山东济南市汇才学校等2025—2026学年第二学期七年级期中测试数学试题

**基本信息** 以文化情境与生活实践为载体，分层考查七年级数学核心知识与推理、运算能力，如第1题结合古诗考科学记数法，第24题通过凹面镜反射探究平行线性质，体现抽象能力与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|科学记数法、事件类型、整式运算、三角形三边关系等|第1题融入《苔》诗句，第6题用随机投球估算面积，联系生活实际| |填空题|5/20|余角、概率、完全平方公式、三角形面积等|第13题开放求k值，考查对完全平方式的理解| |解答题|10/90|整式混合运算、几何证明、概率应用、综合实践探究等|第24题分探索发现与拓展延伸，第25题几何动态证明，培养推理意识与空间观念|

2025一2026学年度第二学期七年级期中测试 数学试题 注意事项： 本试题共8页，满分为150分.考试时间为120分钟 答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、 准考证号和座号填写在试卷规定的位置上. 答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号：答非选择题时，用0.5m黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答 题区域作答.答案写在试卷上无效. 第I卷（选择题共40分) 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.) 1.“白日不到处，青春恰自来.苔花如米小，也学牡丹开.”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》， 这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价 值.苔花也被称为坚韧之花”.袁枚所写的“苔花很可能是苔类孢子体的苞荫，某孢子体的 苞荫直径约为0.00000084m,将数据0.00000084用科学记数法表示为 A.8.4x10 B.8.4×107 C.8.4×106 D.0.84×106 2.下列事件中，属于不可能事件的是 A.打开电视，正在播放广告 B.购买一张福利彩票，中奖 C.抛掷一枚硬币，正面朝上 D.任意画一个三角形，其内角和为360° 3,下列运算正确的是 A.2m+3n=5mm B.m2.m3=m9 C.(m-n)}2=m2-2m+n2 D.（2m2）=6m 4.下列长度的三条线段，能组成三角形的是 A.2,3,5 B.3,3,7 C.5,6,7 D.2,2,5 第1页共8页 5.如图，直线a∥b,将含30°角的直角三角板△ABC按如图方式放置（其中∠C=60°），若1=40°， 则∠2的度数为 A.20° B.30° C.40° D.50° 小球落在不规则图案内的频率 0.5 0.4 ©. 0.3 b 十60120180240300360420实验次数 图1 图2 第5题图 第6题图 6.如图1所示，有一个不规则的图案（图中画图部分），小帆想估算该图案的面积他采取了以下 的办法：用一个长为3m,宽为2m的矩形，将不规则图案围起来，再在适当位置随机地向矩形 区域扔小球，并记录小球在不规则图案内的频率，如图2（球扔在界线上或长方形区域外不计 入试验结果)，则不规则图案的面积大约为 A.3m2 B.2.4m2 C.1.8m2 D.1.2m2 7.下列各式中能用平方差公式计算的是 A.(-x+2y)(x-2y) B.(3x-5y)(-3x-5y) C.(1-5)(5-1) D.(a+b)(b+a) 8.我们曾经学习“过直线外一点P作直线1的平行线”的一种方法，如图： (1)在直线I上任取一点A,以点A为圆心，以AP的长为半径作弧，交直线I于点B; (2)以点P为圆心，以PA的长为半径作弧 (3)以点A为圆心，以PB的长为半径作弧，交前弧于点C; (4)过点P,C作直线PC,则PC∥1. 如果用全等三角形的知识来解释作图的道理，最恰当的是 A.SAS B.ASA C.SSS D.AAS 第2页共8页 第8题图 第9题图 9.如图，小明在走廊看到一个“安全出口标志，他从中抽象出一个数学图形，其中AB∥DG, AE‖CF,∠BAC=50°，∠CDG=70°，∠EAC=80°，则∠DCF的度数为 A.20° B.25 C.30° D.35 10.数学领域中，18世纪数学家欧拉率先引进求和符号“∑”.如记∑=1+2+3+.+(n-1)+n, 三6x+)=（c+3)+6+4++(x+川：己知三[Cx+-k+=4++m,则g的 值是 A.-8 B.8 C.-10 D.10 第Ⅱ卷（非选择题共110分) 二、填空题（本大题共5个小题。每小题4分，共20分.） 11.一个角的余角是40°，则这个角是 度 12.如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，假设飞镖击中每一块小正方形是等可 能的，任意投掷飞镖一次，击中黑色小正方形的概率为 E B 第12题图 第14题图 第15题图 13.已知关于x的代数式x2+2(k+1)x+25是一个完全平方式，则k的值为 第3页共8页 14.如图，在△ABC中，己知D,E,F分别是边AC,BD,CE的中点，且阴影部分图形的面积 为3，则△ABC的面积为 15.如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,连结BC,DE,且BC⊥AF于点F, DE与直线AF交于点G.若BC=,AF=n,则△ADG的面积为 三、解答题（本大题共10个小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16.(本小题满分16分，每小题4分) 计第D卜4+-驴+长-（： (2)a23.a+（3a4}: (3)(m-n)2-(t2n)(-2n)+2: (4)2027×2025-20262（简便运算). 17.(本小题满分6分) 先化简，再求值：[(a-2b)24(at2b)(a-2b)]÷2a,其中a=2,b=-1. 18.(本小题满分8分) 如图，点A、B、C和点D、E、F分别在同一直线上，DB、EC分别交AF于点G、H, ∠A=∠F,∠C=∠D,求证：∠AGB=∠EHF. 证明：，∠A=∠F, D E ∴.DF∥AC( ∴.∠D=∠DBA( H G ,'∠D=∠C,.∠C=∠DBA. A B C ∴.∠AGB=∠ 又，'∠EHF=∠AHC( ∴.∠AGB=∠EHF. 第4页共8页 19.(本小题满分6分) 如图是健身器材划船机的使用及其简化结构示意图，人体上半身GD与拉绳AB构成的 ∠GBA为110°，上半身GD与滑轨CH构成的∠GDH为70°. (1)证明：AB∥CD: (2)若拉绳与地面平行，即AB∥EF,∠ACE=90°，∠CEF=50°，求∠A的度数. G B 20.(本小题满分6分) 如图，点E、F在BC上，BE=CF,AB=DC,∠B=∠C.求证：△ABF≌△DCE. B 21.(本小题满分6分) 一只不透明的口袋里装有黑白两种颜色的20个小球，只有颜色不同.某学习小组做摸小球 试验将球搅拌均匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后把它放回袋中，不断重复.下表是活动 进行中的一组数据. 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 96 116 290 480 601 摸到白球的频率心 0.59 0.64 0.58 a 0.60 0.601 (1)上表中的a=: (2)摸到白球的概率的估计值是（精确到0.1）. (3)若摸到白球的概率是(2)中的情况时，再添加4个黑球，求此时摸到白球的概率， 第5页共8页 22.(本小题满分8分) 如图，现有一块长为(4a-b)m,宽为(a+2b)m的长方形空地，开发商计划在这块长方形空 地中间预留一个边长为am的正方形花坛，并将其余空地（图中阴影部分）进行绿化. (1)求需要进行绿化的空地面积S(用含α，b的代数式表示，并化简)： (2)若a=3,b=2,绿化空地的价格为20元/m2,则完成绿化共需要多少元？ 4a-b a+2b 23.(本小题满分10分) (1)【阅读材料】数学课上，某数学学习小组发现：在不求m,的值的情况下，求出(m+)2 的值.因为(1+)2=m2+21+n2,(l-m2=m2-21+n2,所以(m+m)2-(m-)2=4n, 即(0m+m)2=(-m2+41.根据材料回答问题：己知-n=3,1=4则(m+m2=一： (2)若x满足(x-15)10-x)=6,求(2x-25)2的值： (3)【问题解决】如图，某校有一块长方形空地ABCD,长AB比宽AD长4m,为创办文明校园， 美化校园环境，该校计划要在长方形空地ABCD中划出长方形AEFG和长方形PQCH,两个长方形 的重合部分刚好建一个长为3m,宽为2m的喷泉水池PMFN,并将长方形DOWG和长方形 BEMH(阴影部分)区域建成花圃，且花圃总周长为42m,求长方形空地ABCD的面积. E B 第6页共8页 24.(本小题满分12分) 综合与实践 问题背景：如图，这是我省北部部分地区使用的太阳能烧水器，其原理是凹面镜的聚光技 术.如图1，这是烧水器的截面示意图，平行的太阳光线AB和CD经过凹面镜的反射后，反 射光线BE,DF交于一点P 探索发现： (1)如图1，太阳光线AB,CD平行，利用平行线的性质，把∠BPD分成两部分进行研究， 则∠BPD,∠ABP和∠CDP之间存在的数量关系是 (2)如图2，AB∥CD,点M,N分别在AB,CD上，点P是AB,CD之间，且位于MN 右侧的任意一点，连接PM,PN,试探究∠MPN,∠AMP与∠CNP之间的数量关系，并写出 解答过程. 拓展延伸： (3)如图3，在(2)的条件下，在AB,CD之间，MN左侧再取一点Q,连接QM,QN.若 使∠AMQ=3∠AMP,∠CNQ=3∠CNP,请直接写出∠P与∠Q之间的数量关系. A B 图2 M 图 图3 第7页共8页 25.(本小题满分12分) 如图，在△ABC中，AB=BC=AC,∠A=∠ABC=∠ACB=60°，D,E分别为AC,AB边上的点， 连接BD,CE交于点F,AD=BE. 图1 图2 图3 (I)如图1，求证：∠ABD=∠BCE; (2)如图2，以AF为边作△AFH,AF=FH=AH,∠FAH=∠AFH=∠AHF=60°，连接CH,G 为BC中点，连接FG,求证：AF=2FG; 为解答这个问题，小明所在的小组经过讨论已有部分思路： ①延长FG至点P,使得PG=FG,连接CP,通过证明△BFG≌△CPG推出BF=CP; ②通过证明△ABF≌△ACH推出BF=CH,则CH=CP; … 请你通过已有思路继续研究，并写出证明过程. (3)如图3，P为AB上一点，连接CP,H为CP中点，连接BH.M,N分别为BC,BP上的点， 连接PM,CN交于点O,若BM=BW,∠MON=120°，请直接写出CN,BH与PM之间的数 量关系 第8页共8页2025—2026学年第二学期七年级期中考试 数学试题参考答案 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.） 2 6 7 8 9 10 B D B B 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分.） 11.50 12.} 13.4或-614.1215. 三、解答题：（本大题共10个小题，共90分.） 16.(本小题满分16分，每小题4分) 解，a+s+(-( =4+1+14..… ...2分 =2..」 .4分 解：(2)a2.a+3a =a8+9a8 ..…,,..6 =10a8 8分 解：(3)(m-n)2-(-2)(m-2n)+2m =m2-2m+n2-m2-4n2+2m 10分 =m2-2m+n2-m2+4n2+2m .11分 =5n2 .....12分 解：(4)2027×2025-20262 =(2026+12026-1)-20262 ....14分 数学试题答案第1页（共8页） =20262-1-20262 ..15分 =-1 .16分 17.(本小题满分6分) 解：[(a-2b)2+(at2b)(a-2b)]÷2a =(a2-4ab+4b2+2-4b2)÷2a.. .2分 =（2a2-4b)÷2a.. .3分 =a-2b. ..4分 当a=2,b=-1时，原式=2-2×(-1)=2+2=4. 6分 18.证明：，∠A=∠F, .DF∥AC（内错角相等，两直线平行）、1分 ∠D=∠DBA(两直线平行，内错角相等).2分 .'∠D=∠C, ∴.∠C=∠DBA. BD川CE（同位角相等，两直线平行）.5分 ∠AGB=∠HC（两直线平行，同位角相等一）.7分 又.∠EHF=∠AHC(对顶角相等），.......8分 ∴.∠AGB=∠EHF. 19.(1)证明：，∠GDH+∠GDC=180°，∠GDH为70°， .∠GDC=110°，.... .1分 .∠GBA为110°， ∠GBA=∠GDC,2分 AB∥CD: .3分 (2)解：，AB∥CD,AB∥EF, ∴.AB∥CD∥EF, ..............….…..............4万 ∴.∠A=∠ACM,∠ECM=∠CEF=50°， 5分 数学试题答案第2页（共8页） .∠ACE=∠ACM什∠ECM=90°， ∴.∠ACM=40°， .∠A=40°. .6分 G B H D E 20.证明：，BE=CF ∴BE+EF=CF+EF, 即BF=CE, .2分 .在△ABF和△DCE中， (AB-CD ∠B=∠C BF=CE .△ABF2△DCE（SAS)、..6分 A B 21. (1)0.58.… 1分 (2)0.6 .3分 (3)解：原有小球总个数为20，可得白球个数为20×0.6=12（个），添加4个黑球后， 总球数为20+4=24（个），摸到的球共有24种等可能结果，摸到白球的结果有12种， 则P(此时摸到白球)=12_1 242 答：此时摸到白球的概率是号。6分 数学试题答案第3页（共8页） 22.（1)解：由题意得， S=(4a-b)(a+2b)-2.1分 =4a2+8ab-ab-2b2-a2 =(3d+7ab-2b2）m2;4分 (2)解：当a=3,b=2时， S=3×32+7×3×2-2×22 =27+42-8 =61（m2), 6分 20×61=1220元. 答：完成绿化共需要1220元. 8分 23.(1)25.2分 (2)解：设a=x-15,b=10-x, 则a+b=(x-15)+(10-x)=-5,ab=6,a-b=2x-25.4分 ,(a-b)2=(a+b)2-4ab, .(a-b)2=(-5)2-4×6=25-24=1, 即(2x-25)2=1.6分 （3)解：设AB=am,AD=bm. 根据题意，得a-b=4,PN=M=2m,PM=NF=3m, .BE+MH+GN+DO=2(a-3)=(2a-6)m,GD+ON+ME+BH=2(b-2)=(2b-4)m. .·长方形DQNG和长方形BEMH(阴影部分)的总周长为42m, ∴.2a-6+2b-4=42.即a+b=26. .(a+b)2-(a-b)2=4ab, ∴.262-42=4ab,解得ab=165 数学试题答案第4页（共8页） 答：长方形空地ABCD的面积为165m2..10分 24.(1)∠BPD=∠ABP叶∠CDP.3分 (2)过点P作PH平行于AB, A M B H ------->D D 图2 .PH∥AB,AB∥CD, ∴.PH∥CD, ∴.∠HPN+∠CNP=180°，∠AMP+∠HPM=180°， ∴.∠HPN+∠CNP+∠AMP+∠HPM=360°， .∠MP4∠AP+∠CNP=360°..9分 3)P+∠0=120°，（也可以写乙P+320=360…12分 解析：由(1)知， ∠Q=∠AMQ+∠CNg. 由(2)知， ∠P4∠AMP+∠CNP=360° :∠AMO=3∠AMP,∠CNO=3∠CNP, .∠AM@+∠CN0=3(LAMP+LCNP)=3360°-LP)=120°-3P, ∠Q=120-3P, 即2∠P+Q=120. 3 数学试题答案第5页（共8页） 25.(1)证明：，在△ABD与△BCE中， AB=BC ∠A=∠CBE AD=BE .∴.△ABD≌△BCE(SAS) ∠ABD=∠BCE.5分 (2)证明：延长FG至点P,使得PG=FG,连接CP,∴.PF=PG+FG=2FG, G为BC中点，∴.BG=GC, .在△BFG与△CPG中， BG-CG ∠BGF=∠CGP, FG=PG ∴.△BFG≌aCPG(SAS), 6分 ∴.∠6=∠7，BF=CP, .∠BAC=∠FAH=60°， .∠BAC-∠2=∠FAH-∠2，即∠I=∠3. .在△ABF与△ACH中， AB=AC ∠1=∠3 AF=AH △ABF2△ACH(SAS)..8分 .BF=CH,∠4=∠8.CP=CH 由（1)得△ABD≌ABCE, .∠4=∠5，∴.∠5=∠8， 数学试题答案第6页（共8页） ,'∠ABC=∠ACB=60°， ∴.∠4+∠6=60°，∠5+∠9=60°， ∴.∠5+∠7=60°，即∠PCF=60°， ∠8+∠9=60°，即∠HCF=60°， .∠PCF=∠HCF. ,在△PCF与△HCF中， CP=CH ∠PCF=∠HCF CF=CF .△PCF≌AHCF(SAS) 9分 :FP=FH AF=FH .AF=FP .AF=2FG..10分 (3)CN=2BH-PM12分 解：延长BH至点K,使得HK=BH,连接CK,则BK=2BH ,点H是PC的中点， .'PH=CH, ,在△BPH和△KCH中， BH=KH ∠BHP=∠KHC, PH=CH ∴.△BPH2AKCH(SAS), ∴.∠PBH=∠K,BP=KC, 数学试题答案第7页（共8页） ∴.AB∥CK, ∴.∠BCK=180°-∠ABC=180°-60°=120°. 延长PM至点L,使得ML=NC,连接BL, .'∠ABC=60°，∠MON=120°， ∴.在四边形BNOM中，A+∠2=360°-（∠ABC+∠MONW)=180°， .∠2+∠3=180°， .∠1=∠3， .在△BCN和△BLM中， BN=BM 1=∠3， NC-ML ∴.△BCN≌ABLM(SAS), .∴.BC=BL,∠MBL=∠NBC=60°， '.∠PBL=∠ABC+∠MBL=60°+60°=120°， ∴.∠PBL=∠KCB. ,在△PBL和△KCB中， (BP=CK ∠PBL=∠KCB, BL=CB ∴.△PBL≌AKCB(SAS), ∴.PL=BK=2BH, ·ML=PL-PM, ∴.CN=2BH-PM. 数学试题答案第8页（共8页） 2025—2026学年度第二学期七年级期中测试第15题图 数 学 试 题 注意事项： 本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置上． 答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．答案写在试卷上无效． 第I卷（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值．苔花也被称为“坚韧之花”．袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苞荫，某孢子体的苞荫直径约为，将数据用科学记数法表示为 A． B． C． D． 2．下列事件中，属于不可能事件的是 A．打开电视，正在播放广告 B．购买一张福利彩票，中奖 C．抛掷一枚硬币，正面朝上 D．任意画一个三角形，其内角和为 3．下列运算正确的是 A． B． C． D． 4．下列长度的三条线段，能组成三角形的是 A．2，3，5 B．3，3，7 C．5，6，7 D．2，2，5 5．如图，直线，将含角的直角三角板按如图方式放置（其中），若，则的度数为 A． B． C． D． 第5题图 第6题图 6．如图1所示，有一个不规则的图案（图中画图部分），小帆想估算该图案的面积.他采取了以下的办法：用一个长为，宽为的矩形，将不规则图案围起来，再在适当位置随机地向矩形区域扔小球，并记录小球在不规则图案内的频率，如图2（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），则不规则图案的面积大约为 A． B． C． D． 7．下列各式中能用平方差公式计算的是 A．（﹣x+2y）（x﹣2y） B．（3x﹣5y）（﹣3x﹣5y） C．（1﹣5m）（5m﹣1） D．（a+b）（b+a） 8．我们曾经学习“过直线外一点P作直线l的平行线”的一种方法，如图： （1）在直线l上任取一点A，以点A为圆心，以的长为半径作弧，交直线l于点B； （2）以点P为圆心，以的长为半径作弧； （3）以点A为圆心，以的长为半径作弧，交前弧于点C； （4）过点P，C作直线，则． 如果用全等三角形的知识来解释作图的道理，最恰当的是 A． B． C． D． 第8题图 第9题图 9．如图，小明在走廊看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出一个数学图形，其中，，，，，则的度数为 A． B． C． D． 10．数学领域中，18世纪数学家欧拉率先引进求和符号“”．如记，；已知，则的 值是 A． B．8 C． D．10 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 二、填空题(本大题共5个小题．每小题4分，共20分．) 11．一个角的余角是40°，则这个角是　 　 度． 12．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的，任意投掷飞镖一次，击中黑色小正方形的概率为___________． 第12题图 第14题图 第15题图 13．已知关于x的代数式是一个完全平方式，则k的值为___________． 14．如图，在中，已知D，E，F分别是边的中点，且阴影部分图形的面积为3，则的面积为___________． 15．如图，，，，连结，，且于点F，与直线交于点G．若，，则的面积为__________． 三、解答题(本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 16．(本小题满分16分，每小题4分) 计算:（1）； （2）； （3） （m﹣n）2﹣（m+2n）（m﹣2n）+2mn； （4）2027×2025﹣20262（简便运算）． 17．(本小题满分6分) 先化简，再求值：[（a﹣2b）2+（a+2b）（a﹣2b）]÷2a，其中a＝2，b＝﹣1． 18．（本小题满分8分） 如图，点A、B、C和点D、E、F分别在同一直线上，DB、EC分别交AF于点G、H， ∠A＝∠F，∠C＝∠D，求证：∠AGB＝∠EHF． 证明：∵∠A＝∠F， ∴DF∥AC（　 　 ）． ∴∠D＝∠DBA（　 　 ）． ∵∠D＝∠C，∴∠C＝∠DBA． ∴　 　 ∥　 　 （　 　 ）． ∴∠AGB＝∠　 　 （　 　 ）． 又∵∠EHF＝∠AHC （　 　 ）， ∴∠AGB＝∠EHF． 19．(本小题满分6分) 如图是健身器材划船机的使用及其简化结构示意图，人体上半身GD与拉绳AB构成的 ∠GBA为110°，上半身GD与滑轨CH构成的∠GDH为70°． （1）证明：AB∥CD； （2）若拉绳与地面平行，即AB∥EF，∠ACE＝90°，∠CEF＝50°，求∠A的度数． 20. (本小题满分6分) 如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：△ABF≌△DCE． 21． (本小题满分6分) 一只不透明的口袋里装有黑白两种颜色的20个小球，只有颜色不同．某学习小组做摸小球试验将球搅拌均匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组数据． 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 96 116 290 480 601 摸到白球的频率 0.59 0.64 0.58 a 0.60 0.601 (1)上表中的_____； (2)摸到白球的概率的估计值是____（精确到0.1）． (3)若摸到白球的概率是（2）中的情况时，再添加4个黑球，求此时摸到白球的概率． 22．(本小题满分8分) 如图，现有一块长为m，宽为m的长方形空地，开发商计划在这块长方形空地中间预留一个边长为m的正方形花坛，并将其余空地（图中阴影部分）进行绿化． (1)求需要进行绿化的空地面积（用含，的代数式表示，并化简）； (2)若，，绿化空地的价格为20元/，则完成绿化共需要多少元？ 23． (本小题满分10分) (1)【阅读材料】数学课上，某数学学习小组发现：在不求，的值的情况下，求出 的值．因为，，所以，即．根据材料回答问题：已知，则______； (2)若满足，求的值； (3)【问题解决】如图，某校有一块长方形空地，长比宽长，为创办文明校园，美化校园环境，该校计划要在长方形空地中划出长方形和长方形，两个长方形的重合部分刚好建一个长为，宽为的喷泉水池，并将长方形和长方形(阴影部分)区域建成花圃，且花圃总周长为，求长方形空地的面积． 24．(本小题满分12分) 综合与实践 问题背景：如图，这是我省北部部分地区使用的太阳能烧水器，其原理是凹面镜的聚光技术．如图1，这是烧水器的截面示意图，平行的太阳光线AB和CD经过凹面镜的反射后，反射光线BE，DF交于一点P． 探索发现： （1）如图1，太阳光线AB，CD平行，利用平行线的性质，把∠BPD分成两部分进行研究，则∠BPD，∠ABP和∠CDP之间存在的数量关系是 　 　 ． （2）如图2，AB∥CD，点M，N分别在AB，CD上，点P是AB，CD之间，且位于MN右侧的任意一点，连接PM，PN，试探究∠MPN，∠AMP与∠CNP之间的数量关系，并写出解答过程． 拓展延伸： （3）如图3，在（2）的条件下，在AB，CD之间，MN左侧再取一点Q，连接QM，QN．若使∠AMQ∠AMP，∠CNQ∠CNP，请直接写出∠P与∠Q之间的数量关系． 25．(本小题满分12分) 如图，在中，，，D，E分别为，边上的点，连接，交于点F，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，以为边作，，，连接，G为中点，连接，求证：； 为解答这个问题，小明所在的小组经过讨论已有部分思路： ①延长至点，使得，连接，通过证明推出； ②通过证明推出,则; …… 请你通过已有思路继续研究，并写出证明过程． (3)如图3，P为上一点，连接，H为中点，连接．M，N分别为，上的点，连接，交于点O，若，，请直接写出，与之间的数量关系． 第 1 页 共 4 页 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025一2026学年第二学期七年级期中考试 数学试题参考答案 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.） 2 3 6 7 8 9 10 B D A B B C A A 二、填空题： (本大题共5个小题，每小题4分，共20分.) 11.50 2.青 13.4或-6 14.12 15. -mn 三、解答题：（本大题共10个小题，共90分.） 16.(本小题满分16分，每小题4分) 解上4-+- =4+1+1-4.. 2分 =2 4分 解：(2)a3a+(3n} =a8+9a8.. ..6分 =10a8 8分 解：(3)(m-n)2-(m+2n)(m-2n)+2mm =m2-2mn+n2-m2-4n2+2m ……10分 =m2-2mm+n2-m2+4n2+2mn ....11分 =5n2 ….12分 解：(4)2027×2025-20262 =(2026+12026-1-20262 ……….14分 数学试题答案第1页（共8页） =20262-1-20262 .15分 =-1 16分 17.(本小题满分6分) 解：[(a-2b)2+(a+2b)(a-2b)]÷2a =(a2-4ab+4b2+a2-4b2)÷2a.........2分 =(2a2-4ab)÷2a. …3分 =-2b..…… 4分 当a=2,b=-1时，原式=2-2×(-1)=2+2=4. 6分 18.证明：，∠A=∠F, .DF∥AC(内错角相等，两直线平行). 1分 .∠D=∠DBA(两直线平行，内错角相等)...2分 ,∠D=∠C, ∴∠C=∠DBA. BD∥CE(同位角相等，两直线平行)· ……5分 .∠AGB=∠4HC（两直线平行，同位角相等一）.…7分 又：∠EHF=∠AHC（对顶角相等），…8分 ∴.∠AGB=∠EHF 19.(1)证明：，∠GDH+∠GDC=180°，∠GDH为70°， .∠GDC=110°，.……… ,∠GBA为110°， ∴.∠GBA=∠GDC, 2分 ∴AB∥CD; .3分 (2)解：，AB∥CD,AB∥EF, .AB∥CD∥EF, ………4分 ∴.∠A=∠ACM,∠ECM=∠CEF=50°， …5分 数学试题答案第2页（共8页） .'∠ACE=∠ACMH∠ECM=90°， .∴.∠ACM=40°， ∴.∠A=40° 6分 G B H D 20.证明：.BE=CF, .'.BE+EF=CF+EF, 即BF=CE, 2分 .在△ABF和△DCE中， (AB=CD ∠B=∠C BF=CE ∴.△ABF≌△DCE(SAS). 6分 D B 21.(1)0.58..… …………1分 (2)0.6 ….3分 (3)解：原有小球总个数为20，可得白球个数为20×0.6=12（个），添加4个黑球后， 总球数为20+4=24（个），摸到的球共有24种等可能结果，摸到白球的结果有12种， 则P(此时摸到白球)=12-1 242 答：此时摸到白球的概率是2： ..6分 数学试题答案第3页（共8页） 22.(1)解：由题意得， S=(4a-bj(a+2b)-a2.. …1分 =4a2+8ab-ab-2b2-a2 =3a2+7ab-2b2）m2;….…4分 (2)解：当a=3,b=2时， S=3×32+7×3×2-2×22 =27+42-8 =61(m2),…….….62分 20×61=1220元. 答：完成绿化共需要1220元. .8分 23.（1)25...… 2分 (2)解：设a=x-15,b=10-x, 则a+b=(x-15+(10-x)=-5,ab=6,a-b=2x-25..4分 :(a-b)2=(a+b)2-4ab, .(a-b)2=(-5)2-4×6=25-24=1, 即(2x-25)2=1.… 6分 (3)解：设AB=am,AD=bm. 根据题意，得a-b=4,PN=MF=2m,PM=NF=3m, .BE+MH+GN+DQ=2(a-3)=(2a-6)m,GD+QW+ME+BH=2(b-2)=(2b-4)m. :长方形DQNG和长方形BEMH(阴影部分)的总周长为42m, .2a-6+2b-4=42.即a+b=26. (a+b)2-(a-b)2=4ab, .262-42=4ab,解得ab=165. 数学试题答案第4页（共8页） 答：长方形空地ABCD的面积为165m2...….......…10分 24.（1)∠BPD=∠ABP+∠CDP.................3分 (2)过点P作PH平行于AB, A M B N D 图2 ,PH∥AB,AB∥CD, .PH∥CD, ∴.∠HPN+∠CNP=180°，∠AMP+∠HPM=180°， '.∠HPN+∠CNP+∠AMP+∠HPM=360°， .∠MPN+∠AMP+∠CNP=360°.................9分 (3)寺∠P+∠Q=120°.（也可以写∠P+3∠Q=360°）.… 12分 解析：由（1)知， ∠Q=∠AMQ+∠CNQ, 由(2)知， ∠P+∠AMP+∠CNP=360°. '∠AMQ=青∠AMP,∠CNQ=青∠CNP, ∴∠AMQ+∠CNQ=(∠AMP+∠CNP)=(360。-∠P)=120°-青∠P, ·.∠Q=120°-32P, 即∠P+∠Q=120°. 数学试题答案第5页（共8页） 25.(1)证明：：在△ABD与△BCE中， AB=BC ∠A=∠CBE AD=BE ∴.△ABD≌△BCE(SAS) .∠ABD=∠BCE... .5分 (2)证明：延长FG至点P,使得PG=FG,连接CP,PF=PG+FG=2FG, G为BC中点，BG=GC, 在△BFG与△CPG中， BG=CG ∠BGF=∠CGP, B G FG=PG aBFG≌△CPG(SAS）,6分 .∠6=∠7，BF=CP, :∠BAC=∠FAH=60°， ∠BAC-∠2=∠FAH-∠2，即∠1=∠3. :在△ABF与△ACH中， AB=AC ∠1=∠3 AF=AH △ABF≌△ACH(SAS .8分 .BF=CH,∠4=∠8CP=CH 由(1)得△ABD≌△BCE, 数学试题答案第6页（共8页） .∠4=∠5，.∠5=∠8， :∠ABC=∠ACB=60°， ∴.∠4+∠6=60°，∠5+∠9=60°， ∠5+∠7=60°，即∠PCF=60°， ∠8+∠9=60°，即∠HCF=60°， .∠PCF=LHCF. 在△PCF与△HCF中， CP=CH ∠PCF=∠HCF CF=CF .△PCF≌△ICF(SAS)...… 9分 :FP=FH .AF=FH :AF=FP AF=2FG.... 10分 (3)CN=2BH-PM...............12分 解：延长BH至点K,使得HK=BH,连接CK,则BK=2BH :点H是PC的中点， ∴.PH=CH, :在△BPH和△KCH中， BH=KH ∠BHP=∠KHC, PH=CH .△BPH≌△KCH(SAS, 数学试题答案第7页（共8页） .∠PBH=∠K,BP=KC, ∴.AB∥CK, .∠BCK=180°-∠ABC=180°-60°=120°. 延长PM至点L,使得ML=NC,连接BL, :∠ABC=60°，∠M0N=120°， :.在四边形BN0M中，∠1+∠2=360°-∠ABC+∠MON)=180°， ∠2+∠3=180°， .∠1=∠3， :在△BCN和△BLM中， BN=BM ∠1=∠3， NC=ML .△BCN≌△BLM(SAS), .BC=BL,∠MBL=∠NBC=60°， ∴.∠PBL=∠ABC+∠MBL=60°+60°=120°， ∠PBL=∠KCB. 在△PBL和△KCB中， BP=CK ∠PBL=∠KCB, BL=CB .△PBL≌aKCB(SAS, .PL=BK =2BH .ML=PL-PM’ .CN =2BH-PM. 数学试题答案第8页（共8页）