5.1数列基本量问题课件-2026届高三数学二轮专题复习

专题五 数列 【新高考二轮复习专题】 专题5.1 数列基本量问题 目录 典例精讲·通性通法·变式训练 1 2 3 考点概览 知识点拨 重点题型 数列基本量求解问题 等差、等比基本量 前项和求解 利用前n项和求基本量 通项求解 利用等差、等比数列通项求某项 利用生活情境确定数列类型再求和 利用等差、等比数列性质求和 利用等差、等比数列的性质求基本量 利用递推关系求通项 考点概览 考点一 等差、等比基本量 20-25 年真题统计 具体考察方式 2025全国一卷第13题 给定两组前n项和，求公比 2025全国二卷第7题 给定两组前n项和，求和 2025全国二卷第9题 给定一组前n项和与一个项，判断选项 2025北京卷第5题 给定等差数列中三项成等比，求某一项 2024全国甲卷理科第4题 给定两项和相同，某项值求首项 2024全国甲卷文科第4题 给定前n项和，求两项和 2020全国II卷理科第6题 给定递推关系及和，求项数 2020浙江卷第7题 给定等差数列首项公差比，前2n项差关系，判定等式是否成立 2020江苏卷第11题 给定等差、等比数列和数列前n项和，求公差、公比 考频统计 利用等差数列、等比数列的性质及前n项和公式计算首项、公差、公比、项数 (1)等差数列中的基本公式：通项公式， 求和公式； (2)等差数列中常用性质：已知为等差数列，d为公差，为该数列的前n项和. ①通项公式的推广：. ②在等差数列中，当时，； 考点一 等差、等比基本量 知识点拨 (3)等比数列中的基本公式：， . (4)等比中项的推广：若时，则， 特别地，当时， 考点一 等差、等比基本量 知识点拨 由，则， 则等差数列{}的公差， 故. 故选：B. 记为等差数列{}的前n项和，已知，，则（ ） A． B． C． D． 考点一 等差、等比基本量 重点题型 在等式中，令，可得 ， 所以，数列是以2为首项，以2为公比的等比数列， 则， 数列 中，，对任意 ,， 若，则 （ ） A．2 B．3 C．4 D．5 考点一 等差、等比基本量 重点题型 ∴ ∴，则，解得. 故选：C. 数列 中，，对任意 ,， 若，则 （ ） A．2 B．3 C．4 D．5 考点一 等差、等比基本量 重点题型 设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，根据题意. 等差数列的前n项和公式为， 等比数列的前n项和公式为， 设是公差为d的等差数列，是公比为q的等比数列． 已知数列的前n项和， 则的值是 ． 考点一 等差、等比基本量 重点题型 依题意，即， 通过对比系数可知⇒ ，故.故答案为：4 设是公差为d的等差数列，是公比为q的等比数列． 已知数列的前n项和， 则的值是 ． 考点一 等差、等比基本量 重点题型 法一：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 当时，，即，则， 显然不成立，舍去； 当时，则， 两式相除得，即， 则，所以，所以该等比数列公比为2. 故答案为：. 若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为 . 考点一 等差、等比基本量 重点题型 法二：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 所以， ， 所以，则，所以， 所以该等比数列公比为2.故答案为：2. 若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为 . 考点一 等差、等比基本量 重点题型 法三：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 因为， 又， 所以，所以， 所以该等比数列公比为. 故答案为：. 若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为 . 考点一 等差、等比基本量 重点题型 设等差数列的公差为d，则由题可得 ， 所以. 故选：B. 记为等差数列的前n项和，若则（   ） A． B． C． D． 考点一 等差、等比基本量 重点题型 对A，由题意得，结合， 解得或（舍去），故A正确； 对B，则，故B错误；对C，，故C错误； 对D，，， 则，故D正确； 故选：AD. （多选）记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（   ） A． B． C． D． 考点一 等差、等比基本量 重点题型 设等差数列的公差为， 因为成等比数列，且， 所以，即， 解得或（舍去）， 所以. 故选：C. 已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列， 则（   ） A． B． C．16 D．18 考点一 等差、等比基本量 重点题型 解题通法 对于等差、等比数列求首项、公差、公比，首先要树立方程意识，要注意使用公式时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性.在遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思想，使运算更加便捷. 考点一 等差、等比基本量 归纳总结 考点二 通项求解 20-25 年真题统计 具体考察方式 2023全国乙卷理科第10题 给定等差数列公差及其对应余弦值结果，求结果之积 2023全国乙卷理科第15题 给定等比数列某些项积的关系求某项 2023天津卷第5题 给定递推关系与首项，求某项 2022全国乙卷理科第8题 给定等比数列和与两项之差求某项 2022新课标II卷第3题 给定线段比成等差数列及公差，计算某项 2021北京卷第6题 给定等差数列及关系，求某项 考频统计 数列求通项或某项 对于给定数列类型时可直接利用等差数列、等比数列的通项公式计算通项或求某项值； 有时给出递推公式，可结合等差、等比数列的判定确定数列类型，对于复杂的递推关系还需要合理变形去构造数列计算. 考点二 通项求解 知识点拨 设的公比为，则，显然， 则，即,则 因为，则， 则，则，则 故答案为：. 考点二 通项求解 已知为等比数列，，则 . 重点题型 由题意，五种规格党旗的长成等差数列，设公差为d， 因为，可得， 可得， 又由长与宽之比都相等，且，可得，即 故选：C. 《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗 面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长 (单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位: cm),且长与 宽之比都相等，已知则 A．64 B．96 C．128 D．160 考点二 通项求解 重点题型 解题通法 （1）求通项和d、q是等差、等比数列的基本元素. （2）求特定项.利用等差、等比数列的通项公式或等差数列的性质求解. 考点二 通项求解 归纳总结 考点三 前n项和求解 20-25 年真题统计 具体考察方式 2025天津卷第6题 给定等差数列和，求绝对值的前n项和 2024新课标I卷第8题 给定递推关系，判定部分项和 2024新课标II卷第12题 给定两组两项和，求部分项和 2023北京卷第14题 给定等差、等比数列三项求某项及和 2023新课标II卷第8题 给定两组前n项和，求和 2023全国甲卷理科第5题 给定等比数列首项，前n项和关系，求和 2023上海卷第3题 给定等比数列首项和公比，直接求和 考频统计 考点三 前n项和求解 20-25 年真题统计 具体考察方式 2022上海卷第10题 给定等差数列和，判定前n项和的取值可能 2021新课标I卷第16题 给定折纸背景，确定数列类型及面积和 2021新课标II卷第12题 给定二进制背景，判定相应项关系 2020新课标I卷第14题 给定两等差数列，求公共项和 2020新课标II卷第15题 给定两等差数列，求公共项和 2020全国II卷理科第4题 给定生活中背景，求等差数列和 2020浙江卷第11题 给定二阶等差数列求和 考频统计 考点三 前n项和求解 公式法求和：确定为等差、等比数列可直接利用公式求和，注意灵活运用求和公式中的相关结论； 具体情境下，先确定数列类型，再根据通项选择方法求和. 知识点拨 因为，所以． 即． 故答案为：10. 我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列 就是二阶等差数列，数列的前3项和是 ． 考点三 前n项和求解 重点题型 因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列， 数列是以1首项，以3为公差的等差数列， 所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项， 以6为公差的等差数列， 所以的前n项和为， 故答案为：. 将数列与的公共项从小到大排列得到数列， 则的前n项和为 ． 考点三 前n项和求解 重点题型 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对 折，规格为 的长方形纸，对折1次共可以得到 两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可 以得到 ， ， 三种规格的图形，它 们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形 的种数为 ；如果对折n次，那么 . 考点三 前n项和求解 （1）由对折2次共可以得到5dm×12dm,10dm×6dm, 20dm×3dm三种规格的图形，所以对折三次的结果有： ，共4种不同规格（单位； 重点题型 考点三 前n项和求解 （2）由于每次对折后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对折后的图形，不论规格如何，其面积成公比为的等比数列，首项为(),第n次对折后的图形面积为，对于第n次对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为种（证明从略），故得猜想， 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对 折，规格为 的长方形纸，对折1次共可以得到 两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可 以得到 ， ， 三种规格的图形，它 们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形 的种数为 ；如果对折n次，那么 . 重点题型 考点三 前n项和求解 设， 则 ， 两式作差得： 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对 折，规格为 的长方形纸，对折1次共可以得到 两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可 以得到 ， ， 三种规格的图形，它 们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形 的种数为 ；如果对折n次，那么 . 重点题型 考点三 前n项和求解 ，因此. 故答案为：5； . 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对 折，规格为 的长方形纸，对折1次共可以得到 两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可 以得到 ， ， 三种规格的图形，它 们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形 的种数为 ；如果对折n次，那么 . 重点题型 ，则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 考点三 前n项和求解 因为，所以当时，， 当时，， 经检验，满足上式， 所以，令，， 设数列的前n项和为， 则数列的前项和为 数列的前项和为 .故选：C 重点题型 解题通法 数列求和的常用方法： （1）对于等差、等比数列，利用公式法可直接求解； （2）对于结构，其中是等差数列， 是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于结构，利用分组求和法； （4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和. 考点三 前n项和求解 归纳总结 博学深思 未来可期 $