专题15 二次函数压轴题（全国通用）2026年中考数学一模分类汇编

动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题15二次函数压轴题 1.(2026河南洛阳·一模)在平面直角坐标系中，己知抛物线y=x2+bx+c经过A一4,0)和B(1,-5) (1)求该抛物线的解析式。 (2)将线段OA平移，平移后对应点0'和A都落在抛物线上，求点A的坐标. (3)当t≤x≤t+2时，二次函数y=x2+bx+c的最小值为-5，请直接写出t的值. 2.(2026广东广州一模)如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-1,0),B(3,0),C(0,3). 0 (1)求抛物线的解析式及顶点E的坐标； (2)将抛物线沿y轴向下平移m（m>0)个单位长度，平移后的抛物线与直线BC恰好只有一个公共点.求 m的值： (3)点P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P,使得△PBC是以BC为直角边的直角三角形？若存在， 求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 3.(2026河北石家庄一模)己知抛物线y=ax2+bx+3(a<0)过(3，n)和(-1，n). 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)a与b之间的数量关系是； (2)若该抛物线开口向下，当-3≤x≤2时，抛物线的最高点为M,最低点为N,点N的纵坐标为-12， 求点M和点N的坐标； (③)对于该抛物线上的两点A(xy1),B(x2y2),设t≤x1≤t+1,当x2≥4时，均有y1≥y2,请直 接写出t的取值范围； (4)在(2)的条件下，抛物线与x轴交于点A,C,与V轴交于点B,点D是抛物线上对称轴右侧的一点，过 点D作y轴的平行线交直线BC于点E,过点D,E分别作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点G,F.过点A作 BC的平行线交y轴于点H,当四边形DEFG在直线AH,直线BC之间的部分的面积恰好是四边形DEFG面 积的一半时，请直接写出点D的横坐标m的值， 4.(2026天津一模)己知抛物线y=一x2+bx+C与x轴交于A,B两点，点A在点B的左侧，与y轴 交于点C. (1)已知B(1,0),C(0,4),求抛物线的解析式： 2)在(1)的条件下， ①点D是线段OC上的一动点，连接AD,BD,将△ABD沿直线AD翻折，得到△ABD,当点B'恰好落 在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标； ②将抛物线位于y轴及y轴左侧的部分记为函数W1,过点C作直线LK轴，将原抛物线位于y轴右侧的部 分沿直线L翻折，翻折后的部分记为函数W2,函数W1和函数W2形成新的函数w,在W1上任取点Q,过 点Q作直线L2AC,当L2与函数w只有两个公共点时，直接写出L2的解析式 (3)已知A(一C,0),c>0,动点P在直线AC上方的抛物线上，过点P作直线AC的垂线，交抛物线于点 F,点F在第一象限，过点F作FG1x轴，垂足为G,当V2FG+2FP的最大值为翠V2时，求b的值. 5.(2026湖北荆州一模)如图，己知二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于点A(-4,0)和点B, 与y轴交于点C(0,4),连接AC.点P为x轴上方抛物线上一动点（点P不与点C重合），设点P的横坐标 为t. 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B (1)求该二次函数的解析式： (2)连接PC,当∠PCA=45°时，求t的值； (3)设以A,O,C,P为顶点的四边形的面积为S, ①求S关于t的函数解析式； ②若S取一个具体的数值时，恰好存在两个符合条件的点P,请直接写出S的取值范围. 6.(2026黑龙江哈尔滨一模)已知：在平面直角坐标系中，O为坐标原点.抛物线 y=-ax2+ax+8a交y轴于点A,交x轴于点B,C,OA=8. A G B 图1 图2 (1)求a的值； (2)如图1，点P为第一象限抛物线上一点，连接BP,CP,点P横坐标为m,请用含m的式子表示 △PBC的面积S(不要求写出自变量的取值范围)： (3)如图2，在(2)的条件下，过点P作DH垂直于x轴，垂足为H,交直线AB于点D,点E为DP的中点， 点G在第二象限，连接GE,GP,GB,GH,点Q为第四象限抛物线上一点，连接AQ,交DH于点K, 若GE=HB,∠ADH+∠BGH=90·,GH平分∠BGP,架=匣时，连接BQ交y轴于点T,求点T 的坐标 7.(2026湖南湘潭.一模)己知二次函数y=一x2+bx十c的图像与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点（点 A在点B的左边)，与V轴交于点C. 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 VA 图1 图2 (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，设抛物线的顶点为D点，连接DB,点E是线段DB上的动点，点F为抛物线对称轴上一动点，连 接BF、FE,求BF+EF的最小值： (3)如图2，连接BC,点P为直线BC上方抛物线上一动点，连接PC、OP,OP交BC于点Q.设点P的横坐 标为t,S△cpQ=S,SACOQ=-S2,y=言， ①求y与t的函数关系式，并写出t的取值范围； ②当y的值取最大时，求点P的坐标. 8.(2026四川宜宾一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+2与x轴交于点A(-4,0) ,B(10)两点，与y轴交于点C 备用图 (①)求抛物线的解析式： (②)过点B作BD‖AC交抛物线于点D,点P是射线AC上方抛物线上的一动点，连接DP与射线AC交于点E ,连接BE、BP,当△PBE面积最大时，求点P的坐标； (3)在(2)中△PBE面积取得最大值时，将抛物线y=ax2+bx+2沿射线AC方向平移，5个单位长度得 到新抛物线y,点P为点P的对应点，点Q为新抛物线上的一个动点，当∠QBA=∠OPP一∠BAC时， 直接写出所有符合条件的点Q的坐标 9.(2026江苏无锡一模)如图，已知二次函数y=-x2+bx十c(其中b,c为常数)的图象经过点 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A(6,2),，点C(0,8),顶点为点M,过点A作AB‖x轴，交y轴于点D,交该二次函数图象于点B,连接 BC. B D D 备用图 (1)求该二次函数的解析式及点M的坐标. (2)若点E是直线AC上方的抛物线上的动点，求四边形AECB面积的最大值. (3)点P是直线AC上的动点，过点P作直线AC的垂线PE,记点M关于直线PE的对称点为Q.当以点P、 A、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求出点P的坐标 10.(2026江苏无锡一模)如图1，抛物线y=ax2+bx+c?≠0与x轴交于点A,B两点，与y轴交于点 C,0B=0C=20A,C点坐标(0，-2)，连接BC. 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (②)在图1中，点D(xy)是线段BC下方抛物线上一动点，连接D0交线段BC于E点，设器=k,当 ∠ACD=90°时，求k的值； (3)如图2，在线段BC上方有一条动直线EF始终与线段BC平行，且与抛物线y=ax2+bx+c≠0交于E 、F两点，直线CE与BF交于点P,△BCP的面积能否为3，若能，直接写出点P的坐标，若不能，请说明 理由。 11.(2026江苏无锡一模)如图，己知二次函数y=ax2-2ax-3(a>0)的图象与x轴交于A-1,0) 、B两点，与y轴交于点C. 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B (1)求二次函数表达式： ②若点Mty)Nt+1,y)(0<t<2)是该函数图像上两点. ①证明：y2<y1+3: ②连接AM、AN、MN,若△AMN为直角三角形，求t的值. 12.(2026江苏无锡一模)二次函数y=一x2+bx+c的图象与x轴交于点A、点B(1,0),与y轴交于点 E,且对称轴为直线x=一1·该抛物线与直线y=x十m交于C、D两点（点C在点D的左侧）. 备用图 (1)求二次函数的表达式： (2)若△ACD与△CDE的面积相等时，求m的值； (3)当m为何值时，在x轴上存在唯一的点Q,使∠CQD=90°？（直接写出m的值） 13.(2026黑龙江哈尔滨一模)已知：在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，抛物线 y=-x2-号x+c分别交x轴、y轴于点A(-4,0),点B 图1 图2 图3 (1)如图1，求c的值； (2)如图2，连接AB,点C是第一象限抛物线上的一点，过点C作CD⊥AB,垂足为点D.设点C的横坐标 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 为t,CD的长为d,求d与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)如图3，在(2)的条件下，连接BC并延长交x轴于点E,点F是线段AD上一点，连接FC,OF,延长 FC交x轴于点G,将线段OF绕点O逆时针旋转90·得到线段OH,过点H作HK‖FG交x轴于点K,若 HK=FG,且∠OBE=∠OKH,求d的值. 14.(2026重庆一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)与x轴交于点 A(-1,0),点B(3,0),与y轴交于点C,连接AC、BC B B E 图1 备用图 (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，若点P为线段BC下方抛物线上一动点，过点P作PD‖y轴交BC于点D,过点P作PE⊥AC交直 线AC于点E,M、N为y轴上的动点（点M在点N的下方）且MN=1,连接PM、BN.当 3PD一V10PE最大时，此时点P的坐标及PM-BN|的最大值： (3)在(2)的条件下，将该抛物线沿射线AC方向平移√10个单位长度得到新抛物线y,点F在新抛物线y上， 连接PF,若∠FPD+∠ABC=∠ACB,请直接写出所有符合条件的点F的坐标，并写出求解点F的坐标的 其中一种情况的过程， 15.(2026湖北十堰.一模)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-4ax+6交x轴于A、B两点（点A在点 B左侧)，交y轴正半轴于点C,且OC=20B. 1/6 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DA B B B 图1 图2 备用图 (1)求抛物线的解析式： (②)如图1，点D在C点下方的y轴上，点E在第一象限的抛物线上，若△CDE是以CD为斜边的等腰直角三 角形，求点D的坐标； (3)如图2，已知动点P在抛物线上，M为OP的三等分点且靠近点O,作MNI‖y轴交抛物线于点N.设点P 的横坐标为t,线段MN的长为d. ①求出d关于t的函数解析式： ②当星<d<3时，直接写出t的取值范围.。 16.(2026黑龙江哈尔滨一模)已知：如图1，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，二次函数 y=-x2+bx+4的图象交x轴于A,B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C,0C=20A. 图1 图2 图3 (1)求二次函数的解析式； (②)如图2，点T为OC中点，点P在第四象限的抛物线上，连接AT,PT,PA,点P的横坐标为t, △PAT的面积为S,求S与t之间的函数关系式（不需要写出自变量t的取值范围）： (3)如图3，在(2)的条件下，过点P作PG⊥x轴于点E,点G在第一象限内，连接DG交x轴于点Q,连接 CQ,∠CQG-∠CQ0=号L0CQ.过G作GF⊥y轴于点F,交CQ于点H,连接CG交抛物线于点R,若 DF+HG=CF,求点R的坐标. 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 17.(2026天津一模)在平面直角坐标系中，0为原点，口ABCD的顶点A(3,1),C(0,2), ∠ABC=45°，点D在y轴负半轴上，点B在第一象限，边AD交x轴于点M.△OEF是等腰直角三角形， ∠0EF=90°，点E(-2,0),点F在第二象限。 B B G /M E D D 图① 图② (1)填空：如图①，点F的坐标为 点B的坐标为 (2)将△OEF沿水平方向向右平移，得到△0EF,点0，E,F的对应点分别为0，E,F.设00=t ①如图②，若边OF与边CD交于点G,与边AD交于点N,△OEF与口ABCD重合部分为四边形 OMNG时，试用含t的式子表示线段ON的长，并直接写出t的取值范围； ②设平移后重叠部分的面积为S,当寻≤t≤时，求S的取值范围（请直接写出结果即可）. 18.(2026湖南株洲一模)如图，四边形OBCD是边长为8的正方形，B,D分别在x,y的正半轴上，二 次函数y=ax2+bx(a<O)的图像经过点B且其顶点A在CD边上，连接OA,作AH⊥x轴于点H,T是 直线OA上方的抛物线上一个动点(T不与O,A重合)，过点T作TR⊥x轴于点R,交CD于点P,交OA于 点Q. y D B (1)直接写出点A的坐标，并求出该二次函数的解析式： ②)求证：品的值为常数： (3)是否存在实数入使得以√2PT,入TQ,（子-入)QR(1为常数，0<入<子)的值为三边长的三角形为 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 等边三角形？若存在，请说明理由，并求出的值和点T的坐标；若不存在，也请说明理由。 19.(2026江苏南通一模)如图，在平面直角坐标系中，A(10,0),以0A为直径在第一象限内作半圆，B 为半圆上一点，连接AB并延长至C,使BC=AB,过C作CD⊥x轴于点D,交线段OB于点E.己知 CD=8,抛物线经过0，E,A三点. D (1)求直线OB的函数表达式； (2)求抛物线的函数表达式： (3)若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P,O,A,E为顶点的四边形面积记作S,则S取何值时， 相应的点P有且只有3个。 20.(2026江苏无锡一模)如图，在矩形ABCD中，AB=5,BC=3.将该矩形绕着点A按逆时针方向 旋转，得到矩形AEFG.连接DG、DF. G A E B (I)当点B的对应点E落在边CD上时，求DG的长； (2)在旋转过程中，设DG=x,△DGF的面积为y,求y与x之间的函数表达式，并求出y的最大值. 2/6 专题15 二次函数压轴题 1．（2026·河南洛阳·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过和． (1)求该抛物线的解析式． (2)将线段平移，平移后对应点和都落在抛物线上，求点的坐标． (3)当时，二次函数的最小值为，请直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3)或1 【分析】（1）将和代入求解即可； （2）设，由可知，再将代入函数解析式求解即可； （3）分，，三种情况，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：抛物线经过和， ， 解得， 该抛物线的解析式为； （2）解：设， ， ， ， 点落在抛物线上， ， 解得， ， ； （3）解：， 抛物线的对称轴是直线， 若，即， 当时，二次函数的最小值为， ， 解得，（舍去）； 若，即， 当时，二次函数的最小值为，不合题意，舍去； 若， 当时，二次函数的最小值为， ， 解得，（舍去）； 综上所述，t的值为或1． 【点睛】此类问题通常要根据对称轴与、t的不同位置进行分类讨论． 2．（2026·广东广州·一模）如图，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)将抛物线沿轴向下平移（）个单位长度，平移后的抛物线与直线恰好只有一个公共点．求的值； (3)点是抛物线对称轴上一动点，是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】此题考查了二次函数与几何综合题，用到了待定系数法求函数解析式、抛物线与一次函数的交点、抛物线的顶点、直角三角形的性质等知识，读懂题意，准确计算是解题的关键． （1）根据待定系数法求解函数解析式即可； （2）先得出平移后的函数表达式，将交点问题转换为方程根的问题，由即可求解； （3）设点的坐标为，用表示、、的长度，对的斜边进行分类讨论，结合勾股定理得出方程，求解方程即可． 【详解】（1）解：将点，，代入 ， 得，解得， 故抛物线的解析式为， 对称轴为直线， 当时，， 故点的坐标为． （2）解：假设平移后的函数表达式为， 假设直线所在的函数表达式为， 将点，代入， 得，解得， 故直线所在的函数表达式为， 由于平移后的抛物线与直线恰好只有一个公共点， 即方程仅有一个实数解， 整理得， 故， 解得． （3）解：假设点的坐标为， ∵，，， ∴，，， 当为直角的斜边时， ， 即， 解得； 当为直角的斜边时， ， 即， 解得； 故点的坐标为或． 3．（2026·河北石家庄·一模）已知抛物线过和． (1)与之间的数量关系是_____； (2)若该抛物线开口向下，当时，抛物线的最高点为，最低点为，点的纵坐标为，求点和点的坐标； (3)对于该抛物线上的两点，，设，当时，均有，请直接写出的取值范围； (4)在（2）的条件下，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点是抛物线上对称轴右侧的一点，过点作轴的平行线交直线于点，过点分别作轴的平行线交抛物线的对称轴于点．过点作的平行线交轴于点，当四边形在直线，直线之间的部分的面积恰好是四边形面积的一半时，请直接写出点的横坐标的值． 【答案】(1) (2)点的坐标为，点的坐标为 (3)的取值范围为 (4)的值为或 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与一次函数函数的结合，函数与几何图形的结合，方程与不等式，矩形的判定和性质等知识点． （1）根据抛物线的对称性得到与之间的数量关系． （2）根据抛物线的图象和性质，得到点和点所在的位置，进而得到两点的坐标． （3）根据抛物线的图象和性质，判断当时，均有时的取值范围，进而得到的取值范围． （4）根据抛物线与坐标轴的交点坐标，得到直线和直线的表达式，由题意得四边形为矩形，根据当点位于第一象限时和当位于第四象限时，分两种情况讨论，得到对应的或，列出关于的一元二次方程，解得的值． 【详解】（1）解：∵抛物线过和， ∴和的纵坐标相同， ∴和是关于抛物线对称轴对称的两点， ∴抛物线的对称轴为：，即； （2）解：∵抛物线的对称轴为：，由抛物线图象可知， ∴当时，抛物线的最高点的横坐标为，最低点的横坐标为， ∵点的纵坐标为， ∴点的坐标为， 由（1）知抛物线的表达式为：， ∴代入点的坐标，得：，解得：， ∴抛物线的表达式为：，即， ∴抛物线的顶点坐标为：，即点的坐标为； （3）解：由（1）知抛物线的表达式为：， ∵抛物线上的两点，，当时，均有， ∴当时，， 根据抛物线的对称性可知，当时，也有， ∵，当时，有， ∴当，且，解得：时，满足要求，有， ∴的取值范围为； （4）解：由（2）知， ∴点，点，点， ∴设直线的表达式为：， 代入点，点，得直线的表达式为：， 设直线的表达式为：， 代入点，得直线的表达式为：， 点在抛物线上， ， 点均在对称轴所在直线上， ， 由题意得四边形为矩形， 如图，当点位于第一象限时，当与共线时，满足在直线之间的部分的面积恰好是矩形面积的一半， 此时四边形为正方形，， ， 即， 解得：， ∵点是对称轴右侧的一点， ∴，取， 如图，当位于第四象限时，对角线不在上时，令交对称轴于， 交于，根据矩形对称性，当时，则， ， ， ， 解得：（不合题意，舍去）或， 综上，的值为或． 4．（2026·天津·一模）已知抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C． (1)已知，，求抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下， ①点D是线段上的一动点，连接，，将沿直线翻折，得到，当点恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标； ②将抛物线位于y轴及y轴左侧的部分记为函数，过点C作直线轴，将原抛物线位于y轴右侧的部分沿直线翻折，翻折后的部分记为函数，函数和函数形成新的函数w，在上任取点Q，过点Q作直线，当与函数w只有两个公共点时，直接写出的解析式_______． (3)已知，，动点P在直线上方的抛物线上，过点P作直线的垂线，交抛物线于点F，点F在第一象限，过点F作轴，垂足为G，当的最大值为时，求b的值． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①过作x轴的垂线，垂足为H求出A和B的坐标，得到，，由，推出，解直角三角形得到的长，即可解答； ②先求得直线的函数表达式为，进而可设直线的函数表达式为，由折叠性质，可画图分析，当时，只有当直线与函数的图象相切时，与函数的图象有一个交点，此时函数与函数w的图象只有两个公共点，联立方程组，令求得m值即可解答； （3）如图，设与交于点E，过P作交延长线于Q，则，利用等腰直角三角形的判定与性质，结合平行线的性质得到，则可得，当取最大值时，取得最大值，此时的最大值为；求得，则有，，再求得直线的函数解析式为，设，求得直线的函数解析式为，设直线的函数解析式为，联立方程组推导出，进而利用二次函数的性质求得的最大值，列方程求解即可． 【详解】（1）解：将，代入中，得 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）解：①如图，设抛物线的对称轴与x轴交点为H，    令，解得：， ∴，， ∴， 由翻折可得，， ∵对称轴为直线， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴； ②对于函数，图象开口向下，对称轴为直线， 当时，，则， 设直线的函数表达式为， 则，解得， ∴直线的函数表达式为， ∵直线， ∴设直线的函数表达式为， 由折叠性质，画图如下， 由图知，当时，直线与函数的图象在部分有一个交点，与函数的图象在C处相交，此时函数与函数w的图象只有两个公共点，但直线 与直线重合，不满足直线； 当时，直线与函数的图象在部分有一个交点，与函数的图象无交点； 当时，只有直线与函数的图象相切时，与函数的图象有一个交点，此时函数与函数w的图象只有两个公共点， 联立方程组，得， 由得， ∴直线的函数表达式为， 故当与函数w图象只有两个公共点时，直线的函数表达式为； （3）解：如图，设与交于点E，过P作交延长线于Q，则， ∵，，轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 当取最大值时，取得最大值，此时的最大值为； 由得， ∴， ∵，， ∴，则， ∴，则， ∴，， ∵，， ∴直线的函数解析式为， 设直线的函数解析式为， 设，代入中，得， ∴直线的函数解析式为， ∵， ∴设直线的函数解析式为， 联立方程组，整理得， ∴，则， ∵轴， ∴， ∵， ∴时，取最大值， ∴， 解得或（不符题意，舍去）． 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质、锐角三角函数、坐标与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线，利用数形结合和转化的思想方法求解是解答的关键． 5．（2026·湖北荆州·一模）如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，连接．点为轴上方抛物线上一动点（点不与点重合），设点的横坐标为． (1)求该二次函数的解析式； (2)连接，当时，求的值； (3)设以为顶点的四边形的面积为， ①求关于的函数解析式； ②若取一个具体的数值时，恰好存在两个符合条件的点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①S关于t的函数解析式为；② 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）利用已知条件得到，则点P与点C的纵坐标相同，令，求得x值，则点P的横坐标可求； （3）①利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：当点P在的上方时，即，，过点P作于点D，利用解答即可；当点P在的下方时，即，，过点P作于点E，利用解答即可； ②利用函数的性质求得S的取值范围，画出函数的图象，依据图象解答即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点， ∴， ∴， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴．如图所示： ∴点P的纵坐标为4， ∴， ∴或， ∴， ∴． （3）解：①令，则， ∴或， ∴， ∴． 当点P在的上方时， 即，， 过点P作于点D，如图， 则，， ∴， ∴ ， 当点P在的下方时， 即，， 过点P作于点E，如图， 则， ∴ ． 综上，S关于t的函数解析式为； ②当时， ， ∵， ∴当时，S有最大值为16， ∴． 当时，， ∴． 画出函数的大致图象，如图： 由图象可知：当时，存在2个符合条件的点P． 6．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知：在平面直角坐标系中，O为坐标原点．抛物线交y轴于点A，交x轴于点B，C，． (1)求a的值； (2)如图1，点P为第一象限抛物线上一点，连接，，点P横坐标为m，请用含m的式子表示的面积S（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图2，在（2）的条件下，过点P作垂直于x轴，垂足为H，交直线于点D，点E为的中点，点G在第二象限，连接，，，，点Q为第四象限抛物线上一点，连接，交于点K，若，，平分，时，连接交y轴于点T，求点T的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把点A的坐标代入抛物线解析式中求得a的值，即可求得解析式； （2）求出点B、C的坐标，即可求得的长，由点P的横坐标可得点P的纵坐标，由面积公式即可求解； （3）延长至点M，使，连接，，过B作于N，易得，，且；由的条件，可得 ，即可证，有，；再证明，则可证明，得，进而得；再结合角平分线的条件得；过H作的垂线交的延长线于S，则可证明，得，由此建立方程求得m的值，从而求得点P的坐标；过Q作y轴垂线，交y轴于L，交直线于R，设，易得，求得，进而得，由，得，从而有，据此求得点Q的坐标，求出所在直线解析式，即可求得点T的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线交y轴于点A，，， ，解得， ∴抛物线解析式； （2）解：令，，     解得，， ，，     ， ∵点P为第一象限抛物线上一点，点P横坐标为m， ， ； （3）解：延长至点M，使，连接，，过B作于N， 为中点，     ，，且， ， 设，则， ，     ，     ， 又，     ，     ， ，，     ，     ，， ， ，     ， ，     ，     ， 平分，     ， 过H作的垂线交的延长线于S， 则， ∴，， ∵， ， ，     ， ， 解得或（舍），     ， 过Q作y轴垂线，交y轴于L，交直线于R， 设，     ，，     ，     ， ，即，     解得， ， ，     ， 设，则，由勾股定理得， ，     ，解得或（舍）， ， ，，     ∴设所在直线解析式为， 即，     解得：，     所在直线解析式为， 令，则， ． 7．（2026·湖南湘潭·一模）已知二次函数的图像与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，设抛物线的顶点为点，连接，点是线段上的动点，点为抛物线对称轴上一动点，连接、，求的最小值； (3)如图2，连接，点为直线上方抛物线上一动点，连接、，交于点．设点的横坐标为，，，． ①求与的函数关系式，并写出的取值范围； ②当的值取最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值问题等，熟练掌握相关知识，并作出适当的辅助线转化线段比是解题的关键． （1）将点A、B的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求解； （2）将抛物线解析式化为顶点式，可求顶点的坐标，对称轴，由点，关于抛物线对称轴对称，连接，则，则，过作于，此时线段的长就是的最小值，利用即可求解； （3）①由等高三角形面积比等于底边之比可得，过点作轴交直线于点，可得，由此求解即可，②根据二次函数的解析式可得当取值最大时，，进而可求点坐标. 【详解】（1）解：依题意得 解得 这个二次函数的表达式为 （2）解：， ， ∴， 点，关于抛物线对称轴对称，连接，则， 要使的值最小，则值最小，当点、、在同一直线上满足条件． 过作于， 点、均为动点 此时线段的长就是的最小值． ∵， ， ∴ （3）解：①， ∴， 令，则， 点， 设直线的解析式为， 则，解得， 直线的解析式为， 过点作轴交直线于点，如图， 设，则， ， 又， 轴，， ， ， ， ②， 当取值最大时，， ， ∴. 8．（2026·四川宜宾·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)过点B作交抛物线于点D，点P是射线上方抛物线上的一动点，连接与射线交于点E，连接、，当面积最大时，求点P的坐标； (3)在（2）中面积取得最大值时，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为点P的对应点，点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点Q的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）过P作轴，交于F，求出，从而可得直线解析式为，进而得出直线的解析式为，联立，可得， 设，则，，表示出，结合二次函数的性质可得当时，最大，由是定值，且，可得最大，即可得出结果； （3）设与交于点L，由勾股定理可得，结合二次函数图象平移的性质可得，先证明，从而可得，求出解析式为，解析式为，当时，联立，计算即可得出；设关于x轴对称点为，求出 直线解析式为，联立，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线为； （2）解：如图，过P作轴，交于F， 在中，令，则． ∴． 设直线解析式为， 把代入，得， 解得， ∴直线解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴把代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最大， ∵是定值，， ∴最大， ∴当面积最大时，； （3）解：设与交于点L， ， ∵，， ∴， ∵将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴抛物线，向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度得到新抛物线，为， 即， ∵点为点P的对应点， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 设解析式为， 把代入，得， ∴， ∴解析式为， 设解析式为， 把代入，得， ∴， ∴解析式为， 当时，联立， 解得或（舍去）， ∴； 设关于x轴对称点为，直线解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴直线解析式为， ∴联立， 解得（舍去）或， ∴． 综上所述，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数综合—面积问题、二次函数综合—角度问题，求一次函数的解析式，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 9．（2026·江苏无锡·一模）如图，已知二次函数（其中b，c为常数）的图象经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接． (1)求该二次函数的解析式及点M的坐标． (2)若点E是直线上方的抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． (3)点P是直线上的动点，过点P作直线的垂线，记点M关于直线的对称点为Q．当以点P、A、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求出点P的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)点P的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法和配方法解答即可； （2）先求出直线的解析式为．求得面积的最大值即可求得结论； （3）利用分类讨论的方法分两种情况，结合平行四边形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质解答即可． 【详解】（1） 解：二次函数的图像经过点，点， ， 解得：， 该二次函数的解析式为， ， 顶点； （2）解：对称轴为直线，点，轴， ， ，， ， 设直线解析式为， 则， 解得， 直线解析式为， 过作轴交于点， 设，则， ， ， ， 当时 ，为最大值， 四边形面积的最大值为； （3）解：当以点为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为或， 理由：①当四边形为平行四边形时，． 连接，过点作轴于点，设与交于点，如图， ∵，， ∴，， ， ， ∵，， ∴， ， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点关于直线的对称点为， ． 过点作轴于点， 设，则， ∵， ， ． ， ∴． ∴； ②当四边形为平行四边形时，．连接， 过点作轴于点，设与交于点，如图， ∵，， ∴， ， ， ∵， ∴， ， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点关于直线的对称点为， ， 过点作轴于点， 设，则， ∵， ∴， ， ． ∴，． 综上，当以点为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为或． 10．（2026·江苏无锡·一模）如图1，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，，点坐标，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)在图1中，点是线段下方抛物线上一动点，连接交线段于点，设，当时，求的值； (3)如图2，在线段上方有一条动直线EF始终与线段平行，且与抛物线交于、两点，直线与交于点，的面积能否为，若能，直接写出点的坐标，若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能， 【分析】（1）根据待定系数，可得出点、、的坐标，再利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）设点的坐标为，由勾股定理得，得方程，求解出的值，得出点坐标，再求出直线、的表达式，通过函数表达式求交点坐标，得点的横坐标可为相对应点横坐标之差的比例，即可得出的值； （3）通过直线平行，可得令直线的表达式为，设，，由韦达定理得，，用、、表示出直线、的表达式，通过求其交点坐标，得出点横坐标固定不变，始终为，令点坐标为，根据割补法求出其面积表达式，列出方程，求解出的值即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：∵点坐标， ∴， ∵， ∴，， 故，， 将点，，代入， 得，解得， 故抛物线的解析式为． （2）解：假设点的坐标为， ∵，， ∴， ，， ∵， ∴， 得方程， 化简得， 解得（舍去）或， 当时，， ∴点的坐标为， 令直线的表达式为， 将点，代入， 得，解得， 故直线的表达式为； 令直线的表达式为， 将点代入， 得，解得， 故直线的表达式为； 联合和， 得， 解得， 故点的横坐标为，纵坐标为， 分别过点、作轴于点，轴于点，如下图所示： ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：由（2）得直线的表达式为， 即对应， ∵， 故令直线的表达式为， 联立与， 得， 设，，由韦达定理得，， 设直线的表达式为， 将点，代入， 得，解得， 故直线的表达式为； 设直线的表达式为， 将点，代入， 得，解得， 故直线的表达式为； 联合和， 得，结合，， 求解出， ∴点横坐标固定不变，令点坐标为， 过点作轴交轴于点，如下图所示： ∴， 即， 解得， 故点的坐标为． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质、勾股定理、待定系数法求函数表达式、韦达定理等知识点，综合性和代数计算量偏大，难度较高． 11．（2026·江苏无锡·一模）如图，已知二次函数（）的图象与x轴交于、B两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数表达式； (2)若点、（）是该函数图像上两点． ①证明：； ②连接，若为直角三角形，求t的值． 【答案】(1) (2)①见解析；②或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①分别求出，再求出，进而求出，根据，利用不等式的性质比较即可； ②分和两种情况结合勾股定理讨论求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，解得， 则二次函数表达式为； （2）①证明：根据题意，得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； ②根据题意，得， ∵， ∴，，， ∵为直角三角形， ∴或， 当时，则， 则 或 解得（舍去）或（舍去）或（符合题意）； 当时， 则，则 或 解得或或（舍去）； 综上，若为直角三角形，t的值为或或． 12．（2026·江苏无锡·一模）二次函数的图象与轴交于点、点，与轴交于点，且对称轴为直线．该抛物线与直线交于、两点（点在点的左侧）． (1)求二次函数的表达式； (2)若与的面积相等时，求的值； (3)当为何值时，在轴上存在唯一的点，使？（直接写出的值） 【答案】(1) (2) (3)的值为或或或． 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）先求出直线的表达式，得到与相交，过点作、过点作，作出图形，由与的面积相等得出，求证，进而得到点是线段的中点，求出点的坐标并代入直线求解即可； （3）在轴上存在唯一的点，使，可以理解为以为直径的圆与轴相切，分四种情况，由圆心到轴的距离等于半径，列方程求解即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象与轴交于点， ； 对称轴为直线， ，则； 将代入得， 二次函数的表达式为； （2）解：由（1）知二次函数的表达式为，则点， 令，则， 解得或， 点， 设直线， 将、代入得， 解得， 直线， 直线， 与相交， 过点作、过点作，与相交于点，如图所示： 与的面积相等， ， 则， 在和中， ， ， ，即点是线段的中点， 、， 的坐标为，即， 将代入直线得， 解得； （3）解：在轴上存在唯一的点，使，可以理解为以为直径的圆与轴相切，或与重合，或与重合，分四种情况： 当交点、均在轴上方时，，如图所示： 设抛物线与直线交点坐标、（点在点的左侧）， 联立， 消去得， ，， ， 则以为直径的圆的圆心， ， 当与轴相切时，， 即， ， 解得或（负值舍去）； 当交点、均在轴下方时，，如图所示： 同理可知， ， 解得或（正值舍去）； 当点与点重合时， 将代入，得， 解得； 或点与点重合时， 将代入，得， 解得； 综上所述，的值为或或或． 13．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知：在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线分别交轴、轴于点，点． (1)如图1，求的值； (2)如图2，连接，点是第一象限抛物线上的一点，过点作，垂足为点．设点的横坐标为，的长为，求与之间的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，连接并延长交轴于点，点是线段上一点，连接，延长交轴于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作交轴于点，若，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入计算即可； （2）过点C作轴交的延长线于点R，根据点C的横坐标为t可知，求出直线的解析式为，则，，根据等边对等角得到，根据平行线的性质得到，根据可知； （3）连接，连接交于点，过点作，垂足为点，令与的交点为，连接．证明，得到，，证明，得到，证明，得到，根据垂直平分线的性质可知，根据勾股定理求出，则，证明，得到，根据勾股定理求出，进而求出，可知，根据角的和差及三角形外角的性质得到，根据等角对等边，根据等腰三角形三线合一得到，根据垂直平分线的性质得到，进而求出，根据相似三角形的判定和性质得到，即，证明，得到，根据勾股定理求出，进而求出，求出直线的解析式为，则，求出，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ， 解得； （2）解：如图1，过点C作轴交的延长线于点R． ∵， ∴， ∵当时，， ∴， ∵点C为抛物线上的一点，且点C的横坐标为t， ． 设直线的解析式为， ∴， 解得， ， ， ． ，， ， ． 在中，， ； （3）解：如图2，连接，连接交于点，过点作，垂足为点，令与的交点为，连接． 由旋转的性质得，， ，， ． ，，， ， ，． ， ，， 又， ， ， 又， ， ∴， ， ∴， ， 在中，， ． ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ， ． ，， ， ， ∴， 又， ， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ． 设直线的解析式为， ∴ 解得， ． 在直线上， ． 解得，（舍）， ． 14．（2026·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点，点，与轴交于点，连接、． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，若点为线段下方抛物线上一动点，过点作轴交于点，过点作交直线于点，、为轴上的动点（点在点的下方）且，连接、．当最大时，此时点的坐标及的最大值； (3)在（2）的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点在新抛物线上，连接．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)， (3)或． 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，一次函数与几何综合，二次函数的平移，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质，难度较大，属中考压轴题． （1）用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式为，直线的解析式，过点作平行于轴交抛物线于点，设，，，可得，再利用，求出，进而利用二次函数的最值求出当时，最小，最小值为4，此时，对于可利用三角形两边之差小于第三边求解，先利将点向下平移1个单位长度得，可得，即可得出，由此求出最大值为． （3）先求出平移后抛物线解析式为，再根据已知可得，然后根据点F在左侧时可得，由此求出直线的解析式为，进而联立解析式求出交点坐标，再根据对称求出另一种情况求解． 【详解】（1）解：将，代入抛物线（） 得， 解得， 所以抛物线的表达式为． （2）解：∵，，抛物线与轴交点为， ∴直线的解析式为，直线的解析式， ， 设，， 延长交于点，则 ∵轴， ∴， 又∵， ∴， ， ∴，即 当时，最大，最大值为4，此时， 将点向下平移1个单位长度得， 连接、，， ∴，四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴当点在线段与抛物线交点上时，最大值，最大值为， 则的最大值， 综上所述，，的最大值． （3）解：， ①抛物线沿射线方向平移个单位长度，即向右平移1个单位，向下平移3个单位得到新抛物线， ∵ ∴平移后抛物线的表达式为： ∵，， ∴， ， ∴， 当在左侧时，如图： ∵轴， ∴， ∴ ， ∵直线的解析式为，， 直线的解析式为 与抛物线联立得 方程组， 解得：（不合题意，舍去），， ∴． 如图2，当在右侧时，如图， 取点关于（即）的对称点， 则直线解析式为：， 直线与抛物线联立得 方程组， 解得：，（在第四象限，不合题意，舍去，）， ∴． 15．（2026·湖北十堰·一模）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点（点在点左侧），交轴正半轴于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点在点下方的轴上，点在第一象限的抛物线上，若是以为斜边的等腰直角三角形，求点的坐标； (3)如图2，已知动点在抛物线上，为的三等分点且靠近点，作轴交抛物线于点．设点的横坐标为，线段的长为． ①求出关于的函数解析式； ②当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；②或或或 【分析】（1）由得，得，把B的坐标代入得，求出a的值即可； （2）解：设，则，过E作于F，根据等腰直角三角形的性质可求出，，则，然后把E的坐标代入求解即可； （3）①根据相似三角形的判定与性质求出M的坐标，根据轴求出N的坐标，然后求出，分三种情况讨论即可； ②分或，讨论，分别求出抛物线于直线，的交点坐标，然后画出草图，数形结合求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 代入，得， 解得， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， 过E作于F， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵点在第一象限的抛物线上， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴； （3）解：当时，解得，， ∴， 当P和B重合时，， ∴， ∵为的三等分点且靠近点， ∴， ∴，此时M、N重合， 当P和C重合时，、都在y轴上，则P和N重合， 设， 当时，如图，过P作轴于H，设与x轴相交于G， 则轴， 又轴， ∴， ∴， ∴， ∵为的三等分点且靠近点， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∵轴， ∴N的横坐标为， ∵N在抛物线上， ∴N的纵坐标为， ∴， ∴； 当时，即或时，； 当时，即时，； 当时，（、重合）； 综上，； ②当或时，， 时，，解得， 时，，解得， 函数图象草图如图， 由图象可知：当或时，， 当时，， 时，，解得， 时，，解得， 函数图象草图如图， 由图象可知：当或时，， 综上，当或或或时，． 16．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知：如图1，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，二次函数的图象交轴于，两点（点在点的左侧），交轴于点，． (1)求二次函数的解析式； (2)如图2，点为中点，点在第四象限的抛物线上，连接，，，点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作轴于点，点在第一象限内，连接交轴于点，连接，．过作轴于点，交于点，连接交抛物线于点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）先求得的长即可得点坐标，根据待定系数法即可求解； （2）求得直线的解析式为，进而求得，，根据即可求解； （3）根据轴于点，轴于点，证明四边形是平行四边形，进而证明 是矩形，得，设，则，，，进而证明， ，作轴，截取，连接，，交于，证明，得出，根据三角函数进而求得，，， ，求得直线为，联立得，即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：令，则， ， ， ， ， ， 将代入得，， 解得， 二次函数的解析式为； （2）解：为中点，， ， ，， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， 如图，设直线与轴相交于点， 关于，当时，， ， ，， ； （3）解： 轴于点，轴于点， ， 四边形是平行四边形， ， 是矩形， ， 设，则， ， ， ， ， ，由（2）可知， ， ， ， 作轴，截取，连接，，交于， ， ， ，，， ， ， ，， ， ， ， 同理， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设直线为， 将，分别代入得， ， 解得， ， ， 解得，或（舍去）， 点的坐标为． 17．（2026·天津·一模）在平面直角坐标系中，为原点，的顶点，，，点在轴负半轴上，点在第一象限，边交轴于点．是等腰直角三角形，，点，点在第二象限． (1)填空：如图①，点的坐标为__________，点的坐标为__________； (2)将沿水平方向向右平移，得到，点，，的对应点分别为，，．设． ①如图②，若边与边交于点，与边交于点，与重合部分为四边形时，试用含的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设平移后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（请直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①，；② 【分析】（1）延长交轴于，过作轴于，根据得到轴，，，，，，则四边形是矩形，，则，，即可求出，，得到；根据是等腰直角三角形，得到，则； （2）①先证明，当过点时，，则边与边交于点时，，再证明是等腰直角三角形，得到； ②根据，，分情况讨论，分别表示出，求出最大值和最小值，最后得到的取值范围． 【详解】（1）解：延长交轴于，过作轴于， ∵的顶点，，， ∴轴，，，，，， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴，， ∴； ∵是等腰直角三角形，，点， ∴， ∴； （2）解：①∵将沿水平方向向右平移，得到， ∴，， ∵边与边交于点， ∴， ∴， 当过点时，， 由（1）可得，， ∴， ∴，，， ∴边与边交于点时， ∴， ∴； ②当时，如图所示， 此时， ∴ ， ∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， 当时，最小值为，当时，最大值为； 当时，如图所示，与轴、分别交于点、， 此时，，， ∴，， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，随的增大而增大， 当时，最小值为，当时，最大值为； 当时，如图所示，、与分别交于点、，过作于， 此时，，四边形是矩形，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴ ， ∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， 当时，最小值为，当时，最大值为； 综上所述，当时，最小值为，最大值为，即的取值范围为． 18．（2026·湖南株洲·一模）如图，四边形OBCD是边长为8的正方形，B，D分别在x，y的正半轴上，二次函数的图像经过点B且其顶点A在边上，连接，作轴于点H，T是直线上方的抛物线上一个动点（T不与O，A重合），过点T作轴于点R，交于点P，交于点Q． (1)直接写出点A的坐标，并求出该二次函数的解析式； (2)求证：的值为常数； (3)是否存在实数使得以，，（为常数，）的值为三边长的三角形为等边三角形？若存在，请说明理由，并求出的值和点T的坐标；若不存在，也请说明理由． 【答案】(1)点A的坐标为，二次函数的解析式为； (2)的值为常数； (3)存在时，等边三角形存在，此时点T的坐标为. 【分析】（1）根据正方形性质可求出点B的坐标，因为点A是顶点以及在上，结合对称轴公式可求出点A坐标，进而利用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （2）因为点T，点Q，点R，点H均在二次函数图像、直线以及x轴上，可分别表示出这四个点的坐标，进而利用两点之间的距离公式表示出线段长，并代入式子进行计算即可； （3）在第（2）问的基础上表示出线段的长，并分别根据题干中所乘系数表示出线段长，进而根据等边三角形三边相等列出等式，进行计算即可求解. 【详解】（1）解：∵正方形的边长为8，∴， ∴点B的坐标为， ∵二次函数的解析式为，∴二次函数的图像也经过原点O， ∴二次函数图像的对称轴为直线， ∵点A是二次函数图像的顶点，且在上， ∴点A的坐标为， 将点A和点B分别代入可得， ，解得， ∴二次函数的解析式为； （2）∵点T是直线上方的抛物线上一个动点， 设点T的坐标为， ∵轴，∴点R的坐标为， ∵直线过原点，∴设直线的解析式为， 将点A 代入，可得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点Q在直线上， ∴点Q的坐标为， ∴， ∵轴， ∴点H的坐标为， ∴，， ∴； ∴的值为常数； （3）同（2）可设点T的坐标为， ∴点P的坐标为， ∴， ∴， 由（2）可得，， ∴，， 要使等边三角形存在，则一定存在： ， 化简，可得， 化简，可得， ∴， ∵，消去，解得， 当时，，∴点T的坐标为， ∴存在时，等边三角形存在，此时点T的坐标为. 【点睛】本题考查二次函数与线段综合问题，并结合考查等边三角形的性质，通过点坐标表示出线段长是解决本题的关键. 19．（2026·江苏南通·一模）如图，在平面直角坐标系中，，以为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接并延长至C，使，过C作轴于点D，交线段于点E．已知，抛物线经过三点． (1)求直线的函数表达式； (2)求抛物线的函数表达式； (3)若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角得到，则可证明垂直平分，得到，利用勾股定理求出的长，则可得到点C的坐标，进而求出点B的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出点E的坐标，再利用待定系数法求解即可； （3）设点，然后分两种情况：点P在左侧和点P在右侧，列出以为顶点的四边形面积与p的二次函数关系式，根据S的取值使得相应的点P有且只有3个，那么所得的两个二次函数的值等于S时要满足一个方程有两个相等实数根，另一个方程有两个不相等的实数根，据此利用判别式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵为半圆的直径， ∴，即， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴点B为的中点， ∴点B的坐标为，即， 设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：在中，当时，，则， 设抛物线的解析式为， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （3）解：设点， ①若点在的左侧，延长交于，如图所示， 同理可得所在直线函数关系式为， 在中，当时，，即点纵坐标为， ∴， ∴ • ， ； ②若点在的右侧，延长交于，如图所示， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 在中，当时，，即点纵坐标为， ∴， ∴   ； ∵以为顶点的四边形面积记作S，且S满足相应的点P有且只有3个， ∴关于p的方程有两个不相等的实数根，且关于p的方程有两个相等的实数根或关于p的方程有两个相等的实数根，且关于p的方程有两个不相等的实数根； 当关于p的方程有两个不相等的实数根时，则方程有两个不相等的实数根，则， 解得， 当关于p的方程有两个相等的实数根时，则方程有两个相等的实数根，则， 解得； 当关于p的方程有两个不相等的实数根时，则方程有两个不相等的实数根，则， 解得， 当关于p的方程有两个相等的实数根时，则方程有两个相等的实数根，则， 解得； 综上所述，或（此种情况不成立，舍去）， ∴． 20．（2026·江苏无锡·一模）如图，在矩形中，，．将该矩形绕着点按逆时针方向旋转，得到矩形．连接、． (1)当点的对应点落在边上时，求的长； (2)在旋转过程中，设，的面积为．求与之间的函数表达式，并求出的最大值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）过点作，连接，过点作，如图所示，由矩形性质求出相关角度和线段关系，在中，由勾股定理求出，结合旋转性质及三角形相似的判定与性质得到相似比，代值求出，最后在中由勾股定理求解即可； （2）过点作、，过点作，构造出矩形，求出矩形的两条邻边长度，在中，由勾股定理列式求解即可得到与之间的函数表达式，再由二次函数性质及点的轨迹为圆分析求解即可得到的最大值． 【详解】（1）解：当点的对应点落在边上时，如图所示： 在矩形中，，， 过点作，连接，过点作，如图所示： 四边形是矩形， ，，，， 在中，，则由勾股定理可得， 由旋转性质可知，则， ， 则， 解得，， ， 在中，，，则由勾股定理可得； （2）解：过点作、，过点作，如图所示： 四边形是矩形，则， ， 解得， ，， 是的中线，则， 在中，，则由勾股定理可得， 由等面积法可知， ，解得， 在中，由勾股定理可得，则， ， ， 直接开平方得， 即与之间的函数表达式为， ，即抛物线开口向上，且对称轴为轴， 值随着的增大而增大， 将该矩形绕着点按逆时针方向旋转，则点在以点为圆心、为半径的圆周上，如图所示： 在旋转过程中，设，则为直径，即时，的面积有最大值，为． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $