天津市蓟州区2025-2026学年第二学期期中练习高一数学试卷

**基本信息** 融合智能物流车向量应用、《九章算术》“阳马”等科技与文化情境，覆盖复数、向量、解三角形、立体几何等高一核心知识，通过基础运算与综合证明考查数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|9/36|复数运算（题1）、向量共线（题2）、解三角形（题3）、线面关系（题5）|结合盘山测量情境（题20）考查正弦定理应用| |填空题|6/24|向量模与数量积（题11、13）、立体几何双空题（题14异面直线成角与二面角）|张衡圆周率结论求外接球表面积（题15）体现文化传承| |解答题|5/60|复数分类（题16）、解三角形综合（题17）、四棱锥线面证明与线面角（题19）|智能物流车向量模计算（题8）关联实际配送效率等级|

蓟州区2025～2026学年度第二学期期中练习 高一数学 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 一．选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．（　　） A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i 2．已知，，若与共线，则（　　） A．﹣5 B．﹣2 C．2 D．5 3．在△ABC中，满足，则A＝（　　） A．150° B．30°或150° C．120° D．60°或120° 4．已知平面向量，则向量在向量上的投影向量为（　　） A．（6，﹣3） B．（-4，2） C．（2，﹣1） D．（5，0） 5．设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，下列命题中正确的是（　　） A．若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ B．若α⊥β，m∥α，n⊥β，则m⊥n C．若l∥m，且m⊥α，则l⊥α D．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β 6．如图，平行四边形O′A′B′C′是水平放置的四边形OABC的直观图， O'C'＝2，，则四边形OABC的面积S＝（　　） A． B． C． D． 7．已知三棱锥D﹣ABC的所有棱长都是，则该三棱锥的外接球的表面积为（　　） A． B．6π C． D． 8．某智能物流车的“实际配送向量”“规划路线向量”“交通拥堵修正向量”满足关系式：D＝23．已知条件如下：实际配送向量（12，8），交通拥堵修正向量与向量（2，﹣2）垂直，||＝2，配送效率等级通过“规划路线向量的模（单位：km）”判定，标准如表（一般情况下，认定“停滞”属于无效配送）： 配送效率等级 超高效 高效 常规 低效 停滞 模的范围 0.0﹣2.0 2.1﹣4.0 4.1﹣6.0 6.1﹣8.0 ＞8.0 若此次配送为有效配送，则此次配送的效率等级为（　　） A．超高效 B．高效 C．常规 D．低效 9．中国古代数学专著《九章算术》中对两类空间几何体有这样的记载：①“堑堵”，即底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；②“阳马”，即底面为矩形，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥。现有一“堑堵”ABC﹣A1B1C1，如图所示，AC⊥BC，AA1=2AC＝4，则其中“阳马”B﹣A1ACC1与“堑堵”ABC﹣A1B1C1的体积之比为（　　） A．1：4 B．1：2 C．2：3 D．4：5 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分．） 10．若复数z＝（1+i）（2-3i），则|z|＝　 　 ． 11．已知平面向量，的夹角为，，则　 　 ． 12．在△ABC中，已知AB＝2，，∠ABC＝120°，则BC＝　 　 ． 13．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为BC中点，则　 　 ． 14．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝3，AA1＝4，则异面直线AD1与A1C1所成角的余弦值为 　 　 ；二面角D1﹣AB﹣C的正弦值为 　 　 ． 15．张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五．已知三棱锥A﹣BCD的每个顶点都在球O的球面上，AB⊥底面BCD，BC⊥CD，且AB＝CD，BC＝2，利用张衡的结论可得球O的表面积为 　 　 ． 三．解答题（本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16．（10分）当实数m取何值时，复数z＝（m2﹣m﹣6）+（m2﹣4m）i满足： （1）z为实数； （2）z为纯虚数； （3）z在复平面内对应的点在第四象限． 17．（12分）已知三角形ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，，c＝3． （1）求角B的大小； （2）求sinA的值； （3）求sin（A+B）的值． 18．（12分）在平面直角坐标系中，M（﹣2，1），N（﹣3，2），P（﹣1，4），设． （1）若，求m的值； （2）若向量满足，且，求向量的坐标． 19．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD中点． （1）证明：PB∥平面ACM； （2）证明：AD⊥平面PAC； （3）求直线AM与平面ABCD所成角的余弦值． 20．（13分）盘山是中国著名的5A级景区，它有五大主峰。以主峰挂月峰为中心，其余四峰（紫盖峰、自来峰、九华峰、舞剑峰）环绕，合称“五峰攒簇”。如图，工作人员要测量舞剑峰M，九华峰N之间的距离，P，G，M，N四点在同一铅锤平面内，飞机沿水平方向在P，G两点进行测量，途中在点P测得∠GPM＝75°，∠GPN＝30°，在点G测得∠PGM＝45°，∠MGN＝75°，测得． （1）求点P和点M之间的距离； （2）求两主峰M，N间的距离． 蓟州区2025~2026学年度第二学期期中练习 高一数学参考答案 一．选择题（共9小题，满分36分，每小题4分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 D C A B C B D B C 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分，试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分．） 10． 11．2 12．3 13． 14．； 15．． 三．解答题（共5小题，满分60分） 16．解：（1）若z＝（m2﹣m﹣6）+（m2﹣4m）i为实数，则m2﹣4m=0……1分 解得：m＝0或m＝4；……3分 （2）若z＝（m2﹣m﹣6）+（m2﹣4m）i为纯虚数，则，……4分 解得：m＝﹣2或m＝3；……6分 （3）若z＝（m2﹣m﹣6）+（m2﹣4m）i在复平面内对应的点在第四象限， 则，……7分 即，解得，……8分 解得3＜m＜4，……9分 故m的取值范围为（3，4）．……10分 17．解：（1）因为a＝2，，c＝3， 所以，……2分 又B∈（0，π），所以；……4分 （2）由（1）知，……5分 利用正弦定理可得；……6分 （3）由a＜b， 可得A＜B，可得A为锐角，……7分 故=，……8分 可得sin（A+B） ……9分 ……10分 ．……12分 18．解：（1）M（﹣2，1），N（﹣3，2），P（﹣1，4）， ，……2分 则，……4分 所以，得m＝﹣1；……6分 （2）设，则，即x2+y2＝36，……7分 因为，……8分 ，所以2x＝2y，即x＝y，……10分 故或，……11分 故向量的坐标为或．……12分 19．（1）证明：连接BD，OM，因为底面ABCD为平行四边形， O为AC中点，故BD与AC相交于O， 因为M为PD的中点，则OM∥PB，……2分 因为OM⊂平面ACM，PB⊄平面ACM，……3分 所以PB∥平面ACM；……4分 （2）证明：因为∠ADC＝45°，AD＝AC＝1， 由余弦定理得， 即，解得，……5分 因为AD2+AC2＝CD2，所以AD⊥AC，……6分 因为PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PO⊥AD，……7分 因为AC，PO⊂平面PAC，AC∩PO＝O， 所以AD⊥平面PAC；……8分 （3）解：取OD的中点N，连接MN，AN，则MN∥OP， 因为PO⊥平面ABCD，所以MN⊥平面ABCD，……9分 则∠MAN为直线AM与平面ABCD所成角，……10分 其中PO＝2，故， 因为AD⊥AC，， 由勾股定理得， 故，……11分 由勾股定理得， 所以，……12分 即直线AM与平面ABCD所成角的余弦值为．……13分 20．解：（1）根据题意得，∠GPM＝75°，∠PGM＝45°， 所以∠PMG＝60°，……2分 在△PMG中，根据正弦定理，……4分 得，解得PM2km．……6分 （2）在△PNG中，∠PNG＝30°，∠PGN＝120°， 由正弦定理得，解得，……8分 在△PNM中，∠MPN＝∠GPM﹣∠GPN＝45°，……10分 由余弦定理得MN2＝PM2+PN2﹣2PM•PN•cos∠MPN ，解得，……12分 综上所述，两主峰M、N之间的距离为．明：试题解析 4 高一数学 第4页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $