专题16 几何压轴题（3大考点）（全国通用）2026年中考数学一模分类汇编

动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题16几何压轴题 ☆3大考点概览 考点01与三角形有关的压轴题 考点02与四边形有关的压轴题 考点03与圆有关的压轴题 考点01 与三角形有关的压轴题 1.(2026海南省直辖县级单位：一模)问题发现：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕 公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究，如图1，在△ABC 中，∠B=90°，AB=BC=6, E B 图1 图2 图3 图4 (I)探究发现：分别取AB,AC的中点D,E,作△ADE.如图2所示，将△ADE绕点A逆时针旋转，连 接BD,CE.旋转过程中，线段BD和CE的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明； (2)性质应用：如图3，当DE所在直线首次经过点B时，求CE的长： (3)拓展探究：如图4，∠FBC=30°，E是直线BF上一点，以AE为斜边在AE左侧作等腰Rt△ADE, 直接写出线段BD的最小值。 2.(2026重庆.一模)如图，在△ABC中，AB=AC,D为AB边上一点，连接CD, 图1 图2 图3 (I)如图1，若∠BAC=90·，过B作BE⊥CD交其延长线于点E,BD=1,CD=5,求线段BE的长. (②)如图2，若∠BAC=60°，延长CD至点E,连接BE使∠BEC=∠BAC,连接AE,点G为线段CD上 点，连接AG,取AG中点F,连接EF,若BA=2EF,猜想CG与AE之间的数量关系，并证明. 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)如图3，若LBAC=120°，AB=4V13,将CD绕点C逆时针旋转60·得线段CB,连接AB,在直线 AC上取一点P,连接PE,当AE最小时，将△PAE沿PE所在直线翻折到△ABC所在平面内，得 △PQB,连接BQ,CQ,当BQ+CQ最小时，请直接写出△8QB的面积 3.(2026陕西咸阳一模)【问题探究】 C 图1 图2 图3 (I)如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,BC=4,点P是BC边上的动点，连接AP,则AP的 最小值为 (2)如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是BC延长线上一点，AC=2BC=4CD=4,DE⊥AB于 点E,求DE的长： 【问题解决】 (③)如图3，矩形ABCD是某校实践活动基地，现要对该实践活动基地重新扩建规划，首先延长BC至点E, 使得CE=BC,在CD边上找一点F建一口水井，沿EF修一条水渠，再从C向EF修一条小路CM,使得 CM⊥EF于点M,再沿BM、DM分别修小路，在四边形ABMD内种植果树.已知AB=80m,AD=60m ，求种植果树面积的最小值（即四边形ABMD面积的最小值）.（水的大小和水渠、小路的宽度均忽略不 计) 图1 'AB=AC,∠BAC=90°， ·.△ABC是等腰直角三角形， :BC=4, AP最水=专BC=2: 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M C 则S△BDw=BD·MN=50MN, ·只需求出点M到BD的距离MN的最小值， 以CE的中点0为圆心，OC为半径作⊙0， :CM⊥EF,即∠CME=90°， ·点M在CE上方的⊙O上运动 过点O作OG⊥BD于点G,OG交⊙0于点P,连接0N. OM+MNZON2OG=OP+PG, ·当点M移动到点P的位置时，点N与点G重合，此时点M到BD的距离最小，最小值为PG的长. :CE=BC=60m,0是CE的中点， .0P=0C=30m, :0B=BC+0C=60+30=90(m). 在△BG0和△BCD中，∠BGO=∠BCD=90°，∠GBO=∠CBD, ·△BGO△BCD, …品=器，即器=品， ÷G0=72m, ·PG=0G-0P=72-30=42(m), :S四边形ABMD最水=2400+专×100×42=4500(m2), 故种植果树面积的最小值为4500m2, 4.(2026重庆一模)如图，在△ABC中，点D是BC边上一点（不与端点重合），连接AD C D M B B B 图1 图2 图3 (I)如图1，AC=AB,∠CAD=2LBAD,线段AC的垂直平分线NK交AD于点N,连接CN,若 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CD=ND,求∠BAD的度数； (2)如图2，若点D是BC的中点，将线段AD绕点A逆时针旋转至AE,使得∠EAD=∠BAD,连接DE:以 BC为斜边在BC上方作Rt△BCF,且满足∠EAD=2∠BCF,连接EF,交AD的延长线于点G.用等式 表示线段AE、DG、AB的数量关系并证明； (3)如图3，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,点D是BC的中点，点M是直线AB上一动点，连接DM, CM,将DM绕点M顺时针旋转90°得到MH,连接AH,点R是直线CM上一动点，连接AR.在点M的 运动过程中，当AH取得最小值时，在平面内将△AHR沿直线AR翻折得到△AHR,连接DH·在点R的 运动过程中，直接写出器的最大值， 5.(2026河南洛阳·一模)在学习特殊四边形的过程中，同学们积累了一定的研究经验 某班数学兴趣小组尝试定义了一种新的四边形，并结合所学知识对其展开进一步探究 定义：若四边形一边上存在一点，这点与对边两个端点所连线段相等且互相垂直，则称这样的四边形是可 等垂四边形，这个点叫做该四边形的等垂点. 例如：在四边形ABCD中，边AD上存在一点O,使得OB=OC且OB⊥OC,则四边形ABCD是可等垂四 边形，点O为四边形ABCD的等垂点。 根据定义可得出特殊的可等垂四边形的一些性质. 【初步探索】 P D 图1 图2 图3 (I)如图1，矩形ABCD是可等垂四边形，点O是它的等垂点，则AB和AD的数量关系是 【类比探究】 (2)如图2，四边形ABCD是可等垂四边形，且AB‖CD,∠D=90°，点P是它的等垂点. ①四边形ABCD的边AB,CD和AD之间的数量关系是 ②在图2中取BC边的中点Q,并连接QA,QD,则点Q是四边形ABCD的等垂点吗？如果是，请证明； 如果不是，请说明理由（若需使用①中的结论，可直接使用，不必另行证明）. 【拓展应用】 (3)如图3，在Rt△ADP中，AP=2,AD=3,∠DAP=90°，点B,C为Rt△ADP中不同边上的两 点，且点B为所在边的中点，若以A,B,C,D为顶点的四边形是可等垂四边形，请直接写出C,D两点 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 之间的距离。 6.(2026山西.一模)综合与探究 问题情境：在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D是直线BC上的一点，连接AD,将线段AD绕 点A逆时针旋转90·得到线段AE: B B 图1 图2 备用图 观察发现： (I)如图1，当点D是BC的中点时，连接CE,试判断四边形ADCE的形状，并说明理由. 独立思考： (②)如图2，当点D在线段BC上时，连接DE,过点A作AF⊥DE于点F,过点F作FG⊥BC于点G,猜想线 段FG与BD的数量关系，并说明理由. 拓展延伸： (3)连接DB,过点A作AF⊥DE于点F,连接CP.若AB=22,∠FCA=60°，请直接写出线段BD的 长 7.(2026河北秦皇岛一模)综合与实践 【情境】要将任意三角形铁板切割成两个面积相同的三角形铁板，需找到合适的切割线， 【模型】如图1，在△ABC中，作AC边上的中线BD,切割线BD分成的两个三角形△ABD和△BCD的 面积相等. 图1 【操作】(I)请在图1中，用尺规作图作出切割线AE,使S△4BE=S△4cE,切割线AE交BC于点E:交 BD于点P(保留作图痕迹，不写作法) 【探究】(2)结合【操作】的作图，请判断BP与DP的数量关系，说明理由： 【拓展】(3)如图2，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D,点E分别为AC,BC的中点.若AE⊥BD, 垂足为点P,求sinC的值. 【应用】(4)如图3，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D为AC的中点，点E为BC的中点，AE与BD交 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 于点P,连接CP.己知BC=10,当∠BCP最大时，直接写出AC的长. D E 图2 图3 考点02 与四边形有关的压轴题 8.(2026广东广州一模)如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=4,点E为边BC上一个动点（不 与点B、C重合)，边AB关于AE对称的线段为AF,连接DF B B 备用图 (I)当AF平分∠DAE时，求∠BAE的度数为 (2)延长DF,交射线AE于点G,当BE=2时，求AG的长； (3)在(I)的条件下，连接BF交AE于点M,作EN⊥AB交AB的延长线于点N,连接MN.试探究器是 否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由 9.(2026广东佛山一模)在□ABCD中，点E,F分别在边AD,BC上，将☐ABCD沿EF折叠，使点A 的对应点P落在边CD上，点B的对应点为点G,PG交BC于点H, 图1 图2 图3 (I)如图1，求证：∠DEP=∠GFH; (2)如图2，四边形ABCD是正方形，边长为8，当P为CD的中点时，求GH的长； (③)如图3，四边形ABCD是矩形，连接BG,当DP=2CP,BH=3CH时，求噩的值. 10.(2026广东珠海一模)如图，直线y=一bx+3b与x轴，y轴分别交于点A、B,以AB为边向右作矩 形ABCD,S矩形ABCD=30, 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 备用图 (1)如图1，当tan∠BA0=时，直接写出点C的坐标； (2)如图2，连接BD,将△BCD沿BD翻折，点C的对应点为点E,若点E在y轴上， ①延长CB交y轴于点F,求证：四边形AFBD为平行四边形； ②求直线AB的解析式： (3)连接0C,求0C的取值范围. 11.(2026江苏无锡一模)如图1，在口ABCD中，sinA=-青，铝=号，M,N分别是AB,CD边上的 动点，将四边形ADNM沿直线MN翻折，点A,D的对应点分别是点E,F,其中点F始终落在BC边上. E B B(F) M M D D D 图1 图2 图3 (I)如图2，当点E恰好落在直线BC上，且AB=6时，求BF的长； (②)如图3，当点F与点B重合时，求器的值： 3)当△CFN直角三角形时，求器的值. 12.(2026浙江台州一模)如图，在正方形ABCD中，点E,F分别是边BCCD上的动点（不包含端点）， AG⊥EF于点G,GM⊥AB于点M,EF=AG D C B M M 图1 图2 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)如图1，求证：△AMG兰△ECF (2)如图2，过点E作HE⊥BC分别交AG,MG于点H,N. ①求证：四边形BMNE为正方形； ②求证：HE+GN=AB; ③若AB=1,请直接写出HE的取值范围 13.(2026河北保定一模)如图1，在菱形ABCD中，AB=6,∠BAD=120°，对角线AC与BD相交于 点O,M为线段BD上一点，过点M作MNL CD,交边CD于点N,以点M为圆心，MN的长为半径画弧， 与点M下方的线段DB交于点P(可与点B重合)，与边AD交于点Q,连接MQ. A A D D 图1 图2 (1)求∠PMQ的度数； (2)如图2，当点M与点0重合时，连接PQ,求PQ的长； (3)求扇形MPQ的面积最大值及此时点C与点M之间的距离， 14.(2026辽宁沈阳一模)如图，四边形ABCD中，BD为对角线，AH⊥BD于点H,AH交CD于点E, 交BC的延长线于点F,此时AH=EH,∠F=∠CEF D D H B M 图1 图2 (1)求证：AD|BF; (2)若M为BF中点，求证：DE=2CM; (③)在(2)的条件下，若C为MF中点，AD=25,AB=217,求四边形ABCD的面积。 15.(2026山东德州一模)【方法提炼】解答几何问题常常需要添辅助线，其中平移图形是重要的添辅助线 策略。 【问题情境】 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 如图1，在正方形ABCD中，E、F,G分别是BC,AB,CD上的点，FG⊥AE于点Q.求证：AE=FG 小明在分析解题思路时想到了两种平移法： 方法1：平移线段FG使点F与点B重合，构造全等三角形： 方法2：平移线段BC使点B与点F重合，构造全等三角形： D D B E B D B 图1 图2 图3 【尝试应用】 (1)请按照小明的思路，选择其中一种方法进行证明； (2)如图2，正方形网格中，点A,B,C,D为格点，AB交CD于点O则：sin∠AOC的值为 (3)如图3，点P是线段AB上的动点，分别以AP,BP为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形PBEF, 连接DE分别交线段BC,PC于点M,N. ①求∠DMC的度数； ②连接AC交DE于点H,直接写出器的值， 16.(2026辽宁沈阳一模)如图，已知正方形ABCD的边长为3V5,E为CD边上一点，连接BE.以CE为 边向外侧作正方形CEFG,连接AF, B (图1) (图2) (I)如图1，当E为CD中点时，求AF的长； (2)如图2，连接AC,BD交于点O,AF与BD交于点H,延长BE交AF于点P. ①请写出∠APB的度数，并说明理由： ②当AH=5PF时，求正方形CEFG的面积. 17.(2026浙江舟山一模)如图1，在菱形ABCD中，∠C=60·,E是对角线BD上一点，连接AE,设 ∠EAB=(0°<C<30°)，将△ABE沿AE折叠得到△AGB,连接DG并延长交BC于点H 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G B (图1) (图2) (I)用含α的代数式表示∠DAG. (2)求证： ①∠BDH=∠BAE: ②BH=BE (3)如图2，当DG:GH=2:1时，求DE:BE的值 18.(2026辽宁朝阳·一模)如图1，正方形ABCD中，点E为边AB上一点，将△BCE沿CE翻折得 △FCE,射线BF分别与CE、AD交于点O、G. G D D E 图1 图2 图3 (1)求证：△CBE≌△BAG; (2)如图2，当0G=3,OC=4时，求正方形ABCD的边长； (3)如图3，在(2)的条件下，线段CF,BD相交于点H,求DH的长. 考点03 与圆有关的压轴题 19.(2026浙江绍兴.一模)如图，四边形ABCD内接于圆O,AB为直径，CD=CB,AC交BD于点G, CE⊥AB,垂足为E,CE交BD于点F. D G F 图1 图2 图3 (1)如图1，证明：FC=FB, (2)如图2，连结0F,若∠CAD=20°，求∠OFE的度数， (3)如图3，连结OG,若0G=4,B0=BG,求四边形0EFG的面积. 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 20.(2026浙江宁波一模)如图，AB为⊙0直径，C为圆O上一动点，且C在直径AB上方，连接AC, BC,点M为AC中点，连接BM,与AC相交于点N. M 图1 图2 图3 (1)如图1，连接0M,求证：OM‖BC; (2)如图2，连接ON,AM,当ON⊥BM时，求tan∠BAC的值； (3)如图3，作MH⊥AB于H,∠BMK=∠BAC,与⊙O交于点K(点K在AB下方)，MK与AB交于点 E.若BC=V3,MH=V6,求： ①⊙0的直径； ②EK的长. 21.(2026福建漳州一模)如图，正方形ABCD内接于⊙O,点P在BC上，连接AP,交BD于点F,交 BC于点E,连接CF,BP,DP. B F 0 (I)求证：△BEF∽△PBF; (2)若BD=2,EF=EC,求P的长； (3)探究AP,BP,DP之间的等量关系. 22.(2026福建厦门一模)如图，点D是△ABC外接圆⊙0上的一点，AC⊥BD于G,连接 AD,CD,OD.过点B作直线BFAD交AC于E,交⊙O于F.若点F是CD的中点. 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D G E (1)求证：AB=CF: (2)当CD=3时，求⊙0的半径： (③)若AG=与GB,连接0G.请你探究∠G0D与∠ADC之间的数量关系，并证明。 23.(2026黑龙江哈尔滨一模)已知：四边形ABCD是⊙0内接四边形，AC是⊙O的直径，AC、DB相 交于点P,点E在PD上，∠DCE=90·-∠ACB D B B 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：∠BEC=2∠BAC; (2)如图2，若∠DBC=2∠CAB,求证：AD=AP; (3)如图3，在(2)的条件下，AB=3BC,点G在AD上，EG⊥EF交AC于点F,EG=3EF,PF=1, 求⊙O的半径 24.(2026河北石家庄一模)情境如图1，半圆0的直径AB=12,点C是直径AB上一点，点D在半圆0上， 且∠BCD=a(0°<c<90°). 操作：将半圆O沿线段CD裁剪后，得到图形ACD和图形BCD两部分，然后保持图形BCD不动，将图形 ACD翻转后，再与图形BCD拼接成如图2所示的平面图形，过点D作AC的平行线1，交弧AD于点P,如 图3.（说明：拼接不重叠无缝隙无剩余） (D) B DC)δ D 图1 图2 图3 图4 图5 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 发现： (I)直接写出x与∠ACD满足的数量关系： (2)如图3，若点D在圆心0的左侧，D0=2,当1⊥BD时， ①求的值： ②求CD的长 探究：如图4，若点D在圆心O的左侧，且DO=2,连接PC,当1⊥PC时， (3)在图4的基础上，用尺规作图作出弧AD所在圆的圆心G(保留作图痕迹，不写作法)： (4求线段DC的长 拓展： (⑤)如图5，若点D在圆心O的右侧，当弧AD所在的圆与BO相切于点D时，弧BC的长为π，直接写出线段 DC的长： 25.(2026黑龙江哈尔滨一模)已知：△ABC内接于⊙0，∠C=90°，点D在圆上，弧DA=弧DB, 连接AD, A A A H E B B B 图① 图② 图③ (1)如图①， 求证：AB=V2AD (2)如图②，点E在AB上，点G在CB延长线上，连接AG,EG,作EH⊥AG,∠ABC=3∠EGB, ∠BEG=∠AGB,求证：∠HEA=∠HEG; (3)如图③，在②的条件下，作EF⊥AE交AD延长线于点F,连接FG,四边形AEGF的面积为2， AD=3V5,求AC的长. 26.(2026黑龙江哈尔滨.一模)已知△ABC内接于⊙0，圆心O在△ABC的内部，AD⊥BC于点D, 连接0C. 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0. DG 图1 图2 图3 (I)如图1，求证：∠BAD=∠AC0: (2)如图2，点G为BC的中点，连接0G,过点C作CF⊥AB于点F,交AD于点E,求证：AE=2OG; (3)如图3，在(2)的条件下，连接EG并延长交⊙0于点H,连接CH,若C0平分∠ACF,AC=5, OG=乎，求△CBH的面积 27.(2026青海西宁.一模)如图，AB为⊙0的直径，点C在BA的延长线上，D为⊙0上一点，连接AD ,BD,E,F分别是AD,BD的中点，连接OE,OF,延长CD,OF交于点P. D (1)求证：四边形OFDE是矩形： (2)若∠ADC=∠E0A,求证：CD是⊙O的切线； (3)在(2)的条件下，若tanC=,0P=3V5,⊙0的半径为_· 28.(2026云南楚雄一模)如图，C是以AB为直径的⊙0上一点，CD⊥AB于点D,过点B作⊙O的切 线，与AC的延长线相交于点E,F是CD的中点，连接AF并延长与BE相交于点G,连接CG并延长与AB的 延长线相交于点H,⊙0的半径为3 G 备用图 (I)若AC=5,求点C和点B间的距离； 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)求证：CH是⊙O的切线： (3)当BD=2时，请判断下列结论哪个成立？①FG>CG=BG,②FG=CG=BG,③FG<CG=BG, 并说明理由 29.(2026陕西铜川一模)探究不同情况下圆上一点与圆外一点之间距离的关系，并完成以下问题 B 图① 图② 图③ 【问题提出】 (1)如图①， AB是⊙0的弦，∠A0B=100°，点P1,P2分别是优弧AB和劣弧AB上的点，则∠APB的 度数为 ,∠AP2B的度数为 (②)如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4,以BC为直径的半圆交AB于点D,P是CD 上的一个动点，连接AP,求线段AP的最小值 【问题解决】 (3)如图③是布景搭建区域Rt△ABC的示意图，其中∠ABC=90·,∠ACB=30°，BC=4m.为实现 布景视觉平衡，作△ABC关于AC的对称图形△ADC,形成四边形ABCD区域.布景师在边DC,BC上 分别设置道具摆放点E,F,使得DE=CF,并在道具牵引线BE与DF的交点P处设置定位标记.为保障 布景牵引装置的运行安全，需知道标记P到顶点C的最短距离.请根据以上信息，求标记P到顶点C的最 短距离. 30.(2026陕西西安.一模)问题提出 B B 图① 图② 图③ (I)如图①，在△ABC中，∠A=30°，BC=4,求△ABC面积的最大值 问题探究 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)如图②，点A是⊙B上任意一点，点C在⊙B外，已知AB=2,BC=4,△ACD是等边三角形，求 △BCD的面积最大值： 问题解决 (3)如图③，线段AB为⊙0的直径，点C在AB的延长线上，AB=40,BC=20,点P是⊙0上一动点， 连接CP,以CP为斜边在PC上方作Rt△PCD,使∠DCP=60°，连接AD,求△ACD的面积最大值. 2/6函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题16几何压轴题 ☆3大考点概览 考点01与三角形有关的压轴题 考点02与四边形有关的压轴题 考点03与圆有关的压轴题 考点01 与三角形有关的压轴题 1,(2026海南省直辖县级单位一模)问题发现：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕 公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究，如图1，在△ABC中， ∠B=90°，AB=BC=6. B B 图1 图2 图3 图4 (I)探究发现：分别取AB,AC的中点D,E,作△ADE.如图2所示，将△ADE绕点A逆时针旋转，连接BD, CE,旋转过程中，线段BD和CE的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明； (②)性质应用：如图3，当DE所在直线首次经过点B时，求CE的长： (3)拓展探究：如图4，∠FBC=30°，E是直线BF上一点，以AE为斜边在AE左侧作等腰Rt△ADE,直接写出 线段BD的最小值 【答案】(I)CE=V2BD,证明见解析 (2)3V6 629 【分析】(1)由题意可得∠BAC=45°，解直角三角形得出AC=V2AB,结合AB,AC的中点分别为D,E,得 出AD=AB=3,DE为△ABC的中位线，从而可得DE=BC=3,∠ADE=LABC=90,求出AE=V2AD, 得到始-怎。证明出∠BAD=∠GAB,从而可得△BAD-△CAB,由相三角形的性质计算即可得出结果， 1/107 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)由题意可得∠BAC=45°，解直角三角形得出AC=V2AB,证明△BAD一△CAE,由相似三角形的性质 得出CE=V2BD,∠ADE=∠ABC=90°，由勾股定理计算出BD的长，即可得出结果； (3)连接BD、CE,由题意可得∠BAC=45°，解直角三角形得出AC=V2AB,由等腰直角三角形的性质可 得∠DAE=45°，AE=V2AD,证明△BAD一△CAE得出BD=CE,作CG⊥BF于点G,由垂线段最短可得， 2 当点E运动到点G时，此时CE的长最短，由直角三角形的性质求出CE的长的最小值为CG=3,即可得出结 果 【详解】(1)解：CE=V2BD,证明如下： 在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=6, ∠BAC=45°， os-BAG=-是=号 AC=2AB, AB,AC的中点分别为D,E, AD=AB=3,DE为△ABC的中位线， .DE=BC=3.LADE=LABC=90, ..AD=DE AE =AD2+DE2=2AD, AC AE AB-AD 由旋转的性质可得：∠DAE=∠CAB=45°， ,∴∠DAE-∠DAC=∠CAB-∠DAC, ∠BAD=∠CAE, .△BAD△CAE 品-始=2， .CE=2BD; (2)解：在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=6, ∠BAC=45°， cos∠BAC=42=2, ΓAC2 .AC=2AB, 2/107 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由()可得：始=5=2，AD=B=3,∠BAC=∠DAE, ∴.∠DAE+∠DAC=∠CAB+∠DAC, ∠BAD=∠CAE, △BAD-△CAE, 号-%=2，∠ADE=LA8G=90, .CE =2BD, ~DE所在直线首次经过点B, .∠ADB=180°-∠ADE=90°， :.BD =AB2-AD2=3V3, .CE=2BD=3V6; (3)解：如图，连接BD、CE, B 在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=6, LBAC=45°， 0-BAC=-是=9 2 ..AC=2AB, ~△ADE为等腰直角三角形， ∠DAE=45°，AE=V2AD, ACAE AB=AD》 :∠DAE-∠BAE=∠CAB-∠BAE, ∴LBAD=∠CAE, △BAD-△CAE 品-始=2， .BD=CE, 2 3/107 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 作CG⊥BF于点G, 由垂线段最短可得，当点E运动到点G时，此时CE的长最短， LFBC=30, CE的长的最小值为CG=BC,sin30°=6×3， BD的长的最小值为号cE=号 2 【点晴】两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；旋转前、后图形的大小、形状没有改变 2.(2026重庆一模)如图，在△ABC中，AB=AC,D为AB边上一点，连接CD B D 图1 图2 图3 (1)如图1，若LBAC=90°，过B作BE⊥CD交其延长线于点E,BD=1,CD=5,求线段BE的长. (2)如图2，若LBAC=6O°，延长CD至点E,连接BE使∠BEC=∠BAC,连接AE,点G为线段CD上一点，连接 AG,取AG中点F,连接EF,若BA=2EF,猜想CG与AE之间的数量关系，并证明 (3)如图3，若LBAC=120°，AB=4V13,将CD绕点C逆时针旋转60得线段CE,连接AE,在直线AC上取一 点P,连接PE,当AE最小时，将△PAE沿PE所在直线翻折到△ABC所在平面内，得△PQE,连接 BQ、CQ,当BQ+CQ最小时，请直接写出△BQE的面积。 【答案】QBE=青 (2)AE=GC,证明见解析 (3)195763-1953 38 【分析】(1)设AD=x,则AB=AC=x+1,利用勾股定理求出AD=3,AC=4,然后利用等面积法求解 (2)如图，延长EF到点H,使FH=EF,连接AH,GH,CH,证明出△EFG兰△HFA(SAS),得到∠GEF=∠AHF EG=AH,然后证明四边形EAHG是平行四边形，过点H作HI II AC交EC延长线于点I,再证明△ACE≌△HEC (SAS),得到AE=CH,然后证明出点A,C,B,E四点共圆，得到LAEC=∠ABC=60,最后证明出△CGH 是等边三角形，进而求解即可； (3)首先证明出△DCA兰△ECA(SAS),得到∠DAC=∠EAC=120°，点E在射线AE上运动，当AE⊥AC 时，A'E的长度最小，过点B作BM⊥EA交EA的延长线于点M,然后证明出△BAM≌△AAE(AAS),得到 4/107 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BM=EA=2W13,AM=AE=2V39,求出QE=AE=2V39,得到点Q在以E为圆心，239为半径的圆上 运动，在BB上取点，使EN=6,连接QN,CN,证明出△NEQ-△QEB,得到QN=8Q, 13 BQ+CQ=QN+CQ≥NC,判断出当点Q在线段NC上时，9BQ+CQ取得最小值，即NC的长度，如图， 13 过点C作C]⊥BE于点J,过点Q作QK⊥BE于点K,过点B作BR⊥AC于点R,然后利用勾股定理和相似三 角形的性质求解即可. 【详解】(1)解：~BD=1, 设AD=x,则AB=AC=X+1, LBAC=90°，CD=5, AD2+AC2=CD2,即x2+(x+1)2=52, 解得x=3, AD=3,AC=4, BE⊥CD, SARDC=BD·AC=2CD.BE,即时×1×4=×5BE, "BE- (2)解：AE=GC,证明如下： 如图，延长EF到点H,使FH=EF,连接AH,GH,CH, ..EH 2EF, AB=2EF,AB=AC,∠BAC=60°， AB=AC=EH,△ABC是等边三角形， ∴LABC=60°， ~点F是AG的中点， ∴AF=GF, 又FH=EF,∠EFG=∠HFA, △EFG≌△HFA(SAS), ∠GEF=∠AHF, ..EC IAH, 四边形EAHG是平行四边形， 如图，过点H作HI AC交EC延长线于点I, 5/107 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G CI I AH, 四边形AHIC是平行四边形， .AC=HI, EH AC, ..EH HI, ∠HEC=∠I, HI lI AC, LACE=∠I, ∠ACE=∠HEC, .EH=AC,EC=CE, △ACE=△HEC(SAS), .AE=CH, ~四边形EAHG是平行四边形， ∴AE=GH, ..CH=GH, ∠BEC=∠BAC=60°， 点A,C,B,E四点共圆， LAEC=LABC=60°， 四边形EAHG是平行四边形， ..AE II GH, ∠HGC=∠AEC=60°， CH GH, △CGH是等边三角形， .GH=GC, ∴AE=GC; 6/107 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)解：如图，将AC绕点C逆时针旋转60到CA', △ACA是等边三角形，∠ACA'=60°， 将CD绕点C逆时针旋转60°得线段CE, .CD=CE,∠DCE=60°， ∠ACA'=∠DCE, ∠DCA=∠ECA', ·△DCA≌△ECA'(SAS) .∠DAC=∠EAC=120°， ∴点E在射线A'E上运动， “如图，当AE⊥AC时，A'E的长度最小， D A E A ∴.∠CAE=90°， AB=AC=413,△ACA是等边三角形， ∴AA'=AC=AB=4V13,∠CAA'=∠CAA=60°， ∠EAA'=30°，∠AAE=∠CAE-∠AA'C=60°， .∠AEA'=90°， EA=AA=213, AE=A'A2-A'E2=2V39, 如图，过点B作BM⊥EA交EA的延长线于点M, ∴LM=∠AEA=90°， 又AB=AA,∠BAM=∠AAE, ·△BAM=△A'AE(AAS), ..BM=EA'=2v13,AM=AE 239, ..ME=AM +AE=439, ..EB =BM2 ME2 =26, 7/107 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由折叠得，QE=AE=239, 点Q在以E为圆心，2V39为半径的圆上运动， 如图，在BE上取点N,使EN=6,连接QN,CN, B NE 6 器=器== 2613 荒-器 又∠NEQ=∠QEB, ÷△NEQ-△QEB, 器-器- QN=BQ. 13 gQ+cQ=QN+cQ≥Nc :当点Q在线段NC上时，BQ+CQ取得最小值，即NC的长度，如图，过点C作CIBE于点J,过点Q 13 作QK⊥BE于点K,过点B作BR⊥AC于点R, R ∠M=∠MAR=90°， 8/107 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 四边形BRAM是矩形， ..BM=RA=213,BR MA=239, ..RC=RA+AC=613, .BC2=BR2+RC2=624, AE=2V39,AC=4W13, EC2=AE2+AC2=364, 设B1=m,则JE=BE-B=26-m, CI⊥BE, .BC2-BJ2 EC2-E12, 624-m2=364-(26-m)2, ∴m=18, B则=18，JE=26-m=26-18=8, N=JE-NE=8-6=2,JC=VBC2-B12=10V3, QK⊥BE, ÷△NJC-△NKQ, 0=品即最= .QK =53NK, ∴设NK=n,则QK=53WK=5V3n, 在Rt△BKQ中，KE2+QK2=QE2, n+6)2+(53m)}=(2W392, 解得n=3+289或n=-3289(舍去)， 38 38 QK=5V5n=-155+15763 38 △BQE的面积=BE.QK=×26×153+157@=1957195 1 38 38 3.(2026陕西咸阳.一模)【问题探究】 9/107 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D M 图1 图2 图3 (1I)如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,BC=4,点P是BC边上的动点，连接AP,则AP的最小值 为 (②)如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是BC延长线上一点，AC=2BC=4CD=4,DE⊥AB于点E,求DE 的长； 【问题解决】 (3)如图3，矩形ABCD是某校实践活动基地，现要对该实践活动基地重新扩建规划，首先延长BC至点E,使 得CE=BC,在CD边上找一点F建一口水井，沿EF修一条水渠，再从C向EF修一条小路CM,使得CM⊥EF于 点M,再沿BM、DM分别修小路，在四边形ABMD内种植果树.已知AB=80m,AD=60m,求种植果树面 积的最小值（即四边形ABMD面积的最小值），（水井的大小和水渠、小路的宽度均忽略不计） 【答案】(1)2 鸣 (3)4500m2 【分析】(1)根据垂线段最短，确定AP⊥BC时AP最小，再利用等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半， 由BC=4求出AP的最小值为2； (2)先由已知条件求出各边长度，再证明△DBE与△ABC相似，最后根据相似三角形对应边成比例，计 算出DE的长度： (3)将四边形ABMD的面积拆分为△ABD与△BDM的面积之和，先由矩形边长算出△ABD的面积，将求 四边形面积最小值转化为求△BDM面积最小值再把△BDM面积表示为点M到BD的距离的函数，结合点M 的运动轨迹（以CE中点为圆心的圆），利用垂线段最短求出点M到BD的最小距离，最终算出四边形ABMD的最 小面积， 【详解】(1)解：根据垂线段最短，当AP⊥BC时，AP取得最小值，如图： 10/107 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 AB=AC,∠BAC=90°， :△ABC是等腰直角三角形， .BC=4, AP最小=8BC=2; (2)解：AC=2BC=4CD=4, BC=2,CD=1,则BD=3. :∠ACB=90°，DE⊥AB, ·∠DEB=∠ACB=90°，AB=VAC2+BC2=2V5 ∠DBE=∠ABC, △DBE△ABC, DE DB 服==装=9 AB 5 (3)解：连接BD,则S四边形ABMD=S△ABD十S△BDM: ~四边形ABCD是矩形，AB=80m,AD=60m, .∠BAD=∠BCD=90°，AB=CD=80m,BC=AD=60m, .BD =AB2 AD2 100m, ∴SAABD=2AB·AD=2400(m2), S四边形ABMD=2400+S△BDM, “要求四边形ABMD面积的最小值，只需求出△BDM面积的最小值 过点M作MN⊥BD于点N, M 则SABDM=2BD·MN=50MW, 11/107 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 只需求出点M到BD的距离MN的最小值. 以CE的中点0为圆心，OC为半径作⊙0， .CM⊥EF,即∠CME=90°， ·点M在CE上方的⊙O上运动， 过点O作OG1BD于点G,OG交⊙O于点P,连接ON. .OM+MN≥OW≥OG=OP+PG, ∴当点M移动到点P的位置时，点N与点G重合，此时点M到BD的距离最小，最小值为PG的长， CE=BC=60m,O是CE的中点， .0P=0C=30m 0B=BC+0C=60+30=90(m): 在△BGO和△BCD中，∠BGO=LBCD=90°，∠GBO=∠CBD, △BGO一△BCD, 80-100 .G0=72m, PG=0G-0P=72-30=42(m), ∴S四边形ABMD最小=2400+2×100×42=4500(m2), 故种植果树面积的最小值为4500m2. 4.(2026重庆.一模)如图，在△ABC中，点D是BC边上一点（不与端点重合），连接AD. K D B B B 图1 图2 图3 (I)如图1，AC=AB,∠CAD=2LBAD,线段AC的垂直平分线NK交AD于点N,连接CN,若CD=ND,求LBAD 的度数； (2)如图2，若点D是BC的中点，将线段AD绕点A逆时针旋转至AE,使得LEAD=∠BAD,连接DE.以BC为 斜边在BC上方作Rt△BCF,且满足LEAD=2LBCF,连接EF,交AD的延长线于点G.用等式表示线段AE、 DG、AB的数量关系并证明； (3)如图3，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,点D是BC的中点，点M是直线AB上一动点，连接DM,CM,将DM 12/107 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 绕点M顺时针旋转90°得到MH,连接AH,点R是直线CM上一动点，连接AR.在点M的运动过程中，当AH取 得最小值时，在平面内将△AHR沿直线AR翻折得到△AHR,连接DH.在点R的运动过程中，直接写出 BM 的最大值 【答案】(1)∠BAD=12 (2)AB=AE +2DG (3)103+232 39 【分析】(1)根据垂直平分线的性质结合等腰三角形底角相等，以及三角形内角和定理即可求出∠BAD=12°； (2)延长AG构造△BAD≌△HAE,结合直角三角形斜边中线等性质，导出LGDF=∠H,从而得到 △EHG兰△FDG,最后即可得出AB=AE+2DG; (3)先确定点M的轨迹为直线AB,又注意到线段MD到HD的几何变换为绕点D逆时针旋转45°并且放大√2 倍，因此构造辅助线得出点H轨迹为直线HF,结合锐角三角函数与勾股定理计算得出AH取最小值时BM= 器再报据三角形三边关系确定Dr的最大值，即可求解出答案为0。 39 【详解】(1)解：设∠BAD=x, ∠CAD=2LBAD=2x, ,KN垂直平分AC, .AN=CN, ∴∠ACN=∠CAN=2x, CD=DN, ∴.∠DCN=∠DNC=2∠CAN=4x, ∠ACD=∠ACN+∠DCN=6x, AC=AB, .∠B=∠ACB=6x, .∠CAB+∠ACB+∠B=180°=x+2x+6x+6x, 解得x=12°， 故∠BAD=12° (2)解：如图，延长AG至点H,使得AH=AB,连接EH、DF, 13/107 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 H G D A B 在△BAD与△HAE中， BA=HA ∠BAD=∠HAE, DA=EA ∴△BAD≌△HAE(SAS), BD=HE,∠H=∠DBA, ~D为BC的中点， ∴在Rt△BCF中，BD=DF,DF=CD, :HE DF, DF CD, .∠BDF=2∠FCB=∠EAD, ∠BDF=∠DAB, ,∠GDB=∠GDF+∠FDB,∠GDB=∠DAB+∠DBA, .∠GDF=∠DBA=∠H, 在△EHG与△FDG中， LEGH=∠FGD ∠EHG=∠FDG, EH=FD △EHG≌△FDG(AAS), :.GH=GD, .AB=AD +2DG, AD=AE, :.AB=AE 2DG. (3)解：如图，过点D作DE⊥AB,在EB上取点F,使得EF=DE,连接HF、DF、DH、AD, 14/107 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 公 DM=MH,∠DMH=90°， ∠MDH=45°， DE=EF,∠DEF=90°， ∴∠EDF=45, ∴△DMH与△DEF均为等腰直角三角形， DM DE DH=DF' ~∠MDH+∠HDE=∠EDF+∠HDE, ∠MDE=∠HDF, △DME-△DHF, ∠DPH=LDEM=90,器-8器=cos45°=9 2 ∴∠AFH=∠DFH-∠DFE=45°， H点在直线HF上， 当AH⊥HF时，AH取得最小值， D点为BC中点，BC=4, BD=2, sin业B=4C=3=PE AB =器osB== 5 .DE-BE= 8 2.EF=DE= 6 .BF BE-EF= 2 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2, AC=3,BC=4, 15/107 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB=V32+42=5, AF=AB-BF=5-2=23 5=5 HF=AF×cos45°=232， 10 器= aME=君 BM=ME+BE=8+号器 在Rt△ADE中，AE2+DE2=AD2, ∴AD= +()=3, .AH=HF,AH'=AH, ·AH=HF=232 10 在△ADH中，DH≤AP+AD=V13+232, 10 当且仅当点D、A、H三点共线时DH取得最大值， 世最大值为+警三0+2. 39 5.(2026河南洛阳·一模)在学习特殊四边形的过程中.同学们积累了一定的研究经验。 某班数学兴趣小组尝试定义了一种新的四边形，并结合所学知识对其展开进一步探究， 定义：若四边形一边上存在一点，这点与对边两个端点所连线段相等且互相垂直，则称这样的四边形是可 等垂四边形，这个点叫做该四边形的等垂点， 例如：在四边形ABCD中，边AD上存在一点O,使得OB=OC且OB⊥OC,则四边形ABCD是可等垂四边形， 点O为四边形ABCD的等垂点. 根据定义可得出特殊的可等垂四边形的一些性质， 【初步探索】 图1 图2 图3 (I)如图1，矩形ABCD是可等垂四边形，点O是它的等垂点，则AB和AD的数量关系是 【类比探究】 16/107 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)如图2，四边形ABCD是可等垂四边形，且AB II CD,∠D=90°，点P是它的等垂点. ①四边形ABCD的边AB,CD和AD之间的数量关系是 ②在图2中取BC边的中点Q,并连接QA,QD,则点Q是四边形ABCD的等垂点吗？如果是，请证明如果 不是，请说明理由（若需使用①中的结论，可直接使用，不必另行证明）. 【拓展应用】 (3)如图3，在Rt△ADP中，AP=2,AD=3,∠DAP=90°，点B,C为Rt△ADP中不同边上的两点，且点B 为所在边的中点，若以A,B,C,D为顶点的四边形是可等垂四边形，请直接写出C,D两点之间的距 离。 【答案】(I)AD=2AB (2)①AD=AB+CD;②点Q是四边形ABCD的等垂点，理由见解析 （62A或' 2 【分析】(1)由可等垂四边形的定义可证明L0CB=L0BC=45°，即可进一步得到∠AB0=45°，从而可证 明AB=AO,同理可得CD=OD,即可得出结论； (2)①先证明△BPA兰△PCD,可得AB=DP,PA=CD,即可得出结论； ②延长AQ,DC相交于点E,先证明△ABQ≌△ECQ,得到AB=EC,AQ=EQ,可进一步证明AD=ED, 再根据等腰三角形的三线合一性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出结论； (3)当点B在AP上，点C在DP上时，设点O为等垂点，连接OB,OC,过点C作CE⊥AD于点E,设 CE=x,即可根据相似三角形的判定与性质列方程求解； 当点B在DP上，点C在AP上时，设点O为等垂点，连接OB,OC,过点B作BF⊥AD于点F,设AC=y, 即可根据相似三角形的判定与性质列方程求解。 【详解】(1)解：AD=2AB; 理由如下： ~矩形ABCD是可等垂四边形， OB=OC,OB⊥OC,AB=CD, ∠0CB=∠0BC=45°， ∠ABC=90°， ∠AB0=45°， ∠A=90°， ∴.∠AB0=∠A0B=45°， 17/107 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..AB=A0, 同理可得CD=OD, ∴AD=2AB: (2)解：①AD=AB+CD; 理由如下： ~四边形ABCD是可等垂四边形， BP=PC,BP⊥PC, LBPA+∠CPD=90°， ∠D=90°， ∴.∠PCD+∠CPD=90°， ·∠BPA=∠PCD, AB II CD. ∠A=∠D=90°， △BPA≌△PCD(AAS), :.AB=DP,PA=CD, AD=DP+PA=AB+CD: ②点Q是四边形ABCD的等垂点； 证明：延长AQ,DC相交于点E, AB II CD, ∴∠BAQ=∠E,∠ABQ=∠ECQ, "点Q是BC的中点， :.BQ =CQ, △ABQ≌△ECQ(AAS), .AB=EC,AQ=EQ, .AD=AB+CD, :.AD=EC+CD=ED, ∴DQ1AQ, 又∠ADE=90°， ∴DQ=AE=AQ, 18/107 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴点Q是四边形ABCD的等垂点； E (3)解：2或 2 ,理由如下： 当点B在AP上，点C在DP上时，AB=PB=AP=1, 设点O为等垂点，连接OB,OC,过点C作CE⊥AD于点E, 设CE=x, ~四边形ABCD是可等垂四边形， 0B=0C且0B⊥0C, 由(2)可知，△AB0兰△E0C, .0E=AB=1,A0=CE=x, DE=3-x-1=2-x, CE ll AP, △DCE-△DPA, CE DE PA=DA' 解得x= CE=DE=2-=9 在Rt△GDE中，GD=GE2+DR=、(目°+（目=13， D 19/107 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 当点B在DP上，点C在AP上时，BP=BD=DP, 设点O为等垂点，连接OB,OC,过点B作BF⊥AD于点F, 设AC=y, ∠DAP=90°， BF WI AP, △DBF∽△DPA, --器= 4.BF=PA=1.DF=AD= 由(2)可知，△A0C兰△FB0, ..0A=BF=1,AC=FO=y, 1+y+=3, 解得y= 六AC= 在R△GDA中，CD=AC2+AD2=（月+32=37， 【点晴】在第(2)小问中，利用中点倍长添加辅助线，构造全等三角形是常用的解题方法；第三小问中， 作出符合条件的图形，是解这类图形变换问题的关键，同时还要注意分类解答 6.(2026山西一模)综合与探究 问题情境：在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D是直线BC上的一点，连接AD,将线段AD绕点A逆时 针旋转90°得到线段AE. 图1 图2 备用图 20/107 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 观察发现： (I)如图1，当点D是BC的中点时，连接CE,试判断四边形ADCE的形状，并说明理由. 独立思考： (2)如图2，当点D在线段BC上时，连接DE,过点A作AF⊥DE于点F,过点F作FG LBC于点G,猜想线段FG 与BD的数量关系，并说明理由. 拓展延伸： (3)连接DE,过点A作AF⊥DE于点F,连接CF,若AB=22,∠FCA=60,请直接写出线段BD的长. 【答案】（①）正方形，见解析 (2)BD=2FG,见解析 (3)-2+2V3或2+23 【分析】(1)根据等腰三角形三线合一，得AD=BD=CD,∠ADC=90°，根据旋转得AD=AE,∠DAE=90°， 证得四边形ADCE为平行四边形，再根据一组临边相等且一个内角为90°，即可求证， (2)连接CE,可知△ABC和△ADE为等腰直角三角形，根据手拉手的全等三角形模型，可证△ABD兰△ACE (SAS),得到BD=CE,∠BCE=90°，再根据三角形的中位线，即可求解. (3)根据题意，可分为点F在AC左侧和右侧两种情况，连接EC,作AM⊥BC,可知△ABC和△ADE为等 腰直角三角形，根据手拉手的全等三角形模型，可证△ABD兰△ACE(SAS),得到 ∠BCE=∠ACE+∠ACB=∠B+∠ACB=90°，根据Rt△ADE和Rt△ECD利用直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半，得到AP=ED=CR,即可证△ACP为等边三角形，根据角度变换得到∠ADB=30°，解直角 三角形，即可求解 【详解】(1)解：四边形ADCE为正方形，理由如下， ∠BAC=90°，AB=AC,点D是BC的中点， AD=BD=CD,∠ADC=90°， 根据旋转可知AD=AE,∠DAE=90°， ÷AE=DC,AE I DC, ·四边形ADCE为平行四边形， AD=DC,∠ADC=90°， ·四边形ADCE为正方形 (2)解：关系为BD=2FG,理由如下， 如图，连接CE, 21/107 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E B G 根据旋转可知AD=AE,∠DAE=90°， ∠BAC=90°， ∠BAC=∠DAE=90°， LBAD=∠CAE, 又AB=AC, △ABD≌△ACE(SAS), BD=CE,∠ABD=∠ACE, ∠BAC=90°， ÷∠ABD+∠ACB=LACE+∠ACB=∠BCE=90°， FG⊥BC, .∠FGD=∠ECB=90°， .FG EC, 又AD=AE,AF⊥DE, 点F为DE的中点， GF是△DCE的中位线， .EC 2FG, BD =2FG. (3)解：当点F在AC右侧时，如图，连接EC,作AM⊥BC, A B M C D 根据旋转可知AD=AE,∠DAE=90°， 22/107 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠BAC=90°， ∠BAC=∠DAE=90°， .∠BAD=∠CAE, 又~AB=AC, ∴△ABD≌△ACE(SAS), ∴BD=CE,∠ABD=∠ACE,∠BAD=∠CAE, ∠BAC=90°，AB=AC, LB=∠ACB=45°， ∠BCE=∠ACE+∠ACB=∠B+∠ACB=90°， ,∠DAE=90°，AD=AE,AF⊥DE, ∴AF=EF=DF,LEAF=5∠DAE=45°， ~∠ECD=180°-∠BCE=90°， :.CF EF FD, ∴AF=CF, 又∠ACF=60°， ∴△ACF为等边三角形， ∠CAF=60°， ∴∠BAD=∠CAE=∠CAF+∠EAF=60°+45°=105°， ∠ADB=180°-∠B-∠BAD=30°， AM⊥BC,AB=22,∠B=45°， AM=BM=号AB=2, AM⊥BD,∠ADB=30°， MD =3AM=23, ∴BD=BM+MD=2+2V3: 当点F在AC左侧时，如图，连接EC,作AM⊥BC, 23/107 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 根据旋转可知AD=AE,∠DAE=90°， ∠BAC=90°， ∠BAC=∠DAE=90°， .∠BAD=∠CAE, 又AB=AC, ∴△ABD≌△ACE(SAS), ·BD=CE,∠ABD=∠ACE,∠BAD=∠CAE, ∠BAC=90°，AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∠BCE=∠ACE+∠ACB=∠ABC+∠ACB=90°， ∠DAE=90°，AD=AE,AF⊥DE, :.AF EF DF,LEAF =DAE=45, ~∠ECD=180°-∠BCE=90°， 2.CF=EF FD, .AF=CF, 又∠ACF=60°， △ACF为等边三角形， ÷∠CAF=60°， .∠BAD=∠CAE=∠CAF-∠EAF=60°-45°=15°， ·∠ADB=∠ABC-∠BAD=30°， AM⊥BC,AB=2N2,∠B=45°， ÷AM=BM=AB=Z, AM⊥BC,∠ADB=30°， ∴DM=V3AM=2W3, 24/107 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :.BD DM-BM=-2+23; 综上所述，BD的长度为-2+2W3或2+2V3 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质， 解直角三角形，三角形的中位线，直角三角形斜边上点的中线，掌握手拉手的全等三角形模型是解题的关 键 7.（2026河北秦皇岛一模)综合与实践 【情境】要将任意三角形铁板切割成两个面积相同的三角形铁板，需找到合适的切割线。 【模型】如图1，在△ABC中，作AC边上的中线BD,切割线BD分成的两个三角形△ABD和△BCD的面积 相等 图1 【操作】(I)请在图1中，用尺规作图作出切割线AE,使S△ABE=S△ACE,切割线AE交BC于点E.交BD于 点P(保留作图痕迹，不写作法) 【探究】(2)结合【操作】的作图，请判断BP与DP的数量关系，说明理由： 【拓展】(3)如图2，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D,点E分别为AC,BC的中点，若AE⊥BD,垂足为 点P,求sinC的值 【应用】(4)如图3，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D为AC的中点，点E为BC的中点，AE与BD交于点P, 连接CP.己知BC=10,当LBCP最大时，直接写出AC的长. E 图2 图3 【答案】1)见解析：(2)BP=2DP,理由见解析；(3)号(4)0 【分析】(I)作线段BC的垂直平分线交BC于点E,连接AE交BD于点P,则AE是△ABC的中线，△ABD和 △BCD的面积相等； (2)连接DE,则DE是△ABC的中位线，再证明△DEP~△BAP即可得出结果； (3)连接DE,则DE是△ABC的中位线，再证明△DEP一△BAP,从而可得AP=2PE,再证明△ABP一△BEP, 25/107 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设PE=x,则AP=2x,求出BP=V2x,由勾股定理可得AB=V6x,AC=3√2x,最后由正弦的定义即可得 出结果： (4)由直角三角形的性质可得AE=BE=CE=5,由(3)得AP=2PE,求出 PE=号由点A在以点E为圆心，5为半径的圆弧上运动，得出点P在以点E为圆心，为半径的圆弧上运动， 由图形并结合切线的性质可得，当CP1PE时，∠BCP最大，此时AP=2PE=号，CP=10三，最后再由勾股 3 定理计算即可得出结果 【详解】解：(1)如图：线段AE,点P即为所求， 图1 (2)BP=2DP,理由如下： 如图，连接DE, 图1 ~BD为AC边上的中线，AE为BC边上的中线， ..AD=CD,BE=CE DE为△ABC的中位线， DE Nl AB,DE =AB, △DEP△BAP, 26/107 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..BP =2DP; (3)如图，连接DE, D B E 图2 点D、E分别是AC、BC的中点， DE是△ABC的中位线， .DE AB,DE=AB, .△DEP-△BAP, 器-器-》 ..AP =2PE, AE⊥BD,∠ABC=90°， ∴∠BPE=∠ABC=∠APB=90°， ∴.∠ABP+∠EBP=∠BAP+∠ABP=90°， ∴∠EBP=∠BAP, △ABP一△BEP, 品-器 设PE=x,则AP=2x, 斋婴 :.BP =2x, .AB =AP2 BP2 =6x,BE =\PE2 BP2 =3x, ..BC=2BE =23x, ∴AC=VAB2+BC2=3W2x, nc=是=授=号 (4)在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E为BC的中点，BC=10, ∴AE=BE=CE=BC=5, 2 27/107 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由(3)得：AP=2PE, PE=112AE-3 1 .∠BAC=90°，BE=CE=AE=5, ·点A在以点E为圆心，5为半径的圆弧上运动， 点P在以点E为圆心，为半径的圆弧上运动， 如图，由图形并结合切线的性质可得，当CP1PE时，∠BCP最大，此时AP=2PE-号，CP=CE2-PE= 10W2 3 ∴AC=VAp2+Cp2=103 3 即当∠BCP最大时，AC的长为0E 31 考点02 与四边形有关的压轴题 8.(2026广东广州一模)如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=4,点E为边BC上一个动点（不与点 B、C重合)，边AB关于AE对称的线段为AF,连接DF. B 备用图 (I)当AF平分LDAE时，求∠BAE的度数为 (2)延长DF,交射线AE于点G,当BE=2时，求AG的长： (③)在(I)的条件下，连接BP交AE于点M,作EN1AB交AB的延长线于点N,连接MN.试探究是否为定 值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由， 【答案】(1)20° 28/107 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 e ⊙品=2为定值 【分析】(1)根据轴对称的性质和角平分线的性质可得∠FAD=∠FAE=∠BAE,则∠BAE=DAB=20; (2)过点E作AB的垂线，交AB的延长线于点H,连接BG,设∠BAE=a,根据菱形的性质可得 ∠ABC=120°，∠EBH=60°，利用三角函数可计算出BH=1,EH=V3,使用勾股定理可得AE=2W7.由 轴对称的性质可得AB=AF=AD,∠FAG=∠BAE=a,∠ABG=∠AFG,根据等腰三角形的性质和三角形内 角和定理可计算出∠ABG=∠AFG=120°-a,进而得到∠EBG=a=∠BAE.由两角相等可判定 △ABE-△BGE,计算得EG=9,因此AG=AE-BG=今， 7 (3)取AB的中点1，连接M,由轴对称的性质可得点M为BF的中点，则M1是△ABF的中位线，因此M1= AF=2,M1IAF,进一步可得∠MIN=∠BAF=40°.容易得到∠BME+∠BNE=180°，从而判断B、N、E、 M匹点共圆，则∠MNB=∠AEB=40=∠MN,因此MN=MI=乙，号=-2为定值。 【详解】(1)解：由轴对称的性质可知，∠BAE=∠FAE, AF平分∠DAE, ∠FAD=∠FAE=∠BAE, BAE=∠DAB=20: (2)解：如图，过点E作AB的垂线，交AB的延长线于点H,连接BG,设LBAE=a, D G B ~四边形ABCD是菱形， ..AB=AD=4,AD II BC, ∴∠EBH=∠DAB=60°，∠ABC=180°-∠DAB=120°， 在Rt△BEH中，BH=BE·cos∠EBH=2·cos60°=1，EH=BE·sin∠EBH=2·sin60°=V3, ∴AH=AB+BH=5, 由勾股定理可得，AE=AH2+EH=52+(32=2V7, 29/107 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由轴对称的性质可得，AF=AB=4,∠FAG=∠BAE=a,∠ABG=∠AFG, ∠DAF=∠BAD-∠FAG-∠BAE=60°-2a, AD=4=AF ∠AFD=∠ADF=180°-∠DAE 2 =60°+a, ∴∠ABG=∠AFG=180°-∠AFD=120°-a, LEBG=∠ABC-∠ABG=a=LBAE, ∠BEG=∠AEB, ÷△ABE一△BGE, 说-始即号= BG=9 AG=AE-EG =127 (3)解：如图，取AB的中点1，连接M1, M 由(1)可知，∠FAD=∠FAE=∠BAE=20°， ∠BAF=∠BAE+∠FAE=40°，∠AEB=180°-LABC-∠BAE=40°， AF由AB关于AE对称得到， AE垂直平分BF, 点M为BF的中点，AB=AF=4,∠BME=90°， ~点I为AB的中点， MI是△ABF的中位线， MI=AF=2,MIIl AF, ∴.∠MIN=∠BAF=40°， ~EN⊥AB于点N, ∠BNE=90°， 30/107 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠BME+∠BNE=180°， B、N、E、M四点共圆， .BM=BM, ∴∠MNB=∠AEB=40°， ∠MNB=40°=∠MIN, ..MN=MI=2, 号=2为定值 9.(2026广东佛山一模)在口ABCD中，点E,F分别在边AD,BC上，将口ABCD沿EF折叠，使点A的对应 点P落在边CD上，点B的对应点为点G,PG交BC于点H, 图1 图2 图3 (I)如图1，求证：∠DEP=∠GFH; (2)如图2，四边形ABCD是正方形，边长为8，当P为CD的中点时，求GH的长； (③)如图3，四边形ABCD是矩形，连接BG,当DP=2CP,BH=3CH时，求%的值， 【答案】(1)证明见解析 a 39 【分析】IH=3PH(1)设∠AEF=a,由平行四边形的性质可得∠BFE=180°-a,∠CFE=a,由折叠的性 质可得∠PEF=∠AEF=a,∠GFE=∠BFE=180°-a,由角的关系可计算出LDEP=180°-2a, ∠GFH=180°-2a,命题得证： (2)设AE=x,结合正方形的性质和折叠的性质可得PE=x,DE=8-x,PD=4,使用勾股定理构造方程 解出x=5,则DE=3.容易证明△CPH-△DEP,则2器-器从而计算出PH=号因此GH=PG-PH= (3)延长AB、PG交于点I,连接AP,设CP=2a,则DP=4a,CD=6a,由平行可判定△PHC~△IHB, 测号-器-品-因此B1=3CP=6a,H=3PH.由折叠的性质可得，AB=PG=60,BG1AP,进而 31/107 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 得到△1BG-△1AP,测哈=g=侣=因此IP=21G,BG=P.结合沿=河计算出PH=3a,利用勾 股定理计算出CH=5a,进一步计算出AD=45a,AP=46a,BG=AP=26a,最后求出的值即 可 【详解】(1)证明：设LAEF=a, ~四边形ABCD是平行四边形， AD II BC, .∠BFE=180°-∠AEF=180°-a,∠CFE=∠AEF=a, 由折叠的性质可得，∠PEF=∠AEF=a,LGFE=∠BFE=180°-， ∴.∠DEP=180°-∠AEF-∠PEF=180°-2a,∠GFH=∠GFE-∠CFE=180°-2a, ∴LDEP=∠GFH; (2)解：设AE=x, :四边形ABCD是正方形， ∠A=∠C=∠D=90°，AB=AD=CD=8, ..DE AD-AE =8-x, 由折叠的性质可得，∠EPH=∠A=90°，AE=PE=x,AB=PG=8, ~点P为CD的中点， .CP=DP=CD=4, 在Rt△DEP中，DE2+DP2=PE2, (8-x)2+42=x2, 解得x=5, DE=8-x=3, .∠DPE+∠CPH=180°-∠EPH=90°，∠CPH+∠CHP=180°-∠C=90°， ∠CHP=∠DPE, △CPH~△DEP, DE PE PH- GH=PG-PH- (3)解：如图，延长AB、PG交于点l,连接AP,设CP=2a, 32/107 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 +DP 2CP, ..DP=4a,CD=CP+DP=6a, ~四边形ABCD是矩形， .AB=CD=6a,AD=BC,AB II CD, ÷△PHC一△IHB, .:.BI =3CP 6a,IH=3PH, IA=AB+BI 12a, ~四边形PGFE由四边形ABFE沿着EF翻折得到， .AP⊥EF,BG⊥EF,AB=PG=6a, .BG AP, △IBG△IAP, -JP=2IG,BG=AP, lG=PG=6a,1P=21G=12a, 册= PH=IP=3a, 在Rt△CPH中，CH=VPH2-Cp2=V(3a)2-(2a)2=V5a, ∴AD=BC=4CH=45a, 在Rt△ADP中，AP=AD2+Dp2=(45a)2+(4a)2=46a, :.BG=iAP=2/6a, :G=2y60=6 AB 6a 3 33/107 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10.(2026广东珠海一模)如图，直线y=-bx+3b与x轴，y轴分别交于点A、B,以AB为边向右作矩形 ABCD,S矩形ABcD=30, O 图1 图2 备用图 (1)如图l,当tan BA0=时，直接写出点C的坐标； (2)如图2，连接BD,将△BCD沿BD翻折，点C的对应点为点E,若点E在y轴上， ①延长CB交y轴于点F,求证：四边形AFBD为平行四边形； ②求直线AB的解析式： (3)连接0C,求0C的取值范围. 【答案】(1)点C的坐标为(7,2) 2)①证明见解析；②直线AB函数表达式为y=-3x+9或y=-字+1. 3)3<0C≤5+V34 【分析】(1)过点C作CE⊥x轴，交x轴于点E,由三角函数求解出AB的值，易得BC的值，证明 △A0B-△BBC,可得品-C-器，求出CE=2,BE=4,由此可得点C的坐标： (2)①根据翻折和矩形的性质，证明△AHD≌△EHB,由角度等量代换，可证出AF II BD,结合AD I BF, 可证出四边形AFBD为平行四边形②由面积相等的性质，求出AF的长度，证明△AOB一△BOF,得出AO=9, OF=1,可得点A的坐标，再利用待定系数法求解函数表达式即可； (3)同（1)中的过程，用b表示出点C的坐标，可得0C2=9++0,根据方程根的判别式，可得出+0 的取值范围，最终得出OC的取值范围. 【详解】(1)解：过点C作CE⊥x轴，交x轴于点E,如下图所示： 34/107 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 当y=0时，0=-bx+3b, 解得x=3, 0B=3, tan∠BA0= 0A=6, 由勾股定理得AB=VOB2+0A2=3√5， S矩形ABCD=30, BC=502=25, AB :∠ABC=∠AOB=∠CEB=90°， ∠AB0+∠CBE=90°，∠AB0+∠BA0=90°， ∴∠CBE=∠BAO,∠AOB=∠CEB, .△AOB-△BEC, 品-提-2器 即院=品 解得CE=2,BE=4, 点C的坐标为(7,2)： (2)解：①令AB交DE于点H,如下图所示： 35/107 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在矩形ABCD中，AB=CD,∠DAB=∠C=90°，DC IAB 翻折的性质， ∠BDC=∠BDE, .DC II AB, ∠BDC=∠ABD, ∠BDE=∠ABD, ..DH HB, 又~AD=BC=BE,∠DAH=∠BEH=90°， △AHD≌△EHB(HL), ..AH=EH, ∴∠HAE=∠HEA, 又：∠BDE=∠ABD,∠AHE=∠DHB, ∠BDE=∠ABD=∠HAE=∠HEA, 即∠HAE=∠ABD, ..AF II BD, AD BF, 四边形AFBD为平行四边形； ②~四边形AFBD为平行四边形， ,S△AFB=AFX0B=S△ABD=S△BDc=9矩形ABCD=15, 0B=3, 4F=25=10, OB ∠B0F=∠ABF=90°， 36/107 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠0FB+∠FB0=90°，∠FB0+∠AB0=90°， ∠OFB=∠AB0, ,∠B0F=∠A0B=90°， △AOB-△BOF, 品-0 A0×0F=9, 又A0+0F=10, A0=9,0F=1或A0=1,0F=9 点A坐标为(0,9)或点A坐标为(0,1)， 令直线AB函数表达式为y=kx+b, 将点A(0,9)、B(3,0)代入y=kx+b, 得046·解得化g, 直线AB函数表达式为y=-3x+9 将点A(0,1)、B(3,0)代入y=k1x+b1, 得0就年b,解行《物= 3, 1 …直线AB函数表达式为y=-x+1. :直线AB函数表达式为y=-3x+9或y=-x+1. (3)解：由图可知，直线y=-bx+3b中，y随x的增大而减小， -b<0即b>0, 当x=0时，y=3b, 点A坐标为(0,3b): 由勾股定理得AB=V0B2+0A2=3Vb2+1, S矩形ABcD=30, BC=知形ABc2=106+1 AB b2+1 由(1)得△AOB一△BEC, 晓 3 :=1062+= CE b2+1 37/107 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解得BB=0GE=品 点G的坐标为(0+30) .0C2= (++( 化简得0C2=9+60b+100 b2+1 b>0, 0C2>9, 假设+的值为y, 即y=60b+100 b2+1 即yb2-60b+(y-100)=0, 该关于b的方程有解， 即4=3600-4y(y-100)≥0， 得y2-100y-900≤0， 解出50-10W34≤y≤50+10W34, 9+50-10W34≤0C2≤9+50+10V34, 9<0c2≤9+50+10W34=(5+V342, 3<0C≤5+34. 1.(2026江苏无锡一模)如图1，在口ABCD中，snA-专8-号M,N分别是AB,CD边上的动点，将 四边形ADNM沿直线MN翻折，点A,D的对应点分别是点E,F,其中点F始终落在BC边上， 38/107 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B B(F) D D D 图1 图2 图3 (I)如图2，当点E恰好落在直线BC上，且AB=6时，求BF的长； (②如图3，当点F与点B重合时，求的值； ()当△CFN直角三角形时，求的值， 【答案】（ 7 唱 骆成号 【分析】(1)由平行四边形的性质可得AD=5,AD II BC,由平行线的性质可得∠A=∠ABE,由折叠的性质 可得AM=EM,∠E=∠A,EF=AD=5,求出EM=BM=AM=AB=3,作MG⊥BE交BE于点G,则 BE=2BG,解直角三角形得出GM=号，由勾股定理可得GE=},从而得出BE=2GE=号即可得出结果， (2)设AB=6m,则AD=5m,连接DM,作MH⊥AD交AD于点H,设MH=4x,则AM=5x,由勾股定理 可得AH=3x,从而得出BM=6m-5x,DH=5m-3x,由勾股定理可得MD=V(4x)2+(5m-3x)2,由题意 可得点B、D关于MN对称，从而可得BM=MD,进而得出6m-5x=(4)2+(5m-33,求解可得x=贵 m,从而可得AM=5x=名m,BM=6m-5x=汽m,即可得出结果； (3)分两种情况：当∠CNF=90时，延长NF交AB的延长线于点K;当∠CFN=90时，延长CB交EM于点 L,分别结合平行四边形的性质、折叠的性质、解直角三角形、相似三角形的性质以及勾股定理计算即可得 出结果。 【详解】()解：在口ABCD中，铝-号AB=6, ..AD=5,AD BC, ∴LA=∠ABE, 将四边形ADNM沿直线MN翻折，点A,D的对应点分别是点E,F, .AM=EM,∠E=∠A,EF=AD=5, ∴∠E=∠ABE 39/107 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..EM=BM, ∴EM=BM=AM=AB=3, 如图，作MG⊥BE交BE于点G,则BE=2EG, GB F D 图2 sin= sin5=器= :GM=号 GE-NEM+-GM- BE=2GE=号 .BF=EF-BE= 7 2)解：在口ABCD中，铝-= 设AB=6m,则AD=5m, 如图，连接DM,作MH⊥AD交AD于点H, B(F) E M AH 图3 vsinA- 设MH=4x,则AM=5x, ∴AH=VAM2-MH2=3x, ..BM=AB-AM=6m-5x,DH AD-AH 5m-3x, 由勾股定理可得：MD=VMH2+DH平=(4x)2+(5m-3x)2, 40/107 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 将四边形ADNM沿直线MN翻折，点A,D的对应点分别是点E,F,点F与点B重合， 点B、D关于MN对称， ..BM=MD ∴6m-5x=V(4x)2+(5m-3x)Z, 解得：x= 11 30m, AM=5x=m,BM=6m-5x=25m 11 6m, BM 25m_25 (3)解：△CFN直角三角形时， 当∠CNF=90时，如图，延长NF交AB的延长线于点K, ~四边形ABCD为平行四边形， ∠A=∠C,AB IICD,AB=CD,AD=BC vsind= "sinc sind= 设FN=4x,则CF=5x, .CN=CF2-FN2=3x, 由折叠的性质可得：DN=FN=4x, ..CD=DN +CN=7x, ..AB=CD=7x, 8- 10=8c=8, BF=BC-CF=x, AB II CD, 41/107 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .△FCN-△FBK,∠BKF=∠CNF=90°， 5 BK=,KF=子， 2 KN=KF+FW=兰， ∠FND=180°-∠CNF=90°， ∴由折叠的性质可得∠DNM=∠FNM=45°， ·△KMN为等腰直角三角形， .MK-KN-, BN=MK-BK=兰-=总， AM=AB-BM=7x-25x=17 -6x=6x, BM 25x25 如图，当LCFN=90时，延长CB交EM于点L, D ~四边形ABCD为平行四边形， .LA=LC,AD I BC,AB=CD,AD=BC, vsin= <sinc sind= 设FN=4y,则CN=5y, .CF=CN2-FN2=3y, 由折叠的性质可得：DN=FN=4y, ..CD=DN CN=9y, ..AB=CD=9y, 42/107 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4D=BG=5, :.BF BC-CF=, AD II BC, ∴∠C+∠D=180°， 由折叠的性质可得：∠A=∠E=∠C,∠NFE=∠D,EF=AD-y, ∠C+∠NFE=180°， ,∠BFN=180°-∠CFN=90°，∠EFN=∠EFB+∠BFN, ∠EFB+∠C=90°， ∠CNF+∠C=90°， ∠CNF=∠EFB, ·△FCN~△LEF, ∠ELF=∠CFN=90°， LF 4 sinE =EF=5 ..LF =6y, 93 .BL=LF-BF =6y-zy=y, AD II BC, ∠MBL=∠A, .'.sinMBL singA, 兴- .BL2 +LM2=BM2, :.BM=y, 5 ..AM=AB-BM=), 13 BM sy 5 综上所述， 删的值为减号 【点晴】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定 43/107 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关 键 12.(2026浙江台州一模)如图，在正方形ABCD中，点E,F分别是边BC,CD上的动点（不包含端点），AG⊥EF 于点G,GM⊥AB于点M,EF=AG. D 0 M M 图1 图2 (1)如图1，求证：△AMG兰△ECF (2)如图2，过点E作HE⊥BC分别交AG,MG于点H,N. ①求证：四边形BMNE为正方形； ②求证：HE+GN=AB; ③若AB=1,请直接写出HE的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 ②①证明见解析；②证明见解析：③≤HE<1 【分析】(1)根据正方形的性质及垂直的性质得到∠C=∠B=90°=∠AMG,根据等角的补角相等得到 ∠BAG=∠CEF,根据AAS即可证明△AMG兰△ECF; (2)①根据HE⊥BC,GM⊥AB得到∠BEN=∠BMW=∠B=90°，根据正方形的性质得到AB=BC,∠B=90°， 根据△AMG兰△ECF得到AM=EC,进而得到BE=BM,即可证明四边形BMNE为正方形； ②延长MG交CD于点K,根据正方形的性质得到∠C=∠B=90°，∠CEN=∠KNE=90°，根据矩形的性质得 到CK=NE=MN,∠FKG=∠HNG=90°，根据全等三角形的性质得到MG=CF,∠KFG=∠HGN,进而得 到FK=NG,证明△FKG兰△GNH,得到HN=KG,即可证明HE+GN=AB; ③取HE中点O,连接GO,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到GO=HE,延长EH交AD于 P,则四边形AMNP是矩形，得到∠APH=90°，AP=MN,根据正方形的性质得到MN=NE,进而得到 AP=EN,证明△PAH≌△NEG(ASA),得到PH=NG=1-EH,可知0≤EH≤1，根据GO≥NG得到HE≥ 子即可得到HE的取值范围。 【详解】(1)解：~正方形ABCD,GM⊥AB 44/107 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠C=∠B=90°=∠AMG AG⊥EF ∠BAG+∠BEG=360°-∠AGB-∠B=180° ,∠CEF+∠BEG=1809 ∠BAG=∠CEF 在△AMG和△ECF中， EF=AG ∠C=∠AMG ∠MAG=∠CEF ·△AMG≌△ECF(AAS): (2)①证明：HE⊥BC,GM⊥AB, ∴LBEN=∠BMN=∠B=90°， 四边形BMNE为矩形， 四边形ABCD为正方形， ∴AB=BC,∠B=909 '△AMG≌△ECF, ..AM=EC, ..BE BM. :四边形BMNE为正方形； ②证明：延长MG交CD于点K, F D B M ~四边形ABCD为正方形， 4C=∠B=90° 又~四边形BMNE为正方形， ∴∠CEN=∠KNE=90°. ~四边形NECK为矩形， 45/107 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .CK=NE=MN,∠FKG=∠HNG=90° '△AMG≌△ECF, MG=CF,∠KFG=∠HGN, ..FK=NG △FKG≌△GNH(ASA), ..HN=KG, ..HE +GN=HN NE+GN=KG+MN+GN=BC=AB; ③解：取HE中点O,连接GO, D B M ∠HGE=90° 60=HE 延长EH交AD于P, 四边形AMNP是矩形， ∠APH=90°，AP=MN, ~四边形BMWE为正方形， ..MN=NE ..AP=EN ~∠BAG=∠CEF,∠BAP=∠CEP=90°， ∴.∠PAG=∠NEG, 在△PAH和△NEG中， (LAPH=∠ENG AP=EN ∠PAG=∠NEG .△PAH≌△NEG(ASA), .PH=NG=1-EH, 0≤1-EH≤1 46/107 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0≤EH≤1 G0≥NG, E21-H HB≥号 号sHE<1 13.(2026河北保定·一模)如图1，在菱形ABCD中，AB=6,∠BAD=120°，对角线AC与BD相交于点0， M为线段BD上一点，过点M作MN⊥CD,交边CD于点N,以点M为圆心，MN的长为半径画弧，与点M下方 的线段DB交于点P(可与点B重合)，与边AD交于点Q,连接MQ A Q D D 图1 图2 (1)求LPMQ的度数： (2)如图2，当点M与点0重合时，连接PQ,求PQ的长； (3)求扇形MPQ的面积最大值及此时点C与点M之间的距离， 【答案】(1)∠PMQ=120° ®P0=号 (3)8π，点C与点M之间的距离为2V3 【分析】-(1)由菱形性质可知DB平分∠ADC,故点M到AD的距离等于点M到CD的距离.结合MN=MQ 即可得出∠MQD=90°，由此求出即可求解； (2)根据(1)可求2DPQ=LMDQ=30,进而可得PQ=DQ,再解三角形求出QD=0D:cos40DQ=号 (3)在Rt△DMN中，MN=DM,由此得出当DM最大时，MN最大，即扇形MPQ的面积最大，当点P与 点B重合时，DM最大，即扇形MPQ的面积最大由此解题， 【详解】(1)解：~四边形ABCD是菱形， DB平分LADC. ~点M在BD上， 点M到AD的距离等于点M到CD的距离. 47/107 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 MN⊥CD, 点M到AD的距离等于MN的长. .MN MQ, MQ为点M到AD的距离， ∴∠MQD=90°. .MN⊥DC,∠MOD=∠MND=90°. 在菱形ABCD中，∠BAD=120°， LADC=60°， ∠MDQ=30°， ∠QMD=60°， ∴∠PMQ=120°. (2)解：四边形ABCD是菱形，AB=6, ..AB=BC=CD=DA=6,AC L BD, 0D=CD.cos∠CD0=CD:cos30°=6x5=35. ∠D0Q=60°，0Q=0P, ∴∠DPQ=∠PQ0=30°. ∴∠DPQ=∠MDQ=30°， ∴PQ=DQ. ∠0QD=90°， P0=QD=0D.c0s20D0=33.c0s30=33×9=号 (3)解：设MP=MQ=MN=r, 由(1)得∠PMQ=120°， 扇形MPQ的面积为高=受 3 r>0,当r最大时，扇形MPQ的面积最大. ~在Rt△DMN中，MN=DM.sinzMDN=DM:sin30°=DM, 当DM最大时，MN最大，即扇形MPQ的面积最大， 如解图②，当点P与点B重合时，DM最大，即扇形MPQ的面积最大， 48/107 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A(2) D O M (P)B C(N) 解图② DB=20D=6V3, ..DM DB-MB=6V3-r. DM=2MN,.63-r=2r,解得r=25, .MN =2\3,DM=43. 在Rt△DNM中，DN=DM2-MN=(4同2-(2W32=6, 此时点N与点C重合，MW=MC=23, 扇形MPQ面积的最大值为受=xD=8m, 3 此时点C与点M之间的距离为23. 【点晴】性质转化：第(1)问的关键在于将“菱形对角线平分角”转化为“点到两边距离相等”，从而证明垂 直关系，这是解决此类几何证明题的常用突破口 2,三角函数法：第(2)问直接利用菱形的特殊角度(30°，60°)及三角函数值(cos30°)进行计算， 比纯几何法更为简洁高效、 3.函数与方程思想第(3)问是典型的最值问题，核心策略是“以静制动”，将动态的扇形面积转化为半径 T的函数，再将r与线段DM建立关系，最后利用几何位置的极限状态(P与B重合)建立方程求解， 体现了数形结合与方程思想的完美结合 14.(2026辽宁沈阳一模)如图，四边形ABCD中，BD为对角线，AH1BD于点H,AH交CD于点E,交BC 的延长线于点F,此时AH=EH,∠F=∠CEF. H M M 图1 图2 (I)求证：AD IBF; 49/107 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)若M为BF中点，求证：DE=2CM; (3)在(2)的条件下，若C为MF中点，AD=2W5,AB=217,求四边形ABCD的面积. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析： (3)四边形ABCD的面积为30 【分析】(1)由垂直平分线性质、等边对等角可推得∠DAE=∠DEA,结合对顶角相等推得∠F=∠DAE,再 由内错角相等两直线平行即可得证； (2)设DE的中点为P,连接PH、MH,则PH是△EAD的中位线，由此得PH II AD,AD=DE=2PH,证明 ∠ADH=∠EDH=∠MHB=∠MBH得HMCD,由此判定四边形MHPC是平行四边形得CM=PH,据此可得 出结论： (3)连接DF,过点C作CN⊥AD于点N,先求出FC=CM=V5,MF=2V5,BF=4V5,证明△ADH一△FBH 省端-品-品-渠-专设AH=a,则FH=2a,设Dn=6,Bm=2b,则AF=3a,BD=36,再由勾股 定理求出a、b的值，得到AF、BD的值，进而得S四边形ABFD=AFBD=36,再根据梯形的面积公式得 S酒边形AaFD=(AD+BF)×CN=35×CW=36,继而得CN=,则SAcOF=CP.GN=6,据此可得四 边形ABCD的面积 【详解】(1)证：AH⊥BD,AH=EH, .AD ED, ∠DAE=∠DEA, ∠F=∠CEF,∠CEF=∠DEA, ∠F=∠DAE, AD I BF; (2)证：设DE的中点为P,连接PH、MH,如图所示： AH=EH, PH是△EAD的中位线， 50/107 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..PH I AD,AD=DE 2PH, AH⊥BD于点H, ∠BHF=90°， △BHF是直角三角形， ~点M为BF中点， ∴MH是Rt△BHF的斜边BF上的中线， .HM=BM FM=BF, ∠MHB=∠MBH, AD II BF, ∠ADH=∠MBH, ∴∠ADH=∠MHB, 在△ADE中，DA=DE,AH⊥BD于点H, .∠ADH=∠EDH, ∴∠MHB=∠EDH, .HM II CD, 又PH II AD II BF, :四边形MHPC是平行四边形， :.CM=PH, 又DE=2PH, ..DE =2CM; (3)解：连接DF,过点C作CN⊥AD于点N,如图所示： B 在(2)的条件下，即有M为BF中点，DE=2CM, .BM=FM=BF, AD=DE,AD=25, 51/107 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2CM=25, CM=5, 点C为MF中点， .FC=CM=5, .MF FC+CM=5, .BF 2MF=45, AD II BF, ∴△ADH-△FBH, 册=器-岸=分 设AH=a,则FH=2a,设DH=b,BH=2b,其中a>0,b>0, :.AF=AH +FH=3a,BD DH+BH 3b, AH⊥BD于点H, △ADH和△ABH都是直角三角形， 在Rt△ADH中，由勾股定理得：AH2+DH=AD2, a2+b2=(2⑤①， 在Rt△ABH中，由勾股定理得：AH2+BH2=AB2, a2+(2b)2=(217②， 由①②及a>0,b>0,解得a=2,b=4, AF=3a=6,BD=3b=12, ~AH⊥BD于点H, S四边形ABFD=AFBD=×6×12=36, AD II BF, 四边形ABFD是梯形， S四边形ABFD=(AD+BF)×CN=×(25+4⑤×CN=35×CN, 3V5×CN=36, CW=12⑤ 5 5ACDF=CF.CN=15x125=6. 5 52/107 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ·S四边形ABcD=S四边形ABFD-S△cDF=36-6=30, 即四边形ABCD的面积为30. 【点睛】本题考查的知识点是垂直平分线性质、平行线的性质、平行四边形的判定与性质、三角形的中位 线定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股 定理，解题关键是综合运用三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等 于斜边的一半进行推理证明，灵活运用勾股定理及等面积法进行计算 15,(2026山东德州一模)【方法提炼】解答几何问题常常需要添辅助线，其中平移图形是重要的添辅助线 策略， 【问题情境】 如图1，在正方形ABCD中，E、F,G分别是BC,AB,CD上的点，FG⊥AE于点Q,求证：AE=FG小明在 分析解题思路时想到了两种平移法： 方法I：平移线段FG使点F与点B重合，构造全等三角形： 方法2：平移线段BC使点B与点F重合，构造全等三角形； D N E B B 图1 图2 图3 【尝试应用】 (1)请按照小明的思路，选择其中一种方法进行证明： (2)如图2，正方形网格中，点A,B,C,D为格点，AB交CD于点O则：sinAOC的值为 (3)如图3，点P是线段AB上的动点，分别以AP,BP为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形PBEF,连接DE 分别交线段BC,PC于点M,N. ①求LDMC的度数； ②连接AC交DB于点H,直接写出船的值。 【答案】(1)见解析 ef (3)①45°；②V2 【分析】(I)方法1：平移线段FG至BH交AE于点K,证明四边形BFGH是平行四边形，得出BH=FG,再证 53/107 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 明△ABE≌△CBH,即可得出结论； 方法2：平移线段BC至FH交AE于点K,则四边形BCHF是矩形，再证明△ABE≌△FHG,即可得出结论； (2)将线段AB向右平移至FD处，使得点B与点D重合，连接CF,设正方形网格的边长为单位1，由勾股定 理求得CF=V5,CD=2V5,DF=5,得出CF2+CD2=DF2,则∠FCD=90°，由sinzA0C=sinzFDC即可得 出结果； (3)①平移线段BC至DG处，连接GE,由SAS证得△AGD≌△BEG,得出DG=EG,∠ADG=∠EGB,证 明∠EGD=90°，得出∠GDE=∠GED=45°，即可得出结果； ②证明△ACB~△AD1,得出船=怨=密=2即可求解。 AD 【详解】(1)()证明：方法1：平移线段FG至BH交AE于点K,如图， D 由平移的性质得FG WBH, ~四边形ABCD是正方形， ·.AD ICB,∠ABE=∠C=90°，AB=BC, ∴四边形BFGH是平行四边形， :.BH=FG, FG⊥AE, BH⊥AE, .∠BKE=90°， .∠KBE+∠BEK=90°， ∠BEK+∠BAE=90°， .∠BAE=∠CBH, 在△ABE和△BCH中， '∠BAE=∠CBH AB=BC ∠ABE=∠C △ABE≌△BCH(ASA), .AE=BH, 54/107 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .AE FG; 方法2：平移线段BC至FH交AE于点K,如图， D H B 则四边形BCHF是矩形，∠AKF=∠AEB, FH=BC,∠FHG=90°， ~四边形ABCD是正方形， AB=BC,∠ABE=90°， AB=FH,∠ABE=∠PFHG, FG⊥AE, ∠HFG+∠AKF=90°， ∠AEB+∠BAE=90°， .∠BAE=∠HFG, 在△ABE和△FHG中， (LBAE=∠HFG AB=FH ∠ABE=∠FHG △ABE≌△FHG(ASA), .AE=FG; (2)解：将线段AB向右平移至FD处，使得点B与点D重合，连接CF,如图， G E B D ÷∠AOC=∠FDC, 设正方形网格中小正方形的边长为单位1， AC=2,AF=1,CE=2,DE=4,FG=3,DG=4, 由勾股定理可得，CF=VAC2+AF2=V22+12=V5,CD=VCE2+DE2=V22+4=2W5,DF= 55/107 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 VFG2+DG2=V32+42=5, :(⑤2+(2⑤=52， 即CF2+CD2=DF2, △DCF为直角三角形，∠FCD=90°， .siA0C=sinF☑PDc=号=号 (3)解：①平移线段BC至DG处，连接GE,如图， B 则∠DMC=∠GDE,四边形DGBC是平行四边形， ∴.DC=GB, ~四边形ADCP与四边形PBEF都是正方形， DC=AD=AP,BP=BE,∠DAG=∠GBE=90°， ∴.DC=AD=AP=GB, ..AG=BP BE, 在△AGD和△BEG中， AG=BE ∠DAG=∠GBE, AD=GB ∴△AGD≌△BEG(SAS), .DG=EG,∠ADG=∠EGB, .∠EGB+∠AGD=∠ADG+∠AGD=90°， .∠EGD=90°， ∠GDE=∠GED=45°， ∠DMC=∠GDE=45°； ②如图， 56/107 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B ~AC为正方形ADCP的对角线，∠DMC=45°， ∠DAC=∠PAC=45°=∠DMC, .AC=2AD, '∠HCM=∠BCA, .∠AHD=∠CHM=∠ABC, △ACB△ADH, 器-%=0-2 【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查全等三角形的判定与性质，正方形的性质，相似三角形的判 定与性质，勾股定理，解直角三角形，掌握以上知识点是解题的关键 16.(2026辽宁沈阳·一模)如图，已知正方形ABCD的边长为3V5,E为CD边上一点，连接BE,以CE为边 向外侧作正方形CEFG,连接AF. D D H G (图1) (图2) (1)如图1，当E为CD中点时，求AF的长； (2)如图2，连接AC,BD交于点O,AF与BD交于点H,延长BE交AF于点P. ①请写出LAPB的度数，并说明理由； ②当AH=5PF时，求正方形CEFG的面积. 【答案】02 (2)①∠APB=45°，理由见解析；②5 【分析】(1)延长FE交AB于点M,证明出四边形MBCE是矩形，然后结合E为CD中点求出AM,MF,然后 利用勾股定理求解； (2)①如图，连接CF,设AC与BP交于点I,得到△ABC,△FEC是等腰直角三角形，推出 57/107 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠ACB=LECP=45,能==2，证明出△BCE-△ACR,得到∠CBE=LCAP,然后利用三角形内角和 定理即可求出∠BCI=∠APB=45°； ②如图，连接PC,设PF=x,则AH=5PF=5x,证明出△AOH一△ACF,表示出AF=10x,然后证明出 △PAC一△PCF,表示出PC=3x,然后进一步得到EC=FC=V5x,BE=5V2x,最后利用勾股定理求出 x=1,进而求解即可 【详解】(1)解：如图，延长FE交AB于点M, D M中 B G 正方形ABCD的边长为3V5, ..AB=BC CD =35, ~正方形CEFG, 四边形MBCE是矩形， E为CD中点， AM=MB=EC=DE=EF-CD=35,ME=BC=35.EM LAB, MF=ME+EF=35+355 2 2 ∴AF=vAM2+MF2=152 2 (2)解：①LAPB=45°，理由如下： 如图，连接CF,设AC与BP交于点I, D ~四边形ABCD,ECGF是正方形， △ABC,△FEC是等腰直角三角形， 58/107 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2AcB=∠BCF=45,能-=2， ∠BCD=∠ACF, △BCE-△ACF, LCBE=∠CAF, ∠BIC=∠AIP, ∠BCI=∠APB=45°； ②如图，连接PC, o H 设PF=x,则AH=5PF=5x ~四边形ABCD是正方形 ACL BD,AO=OC=AC, :∠ACD=∠FCD=45°， ∴∠ACF=90°，即AC⊥FC, ..BD I CF, △AOH-△ACF, ..AF =10x, .AP AF-PF=9x, ∠BCI=∠APB=45°， 点A,B,C,P四点共圆， ∠BPC=∠BAC=45°， ∠APC=∠APB+∠BPC=90°， ∠PAC+∠ACP=∠PCF+∠ACP=90°， ∠PAC=∠PCF, 又LAPC=∠CPF=90°， 59/107 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .△PAC-△PCF, PF PC PC=PA' 即元=器 .PC=3x, ..FC=PC2 PF2 =10x, EC=FC=5x, 2 由①得，△BCE一△ACF, 能=能=2即=2。 ..BE 5V2x, 在Rt△BCE中，BC2+CE2=BE2, 3⑤2+(5)2=(52x)2, x=1（负值舍去)， .EC =5x=5, 正方形CEFG的面积=(W⑤2=5. 17.(2026浙江舟山一模)如图1，在菱形ABCD中，∠C=60°，E是对角线BD上一点，连接AE,设∠EAB=a (0°<a<30),将△ABE沿AE折叠得到△AGE,连接DG并延长交BC于点H. (图1) (图2) (I)用含a的代数式表示LDAG, (2)求证： ①LBDH=∠BAE; ②BH=BE. (3)如图2，当DG:GH=2:1时，求DE:BE的值， 【答案】(1)60°-2a (2①见解析；②见解析 (3)DE:BE=1+V6 【分析】(1)根据菱形的性质得到∠DAB=∠C=60°，根据折叠的性质得到∠GAE=∠BAE=a,进而可求 60/107 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠DAG; (2)①根据等边对等角及三角形内角和得到LADG=60°+《，根据等边三角形的判定和性质证明即可； ②根据菱形的性质得到∠EBA=∠DBH=60°，根据等边三角形的性质得到AB=DB,证明 △ABE兰△DBH,即可证明BH=BE: (3)连接EH,延长EG交CD于K,作KM⊥DB于M,根据等边三角形的判定和性质得到EH=BE=GE,证 明△DGK-△HGB,得到昭-二-胎=2，设EH=BE=GE=,根据30角的性质得到DM=,根据勾 股定理得到KM=V3x,ME=V6x,求出DE=x+V6x,即可求出DE:BE的值. 【详解】(1)解：菱形ABCD, ∠DAB=∠C=60°， 折叠， ∴∠GAE=∠BAE=a, ∠DAG=∠DAB-∠GAE-∠BAE=60°-2a; (2)证明：①~菱形ABCD, ∴AD=AB, 由折叠可知，AG=AB, AD=AG LADG=180°-∠DAG 2 =60°+C《, ∠DAB=60°， :.△ABD为等边三角形， ∠ADB=60°， LBDH=∠ADH-∠ADB=C=∠EAB; ②~AD IBC ∴.∠ABC=180°-∠DAB=120°， 菱形ABCD, LEBA=∠DBH=iABC=60, ~△ABD为等边三角形， ∴AB=DB, ∠BDH=∠BAE, △ABE≌△DBH(ASA), 61/107 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..BH BE; (3)解：如图，连接EH,延长EG交CD于K,作KM⊥DB于M. B 由(2)得BH=BE,∠EBH=60°， ·△BEH为等边三角形， ..EH BE =GE, ,∠BHE=∠C=60°， ..EH CD, △DGK-△HGE, 器-器-器=2， 设EH=BE=GE=x, DK KG=2x,KE=KG+GE =3x. 在Rt△DMK中， ∠BDC=60°， ∠DKM=30° DM=DK=x ..KM=3DM=3x, .ME=KE2-MK2=6x, .DE DM+ME=x+6x, ..DE:BE =1+6. 18.(2026辽宁朝阳·一模)如图1，正方形ABCD中，点E为边AB上一点，将△BCE沿CE翻折得△FCE, 射线BF分别与CE、AD交于点O、G, 62/107 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G G E 图1 图2 图3 (I)求证：△CBE≌△BAG; (2)如图2，当0G=3,0C=4时，求正方形ABCD的边长； (3)如图3，在(2)的条件下，线段CF,BD相交于点H,求DH的长， 【答案】)见解析 (225 69 【分析】(1)由正方形的性质可得AB=BC,∠ABC=LBAD=90°，即LABG+LCB0=90°；由折叠的性质 可得∠BOC=90°，即∠BCE+∠CB0=90°，易得∠BCE=∠ABG,再根据ASA即可证明结论： (2)由全等三角形的性质可得BG=CE,设B0=x,则CE=BG=x+3, 证明△BCE一△OCB可得BC2=C0·CE=4(x+3),由勾股定理可得BC2=B02+C02=x2+16,进而得到 方程x2+16=4x+12,解得：x=2;然后代入求得BC的长即可解答； (3)由(2)可得0B=2,正方形边长为25。运用等面积法以及勾股定理可得01=9引=，如图 以B为原点，以AB为y轴，以BC为x轴建立直角坐标系，则B(0.0,0(g,).c(250)D(252同.F (售，9，再运用待定系数法求得直线BD的解析式为y=x、直线C的解析式为=京+，然后联立即 可求得点H的坐标，最后运用两点间距离公式求解即可， 【详解】(I)证明：正方形ABCD, AB=BC,∠ABC=∠BAD=90°， LABG+∠CB0=90°， 将△BCE沿CE翻折得△FCE, CE⊥BF,OF=OB, ∠B0C=90°， .∠BCE+∠CBO=90°， ∴∠BCE=∠ABG, 63/107 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .△CBE≌△BAG(ASA). (2)解：由(1)得CE⊥BF,OF=OB, Y△CBE≌△BAG, :.BG=CE. 设B0=x,则CE=BG=x+3, ,∠BCO=∠BCE,∠EBC=∠BOC=90°， .△BCE△OCB, BCCE ,即BC2=C0·CE=4(x+3) BC2=B02+C02=x2+16. x2+16=4x+12,解得：x=2, BC2=4×(2+3)=20,即BC=2V5, 正方形边长为2W5. (3)解：由(2)可得：0B=2,正方形边长为25. 如图：过0作OI⊥BC于1， B■ S△Boc=B0.0C=BC.0L, ×2×4=×2501,解得：01=5， B1=V0B2-012=25 5 如图：以B为原点，以AB为y轴，以BC为x轴建立直角坐标系，则B(0,0).0(,),c(25,0)D(25.2同 由(1)可得：CE⊥BF,OF=OB, (5,9 设直线BD的解析式为y=kx,则2W5=2V5k,解得：k=1, 直线BD的解析式为y=x, 64/107 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设直线CF的解析式为y=mx+n, (0=2W5m+n 1m= 则5=5m+n’ 解得： 3 5 5 n= 8V5 直线GP的解祈式为y=字+5， 4 3 =-x+ 4 联立 3,解得： y=x y5, 7 H(,）, .DH 25-9+(w5- 7 7 【点晴】灵活运用平面直角坐标系解决问题是解题的关键 考点03 与圆有关的压轴题 19.(2026浙江绍兴.一模)如图，四边形ABCD内接于圆O,AB为直径，CD=CB,AC交BD于点G, CE⊥AB,垂足为E,CE交BD于点F. D D G G 0 图1 图2 图3 (I)如图1，证明：FC=FB. (2)如图2，连结0F,若LCAD=20°，求L0FE的度数 (3)如图3，连结0G,若OG=4,B0=BG,求四边形0EFG的面积. 【答案】(1)见解析 (2)70° 3赠 【分析】(1)根据圆中直径对应的圆周角为90°和CE⊥AB证明∠CBD=∠BCE即可. (2)根据已知关系证明CF=FG,得到F是BG中点，从而OF是中位线，故OF IIAG,再根据弧长相等则对 应的角相等求得∠FOE=20°，最后求出LOFE. (3)连结OF,过O作OH⊥AC,垂足为H,证明△AOH=△BGC(AAS),得出相应边的比例关系，三角形 的面积关系，用勾股定理表示出相应边和面积，最后求解， 【详解】(1)证明：~AB为直径，所以∠ACB=90°，∠CAB+∠CBA=90°. 65/107 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G F B E 又CE⊥AB. ·.∠BCE+∠CBA=90°. ·∠CAB=∠BCE. CD=CB, ∠CBD=∠CDB=∠CAB. .∠CBD=∠BCE, FC=FB. (2)解：由(1)已知∠FBC=∠FCB,∠ACB=90°，CF=BF, G B E ·.∠FBC+∠CGB=∠FCB+∠FCG=90°， .∠FCG=∠CGB, .FC=FG, FG=FB,即F是BG中点， O是AB的中点， 所以OFIAG. ∠CAD=20°，CD=CB, ..CB=CD, ·∠CAB=∠CAD=20°. CE⊥OB, ·∠ACE=90°-∠CAB=70°， ∴∠0FE=∠ACE=70°. (3)解：连结OF,过O作OH⊥AC,垂足为H,所以AH=HC, 由圆的性质和已知条件得OA=OB=BG, 66/107 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D C G A (∠AHO=∠ACB=90° 由 ∠CAB=∠CBG OA=BG △AOH≌△BGC(AAS), :CG=OH=BC=AH=HC,tanLCAB= G是CH中点，HG=CH, OH=HG, 设OH=a, ÷0H2+HG2=0G2, a2=8,所以Sa406=a2=12 '∠BCE=LCAB, .tanBCE BE 1 CE tan-CAB=-是- BE 1 AE=4 A0=B0, …能- .SAOEF=SABOF. F为BG的中点， .S△OFG=S△OBF, S四达形0EP6=SAB0P=手△B0G=5AA0G, 六S四边形0E6=×12= 5 20,(2026浙江宁波一模)如图，AB为⊙O直径，C为圆O上一动点，且C在直径AB上方，连接AC, BC,点M为AC中点，连接BM,与AC相交于点N. 67/107 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M 图1 图2 图3 (1)如图1，连接OM,求证：OM IIBC; (2)如图2，连接ON,AM,当ON⊥BM时，求tanBAC的值： (3)如图3，作MH⊥AB于H,∠BMK=∠BAC,与⊙O交于点K(点K在AB下方)，MK与AB交于点E.若BC= V3,MH=6,求： ①⊙0的直径： ②EK的长， 【答案】(1)见解析 af 3)①35；②EK=2 【分析】(1)由垂径定理可得OM⊥AC,再由圆周角定理得出CB⊥AC,即可得证； (2)连接OM交AC于点G,由垂径定理可得OM⊥AC,AG=CG,证明OG为△ABC的中位线，得出 BC=2OG,再由垂径定理可得BN=MN,由圆周角定理可得∠ACB=90°，证明△BCN兰△MGN(AAS),得 出MG=BC=20G,求出0A=0M=30G,由勾股定理可得AG=2V20G,即可得出AC=2AG=4W20G,最 后由正切的定义计算即可得出结果： (3)①延长MH交⊙O于点F,由题意可得AM=MC,由垂径定理可得AM=AF,由圆周角定理可得 ∠ACB=90°，再证明MF=AC,得出AC=MF=2MH=2y6,最后再由勾股定理计算即可得出结果； ②设AH=a,则BH=3V3-a,证明△AMH~△BMH,求出AH=V3,BH=2W3,由勾股定理可得 AM=3,BM=32,求出an-ABM=9,由O可得AC=26,tanzBMK=tan-BAC=-号，过点E作EP⊥BM 4 于点P,设PE=V2b,则BP=2b,MP=4b,求出PE=1,BP=√2，MP=2W2,由勾股定理可得BE=V3, ME=3,则AB=23,连接BK,则∠MAB=∠MKB,证明△ABM-△KEB,得出整-，代入计算即可 得出结果 【详解】(1)证明：点M为AC中点， .0M⊥AC, 68/107 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB为直径， ∠ACB=90°，即CB⊥AC, ..OM II BC; (2)解：如图，连接OM交AC于点G, M ~点M为AC中点， ∴OM⊥AC,AG=CG, O为AB的中点， OG为△ABC的中位线， .BC 20G, ON⊥BM, ..BN =MN, AB为直径， LACB=90°， 在△BCN和△MGN中， '∠BCN=∠MGN=90° ∠BNC=∠MNG BN=MN .△BCN≌△MGN(AAS), .MG=BC =20G, ∴.0M=OG+MG=30G, 0A=0M=30G, AG=V0A2-0G2=2V20G, AC=2AG=420G, tanzBAC BC=20G 4 (3)解：①延长MH交⊙O于点F, 69/107 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B ~点M为AC中点， ÷AM=MC, ~MH⊥AB,且AB为直径， :AM=AF,∠ACB=90°， ..AM+AF=AM+MC, .MF =AC, AC=MF=2MH=2√6， .AB=AC2+BC2=33; ②设AH=a,则BH=AB-AH=3V3-a, AB为直径，MH⊥AB, ∴.∠AMB=∠AHM=∠BHM=90°， ∴.∠AMH+∠MAH=∠AMH+∠BMH=90°， ∠MAH=∠BMH, .△AMH-△MBH, AH MH M疗=B 6 6=3-a 解得：a1=2V3(不符合题意，舍去)，a2=V3, AH=3,BH =2v3, .AM=AH2+MH2=3,BM=MH2+BH2=32, ctanABM-益=号 由0可得：AC=26.tan.BAC=-荒=票 ∠BMK=∠BAC, tan☑BMK=tanzBAC=2 4 70/107 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 过点E作EP⊥BM于点P, 设PE=V2b, tan/ABM--器=9 tan/BMK=-器-号 2 ..BP =2b,MP =4b, ..BM MP+BP 6b, .6b=3V2, 6=9 ..PE =1,BP=2,MP=22, :.BE=PE2 BP2=3,ME=MP2 PE2 =3, ∴AE=AB-BE=2V3 连接BK,则∠MAB=∠MKB, ,∠AEM=∠BEK, .△AEM一△KEB, 是-器 器-昌 EK=2. 21.(2026福建漳州一模)如图，正方形ABCD内接于⊙O,点P在BC上，连接AP,交BD于点F,交BC于 点E,连接CF,BP,DP B D (I)求证：△BEF~△PBF; (2)若BD=2,EF=EC,求DP的长； (3)探究AP,BP,DP之间的等量关系， 【答案】(1)证明见解析 2 (3)BP+DP=V2AP,见解析 71/107 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】(I)根据正方形的性质得到AB=CD,则AB=CD,再由圆周角定理得到∠APB=∠CBD,然后结合 公共角即可： (2)先证明△ABF兰△CBF(SAS),结合EF=EC,则可设∠EFC=∠BCF=∠BAF=x,那么 ∠AEB=∠EFC+∠BCF=2x,由∠AEB+∠BAF=90°，求出x=30°，由(1)知△BEF一△PBF,则 ∠FEB=∠FBP=60°，连接OP,则∠DOP=2∠FBP=120°，确定BD是⊙O的直径，再由弧长公式求解即可 (3)延长PB到点H,使得BH=DP,连接AH,先证明△ADP≌△ABH(SAS),则AH=AP,LBAH=∠DAP, 可得∠HAP=∠BAD=90°，则由勾股定理得到PH=VAP2+AH2=V2AP,再等量代换求证即可. 【详解】(1)证明：四边形ABCD是正方形， ..AB=CD ..AB=CD .∠APB=∠CBD LBFE=∠PFB △BEF-△PBF: (2)解：~四边形ABCD是正方形，BD是对角线， ∴AB=BC,LABC=∠BAD=90°，∠ABD=∠CBD=45 又FB=FB, △ABF≌△CBF(SAS), ∠BAF=∠BCF, .EF EC, ∠EFC=∠BCF 设∠EFC=∠BCF=∠BAF=x, ∠AEB=∠EFC+∠BCF=2x ,∠AEB+∠BAF=90° 3x=90°， x=30, ∴LAEB=60°， 由(1)知△BEF一△PBF ∴LFEB=∠FBP=60 连接0P,则∠D0P=2∠FBP=120° 72/107 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 正方形ABCD内接于⊙O,∠BCD=90° BD是⊙O的直径， ×BD=2 <0D=BD=1 DP的长为3瑞×2m×1- 2 (3)解：BP+DP=V2AP,理由如下： 延长PB到点H,使得BH=DP,连接AH, B D ∠ADP+∠ABP=180°，∠ABH+∠ABP=180°， ∴LADP=∠ABH, 正方形ABCD中，AB=AD, 又~BH=DP ·.△ADP≌△ABH(SAS) ∴AH=AP,∠BAH=∠DAP 正方形ABCD中，∠BAD=90°， ∠HAP=∠BAH+∠BAP=∠DAP+∠BAP=∠BAD=90 :.PH =AP2 AH2=2AP .BP BH=2AP .BP DP =2AP. 73/107 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 22.(2026福建厦门一模)如图，点D是△ABC外接圆⊙O上的一点，AC⊥BD于G,连接AD,CD,0D.过 点B作直线BFIAD交AC于E,交⊙O于F,若点F是CD的中点. D (1)求证：AB=CF; (2)当CD=3时，求⊙0的半径： (③)若AG=GE,连接0G.请你探究∠G0D与∠ADC之间的数量关系，并证明. 2 【答案】（①）见解析 (2V3 (3)2∠G0D+∠ADC=240°，理由见详解 【分析】(1)根据弧中点得到CF=DF,根据平行线夹弧得到AB=DF,即可得证； (2)作OM⊥DC于点M,连接OC,则DM=根据F=D=AB,得到∠ACB=∠CBF=∠DBP,根据 AC⊥BD,得到∠ACB=∠CBF=∠DBF=30°，得到∠DBC=60°，得到∠D0C=2∠DBC=120°，得到 ∠0DM=30°，得到0D=V3,即可； (3)作0M1DC于点M,连接0C,设GE=x,则AG=x,根据∠BGC=∠AGD=90°， 2 ∠4ACB=∠ADB=30°，得到DG=2x,BG=V3x,得到CG=3x,由勾股定理得到DC=5x,得到DM=35 2 2 4 x,得到0D=3x,得到DG=0D,得到2∠G0D+∠0DG=180°，根据∠ADB+∠0DC=60,即得 2 2∠G0D+∠ADC=240° 【详解】(1)证明：~点F是弧CD的中点， ..CF DF, AD WI BF, ..AB=DF, ..AB=CF; (2)解：作0M1DC于点M,连接OC,如图， CD=3, 74/107 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DM=CD= 由(1)可知：CF=DF=AB, LACB=∠CBF=LDBF, AC⊥BD, ∠BGC=90°， LDBF+∠CBF+∠ACB=90°， ∴∠ACB=∠CBF=∠DBF=30°， ∠DBC=60°， .∠D0C=2∠DBC=120°， .OD=0C, ∠0DM=30°， 0M=0D, 0M2+DM2=0D2, 0D=2DM=V5, 3 ⊙0的半径3： D G B (3)解：2∠G0D+∠ADC=240°.理由如下： 同(2)，作OM1DC于点M,连接0C, 由(2)知，∠BGC=∠AGD=90°，∠ACB=30°，∠0DM=30°， ∠ADB=∠ACB=30°， 设GE=x,则AG=与： .DG=3AG=32x,BG=3EG=3x, CG=3BG=3x, 75/107 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DC=DG2+CG2=3V6x, 2 DM=CD-36x, 4 0D=DM=9, 3 .DG=OD, 2∠G0D+∠0DG=180°， ,∠ADB+∠ODC=60°， 2LG0D+∠0DG+∠ADB+∠0DC=240°， 即2∠G0D+∠ADC=240°. 【点晴】本题主要考查了圆与三角形综合，熟练掌握平行弦性质，垂径定理，勾股定理解直角三角形，圆 周角定理，等腰三角形性质，含30°的直角三角形性质，是解决问题的关键. 23.(2026黑龙江哈尔滨一模)已知：四边形ABCD是⊙O内接四边形，AC是⊙O的直径，AC、DB相交于 点P,点E在PD上，∠DCE=90°-∠ACB. D D 图1 图2 图3 (I)如图1，求证：∠BEC=2LBAC; (2)如图2，若LDBC=2LCAB,求证：AD=AP; (3)如图3，在(2)的条件下，AB=3BC,点G在AD上，EG⊥EF交AC于点F,EG=3EF,PF=1,求⊙O 的半径， 【答案】(1①)见解析 (2)见解析 (3)10 【分析】(1)由同弧所对的圆周角相等可以证明∠BDC=∠BAC=《,再由等角的余角相等可以证明 ∠DCE=∠BDC=a,最后用外角的性质即可求证； (2)由同弧所对的圆周角相等可以证明∠ADB=∠ACB=90°-a,再由外角的性质证明∠DPA=90°-a即可 (3)作GN⊥AC于N,点M在AF上，使得∠GMC=∠APD,证明△MGF一△PFE,利用相似三角形的性质求 76/107 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 出GM,GN,MN的值.延长FE交CD于点R,连接GR,作RS⊥GF交于点S,证明D,G,E,R四点共圆，得到 ∠RGE=∠BGF=a,求出an2a=子从而求出AG的值.作CT1BD于点T,通过ana=an2a=求出AP关 3 于n的一元一次方程，求解即可. 【详解】(1)证明：设LBAC=a, AC为圆O的直径， LABC =90, ∠ACB=90°-a, ∠DCE=90°-∠ACB, ∠DCE=a. ∠BDC=∠BAC=a, ∴∠DCE=∠BDC=a, ∠BEC=∠DCE+∠BDC=2a, 即∠BEC=2LBAC (2)证明：由(1)得∠DBC=2∠CAB=2a, AC是⊙O的直径， ∠ABC=90°， ∴.∠ACB=90°-∠CAB=90°-a, ∠ADB=∠ACB=90°-a. ,∠DPA=∠CAB+∠ABP =a+90°-∠DBC =a+90°-2a =90°-a, ∠ADB=∠DPA, ..AD=AP. (3)解：如图，作GN⊥AC于N,点M在AN上，使得∠GMC=∠APD, 77/107 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 EG⊥EF, ∴∠GEF=∠ABC=90°， AB=3BC,EG=3EF, 提=器=3， tan-ACB=tan-EFG=3,tanzBAC= .LACB=LEFG,FG=FE2 EG2=FE2+(3EF)2=10EF. LACB=∠ADB=∠DPA, ∴.∠EFG=∠DPA=∠GMC ~∠GFM+∠EFG+∠EFP=180°， ∠FEP+∠DPA+∠EFP=180°， ∴∠GFM=∠FEP, △MGF-△PFE, ..MG=10PF =10. tanLGMC=tan∠EFG, 0=器=3， ..GN=3MN, .GM=GN2+MN2=(3MN)2+MN2=10MN, 即V10=V10MN, MN=1,GN=3, 如图，延长FE交CD于点R,连接GR,作RS⊥GF交于点S, 78/107 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AC是⊙O的直径， ∠ADC=90°， LGER=∠GEF=90°， ∠ADC+∠GER=180°， D,G,E,R四点共圆， 由(1)得LBAC=∠BDC=∠DCE=a, :LRGE LCDB=a, ,∠ACB=∠EFG,∠GEF=∠ABC=90°， ∠EGF=∠BAC=a, ∠RGE=∠EGF=a, tanBAC tanZRGE=tanLEGF tand=ER=EF=RF, 器-即GE=3E, .GF=GE2+EF2=(3EF)2+EF2=10EF, SAGRF-ix RFxGE-ixGFxRS, x2EF×3EP=×V10EF×RS, RS=30EF, 5 SF=RF2-RS2= (2E2-(P'=, GS=GF-SF=10EF-N1OEF=0EF, 5 5 RS ..tan2a 30EF_3 GS 二40EF 5 ∠DAC=∠DBC=2a, 在R△AGN中，器= AN=4, 79/107 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AG=AW2+GW2=42+32=5. 如图，作CT⊥BD于点T, B 设PT=n, ∠CPB=∠DPA=∠EFG=90°-Q, ..LPCT=a, vtana =an2a .CT=3n,CP=10n,DT=9n,CD=310n,ET 4n, .EP ET-PT =4n-n=3n,AD AP=4v10n, ..FM =10EP 310n, ..NP FM-MN PF =3v10n-1+1=3v10n, 4P=NP+AN=310n+4=410m,解得n=高 Ac=AP+Pc=4W10m+Vi0m=510m=510×高=20 .0C=10. 【点睛】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，外角的性质，等腰三角形的判定和性质，相 似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，掌握圆的相关性质是解题关键 24.(2026河北石家庄.一模)情境如图1，半圆0的直径AB=12,点C是直径AB上一点，点D在半圆0上， 且∠BCD=a(0°<a<90): 操作：将半圆O沿线段CD裁剪后，得到图形ACD和图形BCD两部分，然后保持图形BCD不动，将图形ACD 翻转后，再与图形BCD拼接成如图2所示的平面图形，过点D作AC的平行线L,交弧AD于点P,如图3.（说 明：拼接不重叠无缝隙无剩余) 80/107 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D(C) 图1 图2 图5 发现： (I)直接写出a与LACD满足的数量关系； (2)如图3，若点D在圆心O的左侧，D0=2,当l1BD时， ①求a的值； ②求CD的长. 探究：如图4，若点D在圆心O的左侧，且D0=2,连接PC,当l1PC时， (3)在图4的基础上，用尺规作图作出弧AD所在圆的圆心G(保留作图痕迹，不写作法)； (4)求线段DC的长， 拓展： (⑤)如图5，若点D在圆心O的右侧，当弧AD所在的圆与BO相切于点D时，弧BC的长为π，直接写出线段DC的 长： 【答案】（①）∠ACD=180°-a (2)①a=45°；②CD=V34+V2 (3)见解析 (443 (5)2V3 【分析】(1)根据邻补角的定义求解即可： (2)①推导出∠BDC+∠ACD=180°，∠PDC+∠ACD=180,得到∠PDC=∠CDE=∠PDE=45,即可 解答； ②延长AC交BD于点E,连接C0,推导出∠DCE=∠PDC=45°，得到∠CED=180°-∠CDE-∠DCE=90°， DE=CE=2+0E,根据勾股定理，得到CE2=0C2-0E2=62-0E2=36-0E2,则36-0E2=(2+0E)2, 求出0E=√17-1或-V17-1(不符合题意，舍去)，得到CE=DE=V17+1,则CD=VCE2+DE2= 2×(17+1)2=34+V2,即可解答： (3)尺规作图-作出PD的垂直平分线MG,延长AC与MG的交点即为点G; 81/107 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (4)连接DG,由图(1)，圆G与圆O为等圆，推导出MD=PM=PD,4GMP=∠CPM=90,证明出四边 形PMGC是矩形，求出PD=2×2=4,MD=2,得到MG=VDG2-MD2=V62-22=4V2,再根据勾股定理 求出CD=VPC2+PD2=4V3,即可解答： (5)过点D作GD⊥OB于点D,交AC于点G,过点C作CN⊥DG于点N,推导出AC与射线DG的交点G即 为弧AD所在的圆的圆心，补全圆G,延长AC交圆G于点K,推导出∠KGD=30°，得到 ∠PDG=∠KGD=30°，求出∠BDC=∠PDC=PDB=(180°-∠PDO)=60,推导出CG=CD,得到GN= D=3,则cD=2=o=23即可解答. 【详解】(1)解：LACD+∠BCD=180°， ∠ACD=180°-a (2)解：①l⊥BD, LPDB=90°， 由图1，可得∠BDC+∠ACD=180°， DPMAC, ∠PDC+∠ACD=180°， ∠PDC=∠CDB=5∠PDE=45, 2 ∴a=45°， ②延长AC交BD于点E,连接C0,如图，有0C=×12=6 E B DPIAC ∴∠DCE=∠PDC=45°， ∠CED=180°-∠CDE-∠DCE=90°， :CE2=0C2-0E2=62-0E2=36-0E2,△CDE是等腰直角三角形，且DE=CE=2+0E, 36-0E2=(2+0E)2, 解得0E=V17-1或-V17-1(不符合题意，舍去)， 82/107 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .CE=DE=17+1, CD=CE2+DE=2x(17+1)2=34+2; (3)解：如图所示，点G即为所求： B 图4 理由如下：由(1)可知，弧AD所在的圆的圆心在AC的延长线上，弧AD所在的圆的圆心也在PD的垂直平分 线MG上， AC的延长线与MG的交点即为弧AD所在的圆的圆心G; (4)解：如图4，连接DG, 由图(1)，圆G与圆0为等圆， AC=6-0D=4,DG=6, ..CG=AG-AC=2, MG是PD的垂直平分线，I⊥PC时，弧AD所在圆的圆心G, MD PM=PD,ZGMP=ZCPM=90, DPMAC, ∴∠PCG=180°-∠CPM=90°， 四边形PMGC是矩形， PM=CG=2,PC=MG,即PD=2×2=4,MD=2, MG=VDG2-MD2=62-22=4V2, :.PC=42, .CD=PC2+PD2=43. (5)解：过点D作GD⊥OB于点D,交AC于点G,过点C作CN⊥DG于点N,如图 83/107 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 图5 ∠GD0=∠GDB=90°，∠CND=∠CNG=90°， 由图(1)可知，弧AD所在的圆的圆心在AC上， ~弧AD所在的圆与BO相切于点D时， 弧AD所在的圆的圆心在射线DG上， ∴AC与射线DG的交点G即为弧AD所在的圆的圆心， DG=6, 补全圆G,延长AC交圆G于点K,如图 弧BC的长为π， 2KGDxx6=元， 180 解得∠KGD=30°， PDWAC, ∠PDG=∠KGD=30°， .∴∠PD0=∠GD0-∠PDG=60°， ∠BDC=∠PDC=PDB=(180°-∠PD0)=60, .∠CDG=∠PDC-∠PDG=30°， ∠CDG=∠CGD=30°， ..CG=CD, GN-GD=3, 22 DN 3 CD=COCDN=830-23. 25,(2026黑龙江哈尔滨一模)己知：△ABC内接于⊙0，∠C=90°，点D在圆上，弧DA=弧DB,连接 AD, 84/107 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A A A 图① 图② 图③ (I)如图①，求证：AB=√2AD (2)如图②，点E在AB上，点G在CB延长线上，连接AG,EG,作EH⊥AG,∠ABC=3∠EGB, ∠BEG=∠AGB,求证：∠HEA=∠HEG; 169 (③)如图③，在②的条件下，作EF1AE交AD延长线于点F,连接FG,四边形ABGF的面积为，AD=3 V5,求AC的长. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 OAc=号 【分析】(I)连接BD,根据题意得DA=DB,∠D=90°，再利用勾股定理求解即可求证结论； (2)设LEGB=a,根据题意证EA=EG,再结合EH⊥AG即可求证结论； (3)作FM⊥EH交EH延长线于点M,作FN⊥AG于点N,证△AHE≌△EMF(AAS),得AH=EM,四边形 MHNF为矩形，根据S四边形AEGF=S△AGE+S△AGF,求出AG=13,设AG交⊙O于点K,在KA上截取KR=KG, 根据角的关系求得AR=RB,设RK=KG=x,根据BK2=AB2-AK2=RB2-RK2列方程求解得KG=4, BK=3,BG=5, siAGC=咒=号求出AB可解答。 【详解】(1)证明：连接BD B 图① :∠C=909 AB为⊙O的直径 85/107 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠D=90°， 弧DA=弧DB ∴DA=DB 在Rt△ADB中AB=VDA2+DB2=V2DA2=V2AD (2)证明：设∠EGB=a A B G 图② ∠ABC=3∠EGB, ∠ABC=3a, ∠ABC=∠BEG+∠EGB, ∠BEG=2a, ,∠BEG=∠AGB, ∠AGB=2a, .∠AGE=∠AGB-∠EGB=a, ∠ABC=∠BAG+∠AGB, ∠BAG=C, ∴∠BAG=∠AGE, ∴.EA=EG, EH⊥AG, ∴LHEA=∠HEG; (3)解：作FM⊥EH交EH延长线于点M,作FN⊥AG于点N, 31 6 E AN B 图③ EH⊥AG, ÷∠1=90，HA=HG=AG, 86/107 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠2+∠3=90°， EA⊥EF, .∠AEF=90°， ∴∠4+∠3=90°， ∠2=∠4， ~FM⊥EH, ÷∠M=90°， M=21.taneBAD-=1. ∠EAF=∠EFA=45°， ∴EA=EF, 又∠1=∠M, △AHE≌△EMF(AAS) ∴AH=EM ÷EM=AG, FN⊥AG, ∴∠6=90° ∠5=∠6=∠M=90°， ∴四边形MHNF为矩形 :MH=FN, ·AH=EM=EH+MH=EH+FN 169 ~S四边形AEGF=S△AGE+S△AGP,S四边形AEGP= ÷SAAGE+SAAGF=l69, 4 AG.FN+AG.EH= 169 ÷2AG(FN+EH)=, 169 169 六2AG:BM=4 AG.AH=19 AG.AG-14 87/107 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 169 4G2= 4 .AG=13, ~AD=3V5, AD cOs∠BAD= AB cos45°=35=2， AB 21 ∴AB=3V10 如图设AG交⊙O于点K,在KA上截取KR=KG R B 图③ AB为⊙O的直径， ∠BKA=90°， :.BK LAG, :.RB=BG .∠7=∠BGR=2a, ∴∠8=∠7-∠BAG=a, .AR =RB, 设RK=KG=x, AR=13-2x=RB,AK=13-x,BK2=AB2-AK2=RB2-RK2 ÷(3V102-(13-x)2=(13-2)2-x2, ÷x=4, ∴RK=KG=4,RB=BG=13-2x=5,BK=V52-42=3, *.sinAGC=-能-号 :.sinLAGC=AG= AC 3 “13= 26,(2026黑龙江哈尔滨一模)己知△ABC内接于⊙O,圆心O在△ABC的内部，AD⊥BC于点D,连接 88/107 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0C. A A A D B DG H 图1 图2 图3 (I)如图1，求证：∠BAD=∠AC0; (②)如图2，点G为BC的中点，连接OG,过点C作CF⊥AB于点F,交AD于点E,求证：AE=2OG; (3)如图3，在(2)的条件下，连接EG并延长交⊙O于点H,连接CH,若C0平分LACF,AC=5,0G= 空，求△CEH的面积. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)S△cEH=2 【分析】(1)方法一：连接A0,过点O作0L1AC于点L,由题意易得∠C0L+∠AC0=90°，∠B=A0C, 则有∠B=∠COL,然后问题可求证；方法二：连接OA,由题意易得∠OAC=∠0CA,设∠OAC=a,则 ∠0=180°-2a.则有LB=90°-a,然后可得LBAD=a,进而问题可求证； (2)方法一：延长CO交圆O于点Q,延长CF交圆O于点R,连接AO、OR、OB、BQ、AR.设LBAD=a, ∠OCF=B,由题意易得LBAD=∠BCF=∠ACO=∠RAF=a,然后可得△ARF≌△AEF(ASA),进而问题可 求证；方法二：过点O作OS⊥AR于点S,连接0A、OR.然后通过证明△AS0≌△OGC(AAS), △ARF≌△AEF(ASA),进而根据全等三角形的性质可进行求证；方法三：过点O作ON⊥AD于点N,延长 AD交圆O于点M连接OM,设∠BAD=a,则∠FCB=a,∠MCB=a,然后可得 ∠B=∠M=∠CEM=90°-a,进而可得四边形0NDG为矩形，则问题可求证； (3)延长CE交圆O于点R,连接AR、OM、OH、BE、OA、OR.设∠BAD=a,则∠RAB=a,∠RCB=a, ∠RC0=a,∠AC0=a,然后可得△ACO≌△RCO(AAS),则有AE=AR=V10,△OGM兰△OGH,进而问 题可求解， 【详解】(1)证明：方法一：连接AO,过点O作OL⊥AC于点L, 89/107 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠C0L+∠AC0=90. 0A=OC,OL LAC, ∠AOL=∠C0L, COL=AOC. AC=AC, ☑B=A0C, ∴∠B=∠COL. AD⊥BC, ∠B+∠BAD=90° 又∠C0L+∠AC0=90°， ∴.∠BAD=∠ACO. 方法二：连接OA, y 0A=0C, ∴∠OAC=∠OCA 设∠0AC=a,则∠0=180°-2a. AC=AC, ∠0=2∠B, ∠B=90°-a. AD⊥BC, LADB=90°. 90/107 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又∠B=90°-， ∠BAD=a, ∠BAD=∠OCA (2)证明：方法一：延长CO交圆O于点Q,延长CF交圆O于点R,连接AO、OR、OB、BQ、AR. 0 B 设∠BAD=a,∠0OCF=B, .AD⊥BC,CF⊥AB LBAD+∠ABD=∠ABD+∠BCF=90°， :.∠BAD=∠BCF=a=∠RAF, CQ是⊙0的直径， ∠QBC=90°， LBQC+∠BCQ=∠BAC+∠BCQ=90°， ∠BAD+∠CAD+∠ACD-∠AC0=90°， :∠ACD+∠CAD=90°， ∠BAD-∠ACO=0, ∠BAD=∠BCF=LACO=∠RAF=a, LA0Q=∠B0R=2a, ∴∠R0Q=2β， .∠A0R=LB0Q=2Q+2B, ..AR=BQ. LBAD=∠RAF=a,∠AFR=∠AFE=90°，AF=AF, ·△ARF≌△AEF(ASA), ..AE=AR. 又AR=BQ, .BQ=AE. OC=0Q,GB=GC, 91/107 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0G=B0. 又BQ=AE, 0G=AE, ..20G=AE. 方法二：过点O作OS⊥AR于点S,连接OA、OR. E DG .OS LAR,OA=OR, LAOS=AOR,AS=AR. .AR=AR, ACR=AOR, LAOS=∠ACR. ∠ACO=∠BCR, ∴LACR=∠OCG, .∠AOS=∠0CG. GC=GB,OG在半径上， OG⊥BC 又0A=0C,∠A0S=∠0CG,∠AS0=∠0GC=90°， .△ASO≌△OGC(AAS), ..AS=0G 又MS=AR, OG=AR. ∠BAD=∠RAF,∠AFR=∠AFE=90°，AF=AF, ·△ARF=△AEF(ASA), ..AE=AR. 92/107 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又0G=AR, OG=AE. .20G=AE. 方法三：过点O作ON⊥AD于点N,延长AD交圆O于点M连接OM, D G M ×ON⊥AD, ..AN MN. 设∠BAD=a,则∠FCB=a,∠MCB=a, ∴LB=∠M=∠CEM=90°-a, ..CE CM. 又LFCB=∠MCB=a, ..DE DM. GC=GB,OG在半径上， OG⊥BC 又ON⊥AD,AD⊥BC, 四边形ONDG为矩形， ∴OG=DN. ND MN-DM=AM-TEM =(AM-EM)=AE. OG=AE (3)解：延长CE交圆O于点R,连接AR、OM、OH、BE、OA、OR. A D 93/107 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设∠BAD=a,则∠RAB=a,∠RCB=a,∠RCO=a,∠AC0=a, ∠ACR=∠ABR=∠ABE=2a. 0A=OR,∠AC0=∠OCR=∠CA0=∠CR0=Q, ∴△ACO≌△RCO(AAS), ..AC=CR=5. AE=20G,0G= 2 AE AR =10. 设RF=m,则EF=m, 在Rt△ARF和Rt△ACF中，AR2-RF2=AC2-CF2, (102-m2=52-(5-m)2,解得：m=1, ..RF=FE=1,CF=4,CE=3,AF=3, .tan-ACF=是 tan-ABE= 又~EF=1, BF= ∠EDC=∠MDC=90°，CD=CD,∠ECB=∠MCD, △ECD=△MCD(ASA), .ED MD. 又AD⊥BC, :.GE=GM, ∠EGD=∠MGD ∠EGD=∠CGH, LCGH=∠MGD, ,∠0GB=∠OGC=90°， ∴.∠OGM=∠OGH 过点O作OP⊥HE交HE的延长线于点P,OT⊥MG交MG的延长线于点T, ∠P=∠T=90° ∠OGM=∠OGH, 94/107 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 L0GP=∠0GT. 又0G=0G,∠P=∠T, .△OGP≌△OGT(AAS), .0P=0T. 又0M=OH,∠P=∠T, :Rt△OPH≌Rt△OTM(HL), :.GM=GH. 又0M=0H,0G=0G, ·△OGM≌△OGH(SSS) 又~GM=GE, ..GE=GH. 又~GB=GC,∠CGH=∠BGE, ·△BEG≌△CHG(SAS), ∴BE=CH,∠BEG=∠EHC, ..BE M CH, 四边形BECH为平行四边形， SACEH SACEB,SACEB=CE X BF. CE=3,BF=3 4 S△cEH=2. 27.(2026青海西宁.一模)如图，AB为⊙O的直径，点C在BA的延长线上，D为⊙O上一点，连接AD, BD,E,F分别是AD,BD的中点，连接OE,OF,延长CD,OF交于点P. D B (I)求证：四边形OFDE是矩形； (2)若∠ADC=∠EOA,求证：CD是⊙O的切线； 95/107 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)在(2)的条件下，若tanC=0P=35,O0的半径为. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 【分析】本题考查矩形的判定与性质、解直角三角形、圆的切线的判定与性质、垂径定理、勾股定理，熟 练掌握相关性质定理是解题的关键， (1)根据垂径定理可得OE⊥AD、OF⊥DB,再根据∠EDF=90°得出结论即可； (2)连接OD,则OD=OA,进而得到LAD0+∠ADC=90°，从而得出结论： OD 3 (3)由anC=CD=设0A=OD=3x,则CD=4x,证明ADI0P,根据平行线分线段成比例求出DP的长， 利用勾股定理列方程求解即可. 【详解】(1)证明：E,F分别是AD,BD的中点， .OE⊥AD、OF⊥DB, .∠OED=∠OFD=90° AB为⊙O的直径， .∠ADB=90P, ∴四边形OFDE是矩形； (2)证明：连接OD,则OD=OA, D ∴.∠ADO=∠DAO, .∠AE0=90°， .∠EA0+∠E0A=90°， ∠ADC=∠EOA, ∠AD0+∠ADC=90°， 即∠0DC=90°， .OD⊥CD, 96/107 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 yOD是⊙O的半径， CD是⊙O的切线； 3)解：0DG=90、amC=器=是 ·设0A=0D=3x,则CD=4x, 在Rt△0DC中，由勾股定理得：0C=V(3x)2+(4x)2=5x, AC=0C-0A=5x-3x=2x, ~四边形OFDE是矩形， ∠ADF=∠0FB=90°， AD II OP, 品 器 解得DP=6x, OD⊥CD, ∠0DP=90°， 在Rt△ODP中，由勾股定理得：OP2=DP2+0D2, 即(6)2+(3)2=(3⑤2， 解得x=1或x=-1（舍去)， ∴.0D=3×1=3, ⊙0的半径为3. 28.(2026云南楚雄一模)如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，CD⊥AB于点D,过点B作⊙O的切线， 与AC的延长线相交于点E,F是CD的中点，连接AF并延长与BE相交于点G,连接CG并延长与AB的延长线 相交于点H,⊙O的半径为3. 备用图 ()若AC=5,求点C和点B间的距离： (2)求证：CH是⊙O的切线： 97/107 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)当BD=2时，请判断下列结论哪个成立？①FG>CG=BG,②FG=CG=BG,③FG<CG=BG,并说 明理由， 【答案】(1)BC=V11 (②)见解析 (3)②FG=CG=BG成立，见解析 【分析】(1)结合勾股定理求出BC=AB2-AC2=11,即可作答 (2)先根据CD⊥AB,过点B作⊙O的切线，与AC的延长线相交于点E,得出CD‖BE,再分别证明 △GBA-△FDA,△GEA-△FCA,故品=需，结合P是CD的中点，得出GB=EG,再运用等边对等角， 以及∠0BC+∠GBC=90°，得∠0CB+∠GCB=90°，故∠0CG=90°，即CH是⊙O的切线： (3)过点G作GK⊥CD于点K,则∠GKD=90°，根据切线的性质得到BE⊥AB,证明四边形DBGK为矩形， 得到GK=BD,BG=DK,KD IIGB,KG IDB,证明△ADF一△ABG,∠ADF=∠GKF,∠FAD=∠FGK,进 而证明△GKF~△ABG,得到B=BG,可知DF=2KF,证明GK为线段CF的垂直平分线，得到FG=CG,由 GK KF (2)可知BG=CG,即FG=CG=BG 【详解】(1)解：⊙0的半径为3， AB=2×3=6, 连接CB,如图所示： AB是⊙O的直径， ∠ACB=90°， BC=VAB2-AC2=62-52=V11, 即点C和点B间的距离为BC的长度，即为V11; (2)解：连接CO,如图所示： 98/107 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 过点B作⊙O的切线，与AC的延长线相交于点E, AB⊥EB, CD⊥AB, ..CD I BE, ∠GBA=∠CDA,∠BGA=∠DFA, △GBA一△FDA, ..CD lI BE, ∴∠E=∠FCA,∠EGA=∠CFA, ÷△GEA~△FCA, 凭-岩 喘-器 F是CD的中点， .CF DF, ..GB=EG, CG是△BCE的中线， ~AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=∠ECB=90°， CG是△BCE的中线 CG-EB=EG-BG. ∠GCB=∠GBC, 0C=0B, ∠OCB=∠OBC, AB⊥EB, 99/107 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠0BC+∠GBC=90°， 即∠OCB+∠GCB=90°， 故∠0CG=90°， 0C是半径， CH是⊙O的切线； (3)解：②FG=CG=BG成立， 理由如下： 如图，过点G作GK⊥CD于点K,则∠GKD=90° 公 H ~BE是⊙O的切线， ÷BE⊥AB, ∠GBD=90°. .CD⊥AB, ∠KDB=90°， 四边形DBGK为矩形， ..GK=BD,BG=DK,KD IIGB,KG IIDB, ..FD IIGB,KG AD, ·△ADF一△ABG,∠ADF=∠GKF,∠FAD=∠FGK, △ADF-△GKF, .△GKF-△ABG, GK KF AB-BG ⊙0的半径为3， AB=6, .BD=2,GK=BD, GK=2, - 100/107