专题 7.1 认识概率（全章知识梳理 + 题型精析 +模拟真题）- 2025-2026学年苏科版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 7.1 认识概率（全章知识梳理+题型精析+模拟真题） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】随机事件 1 ★【题型 1】随机事件的分类 1 【知识点二】概率 4 ★【题型 2】判断随机事件的概率大小 4 【知识点三】频率与概率 6 ★【题型 3】求某事件的频率 7 ★【题型 4】由频数估计概率 8 ★【题型 5】频数与概率综合应用 10 二.综合题型精析 13 ★★【题型 6】频数、概率与数据分析能力 13 ★★【题型 7】频数、概率与数据统计图 16 三.中考模拟真题 20 （一）选择题（6题） 20 （二）填空题（6题） 23 （三）解答题（4题） 25 一.知识梳理与基础题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题。 【知识点一】随机事件 在一定条件下，有些事件我们事先能确定它一定不会发生，这样的事件是不可能事件. 在一定条件下，有些事件我们事先能确定它一定会发生，这样的事件是必然事件. ★【题型 1】随机事件的分类 【例题1】（24-25七年级下·全国·课后作业）给出下列事件： ①某餐厅供应盒饭，共准备2荤2素4种不同的品种，一顾客任选1种菜肴，且选中素菜； ②一百件产品全部为正品，今从中选出一件次品； ③在1，2，3，4，5路车停靠的站牌处，张老师等候到6路车； ④甲、乙、丙、丁四人排成一排照相，甲、乙正好相邻； ⑤空旷的平地上，抛出的篮球会下落． 请将事件的序号填写在横线上： 必然事件有 ，不可能事件有 ，随机事件有 ． 【答案】 ⑤； ②③； ①④； 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，掌握这三种事件的定义是解题的关键． 解题思路是先明确必然事件、不可能事件、随机事件的定义，再逐一分析每个事件的类型． 【详解】解：事件①：顾客从2荤2素中任选1种菜肴，选中素菜可能发生也可能不发生，是随机事件； 事件②：全部正品中不可能选出次品，是不可能事件； 事件③：站牌处只有1-5路车，无6路车，不可能等到6路车，是不可能事件； 事件④：四人排列中甲、乙相邻可能发生也可能不发生，是随机事件； 事件⑤：篮球受重力作用一定下落，是必然事件． 故答案为：⑤，②③，①④． 【变式1】（25-26七年级上·湖北武汉·月考）下列事件是确定性事件的是（   ） A．打开电视机，正在播电视剧 B．小明坚持体育锻炼，今后会成为奥运冠军 C．太阳从西边升起 D．13个同学中，恰有2人出生的月份相同 【答案】C 【分析】本题考查了事件的分类．确定性事件指一定发生或一定不发生的事件，即概率为1或0的事件．选项C为不可能事件，是确定性事件；其他选项均为不确定事件． 【详解】解：∵太阳总是从东边升起， ∴太阳从西边升起是不可能事件，即确定性事件． 对于A：打开电视机可能播电视剧，也可能播其他节目，是不确定事件． 对于B：小明坚持体育锻炼不一定成为奥运冠军，是不确定事件． 对于D：13个同学出生月份有12种可能，根据鸽巢原理，至少两人同月，但“恰有2人”不一定成立（如可能有多人同月），是不确定事件． 故选：C． 【变式2】（24-25九年级下·全国·随堂练习）请你根据下列要求，分别设计一个摸球游戏： (1)任意摸出1个球是黄球是不可能事件． (2)任意摸出2个球，1个是黄球，1个是白球是必然事件． (3)任意摸出3个球，2个是黄球，1个是白球是随机事件． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；必然事件：必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件；不可能事件：有的事件在每次试验中都不会发生，掌握其定义是解题的关键． （1）根据不可能事件的含义设计游戏即可； （2）根据必然事件的含义设计游戏即可； （3）根据随机事件的含义设计游戏即可； 【详解】（1）解：在一个不透明的口袋中装有4个白球和2个黑球，每个球除颜色外其他全部相同，从中任意摸出1个球是黄球是不可能事件．（答案不唯一） （2）解：在一个不透明的口袋中装有1个黄球和1个白球，每个球除颜色外其他全部相同，任意摸出2个球，1个是黄球，1个是白球是必然事件． （3）解：在一个不透明的口袋中装有4个黄球和2个白球，任意摸出3个球，2个是黄球，1个是白球是随机事件．（答案不唯一） 【变式3】（24-25八年级下·全国·单元测试）下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？ （1）测得某天的最高气温为； （2）在100件某种产品中有2件次品，从中任取1件恰好是次品； （3）如果m、n是实数，那么； （4）经过某一装有交通信号灯的路口，遇到红灯． 【答案】（3）是必然事件，（1）是不可能事件；（2）（4）是随机事件． 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可． 【详解】解：（1）测得某天的最高气温为100℃，是不可能事件； （2）在100件某种产品中有2件次品，从中任取1件恰好是次品，是随机事件； （3）如果m、n是实数，那么，是必然事件； （4）经过某一装有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件． 所以（3）是必然事件，（1）是不可能事件；（2）（4）是随机事件． 【知识点二】概率 一般地，随机事件发生的可能性有大有小，我们把用于度量一个随机事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件发生的概率。如果用字母A示一个事件，那么P(A)表示事件A发生的概率。 通常规定，必然事件A发生的概率是1，记作P(A)=1；不可能事件A发生的概率是0，记作P(A)=0；随机事件A发生的概率P(A)是0和1之间的数。 ★【题型 2】判断随机事件的概率大小 【例题2】（2025九年级上·全国·专题练习）将一枚图钉抛起，落地后会出现“钉尖朝上”和“钉帽朝上”两种情况．有人认为这两种情况是等可能的，因此“钉尖朝上”的概率是．请判断该观点是否正确，并说明理由． 【答案】不正确，理由见解析 【分析】本题主要考查概率的意义，判断实验所得结果是不是等可能的，熟练掌握以上知识点是做题的关键．根据概率的意义及判断“钉尖朝上”和“钉帽朝上”所得结果不是等可能的进行解答即可． 【详解】解：该观点不正确，理由如下： 因为图钉的构造不是对称的，其重心偏向一侧，所以落地时“钉尖朝上”和“钉帽朝上”两种结果发生的可能性不相等，因此“钉尖朝上”的概率不是，故该观点不正确． 【变式1】（25-26九年级上·山西朔州·月考）如图，小悦已经有两根木棍，长度分别为和，从右侧的三个抽屉中随机选取一个，则从抽屉中选取的木棍与小悦手中的木棍能够组成三角形的可能性 不能组成三角形的可能性．（填“大于”“等于”或“小于”） 【答案】小于 【分析】本题主要考查三角形三边数量关系，事件的可能性大小，掌握事件可能性的计算是关键． 根据题意得到第三边的取值方法，结合题意得到能组成三角形的有1种，不能组成三角形的有2种，由此即可求解． 【详解】解：设三角形第三边长为， ∵，即， ∵从抽屉中选取的木棍有3种结果，其中能组成三角形的有1种，即， ∴不能组成三角形的有2种， ∴组成三角形的可能性小于不能组成三角形的可能性， 故答案为：小于． 【变式2】（25-26九年级上·江苏南京·期末）某路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯、绿灯、黄灯．小明爸爸随机地由南往北开车到达该路口，下面说法正确的是（   ） A．小明爸爸遇到红灯是必然事件 B．小明爸爸遇到黄灯是不可能事件 C．小明爸爸遇到黄灯的概率最小 D．小明爸爸遇到红灯的概率大于他遇到绿灯的概率 【答案】C 【分析】本题考查了随机事件和概率公式，分别根据随机事件的定义和概率公式逐一判断即可．正确运用概率公式计算是解题的关键． 【详解】解：A、小明爸爸遇到红灯是随机事件，故不符合题意； B、小明爸爸遇到黄灯是随机事件，故不符合题意； C、小明爸爸遇到黄灯的概率最小，故符合题意； D、小明爸爸遇到红灯的概率小于他遇到绿灯的概率，故不符合题意； 故选：C． 【变式3】（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）有一个转盘（如图所示），被分成6个相等的扇形，颜色分为红、绿、黄三种，指针的位置固定．转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动）．下列事件：①指针指向红色；②指针指向绿色；③指针指向黄色；④指针不指向黄色；⑤指针不指向绿色． 思考各事件的可能性大小，然后回答下列问题：    (1)可能性最大和最小的事件分别是哪个？（用序号表示） (2)将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列． 【答案】(1)⑤；② (2) 【分析】（1）分别求出各个事件的概率，即可比较出对应事件可能性大小关系； （2）根据所求的概率，即可得出答案． 【详解】（1）∵共3红2黄1绿相等的六部分， ∴①指针指向红色的概率为； ②指针指向绿色的概率为； ③指针指向黄色的概率为； ④指针不指向黄色的概率为， ⑤指针不指向绿色的概率为， ∴可能性最大的是⑤，可能性最小的事件是②； （2）解：由（1）得：． 【点睛】本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比． 【知识点三】频率与概率 在大量重复试验中，一个随机事件发生的频率在某一个常数附近摆动，并趋于稳定，我们把这种现象称为频率的稳定性，并且用这个频率的稳定值作为该随机事件的概率。 概率是对随机事件发生可能性大小的一种度量.在多次重复试验中,随机事件发生的频率具有稳定性，实际生活中，能够进行大量重复试验的随机事件，可以通过频率估计概率。 ★【题型 3】求某事件的频率 【例题3】（23-24七年级下·广东湛江·期末）已知数据：，，，，，其中无理数出现的频率是 ． 【答案】0.4 【分析】此题考查了频率的求法以及无理数的定义，正确把握无理数的定义是解题关键．直接利用无理数的定义结合频率的求法得出答案． 【详解】解：∵数据：，，，，，其中无理数有：，π， ∴无理数出现的频率是：． 故答案为0.4． 【变式1】（24-25八年级下·江苏苏州·期末）“深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求频率，用字母e的个数除以字母的总个数即可得到答案． 【详解】解：“深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是， 故答案为：． 【变式2】（23-24九年级上·全国·课后作业）林业局将一批树苗移栽到林区，已知这批树苗的成活率接近0.95，已知移栽的树苗为2000棵，那么移栽后未成活的树苗约有（　　） A．75棵 B．100棵 C．150棵 D．1900棵 【答案】B 【分析】本题主要考查频率的应用，根据成活率求出未成活率，再乘以2000即可得出结果． 【详解】解：（棵）， 故选：B 【变式3】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）为推动农业现代化进程，某农科所在相同条件下开展农作物种子发芽率的试验，试验数据如表： 种子颗数 100 400 600 700 900 1000 发芽种子颗数 94 378 571 664 951 发芽种子频率 (1)填空：上表中的值为___________，的值为___________； (2)估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率．（精确到） 【答案】(1)，855 (2)估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率为 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，求频率，概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率． （1）用发芽种子颗数种子总数求出a的值，用总种子数发芽种子频率求出b的值即可； （2）随着种子数增多，发芽种子频率稳定在左右，得出这种农作物种子在此条件下发芽的概率即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：∵观察表格，发现大量重复试验发芽的种子频率逐渐稳定在左右， ∴估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率约为． ★【题型 4】由频数估计概率 【例题4】（25-26九年级上·陕西渭南·月考）工厂新进一台机床，机床经过调试后，操作人员将做出的200个零件混匀在一起进行试验；随机抽取1个零件检测后放回，多次重复这个试验．通过大量试验后发现，抽到合格零件的频率为，估计这批零件中不合格零件的数量． 【答案】估计这批零件中不合格零件的数量为10个 【分析】本题考查了用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中事件发生的频率可以估计概率．根据频率估计出概率，先求出合格的零件数量，再求得不合格零件的数量． 【详解】解：合格零件的数量为（个）， 不合格零件的数量为（个）， 答：估计这批零件中不合格零件的数量为10个． 【变式1】（25-26九年级上·云南昆明·期末）在一个不透明的袋子中，装有60个小球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不见球的情况下，随机多次摸球试验后，摸到白球的频率稳定在．则可估计袋子中白球的个数是（    ） A．18 B．24 C．28 D．36 【答案】B 【分析】本题考查用频率估计概率的知识点，关键是理解频率稳定时，频率近似等于概率，利用概率公式计算白球数量． 根据题意，摸到白球的频率稳定在，可估计摸到白球的概率约为，再用总球数乘以概率即可估计白球个数． 【详解】解：∵随机多次摸球后，摸到白球的频率稳定在， ∴可估计摸到白球的概率约为， ∵袋子中共有60个小球， ∴估计袋子中白球的个数为． 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·山东淄博·期末）新生婴儿性别比是每名女婴对应的男婴数．通过抽样调查得知，我国年出生的婴儿性别比约为．某婴儿于年出生，估计他（她）为男性的概率 ． 【答案】 【分析】本题考查用频率估算概率，掌握好频率与概率的关系是关键． 根据性别比定义，男婴数与女婴数之比为， 求出男婴的频率．当试验次数足够大时，频率会趋近于概率，据此得出答案． 【详解】解：由题意可知，男婴数与女婴数之比为， ∴男婴的频率为， ∵当试验次数足够大时，频率会趋近于概率， ∴他（她）为男性的概率为． 故答案为：． 【变式3】（2025九年级·全国·专题练习）某市林业局积极响应“绿水青山就是金山银山”的号召，特地考察一种花卉移植的成活率，对本市这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如下图所示的统计图．请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： (1)估计这种花卉成活概率为______（结果精确到）． (2)该林业局已经移植这种花卉200000棵，估计这批花卉成活的棵数． 【答案】(1)(2)估计这批花卉成活的棵数为 【分析】（1）根据统计图可得频率，根据频率与概率的关系可得概率； （2）用乘成活概率即可． 【详解】（1）解：由图可知，这种花卉成活率稳定在附近，估计成活概率为． 故答案为：． （2）解：（棵） 答：估计这批花卉成活棵． 【点睛】本题考查了用频率估计概率，已知概率求数量，理解概率的意义是解题关键． ★【题型 5】频数与概率综合应用 【例题3】某商场有一个可以自由转动的转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”的次数m 68 111 136 345 546 701 落在“铅笔”的频率 (1)计算并完成表格（结果保留小数点后两位）； (2)转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是多少（结果保留小数点后一位）？ 【答案】(1)0.68、0.74、0.68 、0.69、0.68、0.70 (2) 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，数值越来越精确． （1）根据频率的算法，频率＝频数÷总数，可得各个频率； （2）根据频率的定义，可得当n很大时，频率将会接近其概率． 【详解】（1）解： 转动转盘的次数 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”的次数 68 111 136 345 546 701 落在“铅笔”的频率 0.68 0.74 0.68 0.69 0.68 0.70 （2）由表格可知：获得铅笔的概率约是； 故转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是． 【变式1】（25-26九年级上·广东广州·期末）小明与同学做“抛掷图钉试验”，获得数据如下： 抛掷次数n 100 300 500 700 800 900 1000 钉尖着地的频数m 36 111 190 266 312 351 390 钉尖着地的频率 0.36 0.37 0.38 0.38 0.39 0.39 0.39 根据以上数据，当抛掷图钉1500次时，估计“钉尖着地”的次数为（   ） A．540 B．555 C．570 D．585 【答案】D 【分析】本题考查了用频率估计概率；大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：观察表格发现：随着试验次数的增多，钉尖着地的频率逐渐稳定到附近， ∴估计“钉尖着地”的概率为， ∴抛掷1500次时，估计次数为． 故选：D． 【变式2】（23-24九年级上·山西吕梁·期末）爱好收藏的张同学将收集到的500张关于山西十大景点的卡片（它们分别是五台山、平遥古城、云冈石窟、晋祠、洪洞大槐树、壶口瀑布、雁门关、悬空寺、绵山、皇城相府）放到一个不透明的盒子里反复抽取多次（抽取后放回并摇匀），发现抽到“云冈石窟”卡片的频率稳定在左右，则估计收集到的“云冈石窟”卡片张数是 ． 【答案】75 【分析】本题主要考查了用频率估计概率、概率的应用等知识点，根据频率稳定在左右估计概率为是解题的关键． 先抽到“云冈石窟”卡片的为，再用500乘以概率即可解答． 【详解】解：∵发现抽到“云冈石窟”卡片的频率稳定在0.15左右， ∴抽到“云冈石窟”卡片的概率为， ∴估计收集到的“云冈石窟”卡片张数是 故答案为：75． 【变式3】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）无锡阳山水蜜桃以果肉细腻、汁多味甜闻名全国，是江苏省地理标志产品．每年盛夏，阳山水蜜桃进入成熟季，果农们会严格检测品质以确保消费者能品尝到最佳风味．某基地对不同批次的水蜜桃进行坏果率抽检，得到如下数据： 检测批次的总果数 1000 2000 3000 4000 5000 6000 坏果数 59 124 240 305 354 坏果频率 根据表格回答下列问题： (1)表中的___________，___________； (2)任取一个水蜜桃，估计它是坏果的概率为___________（精确到）； (3)若基地需要为即将到来的水果节确保9400颗完好水蜜桃用于销售，那么至少需要准备多少颗水蜜桃进行分拣？ 【答案】(1)183，； (2) (3)10000颗 【分析】本题考查频率估计概率及概率的实际应用，解题关键是利用频率稳定值估计概率，再通过概率建立方程解决实际问题． （1）根据“坏果频率”的关系，结合表格中对应数据列等式，分别求出（利用3000批次的频率算坏果数）和（用5000批次坏果数与总果数算频率 ）． （3）观察多组检测数据的坏果频率，发现其随总果数增加逐渐稳定在，以此估计任取一个水蜜桃是坏果的概率 ． （3）先确定完好水蜜桃的概率（坏果概率），设准备水蜜桃总数为，依据“完好水蜜桃数总数完好概率”且要满足至少9400颗完好，列不等式求解的最小值 ． 【详解】（1）解：根据题意得； 解得： ． 故答案为：183，； （2）观察坏果频率，随着检测批次总果数增加，坏果频率逐渐稳定在左右， 所以估计任取一个水蜜桃是坏果的概率为 ． 故答案为：； （3）解：设至少需要准备颗水蜜桃，完好水蜜桃的概率为，要确保9400颗完好水蜜桃， ， 解得， ∴至少需要准备10000颗水蜜桃进行分拣． 二.综合题型精析 ★★【题型 6】频数、概率与数据分析能力 【例题6】（2024·山东潍坊·二模）下列说法正确的是（　　） A．某种彩票的中奖机会是，则买张这种彩票一定会中奖 B．为了解一批炮弹的杀伤力，采用普查的调查方式比较合适 C．“若是非零实数，则 ”是随机事件 D．“同时抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为”是确定事件 【答案】D 【分析】本题考查了概率的意义，随机事件，全面调查与抽样调查，根据概率的意义，随机事件，全面调查与抽样调查，逐一判断即可解答，熟练掌握这些数学概念是解题的关键． 【详解】解：、某种彩票的中奖机会是，购买张这种彩票不一定会中奖，原说法错误，不合题意； 、为了解一批炮弹的杀伤力，采用抽样的调查方式比较合适，原说法错误，不合题意； 、“若是非零实数，则 ”是必然事件，原说法错误，不合题意；、“同时抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为”是不可能事件，属于确定事件，该说法正确，符合题意； 故选：． 【变式1】（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（   ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，高明辉随机出的是“剪刀” B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6 C．一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝上 D．用2、3、4三个数字随机排成一个三位数，排出的数是偶数 【答案】B 【分析】本题考查了用频率估计概率的知识点，解题的关键在于从折线图读取稳定频率，观察折线在大次数试验后稳定在哪个数值附近；图中最后频率大约在到之间，即约，再去比对选项即可． 【详解】选项A、“石头、剪刀、布”，出“剪刀”的概率，与题意不符； 选项B 、掷骰子点数为6的概率，与题意相符； 选项C 、两枚硬币都正面朝上的概率，与题意不符； 选项D 、用2、3、4三个数字随机排成一个三位数，排出的数是偶数，末位为或时是偶数，可能情况：末位时前两位排列有种，末位时也有种，总共4种；所有三位数有种，概率，与题意不符． 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·福建泉州·期末）小东收集抛掷两枚普通硬币结果分别为“两正”、“两反”、“一正一反”的数据，并将其中一种数据绘制成如图所示的折线统计图，可推断该图象是结果出现 的折线统计图． 【答案】一正一反 【分析】本题考查了利用频率估计概率，概率公式，解题的关键在于从折线图读取稳定频率．根据统计图可知，试验结果频率在附近波动，即其概率，然后根据抛掷两枚普通硬币结果为“两正”、“两反”、“一正一反”的概率，约为即为正确答案． 【详解】解：抛掷两枚普通硬币， 第1枚            第2枚 正 反 正 正正 正反 反 反正 反反 故“两正”、“两反”的概率均为，“一正一反”的概率为， 试验结果频率在附近波动，所以可推断该图象是结果出现“一正一反”的折线统计图． 故答案为：一正一反． 【变式3】（2025九年级·全国·专题练习）下列说法合理的是（   ） A．小明在1000次抛图钉的试验中发现300次钉尖朝上，所以钉尖朝上的概率是30%； B．抛掷一枚普通的正六面体骰子，出现6点朝上的概率是的意思是每掷6次就有1次掷得6点朝上； C．某彩票的中奖机会是2%，那么买100张彩票一定会有2张中奖； D．在一次课堂进行的试验中，甲、乙两组同学估计硬币落地后，正面朝上的概率分别为0.48和0.51； 【答案】D 【分析】本题考查的是利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 概率是事件发生机会大小的度量，频率在大量试验下可估计概率，但有限次试验的估计值可能有偏差，由此进行分析即可． 【详解】解：概率是长期频率的稳定值，但不保证短期必然发生； A、次试验频率确定概率，虽试验次数较多，但频率不完全等于概率，不符合题意； B、概率为的意思为长期平均每次出现次，并非每次一定发生次，说法错误，不符合题意； C、概率意为平均每张中奖张，并非一定中奖张，说法错误，不符合题意； D、有限次试验中，频率估计概率存在偏差，和都接近真实概率，符合题意． 故选：D． ★★【题型 7】频数、概率与数据统计图 【例题7】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）在“世界读书日”来临之际，某学校开展了“我因阅读而成长”的赠书活动，如图，设置了一个可以自由转动的转盘，并规定每位学生可获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得一本相应的书籍，下表是活动中的一组统计数据． 转动转盘的次数 落在《红星照耀中国》区域的次数 落在《红星照耀中国》区域的频率 (1)上述表格中 ， ． (2)画出获得《红星照耀中国》频率的折线统计图． (3)假如你去转动该转盘一次，你获得《红星照耀中国》的概率约是 （结果保留到小数点后两位）． (4)在转盘中，表示《海底两万里》区域的扇形圆心角是，则表示《西游记》区域的扇形圆心角约是多少度？ 【答案】(1)0.44；450 (2)见解析 (3) (4) 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，还考查了求圆心角的度数． （1）根据表中数据，结合频率、频数的关系求解即可； （2）根据表格数据画折线统计图即可； （3）从表中频率的变化，可得到估计当n很大时，频率将会接近，然后根据利用频率估计概率可得答案； （4）先求得表示《红星照耀中国》区域的扇形圆心角的度数，进而可求解． 【详解】（1）解：由题意，，， 故答案为：0.44；450； （2）解：如图： （3）解：从表中频率的变化，可估计当n很大时，频率将会接近， 故获得《红星照耀中国》的概率约为， 故答案为：； （4）解：表示《红星照耀中国》区域的扇形圆心角的度数约为， 则表示《西游记》区域的扇形圆心角约是． 【变式1】（25-26九年级上·吉林长春·期末）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（   ） A．掷一枚一元硬币，落地后正面朝上 B．掷一个正六面体的骰子，朝上的面的点数是的倍数 C．一个不透明的袋子中装有个红球和个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取球，取出的球是红球 D．在红灯秒、绿灯秒、黄灯秒的十字路口，人或车随意经过路口时，遇到的恰好是红灯 【答案】C 【分析】本题考查了折线统计图，样本频率估计总体概率，根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、掷一枚一元硬币，落地后正面朝上的概率为，该选项不符合题意； 、掷一个正六面体的骰子，朝上的面的点数是的倍数的概率为，该选项不符合题意； 、一个不透明的袋子中装有个红球和个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取球，取出的球是红球的概率为，该选项符合题意； 、在红灯秒、绿灯秒、黄灯秒的十字路口，人或车随意经过路口时，遇到的恰好是红灯的概率为，该选项不符合题意； 故选：． 【变式2】 “六⋅一”儿童节，某玩具超市设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购买活动．顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品．下表是该活动的一组统计数据．下列说法：①当n很大时，估计指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70；②假如你去转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70；③如果转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有600次；④转动转盘10次，一定有3次获得文具盒．中正确的是 ．    转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”区域的次数m 68 108 140 355 560 690 落在“铅笔”区域的频率 0.68 0.72 0.70 0.71 0.70 0.69 【答案】①②③ 【分析】本题考查了利用频率估计概率，注意概率是多次实验得到的一个相对稳定的值．根据图表可求得指针落在铅笔区域的概率，另外概率是多次实验的结果，因此不能说转动转盘10次，一定有3次获得文具盒． 【详解】解：由表格可知频率稳定在0.7左右， ①当n很大时，估计指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70，正确； ②假如你去转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70，正确； ③如果转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有次，正确； ④随机事件，结果不确定，故④错误， 故答案为：①②③． 【变式3】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会．当转盘停止时，指针落在哪一个区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 150 200 500 800 1000 落在“橙汁”区域的次数 68 111 136 345 564 701 落在“橙汁”区域的频率 0.68 0.74 0.68 0.69 (1)填空：__________，__________． (2)假如你去转动该转盘一次，你获得“橙汁”的概率大约是__________．（精确到0.1） (3)在该转盘中，表示“可乐”区域的扇形的圆心角约是多少度？ 【答案】(1)0.705，0.701 (2)0.7 (3) 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （1）根据频率的算法，频率频数÷总数，可得各个频率；填空即可； （2）根据频率的定义，可得当n很大时，频率将会接近其概率； （3）利用频率估计概率结合概率的意义可得表示“可乐”区域的扇形的圆心角约是，再计算即可． 【详解】（1）解：；； 故答案为：0.705，0.701； （2）解：当n很大时，频率将会接近， 故获得“橙汁”的概率大约是， 故答案为：0.7； （3）解：∵获得“橙汁”的概率大约是； ∴获得“可乐”的概率大约是； 在该转盘中，表示“可乐”区域的扇形的圆心角约是． 三.中考模拟真题 （一）选择题（6题） 1．（2025·海南·中考真题）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，观察向上一面的点数．下列说法正确的是（   ） A．出现点数为6的概率是 B．出现点数为0是随机事件 C．出现点数为偶数是必然事件 D．出现点数为奇数是不可能事件 【答案】A 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念以及事件发生的可能性大小判断即可． 本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A．出现点数为6的概率是，正确，符合题意； B．出现点数为0是不可能事件； C．出现点数为偶数是随机事件； D．出现点数为奇数是随机事件； 故选A． 2．（2025·江苏徐州·中考真题）一个不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（    ） A．至多有1个球是红球 B．至多有1个球是黑球 C．至少有1个球是红球 D．至少有1个球是黑球 【答案】C 【分析】本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此逐项分析判断即可． 【详解】解：∵一只不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球， ∴至多有3个红球，至少有1个红球，至多有2个黑球，至少有0个黑球， A．至多有1个球是红球，不是必然事件，不符合题意；     B．至多有1个球是黑球，不是必然事件，不符合题意； C．至少有1个球是红球，是必然事件，符合题意； D．至少有1个球是黑球，不是必然事件，不符合题意； 故选：C． 3．（2025·湖北武汉·中考真题）掷两个质地均匀的小正方体，小正方体的六个面上分别标有1到6的数字．下列事件是必然事件的是（    ） A．向上两面的数字和为5 B．向上两面的数字和大于1 C．向上两面的数字和大于12 D．向上两面的数字和为偶数 【答案】B 【分析】本题考查了事件分类．熟练掌握必然事件，不可能事件，随机事件的概念是解题的关键．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；不可能事件指在一定条件下一定不发生的事件． 分析各选项中两骰子点数和的可能情况，判断是否必然成立． 【详解】选项A：和为5的可能组合有（1,4）、（2,3）、（3,2）、（4,1），共4种，概率为，非必然事件． 选项B：两骰子最小点数为1，最小和为，因此和必定大于1，概率为1，是必然事件． 选项C：两骰子最大和为，无法超过12，概率为0，为不可能事件． 选项D：和为偶数的概率为，可能发生但不必然． 故选：B． 4．（2025·湖北·中考真题）在下列事件中，不可能事件是（   ） A．投掷一枚硬币，正面向上 B．从只有红球的袋子中摸出黄球 C．任意画一个圆，它是轴对称图形 D．射击运动员射击一次，命中靶心 【答案】B 【分析】本题考查的是事件的分类以及不可能事件的含义，根据不可能事件的定义，即在一定条件下必然不会发生的事件，对各选项逐一分析. 【详解】解：选项A：投掷硬币可能出现正面或反面，是随机事件，不合题意； 选项B：袋子中仅有红球，无黄球，因此摸出黄球不可能发生，属于不可能事件，符合题意； 选项C：圆无论大小或位置，始终是轴对称图形，属于必然事件，不合题意； 选项D：射击可能命中或脱靶，是随机事件，不合题意； 综上，只有选项B符合不可能事件的定义， 故选：B． 5．（2024·湖北武汉·中考真题）小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（    ） A．随机事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．确定性事件 【答案】A 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：两人同时出相同的手势，，这个事件是随机事件， 故选：A． 6．（2024·四川内江·中考真题）下列事件是必然事件的是（    ） A．打开电视机，中央台正在播放“嫦娥六号完成人类首次背月采样”的新闻 B．从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级 C．小明在内江平台一定能抢到龙舟节开幕式门票 D．从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》 【答案】B 【分析】本题考查了事件的分类，熟记必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解题关键．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据定义，对每个选项逐一判断． 【详解】解：A、是随机事件，不符合题意，选项错误； B、是必然事件，符合题意，选项正确； C、是随机事件，不符合题意，选项错误； D、是随机事件，不符合题意，选项错误； 故选：B． （二）填空题（6题） 7．（2025·河南濮阳·一模）从数学的观点看，成语“水涨船高”中描述的事件是 （填“必然”“不可能”或“随机”）事件． 【答案】必然 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件是指在一定条件下必然会发生的事件；不可能事件是指在一定条件下必然不会发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可． 【详解】解：从数学的观点看，成语“水涨船高”中描述水位上涨时，船身必然升高，这是一种确定的因果关系，因此是必然事件． 故答案为：必然． 8．（2025·甘肃武威·一模）“抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是 【答案】随机事件 【分析】本题主要考查随机事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． 【详解】解：“抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是随机事件， 故答案为：随机事件 9．（2025·广东肇庆·一模）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的5个小球，其中红球3个，黑球2个，先从袋中取出m（）个红球，不放回，再从袋子中随机摸出1个球．将“摸出黑球”记为事件A．若A为必然事件，则m的值为 ； 【答案】3 【分析】本题考查了必然事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键． 根据必然事件的概念即可得出答案． 【详解】解：∵事件A为必然事件， ∴“摸出黑球”为必然事件， ∴不能有红球，才能使摸出黑球为必然事件， ∵袋子中原来红球有3个， ∴取出红球个数， 故答案为：3． 10．（2025·山东青岛·模拟预测）估计下列俗语描述的事件发生的可能性大小：①瞎猫碰到死耗子；②水中捞月；③种瓜得瓜，种豆得豆．将这些俗语的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为 ． 【答案】②①③ 【分析】根据可能性大小的概念分别求出每个随机事件的可能性大小，继而可得答案． 本题主要考查可能性的大小，随机事件，解题的关键是掌握事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件． 【详解】解：①瞎猫碰到死耗子，是随机事件； ②水中捞月，是不可能事件； ③种瓜得瓜，种豆得豆，是必然事件． 将这些俗语的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为②①③． 故答案为：②①③． 11．（2024·云南昆明·模拟预测）某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，计算了某一结果出现的频率，并绘制了如下表格，则该结果发生的概率约为 ． 试验次数 100 500 1000 2000 4000 频率 【答案】 【分析】观察频率的数值稳定在哪一个数值上，即可估算发生的概率，可得出答案． 此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即为概率． 【详解】解：观察表格发现：随着试验次数的增多，频率稳定在， 故其概率为， 故答案为：． 12．（2025·山西·一模）八路军太行纪念馆，是全国中小学生研学实践教育基地．某校有名学生，随机调查了名学生，其中有名学生去过八路军太行纪念馆．在该校随机调查一名学生，他去过八路军太行纪念馆的概率约是 ． 【答案】 【分析】本题考查频率估计概率，根据随机调查了名学生，其中有名学生去过八路军太行纪念馆即可得到答案．读懂题意，理解由频率估计概率的方法是解决问题的关键． 【详解】解：∵随机调查了名学生，其中有名学生去过八路军太行纪念馆， ∴在该校随机调查一名学生，他去过八路军太行纪念馆的概率约是， 故答案为：． （三）解答题（4题） 13．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）青少年健康中心随机抽取了本市若干名中小学生，对其视力状况进行调查，发现，近视的比例相当大，小学生占，中学生，为更好的制定措施，健康中心将近视程度分为轻度、中度、高度三种，并绘制了如下条形统计图． (1)求本次共抽查了多少名中小学生； (2)该市有中学生8万人，小学生10万人，分别估计该市中，小学生患“中度近视”的人数； (3)由频率估计概率可知：任意抽查本市一名中学生，达到中度近视的概率为______． 【答案】(1)本次共抽查了名中小学生； (2)估计该市的中学生和小学生患“中度近视”的分别约有万人和万人； (3)． 【分析】此题考查了样本估计总体、频率、抽样调查等知识． （1）分别利用小学生和中学生抽查的近视人数除以对应的百分比得到调查的人数，再求和即可； （2）根据样本估计总体计算即可； （3）根据频率的概念进行解答即可． 【详解】（1）解：由题意可得，共抽查了小学生为：（名） 共抽查了中学生为：（名） 则（名）； 即本次共抽查了名中小学生； （2）中学生中度近视人数为：（万人）， 小学生中度近视人数为：（万人）， 答：估计该市的中学生和小学生患“中度近视”的分别约有万人和万人； （3）由频率估计概率可知：任意抽查本市一名中学生，达到中度近视的概率为 故答案为： 14．（23-24八年级上·江苏盐城）“一人一盔安全守规，一人一戴平安常在”，如表是某厂质检部门对该厂生产的一批头盔质量检测的情况． 抽取的头盔数 500 1000 1500 2000 3000 4000 合格品数 491 986 1470 1964 2949 3932 合格品频率 0.982 0.986 0.980 a b 0.983 (1)求出表中a=_______，b=_______； (2)从这批头盔中任意抽取一顶是合格品的概率的估计值是_____（精确到0.01）； (3)如果要出厂49000顶合格的头盔，则该厂估计要生产多少顶头盔？ 【答案】(1)，； (2)； (3)该厂估计要生产50000顶头盔 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （1）根据表中数据计算即可； （2）由表中数据可判断频率在左右摆动，从而利于频率估计概率可判断任意抽取一只口罩是合格品的概率为； （3）用样本数据估计总体即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：由表格可知，随着抽取的头盔数量不断增大，任意抽取一个是合格的频率在附近波动， 所以任意抽取的一顶是合格品的概率估计值是； （3）解：（顶）． 答：该厂估计要生产顶头盔． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 7.1 认识概率（全章知识梳理+题型精析+模拟真题） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】随机事件 1 ★【题型 1】随机事件的分类 1 【知识点二】概率 2 ★【题型 2】判断随机事件的概率大小 2 【知识点三】频率与概率 3 ★【题型 3】求某事件的频率 4 ★【题型 4】由频数估计概率 4 ★【题型 5】频数与概率综合应用 5 二.综合题型精析 6 ★★【题型 6】频数、概率与数据分析能力 6 ★★【题型 7】频数、概率与数据统计图 8 三.中考模拟真题 10 （一）选择题（6题） 10 （二）填空题（6题） 11 （三）解答题（4题） 11 一.知识梳理与基础题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题。 【知识点一】随机事件 在一定条件下，有些事件我们事先能确定它一定不会发生，这样的事件是不可能事件. 在一定条件下，有些事件我们事先能确定它一定会发生，这样的事件是必然事件. ★【题型 1】随机事件的分类 【例题1】（24-25七年级下·全国·课后作业）给出下列事件： ①某餐厅供应盒饭，共准备2荤2素4种不同的品种，一顾客任选1种菜肴，且选中素菜； ②一百件产品全部为正品，今从中选出一件次品； ③在1，2，3，4，5路车停靠的站牌处，张老师等候到6路车； ④甲、乙、丙、丁四人排成一排照相，甲、乙正好相邻； ⑤空旷的平地上，抛出的篮球会下落． 请将事件的序号填写在横线上： 必然事件有 ，不可能事件有 ，随机事件有 ． 【变式1】（25-26七年级上·湖北武汉·月考）下列事件是确定性事件的是（   ） A．打开电视机，正在播电视剧 B．小明坚持体育锻炼，今后会成为奥运冠军 C．太阳从西边升起 D．13个同学中，恰有2人出生的月份相同 【变式2】（24-25九年级下·全国·随堂练习）请你根据下列要求，分别设计一个摸球游戏： (1)任意摸出1个球是黄球是不可能事件． (2)任意摸出2个球，1个是黄球，1个是白球是必然事件． (3)任意摸出3个球，2个是黄球，1个是白球是随机事件． 【变式3】（24-25八年级下·全国·单元测试）下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？ （1）测得某天的最高气温为； （2）在100件某种产品中有2件次品，从中任取1件恰好是次品； （3）如果m、n是实数，那么； （4）经过某一装有交通信号灯的路口，遇到红灯． 【知识点二】概率 一般地，随机事件发生的可能性有大有小，我们把用于度量一个随机事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件发生的概率。如果用字母A示一个事件，那么P(A)表示事件A发生的概率。 通常规定，必然事件A发生的概率是1，记作P(A)=1；不可能事件A发生的概率是0，记作P(A)=0；随机事件A发生的概率P(A)是0和1之间的数。 ★【题型 2】判断随机事件的概率大小 【例题2】（2025九年级上·全国·专题练习）将一枚图钉抛起，落地后会出现“钉尖朝上”和“钉帽朝上”两种情况．有人认为这两种情况是等可能的，因此“钉尖朝上”的概率是．请判断该观点是否正确，并说明理由． 【变式1】（25-26九年级上·山西朔州·月考）如图，小悦已经有两根木棍，长度分别为和，从右侧的三个抽屉中随机选取一个，则从抽屉中选取的木棍与小悦手中的木棍能够组成三角形的可能性 不能组成三角形的可能性．（填“大于”“等于”或“小于”） 【变式2】（25-26九年级上·江苏南京·期末）某路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯、绿灯、黄灯．小明爸爸随机地由南往北开车到达该路口，下面说法正确的是（   ） A．小明爸爸遇到红灯是必然事件 B．小明爸爸遇到黄灯是不可能事件 C．小明爸爸遇到黄灯的概率最小 D．小明爸爸遇到红灯的概率大于他遇到绿灯的概率 【变式3】（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）有一个转盘（如图所示），被分成6个相等的扇形，颜色分为红、绿、黄三种，指针的位置固定．转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动）．下列事件：①指针指向红色；②指针指向绿色；③指针指向黄色；④指针不指向黄色；⑤指针不指向绿色． 思考各事件的可能性大小，然后回答下列问题：    (1)可能性最大和最小的事件分别是哪个？（用序号表示） (2)将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列． 【知识点三】频率与概率 在大量重复试验中，一个随机事件发生的频率在某一个常数附近摆动，并趋于稳定，我们把这种现象称为频率的稳定性，并且用这个频率的稳定值作为该随机事件的概率。 概率是对随机事件发生可能性大小的一种度量.在多次重复试验中,随机事件发生的频率具有稳定性，实际生活中，能够进行大量重复试验的随机事件，可以通过频率估计概率。 ★【题型 3】求某事件的频率 【例题3】（23-24七年级下·广东湛江·期末）已知数据：，，，，，其中无理数出现的频率是 ． 【变式1】（24-25八年级下·江苏苏州·期末）“深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是 ． 【变式2】（23-24九年级上·全国·课后作业）林业局将一批树苗移栽到林区，已知这批树苗的成活率接近0.95，已知移栽的树苗为2000棵，那么移栽后未成活的树苗约有（　　） A．75棵 B．100棵 C．150棵 D．1900棵 【变式3】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）为推动农业现代化进程，某农科所在相同条件下开展农作物种子发芽率的试验，试验数据如表： 种子颗数 100 400 600 700 900 1000 发芽种子颗数 94 378 571 664 951 发芽种子频率 (1)填空：上表中的值为___________，的值为___________； (2)估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率．（精确到） ★【题型 4】由频数估计概率 【例题4】（25-26九年级上·陕西渭南·月考）工厂新进一台机床，机床经过调试后，操作人员将做出的200个零件混匀在一起进行试验；随机抽取1个零件检测后放回，多次重复这个试验．通过大量试验后发现，抽到合格零件的频率为，估计这批零件中不合格零件的数量． 【变式1】（25-26九年级上·云南昆明·期末）在一个不透明的袋子中，装有60个小球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不见球的情况下，随机多次摸球试验后，摸到白球的频率稳定在．则可估计袋子中白球的个数是（    ） A．18 B．24 C．28 D．36 【变式2】（25-26九年级上·山东淄博·期末）新生婴儿性别比是每名女婴对应的男婴数．通过抽样调查得知，我国年出生的婴儿性别比约为．某婴儿于年出生，估计他（她）为男性的概率 ． 【变式3】（2025九年级·全国·专题练习）某市林业局积极响应“绿水青山就是金山银山”的号召，特地考察一种花卉移植的成活率，对本市这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如下图所示的统计图．请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： (1)估计这种花卉成活概率为______（结果精确到）． (2)该林业局已经移植这种花卉200000棵，估计这批花卉成活的棵数． ★【题型 5】频数与概率综合应用 【例题3】某商场有一个可以自由转动的转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”的次数m 68 111 136 345 546 701 落在“铅笔”的频率 (1)计算并完成表格（结果保留小数点后两位）； (2)转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是多少（结果保留小数点后一位）？ 【变式1】（25-26九年级上·广东广州·期末）小明与同学做“抛掷图钉试验”，获得数据如下： 抛掷次数n 100 300 500 700 800 900 1000 钉尖着地的频数m 36 111 190 266 312 351 390 钉尖着地的频率 0.36 0.37 0.38 0.38 0.39 0.39 0.39 根据以上数据，当抛掷图钉1500次时，估计“钉尖着地”的次数为（   ） A．540 B．555 C．570 D．585 【变式2】（23-24九年级上·山西吕梁·期末）爱好收藏的张同学将收集到的500张关于山西十大景点的卡片（它们分别是五台山、平遥古城、云冈石窟、晋祠、洪洞大槐树、壶口瀑布、雁门关、悬空寺、绵山、皇城相府）放到一个不透明的盒子里反复抽取多次（抽取后放回并摇匀），发现抽到“云冈石窟”卡片的频率稳定在左右，则估计收集到的“云冈石窟”卡片张数是 ． 【变式3】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）无锡阳山水蜜桃以果肉细腻、汁多味甜闻名全国，是江苏省地理标志产品．每年盛夏，阳山水蜜桃进入成熟季，果农们会严格检测品质以确保消费者能品尝到最佳风味．某基地对不同批次的水蜜桃进行坏果率抽检，得到如下数据： 检测批次的总果数 1000 2000 3000 4000 5000 6000 坏果数 59 124 240 305 354 坏果频率 根据表格回答下列问题： (1)表中的___________，___________； (2)任取一个水蜜桃，估计它是坏果的概率为___________（精确到）； (3)若基地需要为即将到来的水果节确保9400颗完好水蜜桃用于销售，那么至少需要准备多少颗水蜜桃进行分拣？ 二.综合题型精析 ★★【题型 6】频数、概率与数据分析能力 【例题6】（2024·山东潍坊·二模）下列说法正确的是（　　） A．某种彩票的中奖机会是，则买张这种彩票一定会中奖 B．为了解一批炮弹的杀伤力，采用普查的调查方式比较合适 C．“若是非零实数，则 ”是随机事件 D．“同时抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为”是确定事件 【变式1】（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（   ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，高明辉随机出的是“剪刀” B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6 C．一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝上 D．用2、3、4三个数字随机排成一个三位数，排出的数是偶数 【变式2】（25-26九年级上·福建泉州·期末）小东收集抛掷两枚普通硬币结果分别为“两正”、“两反”、“一正一反”的数据，并将其中一种数据绘制成如图所示的折线统计图，可推断该图象是结果出现 的折线统计图． 【变式3】（2025九年级·全国·专题练习）下列说法合理的是（   ） A．小明在1000次抛图钉的试验中发现300次钉尖朝上，所以钉尖朝上的概率是30%； B．抛掷一枚普通的正六面体骰子，出现6点朝上的概率是的意思是每掷6次就有1次掷得6点朝上； C．某彩票的中奖机会是2%，那么买100张彩票一定会有2张中奖； D．在一次课堂进行的试验中，甲、乙两组同学估计硬币落地后，正面朝上的概率分别为0.48和0.51； ★★【题型 7】频数、概率与数据统计图 【例题7】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）在“世界读书日”来临之际，某学校开展了“我因阅读而成长”的赠书活动，如图，设置了一个可以自由转动的转盘，并规定每位学生可获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得一本相应的书籍，下表是活动中的一组统计数据． 转动转盘的次数 落在《红星照耀中国》区域的次数 落在《红星照耀中国》区域的频率 (1)上述表格中 ， ． (2)画出获得《红星照耀中国》频率的折线统计图． (3)假如你去转动该转盘一次，你获得《红星照耀中国》的概率约是 （结果保留到小数点后两位）． (4)在转盘中，表示《海底两万里》区域的扇形圆心角是，则表示《西游记》区域的扇形圆心角约是多少度？ 【变式1】（25-26九年级上·吉林长春·期末）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（   ） A．掷一枚一元硬币，落地后正面朝上 B．掷一个正六面体的骰子，朝上的面的点数是的倍数 C．一个不透明的袋子中装有个红球和个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取球，取出的球是红球 D．在红灯秒、绿灯秒、黄灯秒的十字路口，人或车随意经过路口时，遇到的恰好是红灯 【变式2】 “六⋅一”儿童节，某玩具超市设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购买活动．顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品．下表是该活动的一组统计数据．下列说法：①当n很大时，估计指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70；②假如你去转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70；③如果转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有600次；④转动转盘10次，一定有3次获得文具盒．中正确的是 ．    转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”区域的次数m 68 108 140 355 560 690 落在“铅笔”区域的频率 0.68 0.72 0.70 0.71 0.70 0.69 【变式3】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会．当转盘停止时，指针落在哪一个区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 150 200 500 800 1000 落在“橙汁”区域的次数 68 111 136 345 564 701 落在“橙汁”区域的频率 0.68 0.74 0.68 0.69 (1)填空：__________，__________． (2)假如你去转动该转盘一次，你获得“橙汁”的概率大约是__________．（精确到0.1） (3)在该转盘中，表示“可乐”区域的扇形的圆心角约是多少度？ 三.中考模拟真题 （一）选择题（6题） 1．（2025·海南·中考真题）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，观察向上一面的点数．下列说法正确的是（   ） A．出现点数为6的概率是 B．出现点数为0是随机事件 C．出现点数为偶数是必然事件 D．出现点数为奇数是不可能事件 2．（2025·江苏徐州·中考真题）一个不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（    ） A．至多有1个球是红球 B．至多有1个球是黑球 C．至少有1个球是红球 D．至少有1个球是黑球 3．（2025·湖北武汉·中考真题）掷两个质地均匀的小正方体，小正方体的六个面上分别标有1到6的数字．下列事件是必然事件的是（    ） A．向上两面的数字和为5 B．向上两面的数字和大于1 C．向上两面的数字和大于12 D．向上两面的数字和为偶数 4．（2025·湖北·中考真题）在下列事件中，不可能事件是（   ） A．投掷一枚硬币，正面向上 B．从只有红球的袋子中摸出黄球 C．任意画一个圆，它是轴对称图形 D．射击运动员射击一次，命中靶心 5．（2024·湖北武汉·中考真题）小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（    ） A．随机事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．确定性事件 6．（2024·四川内江·中考真题）下列事件是必然事件的是（    ） A．打开电视机，中央台正在播放“嫦娥六号完成人类首次背月采样”的新闻 B．从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级 C．小明在内江平台一定能抢到龙舟节开幕式门票 D．从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》 （二）填空题（6题） 7．（2025·河南濮阳·一模）从数学的观点看，成语“水涨船高”中描述的事件是 （填“必然”“不可能”或“随机”）事件． 8．（2025·甘肃武威·一模）“抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是 9．（2025·广东肇庆·一模）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的5个小球，其中红球3个，黑球2个，先从袋中取出m（）个红球，不放回，再从袋子中随机摸出1个球．将“摸出黑球”记为事件A．若A为必然事件，则m的值为 ； 10．（2025·山东青岛·模拟预测）估计下列俗语描述的事件发生的可能性大小：①瞎猫碰到死耗子；②水中捞月；③种瓜得瓜，种豆得豆．将这些俗语的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为 ． 11．（2024·云南昆明·模拟预测）某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，计算了某一结果出现的频率，并绘制了如下表格，则该结果发生的概率约为 ． 试验次数 100 500 1000 2000 4000 频率 12．（2025·山西·一模）八路军太行纪念馆，是全国中小学生研学实践教育基地．某校有名学生，随机调查了名学生，其中有名学生去过八路军太行纪念馆．在该校随机调查一名学生，他去过八路军太行纪念馆的概率约是 ． （三）解答题（4题） 13．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）青少年健康中心随机抽取了本市若干名中小学生，对其视力状况进行调查，发现，近视的比例相当大，小学生占，中学生，为更好的制定措施，健康中心将近视程度分为轻度、中度、高度三种，并绘制了如下条形统计图． (1)求本次共抽查了多少名中小学生； (2)该市有中学生8万人，小学生10万人，分别估计该市中，小学生患“中度近视”的人数； (3)由频率估计概率可知：任意抽查本市一名中学生，达到中度近视的概率为______． 14．（23-24八年级上·江苏盐城）“一人一盔安全守规，一人一戴平安常在”，如表是某厂质检部门对该厂生产的一批头盔质量检测的情况． 抽取的头盔数 500 1000 1500 2000 3000 4000 合格品数 491 986 1470 1964 2949 3932 合格品频率 0.982 0.986 0.980 a b 0.983 (1)求出表中a=_______，b=_______； (2)从这批头盔中任意抽取一顶是合格品的概率的估计值是_____（精确到0.01）； (3)如果要出厂49000顶合格的头盔，则该厂估计要生产多少顶头盔？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $