陕西西安市临潼区华清中学2025-2026学年高三下学期4月月考数学试题

数 学 注意事项： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟。答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题 卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答策标号涂黑。 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效。 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区城内。写在试题卷、草稿纸 和答题卡上的非答题区城均无效。 ® 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 铷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 邮 1.已知集合A=(x|2x-5<3),B={一2，一1,1,3,5}，则A∩B= A{-2,-1) B.(-2,-1,1) C.{-2,-1,1,3)》 D.(-2,-1,1,3,5)》 长 p 2已知复数z满足2马=2十i,则z的虚部为 召 A-青 B-名 c子 D号 粥 3.已知向量a=(m,1-3m),b=(-4,10),且a∥b,则m= 都 A.2 R是 c品 D品 期 4已知椭圆号+苦-1的左右焦点分别为R,F,点P是椭圆上的一点，则PF·PF,的 最大值为 A.10 B.9 C.8 D.7 5.已知a∈（受x),则sina=是“sin2e= 3 22的 3 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D,既不充分也不必要条件 6.圆x2十y2一5=0与圆x2+y2一6x十8y一15=0的公共弦的长为 A.2 B.√6 C.4 D.26 7.用模型y=c·er拟合一组数据时，为了求出回归方程，设x=lny,其变换后得到经验回归方 程为2=一2x十0.5，则的值为 A号 B-9 C.。 D.- 2ve 2e 8.已知三棱锥P-ABC的各顶点均在表面积为16π的球O的表面上，且AP=2√2，AB=AC=2, OB⊥OC,则三棱锥O-PBC体积的最大值为 A22 3 B23 c 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法正确的是 A.样本数据15,15,16,17,19的80%分位数是18 B数据x1,x2,…,x1o的平均数为2，那么数据2x1十3,2x2十3，…，2x10十3的平均数为7 C.已知A,B分别为随机事件A,B的对立事件，P(A)>0,P(B)>0,则P(B|A)十P(B|A) =P(A) D.已知A,B分别为随机事件A,B的对立事件，P(A)>0,P(B)>0,若P(AB)=P(A), 则P(BA)=P(B) 10.已知双曲线C:号-造-1，过点P(1w2)的直线1与C交于M,N两点，则 A.C的实轴长为2 B.C的离心率为2 C.点M到C的两条渐近线的距离之积为3 D.点P可能是线段MN的中点 1.已知定义在(0，+∞)上的函数f(x)满足Vx,y∈(0，十∞)，都有f()=f(x)- xf(y),且当x>1时，f(x)>0,则 A.f(1)=1 Bf(2）+f(x)=0 C.f(x)在(1，十∞)上单调递增 D.当x>1时，f(x2")>2"f(x)(n∈N·) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知数列{an}为等差数列，且2a4十a2=9,则as= 13,将函数f(x)=sinx的图象先向右平移答个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原 来的行，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，则g(）= 14已如不等式n(x+1)<若-1ha对任意的x∈（一1，十o∞）恒成立，则a的取值范固是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且asin B-=bcos(否-A) (1)求角A的大小； (2)若a=√I3,△ABC的面积为3√3，求△ABC的周长， 16.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=(行x2+x+ax. (1)若函数f(x)在区间[4，十∞)上单调递增，求a的取值范围； (2)已知函数g(x)=寻，若对Vx∈[1,3]，3x∈[1,3]，使得f(x)≤g(x),求a的 取值范围. 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=PA=PC=2, PB=√2. (1)求证：平面PAC⊥平面ABCD; P (2)点E满足P吃=AC,求二面角P-BC-E的余弦值. 18.（本小题满分17分) 已知抛物线E:y=2x(p>0)上的一点A(1,%)(0>0)到E的焦点的距离为号，点B,C 是E上不同的两点. (1)求E的方程； (2)若直线AB与直线AC的倾斜角互补，求直线BC的斜率； (3)若AB⊥AC,求点A到直线BC的距离的最大值. ® 19.（本小题满分17分) 如 已知一个袋子中有m十1个红球，m个黑球(m∈N·,m≥2)，这些球除颜色外完全相同. (1)若=2，甲、乙进行摸球比赛，按先甲后乙依次轮流摸球，某人摸球时从袋子中摸出一个 解 球，记下颜色后放回袋中，摸到红球得一分否则对方得一分（记为一次摸球），规定当一方 比另外一方多2分时胜出，比赛结束， (1)求第2次摸球后比赛结束的概率； ☒ (‖)若规定甲、乙摸球次数的总和达到2n(n∈N·)时也比赛结束，设随机变量X为比赛 邪 结束时的摸球次数，求X的分布列和数学期望； (2)将口袋中的球随机逐个取出，并放人编号为1,2,3，…，2m十1的盒子中，其中第k次取 杯 出的球放人编号为k(k=1,2,3,…,2m十1)的盒子中，记随机变量Y表示最后一个取出 的黑球所在的编号的倒数，E(Y)是Y的数学期望，求证：E(Y)<(2m十1)(m-) 参考答案 1.C由题意知A={x|2.x一5<3}={x|x<4),又B=〈-2，一1,1.3,5)，所以A∩B=〈-2，一1,1,3).故 选C. 2D因为=2+i.所以=2卉+1=2十帚2-可+1=2号+1=号-吉，所以：=子+甘的能部 为号故选D 3.A因为向量a=(,1-3m),b=(-4,10),且a∥b,所以10m-(一4)(1一3m)=0,解得n=2.故选A. 4B因为点P是椭圆上的一点，所以PF,|+PF=6,所以PR,·IPF≤(PB十PE)= 2 9.当且仅当|PF|=|PF2|=3时等号成立，所以|PF|·|PF2|的最大值为9.故选B. 5.A若sna=号，又a∈（受），得csa=-个-s8=-写，则s如2a=2snsa=2×号× 3 (-写）=-2号所以s如。-号是”血2a-2号的充分条件若2a=-2号则5如60s&=-号 3 3 所以(sina-cosa)2=1-2 in。=3十32又e∈受，元，所以sin。>0,cose<0,所以sin。cosQ sin a-cos a6 sin a= sin a=6 5E,由 3 3 3 解得 或 故“sina=写"不是“sin2a= 3 sin acos a=- 3, COs a=-V6 (cos a=-13 , -2号的必要条件故sn。-号”是”sn2a=-2”的充分不必要条件，故选A 3 6.C将圆x2+y2一5=0与圆x2+y2一6.x+8y一15=0的方程作差可得3.x一4y+5=0,所以两圆相交弦所在 直线的方程为3.x一4y十5=0，圆x2+y一5=0的圆心为原点O(0,0),半径为=5，原点0到直线3.x一4y +5=0的距离为d=√3+(-1，所以两圆的公共弦长为2VP一=4故选C 5 7.B由模型y=c·e,可得lny=ln(c·e)=k.x十lnc,即z=k.x十lnc,因为变换后得到线性回归方程为= -2x十0.5，可得k=-2nc=0.5所以c,后=-号故选B 8.A设球O的半径为R,所以4πR2=16π，解得R=2,故OB=OC=2,又OB⊥OC,所以BC=2√2，所以AB⊥ AC,设BC的中点为O1,则O是△ABC外接圆的圆心，则OO⊥平面ABC,OO=√2.以O为坐标原点， OA,OB,OO分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A(2,0,0),O0,0W2), √2+y2+(z-2)=2. 设点P(x,y,z),因为AP=2√2，OP=2,所以 即 √（.x-√2)+y+2=2√2， A x2+y2+（z-√2)2=4， 两式相减解得之一√2=x,代回上式可得2.x2十y2=4,所以 ((x-√2)2十y2+z2=8, 2x2≤4，即|x≤2，又平面OBC的一个法向量为n=0A=(√2,0,0).O驴=(x,y,z-√2)，所以点P到平 面OBC的距离为d=n,0驴1-Exl=|x≤2，所以点P到平面OBC的最大距离为2，所以三楼锥 n √2 0-PBC体积的最大值为oc=号×号×2X2Xw厄=2号.故选A 9.ABD因为5X0.8=4,故样本数据15,15,16,17,19的80%分位数是719=18，故A正确：因为， 2 x2,…,x1o的平均数为2，所以1十x2十…十x0十x1o=10X2=20.所以2x1十3,2x2十3，…，210十3的平均数 为：2十3+2a十8++2m+3_2m十+十0+2)+3X10=8=7,放B正确：P(B1A)+ 10 10 PCBA)=PA米A2-究=1，故C结误由PAB)=PA.得器2-P(A,即PAB) P(A> P(B> =P(A)P(B),所以A,B相互独立，所以P(B|A)=P(B),故D正确.故选ABD. 10.BC由题意知a=2,b=2√5，c=√4+12=4，所以C的实轴长为2a=4,离心率e=￡=2，故A错误，B正 确：设M(,n),所以号-造=1，所以点M到C的两条渐近线的距离之积为+ √(3)2+12 3二n=3i一近=3，故C正确：显然直线1的斜率存在，设直线1的方程为y=k(x-1)+E, √/(3)2+1 4 2_2 M),N(x2,2),由 得3x2-[k(x-1)+2]2=12,即(3-k2)x2-2k(2-b)x- y=k(x-1)+√2 6W2-2-12=0,则十2=-2二2坠若点P是线段MN的中点，则十2=2，则-2二22=2， 3k2 3一k2 解得k=3要，此时△=(2-2厄k)2-4(3一)（一+2厄k-1W=-66<0,矛眉.所以点P不可能是线 段MN的中点，故D错误.故选BC. 1.BCD由/（子）=yfx)-xfy),取.x=y=1,得f1)=∫(1)-f1)=0,故A错误；由（号）= fx)-fy),取x=1,因f1)=0,故f(号）)=-f),即f()=-f(x),所以f()+f(x) =0,故B正确；任取>x>1,则号>1，依题意，f()>0,而f(）=xf()-f(x),则 f)-f()>0,即fC>12,即g(x)=f2在(1，+o∞)上是增函数于是对于fx)= 1 xg(x),任取1>x2>1,因g(x1)>g(x2)>0,则x1g(x1)>x2g(x2),即f(x1)>f(x2),即函数 f(x)在1，+∞)上单调递增，故C正确：由f(号)-(x)-xfy),取x=y,可得，fy)=y) -yfy),整理得fy)=(y+子)f,当>1时，y+}>2且fy)>0,故fy2)>2fy),即 f2>2,fK)=f）.2.号：…f3·fx>2f)a∈N),放D f(x2)f.x)`fx23) 正确.故选BCD. 12.3设数列{an}的公差为d,则2a4+a=2(a1+3d)+a1十6d=3a1+12d=3(a1十4d)=3a5=9,所以a5 =3. 18.- 将函数f(x)=sinx的图象先向右平移石个单位长度，得到y=sin(x一)的图象，再把所得函数 图象的横坐标变为原来的号，纵坐标不变，得到的图象对应函数为g(x)=sn(3x一晋），所以g()= sin(3x受-吾）=s如n(8x-等）- 14.(0,e]不等式ln(x+1D≤ -lna对任意的x∈(-1，十oo)恒成立，即ln(x+1)+x+1≤e+1-na+ x+l一lna,即er+)+ln(x+l)≤e+1-ha+x+1一lna.设f(x)=x+e,易得该函数单调递增，则 f(ln(x+1))≤f(x+1-lna)对任意的x∈(-l,+o∞)恒成立，所以ln(x+1)≤x+1-lna,所以lna ≤x+1-n(x+1),令gx)=x+1-h(x+1),所以g(x)=1-=z希所以当xe(-1,0)时， g(x)<0,当x∈(0，+∞)时，g(x)>0,所以g(x)在（一1,0）上单调递减，在(0，十o∞)上单调递增，所 以g(x)mn=g(0)=l,所以lna≤1，解得0<a≤e,即a的取值范围是(0，e]. 15.解：(1)因为asin B=-bcos(答-A),由正弦定理得sin Asin B=-sin Bcos(答-A), 又sinB≠0，所以sinA=cos(答-A)- 2cosA+ 之sinA,整理可得tanA=3,…4分 且A∈(0，x),所以A=号 …6分 (2)因为△ABC的面积为3/5，所以受esinA=26csin吾-96c=35,得6c=12,…8分 又a=√13，由余弦定理得a2=b2+c2-2 bccos A=b2+c2一bc=13,所以b3+c2=13+bc=25,…10分 所以b十c=/(b十c)7=√0十c2+2bc=√25十24=7，…12分 所以△ABC的周长为a十b+c=7+√13. 13分 16,解：1)由题意知了(x)=弓2+x+a+(号x+1)x=2+2x+a,又函数了(x)在区间[4，十oo)上单调 递增，所以x∈C4,十o∞)，f(x)≥0，所以x∈[4，十∞)，f(x)=x2十2x十a≥0恒成立，…2分 y=x2十2x十a在[4，十o∞)上单调递增，所以f(x)n=16十8十a≥0，…4分 解得a≥一24，即a的取值范围是[一24，十∞)。…6分 (2)若对Hx1∈[1,3]，3x2∈[1,3]，使得f(x1)≤g(x2),所以∫(x1)x≤g(x2)mx,…8分 又gx)=卫-2，当x∈[1,2，gx)>0,gx)单调递增，当xe2,3]g（x)≤0， (e-1)2 g(x)单调递减，所以g(x)s=g(2)=是， …11分 因为f(x)=x2十2x十a,又y=x2+2x十a在C一1，+o∞)上单调递增，所以f(x)∈[3+a,15+a], 当≤-15时，∫(x)≤0，所以f(x)单调递减，所以jx)ms=了1)=号+a,所以号+a≤是，a≤。- 号，所以≤-15… 12分 当-15<a<-3时，30∈(1,3)，了(x0)=0,当x∈C1,o],f(x)≤0，所以∫(x)单调递减，当x∈ C,3],∫(x)≥0，所以∫(x)单调递增，又f(3)=18+3a,∫1)=a+号，所以最大值是f(1),f(3)中 较大的，所以18+3a≤是且号十a≤，所以-15<a≤8-6…13分 当≥-3时，f(x)≥0，所以fx)单调递增，所以x)m=f3)=18+3a,所以18+3a≤号a≤6- 6,所以a无獬。…14分 综上a的取值范围是(-∞，0一6]， …15分 17.(1)证明：连接BD交AC于点O,连接PO,如图所示，因为底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2,易得 AO=CO=3,DO=BO=1,又PA=PC=2,所以PO⊥AC,PO=√PA2-AO=1,…1分 所以PO十OB2=PB2,所以POLOB,…2分 又BO∩AC=O,BO,ACC平面ABCD,所以PO⊥平面ABCD,·4分 又POC平面PAC,所以平面PAC⊥平面ABCD.…6分 (2)解：由(1)可知OB,OC,OP两两垂直，以O为坐标原点，OB,OC,OP DI 所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示，所以 A(0,-3,0),P(0,0,1),B(1,0,0),C(03,0),因为Pi=2AC= 2(0,230)=(0w5,0)所以成=Pi-元=(0w50)-(0v3,-1)=(0.0,1 又P克=(1,0，-1)，B心=(-1,5,0)，设平面PBC的一个法向量为m=(1,,a1), PB·m=x1-z1=0, 则 BC.m=-x1+3h=0 令1=1.则x=3,之1=3，所以m=(3,1,5)；…8分 CE·n=2=0, 设平面BCE的一个法向量为n=(x2,为，2），则 解得2=0，令y2=1,则2= BC,n=-x2十√52=0， 5,所以n=(（5,1,0)， 10分 mn=3+1-2万 可得cos(m,m)=Tm=万X27 13分 由图可知，二面角P-BC-E的大小为锐角，所以二面角P-BC-E的余弦值为y7, 7· 15分 18,解：(1)由题意知1+台=号，解得p=合，所以E的方程为y户=x …3分 (2)因为A(1,%)(y%>0)是E上的一点，所以y=1,解得0=1，故A(1,1). (x=my+n 设直线BC的方程为x=y十1，B(x1,y1),C(x22),由 得y2-my-n=0,所以△=m2+4n 2=2 >0,y十次=m,y1y次=一n.… …5分 因为直线AB与直线AC的倾斜角互补，所以®+e=义二号+路二为二+资号方十有= 为+1'(2千D=0,即h+为+2=m+2=0, M+2+2 …7分 獬得m=-2,…8分 所以直线BC的斜率为一合 …10分 (3)设直线BC的方程为x=y十n,B(x1,y),C(x2,y2), x=my十n, 由 得y2-y-n=0,所以△=m2+4>0,y1十y2=m,y12=一n, ly=x 因为ABLAC,.所以u·kc=-1,即☆号·为二号=-1，化简得n为+n十十2=0， 所以一十m十2=0，即n=m十2，…13分 所以直线BC的方程可化为x=my十m十2.即x一2=m(y十1)， 故直线BC过定点H(2,一1).…15分 又AH=√(1-2)2+(1+1)=5，所以点A到直线BC的距离的最大值为5.…17分 19.(1)解：(1)记第2次揽球后比赛结束"为事件A,所以P(A)=号×号+号×号=号 …3分 (i)由题意知X的可能取值为2,4,6.…，2(n一1)，2n,n∈N~,… 4分 则p(X=2)=2器P(X=4=×号-p(X=6)=()°×号…， P(X=2-1D)=(器”×号P(X=2m)=(2) 其概率分布如下： 2 4 6 2(1-1) 2n P 2 156 25 625 (尝)×号 (尝)×号 (爱) …7分 所以E(X)= 若[1+2×爱+3×(2爱)》+…+(m-1(2爱》-2]+2（爱） 设s=1+2×号+3×（爱）°+…+m-1)(2号)， 2s=1×2爱+2×(2爱)°+3×（爱）°+…+(m-10(2号）， 所以号s=1+爱+（爱》++（号）-m-1()=[1-(器)]-m-(爱). 所以器s-要-（器）-2m-1(爱). 所以X0=罗-（尝）-2a-1(尝)+2m(尝)=2要-9（尝）'(m∈N).…10分 ②)证明：由题意知Y的可能取值为品“，2m∈N:,m≥2)。 则p(Y=)=器P(Y=)=,P(=)=台ueN.≤m+1., Cm+1 p(=2市)=器 则其概率分布如下： 1 1 1 1 m m+1 +2 2m+1 C= C- CHF-1 Cgn Cn+1 C见nm+1 +1 C+1 13 所以8W=离+器=d客+0c 14 因为+，=十+兴-号别←2别-0c. 所以EX0<m-02c=Gm-c2cC3+ci++c) 1 1 Can (m-D CC-(m-1)C(m =(2m+1)(m-T) …17分