专题13 相似三角形与锐角三角函数（5大考点）（全国通用）2026年中考数学一模分类汇编

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题13相似三角形与锐角三角函数 ☆5大考点概览 考点01相似三角形的判定与性质综合 考点02相似三角形实际应用 考点03特殊角的三角函数 考点04三角函数综合 考点05解直角三角形的应用 考点01 相似三角形的判定与性质综合 1. (2026山东德州一模)如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，点B的坐标是-2,1，过点A作 AB,‖lOB,交x轴于B1,过点B,作A1B1⊥X轴交直线AC于A1,过点A1作直线A1B,‖AB1,交x轴于B2, 过点B2作A2B2⊥X轴交直线AC于A2,…,则AB1=式， A2026的坐标是 A2 B A CO BB. 2. (2026河北保定·一模)如图，在口ABCD中，连接AC,AC=BC=5,tanB=3,点E在AD的上方， 且EA⊥AC,连接EC,ED,若∠DEC=2∠ECA,则DE的长为() B 5V10 A. B. c.410 3 3 D.3 3.(2026海南海口·一模)如图1，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，将△AEF绕点 A逆时针旋转（不超过一周）· 2 R 图1 图2 图3 1/6 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)特殊呈现：当AD=AB时，将△AEF旋转到如图2所示位置； ①求证△ABE≌△ADF. ②说明BE与DF的位置关系； (2)一般探究：当AD=kAB时，将△AEF旋转到如图3所示位置时，当k≠1时， DF 比值是定值吗？若是 BE 定值，请给予证明；若不是定值，请说明理由： (⊙)特殊应用：如图3，当AB=6,k=专时，点E在AB左侧，且∠AEB=90时，连接CF交AD于点G, 请直接写出DG的值. 4.(2026:四川成都一模)如图，在Rt△ABC中，∠A=90,AB=号AC,D为射线BA上一点，以CD为 3 直角边在CD右侧作Rt△CDE,∠DCE=90°，∠DEC=∠ABC,直线DE与直线CB交于点F,连接BE. D B 图1 图2 【初步感知】 (I)如图1，当点D在AB上时，若CD=BD,求证：∠CDE=∠BDE; 【问题探究】 (2)在(1)的条件下，若AB=8,求BE的长： 【拓展延伸】 (3)如图2，当点D在BA的延长线上时，若AB=8,DF=2EF,求BE的长. 5.(2026辽宁沈阳一模)【问题情境】 几何探究是培养几何直观、推理能力和创新意识的重要途径.解决几何探究问题，往往需要运用从特殊到 一般、类比等数学思想方法， (1)【初步探究】 如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到△ADE,连接CE,DB,则∠ACE的度数为： 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 (2)【类比探究】 如图2，在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在CD边上，且满足∠EAF=45°，BE=2,DF=3, 求正方形ABCD的边长； B E 图2 (3)【拓展延伸】 如图3，在四边形ABCD中，CD=CB,∠BAD与∠BCD互余，AC,BD为对角线，且满足C2=? AC-31 B 图3 ①将△CDA绕点C逆时针旋转到△CBE,连接AE,在图3补全图形： ②若AD=3,AB=4,求BD的长. 6.(2026云南昆明一模)如图，在△ABC中，∠C=90°，E是AC上一点，过点E作ED⊥AB于点D. DE_2nS△ADE=i(） 若CB子则 SAACB 3/6 应学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E B B. 3 c青 n 7.(2026海南省直辖县级单位一模)问题发现：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们 绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究，如图1，在 △ABC中，∠B=90°，AB=BC=6. A E 图1 图2 图3 图4 (I)探究发现：分别取AB,AC的中点D,E,作△ADE.如图2所示，将△ADE绕点A逆时针旋转，连 接BD,CE.旋转过程中，线段BD和CE的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明： (2)性质应用：如图3，当DE所在直线首次经过点B时，求CE的长： (3)拓展探究：如图4，∠FBC=30°，E是直线BF上一点，以AE为斜边在AE左侧作等腰Rt△ADE,直 接写出线段BD的最小值. 8.(2026河北保定一模)综合与实践 【情境】我们知道，菱形和矩形是轴对称图形，而且它们至少都有两条对称轴.嘉嘉学习完相关知识后， 提出问题：是否存在只有一条对称轴的四边形？ 【操作】如图1，在矩形ABCD中，E是AB的中点，在图中作出只有一条对称轴且对角线互相垂直的四边 形EFGH(其余三个顶点分别在边BC,CD,AD上). A D G B M 图1 图2 图3 图4 4/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 嘉嘉和淇淇有不同的操作方法： 嘉嘉：①如图2，将矩形ABCD对折后展开，折痕为EG: ②在AD上取任意一点F,将矩形沿过点F的直线折叠，使点B落在BC上，展开，折痕为FH; ③连接EF,FG,GH,HE. 淇淇：①如图3，在CD边上任取一点G,连接EG: ② 【探究】根据以上描述，解决下列问题： (I)证明：图2中∠EFG=∠EHG: (2)在图3的基础上，用尺规作图作出四边形EFGH;(保留作图痕迹，不写作法) 【拓展】 (3)如图4，在四边形EFGH中，FG=GH,FE=HE. ①连接FH,若FH=8,EF=5,且∠FEH=2∠FGH,求FG的长： ②若FG=6,∠EFG=∠EHG=90°，M是边FG上一点，MN⊥GH于点N,连接ME,若ME平分 ∠FMN,MN=4,直接写出四边形EFGH的面积. 9.(2026山东德州一模)在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C旋转得到△DEC,点A的对 应点D在边AB上，连接BE, B (1) (2) (3) (I)如图1，求证：△BCE一△ACD: 将下列探究过程补充完整： 解：由旋转的性质可知，CA=CD,CB=CE,-, .CA CB = ∴.△ACD一△BCE (2)如图2，当BE=4,BD=3时，求AC的长； (3)如图3，过点E作AB的平行线交AC的延长线于点F,连接DF交BC于K. ①求证：△EFC≌△BDC: ②当BC=时，直接写 AC 3 FK的值. 5/6 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10.(2026湖南一模)如图，AB为⊙O的直径，弦DE⊥AB于点C(C为线段OB上一点)，F为CD上 一点（点C,F均不与端点重合），连接BD,BE,射线AF交BD于点H,与射线EB交于点G,且 ∠EAF=∠ADE. A G (1)求证：AF=EF, 2若AC=3,CE=2,求 DF的值. (3)当点B为EG的中点时，求证：△DHF一△GHB 考点02 相似三角形实际应用 11. (2026河北保定一模)如图1，皮影戏利用灯光将皮影投射到幕布上形成影像.如图2，灯光可看作 点光源O,皮影AB经照射在幕布上形成影像CD.嘉淇测出O到AB,CD的距离以及AB的长度，就能求 出CD的长度，其依据是() D 光源 物体 A 幕布 图1 图2 A.等腰三角形三线合一 B.相似三角形对应边的比等于相似比 C.全等三角形的对应边相等 D.平行线间的距离处处相等 12.(2026浙江一模)如图，点光源O射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片AB投影到与胶片平 行的屏幕上，形成影像CD.已知图片AB长为3dm,若点光源O到胶片的距离OE长为6dm,点光源O与 屏幕的距离OF的长为18dm,则影像CD长为()dm 6/6 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 胶片 屏幕 C 点光源。 B A.36 B.12 C.9 D.6 13.(2026安徽滁州一模)阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球.”这句话生动体现 了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物，这一原理在生活中随处可见.如 图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头.如图乙所示，动力臂 OA=150cm,阻力臂OB=50cm,BD=12cm,则AC的长度是 cm. 甲 乙 14.(2026河南周口一模)茗阳阁位于河南省信阳市狮河区茶韵路一号，建成于2007年4月，是信阳新 建的城市文化与形象的代表建筑之一，具有浓郁地方古建筑特色的塔式阁楼，被誉为“中原第一大阁楼”· 淇淇在物理课上学过《光的反射定律》，她想利用光的反射定律测量茗阳阁的高度.于是把“测量茗阳阁 的高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践报告，并形成了如下活动报告， 活动项目 测量茗阳阁的高度 实物图和测量示意图 BC ①在地面上的点C处放置了一块平面镜，随后，站在 NC的延长线上点B处，此时，从平面镜中刚好看到茗 阳阁顶端M,测量B,C两点间的距离；②将平面镜从 测量过程 点C处沿NC向后移动到点D处，站在点F处又恰好看到 茗阳阁顶端M,测量D,F两点间的距离；③AB,EF 为眼睛到地面的距离 716 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BC=1.5米，CD=9.4米，DF=1.8米， 测量数据 EF=AB=1.5米 点F,D,B,C,N在同一条直线上，图上所有点 备注 均在同一平面内，∠ACB=∠MCN, ∠EDF=∠MDN,MN,AB,EF均与地面垂直 根据活动报告，求茗阳阁MN的高度. 15.(2026江苏无锡一模)如图，A、B两地被假山阻隔，为测量A、B两地的距离，在地面上选一点C, 连接CA、CB,分别在CA、CB上取点D、E,使得CD:AD=CE:BE=1:2,量得DE的长为8m,则 AB两地的距离为 m. 16.(2026安徽合肥一模)如图，小刚正在使用手电筒进行物理学实验，手电筒位于点G处，手电筒的光 从平面镜上的点B处反射后，恰好经过木板CF的边缘点F,落在墙上的点E处，现测得AG=1.6米， CD=6米，AC=7.2米，CF=2米，已知图中点A,B,C,D在同一水平面上（物理学中入射角等于反射 角)，ED⊥AD,FC⊥AD,GA⊥AD,则ED的长为米. 17.(2026浙江台州一模)如图是笔直杠杆AB的示意图.已知AB=180cm,支点C离水平地面的高度 为20cm.当杠杆的端点A落到地面时，端点B离地面的高度为30cm,则AC的长度为 cm. 77777777777777 777777 水平地面 18.(2026贵州遵义一模)如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE 高1.2m,测得AB=1.6m,BC=12.4m,则建筑物CD的高是() 8/6 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 0 B A.8.5m B.9.5m c.10.5m D.11.5m 19.(2026·广东珠海一模)方案设计：某数学活动小组到校外测量一段两岸平行的河流的宽度： C M D C D B 图1 图2 (①)如图1，是一种利用初中所学的“锐角三角函数”知识求河流宽度的方案：先在河岸设立E,F两个观 测点，然后选定对岸河边的一棵树记为点M,测得EF=50m,∠MEF=30°，∠MFE=45°.按照此方 案，求出这段河的宽度； (2)请你在图2中设计出另外一种测量这段河流宽度的方案，并写出计算过程. 考点03 特殊角的三角函数 20. (2026河南周口一模)计算：-3+ 1-3 9+2sin30° 21.（2026:黑龙江哈尔滨一模)先化简，再求代数式9-3 ÷a+1+,8 a-1 1-a 的值，其中 a=2cos30°-3tan45°. 2 22.(2026江苏宿迁一模)计算：2-3+12+ -2c0s30°. 23.（2026云南昆明一模)计年：3-2026-nP-+4-2c0s30 24. (2026山东临沂·一模)解决下列问题： 计第：-1+3+83an60-1 (2)解分式方程： 1 x-2 21+x 2-x 9/6 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 25. (2026湖南一模)计第：1-3-2026-m°+2 -tan30. 26.（2026广东茂名一模)计算 tan45°的结果是 27.(2026海南省直辖县级单位一模)计算 (1)R25+2-3+tan60°+2026 (2)a3-a+a-1a+2 28.(2026广东江门一模)计算：2026°+2c0s45°=乙 29.(2026河南南阳一模)如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点E在线段AB上，连 A 接OE,CE.若点B和点O关于直线CE对称， BC的值为() A.1 B. 3 c.V2 D.3 30. (2026江苏泰州一模)按要求完成下列计算： (1)计算：2026°+ ×V27-6c0s30°； (2)解方程： 1=X-1+3. X-22-X 31.(2026江苏盐城一模)计算：6sin45°+3-1°-8 32.(2026云南一模)计算：卜1+-3-n-1°+2 -2tan45°. 33. (2026湖南株洲一模)计算：8+乙-V3V-2sin60°. ◆考点04 三角函数综合 34. (2026·黑龙江哈尔滨·一模)如图，己知正方形ABCD中，AB=6,点E是AD上一点， 10/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠ABE=I5°，点F为BE的中点，连接DF并延长交AB于点M,连接FC,点H是BC上一点，DH‖BE 交CF于点G,连接EG,连接MH.则下列说法：①∠MDH=45°：②MH‖FC;③四边形EFGD 的面积为18；④若点P在∠MDH的平分线上，点Q在DF上，FP+PQ的最小值为32.其中正确结论 的序号是 D R E A M B 35. (2026天津河北一模)如图，在口ABCD中，∠A=60°，点P从点A出发以3个单位长度每秒的 速度沿AD→DC的路径移动，点Q从点A出发以1个单位长度每秒的速度由点A向点B移动.点P到达 C点或点Q到达B点时，点P,Q均停止移动.若AB=6,AD=9,连接PQ,CP,CQ.有下列结论： @点P可以到达C点：②△B0C的面积可以为。3，®至少有两个时刻，△PQC的面积为273 8 ,其中 正确结论的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 36.(2026四川绵阳.一模)如图所示，在△ABC中，AB=AC=2,∠BAC=120°，点E是AB边上不 与端点重合的一个动点，作ED⊥BC交BC于点D,将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为F,当△ACF 为等腰三角形时，则BD的长为 B 37. (2026·安徽蚌埠.一模)如图，在Rt△ABC和Rt△i中，∠C=∠F=90°，AC=BC=EF=3, 点E在线段BC上，点A在线段DF上，且AC‖DE.连接AE. 11/6 应学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D (1)若∠D=a,则∠BAE的大小为；（用含a的代数式表示） (2)当AC·DE=AE·DF时，连接CD交AE于点P,则CP的长为 38.(2026·上海长宁.一模)在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、C,那么 下列等式中不正确的是() A.a=b·tanA B.c=a·sinA C.c=-b D.b=a sin B cot B 39.(2026内蒙古包头一模)如图，AB是⊙O的切线，E为切点，以O为顶点作∠COD,交⊙O于点C, 交AB于点D,连接CE,交OD于点F. A (1)∠OCF与∠CED有什么数量关系，请说明理由： 2)若00的半径为2，∠C0D=90°，cosC=25, 求OD的长， 5 40.(2026山东聊城.一模)在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活 动. 已知矩形纸片ABCD中，BC=6,三位同学进行如下操作： H F 、G B 图1 图2 图3 ()小红的折纸如图1，将纸片折叠，使顶点B落在边CD上的E点处，折痕的一端G点在边AB上，折痕的 另一端F点在边BC上，此时CF=2,则∠BGE=( 12/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)小亮在小红的基础上又做了一次折叠，如图2，将纸片的另一端折叠，使得顶点A落在EG上的点M处， 折痕的另一端N落在边AD上，若CD=53,求DN的长： (3)大刚的折纸如图3，分别将△BCE和△CDF沿CE,CF翻折，点D,B的对应点分别为点G,H,且C, H,G三点共线，CG平分∠ECF,求∠ECF的度数及BE的长. 考点05 解直角三角形的应用 41. (2026江苏南京·一模)如图，在高为27m的某建筑物AB前方的平地上竖立着一根旗杆CD,BD和 AC的延长线交于点E,此时测得仰角∠CED=22°，∠CBD=26°30，求旗杆的高度.（参考数据： sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin26°30'≈0.45，cos26°30≈0.89， tan26°30≈0.50) A B 42.(2026河南周口一模)某数学兴趣小组开展测量校园内旗杆高度的活动，方案如下： 工具：测角仪、皮尺 ·步骤：①在旗杆底部B的水平地面上取一点C,测得BC=6m;②在C的上方D处测得旗杆顶端A的仰 角为53°；③已知测角仪的高度CD=1.5m.(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6， tan53°≈1.33 B (I)求旗杆AB的高度. (2)若要使测量结果更准确，你认为可以采取哪些改进措施？（写出一条即可） 43.(2026安徽合肥.一模)无人机从点A的正上方点C,沿正东方向以4m/s的速度飞行15s到达点D, 测得A的俯角为60°，然后以同样的速度沿正东方向又飞行50s到达点E,测得点B的俯角为37°， 13/6 应学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 今 60°y 370E - A 的 (1)求无人机的高度AC(结果保留根号)： (2)求AB的长度（结果精确到1m),(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， V3≈1.73) 44.(2026陕西咸阳·一模)香积寺塔是陕西省风景名胜区的主要景点之一，在历史上曾有“古塔穿云”、 “塔影团圆”等雅称.安安利用周末完成了对香积寺塔高度的测量.如图，安安在地面上的点C处测得香 积寺塔顶端A的仰角∠ACB的度数为63.4°；随后，安安从点C处沿BC方向移动18米到达点D处（即 CD=18米)，在点D处测得香积寺塔顶端A的仰角∠ADB的度数为47.8°.已知AB⊥BD,点 B、C、D在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请你帮助安安求出香积寺塔的高度AB.(参考数 据：sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00，sin47.8°≈0.74，cos47.8°≈0.67， tan47.8°≈1.10) B 45.(2026河北保定一模)如图，嘉淇参加了某旅行社活动，从集结地A处出发，景点B在A的正东方 向，景点C在集结地A的北偏东30°方向，在景点B的北偏西45°方向，集结地A与景点C之间的距离为 40千米，则集结地A与景点B之间的距离为() →东 309 A B A.202千米 B.20+202千米 14/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C.30千米 D.20+203千米 46.(2026重庆沙坪坝·一模)科技赋能环保，智慧守护自然，嘉陵江重庆段的某一水域采用智能船进行 水质监测.如图，A,B,C,D在同一平面内，A,B是智能船的水质监测基站.B位于A的正东方向， D位于A的正北方向20米处，C位于D的北偏东60°方向20米处，且位于B的北偏西30°方向上.（参考 数据：2≈1.41,3≈1.73) 北 160° 西→东 D 南 30° Bi ()求A,C之间的距离；（结果保留小数点后一位） (2)甲，乙两船同时分别从A,B出发沿AC,BC方向进行水质监测，甲，乙两船的速度之比是1：2.当两 船相距20米时，甲船检测到疑似被污染的水样，准备立即返回基站，求此时甲船距离A基站有多远？（结 果保留小数点后一位) 47.(2026天津红桥·一模)在综合与实践活动中，要用测角仪测量公园里一个池塘两端的距离AB(如 图)·某学习小组设计了一个方案：在池塘的一端A处测得B处在A处的北偏西53°方向，再沿正西方向 前行220m到达C处，测得B处在C处的北偏东48°方向.根据该学习小组测得的数据，计算池塘两端的 距离AB(结果保留整数)，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°0.80，tan37°≈0.75，tan42°≈0.90： 东 89 53 48. (2026重庆·一模)为加大科技进校园的力度，某市举办了机器狗越障大赛.如图，每个得分点A,B, C,D,E都在同一平面内，点B位于点A的南偏东60°方向及点C的正西方向上，点D位于点C的东北方向 30V2米及点A正东方向100米处，点E位于点D的北偏西30°方向及点A的东北方向上.（参考数据： 2≈1.41，V3≈1.73,6≈2.45) 15/6 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 北 E 西 东 南 30 45 60° B (I)求点B到点C的距离（结果保留小数点后一位）： (2)小中与小华是这次比赛的队友，小中的机器狗“梦想”从点B出发，沿B→A→E路线到达补给点E. 同时，小华的机器狗“成真”从点C出发，沿C→D→E路线到达点E为“梦想”补给.机器狗“梦想” 到达A点的同时，机器狗“成真”也到达D点，这时机器狗“成真”出现小故障，小华立即开启修复模式， 此模式下，机器狗“成真”的速度只有机器狗“梦想”速度的一半.当机器狗“梦想”位于机器狗“成 真”的北偏西75°方向时，机器狗“成真”恢复正常.求此时机器狗“成真”与点D的距离（结果保留小 数点后一位)· 49.(2026江苏泰州一模)某河堤横断面如图所示，堤高AC=6m,迎水坡AB的坡比是1：3，则AB的 长为 m. B 50.(2026广东广州一模)某学校计划修建地下车库，一数学兴趣小组根据《车库建筑设计规范》与所 学知识，为学校地下车库设计并绘制了入库坡道示意图（如图），相关信息如下： (i)直线主坡道BC的水平距离为20m,坡度为0.12； (ii)左、右两段缓坡道为AB,CD,水平距离均为5m: ()DE和车库地面均与水平方向平行. K 车库上方横梁 D剂 n 缓坡道！车库入口地面 A 6 直线主坡道 G 车库地面 缓坡道 --…5m-4 -----20m-- 4--…5m-y 已知坡度就 铅直高度 水平距离，试根据上述信息解决以下问题： 16/6 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求主坡道的铅直高度CG: (2)根据《车库建筑设计规范》：缓坡道坡度为主坡道坡度的) 坡道的最小净高不低于2.2m.(坡道的 净高为车库上方横梁到坡道的垂直距离) ①求车库高度AK; ②若DE=22m,判断该坡道的最小净高EF是否符合设计规范，并说明理由. 参考数据：当tana=0.12时，sina≈0.12，cosa≈0.99. 51.（2026湖北襄阳一模)暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山.他们从山底A处出发，先步行 200m到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处.已知山坡AB的坡角a=16°，缆车的行驶路线BC与水平 面的夹角β=37°，这座山的高度CD=296m,A,B,C,D在同一平面内.（参考数据： sin16°≈0.28，c0s16°≈0.96，tan16°≈0.29；sin37°≈0.60，c0s37°≈0.830，tan37°≈0.75) BSB D (1)求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）： (2)求缆车的行驶路线BC的长（结果取整数）. 52.(2026广东茂名一模)【阅读材料】 素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3、图4是它在不同情况下的侧面示意图，A,C为墙壁上的固定 点，摇臂CB绕点C旋转的过程中长度保持不变，遮阳棚AB可自由伸缩，棚面始终保持平整，且 CA=CB=CD=1.5米 太阳 太阳 光线 光线 B 图1 图2 图3 图4 素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角α的正切值. 时刻/时 12 13 14 15 角a的正切值 5 2.5 1.25 m 【问题解决】 17/6 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)当∠ACB=90时. ①如图2，这天15时太阳光线刚好照射到墙角D处，求此时刻角的正切值m. ②如图3，这天13时在点E位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离DE (2)如图4，旋转摇臂CB,使得点B与墙壁的距离为1.2米，为使绿萝在这天12时-14时都不被阳光照射到， 则绿萝摆放位置与墙壁CD的最远距离应该小于多少米？ 53.(2026河南南阳一模)鄂城寺塔位于南阳市卧龙区石桥镇，始建于隋代，通高23米，是全国重点文 物保护单位.这座千年古塔的雄伟身姿，是古人智慧和技艺的见证.某数学小组在综合实践活动中，分两 组分别测量鄂城寺塔的高度，形成如下实践报告表： 测量过程平面图 第一组 第二组 ①标杆 ①标杆 DC=1.5m DC=1.5m 太阳光线 ； ； ②标杆底部 ②标杆的影 太阳光线 到鄂城寺塔 长 D 底部的距离 CE=2.0m B EC 图1 图2 BC=10.7m ③鄂城寺塔 AB⊥FC于B,CD⊥FC于C,AF DE,点F,B,E ③从D点看 的影长 C在同一条直线上. A点的仰角为 BF=30.67m 64°. (参考数据：sin64°≈0.9，cos64°≈0.4，tan64°≈2) (1)选择其中一组数据计算鄂城寺塔的高度AB: (2)规定测量计算得到的结果误差不超过0.5m可评为优秀实践小组，请说明两个实践小组是否都能评为优 秀. 54.(2026贵州遵义一模)如图1所示，某种型号的机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬 间的几何示意图，机器人的一腿AB直立于地面MN,小腿部分CD刚好与地面MN平行，上身AP垂直于 大腿AC,即AB⊥MN于点B,CD‖MN,AP⊥AC于点A,CE是机器人小腿CD上踢后与大腿AC在同 一直线的瞬间.（这里的小腿CD,CE都包括脚面部分，上身AP包括头部部分）已知 AB=85cm,AP=75cm,∠DCE=50°，参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839. 18/6 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 (1)求∠CAB的度数： (2)点P距离地面的高度.（结果精确到1cm) 55.(2026海南海口一模)阅读甲乙小组的实践报告，解决问题. 实践报告 如图，测量湖边观测点A与湖心岛上鸟类栖息点P之间的距离 P。 实践课题 77777777777777777777777777 实践工具 皮尺、测角仪等测量工具 甲组： 乙组： 如图，选择合适的点D、E、F, 如图，根据湖边地形状况，在岸 使得A、D、E在同一条直线上， 边选取合适的点B.测量A,B 且AD=DE,∠些i∠DAP,当 两点间的距离以及∠PAB和 F、D、P在同一条直线上时，只 ∠PBA,测量三次取平均值， 活动方案 需测量EF即可. 得到数据：AB=60米， ∠PAB=79,∠PBA=64. 问题解决： ()甲组的方案用到了 知识.（在横线上填写正确答案选项） A.解直角三角形B.三角形全等 19/6 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)乙组的方案中： ①∠P=i ②结合乙组测量数据，计算AP之间的距离，（参考数据：sin64°≈0.90，sin79°≈0.98， cos79°≈0.19，sin37≈0.60，tan37°≈0.75) 20/6 专题13 相似三角形与锐角三角函数 5大考点概览 考点01相似三角形的判定与性质综合 考点02相似三角形实际应用 考点03特殊角的三角函数 考点04三角函数综合 考点05解直角三角形的应用 相似三角形的判定与性质综合 考点01 1．（2026·山东德州·一模）如图，矩形在平面直角坐标系中，点的坐标是，过点作，交轴于，过点作轴交直线于，过点作直线，交轴于，过点作轴交直线于，……，则________，的坐标是________． 【答案】 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，且， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点B的坐标是， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴点坐标为，即， 又∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点，即， 以此类推...，的坐标为， 故答案为：，． 2．（2026·河北保定·一模）如图，在中，连接，，，点E在的上方，且，连接，，若，则的长为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题是一道典型的平行四边形几何综合题，主要考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及三角函数的应用． 过点作于点．利用，求出，过点作交延长线于点，证明，得出，．根据，证明，推导出，利用相似比建立方程求出．最后在中利用勾股定理求出． 【详解】解：如图，过点A作于点M，过点D作交的延长线于点， ∵，∴设，则． ∵，∴． 在中，由勾股定理得， 解得（不合题意舍去）， ∴，，， ∵在中，， ∴， 又∵， ∴． ∵，， ∴≌， ∴，， 设，则， ∵， ∴设，则，， ∴， ∴． ∵， ∴∽， ∴，即，解得， ∴． 在中，由勾股定理得． 【点睛】本题的核心在于通过构造辅助线，利用角度关系和勾股定理求出关键线段，进而通过相似三角形求解目标线段． 1．方程思想（设参法）：利用三角函数值设未知数，结合勾股定理列方程求解，是处理直角三角形边长问题的通法． 2．构造全等：通过作垂线构造直角三角形，将平行四边形的边角关系进行转移（将转移到），是解决线段转移的关键． 3．相似转化：本题难点在于处理倍角关系（），解题中通过角度推导转化为相似三角形的判定条件，从而将未知线段纳入比例关系中求解． 3．（2026·海南海口·一模）如图1，在矩形中，点、分别是边、的中点，将绕点逆时针旋转（不超过一周）． (1)特殊呈现：当时，将旋转到如图2所示位置； ①求证． ②说明与的位置关系； (2)一般探究：当时，将旋转到如图3所示位置时，当时，比值是定值吗？若是定值，请给予证明；若不是定值，请说明理由； (3)特殊应用：如图3，当，时，点在左侧，且时，连接交于点，请直接写出的值． 【答案】(1)①见解析；② (2)当时，，比值是定值，证明见解析 (3) 【分析】（1）①当时，四边形为正方形，根据旋转的性质可知，在旋转过程中始终是等腰直角三角形，进而得到，根据线段中点的性质得到，从而证明； ②由①知，，则，，延长与交于点，与交于点，根据三角形内角和定理得到，从而得到； （2）当时，，则，证明，进而得到是定值； （3）过点作于，当，时，，，由（2）可知，，根据勾股定理求出长，利用“等面积法”求出长，在中，由勾股定理求出长，证明，进而得到，据此求出的值． 【详解】（1）解：①当时，四边形为正方形， 点、分别是边、的中点， ，， ， 根据旋转的性质可知，在旋转过程中始终是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ②由①知，， ，， 如图2，延长与交于点，与交于点， ，， ， ，即； （2）解：当时，，比值是定值，证明如下： 当时， 点、分别是边、的中点， ，， ， ， ， ， ， ， 又， ， 是定值； （3）解：如图3，过点作于， 当，时，，， 点、分别是边、的中点， ，， 由（2）可知，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 在中，由勾股定理得：， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查旋转的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形和相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理、数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 4．（2026·四川成都·一模）如图，在Rt中，为射线上一点，以为直角边在右侧作，直线与直线交于点，连接． 【初步感知】 (1)如图1，当点在上时，若，求证：； 【问题探究】 (2)在（1）的条件下，若，求的长； 【拓展延伸】 (3)如图2，当点在的延长线上时，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（）由已知条件可得， 即可得证； （）先证出，得到，再证，得到比例式即可求解； （）分别过点，作的垂线，垂足为点，可得，再由，，可证得，由圆的相关性质可证出，最后由计算比例即可． ． ． 【详解】（1）证明：， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴； （2）由（1）知， 在与中，， 由（1）知 在和中， ， ． ，且， ， 由勾股定理，得． ∵，， ， ． ， ． ． ∴ ，即， ． ； （3）如图，分别过点，作的垂线，垂足为点， ， ． ． ． ． ， ． ，　 ， ， 四点共圆， ， ∴， ． 设，则， ， ， ， 由（2）知 即，解得， ． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，圆的性质，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键． 5．（2026·辽宁沈阳·一模）【问题情境】 几何探究是培养几何直观、推理能力和创新意识的重要途径．解决几何探究问题，往往需要运用从特殊到一般、类比等数学思想方法． (1)【初步探究】 如图1，将绕点逆时针旋转，得到，连接，，则的度数为______； (2)【类比探究】 如图2，在正方形中，点在边上，点在边上，且满足，，，求正方形的边长； (3)【拓展延伸】 如图3，在四边形中，，与互余，，为对角线，且满足， ①将绕点逆时针旋转到，连接，在图3补全图形； ②若，，求的长． 【答案】(1) (2)6． (3)①见解析；② 【分析】（1）根据旋转的性质易得为等腰直角三角形，结合等腰三角形的性质求解即可； （2）将绕点逆时针旋转得到，证明，设正方形边长为，则，，结合勾股定理即可解题； （3）①将绕点逆时针旋转至，连接， ②证明，最后用勾股定理即可． 【详解】（1）解：由旋转的性质得：，， 为等腰直角三角形， ． （2）解：如图，将绕点逆时针旋转得到， 由旋转的性质可得，，，， ， ∴，，三点共线． ， ． ，， ． ． ， ． 设正方形的边长为，则，， 在中，，即， 解得，（负值舍去）． ∴正方形的边长为6． （3）解：①如图，将绕点逆时针旋转至，连接， ②由旋转的性质可得，，，， ． 又，， ． ． ． ， ． ， ． ． ∴． ∴． 6．（2026·云南昆明·一模）如图，在中，，是上一点，过点作于点．若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明，根据相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 又， ∴， ∵， ∴． 7．（2026·海南省直辖县级单位·一模）问题发现：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究，如图1，在中，，． (1)探究发现：分别取，的中点，，作．如图2所示，将绕点逆时针旋转，连接，．旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明； (2)性质应用：如图3，当所在直线首次经过点时，求的长； (3)拓展探究：如图4，，是直线上一点，以为斜边在左侧作等腰，直接写出线段的最小值． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由题意可得，解直角三角形得出，结合，的中点分别为，，得出，为的中位线，从而可得，，求出，得到，证明出，从而可得，由相似三角形的性质计算即可得出结果； （2）由题意可得，解直角三角形得出，证明，由相似三角形的性质得出，，由勾股定理计算出的长，即可得出结果； （3）连接、，由题意可得，解直角三角形得出，由等腰直角三角形的性质可得，，证明得出，作于点，由垂线段最短可得，当点运动到点时，此时的长最短，由直角三角形的性质求出的长的最小值为，即可得出结果． 【详解】（1）解：，证明如下： ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵，的中点分别为，， ∴，为的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解： ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， 由（1）可得：，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵所在直线首次经过点， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，连接、， ， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， 作于点， 由垂线段最短可得，当点运动到点时，此时的长最短， ∵， ∴的长的最小值为， ∴的长的最小值为． 【点睛】两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；旋转前、后图形的大小、形状没有改变． 8．（2026·河北保定·一模）综合与实践 【情境】我们知道，菱形和矩形是轴对称图形，而且它们至少都有两条对称轴．嘉嘉学习完相关知识后，提出问题：是否存在只有一条对称轴的四边形？ 【操作】如图1，在矩形中，E是的中点，在图中作出只有一条对称轴且对角线互相垂直的四边形（其余三个顶点分别在边上）． 嘉嘉和淇淇有不同的操作方法： 嘉嘉：①如图2，将矩形对折后展开，折痕为； ②在上取任意一点F，将矩形沿过点F的直线折叠，使点B落在上，展开，折痕为； ③连接． 淇淇：①如图3，在边上任取一点G，连接； ②…… 【探究】根据以上描述，解决下列问题： (1)证明：图2中； (2)在图3的基础上，用尺规作图作出四边形；（保留作图痕迹，不写作法） 【拓展】 (3)如图4，在四边形中，，． ①连接，若，，且，求的长； ②若，，M是边上一点，于点N，连接，若平分，，直接写出四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①4；②18 【分析】（1）由题意可知垂直平分，可得，，再根据等边对等角得，，然后求和得出答案； （2）分别以点E，G为圆心，以为半径画弧，两弧交于点M，N,作直线，交于点H，交于点F，则是的垂直平分线，可得直线是四边形的对称轴； （3）①连接，交于点O，作，由线段垂直平分线的性质得，由，根据勾股定理得，再说明∽，可得，然后设，则，，接下来表示出，再根据勾股定理得出，求出解即可得出答案； ②将沿折叠，点F的对应点为Q，由折叠的性质，得，，，再说明四边形是正方形，设，则，，可得，然后由勾股定理得，进而求出，进而求出，，，最后根据得出答案． 【详解】（1）证明：由折叠的性质，得垂直平分， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：作四边形如图． （3）解：①如解图，连接，交于点O，过点H作于点P． ∵，， ∴垂直平分线段， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴由勾股定理得， 由题意可得直线是四边形的一条对称轴， 则． ∵， ∴． ∵， ∴∽， ∴， 即． 设，则，， 则， 在中，， 即， 解得（负值已舍去）， 则； ②四边形的面积为18． 如解图，将沿折叠，点F的对应点为Q， ∵平分， ∴点Q落在线段上， 由折叠的性质，得，，． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是矩形． ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴设，则，， ∴， 在中，由勾股定理，得， 即，解得， ∴，，， ∴ ． 9．（2026·山东德州·一模）在中，，将绕点C旋转得到，点A的对应点D在边上，连接． (1)如图1，求证：； 将下列探究过程补充完整： 解：由旋转的性质可知，，， ， ___， ∴ (2)如图2，当，时，求的长； (3)如图3，过点E作的平行线交的延长线于点F，连接交于K． ①求证：； ②当时，直接写出的值． 【答案】(1)；；利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 (2) (3)①证明见解析；② 【分析】（1）由旋转的性质可得，，旋转角相等即，则，根据两边对应成比例且夹角相等，可证； （2）由推得，在中由勾股定理得，即，结合相似比与勾股定理，即可求解； （3）①由旋转性质得，，结合推得，满足全等条件，可证；②设，则、，由等腰三角形三线合一得，证得，再根据证明，进而即可求解． 【详解】（1）证明：由旋转的性质可知，，，， ， ； （2）解：由（1）可知，， ，， 又， ， ， 在直角中，， ， ， ， ， 在直角中，， ， 解得，； （3）①证明：由旋转的性质可知，，，， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ②解：如图，作，垂足为，延长、交于点，设， ， ， 在直角中，， ， ， ， ， ， ， ， ∴是等腰三角形，且， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题以直角三角形的旋转为核心载体，融合旋转性质、相似与全等三角形判定、勾股定理等知识，通过角度与线段的转化推导结论，体现了转化化归与逻辑推理的核心数学思想． 10．（2026·湖南·一模）如图，为的直径，弦于点（为线段上一点），为上一点（点，均不与端点重合），连接，，射线交于点，与射线交于点，且． (1)求证：． (2)若，，求的值． (3)当点为的中点时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【详解】（1）证明：为的直径，弦于点， 垂直平分， ，，． ， ， ． （2）解：， ．设，则， 在中，， ， 解得，即， ， ． （3）证明：为的直径， ， ， ． ， ， ， ， 又， ． 相似三角形实际应用 考点02 11．（2026·河北保定·一模）如图1，皮影戏利用灯光将皮影投射到幕布上形成影像．如图2，灯光可看作点光源O，皮影经照射在幕布上形成影像．嘉淇测出O到，的距离以及的长度，就能求出的长度，其依据是（    ） A．等腰三角形三线合一 B．相似三角形对应边的比等于相似比 C．全等三角形的对应边相等 D．平行线间的距离处处相等 【答案】B 【分析】根据题意可得，利用相似三角形对应边的比等于相似比即可得出的长度． 【详解】设O到，的距离分别为， 由题意可得，， ∴， ∴依据是相似三角形对应边的比等于相似比． 12．（2026·浙江·一模）如图，点光源O射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知图片长为，若点光源O到胶片的距离长为，点光源O与屏幕的距离的长为，则影像长为（    ） A．36 B．12 C．9 D．6 【答案】C 【分析】证明，推出，构建方程求出即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴． 13．（2026·安徽滁州·一模）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物，这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是____________． 【答案】36 【分析】首先根据题意证明，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度． 【详解】解：由图可知，，且， ∴， ∴， ∵，，， ∴，即， 解得． 14．（2026·河南周口·一模）茗阳阁位于河南省信阳市浉河区茶韵路一号，建成于年月，是信阳新建的城市文化与形象的代表建筑之一，具有浓郁地方古建筑特色的塔式阁楼，被誉为“中原第一大阁楼”．淇淇在物理课上学过《光的反射定律》，她想利用光的反射定律测量茗阳阁的高度．于是把“测量茗阳阁的高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践报告，并形成了如下活动报告． 活动项目 测量茗阳阁的高度 实物图和测量示意图 测量过程 ①在地面上的点处放置了一块平面镜，随后，站在的延长线上点处，此时，从平面镜中刚好看到茗阳阁顶端，测量两点间的距离；②将平面镜从点处沿向后移动到点处，站在点处又恰好看到茗阳阁顶端，测量两点间的距离；③，为眼睛到地面的距离 测量数据 米，米，米，米 备注 点在同一条直线上，图上所有点均在同一平面内，，，，，均与地面垂直 根据活动报告，求茗阳阁的高度． 【答案】米 【分析】设米，得米，由可得米，进而根据求出的值即可求解． 【详解】解：设米， ∵米，点在同一条直线上， ∴米， ∵，， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， ∴米， ∵， ∴， ∴， ∵米， ∴ 解得， ∴米， 答：茗阳阁的高度为米． 15．（2026·江苏无锡·一模）如图，、两地被假山阻隔，为测量、两地的距离，在地面上选一点，连接、，分别在、上取点、，使得，量得的长为 ，则两地的距离为________． 【答案】 【分析】根据已知证明，进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵的长为 ， ∴两地的距离为 16．（2026·安徽合肥·一模）如图,小刚正在使用手电筒进行物理学实验，手电筒位于点G处，手电筒的光从平面镜上的点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，现测得米，米，米，米，已知图中点A，B，C，D在同一水平面上（物理学中入射角等于反射角），，，，则的长为______米． 【答案】5 【分析】设，则，证，根据求出，，再证，根据求解即可解答． 【详解】解：设，则， ∵，， ∴， ∵在点B处反射后为， ∴， ∴， ∴即， 解得，即，则， ∵，，， ∴，， ∴， ∴，即， 解得． 17．（2026·浙江台州·一模）如图是笔直杠杆的示意图．已知，支点离水平地面的高度为．当杠杆的端点落到地面时，端点离地面的高度为，则的长度为_______． 【答案】120 【分析】利用相似三角形的判定和性质计算即可． 【详解】解：如图，作水平地面于点， ， ， ， ， ，，， ， ． 18．（2026·贵州遵义·一模）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，，则建筑物的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明，则利用相似三角形的性质得，然后利用比例性质求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴（米）． 19．（2026·广东珠海·一模）方案设计：某数学活动小组到校外测量一段两岸平行的河流的宽度． (1)如图1，是一种利用初中所学的“锐角三角函数”知识求河流宽度的方案：先在河岸设立E，F两个观测点，然后选定对岸河边的一棵树记为点M，测得，．按照此方案，求出这段河的宽度； (2)请你在图2中设计出另外一种测量这段河流宽度的方案，并写出计算过程． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）过点M作于N，设，然后分别解，再由建立方程求解； （2）连接，延长至点P，连接，测得∠，即测出的长度，则由即可求解． 【详解】（1）解：过点M作于N，设， ∵∠ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 解得 ∴这段河的宽度为； （2）解：如图，连接，延长至点P，连接 测得∠，即测出的长度 ∴， ∴ ∴． 特殊角的三角函数 考点03 20．（2026·河南周口·一模）计算： 【答案】 4 【详解】解：原式． 21．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【分析】此题考查了分式的运算，平方差公式，锐角三角函数等知识，解题关键是准确化简分式及计算的值． 先根据平方差公式，分式的运算化简代数式，再根据特殊角的三角函数计算的值，再代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 22．（2026·江苏宿迁·一模）计算：． 【答案】6 【详解】解： ． 23．（2026·云南昆明·一模）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 24．（2026·山东临沂·一模）解决下列问题： (1)计算：； (2)解分式方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题是实数混合运算题，按照运算顺序，先计算乘方，化简二次根式，代入特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后合并同类项得到结果． （2）本题是解分式方程题，先去分母将分式方程转化为整式方程，求解整式方程后，检验得到原分式方程的解． 【详解】（1）解： （2）解： 方程两边同时乘以，得 展开整理得 解得 检验：当时， ， 因此是原分式方程的解． 25．（2026·湖南·一模）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 26．（2026·广东茂名·一模）计算的结果是_________． 【答案】1 【详解】解：原式． 27．（2026·海南省直辖县级单位·一模）计算 (1) (2) 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）分别计算每一项∶ 算术平方根、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂． 再合并即可得到最终结果． （2）本题考查整式的化简运算． 先根据单项式乘多项式、多项式乘多项式法则展开原式， 再合并同类项即可得到结果． 【详解】（1）解 ： （2）解： 28．（2026·广东江门·一模）计算：________． 【答案】 2 【详解】解：原式 ． 29．（2026·河南南阳·一模）如图，在矩形中，对角线，相交于点，点在线段上，连接，．若点和点关于直线对称，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】易证为等边三角形，据此求解即可． 【详解】解：∵点B和点O关于直线对称， ∴， 在矩形中，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 在中，， ∴， 故选：D． 30．（2026·江苏泰州·一模）按要求完成下列计算： (1)计算： ； (2)解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用零指数幂、负整数指数幂、二次根式的性质及特殊角的三角函数值先化简，再进行加减运算即可； （）根据解分式方程的步骤解答即可求解； 本题考查了实数的混合运算，解分式方程，正确计算是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：方程两边乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 31．（2026·江苏盐城·一模）计算：． 【答案】 【详解】解：， ， ， ． 32．（2026·云南·一模）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 33．（2026·湖南株洲·一模）计算：． 【答案】 【详解】解： 三角函数综合 考点04 34．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，已知正方形中，，点E是上一点，，点F为的中点，连接并延长交于点M，连接，点H是上一点，交于点G，连接，连接．则下列说法： ； ；四边形的面积为18；若点P在的平分线上，点Q在上，的最小值为．其中正确结论的序号是______． 【答案】①②③④ 【分析】过作交于点，作的中点，根据平行以及余角可知，构造线段和差关系可知，根据正切值可求角度；根据正切值可知，证明是等边三角形，即可根据同位角相等证明平行；过作，根据四边形等于即可求解；过点作关于的角平分线的对称点，当,,三点共线，且取得最小值． 【详解】解：过作交于点，作的中点， ∴, ∵点F为的中点， ∴ ∴, ∴, ∵， ∴， ∴， ∴, ∴， 设, ∴, ∴， 解得：， ∴, ∴, , ∴, ∴, ∴, 故正确； ∵, ∴，, ∴ ∵， ∴是平行四边形， ∴ ∴， ∴, ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴, ∴， ∴， 故正确； ∵，， ∴， 过作， ， ∵，， ∴， ∴, ∴， ∴, ∴, ∴四边形的面积为：， ∴故正确； 过点作关于的角平分线的对称点， ， 当,,三点共线，且， ∴， ∴， ∴, 的最小值为， ∴故正确． 35．（2026·天津河北·一模）如图，在中，，点P从点A出发以3个单位长度每秒的速度沿的路径移动，点Q从点A出发以1个单位长度每秒的速度由点A向点B移动．点P到达C点或点Q到达B点时，点P，Q均停止移动．若，，连接，，．有下列结论：①点P可以到达C点；②的面积可以为；③至少有两个时刻，的面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】先计算到达C点的时间为：（秒），可以判断①；设运动时间为x秒，根据题意，得，，则，当时，；当时，，过点C作交的延长线于点E，作交的延长线于点F，当点P在上运动时，过点P作于点G，利用分类思想，解方程求解即可． 【详解】解：， ， 故点P运动的路程为， 点P从点A出发以3个单位长度每秒的速度沿的路径移动， 故到达C点的时间为：（秒）， 点Q运动的路程为， 点Q从点A出发以1个单位长度每秒的速度由点A向点B移动， 故到达B点的时间为：（秒）， 根据点P到达C点或点Q到达B点时，点P，Q均停止移动的要求， 得到P先到达，然后Q停止运动， 故①正确； 设运动时间为x秒，根据题意，得，，则， 当时，；当时，， 过点C作交的延长线于点E，作交的延长线于点F， ， ， ，， ，， 的面积可以为， ， 解得， ， 根据点P到达C点或点Q到达B点时，点P，Q均停止移动的要求，此时点Q早已停止运动， 故不可能， 故②错误； 当点P在上运动时，过点P作于点G， 则， ， 的面积为， ， 整理，得， ， 故， 故，舍去； ，符合题意， 此时； 当点P在上运动时， ， 的面积为， ， 整理，得， 解得， 满足的条件， 此时； 故至少有两个时刻，的面积为． 故③正确． 36．（2026·四川绵阳·一模）如图所示，在中，，，点E是边上不与端点重合的一个动点，作交于点D，将沿折叠，点B的对应点为F，当为等腰三角形时，则的长为______． 【答案】或 【分析】当时，过点Ｆ作于点Ｍ，设，则，得到；设，则，则，求解即可． 【详解】解：，， ， 沿折叠，点B的对应点为F， ，， 为等腰三角形， 当时， ， ， 过点Ｆ作于点Ｍ， ， ， ， ， 设，则， 则， 根据题意，得， ， 解得； 当时， ， ， ， ， 设，则， 则， ， 解得； 37．（2026·安徽蚌埠·一模）如图，在和中，，，点E在线段上，点A在线段上，且．连接． （1）若，则的大小为________；（用含的代数式表示） （2）当时，连接交于点P，则的长为________． 【答案】 / 【分析】（1）由得，证，得，结合等腰的，进而即可求解； （2）由推得，求得、，故；由证，可得，进而即可求解． 【详解】解：如图（1）， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∵， ， 由题意得，是等腰三角形， ∴， ； （2）如图（2），设，交于点G， ∵， ，即， ∴， 又由（1）知， ， ∴， ∴． ∴， 又∵， ∴． 设，则． 由（1）得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题以双直角三角形为载体，综合运用全等、相似三角形的判定与性质，结合三角函数推导角度与线段长度，体现了转化化归与数形结合的核心数学思想． 38．（2026·上海长宁·一模）在中，，的对边分别是，那么下列等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查锐角三角函数，根据直角三角形中三角函数的定义，逐一验证每个等式是否正确即可． 【详解】解：在中，，的对边分别是，如图， ∴， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵ ∴，故选项B错误，符合题意； ∵， ∴，故选项C正确，不符合题意； ∵， ∴，故选项D正确，不符合题意； 故选：B． 39．（2026·内蒙古包头·一模）如图，是的切线，为切点，以为顶点作，交于点，交于点，连接，交于点． (1)与有什么数量关系，请说明理由； (2)若的半径为，，，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）连接，由得到，根据切线的性质得到，即可求解； （2）由题意可推出，，，得到，根据勾股定理求出，证明得到，设，则，根据勾股定理列方程求出，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，连接， ， ， 是的切线，为切点， ，即， ； （2）解： ，， ，，即， ， ， ，，， ， ， ， ， 设，则， 由勾股定理得，即， 解得， ． 40．（2026·山东聊城·一模）在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 已知矩形纸片中，，三位同学进行如下操作： (1)小红的折纸如图1，将纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕的一端点在边上，折痕的另一端点在边上，此时，则________； (2)小亮在小红的基础上又做了一次折叠，如图2，将纸片的另一端折叠，使得顶点落在上的点处，折痕的另一端落在边上，若，求的长； (3)大刚的折纸如图3，分别将和沿，翻折，点，的对应点分别为点，，且，，三点共线，平分，求的度数及的长． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）由折叠可得，，推出，得到，最后根据折叠的性质和四边形的内角和即可求解； （2）根据三角函数求出，得到，根据折叠可得，由三角函数求出，即可求解； （3）延长，交于点，根据平分和折叠的性质可求出的度数，推出和均为等腰直角三角形，得到，，，即可求解． 【详解】（1）解： ，， ， 由折叠可得，，， ， ， ， ； （2），， ， 又， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，， ； （3）如图，延长，交于点， 平分， ， 由折叠的性质可知，，，． ， ， ， ， 和均为等腰直角三角形， ，，， 即， ． 解直角三角形的应用 考点05 41．（2026·江苏南京·一模）如图，在高为的某建筑物前方的平地上竖立着一根旗杆，和的延长线交于点，此时测得仰角，，求旗杆的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】 【分析】解可得，设，分别解和，得，，再根据列方程解答即可求解． 【详解】解：在中，∵，， ∴， 设， 在中，∵，， ∴， 在中，∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 答：旗杆的高度为． 42．（2026·河南周口·一模）某数学兴趣小组开展测量校园内旗杆高度的活动，方案如下： ·工具：测角仪、皮尺 ·步骤：①在旗杆底部B的水平地面上取一点C，测得； ②在C的上方D处测得旗杆顶端A的仰角为； ③已知测角仪的高度．（参考数据： ，，） (1)求旗杆的高度． (2)若要使测量结果更准确，你认为可以采取哪些改进措施？（写出一条即可） 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查仰角问题及解直角三角形： （1）过D作 ，根据正切公式结合仰角直接求解即可得到答案； （2）根据减小误差的常见方法直接出方案即可得到答案； 【详解】（1）解：过D作 ， ∵在D处测得旗杆顶端A的仰角为 ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：； （2）解：由题意可得，误差主要来源于角度测量和长度测量， ∴要使测量结果更准确要多次测量取平均值． 43．（2026·安徽合肥·一模）无人机从点的正上方点，沿正东方向以的速度飞行到达点，测得的俯角为，然后以同样的速度沿正东方向又飞行到达点，测得点的俯角为． (1)求无人机的高度（结果保留根号）； (2)求的长度（结果精确到）．（参考数据：，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的长，再解直角三角形求出的长即可； （2）求出的长，进而求出的长；过点作于点，则四边形为矩形，可得，，解直角三角形求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得， 在中，，， ∴， 答：无人机的高度为； （2）解：根据题意得：， ∴， 如图，过点作于点，则四边形为矩形， ，， 在中，，， ， ． 答：的长度约为． 44．（2026·陕西咸阳·一模）香积寺塔是陕西省风景名胜区的主要景点之一，在历史上曾有“古塔穿云”、“塔影团圆”等雅称．安安利用周末完成了对香积寺塔高度的测量．如图，安安在地面上的点C处测得香积寺塔顶端A的仰角的度数为；随后，安安从点C处沿方向移动18米到达点D处（即米），在点D处测得香积寺塔顶端A的仰角的度数为．已知，点B、C、D在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请你帮助安安求出香积寺塔的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】米 【分析】先理解题意，在中，把数值代入整理得，同理得，然后，最后计算，即可作答． 【详解】解：依题意，得米，，， ∵， ∴在中， 则； ∴在中， 则， ∴， ∴， ∴， 即， ∴米． ∴香积寺塔的高度（米）． 45．（2026·河北保定·一模）如图，嘉淇参加了某旅行社活动，从集结地A处出发，景点B在A的正东方向，景点C在集结地A的北偏东方向，在景点B的北偏西方向，集结地A与景点C之间的距离为40千米，则集结地A与景点B之间的距离为（    ） A．千米 B．千米 C．30千米 D．千米 【答案】D 【分析】过点C作于点H，先解求出，再解即可． 【详解】解：如图，过点C作于点H，则． 在中，，千米， ∴千米，千米． 在中，， ∴千米， ∴千米． 46．（2026·重庆沙坪坝·一模）科技赋能环保，智慧守护自然，嘉陵江重庆段的某一水域采用智能船进行水质监测．如图，，，，在同一平面内，，是智能船的水质监测基站．位于的正东方向，位于的正北方向20米处，位于的北偏东方向20米处，且位于的北偏西方向上．（参考数据：，） (1)求，之间的距离；（结果保留小数点后一位） (2)甲，乙两船同时分别从，出发沿，方向进行水质监测，甲，乙两船的速度之比是．当两船相距20米时，甲船检测到疑似被污染的水样，准备立即返回基站，求此时甲船距离基站有多远？（结果保留小数点后一位） 【答案】(1)34.6米 (2)11.5米 【分析】（1）过点作交的延长线于点，在中，分别求出米，米．可得米，在中，由勾股定理可得米； （2）如图，甲、乙两船分别在，处时，连接，当时，过点作于点．根据米可得，得出可判断是等边三角形，得到米；设，则，，，在中求出，．得出．在中根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作交的延长线于点， 则， 在中，，米， （米），（米）， 米， （米）， 在中，（米）， 答：之间的距离约为34.6米． （2）解：如图，甲、乙两船分别在，处时，连接，当时，过点作于点． ， ， ， ． ， 又， ∴， 是等边三角形， 米， 设，则，，， 在中，，， ． 在中，， ． 解这个方程，得， （不合题意，舍去）． 答：此时甲船距离基站约为11.5米． 47．（2026·天津红桥·一模）在综合与实践活动中，要用测角仪测量公园里一个池塘两端的距离（如图）．某学习小组设计了一个方案：在池塘的一端A处测得B处在A处的北偏西方向，再沿正西方向前行220m到达C处，测得B处在C处的北偏东方向．根据该学习小组测得的数据，计算池塘两端的距离（结果保留整数）．参考数据：，，，． 【答案】 【分析】作辅助线构造直角三角形，过点B作于点H，由题意可推出，，在中，可利用正切函数表示出的长度；在中，可利用正弦函数表示出的长度．因为，所以可列出关系式，求解得到的值．在中，可利用正弦函数求出的长度． 【详解】解：如图，过B作，垂足为H． 根据题意，，，， 在中，， ， 在中，，， ， ， ， ， ． 答：池塘两端的距离约为． 48．（2026·重庆·一模）为加大科技进校园的力度，某市举办了机器狗越障大赛．如图，每个得分点，，，，都在同一平面内，点位于点的南偏东方向及点的正西方向上，点位于点的东北方向米及点正东方向100米处，点位于点的北偏西方向及点的东北方向上．（参考数据：，，） (1)求点到点的距离（结果保留小数点后一位）； (2)小中与小华是这次比赛的队友，小中的机器狗“梦想”从点出发，沿路线到达补给点．同时，小华的机器狗“成真”从点出发，沿路线到达点为“梦想”补给．机器狗“梦想”到达点的同时，机器狗“成真”也到达点，这时机器狗“成真”出现小故障，小华立即开启修复模式，此模式下，机器狗“成真”的速度只有机器狗“梦想”速度的一半．当机器狗“梦想”位于机器狗“成真”的北偏西方向时，机器狗“成真”恢复正常．求此时机器狗“成真”与点的距离（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）过作于，过作于，在，中，分别求得，进而根据，即可求解； （2）设机器狗“梦想”的位置为，机器狗“成真”的位置为时满足题意，连接，过作于点，于点，设，，在中，根据得出在，在，中，分别表示出，进而求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：如答图： 过作于，过作于， ， 由、都是东西方向，即，则， 四边形是矩形，即，， 由题意，得，， 在中，，， ，， 在中，，， ． ， ， （米）， 答：点到点的距离为米． （2）设机器狗“梦想”的位置为，机器狗“成真”的位置为时满足题意，连接，过作于点，于点， ， 由题可得，．故 设． 在中，，， ， 在中，，， ， ， ， ，即， ，， 设，由修复模式下机器狗“成真”的速度只有机器狗“梦想”速度的一半可得， 由题意可知，， ，， 在中，，得， 在中，，得， ， 解得，（米）， 答：此时机器狗“成真”与点的距离约为米． 49．（2026·江苏泰州·一模）某河堤横断面如图所示，堤高，迎水坡的坡比是，则的长为________m． 【答案】 【分析】先根据坡度的概念求出，再根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：∵迎水坡的坡比是，， ∴， 由勾股定理得． 50．（2026·广东广州·一模）某学校计划修建地下车库，一数学兴趣小组根据《车库建筑设计规范》与所学知识，为学校地下车库设计并绘制了入库坡道示意图（如图），相关信息如下： （i）直线主坡道的水平距离为，坡度为0.12； （ii）左、右两段缓坡道为，，水平距离均为； （iii）和车库地面均与水平方向平行． 已知坡度，试根据上述信息解决以下问题： (1)求主坡道的铅直高度； (2)根据《车库建筑设计规范》：缓坡道坡度为主坡道坡度的，坡道的最小净高不低于．（坡道的净高为车库上方横梁到坡道的垂直距离） ①求车库高度； ②若，判断该坡道的最小净高是否符合设计规范，并说明理由． 参考数据：当时，，． 【答案】(1) (2)①；②该坡道的最小净高符合设计规范，理由见解析 【分析】（1）根据坡度定义求解即可； （2）①根据坡度定义和坡度间的关系求解即可； ②如图，过E作于P，交于M，过M作于S，根据锐角三角函数，结合已知数据求解即可． 【详解】（1）解：∵直线主坡道的水平距离为，坡度为， ∴在中，， ∴， 答：主坡道的铅直高度为； （2）解：①∵缓坡道的坡度为主坡道的坡度的， ∴在中，， 解得， 在中， 解得：， ， 答：车库高度为； ②该坡道的最小净高符合设计规范．理由如下： 如图，过E作于P，交于M，过M作于S， 则，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∵， ∴该坡道的最小净高符合设计规范． 51．（2026·湖北襄阳·一模）暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底处出发，先步行到达处，再从处坐缆车到达山顶处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度在同一平面内．（参考数据：） (1)求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； (2)求缆车的行驶路线的长（结果取整数）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，根据正弦的定义求出； （2）过点作，根据矩形的性质求出，求出，再根据正弦的定义求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作 ， 在中，，， 则． 答：小明一家步行上升的垂直高度约为． （2）解：如图，过点作， 根据题意，可知四边形为矩形， ， ， ， 在中，， 则． 答：缆车的行驶路线的长约为． 52．（2026·广东茂名·一模）【阅读材料】 素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3、图4是它在不同情况下的侧面示意图，，为墙壁上的固定点，摇臂绕点旋转的过程中长度保持不变，遮阳棚可自由伸缩，棚面始终保持平整，且米． 素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角的正切值． 时刻/时 12 13 14 15 角的正切值 5 2.5 1.25 【问题解决】 (1)当时． ①如图2，这天15时太阳光线刚好照射到墙角处，求此时刻角的正切值． ②如图3，这天13时在点位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离． (2)如图4，旋转摇臂，使得点与墙壁的距离为1.2米，为使绿萝在这天12时-14时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离应该小于多少米？ 【答案】(1)①1；②0.9米 (2)绿萝摆放位置与墙壁的最远距离应该小于0.72米 【分析】（1）①过点作于点，四边形是正方形，由此利用锐角三角函数即可求解；②过点作于点，在中解直角三角形即可； （2）过点作于点，过点作于点，则四边形为矩形，得出，由表中数据得，14时点最靠近墙角，通过解直角三角形即可得解． 【详解】（1）解：①如图，过点作于点， 由题意，得， 四边形是矩形. 又， 四边形是正方形， ， ， ②如图，过点作于点， ，. 在中，， 即，解得， ； （2）解：如图，过点作于点，过点作于点， 则， ， ， 由表格可知，在12时-14时， 夹角的正切值逐渐减小，即逐渐减小， 14时点最靠近墙角， 在中，， ，解得， ， 则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离应该小于0.72米． 53．（2026·河南南阳·一模）鄂城寺塔位于南阳市卧龙区石桥镇，始建于隋代，通高23米，是全国重点文物保护单位．这座千年古塔的雄伟身姿，是古人智慧和技艺的见证．某数学小组在综合实践活动中，分两组分别测量鄂城寺塔的高度，形成如下实践报告表： 测量过程平面图 第一组 第二组 于于，点，，，在同一条直线上． ①标杆； ②标杆底部到鄂城寺塔底部的距离； ③从点看点的仰角为． ①标杆； ②标杆的影长； ③鄂城寺塔的影长． （参考数据：） (1)选择其中一组数据计算鄂城寺塔的高度； (2)规定测量计算得到的结果误差不超过可评为优秀实践小组，请说明两个实践小组是否都能评为优秀． 【答案】(1)鄂城寺塔的高度约米 (2)见解析 【分析】（1）选第一组的方法：作，垂足为，解，即可求解．第二组的方法：根据同一时刻，物高与影长对应成比例，得出，代入数据，即可求解； （2）根据两个实践小组的结果是否超过误差进行判断，即可求解． 【详解】（1）解：选第一组的方法：作，垂足为， ， 四边形是矩形， ，， 在中， ， ． （米） 答：鄂城寺塔的高度约米．； 第二组的方法：同一时刻，物高与影长对应成比例， ，即 ， 解得（米）． （2）解：， 根据规定测量计算得到的结果误差不超过可评为优秀实践小组 两个实践小组都能评为优秀． 54．（2026·贵州遵义·一模）如图1所示，某种型号的机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一腿直立于地面，小腿部分刚好与地面平行，上身垂直于大腿，即于点，，于点是机器人小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．（这里的小腿都包括脚面部分，上身包括头部部分）已知，参考数据：，． (1)求的度数： (2)点距离地面的高度．（结果精确到） 【答案】(1) (2)点距离地面的高度为． 【分析】（1）过点作，由平行线的性质可得，，，即可得解； （2）过点作于点，延长交于点，先得出，证明四边形是矩形，则，，再利用角的正弦值，求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作于点，延长交于点， 由（1）可知，， ， ， ， ，，， 四边形是矩形， ，， ， 在中，， ， , 答：点距离地面的高度为． 55．（2026·海南海口·一模）阅读甲乙小组的实践报告，解决问题． 实践报告 实践课题 如图，测量湖边观测点与湖心岛上鸟类栖息点之间的距离 实践工具 皮尺、测角仪等测量工具 活动方案 甲组： 如图，选择合适的点D、E、，使得A、D、E在同一条直线上，且，当、D、P在同一条直线上时，只需测量即可． 乙组： 如图，根据湖边地形状况，在岸边选取合适的点B．测量A，B两点间的距离以及和，测量三次取平均值，得到数据：米，． 问题解决： (1)甲组的方案用到了_________知识．（在横线上填写正确答案选项） A．解直角三角形   B．三角形全等 (2)乙组的方案中： ①___________°； ②结合乙组测量数据，计算之间的距离，（参考数据：，） 【答案】(1)B (2)①；②90米 【分析】（1）证明，利用全等三角形的对应边相等求解即可； （2）①利用三角形的内角和定理求得； ②过点A作于点C，利用三角函数解决问题． 【详解】（1）解：甲组的方案： 理由：在和中， ， ， 只需测量的长即可得到湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点之间的距离， 甲组的方案用到了三角形全等的知识； （2）①∵，， ∴； ②过点A作于点C， 在中，米， ∴米， 在中，米， 故之间的距离是90米． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $