6.3 三元一次方程组及其解法 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学七年级下册

6.3 三元一次方程组及其解法 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学七年级下册 【A基础达标】 学习目标：【1】三元一次方程组的定义 【2】用代入消元法和加减消元法解三元一次方程组 一、单选题 1．下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 2．解三元一次方程组 时， 最简单的做法是（　　） A．先消去 B．先消去 C．先消去 D．先消去常数 3．已知是三元一次方程组的解，那么的值为（    ） A． B．6 C．9 D．18 4．已知方程组，则的值是（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 5．实数x，y，z满足，则x、z之间具有哪个等量关系（　　） A． B． C． D． 6．如图，三个天平的托盘中放置了正方体、球、圆锥三种形状的物体，形状相同的物体的质量均相等，图①、②所示的两个天平处于平衡状态，现要使得图③中的天平也保持平衡，且在该天平的右盘中只放置球，则右盘中需放入球的个数为（   ）    A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 二、填空题 7．在三元一次方程 中， 用含 的代数式表示 ：______________. 8．已知方程组的解使代数式的值等于，则a的值为 ___________________． 三、解答题 9．解下列方程组： (1)； (2)． 10．一个三位数的各数位数字之和等于，个位数字与十位数字的和比百位数字大2，如果把百位数字与十位数字对调，所得新数比原数小，求原三位数． 【B能力提升】 1．已知m，n，p，q为整数，且q为负整数，满足，，，则的最小值为（   ） A． B．7 C． D．5 2．若实数x，y，z满足则的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 3．若三元一次方程组的解使，则的值是_______． 4．某旅游团一行50人到某旅社住宿，该旅社有三人间、双人间和单人间三种客房，其中三人间每人每晚20元，双人间每人每晚30元，单人间每晚50元．已知该旅行团住满了20间客房，且使总的住宿费用最省．那么这笔最省的住宿费用是_____元，所住的三人间、双人间、单人间的间数依次是_____． 5．阅读材料： 已知方程组，求的值． 解法一：由原方程组，得 ，得．③ 把③代入①，得 ． 所以． 解法二： 将原方程组整理得 ，得③ 把③代入①，得． 请根据阅读材料，选择一种方法，尝试解决问题：已知方程组，求的值． 【C综合与实践】 1．我国古代很早就开始对一次方程组进行研究，其中不少成果被收入《九章算术》中．《九章算术》“方程”章的第一个问题译成现代汉语是这样的： 上等谷3束，中等谷2束，下等谷1束，可得粮食39斗；上等谷2束，中等谷3束，下等谷1束，可得粮食34斗； 上等谷1束，中等谷2束，下等谷3束，可得粮食26斗． 求上、中、下三等谷每束各可得粮食几斗． (1)设每束上等谷、中等谷、下等谷各可得粮食分别为斗，斗，斗，根据题意可列方程组为：__________． (2)下面的算筹图代表了古代解决这个问题的方法．用算筹列出方程组，它省略了各未知数，只用算筹表示出未知数的系数与相应的常数项．请你参考前两行，补全第三行的算筹图． (3)利用现代高等代数的符号可以将（1）中方程组的系数排成一个表， 这种由数排成的表叫做矩阵．容易看出，这个矩阵与上面的算筹图是一致的，只是用阿拉伯数字替代了算筹． 已知矩阵有如下的初等变换：①用一个非零的数乘矩阵的某一行；②将一行的k倍加到另一行上；③交换矩阵中两行的位置．初等变换可以帮助我们解多元一次方程组． 例如，用矩阵的初等变换解二元一次方程组的步骤如下： 第一步：将此方程组的系数写成矩阵：； 第二步： ， 故此方程组的解为． 请你仿照上述方法，补全用矩阵的初等变换解三元一次方程组的步骤． 第一步：将此方程组的系数写成矩阵：______________． 第二步： 故此方程组的解为_____________． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3 三元一次方程组及其解法 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学七年级下册 【A基础达标】 一、单选题 1．下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三元一次方程组的定义判断即可． 【详解】解：A．是三元一次方程组，符合题意； B．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； C．只含有2个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； D．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查了解三元一次方程组，熟练掌握三元一次方程组的定义是解本题的关键． 2．解三元一次方程组 时， 最简单的做法是（　　） A．先消去 B．先消去 C．先消去 D．先消去常数 【答案】A 【分析】此题考查解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键； 第一个方程中不含，而第二个方程和第三个方程通过加减消元法可消去，再联立第一个方程可组成二元一次方程组，从而实现消元的目的． 【详解】由题知，， 得，， 整理得， ④与①即可组成二元一次方程组， 要使解法较为简单，应先消去， 故选：A． 3．已知是三元一次方程组的解，那么的值为（    ） A． B．6 C．9 D．18 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次方程组的解，将代入方程组，然后相加求解即可． 【详解】解：∵是三元一次方程组的解， ∴， 三式相加，得， 解得． 故选：A． 4．已知方程组，则的值是（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了三元一次方程组，解题的关键是运用整体思想；通过将三个方程相加，从而直接求解． 【详解】解：， 由得， ∴， 故选：． 5．实数x，y，z满足，则x、z之间具有哪个等量关系（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解三元一次方程组，通过加减消元法即可求解． 【详解】解：， 得，． 故选A． 6．如图，三个天平的托盘中放置了正方体、球、圆锥三种形状的物体，形状相同的物体的质量均相等，图①、②所示的两个天平处于平衡状态，现要使得图③中的天平也保持平衡，且在该天平的右盘中只放置球，则右盘中需放入球的个数为（   ）    A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】B 【分析】本题主要考查了等式的基本性质以及列方程组解决实际问题，解决本题的关键是借助方程关系进行等量代换，进而求出球的数量． 假设用表示球体，表示正方体，表示圆锥体，列方程组求未知数的熟练关系即可． 【详解】解：假设用表示球体，表示正方体，表示圆锥体，根据图①②得， 整理得 得， ， 将代入得，， ∴， ∴图3中， 故选：B． 二、填空题 7．在三元一次方程 中， 用含 的代数式表示 ：______________. 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程的变形，掌握移项法则和等式的性质是解题的关键．通过移项和系数化为1，将z用含x、y的代数式表示． 【详解】　解：将方程 移项，得 ； 两边同时除以，得 ，化简得 故答案为： ． 8．已知方程组的解使代数式的值等于，则a的值为 ___________________． 【答案】/ 【分析】此题考查了解三元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中三个方程成立的未知数的值．把a看作已知数求出方程组的解表示出x，y，z，代入已知等式中计算即可求出a的值． 【详解】解：， 得：，即， 得：， 得：， 得：， 将，，代入中得：， 解得：． 故答案为：． 三、解答题 9．解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查三元一次方程组的求解，核心方法是通过加减消元法消去未知数，将三元一次方程组逐步转化为二元一次方程组、一元一次方程求解． （1）先利用方程①和②消去，再利用方程②和③消去，得到关于、的二元一次方程组，求解后代入原方程求出； （2）先利用方程①和②消去，得到关于、的方程，再与方程③联立求出、，最后代入原方程求出． 【详解】（1）解：①+②得：④； ②-③得：⑤； 由④得， 将其代入⑤得：，解得； 将代入④得； 将，代入③得，解得； ∴方程组的解为； （2）解：①+②得：，化简得④； ③+④得：，解得； 将代入④得，解得； 将，代入①得，解得； ∴方程组的解为． 10．一个三位数的各数位数字之和等于，个位数字与十位数字的和比百位数字大2，如果把百位数字与十位数字对调，所得新数比原数小，求原三位数． 【答案】 【分析】本题考查三元一次方程组在数字问题中的应用，核心是掌握三位数的代数表示方法：原三位数可表示为(其中为百位数字，为十位数字，为个位数字)，并根据题目给出的三个等量关系构建方程组求解．首先设出三个数位的数字，根据“各数位数字和为”“个位与十位数字和比百位大2”“对调百位与十位后的新数比原数小”分别列出方程；接着化简第三个方程得到，再将第二个方程代入第一个方程求出的值；然后代入求出的值，最后代入第二个方程求出的值，进而组合得到原三位数． 【详解】解：设原三位数的百位数字为，十位数字为，个位数字为． 根据题意，列出方程组：， 化简得， 将②代入①，得：，解得：； 把代入③，得：，解得； 把，代入②，得：，解得； 原三位数为； 答：原三位数为． 【B能力提升】 1．已知m，n，p，q为整数，且q为负整数，满足，，，则的最小值为（   ） A． B．7 C． D．5 【答案】B 【分析】利用消元法把m， n ，p都用q表示，再代入所求代数式化简，最后根据q为负整数的条件求最小值． 【详解】解：根据题意，得， 将③代入①，得 ，化简得 ， 将代入②，得 ， 解得 ， 将代入③，得 ， 代入， 得， ∵q为负整数， ∴，且q为整数， ∴当q取最大负整数时，取得最小值， ∴最小值为：． 2．若实数x，y，z满足则的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查三元一次方程组的化简与计算，掌握通过消元法将三元转化为二元，求出变量间的关系，再计算目标式的值是解题的关键． 通过对给定的方程组进行消元，求出与的关系，再代入求出与的关系，最后计算的值． 【详解】解： 用(1)式减去(2)式：， 即， ， 把代入(1)式： ， ， ， ． 故选：A． 3．若三元一次方程组的解使，则的值是_______． 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，学会采用消元法和代入法解三元一次方程组是解题的关键．先解三元一次方程组，求出，，的值，再代入方程 求解． 【详解】解：， 由得， 由得 ， 解得， 将代入得， 将代入得， 将，，代入得， 解得， 故答案为：． 4．某旅游团一行50人到某旅社住宿，该旅社有三人间、双人间和单人间三种客房，其中三人间每人每晚20元，双人间每人每晚30元，单人间每晚50元．已知该旅行团住满了20间客房，且使总的住宿费用最省．那么这笔最省的住宿费用是_____元，所住的三人间、双人间、单人间的间数依次是_____． 【答案】 1150 15，0，5 【分析】此题是一道比较新颖的三元一次方程组应用题，它的答案不唯一，需要讨论一下，根据生活中的常时，x，y，z必须为自然是来求解，题不是很难，但是一道结合生活实际应用的一道好题． 可根据题意设三人间，二人间，单人间分别住了x，y，z间，再根据三人间人每晚20元，二人间每人每晚30元，单人间每人每晚50元，旅游团共住20间客房，列出两个方程，再根据x，y，z都是自然数，求出费用最低的选择． 【详解】解：设三人间、二人间、单人间分别住了x，y，z间，其中x，y，z都是自然数，总的住宿费为w元， 则 解得 都是自然数， 或或或或或 ， 随z的增大而减小， ∴当，即时，住宿的总费用最低，为， 故最省住宿费用为1150元，所住三人间、双人间、单人间的间数依次为15, 0, 5. 故答案为：1150元，间数依次为15, 0, 5． 5．阅读材料： 已知方程组，求的值． 解法一：由原方程组，得 ，得．③ 把③代入①，得 ． 所以． 解法二： 将原方程组整理得 ，得③ 把③代入①，得． 请根据阅读材料，选择一种方法，尝试解决问题：已知方程组，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组的知识，根据题意采用两种不同的方法求解即可，解题的关键是利用整体法解方程组． 【详解】解：解法一： ， 由得：， 把代入得：， ∴； 解法二： 由题意，将原方程整理得： ， 得：， 得：， 解得：． 【C综合与实践】 1．我国古代很早就开始对一次方程组进行研究，其中不少成果被收入《九章算术》中．《九章算术》“方程”章的第一个问题译成现代汉语是这样的： 上等谷3束，中等谷2束，下等谷1束，可得粮食39斗；上等谷2束，中等谷3束，下等谷1束，可得粮食34斗； 上等谷1束，中等谷2束，下等谷3束，可得粮食26斗． 求上、中、下三等谷每束各可得粮食几斗． (1)设每束上等谷、中等谷、下等谷各可得粮食分别为斗，斗，斗，根据题意可列方程组为：__________． (2)下面的算筹图代表了古代解决这个问题的方法．用算筹列出方程组，它省略了各未知数，只用算筹表示出未知数的系数与相应的常数项．请你参考前两行，补全第三行的算筹图． (3)利用现代高等代数的符号可以将（1）中方程组的系数排成一个表， 这种由数排成的表叫做矩阵．容易看出，这个矩阵与上面的算筹图是一致的，只是用阿拉伯数字替代了算筹． 已知矩阵有如下的初等变换：①用一个非零的数乘矩阵的某一行；②将一行的k倍加到另一行上；③交换矩阵中两行的位置．初等变换可以帮助我们解多元一次方程组． 例如，用矩阵的初等变换解二元一次方程组的步骤如下： 第一步：将此方程组的系数写成矩阵：； 第二步： ， 故此方程组的解为． 请你仿照上述方法，补全用矩阵的初等变换解三元一次方程组的步骤． 第一步：将此方程组的系数写成矩阵：______________． 第二步： 故此方程组的解为_____________． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，列出方程即可； （2）根据“只用算筹表示出未知数的系数与相应的常数项”，即可得到答案； （3）根据矩阵的变换：①用一个非零的数乘矩阵的某一行；②将一行的k倍加到另一行上；③交换矩阵中两行的位置．即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：； （2）解：补全算筹图如下： （3）解：第一步：将此方程组的系数写成矩阵：． 第二步： ， 故此方程组的解为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $