专题2 培优拓展4 数列的奇、偶项问题（课件PPT）-【满分思维】2026年高考二轮专题复习·数学（提升版）

培优拓展(四)　数列的奇、偶项问题 类型一　通项中含有(-1)n型 类型二　奇偶项通项不同的数列 目 录 索 引 对于涉及奇、偶项的数列问题,通常可以采用“分项研究法”:将原数列{an}分解为奇数项子列{a2n-1}和偶数项子列{a2n}两个独立子列,通过分别研究这两个子列的性质(如等差、等比或其他递推特征),最终解决原数列的问题. 根据题目特征,奇、偶项问题主要分为以下四种类型: (1)连续两项关系型:题目给出相邻两项的和或积的递推关系,如an+an+1=f(n)或an·an+1=f(n); (2)符号交替型:通项中含有(-1)n等导致符号交替变化的因子; (3)显式条件型:题目明确给出奇数项和偶数项各自满足的不同条件,如含有{a2n},{a2n-1}的类型; (4)分段定义型:通项公式直接按奇偶分段给出. 类型一　通项中含有(-1)n型 例1　(2025福建宁德模拟)已知{an}是等差数列,{bn}是正项等比数列,且a1=1,b2=2,a3-1=b3,a4+1=b4. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)记cn=(-1)n+1an·an+1(n∈N*),求数列{cn}的前2n项和S2n. 解 (1)由题意,{an}是等差数列,设公差为d,{bn}是正项等比数列,设公比为q,q>0. 由a1=1,b2=2,a3-1=b3,a4+1=b4,可得1+2d-1=2q,1+3d+1=2q2,解得d=q=2,则an=2n-1,bn=2n-1. (2)由(1)可得,cn=(-1)n+1anan+1=(-1)n+1(2n-1)(2n+1), 则c2n-1+c2n=(4n-3)(4n-1)-(4n-1)(4n+1)=-4(4n-1), 则数列{cn}的前2n项和S2n=-4(3+7+…+4n-1)=-4n(3+4n-1)=-4n(2n+1). (2)等比数列的通项公式中含有(-1)n,其前n项和可写成分段的形式,可求最值. 如等比数列{an}的通项公式为an=(-1)n-1·,则其前n项和Sn=1-(-)n,求Tn=Sn-的取值范围时,n分奇偶讨论,求Tn的最值. (3)裂项相消法求和 如an=(-1)n=(-1)n(),求和时通过(-1)n实现正负交替. 【对点训练1】(2025河北秦皇岛模拟)已知数列{an}是公差大于2的等差数列,其前n项和为Sn,a2=5,且a1+1,a2+1,a5-2成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令bn=(-1)n+1,求数列{bn}的前n项和Tn. 解 (1)设等差数列{an}的公差为d(d>2),则a1=a2-d=5-d,a5=a2+3d=5+3d, 由a1+1,a2+1,a5-2成等比数列,得(6-d)(3+3d)=62, 而d>2,解得d=3,所以数列{an}的通项公式为an=a2+(n-2)d=3n-1. (2)由(1)得bn=(-1)n+1=(-1)n+1(),当n为偶数时, Tn=()-()+()-()+…+()-() =, 当n为奇数时, Tn=()-()+()-()+…-()+() =, 所以Tn= 类型二　奇偶项通项不同的数列 例2　(2023新高考Ⅱ,18)已知{an}为等差数列,bn=记Sn,Tn 分别为数列{an},{bn}的前n项和,S4=32,T3=16. (1)求{an}的通项公式; (2)证明:当n>5时,Tn>Sn. (1)解 设等差数列{an}的公差为d. 由bn=得b1=a1-6,b2=2a2=2(a1+d),b3=a3-6=a1+2d-6. 则由S4=32,T3=16,得 解得 所以an=a1+(n-1)d=2n+3. (2)证明 由(1)可得Sn==n2+4n. 当n为奇数时,Tn=a1-6+2a2+a3-6+2a4+a5-6+2a6+…+an-2-6+2an-1+an-6 =(-1+14)+(3+22)+(7+30)+…+[(2n-7)+(4n+2)]+2n-3 =[-1+3+…+(2n-7)+(2n-3)]+[14+22+…+(4n+2)] = 当n>5时,Tn-Sn=-(n2+4n)=>0,所以Tn>Sn. 当n为偶数时,Tn=a1-6+2a2+a3-6+2a4+a5-6+2a6+…+an-1-6+2an =(-1+14)+(3+22)+(7+30)+…+[(2n-5)+(4n+6)] =[-1+3+…+(2n-5)]+[14+22+…+(4n+6)] = 当n>5时,Tn-Sn=-(n2+4n)=>0,所以Tn>Sn. 综上可知,当n>5时,Tn>Sn. 【对点训练2】(2025浙江嘉兴模拟)记Sn为数列{an}的前n项和,已知an>0, 4Sn=+2an-3,数列{bn}满足bn= (1)求数列{an}的通项公式; (2)记数列{bn}的前n项和为Tn,若对任意n∈N*,Tn≥10n+λ,求实数λ的取值范围.【一题多解】 解 (1)当n=1时,a1=S1=,解得a1=-1或a1=3. 因为an>0,所以a1=3. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=,得(an+an-1)(an-an-1-2)=0. 因为an+an-1>0,所以an-an-1=2(n≥2),又a1=3,故数列{an}是首项为3,公差为2的等差数列,所以数列{an}的通项公式为an=2n+1. (2)(方法一)由bn=所以bn= 当n为偶数时, Tn=b1+b2+b3+…+bn-1+bn=(b1+b3+…+bn-3+bn-1)+(b2+b4+…+bn-2+bn) =[-2+(-2)+…+(-2)+(-2)]+[12+20+…+(4n-4)+(4n+4)] =(-2)=n2+3n, 当n为奇数时,Tn=Tn+1-bn+1=(n+1)2+3(n+1)-[4(n+1)+4]=n2+n-4, 所以Tn=因为对任意的n∈N*,Tn≥10n+λ成立, 所以当n为奇数时,即n2+n-4≥10n+λ,所以λ≤n2-9n-4,不等号的右边可看作关于n的二次函数,其图象对称轴方程为n=-=4.5, 因为n为奇数,所以n=5时,(n2-9n-4)min=-24,则λ≤-24. 当n为偶数时,n2+3n≥10n+λ,所以λ≤n2-7n, 同理可得,因为n为偶数,所以n=4时,(n2-7n)min=-12,则λ≤-12, 综上,λ≤-24. (方法二)由bn= 当n为偶数时,Tn=b1+b2+b3+…+bn-1+bn =(a1-a2)+(a2+a3)+(a3-a4)+…+(an-1-an)+(an+an+1) =[a1+(a2+a3)+…+(an+an+1)]+[(-a2)+(a3-a4)+…+(an-1-an)] =Sn+1+(-5)+(-2)=n2+3n. 当n为奇数时,Tn=Tn+1-bn+1=(n+1)2+3(n+1)-[4(n+1)+4]=n2+n-4, 所以Tn= (下同方法一) $