精品解析：甘肃兰州市八校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

2025-2026学年第二学期期中考试 高一年级数学学科试卷 一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 了解兰州白兰瓜的甜度情况 B. 了解某品牌新能源汽车电池的续航能力 C. 了解兰州市中学生收看9月3日阅兵直播情况 D. 对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查 【答案】D 【解析】 【详解】切开白兰瓜具有破坏性，故A不符合题意； 测试续航能力通常需要将电池完全放电，具有破坏性，故B不符合题意； 兰州市中学生人数众多，全面调查工作量巨大，故C不符合题意； 航空母舰中的每个零件的质量都至关重要，因此需要对其进行全面检查，故D符合题意. 2. 已知，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由向量共线基本定理求解即可. 【详解】因为，所以，则，解得. 故选：A 3. 已知某区中小学学生人数如图所示，为了解学生参加社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法来进行调查．若高中需抽取20名学生，则小学与初中共需抽取的人数为 A. 30 B. 40 C. 70 D. 90 【答案】C 【解析】 【分析】根据高中抽取的人数和高中总人数计算可得抽样比；利用小学和初中总人数乘以抽样比即可得到结果. 【详解】由题意可得，抽样比为： 则小学和初中共抽取：人 本题正确选项： 【点睛】本题考查分层抽样中样本数量的求解，关键是能够明确分层抽样原则，准确求解出抽样比，属于基础题. 4. 已知角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到且，结合三角函数的基本关系式，求得和的值，联立方程组，即可求解. 【详解】由，即， 又由，可得， 则，可得， ，可得， 联立方程组，可得. 故选：B. 5. 已知，是方程的两根，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得出韦达定理，利用和角的正切公式求出的值，结合角的范围确定的值即可. 【详解】由题意，， 则，且一正一负， 因，则，故. 故选：C. 6. 如图，在平行四边形中，点满足，点为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】因为，所以. 因为点为的中点，所以， 所以. 故选：B. 7. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则角（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将代入，再结合余弦定理化简即可. 【详解】已知， 又因为，所以， 又由余弦定理， 又因为， 所以， 故选：D. 8. 若M为所在平面内一点，且满足，则为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量线性运算法则化简条件等式可得，两边平方化简可得，结合数量积的性质可得，由此可得结论. 【详解】由，得 所以，即， 两边平方并化简得，则，即，故， 所以是直角三角形. 故选：A 二、多选题（在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．） 9. 有一组样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中为非零常数，则两组样本数据的样本（ ） A. 平均数相同 B. 中位数相同 C. 标准差相同 D. 极差相同 【答案】CD 【解析】 【分析】根据数字特征的概念和公式逐一计算可得. 【详解】对于A，原样本数据的平均数，新样本数据的平均数（），所以A错误； 对于B,不妨设原样本数据,中位数为或,则新样本数据,中位数为或,B错误; 对于C，原样本数据的方差，新样本数据的方差为,所以,C正确； 对于D，不妨设样本数据中，分别为最小值和最大值，极差为，则新样本数据，，…，中，分别为最小值和最大值，极差为，所以D正确. 故选：CD. 10. 已知向量，，下列说法正确的是（    ） A. B. C. 与向量平行的单位向量仅有 D. 向量与向量的夹角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，计算数量积是否为零，即可得；对B，借助模长公式计算即可得；对C，与向量平行的单位向量有、；对D，夹角公式计算即可得. 【详解】对于A，，，所以，故A正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，，则有、， 即与向量平行的单位向量有、，故C错误； 对于D，，所以向量与向量的夹角为，故D正确． 故选：ABD 11. 已知函数（），则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于轴对称 B. 函数的最小正周期为 C. 点为函数图象的一个对称中心 D. 函数的最大值为1 【答案】BD 【解析】 【分析】根据三角恒等变换可得，结合正弦函数性质逐项分析判断. 【详解】由题意可得：， 对于选项A：因为不为最值， 所以函数的图象不关于轴对称，故A错误； 对于选项B：函数的最小正周期为，故B正确； 对于选项C：因为， 所以点不为函数图象的一个对称中心，故C错误； 对于选项D：当，即时， 函数取到最大值为1，故D正确； 故选：BD. 三、填空题 12. 数据的平均数是7，则这组数据的第百分位数为______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用平均数的性质求得参数，再利用百分数位数据定义即可得解. 【详解】因为数据的平均数是7， 所以，解得， 因为， 所以这组数据的第百分位数为第位数，即. 故答案为：. 13. 的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用诱导公式统一角度，再根据余弦的两角和公式进行计算． 【详解】 14. 已知，向量在向量上的投影向量为，则与夹角的余弦值为______. 【答案】 【解析】 【详解】设与的夹角为，则向量在向量上的投影向量为， 所以，所以. 四、解答题（解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某校100名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下： （1）求频率分布直方图中a的值； （2）分别求出成绩落在与中的学生人数； （3）估计这次考试的众数、平均数及78分以上的人数． 【答案】（1） （2）， （3）众数：75 分；平均数：76.5 分；人 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图中各个矩形的面积和为1即可求解； （2）由频率分布直方图确定成绩落在，的频率，再由频率估计人数即可； （3）由样本数据的数字特征求法依次求解即可. 【小问1详解】 由题意得，解得. 【小问2详解】 设为成绩落在上的概率，为成绩落在的人数， 由题意得， 设为成绩落在上的概率，为成绩落在的人数， . 【小问3详解】 由题意得众数为75分； 由（1）得成绩落在的频率为0.1，落在的频率为0.15， 落在的频率为0.35，落在的频率为0.3，落在的频率为0.1， 则平均数为， 设为78分以上的频率，为78分以上的人数， 则 ， 故78分以上的人数为47人. 16. 已知向量满足，，且与的夹角为． （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由垂直关系得，使用向量数量积的公式即可求解； （2）使用向量夹角公式，结合数量积公式即可求解. 【小问1详解】 由题意可得， 因为，所以， 即， 解得． 【小问2详解】 设与的夹角为，由（1）可知，， 由题意可得， 由，得， 所以，所以. 17. 已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，． （1）请用，表示向量； （2）若，设，的夹角为，若，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）结合图形，根据平面向量的线性运算可得； （2）以，为基底表示出，结合已知求可证. 【小问1详解】 ，由题意得， 所以． 【小问2详解】 由题意，． ∵，，∴． ∴， ∴． 18. 已知的内角所对的边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若的面积为，中线，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边角互化，利用两角和的正弦公式化简，转化为三角函数求角； （2）首先根据三角形的面积公式，求得，，根据中线向量关系，可得，再根据余弦定理即可求得. 【小问1详解】 在中，，则， 因为， 则， 由正弦定理得：， 所以， 所以， 又，得，所以，即， 由，解得. 【小问2详解】 因为的面积为， 所以， 由（1）知，故， 因为为中线，即为中点， 则，又， 则，所以， 解得， 由余弦定理得， 所以. 19. 已知向量，． （1）当时，求的值； （2）求在的最小值及相应的取值，并求出函数在的单调递增区间． 【答案】（1） （2）时，；当时，函数单调递增 【解析】 【分析】（1）由，求得，结合三角函数的基本关系式，即可求解； （2）由，根据三角函数的图象与性质，即可求解. 【小问1详解】 解：由向量，， 因为，可得，所以， 则. 【小问2详解】 解：由函数， 因为，所以，所以， 所以，所以当，即时，， 令，可得， 因为，当时，函数单调递增， 所以函数的单调递增区间为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期中考试 高一年级数学学科试卷 一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 了解兰州白兰瓜的甜度情况 B. 了解某品牌新能源汽车电池续航能力 C. 了解兰州市中学生收看9月3日阅兵直播情况 D. 对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查 2. 已知，，若，则实数的值为（ ） A B. C. 2 D. 4 3. 已知某区中小学学生人数如图所示，为了解学生参加社会实践活动意向，拟采用分层抽样的方法来进行调查．若高中需抽取20名学生，则小学与初中共需抽取的人数为 A. 30 B. 40 C. 70 D. 90 4. 已知角，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，是方程的两根，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平行四边形中，点满足，点为的中点，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则角（ ） A. B. C. D. 8. 若M为所在平面内一点，且满足，则为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 二、多选题（在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．） 9. 有一组样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中为非零常数，则两组样本数据的样本（ ） A. 平均数相同 B. 中位数相同 C. 标准差相同 D. 极差相同 10. 已知向量，，下列说法正确的是（    ） A. B. C. 与向量平行的单位向量仅有 D. 向量与向量的夹角为 11. 已知函数（），则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于轴对称 B. 函数的最小正周期为 C. 点为函数图象的一个对称中心 D. 函数最大值为1 三、填空题 12. 数据的平均数是7，则这组数据的第百分位数为______． 13. 的值为______． 14. 已知，向量在向量上的投影向量为，则与夹角的余弦值为______. 四、解答题（解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某校100名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下： （1）求频率分布直方图中a的值； （2）分别求出成绩落在与中的学生人数； （3）估计这次考试的众数、平均数及78分以上的人数． 16. 已知向量满足，，且与夹角为． （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角的大小． 17. 已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，． （1）请用，表示向量； （2）若，设，的夹角为，若，求证：． 18. 已知的内角所对的边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若的面积为，中线，求． 19. 已知向量，． （1）当时，求的值； （2）求在的最小值及相应的取值，并求出函数在的单调递增区间． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $