陕西西安市临潼区华清中学2025-2026学年高三下学期第一次自主命题数学试题

**基本信息** 高三数学模拟卷以核心素养为导向，覆盖集合、复数、概率统计等主干知识，梯度设计合理，新能源汽车调查、趣味爬楼梯等真实情境体现数学应用价值。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|集合、复数、向量、椭圆|基础题与能力题结合，如函数单调性考查数学思维| |多选题|3/18|统计、立体几何|独立性检验（数据观念）、线面垂直（空间观念）| |填空题|3/15|等比数列、双曲线|双曲线离心率计算体现数学眼光| |解答题|5/77|解三角形、抛物线、立体几何轨迹、概率递推、导数|抛物线与圆综合（模型观念）、概率递推（应用意识），梯度适配高考要求|

华清中学2025-2026学年（下）高三年级第一次自主命题 数学参考答案 1、 选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 D D B A C D B B BCD ABD BC 二、填空题 13． 14. 1023 15. 三、解答题（解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）． 15.（1）设三角形的外接圆的直径长为 由正弦定理和已知得:所以， 即由余弦定理得，因为，所以 （2）因为，所以因为，所以 由余弦定理得， 16(1)由抛物线的定义可知. 因为|MF|=|MO|，所以. 因为|MF|=，所以，解得p=2，故C的方程为. (2)由题意知直线AB的斜率不为0，设，，其方程为x=my+t， 联立 得y2-4my-4t=0，Δ=16(m2+t)>0， 则+=4m，=-4t， 因为以AB为直径的圆过点O，所以OA⊥OB，即·=0，则，+=0， 即+=0，≠0， 解得=-16=-4t，所以t=4. 又=m(+)+8=4m2+8，所以Q(2m2+4，2m)， 当m=0时，=0； 当m≠0时，=. 17.（1）由题意得直四棱柱 的所有棱长都为4，则底面 为菱形， 又，所以 和 都是等边三角形. 设 与 相交于点，且，则以 为原点，为 轴，为 轴，过 垂直于底面的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则,,,，,,,. 设，,， 由， 得， 即， 所以点 的轨迹为在 平面内，以 为圆心，2为半径的半圆弧，其长度为 . （2）由（1）可知，平面 的一个法向量为，， 设直线 与平面 所成的角为 ，则， 又,，所以，故直线 与平面 所成的角为定值. 18.　(1)由题可知p2=×+=， p3=××+××=. (2)随机变量X所有可能取值为3，4，5，6， P(X=3)==， P(X=4)=××=， P(X=5)=××=， P(X=6)==. X的分布列为 X 3 4 5 6 P E(X)=3×+4×+5×+6×=5. (3)爬到第n+2个台阶有两种情况： 情况一：爬到第n个台阶，下一步上两个台阶爬到第n+2个台阶； 情况二：爬到第n+1个台阶，下一步上一个台阶爬到第n+2个台阶. 故pn+2=pn+1+pn， 则pn+2+pn+1=pn+1+pn， 所以pn+1+pn=p2+p1=+×=1， 即pn+1-=×， 又p1-=-≠0，故是首项为-，公比为-的等比数列， 所以pn-=-×=×， 故pn=+×. 19. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考 试 号： _______________ ) 绝密★启用前| 华清中学2025-2026学年（下）高三年级第一次自主命题 科目：数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 命题人、校对人：高三数学组 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效. 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.若集合，则 A． B． C． D． 2.已知复数满足，是的共轭复数，则的虚部为 A． B． C． D． 3.已知向量，向量在方向上的投影向量为，则 A．-1 B．1 C．-2 D．2 4.已知，则“圆C:不经过第四象限”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5.两位游客准备分别从华清池、兵马俑、钟楼、大雁塔4个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择华清池”，事件“两位游客选择的景点不同”，则 A． B． C． D． 6. 已知椭圆（），其左、右焦点分别为，离心率，点P为该椭圆上一点，且满足，已知的内切圆的面积为3π，则该椭圆的长轴长为 A.2 B.4 C.6 D.12 7.已知函数在区间上单调，则的取值范围为 A. B. C. D. 8.若对都有成立，则的最大值为 A.1 B.2 C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.近年中国新能源汽车进入高速发展时期，为了了解消费者的购车类型与地域是否具有相关性，某品牌车商随机调查了甲、乙两地各200名消费者，得出统计图如下，根据此统计图，下列结论正确的是 附：，. 0.01 0.001 6.635 10.828 A．在所调查的甲地购车者中，购买燃油车的人数比新能源车的多20人 B．在所调查的乙地购车者中，若用分层随机抽样抽取20人，则其中新能源车主有12人 C．根据小概率值的独立性检验，消费者的购车类型与地域有关 D．从所调查消费者中随机选一人，在已知其为新能源车主的条件下，其来自甲地的概率为0.4 10.已知，则 A． B． C． D． 11. 在长方体中，已知，分别为的中点，则 A. B1D⊥平面BMN B. 若P为对角线AC上的动点(包含端点)， 则三棱锥的体积为定值 C. 三棱锥的外接球的体积为π D. 若点P为长方形ABCD内一点(包含边界)，且D1P∥平面BMN，则D1P的最小值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 计算： ． 13. 已知等比数列及等差数列,其中，公差. 将这两个数列的对应项相加，得一新数列则等比数列的前10项之和为 . 14. 双曲线C的两个焦点为,以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C的两支分别交于两点，且，则C的离心率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分）在三角形中，已知角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）设三角形的边上的高为，且，求的值. 16.（15分）已知为坐标原点，是抛物线：的焦点，是上一点，且||=||=. （1）求的方程； （2）A，B是C上两点(A，B异于点)，以AB为直径的圆过点，Q为AB的中点，求直线OQ斜率的最大值. 17.（15分）如图，直四棱柱的所有棱长都为4，,点在四边形的边界及其内部运动，且满足. （1）求点的轨迹的长度； （2）证明：直线与平面所成的角为定值. 18.（17分）为了增强学生体质，学校举办趣味爬楼梯比赛.从地面开始，小明爬楼梯有两种方式，一步上一级台阶或两级台阶，其中一步上一级台阶的概率为，上两级台阶的概率为，爬楼梯过程中，小明爬到第n个台阶的概率为. （1）求的值； （2）设随机变量X表示小明爬3步上的台阶总数，求X的分布列及均值； （3）求. 19.（17分）已知函数 （1） 若时，求函数在上的切线方程； （2） 若使得当时，的值域为. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 高三年级月考数学试题 第3页（共4页） 高三年级月考数学试题 第4页（共4页） 高三年级月考数学试题 第1页（共4页） 高三年级月考数学试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $