精品解析：天津市东丽区北洋嘉恒高级中学2025-2026学年高一年级下学期5月期中质量调查数学试题

天津北洋嘉恒高级中学2025-2026学年度高一年级第二学期 期中质量调查数学试题 注意事项： 1.本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共120分，考试用时100分钟． 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考生号、考场号和座位号等信息填写在答题卡上．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷、草稿纸、或其它非答题区域的无效．考试结束后，将试卷、草稿纸和答题卡一并交回． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1. 已知复数，则在复平面内对应的点为（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题正确的是（ ） A. 单位向量都相等 B. 任一向量与它的相反向量不相等 C. 平行向量不一定是共线向量 D. 零向量与任意非零向量共线 3. 在中，角，，的对边分别为，，.若，，，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 4. 下列命题正确的是（ ）． A. 平行六面体的侧面是全等的平行四边形 B. 正棱锥的侧面是等边三角形 C. 有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 D. 有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 5. 记的内角，，的对边分别是，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方体中，异面直线与所成的角是（ ） A. B. C. D. 7. 在空间中，若直线平面，直线平面，则与（ ） A. 相交 B. 平行 C. 是异面直线 D. 可能平行，也可能是异面直线 8. 已知单位向量与单位向量的夹角为45°，则（ ） A. 2 B. C. D. 1 9. 已知非零向量满足，与夹角的余弦值为，若则实数（ ） A. B. C. 1 D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题 10. 已知复数 ，则 _______. 11. 如图，平行四边形ABCD中，，，M是的中点，以为基底表示向量________ 12. 水平放置的，用斜二测画法得到直观图，如图所示，若，则的面积等于______． 13. 已知一个圆锥的母线长为4，侧面积，则此圆锥的底面半径为____________． 14. 如图所示，在直三棱柱中，，.则异面直线，所成角的大小是______. 15. 在等腰梯形 中,已知 ,动点 和 分别在线段 和 上,且, 则的最小值为_____________________. 三、解答题 16. 已知向量.求： （1）； （2）； （3）若，求实数的值. 17. 已知复数，其中． （1）若z是实数，求实数m的值； （2）若z是纯虚数，求实数m的值； （3）若z在复平面内对应的点在第四象限，求实数m的取值范围． 18. 如图，已知直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，分别为的中点. （1）求三棱锥的表面积； （2）求三棱锥的体积； （3）求证：四点共面. 19. 在，角所对的边分别为，已知，． （1）求a的值； （2）求的值； （3）求的值． 20. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，，且 （1）求角A； （2）若，的面积为，求的周长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津北洋嘉恒高级中学2025-2026学年度高一年级第二学期 期中质量调查数学试题 注意事项： 1.本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共120分，考试用时100分钟． 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考生号、考场号和座位号等信息填写在答题卡上．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷、草稿纸、或其它非答题区域的无效．考试结束后，将试卷、草稿纸和答题卡一并交回． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1. 已知复数，则在复平面内对应的点为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用共轭复数的定义结合复数的几何意义可得结果. 【详解】因为，则，故在复平面内对应的点为. 2. 下列命题正确的是（ ） A. 单位向量都相等 B. 任一向量与它的相反向量不相等 C. 平行向量不一定是共线向量 D. 零向量与任意非零向量共线 【答案】D 【解析】 【详解】对于A：单位向量大小相等，但方向不一定相同，故单位向量不一定相等，故A错误； 对于B：零向量与它的相反向量相等，故B错误； 对于C：平行向量一定是共线向量，故C错误； 对于D：零向量与任意非零向量共线，故D正确. 3. 在中，角，，的对边分别为，，.若，，，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】由正弦定理得，解得. 4. 下列命题正确的是（ ）． A. 平行六面体的侧面是全等的平行四边形 B. 正棱锥的侧面是等边三角形 C. 有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 D. 有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 【答案】C 【解析】 【分析】分析各选项中几何体的特征与定义是否相符来判断对错，并确定正确选项. 【详解】在A选项中，平行六面体的侧面都是平行四边形，但侧棱仅长度相等， 底面平行四边形的邻边不一定相等，因此侧面不一定全等，A错误， 在B选项中，正棱锥的底面是正多边形、顶点在底面的投影是底面中心， 侧面都是全等的等腰三角形，只有侧棱长等于底面边长时侧面才是等边三角形， 并非所有正棱锥的侧面都是等边三角形，B错误， 在C选项中，根据棱锥的定义，棱锥仅存在一个多边形面，其余面都是共顶点的三角形， 若一个棱锥有一个面是平行四边形（四边形），这个面就是棱锥的底面，对应有4个侧面， 因此一定是四棱锥，C正确， 在D选项中，将两个底面全等的斜棱柱拼接后，满足"有两个面平行，其余面都是平行四边形"， 但侧棱不互相平行，不是棱柱，D错误. 5. 记的内角，，的对边分别是，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理求出的值，再结合角的取值范围确定角的大小. 【详解】 因为，所以. 故选：B. 6. 如图，在正方体中，异面直线与所成的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用几何法确定异面直线夹角. 【详解】由正方体可知，且四边形为正方形， 所以异面直线与所成的角的平面角为， 故选：B. 7. 在空间中，若直线平面，直线平面，则与（ ） A. 相交 B. 平行 C. 是异面直线 D. 可能平行，也可能是异面直线 【答案】D 【解析】 【详解】由题意，在空间中，直线与没有公共点，即与不相交， 则与可能平行，也可能是异面直线. 8. 已知单位向量与单位向量的夹角为45°，则（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据模长公式即可求解. 【详解】， 故选：D 9. 已知非零向量满足，与夹角的余弦值为，若则实数（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用结合数量积的定义可求的值. 【详解】因为，所以，即， 又，与夹角的余弦值为，所以，故， 故选：A 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题 10. 已知复数 ，则 _______. 【答案】 【解析】 【分析】先化简复数，再结合复数运算法则计算模. 【详解】由题意得， 所以 11. 如图，平行四边形ABCD中，，，M是的中点，以为基底表示向量________ 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量基本定理即可求得结果. 【详解】易知，显然； 可得； 故答案为： 12. 水平放置的，用斜二测画法得到直观图，如图所示，若，则的面积等于______． 【答案】4 【解析】 【详解】由题意知， 则， 为直角三角形，，高， ． 13. 已知一个圆锥的母线长为4，侧面积，则此圆锥的底面半径为____________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积公式计算直接得出结果. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线为， 则圆锥的侧面积为， 由题意知，，解得. 故答案为：2 14. 如图所示，在直三棱柱中，，.则异面直线，所成角的大小是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的定义求解即可. 【详解】如图，连接， 直三棱柱中，， 所以异面直线与所成角为， 因为，，易得， 所以为等边三角形，所以， 故答案为： 15. 在等腰梯形 中,已知 ,动点 和 分别在线段 和 上,且, 则的最小值为_____________________. 【答案】 【解析】 【详解】因为，， ，， 当且仅当即时的最小值为. 考点：向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式. 三、解答题 16. 已知向量.求： （1）； （2）； （3）若，求实数的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 因为，所以 【小问2详解】 因为，所以 【小问3详解】 因为，所以， 因为， 所以，得. 17. 已知复数，其中． （1）若z是实数，求实数m的值； （2）若z是纯虚数，求实数m的值； （3）若z在复平面内对应的点在第四象限，求实数m的取值范围． 【答案】（1）或． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据复数的虚部为零可求答案； （2）根据纯虚数的特征可求答案； （3）根据第四象限内点的特征可求答案. 【小问1详解】 由z是实数，得，解得，或． 【小问2详解】 由z是纯虚数，得解得． 【小问3详解】 由z在复平面内对应的点在第四象限，得 由解得或；由解得， 所以m的取值范围为． 18. 如图，已知直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，分别为的中点. （1）求三棱锥的表面积； （2）求三棱锥的体积； （3）求证：四点共面. 【答案】（1）16 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出侧面与底面三角形的面积即可得解； （2）根据棱锥的体积公式求解； （3）利用两条平行线确定一个平面，证明四点共面即可. 【小问1详解】 由题意，， 在三角形中，， 所以， 所以. 【小问2详解】 , 因为三棱锥的高， 所以. 【小问3详解】 连接， 因为分别为的中点，所以且. 因为是直四棱柱，且底面是正方形， 所以，且，即四边形是平行四边形， 所以，所以， 所以四点共面. 19. 在，角所对的边分别为，已知，． （1）求a的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（I）由正弦定理可得，即可求出； （II）由余弦定理即可计算； （III）利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出. 【详解】（I）因为，由正弦定理可得， ，； （II）由余弦定理可得； （III），， ，， 所以. 20. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，，且 （1）求角A； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示，结合正弦定理边化角以及两角和的正弦公式即可求解； （2）由根据面积公式，结合余弦定理求出，即可求解； 【小问1详解】 由，得， 利用正弦定理，得， 又， 代入上式，， 整理得，， 因，两边除以，得， 即，又，故； 【小问2详解】 由面积公式，，，， ，结合， 由余弦定理：， 代入，，则， 故周长为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $