专题 11.4 二次根式全章复习讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2025-2026学年苏科版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 11.4 二次根式全章复习讲义（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】二次根式 1 【题型 1】二次根式的意义 2 【知识点二】最简二次根式 2 【题型 2】最简二次根式的识别 2 【知识点三】化二次根式为最简二次根的方法和步骤 2 【题型 3】化二次根式为最简二次根式（几何应用） 3 【知识点四】二次根式的运算 3 【题型 4】二次根式的乘除运算 4 【题型 5】二次根式的加减运算 4 【题型 6】二次根式的加减乘除混合运算 5 【题型 7】二次根式的化简求值 5 【题型 8】二次根式的规律探究 6 【题型 9】二次根式的应用 7 【题型 10】二次根式与几何综合 8 二.同步检测 10 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分) 10 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 12 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】二次根式 式子叫做二次根式，二次根式须满足：含有二次根号“”；被开方数必须是非负数. 【题型 1】二次根式的意义 【例题1】（25-26八年级下·山东聊城·月考）已知，求的值． 【变式1】（2026·江苏泰州·一模）下列各数中，可使式子有意义的的取值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（25-26八年级下·全国·单元测试）当______时，式子有最大值，且最大值为_________． 【变式3】（25-26八年级下·全国·单元复习）已知实数满足，求的值． 【知识点二】最简二次根式 若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式. 【题型 2】最简二次根式的识别 【例题2】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知二次根式是最简二次根式． 可取的最小正整数是________． 可取的最小整数是__________． 【例题1】（25-26八年级下·山东菏泽·期中）下列根式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2026八年级下·全国·专题练习）如果两个最简二次根式与的被开方数相同，那么_____________． 【变式3】（24-25八年级下·江西赣州·期中）若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值． 【知识点三】化二次根式为最简二次根的方法和步骤 （1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简. （2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来. 【题型 3】化二次根式为最简二次根式（几何应用） 【例题3】（25-26八年级下·新疆喀什·月考）正方形的边长为a，它的面积与一个长为96，宽为12的长方形的面积相等，求a的值． 【例题1】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）在中，，，，则的长为（    ） A． B． C．5 D．20 【变式2】（25-26八年级下·广东汕头·月考）有两棵树，一棵高7米，另一棵高1米，两树相距6米，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞___________米． 【变式3】（24-25八年级下·北京·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1． （1）则_____，_____，_____； （2）求证：． 【知识点四】二次根式的运算 1. 二次根式的性质: （1）; （2）; （3）; （4）. 2. 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式. 【题型 4】二次根式的乘除运算 【例题4】（25-26七年级下·上海·期中）化简： 【例题1】（24-25八年级下·四川成都·期末）下列各式正确的是 （    ） A． ×＝9 B．（4）2＝8 C．÷ D．＝7－4 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）若，则化简________． 【变式3】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【题型 5】二次根式的加减运算 【例题5】（24-25八年级下·浙江湖州·期中）计算 （1） （2） 【例题1】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·福建泉州·开学考试）计算：____________． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）． 【题型 6】二次根式的加减乘除混合运算 【例题6】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【例题1】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A．12 B． C． D．6 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：_______________． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1） （2） 【题型 7】二次根式的化简求值 【例题7】（25-26八年级下·福建厦门·期中）先化简，再求值：，其中． 【例题1】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）已知，则代数式的值为（   ） A．14 B．30 C．35 D．48 【变式2】（25-26八年级下·贵州黔东南·月考）若，，则代数式的值等于____． 【变式3】（25-26八年级下·浙江金华·月考）小芳在解决问题：已知，求的值．她是这样分析与解的： ，， ，，， ． 请你根据小芳的分析过程，解决如下问题： （1）计算：． （2）若． ①求的值； ②求的值． 【题型 8】二次根式的规律探究 【例题8】（24-25八年级下·四川自贡·期中）探索下列等式规律，并解决下列问题： 【规律发现】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 【规律探索】 （1）第5个等式：_______； （2）如果n为正整数，用含n的式子表示上述第n个等式为_______； 【规律应用】 （3）计算： 【例题1】（24-25七年级下·内蒙古兴安·期中）如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 第一行                       1   第二行                   2     第三行               3       第四行          4         …… 根据数阵规律，第八行倒数第四个数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·山东东营·期中）观察下列各式： ； ； ； ； ……． 你能发现什么规律？请用含有自然数的式子将你发现的规律表示出来_____． 【变式3】（24-25八年级下·广东东莞·期中）观察下列一组等式，然后解答后面的问题： （1）观察以上规律，请写出第5个等式：_______________； （2）观察以上规律，请写出第n个等式：________________（n为正整数）； （3）利用上面的规律，计算； （4）请利用上面的规律，比较与的大小． 【题型 9】二次根式的应用 【例题9】（25-26八年级上·山西吕梁·月考）某居民小区有一块长方形空地，空地的长为，宽为，现要在空地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），花坛的长为，宽为． （1）求空地的周长． （2）除修建花坛的地方，其余地方全修建成通道，通道要铺设造价为50元的地砖，要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 【例题1】（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积公式，称为海伦—秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为．在中，，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为（   ） A． B． C．28 D．32 【变式2】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，有一块长方形花园，园丁采用如图的方式在花园里划出两块面积分别为和的正方形花圃，则原长方形花园的面积为________． 【变式3】（25-26八年级下·安徽淮南·月考）在长方形广场的中间修建两块形状大小相同的长方形绿地，每块长方形绿地的长为，宽为，已知，． （1）求长方形广场的周长； （2）除去修建绿地的地方，其他地方需要铺满造价为元的地砖，则购买地砖需要花费多少元？ 【题型 10】二次根式与几何综合 【例题10】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题：    ； ； ； （1）推算出________________；________________． （2）用含（是正整数）的等式表达上述变化的规律，即________________； （3）求出的值． 【例题1】（2026·河南南阳·一模）如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·河北唐山·一模）如图，在中，，，．在上分别截取，，使，分别以E，F为圆心，大于一半的长为半径画弧，两弧相交于点D，作射线交于点M，点N是边上一点，则的长可能是________（写出满足条件的一个整数值）． 【变式3】（25-26八年级下·陕西西安·月考）如图，直线与直线相交于点，交轴于点，交轴负半轴于点，且． （1）求直线的解析式； （2）将线段绕点顺时针方向旋转交轴于点，求点的坐标， 二.同步检测 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分) 1．（25-26八年级下·湖南湘西·期中）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 2．（25-26八年级下·新疆阿克苏·期中）下列各式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·山东泰安·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·广东汕头·月考）已知，，则的值（   ） A．4 B．8 C．6 D． 6．（2022九年级·重庆北碚·专题练习）已知： ，比较m、 n 的大小（    ） A． B． C． D．无法确定 7．（25-26九年级上·广西梧州·期末）如图，某数学兴趣小组计划在鱼塘边的木杆点测量鱼塘另一边木杆点的长度，点为存放鱼饵的小屋，现测得，则可求出两点间的距离是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·全国·周测）小康和小英玩摸卡片游戏．如图，有三张完全相同的卡片A，B，C，卡片正面分别写有一个算式．现将背面朝上打乱，小康随机抽取两张．若小康抽取的两张卡片中算式的结果都是无理数，则它们的和为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 9．（25-26八年级下·安徽·期中）已知n为整数，且满足，则n的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 10．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，平行四边形的周长为12，对角线，相交于点O，点E在上，．，，则长度为（    ）    A． B． C．2 D．3 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·新疆哈密·期中）________． 12．（25-26九年级下·河北保定·开学考试）若，则“”是______． 13．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）比较大小：______（填，或）． 14．（25-26八年级下·浙江杭州·月考）已知，，则的值为______． 15．（24-25八年级下·全国·课后作业）化简的结果为__________． 16．（25-26八年级下·全国·课后作业）若长方形的长为宽为则它的周长为________，面积为______． 17．（25-26八年级下·全国·课后作业）若一个直角三角形的两条直角边的长分别为和，则这个直角三角形的面积是_____． 18．（2025·山东潍坊·中考真题）从、，中任意选择两个数，分别填在算式里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是______．（只需写出一种结果） 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）计算： （1）； （2）． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知：，，求：的值． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级下·福建莆田·期中）已知有实数p，q，m，n，其中（m，n为非负整数）． （1）若，求证： ； （2）若，求证：一定是奇数． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：，其中S表示三角形的面积，，，分别表示三边之长，表示周长之半，即．我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦秦九韶公式”．请你利用公式解答问题． （1）在中，已知，，，求的边上的高； （2）一块四边形的草地如图所示，现测得米，米，米，米，，求该草地的面积． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·湖南长沙·期中）我们知道可以写成的形式，所以我们把叫做完全平方式．类似地，我们作出如下定义：对于正整数，因为，所以我们把叫做“完全平方根式”． （1）下列各式中是“完全平方根式”的有_____； ①②③ （2）利用“完全平方根式”化简：； （3）已知（，且为正整数），是“完全平方根式”，当的值最小时：①求出这个最小值；②若（为正整数），是整数，且，求的值． 24．（本小题满分12分）（24-25九年级上·辽宁盘锦·月考）【操作发现】 （1）如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上． ①请按要求画图：将绕点按顺时针方向旋转，点的对应点为，点的对应点为； ②连接，此时______°； 【问题解决】 在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题： （2）如图2，在等边中，点在内部，且，，，求的长． 经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找、、三边之间的数量关系．…请参考他们的想法，完成该问题的解答过程； 【学以致用】 （3）如图3，在等腰直角中，，为内一点，且，，，求； 【思维拓展】 （4）如图4，若点是正方形外一点，，，，求的度数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 11.4 二次根式全章复习讲义（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】二次根式 1 【题型 1】二次根式的意义 2 【知识点二】最简二次根式 3 【题型 2】最简二次根式的识别 3 【知识点三】化二次根式为最简二次根的方法和步骤 5 【题型 3】化二次根式为最简二次根式（几何应用） 5 【知识点四】二次根式的运算 7 【题型 4】二次根式的乘除运算 7 【题型 5】二次根式的加减运算 9 【题型 6】二次根式的加减乘除混合运算 11 【题型 7】二次根式的化简求值 12 【题型 8】二次根式的规律探究 15 【题型 9】二次根式的应用 19 【题型 10】二次根式与几何综合 22 二.同步检测 28 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分) 29 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 34 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 37 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】二次根式 式子叫做二次根式，二次根式须满足：含有二次根号“”；被开方数必须是非负数. 【题型 1】二次根式的意义 【例题1】（25-26八年级下·山东聊城·月考）已知，求的值． 【答案】/ 【分析】根据二次根式有意义的条件得出，，再代入计算即可得到结果． 解：根据题意得，， 解得：， ， ∴． 【变式1】（2026·江苏泰州·一模）下列各数中，可使式子有意义的的取值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】二次根式的被开方数须为非负数，分式的分母不能为0，据此列出不等式确定x的范围，再结合选项判断即可． 解：∵ 式子有意义 ∴ 需同时满足二次根式和分式有意义的条件． 即 解得 且 ． 结合选项可知，只有符合条件． 【变式2】（25-26八年级下·全国·单元测试）当______时，式子有最大值，且最大值为_________． 【答案】 2025 2026 【分析】根据二次根式有意义的条件进行求解． 解：由得，． 有最大值， 最小为0， 即， 故最大值为． 【变式3】（25-26八年级下·全国·单元复习）已知实数满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件得到，即，化简，整理后求解即可． 解：由题意，得， 解得， ∴， 可化为， 整理得， ， 解得． 【知识点二】最简二次根式 若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式. 【题型 2】最简二次根式的识别 【例题2】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知二次根式是最简二次根式． 可取的最小正整数是________． 可取的最小整数是__________． 【答案】 2 【分析】（1）要找可取的最小正整数，需满足两个条件：一是被开方数，二是不含能开得尽方的因数。我们从最小的正整数开始代入验证； （2）要找可取的最小整数，只需保证被开方数 且不含能开得尽方的因数，我们从满足不等式的整数开始依次验证． 解：①正整数依次为 当时，，不是最简二次根式； 当时，，不含能开得尽方的因数，此时，是最简二次根式． ∴可取的最小正整数是． ②先解不等式，得 整数依次为 当时，，不是最简二次根式； 当时，，不含能开得尽方的因数，此时，是最简二次根式． ∴可取的最小整数是． 故答案为：． 【点拨】本题考查了最简二次根式的定义，解题关键是牢记最简二次根式的两个条件：被开方数非负，且不含能开得尽方的因数． 【例题1】（25-26八年级下·山东菏泽·期中）下列根式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】最简二次根式需满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，对各选项逐一判断即可. 解：对于选项A，，被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式； 对于选项B，，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 对于选项C，的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因式，是最简二次根式； 对于选项D，，被开方数含分母，不是最简二次根式. 【变式2】（2026八年级下·全国·专题练习）如果两个最简二次根式与的被开方数相同，那么_____________． 【答案】1 【分析】本题考查了最简二次根式的概念，根据最简二次根式的被开方数相同列方程是解题的关键． 解：由题意得， 解得， 故答案为：1． 【变式3】（24-25八年级下·江西赣州·期中）若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值． 【答案】 【分析】根据最简二次根式的定义列出a，b的方程求出，再代入计算求值 解：∵ 与是被开方数相同的最简二次根式 解得： ∴符合题意 【点拨】本题考查了最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开的尽的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．本题求出a，b后还需检验，因为被开方数必须为非负数． 【知识点三】化二次根式为最简二次根的方法和步骤 （1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简. （2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来. 【题型 3】化二次根式为最简二次根式（几何应用） 【例题3】（25-26八年级下·新疆喀什·月考）正方形的边长为a，它的面积与一个长为96，宽为12的长方形的面积相等，求a的值． 【答案】 【分析】根据面积相等，求算术平方根求解即可． 解：根据题意，得， 解得，（舍去）． 【例题1】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）在中，，，，则的长为（    ） A． B． C．5 D．20 【答案】A 【分析】先判断为等腰直角三角形，得到与相等，再利用勾股定理计算斜边的长即可． 解：∵ 在中，，， ， ， ， ． 【变式2】（25-26八年级下·广东汕头·月考）有两棵树，一棵高7米，另一棵高1米，两树相距6米，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞___________米． 【答案】 【分析】设大树高为，小树高为，过C点作于点E，连接，可证明，，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 解：如图，设大树高为，小树高为，过C点作于点E，连接， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， 同理， ∴ 在中，由勾股定理得： ， ∴小鸟至少飞行． 【变式3】（24-25八年级下·北京·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1． （1）则_____，_____，_____； （2）求证：． 【答案】（1）；；；（2）见分析 解：（1）解：依题意，，， （2）解：∵ ∴， ∴是直角三角形，． 【知识点四】二次根式的运算 1. 二次根式的性质: （1）; （2）; （3）; （4）. 2. 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式. 【题型 4】二次根式的乘除运算 【例题4】（25-26七年级下·上海·期中）化简： 【答案】 解： ∵， ∴原式 【例题1】（24-25八年级下·四川成都·期末）下列各式正确的是 （    ） A． ×＝9 B．（4）2＝8 C．÷ D．＝7－4 【答案】D 【分析】根据二次根式的运算法则分别对各项进行计算然后判断即可． 解：A．×＝3，故该选项错误； B．（4）2＝32，故该选项错误； C．÷＝=3，故该选项错误； D．∵4＝，7＝， <，即4<7， ∴＝7－4， 故选：D 【点拨】本题考查了二次根式的运算和求算术平方根，熟悉相关性质是解题的关键 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）若，则化简________． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数、二次根式的运算和二次根式的性质，熟练掌握二次根式的乘除法和是解题的关键． 解：， ， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式根据二次根式的除法法则进行计算即可； （2）原式根据二次根式乘除法法则进行计算即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【题型 5】二次根式的加减运算 【例题5】（24-25八年级下·浙江湖州·期中）计算 （1） （2） 【答案】（1）6；（2） 解：（1）解：； （2）解： ． 【例题1】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的乘除、加减运算法则，逐一计算判断即可． 解：选项A：，计算正确； 选项B：与不是同类二次根式，无法合并，故，计算错误； 选项C：，故计算错误； 选项D：，故计算错误． 【变式2】（24-25九年级上·福建泉州·开学考试）计算：____________． 【答案】 【分析】直接利用零指数幂的性质以及二次根式的性质和绝对值的性质分别化简得出答案． 此题主要考查了零指数幂的性质以及二次根式的性质和绝对值的性质，正确化简各数是解题关键． 解： ， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 解：（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 【题型 6】二次根式的加减乘除混合运算 【例题6】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 解：（1）解：原式； （2）解：原式 ． 【例题1】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A．12 B． C． D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 利用二次根式的化简方法，及二次根式的乘法法则，加减运算法则进行求解即可． 解：∵ , , , , ∴ 括号内为 , ∴ 原式  . 故选：A． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：_______________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算与完全平方公式的应用，解题关键是先正确展开完全平方公式，再化简二次根式的乘法，最后合并同类二次根式与常数项． 先利用完全平方公式进行计算，再计算二次根式的乘法，最后合并同类项即可． 解：原式 ． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型 7】二次根式的化简求值 【例题7】（25-26八年级下·福建厦门·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后代入数值进行计算即可． 解： ， 把代入得：原式． 【例题1】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）已知，则代数式的值为（   ） A．14 B．30 C．35 D．48 【答案】B 【分析】因为已知，所以先对其进行变形，求出的值，同时推导的整式关系式，用于降次．如果得到的整式关系式，那么利用该关系式对进行降次化简，最后将降次后的结果与的计算结果合并，代入求值． 解：已知 ， 移项，得 ， 两边平方，得， 展开得， ∴ ， ∴， ∴ ． 对 分母有理化， ∴ ∴ 原式． 【变式2】（25-26八年级下·贵州黔东南·月考）若，，则代数式的值等于____． 【答案】 【分析】根据多项式乘多项式法则将所求代数式展开，再整体代值计算即可． 解：∵，， ∴ ， 即代数式的值等于． 【变式3】（25-26八年级下·浙江金华·月考）小芳在解决问题：已知，求的值．她是这样分析与解的： ，， ，，， ． 请你根据小芳的分析过程，解决如下问题： （1）计算：． （2）若． ①求的值； ②求的值． 【答案】（1）；（2）①; ② 【分析】（1）结合题意进行分母有理化即可得解； （2）分母有理化后推得， ①将原式化为后代入求解即可； ②将原式化为，代入推得原式后，再代入即可得解． 解：（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ，， ， ①； ②， ， ， ， ， ． 【题型 8】二次根式的规律探究 【例题8】（24-25八年级下·四川自贡·期中）探索下列等式规律，并解决下列问题： 【规律发现】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 【规律探索】 （1）第5个等式：_______； （2）如果n为正整数，用含n的式子表示上述第n个等式为_______； 【规律应用】 （3）计算： 【答案】（1）；（2）；（3）44 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据所给的式子的形式进行求解即可； （2）分析所给的式子的形式即可得出规律； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 解：（1）由题意可得：第5个等式： （2）由（1）归纳可得：； （3） ． 【例题1】（24-25七年级下·内蒙古兴安·期中）如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 第一行                       1   第二行                   2     第三行               3       第四行          4         …… 根据数阵规律，第八行倒数第四个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察数阵规律，每行被开方数为连续自然数，第n行最后一个数的被开方数为，第八行最后一个数为，倒数第四个数即第13个数，对应被开方数为，解答即可． 本题考查了规律问题，正确发现被开方数的规律是解题的关键． 解：1. 确定每行最后一个数的规律： 第1行：； 第2行：； 第3行：； 第8行：； 2. 计算第八行的被开方数范围： 第八行最后一个数为，共有16个数（每行有个数），被开方数从上一行最后一个数+1开始，即57到72． 3. 定位倒数第四个数： 倒数第一个数为第16个（），倒数第四个数为第13个．被开方数为，故该数为． 因此，第八行倒数第四个数为， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·山东东营·期中）观察下列各式： ； ； ； ； ……． 你能发现什么规律？请用含有自然数的式子将你发现的规律表示出来_____． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简．根据各式计算得到结果，得出规律写出即可． 解：， ， ， ， …… 以此类推，， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·广东东莞·期中）观察下列一组等式，然后解答后面的问题： （1）观察以上规律，请写出第5个等式：_______________； （2）观察以上规律，请写出第n个等式：________________（n为正整数）； （3）利用上面的规律，计算； （4）请利用上面的规律，比较与的大小． 【答案】（1）；（2）（3）；（4） 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键． （1）模仿题干，补充第5个等式，即可作答． （2）根据规律，即可写出第个等式； （3）根据规律将各项分母有理化即可求解； （4）先求倒数，再分母有理化，在比较大小即可求解． 解：（1）解：依题意，观察以上规律，第5个等式：， 故答案为：． （2）解：依题意，观察以上规律第1个等式到第5个等式， 则第n个等式：， 故答案为：． （3）解：依题意，， ， ， …… 以此类推得， ； （4）解：与（3）同理得，， ， ， ． 【题型 9】二次根式的应用 【例题9】（25-26八年级上·山西吕梁·月考）某居民小区有一块长方形空地，空地的长为，宽为，现要在空地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），花坛的长为，宽为． （1）求空地的周长． （2）除修建花坛的地方，其余地方全修建成通道，通道要铺设造价为50元的地砖，要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由长方形的周长等于相邻两边和的2倍，再计算二次根式的加法，后计算乘法即可； （2）先求解通道的面积，再乘以单价即可得到答案． 解：（1） ， 答：长方形的周长是； （2） ， ， 答：购买地砖需要花费元． 【例题1】（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积公式，称为海伦—秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为．在中，，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为（   ） A． B． C．28 D．32 【答案】A 【分析】 先根据三边长求出的值，再代入海伦—秦九韶公式计算三角形面积即可. 解：∵，，， ∴， ∴的面积 【变式2】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，有一块长方形花园，园丁采用如图的方式在花园里划出两块面积分别为和的正方形花圃，则原长方形花园的面积为________． 【答案】/平方米 【分析】根据正方形的面积公式分别求出两个正方形的边长，结合图形确定原长方形的长和宽，最后利用长方形的面积公式计算即可． 解：由题意可知，两个花圃均为正方形， 大正方形花圃的面积为， 大正方形的边长为， 小正方形花圃的面积为， 小正方形的边长为， 由图可知，原长方形花园的宽等于大正方形的边长，长等于大正方形的边长与小正方形的边长之和， 原长方形花园的长为，宽为， 原长方形花园的面积为． 【变式3】（25-26八年级下·安徽淮南·月考）在长方形广场的中间修建两块形状大小相同的长方形绿地，每块长方形绿地的长为，宽为，已知，． （1）求长方形广场的周长； （2）除去修建绿地的地方，其他地方需要铺满造价为元的地砖，则购买地砖需要花费多少元？ 【答案】（1）长方形广场的周长为；（2）购买地砖需要花费元 【分析】（1）根据长方形周长公式求出广场周长； （2）用广场面积减去绿地面积得到铺地砖区域的面积，然后乘以地砖单价算出总花费． 解：（1）解：根据题意，得． 故长方形广场的周长为． （2）解：根据题意，铺地砖区域的面积为， 故购买地砖的花费为（元）． 【题型 10】二次根式与几何综合 【例题10】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题：    ； ； ； （1）推算出________________；________________． （2）用含（是正整数）的等式表达上述变化的规律，即________________； （3）求出的值． 【答案】（1）；；（2）；（3） 【分析】（）根据已知等式找出规律即可求解； （）根据已知等式找出规律即可求解； （）利用（）的规律代入计算即可求解； 本题考查了二次根式的应用，勾股定理的应用，由已知等式找到变化规律是解题的关键． 解：（1）解：∵， ， ， ， ， ∴， ∴； ∵， ， ， ∴， ∴； 故答案为：；； （2）解：由（）可得，， 故答案为：； （3）解： ． 【例题1】（2026·河南南阳·一模）如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正方形边长为，由折叠得，推出，进而得．证等腰，得，在中，由内角和算出，等角对等边得．用对角线长度求：由正方形对角线，得，计算比值并有理化得最终结果． 解：设正方形边长为， ∴，对角线，，． 由折叠性质：， ∴，， ∴ 在中，，， ∴ ∴， ∴ 在中： ，， ∴ ∴， ∴ ∵，且， ∴ ∴． 【变式2】（2026·河北唐山·一模）如图，在中，，，．在上分别截取，，使，分别以E，F为圆心，大于一半的长为半径画弧，两弧相交于点D，作射线交于点M，点N是边上一点，则的长可能是________（写出满足条件的一个整数值）． 【答案】3或4或5或6（选择其中一个即可） 【分析】过点M作于H．根据角平分线性质得出，根据勾股定理求出，证明，得出，设，则，得出，求出x的值，再由勾股定理及图形确定，，得出，即可求解． 解：如图，过点M作于H． 由作图可知，平分， ∵，， ∴， ∵，，． ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得， 即， ∴，， ∵，即， ∴， ∴当的长为整数值时可以是3或4或5或6． 【变式3】（25-26八年级下·陕西西安·月考）如图，直线与直线相交于点，交轴于点，交轴负半轴于点，且． （1）求直线的解析式； （2）将线段绕点顺时针方向旋转交轴于点，求点的坐标， 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先求出直线的解析式，再求出点B的坐标，得到，进而求出，即，再利用待定系数法求解即可； （2）设线段绕点顺时针方向旋转得到线段，过点作轴的垂线，垂足为，过点作直线的垂线，垂足为，设直线与轴交点为，求出，易证是等腰直角三角形，求出，证明，得到，证明是等腰直角三角形，利用勾股定理求出，，进而求出，即可得到，利用待定系数法求出直线的解析式，即可求解． 解：（1）解：∵直线与直线相交于点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 将代入，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：设线段绕点顺时针方向旋转得到线段，过点作轴的垂线，垂足为，过点作直线的垂线，垂足为，设直线与轴交点为， 由（1）知直线的解析式为， 令，解得， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由旋转的性质得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 令， 解得， ∴． 二.同步检测 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分) 1．（25-26八年级下·湖南湘西·期中）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件，二次根式被开方数需非负，分式分母不能为，据此列不等式求解即可. 解：∵式子在实数范围内有意义 ∴需同时满足二次根式和分式的有意义条件，可得 ， 解不等式，得. 解不等式，得. ∴的取值范围是且． 2．（25-26八年级下·新疆阿克苏·期中）下列各式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】最简二次根式需满足两个条件：1.被开方数不含分母；2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断选项即可． 解：最简二次根式的判定条件为：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式.对选项逐一判断： ∵ 选项A中，==，被开方数含能开得尽方的因式，∴A不是最简二次根式； ∵ 选项B中，==，被开方数含能开得尽方的因数，∴B不是最简二次根式； ∵ 选项C中，=，分母中含根号，∴C不是最简二次根式； ∵ 选项D中，的被开方数101是质数，不含分母，也不含能开得尽方的因数，∴D是最简二次根式． 3．（25-26八年级下·山东泰安·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次根式乘除法法则，分别计算各选项即可判断． 解：A．，故该选项计算错误，不符合题意， B．，故该选项计算正确，符合题意， C．，故该选项计算错误，不符合题意， D．，故该选项计算错误，不符合题意 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 解：原式 ． 5．（25-26八年级下·广东汕头·月考）已知，，则的值（   ） A．4 B．8 C．6 D． 【答案】B 【分析】根据已知条件求出，再利用完全平方公式对所求代数式因式分解，代入的值计算即可． 解：∵，， ∴， ∴． 6．（2022九年级·重庆北碚·专题练习）已知： ，比较m、 n 的大小（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】利用作差法比较大小即可. 解：， ∵， ∴， ∴. 7．（25-26九年级上·广西梧州·期末）如图，某数学兴趣小组计划在鱼塘边的木杆点测量鱼塘另一边木杆点的长度，点为存放鱼饵的小屋，现测得，则可求出两点间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形． 连接，过点作于点，得到是含的直角三角形，为等腰直角三角形，再由的直角三角形性质以及勾股定理求解即可． 解：连接，过点作于点 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：B． 8．（25-26八年级上·全国·周测）小康和小英玩摸卡片游戏．如图，有三张完全相同的卡片A，B，C，卡片正面分别写有一个算式．现将背面朝上打乱，小康随机抽取两张．若小康抽取的两张卡片中算式的结果都是无理数，则它们的和为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了无理数以及二次根式的混合运算，先分别计算卡片A，B，C上的算式，再根据无理数的定义判断其中的两个无理数，再根据二次根式的性质以及运算法则计算即可． 解：， ， ， 卡片A，C上的数是无理数，卡片B上的数是有理数， ． 故选：A． 9．（25-26八年级下·安徽·期中）已知n为整数，且满足，则n的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】先化简原式的二次根式，再估算无理数的取值范围，即可得到满足条件的最大整数n． 解：， ∵ ，，且 ∴ ， ∵ ，且n为整数， ∴ n的最大值为6． 10．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，平行四边形的周长为12，对角线，相交于点O，点E在上，．，，则长度为（    ）    A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据且可得为等腰直角三角形，求出，求出；设，利用含角的直角三角形性质及等腰直角三角形性质表示出，结合周长列方程求解即可． 解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， ∵ ∴，且， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ； ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ， ∴， ∵平行四边形的周长为， ∴，即， ∴， 解得， ∴． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·新疆哈密·期中）________． 【答案】/ 【分析】先根据二次根式的性质将原式化为绝对值形式，再判断的符号，根据绝对值的性质化简即可． 解： 根据绝对值的性质，负数的绝对值等于它的相反数，可得． 12．（25-26九年级下·河北保定·开学考试）若，则“”是______． 【答案】2 【分析】利用二次根式的乘法法则推导出，进而可求解． 解：∵，， ∴，则． 13．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）比较大小：______（填，或）． 【答案】 【分析】通过作差法，将两个数通分后比较分子的大小，从而判断两个数的大小关系． 解： ，， ， ， ， ， ． 14．（25-26八年级下·浙江杭州·月考）已知，，则的值为______． 【答案】3 解：根据题意，， ∴，整理得，， ∴，化简得， ∴． 15．（24-25八年级下·全国·课后作业）化简的结果为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除，熟练掌握二次根式的乘除法的法则，二次根式的性质，是解题的关键． 将除法转化为乘法，利用二次根式的乘法法则和性质简化即可． 解：原式 ． 故答案为 16．（25-26八年级下·全国·课后作业）若长方形的长为宽为则它的周长为________，面积为______． 【答案】 解：长方形周长公式为 （长+宽） ，面积公式为 长×宽． ， ， 计算周长：． 计算面积：． 17．（25-26八年级下·全国·课后作业）若一个直角三角形的两条直角边的长分别为和，则这个直角三角形的面积是_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的应用，解答本题的关键是掌握二次根式的乘法法则．根据三角形的面积公式列式计算即可． 解：直角三角形的面积公式为，其中和为两条直角边的长， 已知，， 则， 化简， 所以， 故答案为：． 18．（2025·山东潍坊·中考真题）从、，中任意选择两个数，分别填在算式里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是______．（只需写出一种结果） 【答案】（或或，写出一种结果即可） 【分析】先利用完全平方公式计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法即可得． 解：①选择和， 则 ． ②选择和， 则 ． ③选择和， 则 ． 故答案为：（或或，写出一种结果即可）． 【点拨】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）5 【分析】（1）根据二次根式加减运算法则进行计算即可． （2）根据二次根式混合运算法则进行计算即可． 解：（1）解：原式； （2）解：原式． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知：，，求：的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的变形求值，先分母有理化得到，，再求出，，再根据进行求解即可． 解：∵，， ∴，， ∴，， ∴ ． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级下·福建莆田·期中）已知有实数p，q，m，n，其中（m，n为非负整数）． （1）若，求证： ； （2）若，求证：一定是奇数． 【答案】（1）详见分析；（2）详见分析 【分析】（1）先推导出，得到 ，即可解答； （2）先推导出 ，再将代入，得到，根据m为非负整数，得到一定是奇数，即q一定是奇数，即可解答． 解：（1）证明：， 移项可得． ∴ ， ， ， ∵m，n为非负整数， ∴ ， 则 ，即 （2）证明：∵， ∴ ， 将代入，得 ， ∵m为非负整数， ∴，， ∴， ∵m为非负整数， ∴一定是偶数，偶数加1一定是奇数， ∴一定是奇数，即q一定是奇数． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：，其中S表示三角形的面积，，，分别表示三边之长，表示周长之半，即．我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦秦九韶公式”．请你利用公式解答问题． （1）在中，已知，，，求的边上的高； （2）一块四边形的草地如图所示，现测得米，米，米，米，，求该草地的面积． 【答案】（1）；（2）该草地的面积为平方米 【分析】（1）根据公式求得，然后将、、和的值代入公式求出面积，再根据三角形面积公式，且已知的长和三角形的面积，代入即可求解； （2）连接，在中用勾股定理得，再由勾股定理逆定理判定为直角三角形，分别算出两三角形面积，相加得四边形面积． 解：（1）解：由题意得，， ∴， ∴边上的高； （2）解：如图，连接， ∵米，米，， ∴ （平方米）， ∴ （米）， ∵米，米，米， ∴ ， ∴是直角三角形， ∴， ∴ （平方米）， ∴（平方米）． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·湖南长沙·期中）我们知道可以写成的形式，所以我们把叫做完全平方式．类似地，我们作出如下定义：对于正整数，因为，所以我们把叫做“完全平方根式”． （1）下列各式中是“完全平方根式”的有_____； ①②③ （2）利用“完全平方根式”化简：； （3）已知（，且为正整数），是“完全平方根式”，当的值最小时：①求出这个最小值；②若（为正整数），是整数，且，求的值． 【答案】（1）①③；（2）；（3）①；②或 【分析】（1）根据新定义进行判断即可； （2）根据新定义结合二次根式的性质进行化简即可； （3）①根据新定义推出，进而推出或或，进而得到当的值最小时，有最小值，即可得出结果；②将转化为，根据是整数，得到，得到，再进行求解即可． 解：（1）解：； ； ； 故满足要求的是①③； （2）解：原式 ； （3）解：① 是“完全平方根式”， ， 又，且为正整数 或或， 当的值最小时，有最小值， ， ， ②， 为正整数，是整数， ，即， ， ， ， ， 当时，，原式； 当时，，原式． 24．（本小题满分12分）（24-25九年级上·辽宁盘锦·月考）【操作发现】 （1）如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上． ①请按要求画图：将绕点按顺时针方向旋转，点的对应点为，点的对应点为； ②连接，此时______°； 【问题解决】 在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题： （2）如图2，在等边中，点在内部，且，，，求的长． 经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找、、三边之间的数量关系．…请参考他们的想法，完成该问题的解答过程； 【学以致用】 （3）如图3，在等腰直角中，，为内一点，且，，，求； 【思维拓展】 （4）如图4，若点是正方形外一点，，，，求的度数． 【答案】（1）①见分析；②；（2）5；见分析；（3）3；（4）． 【分析】（1）①根据题意在网格上作出图形即可，②由①可知是等腰直角三角形，则可以求出； （2）将绕点按逆时针方向旋转，可得是等边三角形，再用勾股定理求得； （3）将绕点顺时针旋转得到，连接可得是等腰直角三角形，再用勾股定理求得； （4）将绕点逆时针旋转，得到，连接，得到是等腰直角三角形，继而用勾股定理及其逆定理求解即可． 解：（1）①如图所示，即为所求； ②，， ； （2）如图， ∵将绕点按逆时针方向旋转，得到， ∴， ，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． （3）∵是等腰直角三角形， ∴，， 将绕点顺时针旋转得到，连接，如图： 则，，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ， ∴， ∴． （4）将绕点逆时针旋转，得到，连接， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 又∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 【点拨】本题考查了图形的旋转的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理及其逆定理，二次根式的乘法运算，本题难度较大，正确的添加常用辅助线是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $