专题 11.2 二次根式的乘除（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2025-2026学年苏科版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 11.2 二次根式的乘除（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】二次根式乘法性质（1） 1 【题型 1】二次根式的乘法运算 2 【知识点二】二次根式乘法性质（2） 3 【题型 2】二次根式的乘法化简 3 【知识点三】二次根式除法性质（1） 4 【题型 3】二次根式的除法运算 5 【知识点四】二次根式除法性质（2） 6 【题型 4】二次根式的除法化简 7 【知识点三】分母有理化 8 【题型 5】分母有理化 9 【知识点四】最简二次根式 10 【题型 6】最简二次根式 11 【题型 7】二次根式的乘除混合运算 13 二.综合培优题型精析 16 【题型 8】二次根式的乘除混合运算 16 【题型 9】二次根式乘除混合运算的应用 18 三.同步检测 23 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 23 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 27 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 29 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】二次根式乘法性质（1） （，）。 即：两个非负数的算术平方根的积，等于这两个数积的算术平方根。 【要点提示】（1）前提条件： 且 ，两个被开方数都必须是非负数，否则等式不成立；（2）易错提示：不能忽略，的条件直接套用公式。 【题型 1】二次根式的乘法运算 【例题1】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）8 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（25-26九年级下·广东汕头·月考）化简的结果是（   ） A．10 B．20 C．40 D． 【答案】B 【分析】运用二次根式乘法法则化简计算即可得到结果． 解： 因此化简结果为． 【变式2】（2015·广西河池·中考真题）计算：______． 【答案】 解：． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算二次根式的乘法以及化简二次根式，即可解答； （2）先计算二次根式的乘法以及化简二次根式，即可解答． 解：（1）解：； （2）解：． 【知识点二】二次根式乘法性质（2） 反过来：（，）。 即：积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积。 【要点提示】（1）前提条件： 且 ，两个被开方数都必须是非负数，是该逆用公式成立的必要条件；（2）运算功能：积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积，常用于二次根式的化简，可将被开方数中能开得尽方的因式分解出来；（3）易错提示：不能忽略条件直接套用。 【题型 2】二次根式的乘法化简 【例题2】（25-26八年级下·全国·课后作业）化简： （1）． （2）（，）． 【答案】（1）120；（2） 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的乘除法，掌握相应的运算法则是关键． 可根据二次根式的乘法法则进行化简． 解：（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）化简二次根式的结果为（   ） A． B． C． D．6 【答案】B 解：原式 【变式2】（25-26八年级下·江西赣州·期中）若，用含的式子表示为___________． 【答案】 解：． 【变式3】（25-26九年级上·全国·单元复习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查二次根式的乘除法，掌握运算法则是解题的关键． （1）分别将系数相乘，根号下的数相乘，再开方，最后再相乘即可； （2）将二次根式的系数和被开方数分别相乘，然后开方，再相乘即可． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 【知识点三】二次根式除法性质（1） 。 即：两个非负数的算术平方根的商，等于这两个数商的算术平方根。 【要点提示】（1）前提条件：被开方数 且 ，否则等式不成立；（2）易错提示：不能忽略，的条件直接套用公式。 【题型 3】二次根式的除法运算 【例题3】（25-26八年级下·全国·单元测试）计算下列各式： （1） （2） （3） 【答案】（1）3；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次根式的除法运算． （1）直接计算二次根式的除法即可； （2）直接计算二次根式的除法即可； （3）直接计算二次根式的除法即可． 解：（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【变式1】（25-26九年级下·湖南衡阳·开学考试）计算：（   ） A． B． C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据二次根式除法法则：计算即可． 解：． 【变式2】（24-25八年级上·上海·期中）计算：__________． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的除法运算，根据二次根式的除法运算法则进行计算即可． 解： ． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）． （2）． 【答案】（1）（2） 【分析】此题主要考查了二次根式的除法运算，正确化简二次根式是解题关键． （1）（2）利用二次根式的除法法则计算即可． 解：（1）解：原式． （2）解：原式． 【知识点四】二次根式除法性质（2） 反过来： 即：商的算术平方根，等于各因式算术平方根的商。 【要点提示】（1）前提条件： 且 ，被开方数的分子非负、分母为正数（分母不能为 0，且需保证二次根式和分式均有意义）；（2）运算功能：商的算术平方根，等于分子算术平方根与分母算术平方根的商，常用于二次根式的化简（3）易错提示：不能忽略条件直接套用。 【题型 4】二次根式的除法化简 【例题4】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： （1）． （2）． 【答案】（1）；（2）1 【分析】本题考查了二次根式的除法运算． （1）先根据二次根式的性质化简，再计算二次根式的除法即可； （2）根据二次根式的除法运算法则计算即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式各项利用二次根式的乘除法则计算得到结果，即可做出判断． 解：∵ 在实数范围内，平方根的被开方数必须大于等于0. A、，成立，符合题意； B、，但右边无意义，不成立，不符合题意； C、和无意义，不成立，不符合题意； D、，不成立，不符合题意； 故选：A. 【变式2】（24-25八年级下·全国·课后作业）化简的结果是__________． 【答案】 【分析】利用二次根式的除法运算，乘法运算，性质化简即可． 本题考查了二次根式的性质，二次根式乘法运算，除法运算，熟练掌握性质和运算是解题的关键． 解： 由，根据题意，得， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·全国·单元测试）化简∶ （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查二次根式的化简： （1）分数化成假分数，再根据二次根式的性质化简即可； （2）根据二次根式的性质化简即可． 解：（1）原式； （2）原式． 【知识点三】分母有理化 当一个式子的分母中有根号时，分子、分母都乘适当的数或式，可以使分母中不含有根号，这种使分母中不含根号的方法称为分母有理化。 【要点提示】（1）有理化时，分子和分母要同时乘同一个式子，不能只乘分母；（2）乘的有理化因式不能为0，否则分式无意义；（3）有理化后要检查结果是否还能继续化简，确保最终结果是最简二次根式。 【题型 5】分母有理化 【例题5】（2026·上海普陀·二模）计算：． 【答案】． 【分析】通过分母有理化，负整数指数幂，绝对值的意义，分数指数幂化简，再合并即可． 解： ． 【变式1】（25-26九年级下·江苏盐城·期中）已知，，则和的关系是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对进行分母有理化化简，再将化简结果与比较，即可得到和的关系． 解： ， 又∵， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·河北张家口·月考）分母有理化：_________，__________． 【答案】 / / 【分析】本题主要考查二次根式的化简，当分母为含有二次根式的多项式时，可利用平方差公式进行“分母有理化”，掌握此方法是解此题的关键． 根据二次根式的性质，分数的基本性质，利用平方差公式消除分母中的根号，即可求解． 解：对于，分子和分母同乘以， 得； 对于，分子和分母同乘以， 得； 故答案为：；． 【变式3】（2026·福建泉州·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值． 解： ， 当时， 原式． 【知识点四】最简二次根式 一般地，如果一个二次根式满足： （1）被开方数中不含分母； （2）被开方数写成乘积形式时，不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫作最简二次根式。 【要点提示】最简二次根式构成条件（1）被开方数不能是分数、小数，杜绝分母形式。（2）被开方数的因数、因式不能完全开方，无平方数、平方因式。（3）化简二次根式的最终结果，必须化为最简二次根式。 【题型 6】最简二次根式 【例题6】（25-26八年级下·全国·单元复习）判断下列二次根式是否是最简二次根式，如果不是，请化成最简二次根式． ①    ②   ③   ④ 【答案】见分析 【分析】本题考查的是二次根式的化简、掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据题意判断即可． 解：①不是最简二次根式，； ②是最简二次根式； ③，被开方数含有分母，不是最简二次根式，； ④不是最简二次根式，． 【变式1】（25-26七年级下·上海·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】最简二次根式需满足：被开方数的因数是整数，字母因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，据此对各选项逐一判断即可． 解：A．∵， ∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B．∵， ∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C．∵， ∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D．∵满足最简二次根式的两个条件， ∴是最简二次根式，故此选项符合题意． 【变式2】（25-26八年级上·浙江·寒假作业）下列说法中正确的是________．（填序号） ①若，则等于； ②使是正整数的最小整数是； ③是最简二次根式； 【答案】② 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除运算法则，最简二次根式的定义，熟练进行二次根式的运算是解题的关键．利用二次根式的乘除运算法则，最简二次根式的定义分析即可得出答案． 解：①∵，∴，故①说法错误； ②，要使为正整数，则需为整数，即为完全平方数，最小整数（此时，），故②说法正确； ③，被开方数含分母，不是最简二次根式，故③说法错误． 故答案为：②． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）判断下列二次根式是不是最简二次根式．若不是，请化简． ，，，，． 【答案】见分析 【分析】本题考查的是二次根式的化简、掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据题意判断即可． 解：是最简二次根式； 不是最简二次根式，化简为； 是最简二次根式； 不是最简二次根式，化简为； 不是最简二次根式，化简为． 【题型 7】二次根式的乘除混合运算 【例题7】（25-26八年级下·广西崇左·月考）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5） 【分析】本题各小题根据二次根式的乘法和除法运算法则进行解答即可． 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 【变式1】（25-26八年级下·甘肃陇南·期中）在图示的方格中，横向、纵向及对角线方向上的三个实数相乘得出的结果都一样，则两个空格中的实数之积为（   ） 1 3 2 6 A． B． C．6 D． 【答案】C 【分析】先根据已知完整行的三个数，求出所有横向纵向对角线的共同乘积，再分别计算两个空格内的实数，最后计算两实数的乘积，用到二次根式的乘除运算． 解：∵横向三个数乘积相同，第二行三个数已知完整， ∴所有方向的共同乘积为 ， 设第一行第三格的数为a，第三行第一格的数为b， ∵第一行乘积等于共同乘积， ∴， 解得：， ∵第三行乘积等于共同乘积， ∴， 解得：， ∴两个空格中的实数之积为． 【变式2】（24-25八年级下·全国·课后作业）化简的结果为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除，熟练掌握二次根式的乘除法的法则，二次根式的性质，是解题的关键． 将除法转化为乘法，利用二次根式的乘法法则和性质简化即可． 解：原式 ． 故答案为 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，解题的关键是掌握运算顺序和运算法则． （1）先化简，再根据二次根式乘除法法则计算即可得答案； （2）先化简各二次根式、将除法转化为乘法，再计算乘法即可； （3）先将二次根式化简，然后计算乘除法即可． 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 二.综合培优题型精析 【题型 8】二次根式的乘除混合运算 【例题8】（25-26八年级下·全国·课后作业）化简：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算与分母有理化，解题关键是通过完全平方公式、分母有理化简化式子，逐步计算得出结果． 先将除法转化为乘法，再通过分母有理化化简式子，逐步计算得出结果． 解：原式 ． 【变式1】（25-26八年级上·湖南郴州·期中）已知矩形的长为，面积为，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．由矩形的长为，面积为，得矩形的另一边长为，再比较长和宽的大小，确定正方形的最大边长，进而计算面积． 解：矩形的长为 ，面积为 ， 矩形的宽为 ， ，，， ， 正方形的最大边长为矩形的宽 ， 正方形的最大面积为 ， 故选：C． 【变式2】（2025九年级上·湖南衡阳·竞赛）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设，得，记，……，．则________． 【答案】15 【分析】本题考查的是数字的变化规律，以及二次根式的混合运算，根据，，可计算出，因此． 解：∵，， ， ， 故答案为：15． 【变式3】（25-26八年级上·上海黄浦·期中）计算：（）． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘除混合运算；根据二次根式的乘除混合运算法则进行计算即可． 解： ． 【题型 9】二次根式乘除混合运算的应用 【例题9】（25-26八年级下·天津红桥·期中）如图，在中，，，连接，恰有，过点作于点．动点从点出发沿线段以的速度向终点运动，同时点从点出发，以的速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点的运动时间为． （1）求和的长度； （2）当为何值时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形． 【答案】（1），；（2）的值为2或4 【分析】（1）求出，则，利用勾股定理可得，由平行四边形的性质和平行线的性质得到，则，据此利用勾股定理求出的长即可； （2）由，可知和是该平行四边形的一组对边，则，据此建立方程求解即可． 解：（1）解：由题意知，， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，； （2）解：∵， ∴，， ∴， ∴当以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，和是该平行四边形的一组对边， ∴， 由题意知，两点停止运动的时间为，， 当时，， ∴， 解得； 当时， ， ∴， 解得； 综上所述，当的值为2或4时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形． 【变式1】（2026·安徽阜阳·一模）如图，在中，，，于点，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，进而利用勾股定理求出，即可得解． 解：，， ， ， ， ． 【变式2】（2026·贵州·模拟预测）如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点D，E，再分别以D，E为圆心，大于的长分别为半径画弧，两弧交于点F，作射线交于点G，若，，则的面积为______． 【答案】 【分析】可求出，由作图方法可知，平分，则，据此可求出的长，由，可得，据此可得答案． 解：∵， ∴， ∵， ∴； 由作图方法可知，平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·四川自贡·月考）综合与实践：如图，在四边形中，，，． 【初步感知】 （1）求证：为等边三角形； （2）如图1，连接，求的长； （3）【深入探究】如图2，点F是上一点，连接，若平分，求的长． 【答案】（1）证明见分析；（2）；（3）． 【分析】本题主要考查了勾股定理、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握这些判定和性质是解此题的关键． （1）先根据勾股定理求出，结合，得出，即可证明为等边三角形； （2）如图1，连接，与相交于点，证明为的垂直平分线，得出，在中，勾股定理求出，在中，勾股定理求出，即可解答． （3）如图2，过点分别作的垂线，垂足分别为，根据角平分线的性质定理得出，证明，得出，则，从而得，根据等腰三角形的性质得出，再根据勾股定理求解即可． 解：（1）解：证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴为等边三角形； （2）如图1，连接，与相交于点， ∵， ∴为的垂直平分线， ∴， 在中，， 在中，， ∴； （3）如图2，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵平分， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）下列二次根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】最简二次根式需满足两个条件，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断选项即可得到答案． 解：对选项A：，被开方数含能开得尽方的因数，∴不是最简二次根式，不符合题意； 对选项B：，被开方数含有分母，∴不是最简二次根式，不符合题意； 对选项C：的被开方数，不含分母，也不含能开得尽方的因数，∴是最简二次根式，符合题意； 对选项D：，被开方数含有分母，∴不是最简二次根式，不符合题意． 2．（25-26七年级下·重庆·期中）下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查立方根与算术平方根的运算，根据根式的运算性质，分别计算各选项即可得到答案． 解：对选项A： ，∴A错误． 对选项B： ，∴B错误． 对选项C：是16的算术平方根，结果为 ，∴C错误． 对选项D：，∴D正确． 3．（25-26八年级下·新疆阿克苏·期中）的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式除法性质拆分计算，即可求解． 解： ． 4．（24-25八年级下·全国·课后作业）若，则化简所得结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的乘除法，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题型． 根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案． 解：原式， 故选：C． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）将分母有理化的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 解： 对进行分母有理化，需给分子分母同乘， ． 6．（25-26八年级下·新疆喀什·月考）若最简二次根式和能合并，则x的值为（    ） A．12 B．34 C．2 D．5 【答案】C 【分析】能合并的最简二次根式是同类二次根式，同类二次根式的被开方数相等，据此列一元一次方程求解即可． 解：∵最简二次根式和能合并 ∴二者是同类二次根式，被开方数相等 列方程得 移项得 化简得 解得 当时， 和是最简二次根式，符合题意． 7．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，在中，与相交于O，，，，则的周长为（    ） A．25 B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用勾股定理的逆定理求得是直角三角形，再在中，利用勾股定理求得，据此计算即可求解． 解：∵， ∴，，， 在中，， ∴， ∴是直角三角形且， 在中，， ∴的周长为． 8．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点，为正方形的对角线，且，则k、b的值分别是（   ） A．，2 B．， C．1，2 D．1， 【答案】A 【分析】利用正方形的性质和勾股定理，求出，从而得到点、的坐标，再利用待定系数法求解即可． 解：为正方形的对角线，且， ，， ， ， ，， 将点，代入得， ，解得：． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26八年级下·甘肃临夏·期中）若是最简二次根式，请写出一个符合条件的m的值：________． 【答案】2 【分析】根据最简二次根式的定义，被开方数需为非负数，且不含能开得尽方的因数，据此求解即可． 解：∵是最简二次根式， ∴被开方数的值需为不含完全平方因数的正整数， ∴可令， 解得（答案不唯一）． 10．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）分母有理化：________． 【答案】 【分析】找出原式分母的有理化因式，将分子与分母同乘该有理化因式，再利用平方差公式化简分母，整理后得到结果． 解： ． 11．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）计算：__________． 【答案】 【分析】本题考查根式的运算，根据直接求解化为最简二次根式即可得到答案； 解：， 故答案为：． 12．（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期中）计算：_____________． 【答案】8 解： ． 13．（25-26八年级下·湖南益阳·期末）计算______． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的乘除运算，根据二次根式的乘除运算法则求解即可． 解： ． 故答案为：． 14．（25-26八年级下·天津北辰·期中）计算________． 【答案】 解：． 15．（25-26八年级下·湖南湘西·月考）已知，，则与的关系为________． 【答案】 【分析】将进行化简得，可判断． 解：， 又， ∴． 16．（25-26八年级下·甘肃白银·期中）如图，在中，，垂直平分，若，，则的长为_____． 【答案】 【分析】先结合勾股定理得，又因为垂直平分，得，，最后由勾股定理列式计算，即可作答． 解：∵，，， ∴， ∵垂直平分， ∴， 则， ∴． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）0；（2） 【分析】（1）根据二次根式的加减法法则计算； （2）根据平方差公式计算． 解：（1）解： ； （2）解： ． 18．（25-26八年级下·山东德州·月考）已知x、y为实数，且，求的值． 【答案】 解：由题意得，， 解得， ∴， ∵， ∴原式． 19．（25-26七年级下·贵州遵义·月考）【阅读材料】 小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】 （1）请你仿照小明的方法将化成另一个式子的平方； （2）请运用小明的方法化简：； 【变式探究】 （3）若，且a，m，n均为正整数，求a的值． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】根据题目给的方法，用完全平方公式以及二次根式的性质进行化简即可． 解：（1）解：； （2）解：， ； （3）解：， 则，， ①则或 则， ②则或 则， 或． 20．（25-26八年级上·甘肃白银·月考）小明在探究二次根式时发现了下列两个有趣的变形： （一）一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如： ； ． （二）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： ； ． 请解答下列问题： （1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果． ①______；②_____． （2）应用：求的值． （3）拓展：直接写出的值． 【答案】（1）①；②；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了分母有理化，化简二次根式，熟知二次根式的相关知识是解题的关键． （1）①仿照题意进行分母有理化即可；②仿照题意进行化简二次根式即可； （2）可证明（n为正整数），据此把所求式子裂项求解即可； （3）仿照题意把式子式子中的每一项的分母先化简二次根式，再把对应项分母有理化即可得到答案． 解：（1）解：①； ②； （2）解：∵（n为正整数） ， ∴ ． （3）解： ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 11.2 二次根式的乘除（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】二次根式乘法性质（1） 1 【题型 1】二次根式的乘法运算 1 【知识点二】二次根式乘法性质（2） 2 【题型 2】二次根式的乘法化简 2 【知识点三】二次根式除法性质（1） 2 【题型 3】二次根式的除法运算 3 【知识点四】二次根式除法性质（2） 3 【题型 4】二次根式的除法化简 3 【知识点三】分母有理化 4 【题型 5】分母有理化 4 【知识点四】最简二次根式 4 【题型 6】最简二次根式 5 【题型 7】二次根式的乘除混合运算 5 二.综合培优题型精析 6 【题型 8】二次根式的乘除混合运算 6 【题型 9】二次根式乘除混合运算的应用 6 三.同步检测 8 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 8 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 9 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】二次根式乘法性质（1） （，）。 即：两个非负数的算术平方根的积，等于这两个数积的算术平方根。 【要点提示】（1）前提条件： 且 ，两个被开方数都必须是非负数，否则等式不成立；（2）易错提示：不能忽略，的条件直接套用公式。 【题型 1】二次根式的乘法运算 【例题1】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【变式1】（25-26九年级下·广东汕头·月考）化简的结果是（   ） A．10 B．20 C．40 D． 【变式2】（2015·广西河池·中考真题）计算：______． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【知识点二】二次根式乘法性质（2） 反过来：（，）。 即：积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积。 【要点提示】（1）前提条件： 且 ，两个被开方数都必须是非负数，是该逆用公式成立的必要条件；（2）运算功能：积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积，常用于二次根式的化简，可将被开方数中能开得尽方的因式分解出来；（3）易错提示：不能忽略条件直接套用。 【题型 2】二次根式的乘法化简 【例题2】（25-26八年级下·全国·课后作业）化简： （1）． （2）（，）． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）化简二次根式的结果为（   ） A． B． C． D．6 【变式2】（25-26八年级下·江西赣州·期中）若，用含的式子表示为___________． 【变式3】（25-26九年级上·全国·单元复习）计算： （1）； （2）． 【知识点三】二次根式除法性质（1） 。 即：两个非负数的算术平方根的商，等于这两个数商的算术平方根。 【要点提示】（1）前提条件：被开方数 且 ，否则等式不成立；（2）易错提示：不能忽略，的条件直接套用公式。 【题型 3】二次根式的除法运算 【例题3】（25-26八年级下·全国·单元测试）计算下列各式： （1） （2） （3） 【变式1】（25-26九年级下·湖南衡阳·开学考试）计算：（   ） A． B． C．3 D．2 【变式2】（24-25八年级上·上海·期中）计算：__________． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）． （2）． 【知识点四】二次根式除法性质（2） 反过来： 即：商的算术平方根，等于各因式算术平方根的商。 【要点提示】（1）前提条件： 且 ，被开方数的分子非负、分母为正数（分母不能为 0，且需保证二次根式和分式均有意义）；（2）运算功能：商的算术平方根，等于分子算术平方根与分母算术平方根的商，常用于二次根式的化简（3）易错提示：不能忽略条件直接套用。 【题型 4】二次根式的除法化简 【例题4】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： （1）． （2）． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·全国·课后作业）化简的结果是__________． 【变式3】（24-25八年级上·全国·单元测试）化简∶ （1）； （2）． 【知识点三】分母有理化 当一个式子的分母中有根号时，分子、分母都乘适当的数或式，可以使分母中不含有根号，这种使分母中不含根号的方法称为分母有理化。 【要点提示】（1）有理化时，分子和分母要同时乘同一个式子，不能只乘分母；（2）乘的有理化因式不能为0，否则分式无意义；（3）有理化后要检查结果是否还能继续化简，确保最终结果是最简二次根式。 【题型 5】分母有理化 【例题5】（2026·上海普陀·二模）计算：． 【变式1】（25-26九年级下·江苏盐城·期中）已知，，则和的关系是（） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·河北张家口·月考）分母有理化：_________，__________． 【变式3】（2026·福建泉州·一模）先化简，再求值：，其中． 【知识点四】最简二次根式 一般地，如果一个二次根式满足： （1）被开方数中不含分母； （2）被开方数写成乘积形式时，不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫作最简二次根式。 【要点提示】最简二次根式构成条件（1）被开方数不能是分数、小数，杜绝分母形式。（2）被开方数的因数、因式不能完全开方，无平方数、平方因式。（3）化简二次根式的最终结果，必须化为最简二次根式。 【题型 6】最简二次根式 【例题6】（25-26八年级下·全国·单元复习）判断下列二次根式是否是最简二次根式，如果不是，请化成最简二次根式． ①    ②   ③   ④ 【变式1】（25-26七年级下·上海·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·浙江·寒假作业）下列说法中正确的是________．（填序号） ①若，则等于； ②使是正整数的最小整数是； ③是最简二次根式； 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）判断下列二次根式是不是最简二次根式．若不是，请化简． ，，，，． 【题型 7】二次根式的乘除混合运算 【例题7】（25-26八年级下·广西崇左·月考）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【变式1】（25-26八年级下·甘肃陇南·期中）在图示的方格中，横向、纵向及对角线方向上的三个实数相乘得出的结果都一样，则两个空格中的实数之积为（   ） 1 3 2 6 A． B． C．6 D． 【变式2】（24-25八年级下·全国·课后作业）化简的结果为__________． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）． 二.综合培优题型精析 【题型 8】二次根式的乘除混合运算 【例题8】（25-26八年级下·全国·课后作业）化简：． 【变式1】（25-26八年级上·湖南郴州·期中）已知矩形的长为，面积为，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025九年级上·湖南衡阳·竞赛）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设，得，记，……，．则________． 【变式3】（25-26八年级上·上海黄浦·期中）计算：（）． 【题型 9】二次根式乘除混合运算的应用 【例题9】（25-26八年级下·天津红桥·期中）如图，在中，，，连接，恰有，过点作于点．动点从点出发沿线段以的速度向终点运动，同时点从点出发，以的速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点的运动时间为． （1）求和的长度； （2）当为何值时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形． 【变式1】（2026·安徽阜阳·一模）如图，在中，，，于点，则的长是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·贵州·模拟预测）如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点D，E，再分别以D，E为圆心，大于的长分别为半径画弧，两弧交于点F，作射线交于点G，若，，则的面积为______． 【变式3】（25-26八年级下·四川自贡·月考）综合与实践：如图，在四边形中，，，． 【初步感知】 （1）求证：为等边三角形； （2）如图1，连接，求的长； （3）【深入探究】如图2，点F是上一点，连接，若平分，求的长． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）下列二次根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·重庆·期中）下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·新疆阿克苏·期中）的结果是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·全国·课后作业）若，则化简所得结果为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）将分母有理化的结果为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·新疆喀什·月考）若最简二次根式和能合并，则x的值为（    ） A．12 B．34 C．2 D．5 7．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，在中，与相交于O，，，，则的周长为（    ） A．25 B． C． D． 8．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点，为正方形的对角线，且，则k、b的值分别是（   ） A．，2 B．， C．1，2 D．1， （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26八年级下·甘肃临夏·期中）若是最简二次根式，请写出一个符合条件的m的值：________． 10．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）分母有理化：________． 11．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）计算：__________． 12．（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期中）计算：_____________． 13．（25-26八年级下·湖南益阳·期末）计算______． 14．（25-26八年级下·天津北辰·期中）计算________． 15．（25-26八年级下·湖南湘西·月考）已知，，则与的关系为________． 16．（25-26八年级下·甘肃白银·期中）如图，在中，，垂直平分，若，，则的长为_____． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）计算： （1） （2） 18．（25-26八年级下·山东德州·月考）已知x、y为实数，且，求的值． 19．（25-26七年级下·贵州遵义·月考）【阅读材料】 小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】 （1）请你仿照小明的方法将化成另一个式子的平方； （2）请运用小明的方法化简：； 【变式探究】 （3）若，且a，m，n均为正整数，求a的值． 20．（25-26八年级上·甘肃白银·月考）小明在探究二次根式时发现了下列两个有趣的变形： （一）一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如： ； ． （二）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： ； ． 请解答下列问题： （1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果． ①______；②_____． （2）应用：求的值． （3）拓展：直接写出的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $