精品解析：甘肃白银市靖远县2025-2026学年度第二学期期中质量监测卷八年级数学

2025—2026学年度第二学期期中质量监测卷 八年级 数 学 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 在以下“绿色食品、响应环保、可回收物、节水”四个标志图案中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 若m＞n，下列不等式不一定成立的是（ ） A. m+2＞n+2 B. 2m＞2n C. ＞ D. m2＞n2 3. 到三角形各顶点距离相等的点是三角形（　　） A. 三条中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条高线的交点 4. 下列从左到右的变形，其中是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中错误的是（　　） A. 任何一个命题都有逆命题 B. 一个真命题的逆命题可能是真命题 C. 一个定理不一定有逆定理 D. 任何一个定理都有逆定理 6. 下列说法正确的是（　　） A. 平移不改变图形的形状和大小，而旋转改变图形的形状和大小 B. 在平面直角坐标系中，一个点向右平移2个单位，则纵坐标加2 C. 在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分 D. 在平移和旋转图形中，对应角相等，对应线段相等且平行 7. 如图，平分，，，垂足分别为，．下列结论中不一定成立的是（ ） A. B. 平分 C. 垂直平分 D. 8. 在平面直角坐标系中，将点P（2，）绕原点O顺时针旋转90°后得到点P′，则点P′的坐标是（　　） A. （-2，） B. （，2） C. （2，-） D. （，-2） 9. 不等式2（x－2）≤x－2的非负整数解的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题4分，共24分） 10. 如图，在中，，与的平分线交于点，与的平分线相交于点，．．．；依此规律得，则_____． 11. 已知，，则代数式的值为________________． 12. “角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆命题是_____________． 13. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是___________.（填序号） ①线段； ②角； ③等边三角形； ④平行四边形. ⑤正六边形． 14. 如图，该图案绕它的中心旋转能与自身重合，则旋转角最小为_________ 15. 直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为 ________． 16. 如图，等边的边长为，是边上的中线，是上的动点，是边上一点，若，的最小值为______． 三、计算题（每小题5分，共20分） 17. 解不等式，并把解集表示在数轴上 （1） ； （2） 18. 解下列不等式组 （1） （2） 四、解答题（共46分） 19. 如图所示的直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别是A(-2,-4)，B(0,-4)，C(1,-1)． （1）在图中画出△ABC向左平移3个单位后的△A1B1C1． （2）在图中画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2． 20. 已知：如图，，，求证：．     21. 如图，中，，于点，于点，，与交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 22. 为提高市民的环保意识，倡导“节能减排，绿色出行”，某市计划在城区投放一批“共享单车”这批单车分为A，B两种不同款型，其中A型车单价400元，B型车单价320元． （1）今年年初，“共享单车”试点投放在某市中心城区正式启动．投放A，B两种款型的单车共100辆，总价值36800元．试问本次试点投放的A型车与B型车各多少辆？ （2）试点投放活动得到了广大市民的认可，该市决定将此项公益活动在整个城区全面铺开．按照试点投放中A，B两车型的数量比进行投放，且投资总价值不低于184万元．请问城区10万人口平均每100人至少享有A型车与B型车各多少辆？ 23. 在一次研究性学习中，小明解决了下面的问题后，还进行了拓展研究. 原问题：如图①，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D为BC的中点，点E，F分别为AB、AC边上的点，且DE⊥DF，则有结论BE=AF. 拓展问题：如图②，若点E，F分别为AB、AC延长线上的点，其余条件不变，那么结论BE=AF还成立吗？ 请你对拓展问题进行解答.若成立，请证明；若不成立，请举例说明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期中质量监测卷 八年级 数 学 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 在以下“绿色食品、响应环保、可回收物、节水”四个标志图案中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念解答即可． 【详解】A、不是中心对称图形．故错误； B、是中心对称图形．故正确； C、不是中心对称图形．故错误； D、不是中心对称图形．故错误． 故选B． 【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2. 若m＞n，下列不等式不一定成立的是（ ） A. m+2＞n+2 B. 2m＞2n C. ＞ D. m2＞n2 【答案】D 【解析】 【详解】A、不等式的两边都加2，不等号的方向不变，故A正确； B、不等式的两边都乘以2，不等号的方向不变，故B正确； C、不等式的两条边都除以2，不等号的方向不变，故C正确； D、当0＞m＞n时，不等式的两边都乘以负数，不等号的方向改变，故D错误； 故选：D． 3. 到三角形各顶点距离相等的点是三角形（　　） A. 三条中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条高线的交点 【答案】B 【解析】 【详解】∵线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ∴到三角形任意两个顶点距离相等的点，在这两个顶点所在边的垂直平分线上， ∴同时到三个顶点距离相等的点，是三角形三边垂直平分线的交点． 4. 下列从左到右的变形，其中是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因式分解就是把多项式转化成几个整式的积的形式，根据定义即可作出判断． 【详解】解：A. ，是整式的乘法运算，不符合题意； B. ，利用平方差公式因式分解，符合题意； C. ，结果不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，不是因式分解，不符合题意； D. ，不符合因式分解的定义，不是因式分解，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了因式分解的定义，正确理解因式分解的定义是解题的关键． 5. 下列命题中错误的是（　　） A. 任何一个命题都有逆命题 B. 一个真命题的逆命题可能是真命题 C. 一个定理不一定有逆定理 D. 任何一个定理都有逆定理 【答案】D 【解析】 【分析】根据命题、逆命题、定理、逆定理的基本概念，逐一判断各选项正误即可得到答案． 【详解】将原命题的题设与结论互换即可得到逆命题，因此任何命题都有逆命题，A选项说法正确； 真命题的逆命题真假性不确定，可能为真也可能为假， 例如“同位角相等，两直线平行”的原命题和逆命题都是真命题，B选项说法正确； 只有定理的逆命题本身也是真命题时，原定理才有逆定理，否则没有，因此一个定理不一定有逆定理，C选项说法正确； 不是所有定理的逆命题都是真命题，例如“对顶角相等”是定理，它的逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，因此这个定理没有逆定理，所以“任何一个定理都有逆定理”的说法错误，D选项说法错误． 6. 下列说法正确的是（　　） A. 平移不改变图形的形状和大小，而旋转改变图形的形状和大小 B. 在平面直角坐标系中，一个点向右平移2个单位，则纵坐标加2 C. 在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分 D. 在平移和旋转图形中，对应角相等，对应线段相等且平行 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移和旋转的性质，以及中心对称的性质，对选项进行一一分析，排除错误答案． 【详解】平移不改变图形的形状和大小，而旋转也不改变图形的形状和大小，故不正确； 在平面直角坐标系中，一个点向右平移2个单位，则横坐标加2，故不正确； 在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分，故正确； 在平移图形中，对应角相等，对应线段相等且平行，但是在旋转图形中，对应角相等，对应线段相等但不一定平行，故不正确． 故选：C． 【点睛】要根据平移和旋转的定义来判断．（1）在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动成为平移；（2）旋转就是物体绕着某一点或轴运动．平移和旋转的共同点是改变图形的位置． 7. 如图，平分，，，垂足分别为，．下列结论中不一定成立的是（ ） A. B. 平分 C. 垂直平分 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，全等三角形对应边相等可得． 【详解】解：∵平分，，， ． 故A选项正确． ，，， ， ，． 故B，D选项正确． 由等腰三角形三线合一的性质， 垂直平分，但不一定平分， 故C选项错误； 即不一定成立的是选项C． 8. 在平面直角坐标系中，将点P（2，）绕原点O顺时针旋转90°后得到点P′，则点P′的坐标是（　　） A. （-2，） B. （，2） C. （2，-） D. （，-2） 【答案】D 【解析】 【分析】如图，过P、P′两点分别作x轴，y轴的垂线，垂足为A、B，由旋转90°可知，△OPA≌△OP′B，则P′B=PA=，BO=OA=2，由此确定点P′的坐标． 【详解】如图，过P、P′两点分别作x轴，y轴的垂线，垂足为A、B， ∵线段OP绕点O顺时针旋转90°， ∴∠POP′=∠AOB=90°， ∴∠AOP=∠P′OB，且OP=OP′，∠PAO=∠P′BO=90°， ∴△OAP≌△OBP′，即P′B=PA=，BO=OA=2， ∴P′（，-2）． 故选D． 【点睛】本题考查了点的坐标与旋转变换的关系．关键是根据旋转的条件，确定全等三角形． 9. 不等式2（x－2）≤x－2的非负整数解的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】先求出不等式的解集，然后求其非负整数解． 【详解】解：不等式2（x-2）≤x-2 得x≤2， 因而非负整数解是0，1，2共3个． 故选：C． 【点睛】熟练掌握不等式的基本性质，正确求出不等式的解集，是解此题的关键．解不等式要用到不等式的性质：（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 二、填空题（每题4分，共24分） 10. 如图，在中，，与的平分线交于点，与的平分线相交于点，．．．；依此规律得，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】由，，而、分别平分和，得到，，于是有，同理可得，即，因此找出规律． 【详解】解：∵、分别平分和， ∴，， 而，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 以此类推可得：， ∴. ∴． 11. 已知，，则代数式的值为________________． 【答案】 【解析】 【分析】原式提取公因式，将已知等式代入计算即可求出值． 【详解】解：，， 故答案为：． 【点睛】此题考查了提公因式法的运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 12. “角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆命题是_____________． 【答案】到角的两边的距离相等的点在角平分线上 【解析】 【分析】把一个命题的题设和结论互换即可得到其逆命题. 【详解】“角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆命题是“到角的两边的距离相等的点在角平分线上”． 故答案为：到角的两边的距离相等的点在角平分线上． 【点睛】此题考查命题与定理，解题关键在于掌握如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题． 13. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是___________.（填序号） ①线段； ②角； ③等边三角形； ④平行四边形. ⑤正六边形． 【答案】①⑤ 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念. 在平面内，若一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形是轴对称图形；在平面内，若把一个图形绕着某个点旋转，旋转后的图形能和原来的图形重合，则这个图形是中心对称图形；根据两个概念逐一判断各图形即可． 【详解】解：①线段，沿线段的垂直平分线或线段所在直线折叠都能重合，是轴对称图形，绕线段中点旋转能与原图形重合，是中心对称图形，符合要求； ②角，沿角平分线所在直线折叠能重合，是轴对称图形，绕任意点旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，不符合要求； ③等边三角形，是轴对称图形，旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，不符合要求； ④平行四边形，绕对角线交点旋转能与原图形重合，是中心对称图形，不存在直线使折叠后重合，不是轴对称图形，不符合要求； ⑤正六边形，有多条对称轴，是轴对称图形，绕中心旋转能与原图形重合，是中心对称图形，符合要求． 故答案为①⑤． 14. 如图，该图案绕它的中心旋转能与自身重合，则旋转角最小为_________ 【答案】 ##度 【解析】 【分析】观察图形可知，该图形被平分成个相同的部分，根据旋转对称图形的性质，最小旋转角等于周角除以份数． 【详解】解：观察图形可知，该图案是一个旋转对称图形，且被平均分成了个完全相同的部分， 因为周角为， 所以该图案绕它的中心旋转能与自身重合的最小旋转角为． 15. 直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出a值，再根据图象得到直线在直线的上方部分的点的横坐标取值范围即可求解． 【详解】解：将点代入中，得，解得， ∴， 由图象知，当时，直线在直线的上方， ∴关于x的不等式的解集为 ． 16. 如图，等边的边长为，是边上的中线，是上的动点，是边上一点，若，的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点作，推出，则就是的最小值，再通过勾股定理运算求解即可． 【详解】解：连接，过点作，如图所示， ∵为等边三角形，是边上的中线， ∴为的中垂线， ∴， ∴ ∴就是的最小值， ∵等边的边长为，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴在中， ∴的最小值为． 三、计算题（每小题5分，共20分） 17. 解不等式，并把解集表示在数轴上 （1） ； （2） 【答案】（1）， 数轴表示为： （2）， 数轴表示为： 【解析】 【小问1详解】 解： 解得 ∴原不等式的解集为； 【小问2详解】 解： 解得 ∴原不等式的解集为 18. 解下列不等式组 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 由①得，； 由②得， ∴原不等式组的解集为； 【小问2详解】 解： 由①得，； 由②得， ∴原不等式组的解集为． 四、解答题（共46分） 19. 如图所示的直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别是A(-2,-4)，B(0,-4)，C(1,-1)． （1）在图中画出△ABC向左平移3个单位后的△A1B1C1． （2）在图中画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2． 【答案】（1）如图所示，△A1B1C1为所求的三角形； （2） 如图所示，△A2B2C2为所求的三角形． 【解析】 【分析】（1）根据平移的方法找到A、B、C三点的对应点，然后顺次连接即可得； （2）根据旋转的方法找到A、B、C三点的对应点，然后顺次连接即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】此题考查了平移作图，旋转作图，正确掌握平移的性质及旋转的性质是解题的关键． 20. 已知：如图，，，求证：．     【答案】 证明：∵，， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【详解】略 21. 如图，中，，于点，于点，，与交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）先判定出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，再根据同角的余角相等求出，然后利用“角边角”证明和全等； （2）根据全等三角形对应边相等可得，然后利用勾股定理列式求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后根据代入数据即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴． 22. 为提高市民的环保意识，倡导“节能减排，绿色出行”，某市计划在城区投放一批“共享单车”这批单车分为A，B两种不同款型，其中A型车单价400元，B型车单价320元． （1）今年年初，“共享单车”试点投放在某市中心城区正式启动．投放A，B两种款型的单车共100辆，总价值36800元．试问本次试点投放的A型车与B型车各多少辆？ （2）试点投放活动得到了广大市民的认可，该市决定将此项公益活动在整个城区全面铺开．按照试点投放中A，B两车型的数量比进行投放，且投资总价值不低于184万元．请问城区10万人口平均每100人至少享有A型车与B型车各多少辆？ 【答案】（1）本次试点投放的A型车60辆、B型车40辆；（2）3辆；2辆 【解析】 【分析】（1）设本次试点投放的A型车x辆、B型车y辆，根据“两种款型的单车共100辆，总价值36800元”列方程组求解可得； （2）由（1）知A、B型车辆的数量比为3：2，据此设整个城区全面铺开时投放的A型车3a辆、B型车2a辆，根据“投资总价值不低于184万元”列出关于a的不等式，解之求得a的范围，进一步求解可得． 【详解】解：（1）设本次试点投放的A型车x辆、B型车y辆， 根据题意，得：， 解得：， 答：本次试点投放的A型车60辆、B型车40辆； （2）由（1）知A、B型车辆的数量比为3：2， 设整个城区全面铺开时投放的A型车3a辆、B型车2a辆， 根据题意，得：3a×400+2a×320≥1840000， 解得：a≥1000， 即整个城区全面铺开时投放的A型车至少3000辆、B型车至少2000辆， 则城区10万人口平均每100人至少享有A型车3000×=3辆、至少享有B型车2000×=2辆． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等（或不等）关系，并据此列出方程组． 23. 在一次研究性学习中，小明解决了下面的问题后，还进行了拓展研究. 原问题：如图①，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D为BC的中点，点E，F分别为AB、AC边上的点，且DE⊥DF，则有结论BE=AF. 拓展问题：如图②，若点E，F分别为AB、AC延长线上的点，其余条件不变，那么结论BE=AF还成立吗？ 请你对拓展问题进行解答.若成立，请证明；若不成立，请举例说明. 【答案】 成立， 证明如下：连接AD，如图， ,点D为BC的中点， ， . , ， 在和中， ， ， . 【解析】 【分析】连接AD，根据等腰三角形的性质及等角的补角相等可得出∠EBD=∠FAD、BD=AD，根据同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF，由此即可证出△EDB≌△FDA（ASA），再根据全等三角形的性质即可得出BE=AF． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、补角及余角，解题的关键是根据全等三角形的判定定理ASA证出△EDB≌△FDA． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $