专题 11.1 二次根式的概念（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2025-2026学年苏科版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 11.1 二次根式的概念（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】二次根式的概念 1 【题型 1】二次根式的判断 1 【题型 2】二次根式的意义 2 【题型 3】二次根式的值 2 【题型 4】二次根式的参数 3 【知识点二】二次根式的性质 3 【题型 5】利用二次根式的性质化简求值 4 二.综合培优题型精析 4 【题型 6】二次根式性质与几何问题综合 5 【题型 7】二次根式与规律问题 6 三.同步检测 7 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 7 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 8 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 8 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】二次根式的概念 一般地，我们把形如（）的式子叫作二次根式。 【要点提示】（1）可以是一个数，也可以是一个代数式；（2）当是一个非负数时，表示的算术平方根；（3）双重非负性：二次根式的非负性，被开方数非负性。 【题型 1】二次根式的判断 【例题1】（25-26八年级下·全国·单元测试）下列式子中：，，，，，二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）下列各式中，不是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）下列是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）请任意写一个二次根式：________． 【题型 2】二次根式的意义 【例题2】（25-26八年级下·全国·课后作业）当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ （1）； （2）； （3）． 【变式1】（25-26八年级下·江西赣州·期中）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026年湖南省娄底市初中毕业学业考试仿真模拟试题卷数学）函数的自变量x的取值范围是_______． 【变式3】（24-25八年级上·黑龙江大庆·月考）解答下列各题： （1）下列各式不是二次根式的是（    ） A．     B．     C．      D． （2）当满足 时，二次根式在实数范围内有意义． （3）当满足 时，在实数范围内有意义． 【题型 3】二次根式的值 【例题3】（24-25八年级下·贵州贵阳·月考）已知是实数，且满足． （1）求和的值； （2）求的值． 【变式1】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．1 B． C． D．2 【变式2】（24-25八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值为____． 【变式3】（24-25八年级下·贵州黔南·期中）若求的值． 【题型 4】二次根式的参数 【例题4】（24-25八年级下·甘肃武威·期中）已知是整数，求自然数n的值． 【变式1】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）已知是整数，则正整数n的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式2】（25-26八年级下·河南三门峡·期中）若是整数，则的值可以是________．（写一个即可） 【变式3】（25-26八年级上·湖南郴州·期中）已知二次根式，回答下列问题： （1）当为何值时，该二次根式有意义？ （2）当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值． 【知识点二】二次根式的性质 1： 当时，； 2：。 【要点提示】（1）仅当被开方数为非负数时成立，运算顺序为先开方、后平方，结果等于原数；若，在实数范围内无意义，该式不成立； （2）性质：可为任意实数，运算顺序为先平方、后开方，结果为的绝对值，恒为非负数；化简时需分情况讨论：时结果为，时结果为； （3）两条性质的核心区别：取值范围不同，前者，后者为任意实数；运算顺序与结果形式不同，前者直接还原原数，后者需通过绝对值保证结果非负，二者仅在时数值相等。 【题型 5】利用二次根式的性质化简求值 【例题5】（25-26八年级下·陕西安康·月考）是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答下列问题． （1）化简：______，______； （2）已知实数在数轴上的对应点如图所示． ①化简：______，______； ②化简：． 【变式1】（25-26八年级下·山东菏泽·期中）若，则（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）若，，，则______． 【变式3】（25-26八年级下·山东济宁·月考）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题， 化简：． 解：隐含条件，解得． ． ∴原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简． 【类比迁移】 （2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． （3）已知a，b，c为的三边长，化简 二.综合培优题型精析 【题型 6】二次根式性质与几何问题综合 【例题6】（河北唐山市2025~2026学年度第二学期学业水平中期评价八年级数学（人教版））如图，在中，，，，． （1）求的长； （2）求证：． 【变式1】（25-26八年级下·山西太原·期中）如图，在等腰直角三角形中，，平分交于点D，点E是边上任意一点，连接，过点D作的垂线交于点F，下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·海南·期中）如图，在中，E为中点，于点F，，，，则__________，的面积为__________． 【变式3】（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，四边形中，，，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求四边形的面积及点到线段的距离． 【题型 7】二次根式与规律问题 【例题7】（24-25八年级下·江苏泰州·期末）嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程： 等式①：；等式②：； 等式③：；等式④：______________；…… （1）【特例探究】将题目中的横线处补充完整； （2）【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立； （3）【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______． 【变式1】（24-25七年级下·云南昭通·月考）如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示）（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·河南驻马店·期中）如图，它是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示）______． 【变式3】（25-26八年级下·河南周口·月考）观察下列等式，其中反映了某种规律： ；；，… （1）按照这种规律在括号里填入相应的数：_____，_____； （2）计算：（写出计算过程）； （3）请用含n（n为正整数，且）的等式把你发现的规律表示出来（无需证明）． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26八年级下·陕西安康·月考）下列是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·云南昆明·一模）若在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·云南昭通·月考）若是整数，则满足条件的自然数n的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2024·河北张家口·三模）若，则计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）若，则的取值范围是（    ） A．为全体实数 B． C． D． 6．（25-26八年级下·山东菏泽·期中）若，则（　　） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如果非零实数a，b满足，那么点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，在四边形ABCD中，，四边形ABCD的面积是（    ） A．4 B．6 C．8 D． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26八年级下·浙江台州·月考）当时，则二次根式_____． 10．（25-26八年级下·浙江温州·期中）当__________时，二次根式的值是0． 11．（25-26八年级下·浙江温州·期中）的值为_____． 12．（25-26七年级下·天津滨海新区·期中）已知a，b对应的点在数轴上的位置如图所示，那么化简______． 13．（25-26八年级下·山东日照·期中）有意义，则x的取值范围是______． 14．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）若，则的值是______． 15．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，于点，于点，，．若刚好是的中点，则________． 16．（25-26八年级下·山东泰安·期中）已知为等腰三角形的两条边长，且满足，则此三角形的周长为__． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知，且，为实数，试求的平方根． 18．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）计算： （1） （2） 19．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）观察下列各个等式的规律： ；；；… 请用上述等式反映出的规律解决下列问题： （1）_______，_______； （2）猜想的第个等式：__________（用含的等式表示），并证明． 20．（25-26八年级下·江西九江·期中）如图，等边三角形中，点在边上，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 11.1 二次根式的概念（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】二次根式的概念 1 【题型 1】二次根式的判断 1 【题型 2】二次根式的意义 3 【题型 3】二次根式的值 5 【题型 4】二次根式的参数 7 【知识点二】二次根式的性质 8 【题型 5】利用二次根式的性质化简求值 8 二.综合培优题型精析 11 【题型 6】二次根式性质与几何问题综合 11 【题型 7】二次根式与规律问题 15 三.同步检测 18 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 18 （二） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 22 （三） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 24 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】二次根式的概念 一般地，我们把形如（）的式子叫作二次根式。 【要点提示】（1）可以是一个数，也可以是一个代数式；（2）当是一个非负数时，表示的算术平方根；（3）双重非负性：二次根式的非负性，被开方数非负性。 【题型 1】二次根式的判断 【例题1】（25-26八年级下·全国·单元测试）下列式子中：，，，，，二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】二次根式的定义为：形如的式子叫做二次根式，需要同时满足根指数为2、被开方数非负两个条件，逐个判断统计个数即可． 解：∵的根指数为2，且，满足条件，∴是二次根式； ∵的被开方数，不满足条件，∴不是二次根式； ∵的根指数为3，不满足条件，∴不是二次根式； ∵的根指数为2，且，满足条件，∴是二次根式； ∵的根指数为2，且，满足条件，∴是二次根式； 综上，符合条件的二次根式共3个． 【变式1】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）下列各式中，不是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的定义，根据定义，形如的式子是二次根式，只需判断各选项中被开方数是否为非负数即可求解． 解：根据二次根式的定义判断： ∵ 选项A中被开方数，∴ 是二次根式； ∵ 选项B：，可得，∴ 的被开方数是负数，不符合二次根式定义，不是二次根式； ∵ 选项C：，∴，∴是二次根式； ∵ 选项D：，∴ 是二次根式． 【变式2】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）下列是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义，只需判断各选项的被开方数是否恒为非负数，即可得出正确结果． 解：∵ 选项A中被开方数，∴不是二次根式； ∵ 选项B中的符号不确定，当时被开方数为负数，∴ 不一定是二次根式； ∵ ，∴ ，被开方数恒为非负数，符合二次根式定义，∴ 选项C是二次根式； ∵ 选项D中，当时，，被开方数为负数，∴不一定是二次根式． 【变式3】（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）请任意写一个二次根式：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式，熟记二次根式的定义是解题的关键． 根据二次根式的定义即可求解． 解：由题意得，一个二次根式可写为， 故答案为：（答案不唯一）． 【题型 2】二次根式的意义 【例题2】（25-26八年级下·全国·课后作业）当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）x取一切实数；（2）；（3） 【分析】（1）根据二次根式被开方数为非负数以及平方的非负性求解； （2）根据二次根式被开方数为非负数求解； （3）根据二次根式被开方数为非负数以及分式分母不为零求解； 解：（1）解：依题意有，因为，故x取一切实数； （2）解：依题意得，解这个不等式，得； （3）解：依题意得且，解这个不等式，得． 【变式1】（25-26八年级下·江西赣州·期中）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式以及分式有意义的条件列出不等式，根据不等式的解集判断即可． 解：∵式子在实数范围内有意义， ， 解得， 解集表示在数轴上，如图， ． 【变式2】（2026年湖南省娄底市初中毕业学业考试仿真模拟试题卷数学）函数的自变量x的取值范围是_______． 【答案】且 【分析】根据二次根式有意义的条件和零指数幂的定义，列出不等式求解自变量的取值范围即可． 解：由题意可得， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴且． 【变式3】（24-25八年级上·黑龙江大庆·月考）解答下列各题： （1）下列各式不是二次根式的是（    ） A．    B．    C．     D． （2）当满足 时，二次根式在实数范围内有意义． （3）当满足 时，在实数范围内有意义． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据二次根式“被开方数非负”的定义，逐一判断选项； （2）根据二次根式有意义的条件，列不等式求解； （3）根据分式有意义（分母不为0）和二次根式有意义（被开方数非负）的条件，列不等式求解． 解：（1）解：，则是二次根式； 是二次根式； ，则不是二次根式； ，则是二次根式． 故选． （2）解：在实数范围内有意义， ，即． （3）解：在实数范围内有意义， 则，， 即， 解得． 【题型 3】二次根式的值 【例题3】（24-25八年级下·贵州贵阳·月考）已知是实数，且满足． （1）求和的值； （2）求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件以及二次根式的求值，根据二次根式有意义的条件求得是解题关键． （1）根据二次根式有意义的条件可得x的值，进而得出y的值； （2）将x，y的值代入计算即可 解：（1）是实数，且满足， 解得 ∴； （2）当，时， ； 【变式1】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了程序框图的循环计算与根式运算，解题的关键是按照程序框图的逻辑，逐步代入计算，直到满足输出条件． 先将输入的代入表达式计算，判断结果是否小于2，若不满足则将该结果作为新的再次代入计算，直至结果小于2时输出． 解：当输入时， 第一次计算：，不成立，将作为新的； 第二次计算：，成立，输出结果． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值为____． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，理解二次根式的性质是解题关键． 将代入，进而根据二次根式的性质化简，即可求解． 解：当时，， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·贵州黔南·期中）若求的值． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数性质以及二次根式，正确得出，的值是解题关键．直接利用算术平方根和偶次方的非负数性质得出，的值，进而得出答案． 解：， ， 解得， ． 【题型 4】二次根式的参数 【例题4】（24-25八年级下·甘肃武威·期中）已知是整数，求自然数n的值． 【答案】10，9，6，1 【分析】本题考查二次根式的性质，利用二次根式的性质、化简法则及自然数指大于等于0的整数，分析求解． 解：由题意得， 又n为自然数， ∴， ∵是整数 ， ∴，，，， ∴自然数n所有可能的值为10，9，6，1． 【变式1】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）已知是整数，则正整数n的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】先分解被开方数的质因数，再根据二次根式为整数的要求，即可求出正整数n的最小值； 解：∵， ∴， ∴， 要使为整数，则需为完全平方数， ∵，两个质因数的指数都为1，要使为完全平方数，其所有质因数的指数都必须是偶数， ∴正整数n的最小值为． 【变式2】（25-26八年级下·河南三门峡·期中）若是整数，则的值可以是________．（写一个即可） 【答案】 【分析】根据二次根式的性质，若是整数，则被开方数为非负的完全平方数，由此可得到满足条件的的值． 解：要使为整数，需为非负的完全平方数. 取， 则， 经检验，，是整数，符合题意． 【变式3】（25-26八年级上·湖南郴州·期中）已知二次根式，回答下列问题： （1）当为何值时，该二次根式有意义？ （2）当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值． 【答案】（1）；（2）当时，值为；当值为时， 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件解答即可． （2）将代入即可求解，令时，求解即可 解：（1）解：要使该二次根式有意义，需满足， 解得：， ∴当时，该二次根式有意义． （2）解：当时，则， 令时，则， 解得：． 【知识点二】二次根式的性质 1： 当时，； 2：。 【要点提示】（1）仅当被开方数为非负数时成立，运算顺序为先开方、后平方，结果等于原数；若，在实数范围内无意义，该式不成立； （2）性质：可为任意实数，运算顺序为先平方、后开方，结果为的绝对值，恒为非负数；化简时需分情况讨论：时结果为，时结果为； （3）两条性质的核心区别：取值范围不同，前者，后者为任意实数；运算顺序与结果形式不同，前者直接还原原数，后者需通过绝对值保证结果非负，二者仅在时数值相等。 【题型 5】利用二次根式的性质化简求值 【例题5】（25-26八年级下·陕西安康·月考）是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答下列问题． （1）化简：______，______； （2）已知实数在数轴上的对应点如图所示． ①化简：______，______； ②化简：． 【答案】（1）7，；（2）①，；② 【分析】（1）利用二次根式的性质将根式转化为绝对值形式即可； （2）①根据数轴可得到，，再根据所给的二次根式的性质即可求解； ②根据数轴上点的位置关系及距离原点的远近，判断绝对值内部式子的正负性，再根据所给的二次根式的性质即可求解． 解：（1）解：，． （2）解：①由数轴可得：，， ∴，， 而数轴上b在右侧且更靠近， ∴不成立，即， ∴，； ②∵，， ∴，， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·山东菏泽·期中）若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式和绝对值的性质，利用二次根式性质将原式化简为绝对值形式，再根据绝对值性质列不等式求解即可． 解：∵， ∴， ∴， 解不等式得 ． 【变式2】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）若，，，则______． 【答案】2 【分析】先根据二次根式的性质求出的所有可能值和的值，再根据确定的具体取值，最后代入计算即可． 解：根据二次根式的性质可得：，解得； ， ， ∴， 代入得：． 【变式3】（25-26八年级下·山东济宁·月考）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题， 化简：． 解：隐含条件，解得． ． ∴原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简． 【类比迁移】 （2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． （3）已知a，b，c为的三边长，化简 【答案】（1）1；（2）；（3） 【分析】（1）由题意易得，则有，然后问题可求解； （2）由数轴可得，且，然后问题可求解； （3）根据三角形三边关系及二次根式的性质可进行求解． 解：（1）解：隐含条件，解得． ． ∴原式； （2）解：由数轴可得，且， ∴， ∴原式； （3）解：由三角形三边关系可得：， ∴， ∴原式． 二.综合培优题型精析 【题型 6】二次根式性质与几何问题综合 【例题6】（河北唐山市2025~2026学年度第二学期学业水平中期评价八年级数学（人教版））如图，在中，，，，． （1）求的长； （2）求证：． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）求出的长，则可利用勾股定理求出的长，再证明即可． 解：（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理 在中： ∴是直角三角形，且，即． 【变式1】（25-26八年级下·山西太原·期中）如图，在等腰直角三角形中，，平分交于点D，点E是边上任意一点，连接，过点D作的垂线交于点F，下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等腰直角三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质逐一分析各个选项并选出正确选项即可． 解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∴和均为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故A正确； ∵是等腰直角三角形， ∴，故B错误； ∵， ∴， ∵， ∴， 而， ∴，故C错误； ∵与的关系没有明确说明， ∴无法判断与的关系， ∴不一定等于，故D错误． 【变式2】（25-26八年级下·海南·期中）如图，在中，E为中点，于点F，，，，则__________，的面积为__________． 【答案】 6 【分析】根据已知条件利用勾股定理即可求得的长度；延长，交于点G，利用倍长中线模型结合平行四边形的性质证明，从而得到的长度，利用勾股定理求得的长度，结合直角三角形斜边上的中线定理可得，从而得出，继而求得最终结果． 解：∵，，， 在中，， 如图，延长，交于点G， 在中，，，， ∴， ∵E为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即，， 在中，， ∵， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，四边形中，，，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求四边形的面积及点到线段的距离． 【答案】（1）见分析；（2）120； 【分析】（1）在中，可求得，得出，结合可判定四边形为平行四边形； （2）根据求面积即可，设点到线段的距离为h，先根据勾股定理求出，再利用平行四边形的面积公式列式求解即可． 解：（1）证明：，，， ， ， ， ∵， 四边形为平行四边形； （2）解：四边形为平行四边形，，，且， ． 设点到线段的距离为h， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴，即点到线段的距离为． 【题型 7】二次根式与规律问题 【例题7】（24-25八年级下·江苏泰州·期末）嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程： 等式①：；等式②：； 等式③：；等式④：______________；…… （1）【特例探究】将题目中的横线处补充完整； （2）【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立； （3）【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______． 【答案】（1）；（2），证明见分析；（3） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律． （1）根据前个的规律即可得出答案； （2）根据特例中数字的变化规律分析求解即可，对等式的坐标进行整理，即可求证； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 解：（1）解：由题意得：等式④：； （2）解：若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律为， 证明如下：等式左边右边； （3）解：∵（均为正整数）， ∴，， ∴ ． 【变式1】（24-25七年级下·云南昭通·月考）如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次根式的性质及数字规律，熟练掌握二次根式的性质及数字规律是解题的关键；由题意易得每一行的最后一个数字是，且每一行有个数字，由此问题可求解． 解：由数阵可知：每一行的最后一个数字是，且每一行有个数字， ∴第（是整数，且）行最后一个数是，第一个数字是， ∴从左向右数第个数是； 故选A． 【变式2】（24-25八年级下·河南驻马店·期中）如图，它是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示）______． 【答案】/ 【分析】本题考查了数字类规律探索，根据规律表示出代数式即可，观察发现“数阵将正整数的算术平方根按从小到大的顺序排列，第行从左向右数第个数是，即”的规律是解题的关键． 解：∵观察数阵发现，数阵将正整数的算术平方根按从小到大的顺序排列，第行从左向右数第个数是，即， ∴第（是整数，且）行从左向右数第个数是， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·河南周口·月考）观察下列等式，其中反映了某种规律： ；；，… （1）按照这种规律在括号里填入相应的数：_____，_____； （2）计算：（写出计算过程）； （3）请用含n（n为正整数，且）的等式把你发现的规律表示出来（无需证明）． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】（1）观察等式的规律即可求解； （2）根据二次根式的性质化简即可； （3）结合（1）和（2）的结论，归纳规律表示代数式即可． 解：（1）解：根据规律可得， ； （2）解：． （3）解：结合（1）和（2）的结论，得：． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26八年级下·陕西安康·月考）下列是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二次根式的定义为形如的式子叫做二次根式，其中被开方数a必须是非负数，且根指数为2，根据这一定义，逐一分析选项即可． 解：A项：对于，当时，无意义，不满足二次根式中被开方数是非负数这一条件，所以不一定是二次根式，故A错误； B项：在中，被开方数，不满足二次根式中被开方数是非负数这一条件，所以不是二次根式，故B错误； C项：的根指数是3，而二次根式的根指数是2，所以不是二次根式，故C错误； D项：在中，被开方数，满足二次根式中被开方数是非负数这一条件，且根指数为2，所以是二次根式，故D正确． 2．（2026·云南昆明·一模）若在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式被开方数必须为非负数，列不等式求解即可得到答案． 解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解不等式得． 3．（25-26八年级下·云南昭通·月考）若是整数，则满足条件的自然数n的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题根据二次根式有意义的条件，结合为整数的要求，得出是非负完全平方数，列举所有符合条件的完全平方数，即可得到满足要求的自然数的个数． 解：∵是二次根式， ∴，可得， 又∵是自然数， ∴， ∵是整数， ∴是非负完全平方数，满足条件的可取， 对应得到的值为，均为自然数， ∴满足条件的自然数共有个． 4．（2024·河北张家口·三模）若，则计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质和化简，先根据求出，即可求解． 解：∵ ∴ ∴ 故选：A． 5．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）若，则的取值范围是（    ） A．为全体实数 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数必须为非负数，等式成立需满足等式中所有二次根式的被开方数都符合非负要求，列出不等式组求解即可． 解：等式 成立，等式右侧两个二次根式都要有意义， 根据二次根式有意义的条件，可得不等式组：， 解不等式组得． 6．（25-26八年级下·山东菏泽·期中）若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式和绝对值的性质，利用二次根式性质将原式化简为绝对值形式，再根据绝对值性质列不等式求解即可． 解：∵， ∴， ∴， 解不等式得 ． 7．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如果非零实数a，b满足，那么点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的符号，再利用二次根式的性质化简等式得到的符号，最后根据象限坐标特征判断点的位置． 解：∵二次根式有意义，且为非零实数 ∴ 化简等式左边： ∵， ∴左边 由题意得 ∵，， ∴ 两边同时除以得 ，即 ∵为非零实数， ∴ ∵，，点横坐标为负，纵坐标为正，因此点在第二象限． 8．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，在四边形ABCD中，，四边形ABCD的面积是（    ） A．4 B．6 C．8 D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，解题的关键是正确的分割图形．由于四边形不是规则图形，因此考虑转化为规则图形求解．结合已知条件，连接，利用勾股定理可求出的面积及的长，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，最后根据计算即可． 解：如图，连接， ， ． ， ， ， ， 是直角三角形，且， ． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26八年级下·浙江台州·月考）当时，则二次根式_____． 【答案】1 【分析】将代入二次根式，计算后即可得到结果． 解：依题意，把代入，得． 10．（25-26八年级下·浙江温州·期中）当__________时，二次根式的值是0． 【答案】 【分析】根据二次根式的值为0，可知被开方数为0，据此列一元一次方程求解即可． 解：由题意，得， 两边平方，得． 移项，得， 系数化为1，得， 故答案为：． 11．（25-26八年级下·浙江温州·期中）的值为_____． 【答案】6 解：． 12．（25-26七年级下·天津滨海新区·期中）已知a，b对应的点在数轴上的位置如图所示，那么化简______． 【答案】 【分析】先由图得，则，，再根据绝对值和算术平方根的性质化简即可求解． 解：由图可知，， ∴，， ∴． 故答案为：． 13．（25-26八年级下·山东日照·期中）有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据二次根式与分式有意义的条件列不等式组求解即可． 解：由题意得，要使原式有意义，需满足， 解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集是， 则x的取值范围是． 14．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）若，则的值是______． 【答案】 【分析】根据平方的非负性与绝对值的非负性列出二元一次方程组，求出的值，再根据二次根式的性质得到结果． 解：∵， ， 得： ， ∴， ． 15．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，于点，于点，，．若刚好是的中点，则________． 【答案】 【分析】由题意易得，，则有，设，然后根据勾股定理可进行求解． 解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∵，， ∴， 设， ∵刚好是的中点， ∴， ∴在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴． 16．（25-26八年级下·山东泰安·期中）已知为等腰三角形的两条边长，且满足，则此三角形的周长为__． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义：被开方数为非负数可得x的值，进而求出y的值，然后根据三角形的三边关系进行检验，即可求解周长． 解：由题意可得：， 解得：， ∴， ∴， ∴等腰三角形的三边长分别为2，2，4或4，4，2， ∵，， ∴等腰三角形的三边长分别为2，2，4不成立，三边长为4，4，2成立 ∴周长为． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知，且，为实数，试求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，平方根，根据二次根式和分式有意义的条件得出，的值，代入求值，再由平方根定义即可求解，解题关键是熟练运用二次根式和分式有意义的条件确定字母的值，准确运用平方根的意义求解． 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平方根为． 18．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）5；（2） 【分析】本题考查立方根，以及化简二次根式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先化简二次根式、求立方根，再进行有理数的加减即可； （2）先化简二次根式、求立方根，再进行有理数的加减即可； 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 19．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）观察下列各个等式的规律： ；；；… 请用上述等式反映出的规律解决下列问题： （1）_______，_______； （2）猜想的第个等式：__________（用含的等式表示），并证明． 【答案】（1），；（2），证明见分析 【分析】（1）根据题干找出规律即可； （2）对等号左边被开方数进行通分计算，再根据完全平方公式以及二次根式的性质化简证明即可． 解：（1）解：由；；； 可得；； （2）解：猜想的第个等式：， 证明： ． 20．（25-26八年级下·江西九江·期中）如图，等边三角形中，点在边上，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）根据旋转的性质以及等边三角形的性质证明即可； （2）可得为等边三角形，则，过点作于点，那么，然后根据角的直角三角形的性质以及勾股定理求解即可． 解：（1）证明：∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∵等边三角形 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴； （2）解：∵ ∴为等边三角形， ∴， 过点作于点， ∵等边三角形 ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $