专题10.1 分式的概念（4大知识点+7大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2025-2026学年苏科版八年级数学下学期

本讲义聚焦初中数学分式的概念这一核心知识点，系统梳理分式的定义（含三要素及π为常数的特别提醒）、有意义与无意义的条件（分母≠0与=0）、值为0的双条件（分子=0且分母≠0）及值的实际意义，构建从概念到应用的完整学习支架。 该资料以分层题型（基础、培优、压轴）设计为特色，通过实例辨析分式识别、条件判断等问题，培养学生抽象能力与推理意识。课中辅助教师精准教学，课后助力学生通过易错点总结与巩固练习查漏补缺，提升用数学语言表达数量关系的能力。

专题10.1 分式的概念 知识点1：分式的定义 1.一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么代数式叫作分式；其中A是分子，B是分母，且。 2.分式三要素：①形如；②A、B均为整式；③分母B含字母且B≠0，三者缺一不可。 3.特别提醒：π是常数，不是字母；判断分式只看原式，不化简、不约分。 知识点2：分式有意义、无意义的条件 状态 条件 数学表达 示例 有意义 分母≠0 有意义⇨ 无意义 分母=0 无意义⇨ 知识点3：分式的值为0的条件 1.必须同时满足两个条件：①分子A=0；②分母B≠0。 2.求解步骤：先令分子=0求字母值→代入分母检验→舍去使分母=0的值。 知识点4：分式的值与实际意义 1.求分式的值：用数值代替代数式中的字母，按运算顺序计算结果。 2.实际情境：可表示速度、单价、平均量、密度等两个量的比值关系。 【基础必考题型】 【题型1】分式的识别（整式vs分式） 1.核心知识点 分式定义三要素；π是常数；只看原式不化简 2.解题方法技巧 一看形式：是否为；二看分母：是否含字母；三验分母：不为0 【例题1】.（25-26八年级下·河南周口·期中）下列代数式中，属于分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·河南周口·期中）下列各式中，不属于分式的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·福建泉州·期中）下列式子中，属于分式的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·江苏无锡·期中）下列代数式是分式的是（    ） A． B． C． D． 【题型2】分式有意义的条件（求字母取值范围） 1.核心知识点 分式有意义⇨分母≠0；含绝对值、平方型分母恒正 2.解题方法技巧 列分母≠0不等式→解不等式→写取值范围 【例题2】.（25-26八年级下·陕西西安·期中）若有意义，则x的取值范围是______． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·河南周口·期中）若分式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（2026·云南昆明·一模）若分式有意义，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（2026·江苏南京·一模）要使分式有意义，字母x须满足（    ） A． B． C． D． 【题型3】分式无意义的条件（求字母值） 1.核心知识点 分式无意义⇨分母=0 2.解题方法技巧 直接令分母=0→解方程得字母值 【例题3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）要使分式无意义，则的取值应满足________． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）根据下面表格中的信息（※表示非零的数值），代表的分式可能是（    ） … 0 1 2 … … 0 ※ ※ 无意义 ※ … A． B． C． D． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·河南南阳·月考）根据下列表格中的部分信息，分式可能是（    ） … 0 1 2 … … 无意义 ★ ★ 0 ★ … A． B． C． D． 【变式题3-3】.（24-25八年级上·新疆吐鲁番·期末）当时，分式无意义，则m的值为______． 【培优高频题型】 【题型4】分式的值为0的条件（双条件求值） 1.核心知识点 分子=0且分母≠0；缺一不可 2.解题方法技巧 先求分子=0的解→逐一代入分母检验→保留有效解 【例题4】.（25-26八年级下·四川成都·期中）如果分式的值为，那么的值是______． 【变式题4-1】.（2026·山东济宁·二模）若分式的值为0，则实数x的值为____________． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·陕西西安·期中）若分式的值为0，则实数x的值为______． 【变式题4-3】.（25-26九年级下·江苏盐城·期中）当分式的值为0时，的值为__________． 【题型5】直接求分式的值 1.核心知识点 字母代入分式；运算顺序 2.解题方法技巧 先确定分式有意义→再代入数值→计算结果 【例题5】.（25-26七年级下·浙江宁波·期中）若，则分式的值为________． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·湖南衡阳·期中）已知，则代数式的值为________． 【变式题5-2】.（2026·北京大兴·一模）已知，求代数式的值． 【变式题5-3】.（25-26七年级下·浙江宁波·期中）已知，，则的值为________． 【压轴素养题型】 【题型6】分式值为正、负、整数的判定 1.核心知识点 分子分母同号为正、异号为负；分子被分母整除为整数 2.解题方法技巧 转化为不等式组/整除问题→求整数解 【例题6】.（25-26七年级下·上海嘉定·期中）若分式的值为正数，则x的取值范围是___________． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·山东临沂·期末）写出使分式的值为正数的的一个值_____． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·山东泰安·月考）下列说法错误的是（   ） A．当时，分式无意义 B．当时，分式的值为正数 C．当分式时， D．无论x取何值，的值总为正数 【变式题6-3】.（2026八年级下·全国·专题练习）仔细阅读下面的材料并解答问题． 例：当取何值时，分式的值为正数？ 解：由题意，得，则有①或②解不等式组①，得；解不等式组②，得该不等式组无解．∴当时，分式的值为正数． 按照上面的方法，求当取何值时，分式的值为负数． 【题型7】分式规律探究（式子排列规律） 1.核心知识点 符号、分子、分母分别找规律 2.解题方法技巧 分三部分：符号、分子、分母→写出第n项 【例题7】.（25-26九年级下·河南平顶山·期中）一组按规律排列的式子：，，，，…．若，则第9个式子是__________． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·江西·期末）已知，则的值________； 【变式题7-2】.（24-25八年级下·湖北武汉·月考）观察下列等式：第1个等式；第2个等式；第3个等式：；第4个等式…… 按以上规律用含有n的代数式表示第n个等式：______＝______（n为正整数）． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·重庆·期中）给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第n个数记为（n为正整数）．已知，并规定：，如：，，以下结论中，正确的个数为（    ） ①； ②若，则； ③若，则； ④若的值为整数，则满足条件的整数共有6个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 易错点 1.把π当作字母，误判为分式。 2.判断分式时先化简再判断，如误判为整式。 3.求分式值为0时只看分子、不验分母，遗漏。 4.混淆“有意义”与“值为0”的条件，符号与逻辑出错。 5.实际问题中单位不统一就列分式，导致意义错误。 重点 1.掌握分式定义，准确区分整式与分式。 2.熟练判断分式有/无意义、值为0的条件。 3.会代入求分式的值，能在实际情境中列分式。 4.牢记：分母含字母、分母不为0是分式核心。 难点 1.复杂分母（绝对值、平方）下恒有意义的判断。 2.分式值为正/负/整数的转化与不等式组求解。 3.跨学科、探究规律题型的数学建模与抽象表达。 4.含参数分式的分类讨论与严谨检验。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列各式中，属于分式的是（   ） A． B． C． D． 2．若是分式，则可以是（    ） A． B．2026 C．0 D． 3．若分式的值为0，则的值是（   ） A． B． C． D． 4．如果，那么的值是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．若代数式有意义，则实数x的取值范围为_________． 6．分式的值为正整数，则正整数x的值为______． 7．观察下列一组数：，，，，……根据该组数的排列规律，可推断出第12个数是_____． 三、解答题 8．当取何值时，下列分式有意义？ (1)； (2)； (3)． 9．已知分式，其中、是常数，且当时，分式无意义；当时，分式的值为0．求当时，分式的值． 10．已知，求代数式的值． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.1 分式的概念 知识点1：分式的定义 1.一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么代数式叫作分式；其中A是分子，B是分母，且。 2.分式三要素：①形如；②A、B均为整式；③分母B含字母且B≠0，三者缺一不可。 3.特别提醒：π是常数，不是字母；判断分式只看原式，不化简、不约分。 知识点2：分式有意义、无意义的条件 状态 条件 数学表达 示例 有意义 分母≠0 有意义⇨ 无意义 分母=0 无意义⇨ 知识点3：分式的值为0的条件 1.必须同时满足两个条件：①分子A=0；②分母B≠0。 2.求解步骤：先令分子=0求字母值→代入分母检验→舍去使分母=0的值。 知识点4：分式的值与实际意义 1.求分式的值：用数值代替代数式中的字母，按运算顺序计算结果。 2.实际情境：可表示速度、单价、平均量、密度等两个量的比值关系。 【基础必考题型】 【题型1】分式的识别（整式vs分式） 1.核心知识点 分式定义三要素；π是常数；只看原式不化简 2.解题方法技巧 一看形式：是否为；二看分母：是否含字母；三验分母：不为0 【例题1】.（25-26八年级下·河南周口·期中）下列代数式中，属于分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：判断分式的核心是分母为含有字母的整式，是常数不是字母， A、，分母是常数，属于整式，不符合要求； B、，分母是含字母的整式，属于分式，符合要求； C、，分母是常数，属于整式，不符合要求； D、，分母是常数，属于整式，不符合要求． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·河南周口·期中）下列各式中，不属于分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若，是整式，且中含有字母，则式子叫做分式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．由分母含有字母，即选项A是分式，不符合题意； B．分母含有字母，即选项B是分式，不符合题意； C．分母是，是常数，不含字母，即选项C不是分式，符合题意； D．分母含有字母，即选项D是分式，不符合题意． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·福建泉州·期中）下列式子中，属于分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的定义；根据分式定义判断选项即可． 【详解】解： ∵符合分式定义，是分式， ∴A符合题意， ∵属于整式，不符合分式定义， ∴B不符合题意， ∵是常数，分母不含有字母，不符合分式定义 ∴C不符合题意， ∵属于整式，不符合分式定义， ∴D不符合题意． 故选：A． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·江苏无锡·期中）下列代数式是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A、属于整式，不是分式，不符合题意； B、属于整式，不是分式，不符合题意； C、的分母是含字母的整式，符合分式定义，是分式，符合题意； D、属于整式，不是分式，不符合题意． 【题型2】分式有意义的条件（求字母取值范围） 1.核心知识点 分式有意义⇨分母≠0；含绝对值、平方型分母恒正 2.解题方法技巧 列分母≠0不等式→解不等式→写取值范围 【例题2】.（25-26八年级下·陕西西安·期中）若有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·河南周口·期中）若分式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式有意义时分母不为0，列不等式求解即可得到x的取值范围． 【详解】∵分式有意义的条件是分母不等于0，分式有意义， ∴， 解得， 故选：B． 【变式题2-2】.（2026·云南昆明·一模）若分式有意义，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分式有意义的条件：分母不为0，据此列不等式求解即可得到x的取值范围． 【详解】解：∵分式有意义的条件是分母不为0， ∴， 解得：． 【变式题2-3】.（2026·江苏南京·一模）要使分式有意义，字母x须满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式有意义时分母不为0，列不等式即可求解x的取值范围． 【详解】解：∵分式有意义的条件是分母不等于0， ∴， 解得． 【题型3】分式无意义的条件（求字母值） 1.核心知识点 分式无意义⇨分母=0 2.解题方法技巧 直接令分母=0→解方程得字母值 【例题3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）要使分式无意义，则的取值应满足________． 【答案】 【分析】根据分式无意义的条件∶分母等于0，列一元一次方程求解即可． 【详解】解∶∵分式无意义，则分母等于0， ∴移项得 系数化为1得． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）根据下面表格中的信息（※表示非零的数值），代表的分式可能是（    ） … 0 1 2 … … 0 ※ ※ 无意义 ※ … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式无意义时分母为零可排除A，B，将，代入即可排除D． 【详解】解：由表格信息可知，当时，分式无意义， ∴分式的分母在时的值为， A选项分母为，时，不符合，排除A； B选项分母为，时，不符合，排除B； ∵当时，分式的值为， ∴分式的分子在时的值为，且分母不为， C选项分子为，时，分母，符合条件； D选项分子为，时，分式值不为，不符合条件． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·河南南阳·月考）根据下列表格中的部分信息，分式可能是（    ） … 0 1 2 … … 无意义 ★ ★ 0 ★ … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据表格信息，得到时分式无意义，时分式值为0，结合选项即可判断． 【详解】解：由表格可知，当时，分式无意义， ∵分式无意义的条件是分母为0， ∴当时，分式的分母为0，因此分母含有因式，排除选项C和D； 又∵当时，， ∵分式值为0的条件是分子为0且分母不为0， ∴当时，分子为0，分母不为0，因此分子含有因式，符合条件的是． 【变式题3-3】.（24-25八年级上·新疆吐鲁番·期末）当时，分式无意义，则m的值为______． 【答案】2 【分析】分式无意义即分母为0，由此解答即可． 【详解】解：若分式无意义，则，即， 又∵当时，分式无意义， ∴． 【培优高频题型】 【题型4】分式的值为0的条件（双条件求值） 1.核心知识点 分子=0且分母≠0；缺一不可 2.解题方法技巧 先求分子=0的解→逐一代入分母检验→保留有效解 【例题4】.（25-26八年级下·四川成都·期中）如果分式的值为，那么的值是______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，且， ∴． 【变式题4-1】.（2026·山东济宁·二模）若分式的值为0，则实数x的值为____________． 【答案】1 【分析】根据分式的值为的条件，分子为且分母不为，据此求解即可． 【详解】解：分式的值为， ，解得． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·陕西西安·期中）若分式的值为0，则实数x的值为______． 【答案】 【分析】根据分式值为的条件，即分子等于，分母不为，计算即可． 【详解】解：由题意得 且 ， 由 解得 ， 由 ，因式分解得， 解得 或 ，不符合分母不为的条件，舍去， 所以实数的值为． 【变式题4-3】.（25-26九年级下·江苏盐城·期中）当分式的值为0时，的值为__________． 【答案】3 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， ∴， ∴的值为3． 【题型5】直接求分式的值 1.核心知识点 字母代入分式；运算顺序 2.解题方法技巧 先确定分式有意义→再代入数值→计算结果 【例题5】.（25-26七年级下·浙江宁波·期中）若，则分式的值为________． 【答案】 【分析】首先得到，然后代入求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·湖南衡阳·期中）已知，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】将所求代数式拆分变形，再把已知条件整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴． 【变式题5-2】.（2026·北京大兴·一模）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】先对给定的代数式进行化简，再根据已知条件求出化简后代数式的值． 【详解】解：已知，移项可得， ， 将代入可得． 【变式题5-3】.（25-26七年级下·浙江宁波·期中）已知，，则的值为________． 【答案】/0.5 【分析】首先求出，，然后得到，，然后相乘得到，推出，然后将原式通分整体代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 即，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴ ∵ ． 【压轴素养题型】 【题型6】分式值为正、负、整数的判定 1.核心知识点 分子分母同号为正、异号为负；分子被分母整除为整数 2.解题方法技巧 转化为不等式组/整除问题→求整数解 【例题6】.（25-26七年级下·上海嘉定·期中）若分式的值为正数，则x的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据分式值为正数可确定分母为负数，由此求解即可． 【详解】解：因为分式的值为正数， 而分子为是负数，可知分母为负数， 即，解得， 的取值范围是． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·山东临沂·期末）写出使分式的值为正数的的一个值_____． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了分式的值，解一元一次不等式，熟练掌握分式的性质和一元一次不等式的解法是解题的关键．要使分式的值为正，分子为正，因此分母必须为正，由此确定的取值范围，再在范围内找一个值即可． 【详解】解：要使分式的值为正数， 分母必须为正数，即，解得， 任意大于的实数均可，例如取． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·山东泰安·月考）下列说法错误的是（   ） A．当时，分式无意义 B．当时，分式的值为正数 C．当分式时， D．无论x取何值，的值总为正数 【答案】C 【分析】本题考查了分式的意义、分式有意义时，自变量的取值范围．掌握分式有意义的条件是解题关键．选项A、B、D均正确，选项C错误，因为当时，分式无意义，不能使分式值为 【详解】对于A:当 时，分母 ，分式无意义，选项A正确，不符合题意； 对于B:当 时，分母 ，分子为正，分式值为正，选项B正确，不符合题意； 对于选项C:∵ 分式 ， 需分子为0且分母不为0，即 且 ， ∴ 或 ，但 时， ，分式无意义， ∴ 只有 成立，选项C错误，符合题意； 对于D:分母 ，分子为正，分式值总为正数，选项D正确，不符合题意． 故选：C． 【变式题6-3】.（2026八年级下·全国·专题练习）仔细阅读下面的材料并解答问题． 例：当取何值时，分式的值为正数？ 解：由题意，得，则有①或②解不等式组①，得；解不等式组②，得该不等式组无解．∴当时，分式的值为正数． 按照上面的方法，求当取何值时，分式的值为负数． 【答案】当且时 【分析】此题考查了已知分式的值求未知数的范围，解不等式组，解题的关键是正确列出不等式组． 首先将因式分解为，然后类比题干的方法得到①或②，然后分别求解即可． 综合运用因式分解、分式值为负，解不等式等知识． 【详解】解：∵， ∵分式的值为负数， ∴或， ∴①或② 解不等式组①，得且； 解不等式组②，得该不等式组无解． ∴当且时，分式的值为负数． 【题型7】分式规律探究（式子排列规律） 1.核心知识点 符号、分子、分母分别找规律 2.解题方法技巧 分三部分：符号、分子、分母→写出第n项 【例题7】.（25-26九年级下·河南平顶山·期中）一组按规律排列的式子：，，，，…．若，则第9个式子是__________． 【答案】 【分析】观察可知，奇数项的符号为负，偶数项的符号为正，其中分子中字母a的指数等于序号，分母中字母b的指数等于序号的3倍减去1，据此可得答案． 【详解】解：第1个式子为， 第2个式子为， 第3个式子为， 第4个式子为， ……， 以此类推可知，第n个式子为， ∴第9个式子为． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·江西·期末）已知，则的值________； 【答案】 【分析】本题主要考查了数字规律探究、数列的周期性及有理数的运算，熟练掌握通过计算前几项寻找数列周期，再利用周期解决问题的方法是解题的关键．通过计算序列的前几项，发现序列具有周期性，周期为，即每项重复一次：，，．计算除以的余数，余数为，对应周期中的第一项，因此． 【详解】解：计算序列的前几项： ， ， ， ， ， ， 由此可知序列周期为，即． ， 因此， 故答案为：． 【变式题7-2】.（24-25八年级下·湖北武汉·月考）观察下列等式：第1个等式；第2个等式；第3个等式：；第4个等式…… 按以上规律用含有n的代数式表示第n个等式：______＝______（n为正整数）． 【答案】 【分析】观察已知等式中分母的奇数规律与分式拆分形式，推导第个等式的表达式 【详解】解：第1个等式的分母为，拆分形式为； 第2个等式的分母为，拆分形式为； 第3个等式的分母为，拆分形式为； 以此类推，第个等式的分母为，拆分后为，即（为正整数）． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·重庆·期中）给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第n个数记为（n为正整数）．已知，并规定：，如：，，以下结论中，正确的个数为（    ） ①； ②若，则； ③若，则； ④若的值为整数，则满足条件的整数共有6个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先根据递推公式得到数列6个数为一个周期循环的规律，再逐一判断每个结论即可，找到周期规律是解题关键. 【详解】解：∵，，， ∴，，，，，， ∴ 该数列每6个数为一个周期循环. ∵ ， ∴ ，故①正确； ∵，，， ∴，即 ∴，故②正确； ∵ 一个周期内， ∴，解得， ∵， ∴，故③错误； ∵， ∴，， 则 ∵ 原式为整数，为整数， ∴是的约数，即， ∴ 又∵分式的分母不能为0， ∴， ∴， 舍去，共5个满足条件的整数，故④错误； 综上，正确的结论共2个. 易错点 1.把π当作字母，误判为分式。 2.判断分式时先化简再判断，如误判为整式。 3.求分式值为0时只看分子、不验分母，遗漏。 4.混淆“有意义”与“值为0”的条件，符号与逻辑出错。 5.实际问题中单位不统一就列分式，导致意义错误。 重点 1.掌握分式定义，准确区分整式与分式。 2.熟练判断分式有/无意义、值为0的条件。 3.会代入求分式的值，能在实际情境中列分式。 4.牢记：分母含字母、分母不为0是分式核心。 难点 1.复杂分母（绝对值、平方）下恒有意义的判断。 2.分式值为正/负/整数的转化与不等式组求解。 3.跨学科、探究规律题型的数学建模与抽象表达。 4.含参数分式的分类讨论与严谨检验。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列各式中，属于分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若A、B为两个整式，且B中含有字母，则为分式，需注意是常数，不是字母，据此逐一判断即可． 【详解】解：由分式的定义可知，四个式子中只有是分式． 2．若是分式，则可以是（    ） A． B．2026 C．0 D． 【答案】D 【详解】解：∵选项A中是常数，选项B中2026是常数，均不含字母，不符合要求． 选项C中分母为0，分式无意义，不符合要求． 选项D中是含有字母的整式，可满足，符合分式的定义． 3．若分式的值为0，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分式值为0时需同时满足分子为0、分母不为0，据此计算即可得到结果． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，且， ∴． 4．如果，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 二、填空题 5．若代数式有意义，则实数x的取值范围为_________． 【答案】 【详解】根据题意，可知， 解得． 6．分式的值为正整数，则正整数x的值为______． 【答案】1或2/2或1 【分析】先把分式进行因式分解，然后约分，再根据分式的值为正整数，得出的取值，从而得出x的值． 【详解】解：， 要使的值为正整数，则分母是2的约数，即的值可以为1，，2，， 当时，，此时，不是正整数； 当，，此时，是正整数； 当，，此时，不是正整数； 当，，此时，是正整数， ∵x为正整数， ∴或1． 7．观察下列一组数：，，，，……根据该组数的排列规律，可推断出第12个数是_____． 【答案】 【分析】由分子1、2、3、4、5、…，即可得出第n个数的分子为n；分母为3、5、7、9、11、…，即可得出第n个数的分母为，据此即可解答． 【详解】解：∵分子1、2、3、4、5、…， ∴第n个数的分子为n， ∵3、5、7、9、11、…， ∴第n个数的分母为， ∴第n个数是． ∴第12个数是． 三、解答题 8．当取何值时，下列分式有意义？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)为任意实数 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是解题的关键． （1）（2）分式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可； （3）可证明，再根据分式有意义的条件是分母不为0可得答案． 【详解】（1）解：∵分式有意义， ∴； （2）解：∵分式有意义， ∴， ∴； （3）解：∵分式有意义， ∴； ∵， ∴， ∴为任意实数． 9．已知分式，其中、是常数，且当时，分式无意义；当时，分式的值为0．求当时，分式的值． 【答案】当时，分式的值为． 【分析】本题主要考查了分式的求值，分式无意义的条件，分式的值为零的条件，分式无意义的条件是分母为0，分式的值为零的条件是分子为0且分母不为0，据此求出m、n的值，再代入求值即可得到答案． 【详解】解：由题意，得，且， 解得． 当时，， 即当时，分式的值为． 10．已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】易得，将分子分母进行因式分解后，整体代入法求值即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴. 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $