴对称图形不是中心对称图形，符合题意， B.是轴对称图形也是中心对称图形，不符合题意， C.是中心对称图形不是轴对称图形，不符合题意， D. 是轴对称图形也是中心对称图形，不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查轴对称图形与中心对称图形，正确地识别是解题的关键． 2. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图可知，据此逐一分析各选项即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴，故选项 A 错误； ∵，，故选项 B 错误； ∵， ∴． 又 ∵，，故选项 C 正确； ∵，， 又 ∵，，故选项 D 错误． 3. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. 36 B. 9或 C. D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式， 根据一元二次方程根的判别式可知，求出解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 故选：D． 4. 目前，中国国产GPU的运算性能在国际上已经具备较强的竞争力．某型号国产GPU的运算能力高达320 TFlops，TFlops是衡量计算机性能的一个重要单位，．将这种型号国产GPU的运算能力表示为，则m的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法，根据可得，再写成的形式即可，其中． 【详解】解：， 故选B． 5. 若一个正多边形的每一个内角都是，则该正多边形的内角和的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出正多边形的一个外角的度数，再根据正多边形外角和的性质，求出正多边形的边数，即可得出答案． 【详解】． ∴该正多边形的内角和的度数为． 6. 围棋起源于中国，有着悠久的历史和丰富的文化内涵．在一个不透明的袋子中放入除颜色外完全相同的4个围棋棋子，其中黑子2个，白子2个，从袋子中随机摸出2个棋子，则摸出的两个棋子中至少有1个是白子的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率． 【详解】解：列表如下： 黑 黑 白 白 黑 （黑，黑） （白，黑） （白，黑） 黑 （黑，黑） （白，黑） （白，黑） 白 （黑，白） （黑，白） （白，白） 白 （黑，白） （黑，白） （白，白） 由表知，共有12种等可能结果，其中摸出的两个棋子中至少有1个是白子的有10种结果， 所以摸出的两个棋子中至少有1个是白子的概率为． 故选：A． 7. 如图，在中，分别以点B和C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接，直线交于点E，连接，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于P，Q，再分别以P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点F，连接并延长，交于点G，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，是的平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，进而得到，根据角平分线的定义可得，根据，得出，结合，得出，最后利用三角形外角性质求解即可 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴， ， 由作图过程可知，是的平分线， ∴， ， ， 在中，， ， ， ， 是的外角， ∴． 8. 已知：如图，在平面直角坐标系中，有菱形，点A的坐标为，对角线相交于点D，双曲线经过点D，交的延长线于点E，且，有下列四个结论： ①双曲线的解析式为； ②点C的坐标是； ③； ④． 其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】过作轴于点，由菱形的面积可求得，在中，可求得，过作轴于点，由菱形的性质可求得点坐标，则可求得双曲线解析式；过作轴于点，则，可求得，可求得点坐标和；在中，由勾股定理可求得，结合条件可求得，则可求得，可得出答案． 【详解】如图，过作轴于点，过作轴于点，过作轴于点， ， ， ，即， ， 在中，，，由勾股定理可得， ， 四边形为菱形， 为中点， ，， ， 双曲线过点， ，解得， 双曲线解析式为， 故①正确； 又由上可知四边形为矩形， ， ，且， ， 故②正确； 在中，，， ， 故③正确； 在中，，， ， ， ， ， 故④不正确； 综上可知正确的为①②③共三个． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题 9. 若代数式有意义，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，根据分式有意义的条件可得，从而可得答案． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，熟练掌握分解因式的方法，是解题的关键．先提公因式2，然后用平方差公式，分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 11. 用一组a，b的值说明命题“若非零实数，则”是错误的，这组值可以是_____， _____． 【答案】 ①. ②. 1 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．通过a取，b取可说明命题“若，则”是错误的． 【详解】解：当，时，，，而， ∴命题“若，则”是错误的 故答案为：；1．（答案不唯一） 12. 方程的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】将分式方程去分母转化为一元一次方程，求解后进行检验即可得到原方程的解． 【详解】解：， 去分母，两边同乘最简公分母，得 ， 去括号，得 ， 移项，合并同类项，得 ， 系数化为，得 ， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 13. 在平面直角坐标系中，点和都在反比例函数的图象上，当时，都有，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数图象的特征是解题的关键．由反比例函数的图象只能在第一、三象限或二、四象限，结合当时，有， 则函数图象在第二、四象限，得，求解即可． 【详解】解：∵点，都在反比例函数的图象上， ∴当时，两点只能在第一、三象限或二、四象限， 又∵当时，有， ∴函数图象在第二、四象限， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 某校组织全校学生参加主题为“百年五四与当代科技”的知识竞赛．为了解学生的竞赛情况，从中随机抽取了100名学生的成绩（百分制），数据整理如下： 成绩 人数 10 15 25 30 20 根据以上数据，估计全校1000名学生中成绩不低于80分的人数为______人． 【答案】750 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，由样本数据可以估计总体． 用全校的学生总数乘以样本中80分以上的比例即可得到答案． 【详解】解：由题意得，（人）， 故答案为：750． 15. 如图，在正方形中，点E在上，连接交对角线于点F，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由正方形的性质和勾股定理求出的长，证明求出，即可得到． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 16. 某生态农场有三项任务需要完成，如表： 任务 每轮任务耗时（小时） 需完成轮数 每轮需要工人数 A．有机肥料运输 1.5 2 3 B．智能类型系统调试 2 1 1 C．温室环境监测 0.8 3 2 不同任务切换需0.2小时准备时间，相同任务的不同轮次可以同时进行，且每轮任务一旦开始不能中途停止；农场现有3名工人，请回答下列问题： （1）若严格遵循任务限制，这3名工人完成全部三项任务的最短用时为______小时； （2）若要在4小时内完成全部三项任务，最少需要增派______名工人． 【答案】（1）5.6 （2）2 【解析】 【分析】（1）现有3名工人，枚举不同任务安排，计算总用时得到最短时间； （2）验证不同增派人数下能否在4小时内完成任务，得到结果． 【详解】解：（1）方案1：先完成任务，再同时完成和任务； 任务每轮耗时小时，需完成2轮，每轮需要3名工人，任务总耗时为小时， 从切换到后续任务仅需1次准备时间，准备时间为小时， 任务总耗时小时，需要1名工人；任务共3轮，每轮需要2名工人，每轮耗时小时，总耗时小时；3名工人可安排1人做，2人做，同时进行，总耗时以较长的为准，即小时. 总用时为 小时； 方案2：先完成和任务，再完成任务；和同时进行总耗时小时，切换准备时间小时，任务总耗时小时，总用时为 小时； 方案3：穿插安排任务，两轮分开，总用时为 小时，大于小时； ∴3名工人完成全部任务的最短用时为小时； （2）现有3名工人，设增派名工人，总工人数量为，验证得： 当增派1名工人时，即当时，总工人4名，最优安排下总用时大于4小时，无法满足要求； 当增派2名工人时，即当时，总工人为5名，可采用如下调度方案： 0小时：3名工人开始任务（两轮依次进行），1名工人开始任务，另1名工人空闲； 2.0小时：任务完成，完成的工人与空闲的工人共2人准备切换至任务 2.2小时：2名工人开始任务的第1轮， 3.0小时：任务完成，任务的第1轮也完成（），此时5名工人均空闲， 3.0小时后：原完成第1轮的2名工人可直接开始第2轮；原完成的3名工人经小时切换后，其中2名可于小时开始的第3轮，任务的第2轮于小时完成，任务的第3轮于小时完成，全部任务完成的最早时间为小时， 故最少需要增派2名工人． 三、解答题 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据负整数指数幂、二次根式的性质、零指数幂、特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】解： ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可， 【详解】解：， 解不等式①得：，即， 解不等式②得：，即， ∴不等式组的解集为：． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】6 【解析】 【分析】对于括号内的分式减法，先通分，将其化为同分母分式再计算，用到分式加减法法则．把除法运算转化为乘法运算，用到分式除法法则，即除以一个分式等于乘以它的倒数．对化简后的式子进行因式分解，再约分，用到因式分解的方法．对进行变形，代入化简后的式子计算． 【详解】解： ∵， ∴， 代入化简结果：． 20. 如图，点在的对角线的延长线上，，于点，交的延长线于点，连接． （1）求证: 四边形是菱形； （2）若 求菱形的面积． 【答案】（1）证明：，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）32 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得出，再证和全等，得出，于是根据对角线相等的四边形是平行四边形推出四边形是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得出四边形是菱形； （2）分别求出、的长，即可得出对角线、的长，根据菱形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得，， ， ， 即， ， 四边形是菱形， ，， 菱形的面积． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，锐角三角函数，菱形的面积等，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 21. 中国结是中国传统手工编织工艺品，由一根绳线绾结而成，造型对称精致．它承载吉祥寓意，象征团圆、平安与福寿，是中华民俗文化与美好祈愿的象征．如图，有一个中国结挂件，它是由挂绳、主体结体、圆盘、小流苏、细流苏和宽流苏组成．其中挂绳的长度、主体结体的长度与细流苏的长度比是，圆盘周长为，小流苏的长度是细流苏的长度的，宽流苏比小流苏长，宽流苏的长度是圆盘的直径的倍．求这个挂件的总长． 【答案】 【解析】 【分析】根据题干信息，求出各部分的长度，最终可得出挂件的总长． 【详解】解：圆盘直径为， 宽流苏长度为， 小流苏长度为， 细流苏长度为， ∴挂绳的长度为，主体结体的长度为， ∴总长为． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，，与x轴交于点A． （1）求该一次函数的表达式及点A的坐标； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由两点坐标待定系数法求得一次函数解析式，再令即可求得点横坐标； （2）根据题意列出不等式，再求出使不等式成立时的取值范围即可； 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象经过点，， ∴， 解得 ， ∴该一次函数的表达式为， 令，得， ∴； 【小问2详解】 解：由题意得：当时，， 化简得：， ∵时，不等式要一直成立， ∴要小于的最小值， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数和不等式的关系，掌握不等式的解集范围是解题关键． 23. 在人工智能时代，软件迅猛发展，某团队测评了A、B、C三款软件，本次测评由软件性能评分（满分100分）和软件使用体验评分（满分100分）两个部分构成．其中A、B、C三款软件的软件性能评分分别为85分，82分，90分．软件使用体验评分由10位专业测试员对软件分别打分，打分之和为该款软件使用体验评分，以下是A、B、C三款软件的软件使用体验评分的部分数据信息： A、B、C三款软件的软件使用体验打分情况统计表 软件名称 中位数 方差 软件使用体验评分 A 8.5 p a B 8.5 q 87 C m 2.01 83 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m，a的值； （2）通过分析，可以发现专业测试员对________款软件的软件使用体验评分评价更一致（填写A、B或C）； （3）按照软件性能评分占，软件使用体验评分占来计算综合成绩，综合成绩较高的软件排序靠前，若综合成绩一致，则软件使用体验评分较高的软件排序靠前，则这三款软件中排序由前到后依次是_________． 【答案】（1）， （2）B （3）C，B，A 【解析】 【分析】（1）由折线图得到A款软件得分，求和即可求出a的值．根据扇形图求出C款软件打分情况，根据中位数的定义即可求出m的值； （2）根据方差的计算公式求出A，B两款软件的方差，比较方差即可解答； （3）根据加权平均数的计算公式求出这三款软件的综合成绩，根据排序规则即可解答． 【小问1详解】 解：由折线图可得，A款软件得分为7，10，10，7，9，9，8，9，10，6， 使用体验评分为， 即． 由扇形图可得，C款软件打分中，6分有（个）；8分有（个）；9分有（个）；10分有（个）； 中位数是第5个，第6个数据的平均数即（分）， 即． 【小问2详解】 解：A款软件得分的平均数为， 方差； B款软件得分的平均数为， 方差． ∵C款软件得分的方差为，而 ∴可以发现专业测试员对B款软件的软件使用体验评分评价更一致． 【小问3详解】 解：A款软件综合成绩为：（分）， B款软件综合成绩为：（分）， C款软件综合成绩为：（分）， 所以C款软件综合成绩最高，A款和B款软件综合成绩相同， 又B款软件使用体验评分比A款软件高， 故这三款软件中排序由前到后依次是C，B，A． 24. 已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作 ⊙O的切线，交OD 的延长线于点E，连结BE． （1）求证：BE与⊙O相切； （2）连结AD并延长交BE于点F，若OB=9，，求BF的长． 【答案】（1）连接OC， ∵OD⊥BC，∴OC=OB，CD=BD（垂径定理）． ∴△CDO≌△BDO（HL）．∴∠COD=∠BOD． 在△OCE和△OBE中， ∵OC=OB，∠COE=∠BOE，OE=OE， ∴△OCE≌△OBE（SAS）．∴∠OBE=∠OCE=90°，即OB⊥BE．∴BE与⊙O相切． （2）FB= 【解析】 【分析】（1）连接OC，先证明△OCE≌△OBE，得出EB⊥OB，从而可证得结论． （2）过点D作DH⊥AB，根据解直角三角形的知识可求出OD=6，OH=4，HB=5，然后由△ADH∽△AFB，利用相似三角形的性质得出比例式即可解出BF的长． 【详解】（1）略 （2）过点D作DH⊥AB， ∵OD⊥BC，∴△ODH∽△OBD，∴． 又∵，OB=9，∴OD=6． ∴OH=4，HB=5，DH=2． 又∵△ADH∽△AFB，∴，即，解得FB=． 垂径定理，全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义． 25. 某食品厂研究两种天然防腐剂（添加剂A和添加剂B）对面包保质期的影响．添加剂A的效果在一定浓度范围内随浓度增加而提高，但超过最佳浓度后，由于副作用等原因，保质期反而下降．添加剂B的作用机理不同，通过实验发现，在测试浓度范围内，其保质期与浓度之间近似满足稳定的线性增长关系：．在固定工艺下，改变添加剂的添加浓度（单位：），测得面包的保质期（单位：天）数据如下： 添加剂浓度 保质期（天） （1）以添加剂浓度为横坐标，保质期为纵坐标，在下面给定的平面直角坐标系中，分别画出，的图象； （2）若要求面包保质期至少为天，且希望使用添加剂的浓度尽可能低，则选择添加剂__________（或）． 当添加剂浓度相同时，添加剂的保质期至少比添加剂的保质期多天，则浓度的取值范围是__________． （3）工厂分析发现，面包，每增加添加剂，成本增加元；若面包从生产到售出的时间为天，当保质期不足天时，每减少天会造成元的损失．当添加剂浓度为时，面包的额外成本（添加剂成本与损失之和）为__________元． 【答案】（1） 画图如下： （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据表格数据和函数解析式画图即可． （2）根据题意，当时，，当时，，根据图象可得，当时，，即可求解． （3）根据“额外成本添加剂成本损失”求解即可． 【小问1详解】 解：，的图象如图． 令，则，令，则，则过， 【小问2详解】 解：对添加剂A，根据图象可得​在时，，即可达到； 对添加剂，令，解得， ∴满足要求的浓度更低，选添加剂． 根据题意， 当时，， 当时，， 根据图象可得，当时，， ∴的范围是． 【小问3详解】 解：根据题意可得：额外成本添加剂成本损失， 添加剂成本：浓度，每增加元， ∴成本为元； 损失：当添加剂A浓度为时，保质期天， 比要求的7天少天，损失元； 总额外成本：元． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）________（用含b的式子表示）； （2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求b的取值范围． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）将代入抛物线解析式，即可获得答案； （2）①结合题意，分别确定点、的坐标，即可获得答案； ②首先确定，再分和两种情况分析求解即可． 【小问1详解】 解：将代入抛物线解析式， 得，即； 【小问2详解】 解：①若，则该抛物线及直线解析分别为，， 当时，有点，如图， ， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ； ②将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ， 若，即点在轴右侧，如图， 要使点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大， 则点的纵坐标小于点的纵坐标， ， 对称轴为直线， 可得， 解得， ； 若， 令， 解得，， 故当时，抛物线与直线的交点在轴右侧或轴上，如图， 此时点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大恒成立； 若，抛物线与直线的交点在轴左侧和轴上，如图， 要使点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大， 则点的纵坐标小于点的纵坐标， ， 对称轴为直线， 可得， 解得，不成立， 综上，或． 27. 在中，，，点D是中点，点E是线段上一点，以点A为中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，当点E与点D重合时，线段，交于点G，求证：点G是的中点； （2）如图2，当点E在线段上时（不与点B，D重合），若点H是的中点，作射线交于点M，补全图形，直接写出的大小，并证明． 【答案】（1） 证明：∵，点D是中点， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴点G是的中点． （2） 依题意补全图形． ． 证明：连接，截取，连接交于N． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴于N． ∵点D是中点， ∴， ∴． ∵点H是的中点， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论； （2）依题意补全图形．连接，截取，连接交于N．根据证明得，，证明得，由三角形中位线可证，进而可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质和相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，存在圆心为，半径为的，点为上的任意一点，线段绕点逆时针旋转得到线段，如果点在线段上，那么称点为的“限距点”． （1）当的半径为时， ①在点，，中，的“限距点”为______； ②如果直线上存在一条长度为的线段，使得该线段上任意一点均为的“限距点”，求的取值范围； （2）的圆心为，半径为，如果上不存在的“限距点”，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①与；②或 （2）或或 【解析】 【分析】（1）①将点绕点逆时针旋转得到点，连接、、、、、，容易证明，则为定值，则点在以点为圆心，为半径的圆上，因此点的所在区域是由和分割成的两个不规则图形，观察点、、是否在区域内即可； ②分类讨论，先研究的情况，直线若与左边区域相交，则与相切时，刚好满足要求；直线若与右边区域相交，过点时也恰好符合，设直线交于点、，计算时，的值，结合图形求出的取值范围．当时，利用对称性得出结论，再把两个结果合并起来； （2）根据题意与阴影区域无公共点，分类讨论，当时，分别计算与内切和外切的情况，利用圆心距等于半径之和或之差求出的值，结合图形判断的范围；当时，容易判断此时与无公共点，符合题意，从而得出最终结果． 【小问1详解】 解：①由题意可知，，则， 当时，如图，将点绕点逆时针旋转得到点，连接、、、、、， 由旋转的性质可知，，，， ∴和都是等腰直角三角形，点的坐标为， ∴， ∴，即， 在直角中，， 同理， ∴， ∴， ∴， ∴为定值， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， 如图， ∵点在线段上， ∴点在图中阴影部分， 由图可知，点不在阴影部分内，故不是的“限距点”； ∵，， ∴点，都在上， ∴点与点是的“限距点”； 当时，由对称性可知，点在如图所示的阴影部分中， 由图可知，此时点也不是的“限距点”； 综上所述，点与点是的“限距点”； ②当时，设直线交轴于点，交轴于点， （ⅰ）当直线与左边的阴影区域相交时，如图，设直线交于点、， 当时， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 将，，分别代入，计算得点，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，即轴，此时点在轴上， ∴点的坐标为，点的坐标为，此时线段上的点都是的“限距点”，符合题意， 将代入，得， 由图可知，此时无论直线向上平移还是向下平移，直线上都不存在长为的线段落在左边的阴影区域， ∴； （ⅱ）当直线与右边的阴影区域相交时，设直线交于点、， 当直线过点时，如图， 将点代入，得， ∵的半径为， ∴，此时线段都在阴影部分， ∴线段上的点都是的“限距点”，符合题意； 由图可知，若直线继续向上平移，则直线上不存在长为的线段落在右边的阴影区域， ∴； 当时，如图，作于点，过点作轴，交直线于点， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在直角中，， ∵轴， ∴， 在直角中，， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∴， 由图可知，若直线继续向下平移，则直线上不存在长为的线段落在右边的阴影区域， ∴， ∴或； 当时，由对称性可知，的取值范围为或； 综上所述，的取值范围为或； 【小问2详解】 解：由题意可知，与对应的阴影区域无交点， ①当，且与内切时，如图，设切点为， 同理（1）可知，点的坐标为，的半径为， 由勾股定理可得，， 又∵， ∴， 解得， ∴当时，会包含在空白区域，符合题意； ②当，且与外切时，如图，设切点为， 此时， ∴， 解得， ∴当时，与阴影区域无公共点，符合题意； ③当时， 此时点的坐标为，的半径为， ∵， ∴， ∴与阴影区域无公共点，符合题意； 综上所述，的取值范围为或或． 【点睛】本题是圆的综合题，考查新定义，相似三角形的判定与性质，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，灵活运用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年初三数学模拟试卷 2026.4 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. 36 B. 9或 C. D. 9 4. 目前，中国国产GPU的运算性能在国际上已经具备较强的竞争力．某型号国产GPU的运算能力高达320 TFlops，TFlops是衡量计算机性能的一个重要单位，．将这种型号国产GPU的运算能力表示为，则m的值为（ ） A. B. C. D. 5. 若一个正多边形的每一个内角都是，则该正多边形的内角和的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 围棋起源于中国，有着悠久的历史和丰富的文化内涵．在一个不透明的袋子中放入除颜色外完全相同的4个围棋棋子，其中黑子2个，白子2个，从袋子中随机摸出2个棋子，则摸出的两个棋子中至少有1个是白子的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，分别以点B和C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接，直线交于点E，连接，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于P，Q，再分别以P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点F，连接并延长，交于点G，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 8. 已知：如图，在平面直角坐标系中，有菱形，点A的坐标为，对角线相交于点D，双曲线经过点D，交的延长线于点E，且，有下列四个结论： ①双曲线的解析式为； ②点C的坐标是； ③； ④． 其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题 9. 若代数式有意义，则实数的取值范围是__________． 10. 分解因式：______． 11. 用一组a，b的值说明命题“若非零实数，则”是错误的，这组值可以是_____， _____． 12. 方程的解为________． 13. 在平面直角坐标系中，点和都在反比例函数的图象上，当时，都有，则的取值范围为___________． 14. 某校组织全校学生参加主题为“百年五四与当代科技”的知识竞赛．为了解学生的竞赛情况，从中随机抽取了100名学生的成绩（百分制），数据整理如下： 成绩 人数 10 15 25 30 20 根据以上数据，估计全校1000名学生中成绩不低于80分的人数为______人． 15. 如图，在正方形中，点E在上，连接交对角线于点F，若，则________． 16. 某生态农场有三项任务需要完成，如表： 任务 每轮任务耗时（小时） 需完成轮数 每轮需要工人数 A．有机肥料运输 1.5 2 3 B．智能类型系统调试 2 1 1 C．温室环境监测 0.8 3 2 不同任务切换需0.2小时准备时间，相同任务的不同轮次可以同时进行，且每轮任务一旦开始不能中途停止；农场现有3名工人，请回答下列问题： （1）若严格遵循任务限制，这3名工人完成全部三项任务的最短用时为______小时； （2）若要在4小时内完成全部三项任务，最少需要增派______名工人． 三、解答题 17. 计算： 18. 解不等式组：． 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，点在的对角线的延长线上，，于点，交的延长线于点，连接． （1）求证: 四边形是菱形； （2）若 求菱形的面积． 21. 中国结是中国传统手工编织工艺品，由一根绳线绾结而成，造型对称精致．它承载吉祥寓意，象征团圆、平安与福寿，是中华民俗文化与美好祈愿的象征．如图，有一个中国结挂件，它是由挂绳、主体结体、圆盘、小流苏、细流苏和宽流苏组成．其中挂绳的长度、主体结体的长度与细流苏的长度比是，圆盘周长为，小流苏的长度是细流苏的长度的，宽流苏比小流苏长，宽流苏的长度是圆盘的直径的倍．求这个挂件的总长． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，，与x轴交于点A． （1）求该一次函数的表达式及点A的坐标； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 23. 在人工智能时代，软件迅猛发展，某团队测评了A、B、C三款软件，本次测评由软件性能评分（满分100分）和软件使用体验评分（满分100分）两个部分构成．其中A、B、C三款软件的软件性能评分分别为85分，82分，90分．软件使用体验评分由10位专业测试员对软件分别打分，打分之和为该款软件使用体验评分，以下是A、B、C三款软件的软件使用体验评分的部分数据信息： A、B、C三款软件的软件使用体验打分情况统计表 软件名称 中位数 方差 软件使用体验评分 A 8.5 p a B 8.5 q 87 C m 2.01 83 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m，a的值； （2）通过分析，可以发现专业测试员对________款软件的软件使用体验评分评价更一致（填写A、B或C）； （3）按照软件性能评分占，软件使用体验评分占来计算综合成绩，综合成绩较高的软件排序靠前，若综合成绩一致，则软件使用体验评分较高的软件排序靠前，则这三款软件中排序由前到后依次是_________． 24. 已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作 ⊙O的切线，交OD 的延长线于点E，连结BE． （1）求证：BE与⊙O相切； （2）连结AD并延长交BE于点F，若OB=9，，求BF的长． 25. 某食品厂研究两种天然防腐剂（添加剂A和添加剂B）对面包保质期的影响．添加剂A的效果在一定浓度范围内随浓度增加而提高，但超过最佳浓度后，由于副作用等原因，保质期反而下降．添加剂B的作用机理不同，通过实验发现，在测试浓度范围内，其保质期与浓度之间近似满足稳定的线性增长关系：．在固定工艺下，改变添加剂的添加浓度（单位：），测得面包的保质期（单位：天）数据如下： 添加剂浓度 保质期（天） （1）以添加剂浓度为横坐标，保质期为纵坐标，在下面给定的平面直角坐标系中，分别画出，的图象； （2）若要求面包保质期至少为天，且希望使用添加剂的浓度尽可能低，则选择添加剂__________（或）． 当添加剂浓度相同时，添加剂的保质期至少比添加剂的保质期多天，则浓度的取值范围是__________． （3）工厂分析发现，面包，每增加添加剂，成本增加元；若面包从生产到售出的时间为天，当保质期不足天时，每减少天会造成元的损失．当添加剂浓度为时，面包的额外成本（添加剂成本与损失之和）为__________元． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）________（用含b的式子表示）； （2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求b的取值范围． 27. 在中，，，点D是中点，点E是线段上一点，以点A为中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，当点E与点D重合时，线段，交于点G，求证：点G是的中点； （2）如图2，当点E在线段上时（不与点B，D重合），若点H是的中点，作射线交于点M，补全图形，直接写出的大小，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，存在圆心为，半径为的，点为上的任意一点，线段绕点逆时针旋转得到线段，如果点在线段上，那么称点为的“限距点”． （1）当的半径为时， ①在点，，中，的“限距点”为______； ②如果直线上存在一条长度为的线段，使得该线段上任意一点均为的“限距点”，求的取值范围； （2）的圆心为，半径为，如果上不存在的“限距点”，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $