精品解析：甘肃省白银市靖远县第八中学2024-2025学年 下学期八年级 期中数学试题

2024—2025学年度第二学期期中质量检测试卷 八年级 数学 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 未来将是一个可以预见的时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列给出的三条线段的长，能组成直角三角形的是（ ） A. 1、2、3 B. 2、3、4 C. 、、 D. 5、12、13 3. 若，则下列选项中，一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点在平面直角坐标系的第四象限，则的取值范围在数轴上可表示为( ) A. B. C. D. 5. 若等腰三角形的一边长为，周长为，则此等腰三角形的底边长是（ ） A. 或 B. C. D. 或 6. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题中，其逆命题成立的是（ ） ①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④直角三角形的两个锐角互余． A. ①③④ B. ①②③ C. ②④ D. ①④ 8. 如图，在中，，，则边上的高的长为（　　） A. 4 B. 4.4 C. 4.8 D. 5 9. 如图，将△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，若△ABC的周长为20cm，则四边形ABFD的周长为（　　） A. 20cm B. 22cm C. 24cm D. 26cm 10. 如图，在中、、的平分线相交于，过作，交于，交于，那么下列结论正确的有（　　） ①，都是等腰三角形；②；③的周长等于；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分 11. 用不等式表示： x与5的差不小于x的2倍：________． 12. 已知点A（a，1）与点B（4，b）关于原点对称，则a-b=_______． 13. 因式分解：______． 14. 要用反证法证明命题“一个三角形中不可能有两个角是直角”，首先应假设这个三角形中______． 15. 某种商品的进价为500元，售价为750元，由于换季，商店准备打折销售，但要保持该商品的利润率不低于20%，那么最多可以打______折． 16. 如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC=4，则PD等于_____． 17. 如图，在中，分别是的垂直平分线，分别交 于点 ，连接，若，则的周长为______． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴于点，作等腰直角三角形（与原点O重合），再以为腰作等腰直角三角形，以为腰作等腰直角三角形；按照这样的规律进行下去，那么的坐标为_______________ 三、解答题：本大题共7小题，共66分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 解不等式并把它的解集表示在数轴上． 20. 解不等式组： （1） （2）解不等式组，并写出它的整数解 21. 某公园计划美化一块四边形区域，用来打造特色花卉展览区，每平方米的布置费用为120元．已知，相关长度如图所示（，，，）．请计算美化这块区域所需的费用． 22. 在边长为个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题： （1）作出向左平移个单位长度后得到的，并写出点的坐标； （2）作出关于原点对称的，并写出点的坐标； （3）可看作以点（ ， ）为旋转中心，旋转得到的． 23. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F． （1）求∠F的度数； （2）若CD=2，求DF的长． 24. 已知直线与直线相交于点． （1）求m，n的值； （2）请结合图象直接写出不等式的解集； （3）求直线、直线与y轴围成的三角形的面积． 25. 某学校拟向公交公司租借两种车共8辆，用于接送八年级师生去社会实践基地参加活动．两种型号的车的载客能力和租金如下表所示： 载客量（人/辆） 50 35 租金（元/辆） 450 300 设租用型车辆， （1）请用代数式表示出总租金是多少 （2）保证租车费用不超过2900元，且八年级师生共305人，请在所有满足的租车方案中，指出花费最少的方案租用了几辆型车？ 26. 在等腰直角中，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，过点E作于点F，连接． （1）尝试发现：如图1，当点D在线段上时，请探究线段与的数量关系；以下是小琳同学的探究思路梳理：由已知条件的基本图形“一线三垂直”，易证，于是可得．欲探究线段与的数量关系，由直观先猜想，要进一步证明，可尝试证明，由已知，得，于是可得：（ ① ），所以可得（ ② ），因此猜想成立．请填空：以上思路梳理中，空白①处的理由是______，空白②处的线段是______． （2）类比探究：如图2，当点D在线段的延长线上时， ①再探究线段与的数量关系并证明； ②若，求线段的长； （3）拓展应用：如图3，若，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期期中质量检测试卷 八年级 数学 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 未来将是一个可以预见的时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行判断即可． 【详解】解：A、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故符合题意； B、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意； C、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意； D、该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故不符合题意； 故选：A 2. 下列给出的三条线段的长，能组成直角三角形的是（ ） A. 1、2、3 B. 2、3、4 C. 、、 D. 5、12、13 【答案】D 【解析】 【分析】三角形三边满足两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形． 【详解】解：A、因为12+22≠32，所以三条线段不能组成直角三角形； B、因为22+32≠42，所以三条线段不能组成直角三角形； C、因为，所以三条线段不能组成直角三角形； D、因为52+122=132，所以三条线段能组成直角三角形． 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，关键知道两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形． 3. 若，则下列选项中，一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用不等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵， A、，故原不等式成立，符合题意； B、，故原不等式不成立，不符合题意； C、，故原不等式不成立，不符合题意； D、，故原不等式不成立，不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题主要考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键． 4. 已知点在平面直角坐标系的第四象限，则的取值范围在数轴上可表示为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点P在第四象限可得横坐标为正，纵坐标为负，由此列出不等式组，解不等式组即可. 【详解】解：∵点在平面直角坐标系的第四象限， ∴a-1＞0且-a＜0， 解得：a＞1， 把解集在数轴上表示为： 故选A. 【点睛】本题考查象限内点的坐标的特点，熟练掌握每个象限内点的坐标的特点是解题关键. 5. 若等腰三角形的一边长为，周长为，则此等腰三角形的底边长是（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的计算，正确理解分两种情况讨论，并且注意到利用三角形的三边关系定理，是解题的关键．长的边是腰和底边两种情况进行讨论即可求解． 【详解】解：当长是的边是底边时，腰长为，三边为，，，等腰三角形成立； 当长是的边是腰时，底边长是：，而，不满足三角形的三边关系． 故底边长是： 故选：C． 6. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．由定义进行判断即可． 本题考查因式分解的意义，牢固掌握因式分解的定义，能够根据定义对所给的式子进行判断是解题的关键． 【详解】解：A．是单项式乘多项式，故不符合题意； B．是多项式乘多项式，故不符合题意； C．是因式分解，符合题意； D．，不是因式分解，不符合题意； 故选：C． 7. 下列命题中，其逆命题成立的是（ ） ①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④直角三角形的两个锐角互余． A. ①③④ B. ①②③ C. ②④ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再分析逆命题是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 【详解】解：①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，是真命题； ②如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题是如果两个角相等，那么它们是直角，是假命题； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等的逆命题是如果两个实数的平方相等，那么它们相等，是假命题； ④直角三角形的两个锐角互余的逆命题是两个锐角互余三角形是直角三角形，是真命题； 故选：D． 【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题，难度适中． 8. 如图，在中，，，则边上的高的长为（　　） A. 4 B. 4.4 C. 4.8 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】过作于点，由等腰三角形“三线合一”的性质可得，再根据勾股定理可解得，然后根据三角形面积公式计算求解即可． 【详解】解：过作于点，如下图， ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， 在中，， ∴的面积为， ∴，即， 解得． 故选：C． 【点睛】本通主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及三角形面积公式等知识，正确作出辅助线是解题关键． 9. 如图，将△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，若△ABC的周长为20cm，则四边形ABFD的周长为（　　） A. 20cm B. 22cm C. 24cm D. 26cm 【答案】D 【解析】 【分析】由平移不改变图形的形状和大小，得对应线段平行且相等，平移的距离等于对应点所连线段的长，再将四边形的边进行转化即可． 【详解】由平移可知：AD=BE=3，DF=AC，DE=AB，EF=BC， 所以四边形ABFD的周长为： AB+BF+FD+DA =AB+BE+EF+DF+AD =AB+BC+CA+2AD =20+2×3 =26. 故选：D. 【点睛】本题考查了平移的性质，理解平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，平移的距离即是对应点的连线段的长度是解题的关键，将四边形的周长作相应的转化即可求解． 10. 如图，在中、、的平分线相交于，过作，交于，交于，那么下列结论正确的有（　　） ①，都是等腰三角形；②；③的周长等于；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，掌握等腰三角形的判定是解题的关键． 根据角平分线的定义，平行线的性质可得是等腰三角形，由此即可求解． 【详解】解：∵是、的平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴是等腰三角形，故结论①正确； ∴，， ∴，故结论②正确； ∴的周长等于，故结论③错误； ∵与的数量关系不确定，无法判定与相等， ∴，不一定相等，故结论④错误； 综上所述，正确的有①②，共2个， 故选：B． 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分 11. 用不等式表示： x与5的差不小于x的2倍：________． 【答案】x-5≥2x 【解析】 【分析】“不小于x的2倍”应表示为大于或等于x的2倍． 【详解】解：“x与5的差不小于x的2倍”，用不等式表示为x-5≥2x． 故答案为：x-5≥2x 【点睛】本题考查列不等式，解决本题的关键是理解“不小于0”用数学符号应表示为：“≥0”． 12. 已知点A（a，1）与点B（4，b）关于原点对称，则a-b=_______． 【答案】-3 【解析】 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案． 【详解】解：∵点A（a，1）与点B（4，b）关于原点对称， ∴a=-4，b=-1， ∴a-b的值为：-4-（-1）=-3． 故答案为：-3． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键． 13. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，提取公因式即可得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 要用反证法证明命题“一个三角形中不可能有两个角是直角”，首先应假设这个三角形中______． 【答案】有两个角是直角 【解析】 【分析】此题考查反证法，掌握反证法假设的特点是解题的关键． 根据反证法的定义，假设有两个角是直角即可． 【详解】解：∵命题“一个三角形中不可能有两个角是直角”的结论为， ∴反证法即第一步应假设结论的反面成立，即首先假设三角形中有两个角是直角， 故答案为：有两个角是直角． 15. 某种商品的进价为500元，售价为750元，由于换季，商店准备打折销售，但要保持该商品的利润率不低于20%，那么最多可以打______折． 【答案】八##8 【解析】 【分析】设该商品打x折销售，根据利润=售价-进价，结合要保持利润不低于20%，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【详解】解：设该商品打x折销售， 依题意得：750×-500≥500×20%， 解得：x≥8． 故答案为：八． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 16. 如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC=4，则PD等于_____． 【答案】2 【解析】 【分析】作PE⊥OA于E，根据三角形的外角的性质得到∠ACP=30°，根据直角三角形的性质得到PE=PC=2，根据角平分线的性质解答即可. 【详解】作PE⊥OA于E， ∵CP∥OB， ∴∠OPC=∠POD， ∵P是∠AOB平分线上一点， ∴∠POA=∠POD=15°， ∴∠ACP=∠OPC+∠POA=30°， ∴PE=PC=2， ∵P是∠AOB平分线上一点，PD⊥OB，PE⊥OA， ∴PD=PE=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 17. 如图，在中，分别是的垂直平分线，分别交 于点 ，连接，若，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，由线段的垂直平分线的性质可得，，进而得到的周长，即可求解，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵分别是 的垂直平分线， ∴，， ∴的周长， 故答案为：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴于点，作等腰直角三角形（与原点O重合），再以为腰作等腰直角三角形，以为腰作等腰直角三角形；按照这样的规律进行下去，那么的坐标为_______________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质以及规律型中点的坐标，由题意可得点在x轴上，且，求出，，，得出规律，即可得解． 【详解】解：由题意可得：点在x轴上，且， ∵在直线上， ∴， ∴， ∴直线为， ∴，，， …， ∴， ∴的坐标为， 故答案为：． 三、解答题：本大题共7小题，共66分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 解不等式并把它的解集表示在数轴上． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集．把不等式的解集在数轴上表示出来（向右画；向左画）．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．去分母、去括号，移项合并同类项，然后求得解集． 【详解】解：去分母得： 去括号得： 解得：． 原不等式的解集在数轴上表示如下： 20. 解不等式组： （1） （2）解不等式组，并写出它的整数解 【答案】（1） （2），整数解为：，， 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，熟练掌握解不等式的步骤是解题的关键； （1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，并求得整数解． 【小问1详解】 解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：； 【小问2详解】 解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴整数解为：，，． 21. 某公园计划美化一块四边形区域，用来打造特色花卉展览区，每平方米的布置费用为120元．已知，相关长度如图所示（，，，）．请计算美化这块区域所需的费用． 【答案】美化这块区域所需的费用为17280元 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理以及勾股逆定理的应用．连接，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，且，再根据四边形的面积求出面积，最后再算美化这块区域所需的费用即可． 【详解】解：如图，连接． ， ． ， ， 是直角三角形，且， ∴四边形的面积 ， （元）． ∴美化这块区域所需的费用为17280元． 22. 在边长为个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题： （1）作出向左平移个单位长度后得到的，并写出点的坐标； （2）作出关于原点对称的，并写出点的坐标； （3）可看作以点（ ， ）为旋转中心，旋转得到的． 【答案】（1）如图所示，点的坐标为 ． （2）如图所示， ． （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查图形的平移、旋转以及中心对称： （1）根据图形平移的性质分别求得点，，平移后的对应点，，，依次连接点，，即可． （2）分别求得点，，关于原点的对应点，，，依次连接点，，即可． （3）根据图形旋转的性质，连接和中任意两个对应点，线段的中点即为旋转中心． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 可看作以点为旋转中心，旋转得到的． 故答案为：， 23. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F． （1）求∠F的度数； （2）若CD=2，求DF的长． 【答案】（1）30°；（2）4． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°，根据三角形内角和定理即可求解； （2）易证△EDC是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=60°， ∵DE∥AB， ∴∠EDC=∠B=60°， ∵EF⊥DE， ∴∠DEF=90°， ∴∠F=90°﹣∠EDC=30°； （2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°， ∴△EDC是等边三角形． ∴ED=DC=2， ∵∠DEF=90°，∠F=30°， ∴DF=2DE=4． 【点睛】本题主要考查了运用三角形的内角和算出角度，并能判定等边三角形，会运用含30°角的直角三角形的性质． 24. 已知直线与直线相交于点． （1）求m，n的值； （2）请结合图象直接写出不等式的解集； （3）求直线、直线与y轴围成的三角形的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，一次函数与几何图形的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想求解，是解题的关键． （1）待定系数法求解即可； （2）图象法解不等式即可； （3）利用面积公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：把代入得： ，解得：； 把，代入得：，解得； 【小问2详解】 由图象可知：不等式的解集为：； 【小问3详解】 ∵， ∴当时，，故， ∵， ∴当时，，解得：，则， ∴直线、直线与y轴围成的三角形的面积为：． 25. 某学校拟向公交公司租借两种车共8辆，用于接送八年级师生去社会实践基地参加活动．两种型号的车的载客能力和租金如下表所示： 载客量（人/辆） 50 35 租金（元/辆） 450 300 设租用型车辆， （1）请用代数式表示出总租金是多少 （2）保证租车费用不超过2900元，且八年级师生共305人，请在所有满足的租车方案中，指出花费最少的方案租用了几辆型车？ 【答案】（1）元 （2）花费最少的方案一租用了辆型车 【解析】 【分析】本题考查不等式组解应用题，涉及列代数式、解一元一次方程组等，设租用型车辆，则租用种车辆辆，按照题意列代数式，列不等式组求解即可得到答案，读懂题意，按要求列式是解决问题的关键． （1）设租用型车辆，则租用种车辆辆，由表中信息列代数式即可得到答案； （2）设租用型车辆，则租用种车辆辆，由题意列不等式组求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：设租用型车辆，则租用种车辆辆， 总租金是元； 【小问2详解】 解：设租用型车辆，则租用种车辆辆， ，解得， 为正整数， 可取或， 即有两种方案： 方案一：租用型车辆，租用种车辆辆；花费元； 方案二：租用型车辆，租用种车辆辆；花费元； 花费最少的方案一租用了辆型车． 26. 在等腰直角中，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，过点E作于点F，连接． （1）尝试发现：如图1，当点D在线段上时，请探究线段与的数量关系；以下是小琳同学的探究思路梳理：由已知条件的基本图形“一线三垂直”，易证，于是可得．欲探究线段与的数量关系，由直观先猜想，要进一步证明，可尝试证明，由已知，得，于是可得：（ ① ），所以可得（ ② ），因此猜想成立．请填空：以上思路梳理中，空白①处的理由是______，空白②处的线段是______． （2）类比探究：如图2，当点D在线段的延长线上时， ①再探究线段与的数量关系并证明； ②若，求线段的长； （3）拓展应用：如图3，若，请直接写出线段的长． 【答案】（1）①等式性质1，② （2）①， 证明：∵中，， ∴， 由旋转知， ∴， ∴， ∵，, ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ② （3）或 【解析】 【分析】（1）根据，得，理由是等式性质1，可得； （2）①根据， ，，得，得，可得，即得；②由，得； （3）由，当点D在右侧时，得，即得，当点D在左侧时，得，即得． 【小问1详解】 解：∵中，， ∴， 由旋转知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（ 等式性质1 ）， ∴（ ）， 故答案为：等式性质1，； 【小问2详解】 解：①略 ②当时， ， ∴； 【小问3详解】 解：当时， 由（1）（2）知，， 当点D在右侧时，， ∴； 当点D在左侧时，， ∴． 故线段的长为或． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形与旋转．熟练掌握等腰直角三角形性质，旋转性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，分类讨论，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $