陕西西安市临潼区华清中学2026届高三下学期第二次自主命题数学试题

**基本信息** 高三数学模拟卷，涵盖函数、几何、统计等核心知识，以新能源充电桩统计、定义新运算等情境设计，考查数学眼光、思维与表达能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|复数、命题、函数性质|基础概念辨析，如纯虚数判定、函数周期性| |多选题|3/18|立体几何、统计、新运算|创新情境设计，如定义斜率运算探究轨迹| |填空题|3/15|等比数列、方差、函数图像|综合计算，如分层方差求解、函数交点问题| |解答题|5/77|统计回归、数列、导数、椭圆、立体几何|现实应用与综合能力，如充电桩回归分析、椭圆面积最值及定点探究|

华清中学2025-2026学年（下）高三年级第二次自主命题 数学参考答案 一、 选择题 2 3 4 5 6 8 9 10 11 D B A D C A B D ACD AD AC 二、填空题 12.2 13.10.8 14.-3 三、解答题（解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）. 5 15.解：(1)由题意可得： 1 X=H =3万= 21 5Γ1 =4.29 5 2xy-5xy72.6-5x3×42 故b= =0.96； 2x-5x2 55-5×32 i= a=y-bx=4.2-0.96x3=1.32: 则y关于x的回归直线方程为：=0.96x+132 (2)由题意知，随机变量X的取值为：0,1,2,3；则： PrX=0是-音rx=-答-9 C21 故X的分布列为： X 0 1 3 5 10 5 1 42 21 21 所以随机变量X的均值E(X)=0x名+1×”+2×年+3x分-号 14 16.解： 参考答案（I)由a-a,a6,得(a1+2d)2-a,(a1+ 5d),解得a1=4d, 故a。=(n+3)d.…(3分） 将数列a1,4,a4,a2,“,a4,记为{c.}, 因为c,}为等比数列，所以公比g==2 …(4分） 所以a4,=C2=a1·21.①…(5分) 又a.=(k+3)d,② 由①②，得k=23-3.…(7分) (Ⅱ)因为b.=0g2(k+3)=n+3, 哈片 …(10分) 所拟工.兮+号写号名*好宁+… 高品片) 写立中司) 品+动司制 < …………………… (15分) 17.解：(1)当a=0时，f(x)=xnx,f'(x)=1+lnx (i)因f'(1=1,f1=0,所以切线方程为y=x-1 (i)由f(x)>0得x>,由f(x<0得0<x< e 上单调说减，在[+ 上单调递增 (2)当a=0时， e 所以a>0,此时f'(x)=lnx-a+1 显然f'(x是(0，+o）上的增函数，且x→0时，f'(x→-0，x→+0时， f'(x)→+0， 2 所以存在唯一正实数6使得f"(x)=0,即lnx,-a+1=0 Xo 此时f(x)在(0，x)上单调递减，在(xo,+o)上单调递增 由题意f=6-ah+号学20 6m-号-1R入上试聚春：6-含心+≤0，解海：号2a Xo 此时a=1+1n,f代入后L+o西≤五≤21+，X 2 化简符：-≤，≤1，解行：E≤≤e 1 1 令8(=1+n),其中店≤x5e 则g'(x)=2+lnx>0,所以gx)是区间 上的增函数， 1 所以g ≤a≤g(e),代入得到a的取值范围是 18解图%题C若+茶=o>>0.整直5{-10.5L0。 c=1,0a2-b=l,由MR,1x轴，点M的横坐标为1，代入椭圆方程：↓+ 62=1 a2-b2=1 b23 a 2 解得a=2,b2=3, 椭圆C的方程为： 43 (2)由(1)知点 MF2为直线x=1,由AH⊥MF,得H(1,y), 设直线AB的方程为x=my+4,A(x,乃)，◆B(x2,2), x=my+4 则联立： + -=1 43 消元得：(3m2+4)y2+24my+36=0, △=576m2-1443m2+4>0,所以m2>4, 24m 36 由韦达定理：片+乃=3m+40%43m+4 ①S.as=3oPk-为2房-小 则y-2=V0y+2)2-4yy2= 12Vm2-4 3m2+4 24t24 令1=m2-4◆>0)，则m2=P+4,所以心3+163 16, t 由均值不等式3+16≥85，当且仅当3=16 时取等号， .Smax 24 =√3 8V3 ②直线HB过点H1,y)和B(x,2),方程为：y-片=2-出(x-. x2-1 令y=0,得：x=1-5- 2-y 将x=y2+4代入：x=当-m少-4y y2- 3 由韦达定理得m=一2%+乃， 3 代入化简： h+2(4+⅓)-4y X= 2-y y2-yi 2 直线HB恒过定点 3o 19.解：(1)连接DE,OF,设AF=tAC,则BF=BA+AF=(I-t)BA+tBC, AO=-BA+BC,BF⊥A0, 则BF.A0=[0-)BA+i8C]-(BA+BC)=-18+1BC=4-)+4=0, 譬得1则F为AC的中点，由D,E,0,F分别为PB,PA,BC,AC的中点 于是DE1A8,DE=4B,OF174B.0F=4B,即DE10F,DE=0F,则边形 2 ODEF为平行四边形， EF//DO,EF=DO,又EF丈平面ADO,DOC平面ADO, 所以EF/平面ADO (2)由1)可知EF∥0D,则10=N6.D0=5,得1D=5D0=30 2 图此0D2+A0=AD2=则0DL40,有EF上40 又AO⊥BF,BF∩EF=F,BF,EFc平面BEF, 则有AO⊥平面BEF,又AOC平面ADO,所以平面ADO⊥平面BEF, (3)过点O作OH/BF交AC于点H,设AD∩BE=G, 由AO⊥BF,得HO⊥AO,且FH=二AH, 3 又由(2)知，OD⊥AO,则∠DOH为二面角D-AO-C的平面角， 因为D,E分别为PB,PA的中点，因此G为△PAB的重心， 即省DG=写4D.GE=号8E,又H-写，降有DH=GF, 315 4+ c0s∠ABD=22=4+6-PA 2×2× V62x2×V6 解得PA=V4,同理得BE=V6 2 于是BE2+EF2=BF2=3,即有BE⊥EF,则GF2 (9 从而GF= ,DH=&x. 3 232 在△D0H中，OH=BF= 1 2 2,0D=6 2 DH=5 2 6.315 于是c0s∠DOH=444 V2 2， -X 22 所以二面角D-A0-C的正弦值为2 D H F 6绝密★启用前| : 华清中学2026届高三下学期第二次自主命题 数学试题 : (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 命题人、校对人：高三数学组 注意事项： : 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. : p 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.已知复数z=m-7m+6+(m2-36)i是纯虚数，则实数m的值为 : A.±6 B.1或6 C.-6 D.1 2.已知命题p:x∈R,x+1P1;命题q:x>0,x3=x,则 O O A.p和q都是真命题 B.P和q都是真命题 C.p和9都是真命题 D.卫和一9都是真命题 3.已知f)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f,=5-2x,则f(习 等于 : .: B 4 C. 2 4 ,则sina- O 4.已知0<a<n,osg- 2 5 4 A. 2 B. C.35 D. 7√5 10 5 10 10 区 5.已知椭圆C:父+y=1的左、右焦点分别为F,B,直线y=x+m与C交于4，B两点，若 : 3 : △FAB面积是△F,AB面积的2倍，则m= : : 2 A. B. C. 3 3 高三年级数学试题 第1页（共4页) 6.若圆C1:(x+1)2+(y-1)2=4与C,:(x-2)2+(y+3)2=25交于M,N两点，则四边形MCC2 的面积为 A.4V6 B.8√6 C.26 D.√6 7.甲箱中有2红球，3个白球和2个黑球，乙箱中有3个红球和3个黑球，先从甲箱中随机 摸出一个球放入乙箱中，再从乙箱中摸出2个球，分别用A,A,A表示从甲箱中摸出的球是红 球，白球和黑球的事件，用B表示从乙箱中摸出的2个球颜色不同的事件，则下列结论不正 确的是 A.P4)-=号 B.P国4)=8 C.P(4)号 D.(a) 8.已知向量a,方满足园==2，a-i=2,向量a-c与向量方-c的夹角为无，则a-d的最大 值为 A.3 B.2 c.43 D.4 3 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， M 9.如图，在正三棱柱ABC-AB,C,中，点P,Q,MN分别是AB,CC,AC1, B BC的中点，则下列说法中正确的有() A.PQ/平面ABC B.MN⊥BC C.PQ⊥平面ABBA1 D.PQ与N相交 10.下列结论正确的是（) A.将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变 B.在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差 C.两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的绝对值越接近于0 0-刃 D.决定系数R2=1- =1 可以衡量一个模型拟合效果，它越大说明拟合效果越好 20g-列 11.已知点A(-2,0),B(2,0),点P(x,y)(x≠±2)为平面上的一个动点，k为直线的斜率.定义运 算：k4田k=-2,则下列说法正确的是() 高三年级数学试题 第2页（共4页） A.若运算⊕为加法，则P点的轨迹曲线关于原点对称 B.若运算⊕为减法，则P点的轨迹为开口向右的抛物线的一部分 C.若运算⊕为乘法，则P点的轨迹为焦点在y轴上的椭圆的一部分 D.若运算⊕为除法，则P点的轨迹为一条直线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比 为 13.某班30个男生的数学平均分为90，方差为4,20个女生的数学平均分为85，方差为6， 则全班50个学生的数学成绩的方差为 11已知函数f孔)-n(@r+p,如图dB是直线y广}与自线y-f)的南个女点，若 A8到=石，则f()= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)随着新能源产业的发展，我市近年来新能源汽车保有量快速增长，为了研究我市 充电桩建设的情况，能源部门收集到了2021年到2025年充电桩数量y(单位：万个)，为 方便研究，年份代码用x表示（用1,2，…，5分别表示2021年，2022年，…，2025年），具 体参考数据如下表： i=1 统计量 y i=1 i= ∑xy i=1 5 数值 15 21 55 72.6 (1)请根据表中数据，建立y关于x的回归直线方程)=bx+a; (2)现对该市某区域现有的9个充电桩进行检查，其中4个为快充桩，随机抽取3个充电桩 进行检查，记抽到的快充桩个数为X,求X的分布列及均值， ∑(x-x0y-) 参考公式：b= ,a=y-bx. 高三年级数学试题 第3页（共4页） : ·: 16.(15分)在等差数列{n}中，公差d≠0，a=a4a6,己知a,a,a%,a,…,a成等比数列. : (1)求数列kn}的通项公式： (2)设b=1og(kn+3),证明：数列 1的前n项和T,<18 11 nba】 1、(15分)已知函数f)=(-alm+号，其中a≥0. 年 (1)当a=0时， (i)求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程； 张 : (ⅱ)求函数f(x)的单调区间； 河 (2)若f(x)≥0，求a的取值范围. .·.· 游 847分)已知椭圆C客+1a>6>0的左、右焦点分别为-L0,L,0),点M在 游 .: C上，M,上x轴，且 3 S (1)求C的方程； : (2)过点P(4,0)的直线交C于不同的两点A、B,AH⊥MF于点H, ①求△OAB面积的最大值： ②判断直线HB是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由. 19.(17分)如图，在三棱锥P-ABC中，AB I BC,AB=2,BC=2√2，PB=PC=√， BP,AP,BC的中点分别为D,E,O,AD=√5DO,点F在AC上，BF⊥AO. : O O (1)证明：EF//平面ADO: (2)证明：平面ADO⊥平面BEF: (3)求二面角D-AO-C的正弦值. 题页翻至末尾，题海跋涉就要告一段落，相信你已做好准备。请记住，人生从无无解难题， 前路自有最优答案。祝高考步步皆顺，道道从容，所得皆为最优解。 华清中学2026届高三数学组 高三年级数学试题第4页（共4页） ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考 试 号： _______________ ) 绝密★启用前| 华清中学2026届高三下学期第二次自主命题 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 命题人、校对人：高三数学组 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效. 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.已知复数是纯虚数，则实数m的值为 A.±6 B.1或6 C.－6 D.1 2.已知命题p：，；命题q：，，则 A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 3.已知是定义在R上且周期为2的偶函数，当时，，则 等于 A. B. C. D. 4.已知，，则 A. B. C. D. 5.已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与交于两点，若面积是面积的2倍，则 A. B. C. D. 6. 若圆与交于两点，则四边形的面积为 A. B. C. D. 7.甲箱中有2红球，3个白球和2个黑球，乙箱中有3个红球和3个黑球，先从甲箱中随机摸出一个球放入乙箱中，再从乙箱中摸出2个球，分别用表示从甲箱中摸出的球是红球，白球和黑球的事件，用B表示从乙箱中摸出的2个球颜色不同的事件，则下列结论不正确的是 A． B． C． D． 8.已知向量满足|，向量与向量的夹角为，则的最大值为 A. B.2 C. D.4 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.如图，在正三棱柱中，点P，Q，M，N分别是，，，BC的中点，则下列说法中正确的有（ ） A. 平面ABC B. C. D. 相交 10.下列结论正确的是（ ） A.将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变 B.在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差 C.两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的绝对值越接近于0 D.决定系数可以衡量一个模型拟合效果，它越大说明拟合效果越好 11. 已知点,点为平面上的一个动点，为直线的斜率.定义运算：,则下列说法正确的是( ) A.若运算⊕为加法，则P点的轨迹曲线关于原点对称 B.若运算⊕为减法，则P点的轨迹为开口向右的抛物线的一部分 C.若运算⊕为乘法，则P点的轨迹为焦点在y轴上的椭圆的一部分 D.若运算⊕为除法，则P点的轨迹为一条直线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为_______． 13.某班30个男生的数学平均分为90，方差为4，20个女生的数学平均分为85，方差为6，则全班50个学生的数学成绩的方差为_______. 14.已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则______ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分）随着新能源产业的发展，我市近年来新能源汽车保有量快速增长，为了研究我市充电桩建设的情况，能源部门收集到了2021年到2025年充电桩数量（单位：万个），为方便研究，年份代码用表示（用分别表示2021年，2022年，…，2025年），具体参考数据如下表： 统计量 数值 15 21 55 72.6 （1）请根据表中数据，建立关于的回归直线方程； （2）现对该市某区域现有的9个充电桩进行检查，其中4个为快充桩，随机抽取3个充电桩进行检查，记抽到的快充桩个数为，求的分布列及均值． 参考公式： 16.（15分）在等差数列中，公差，已知成等比数列. （1） 求数列的通项公式； （2） 设，证明：数列的前项和. 17.（15分）已知函数，其中. （1）当时， （ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （ⅱ）求函数的单调区间； （2）若，求的取值范围. 18.（17分）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，轴，且． （1）求的方程； （2）过点的直线交于不同的两点于点， ①求面积的最大值； ②判断直线是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由． 19.（17分）如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面BEF； （3）求二面角的正弦值. 题页翻至末尾，题海跋涉就要告一段落，相信你已做好准备。请记住，人生从无无解难题，前路自有最优答案。祝高考步步皆顺，道道从容，所得皆为最优解。 ——华清中学2026届高三数学组 高三年级数学试题 第3页（共4页） 高三年级数学试题 第4页（共4页） 高三年级数学试题 第1页（共4页） 高三年级数学试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $